Các công thức lượng giác đại số 10” bằng việc sử dụng một số bài tập phù hợp, từ đó giúp họcc sinh hứng thú h

I.MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài : Trong chương trình Đại số lớp 10, lượng giác được đưa
vào chương cuối cùng. Nội dung chính là cho học sinh tiếp cận được với công thức
lượng giác. Lên đến đầu chương trình Đaị số và giải tích 11 mới học nốt phần còn
lại là phương trình lượng giác. Do vậy đòi hỏi các em học sinh lớp 10 phải nắm
chắc công thức lượng giác, phải thành thạo các biến đổi lượng giác làm cơ sở tiền
đề cho năm học tới.
Chính vì vậy mà việc vận dụng tốt các công thức lượng giác để làm bài
tập là rất quan trọng. Nếu không thì các em không cách nào học được phương trình
lượng giác. Trong kì thi THPT quốc gia tới đây có câu về giải phương trình lượng
giác. Đó là một câu hỏi không phải là khó trong đề thi. Bởi vậy nếu không làm
được thì thật là đáng tiếc vì những phần khác nội dung hóc búa hơn để phân loại
học sinh. Chẳng những vậy, nó còn liên quan đến nhiều nội dung khác của toán như
đạo hàm, tích phân,...chứ không đứng riêng lẻ một mình. Ngoài ra lượng giác còn
bổ trợ cho những môn học khác như vật lí, hóa học ,...Qua đó ta thấy được tầm
quan trọng không thể thiếu được của phần lượng giác.
Nhưng thực trạng thì sao? Học sinh trường tôi đa số là con em dân tộc, lại
ở một huyện miền núi có điều kiện kinh tế vô cùng khó khăn đã ảnh hưởng rất lớn
đến việc dạy và học. Các em ngại nhất là môn toán, mà trong môn toán thì lại ngại
nhất là phần lượng giác dù biết nó rất quan trọng. Chính vì tâm lí đó cho nên đa số
không biết gì về lượng giác, một thực tế thật đáng buồn. Đó là vấn đề cấp bách thôi
thúc tôi suy nghĩ và trăn trở rất nhiều, vì sao các em lại sợ lượng giác đến thế?
Nguyên nhân do các em không giải nổi những bài toán trong sách giáo khoa nên
mất hứng thú học tập, càng ngày càng kém. Như vậy phải hướng tới đối tượng là
các học sinh ngay từ năm lớp 10. Nếu như các em đã có kiến thức vững chắc và có
hứng thú rồi thì tin rằng sang đầu năm lớp 11 việc hoàn thành nốt phần giải phương
trình lượng giác sẽ rất tốt. Hơn nữa phải chú ý trọng tâm là các học sinh trung bình
và yếu kém vì đối tượng này chiếm phần nhiều ở trường tôi. Bởi vậy mục đích cần
đạt là để các em có thể làm được những bài toán dễ nhất về lượng giác, từ đó tạo
nên niềm vui học tập với những em lâu nay còn kém, tạo tiền đề vững chắc cho các
em khá giỏi tìm tòi khám phá sâu hơn.

Sau quá trình tìm tòi, học hỏi, rút kinh nghiệm tôi đã chọn đề tài :
NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY BÀI: “CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC-ĐẠI SỐ
10” BẰNG VIỆC SỬ DỤNG MỘT SỐ BÀI TẬP PHÙ HỢP, TỪ ĐÓ GIÚP HỌC SINH
HỨNG THÚ HƠN, PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, CHỦ ĐỘNG SÁNG TẠO CỦA HỌC
SINH Ở TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4 đưa vào giảng dạy và thu được kết quả

là các em rất thích thú khi học phần này nên tôi viết sáng kiến để đồng nghiệp
tham khảo và góp ý.

1


1.2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Đại
Số 10 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ
động và sáng tạo của học sinh, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với
xu hướng hiện nay.
- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được
coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng,
học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng
cố và khắc sâu các tri thức .
1.3. Đối tượng nghiên cúu :
- Khắc sâu và vận dụng thành thạo công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức
biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích để giải những bài toán lượng giác đơn
giản.
1.4. Phương pháp nghiên cứu :
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.

2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung kiến thức trong bài dạy
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua các tiết dạy)
để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
1.5 Những điểm mới của SKKN.
Từ khi tôi áp dụng đề tài này vào trong thực tiễn giảng dạy (bắt đầu từ năm học
2018-2019) thì tôi thấy kết quả có chuyển biến rõ rệt, các em nắm bài nhanh và tốt
hơn nhiều, tiết học sôi nổi hơn, các em phát biểu ý kiến nhiều hơn, các em vận
dụng thành thạo công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành
tổng, tổng thành tích để giải những bài toán lượng giác đơn giản, chất lượng bộ
môn được nâng lên. Số học sinh mà tôi dạy ngày cáng yêu thích học môn Toán
hơn.
II.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Vị trí của môn Toán trong nhà trường :
Môn toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học,
những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt
động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người.
Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian
trong chương trình học của học sinh

2


Môn toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ
thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người.
Môn toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy
nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển
toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới.

2.1.2. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.
- Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói cụ
thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên
các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình.
- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi chúng
không tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập
và phải thường xuyên luyện tập cho học sinh.
2.1.3. Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :
Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới
phương pháp dạy học hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các
em, là người định hướng, tổ chức ra những tình huống học tập kích thích óc tò mò
và tư duy độc lập, phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ. Muốn các em
học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn,
vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp.
Bên cạnh những học sinh hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình
tìm tòi, khám phá, sáng tạo thì lại có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học yếu,
lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết, có năng lực thật sự, đa
dạng trong phương pháp, biết tổ chức, thiết kế qua từng tiết dạy.
Theo chúng tôi, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người giáo
viên phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương
pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên
đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trước khi chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy trong bài các công thức lượng giác
thì mức độ nhận thức, cũng như mức độ nắm bài học của học sinh còn hạn chế
nhiều. Minh chứng điều đó là kết quả khảo sát chất lượng nội dung học của 2 lớp
khi tôi dạy bài “Các công thức lượng giác” theo phương pháp cũ.

3

Số lượng
học sinh
Số
nắm
bài lượng
Tỉ
HS
lệ
nắm
Lớp
(%)
bài ở
Sĩ số
mức tốt
Lớp 10 B3
Sĩ số: 50
Lớp 10 B4
Sĩ số: 46
Tổng số HS
(96 HS)

Số
lượng
HS
Tỉ lệ
nắm
(%)
bài ở
mức

khá

Số
lượng
HS
nắm
Tỉ lệ
bài ở (%)
mức
trung
bình

Số
lượng
HS
không
nắm
được
bài

Tỉ lệ
(%)

5

10

12

24

21

42

12

24

4

8,7

11

23,9

16

34,8

15

32,6

9

9,4

23

23,9

37

38,5

27

28,2

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
+Vì thời lượng phân phối chương trình không cho phép nên tôi dự định thực
hiện đề tài này vào các tiết tự chọn với thời lượng là 6 tiết.
+Trong quá trình hướng dẫn các em làm bài tập tôi đã định hướng rằng nếu
gặp hàm tan, cot thì xử lí bằng hàm sin và cos nhằm tránh phải nhớ nhiều công
thức.
+Hệ thống bài tập được tôi phân loại như sau :
2.3.1. Sử dụng một số bài tập lượng giác giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vận
dụng công thức cộng để giải được những bài toán biến đổi lượng giác đơn giản.
+Do đây là công thức đầu tiên , các em học sinh còn bỡ ngỡ nên tôi đưa ra
bài tập vận dụng trưc tiếp một công thức là đươc kết quả ngay. Hơn nữa chỉ chứa
các cung là số chứ không chứa chữ tạo cảm giác dễ làm.
Bài tập 1 : Tính giá trị của biểu thức :
A = cos 32 0 cos 28 0 − sin 32 0 sin 28 0

Bài giải : A = cos(32 0 + 28 0 ) = cos 60 0 =

1
2

Bài tập tương tự : Cho học sinh ghi lại về nhà làm. Nếu lớp có nhiều học sinh yếu
kém có thể chữa thêm một số bài cho các em rõ hơn.
Tính giá trị các biểu thức sau :
1) B = cos 74 cos 29 0 + sin 74 0 sin 29 0 ;
2) C = sin 230 cos 7 0 + sin 7 0 cos 230
0

3) D = sin 59 0 cos14 0 − sin 14 0 cos 59 0
4


5π
7π
5π
7π
cos
+ sin
sin
9
18
9
18
0
0
tan 20 + tan 25
7)
1 − tan 20 0 tan 25 0

4) E = cos 220 0 cos170 0 − sin 220 0 sin 170 0 ; 5) F = cos

cos 20 0 sin 10 0 + cos10 0 sin 20 0
;
cos19 0 cos110 − sin 19 0 sin 110
1 + cos15 0 cos 45 0 − sin 15 0 sin 45 0
P
=
8)
sin 22 0 cos 23 0 + sin 230 cos 22 0

6) G =

+Sau đó, tôi đưa thêm bài tập có chứa chữ nhưng với biến đổi vẫn đơn
giản mục đích cho các em nhớ và biết cách vận dụng công thức.
Bài tập 2 : Rút gọn biểu thức :
π

π

π

π

A = cos − a  + sin  − a  − cos + a  − sin  + a 
2

2

2

2



Bài giải :

π
π
π

cos − a  = cos cos a + sin sin a = sin a
2
2
2

π
π
π

sin  − a  = sin cos a − cos sin a = cos a
2
2
2

π
π
π

cos + a  = cos cos a − sin sin a = − sin a
2
2
2


π
π
π

sin  + a  = sin cos a + cos sin a = cos a
2
2
2


Vậy A=sina+cosa+sina-cosa=2sina
Ghi chú :Bài tập trên có thể giải được nhanh hơn bằng cách sử dụng công thức của
những góc có liên quan đặc biệt. Tuy nhiên các công thức đó khó nhớ và hay lẫn.
Bởi vậy từ nay khi gặp các cung đặc biệt ta có thể loại chúng nhờ công thức cộng.
Nhưng cách làm dài hơn nên phải biến đổi cẩn thận tránh sai sót.
Bài tập tương tự : Rút gọn các biểu thức sau :
π
π
π
π


2) C = sin  + a  − sin a − 
4
3

3

4



7π 
7π 
 3π

 3π



3) D = cos − a  − sin  − a  + cos a −  − sin  a − 
2 
2 
 2

 2



2π 
2π 


4) E = cos a + cos a +  + cos a − 
3 
3 


π


π

5) F = sin(−a) + sin(π − a) + sin  + a  + sin − a 
2

2

π
π
π



2 cos a − 2 cos + a 
sin  a +  − cos a + 
4
4
4



6) H =
;
7) K =
π
π
π




− 2 sin a + 2 sin  + a 
sin  a +  + cos a + 
4
4
4







1) B = sin  + a  − sin − a  ;

5


8) L =

cos(45 0 − a ) − cos(45 0 + a )
sin(45 0 + a ) − sin( 45 0 − a )

Chứng minh các biểu thức sau :

π

9) sin a + cos a = 2 sin a +  ;

4


π 
π

2
11) 4 sin  a +  sin  a −  = 4 sin a − 3
3 
3


π
π


10) sin  a +  − sin a −  = 2 sin a


4



4

+ Bài tập 2 và các bài tương tự đều không chứa tan và cot, nếu có sẽ phức
tạp hơn ta nghĩ. Theo dõi bài tập tiếp theo sẽ rõ :
Bài tập 3 : Rút gọn biểu thức :
π

 3π

A = sin(π + a ) − cos − a  + cot(2π − a ) + tan

− a
2

 2


Bài giải :

sin(π + a ) = sin π cos a + cos π sin a = − sin a
π
π
π

cos − a  = cos cos a + sin sin a = sin a
2
2
2

cos( 2π − a ) cos 2π cos a + sin 2π sin a
cos a
cot ( 2π − a ) =
=
=
= − cot a
sin ( 2π − a ) sin 2π cos a − cos 2π sin a − sin a
 3π

sin 
− a  sin 3π cos a − cos 3π sin a
− cos a

 3π

 2
 =
2
2
tan
− a =
=
= cot a
 2
 cos 3π − a  cos 3π cos a + sin 3π sin a − sin a


2
2
 2


Vậy : A=-sina-sina-cota+cota=-2sina
Ghi chú : Nếu biểu thức lượng giác có chứa cung đặc biệt trong hàm tan và cot mà
không dùng được công thức cộng thì ta phải xử lí thông qua hàm sin, cos như bài
tập trên.
Bài tập tương tự : Rút gọn các biểu thức sau :
3π 
 + cos( a + 2π ) − 2 sin ( a − π )
2 

C = cos 270 0 − a − 2 sin a − 450 0 + cos a + 900 0 + 2 sin 720 0 − a cot 540 0 − a
 3π


π
  3π

D = cos(a − 5π ) + sin 
+ a  − tan  + a  cot 
− a
 2

2
  2

3π 

E = cot ( a − 2π ) cos a −
 + cos( a − 6π ) − 2 sin ( a − π )
2 

π

sin(π + a ) cos a −  tan ( 7π + a )
2

F=
 3π

cos( 5π − a ) sin 
+ a  tan ( 2π + a )
 2



1) B = cot ( a − 2π ) cos a −

2)
3)
4)

5)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

6

6)

G=

sin ( a − π ) cos( a − 2π ) sin ( 2π − a )
π

 3π

sin  − a  cot ( π − a ) cot
+ a
2

 2


2.3.2. Sử dụng một số bài tập lượng giác giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vận
dụng công thức nhân đôi để giải được những bài toán biến đổi lượng giác đơn
giản.
+Trước hết tôi đưa ra một bài tập có dạng quen thuộc giúp các em làm quen với
công thức nhân đôi.
Bài tập 1 : Cho sin a =

3
π
và 0 < a < . Tính cosa, sin2a, cos2a.
15
2

Bài giải :
π
216
2 6
3
Ta có : cos 2 a = 1 − sin 2 a = 1 −   =
⇔ cos a =
(do 0 < a < )
2
225
5
 15 
2

2

207
4 6
3
sin2a=2sinacosa=
; cos 2a = 1 − 2 sin 2 a = 1 − 2  =
225
25
 15 

Bài tập tương tự :

1
π
và − < a < 0 . Tính sina và cos2a.

3
2
1
π
cos a = −
và < a < π . Tính sin2a.
2
3
π
6
sin a =
và < a < π . Tính sin2a.
2
3
1
π
sin a = và < a < π . Tính cos2a ;sin2a.
3
2
5
3π
cos a = −
và π < a < . Tính sin2a, cos2a, tan2a.
13
2
4
π
cos a = và − < a < 0 . Tính tan2a.
5
2

1) Cho cos a =
2) Cho
3) Cho
4) Cho
5) Cho
6) Cho

7) Tính các giá trị lượng giác của cung 2a trong các trường hợp :
1
π
và 0 < a < .
4
2
3
π
b) Biết sin a = và < a < π .
5
2
1
3π
c) Biết tan a = và π < a < .
2
2

a) Biết cos a =

+Sau đó, tôi hướng dẫn các em làm bài tập tiếp theo có hình thức ra đề
khác với bài tập 1 nhưng vẫn trên tinh thần làm quen với công thức nhân đôi,
không hề có những biến đổi phức tạp.

Bài tập 2 : Rút gọn biểu thức sau : A =

1 − cos a + cos 2a
sin 2a − sin a

7


Bài giải :
1 − cos a + 2 cos 2 a − 1 cos a (2 cos a − 1) cos a
A=
=
=
= cot a
2 sin a cos a − sin a
sin a (2 cos a − 1) sin a

Ghi chú : Nếu trong biểu thức có chứa cung (2a) ta thường sử dụng công thức
nhân đôi.
Bài tập tương tự : Chứng minh các đẳng thức sau :
sin 2a + sin a
= tan a ;
1 + cos 2a + cos a
sin 3 a − cos 3 a
sin 2a
= 1+
3)
sin a − cos a
2

2) tan a + cot a =

1)

2
sin 2a

+Theo phản ánh của các em học sinh thì khi mới tiếp cận công thức nhân
đôi cảm thấy khó khăn nhất. Bởi vậy tôi sẽ đưa ra và hướng dẫn các em nhiều bài
tập dễ, áp dụng từng công thức một cho đến khi thành thạo. Bài tập tiếp theo vận
1
2

dụng công thức sin a cos a = sin 2a ( chiều ngược của công thức sin2a=2sinacosa).
Bài tập 3 : Tính giá trị biểu thức sau : A = sin

π
π
π
π
cos cos cos
24
24
12
6

Bài giải :

π
π 

π
π 1
π
π 
π
π
π
π 1

A =  sin cos  cos cos = sin cos cos =  sin cos  cos
24
24 
12
6 2 12
12 
6
12
6 2  12

π 1 1
1 1
π
π 1 π
π
3
= ⋅ ⋅ sin ⋅ cos =  sin cos  = ⋅ sin =
6
6 4 2
2 2
6

6 4
3 16

Bài tập tương tự : Tính giá trị các biểu thức sau :

π
π
π
π
cos cos cos
12
12
6
3
π
π
π
π
π
π
C = sin cos cos ;
D = sin cos cos
8
4
8
24
24
12

B = sin

+Bài tập trên các cung đều bằng số dễ tiếp nhận. Tiếp theo là bài tập có
cung chứa chữ nên cảm giác khó hơn.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau : A = (sin a + cos a) 2 − (sin a − cos a) 2 − 2 sin 2a
Bài giải :

(

)

A = sin 2 a + cos 2 a + 2 sin a cos a − sin 2 a − 2 sin a cos a + cos 2 a − 2 sin 2a
1
= 4 sin a cos a − 2 sin 2a = 4 ⋅ sin 2a − 2 sin 2a = 0
2

Bài tập tương tự : Chứng minh đẳng thức sau :
1 
1  sin 2a

1 + tan a +
1 + tan a −
=
cos a 
cos a  cos 2 a


8


+Sau đây là các bài tập vận dụng công thức : cos 2a = cos 2 a − sin 2 a ;

cos 2a = 2 cos 2 a − 1 ; cos 2a = 1 − 2 sin 2 a . Đây là những công thức khó, nhất là khi sử
dụng theo chiều từ phải qua trái. Bởi vậy tôi đưa bài tập nhận dạng công thức.
Bài tập 5: Tính giá trị biểu thức sau : A = 2 cos 2 75 0 − 1
Bài giải :
A = cos150 0 = −

3
2

Bài tập tương tự : Tính giá trị các biểu thức sau :
0
0
0
0
B = 1 − 2 sin 2 75 0 ; C = ( cos15 − sin 15 )( cos15 + sin 15 )

(

)(

C = cos 75 0 + sin 75 0 cos 75 0 − sin 75 0

)

+Tiếp theo là bài tập dạng như bài tập 5 nhưng có cung chứa chữ chứ
không phải số :
Bài tập 6: Rút gọn biểu thức sau : A =
Bài giải :

1 − 2 sin 2 a

2 cos 2 a − 1
+
cos a + sin a cos a − sin a

1
1
cos 2a
cos 2a


= cos 2a
+
+

cos a + sin a cos a − sin a
 cos a + sin a cos a − sin a 
2 cos a
2 cos a
= cos 2a ⋅
= cos 2a ⋅
= 2 cos a
2
2
cos 2a
cos a − sin a

A=

Bài tập tương tự : Chứng minh các đẳng thức sau :
cot a

cos 2 a
=
cot a − tan a 1 − 2 sin 2 a
1
1 − 2 sin 2 a
=
3) tan 2a +
cos 2a 1 − sin 2a

1)

2) sin 4 a − cos 4 a = 1 − 2 cos 2 a

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = cos 4 a − sin 4 a
+Như vậy tôi đã hướng dẫn các em một số lượng lớn bài tập luyện tập
công thức cộng và nhân đôi. Sau đây để cho học sinh nhuần nhuyễn và thấy được
mối liên quan , tôi đưa ra bài tập vận dụng cả hai công thức này.
π
2



Bài tập 7: a) Rút gọn biểu thức sau : A = sin  − a  sin ( π − a ) cos 2a


π
2 a
b) Chứng minh đẳng thức sau : 1 − sin a = 2 sin  − 
2

4

Bài giải :
π
2

π
2


1
1
1 1
1
= ( sin a cos a ) cos 2a = sin 2a cos 2a = ( sin 2a cos 2a ) = ⋅ ⋅ sin 4a = sin 4a
2
2
2 2
4



a) A =  sin cos a − cos sin a ( sin π cos a − cos π sin a ) cos 2a = cos a sin a cos 2a

9


π

1 − cos a − 

π
π

2  = 1 −  cos a cos + sin a sin  = 1 − sin a
b) 2 sin 2  a − π  = 2 ⋅

2
2



2
2 4

Ghi chú : Nếu hàm lượng giác vừa có bậc 2, vừa chứa cung đặc biệt ta tiến hành hạ
bậc trước rồi mới dùng công thức cộng để loại cung đặc biệt. Nếu thực hiện ngược
lại sẽ dài hơn.
Bài tập tương tự : Rút gọn các biểu thức sau :
π 
π

cos 2a −  cos 2a + 
6 
6

A = cos a −
2 cos a
π

B = sin ( π + a ) cos( π − a ) + sin  − a  sin ( π − a )

2

π
π
 π


C = 2 cos + a  cos − a  ;
D = sin 8a + 2 cos 2  4a + 
4
4
 4


2
0
2
sin 90 + a − cos 90 0 − a

2
2π
E = sin  − a  + ( sin a − cos a ) ;
F=
tan 2 90 0 + a − cot 2 90 0 − a
4

3π
π a 
G = 4 sin 4 a + sin 2 2a + 4 cos 2  −  với π < a <
2

 4 2
π

1 + sin a − 2 sin 2  − a 
4

H = cos 4 a − sin 4 ( a + π ) ;
K=
a
4 cos
2

(
(

)
)

(
(

)
)

Chứng minh các đẳng thức sau :
2
2
1) ( sin a + sin b ) + ( cos a + cos b ) = 4 cos 2

2)

1 + sin a
π a 
= cot 2  − 
1 − sin a
 4 2

a+b
2

3) sin a( sin a + sin b ) + cos a( cos a + cos b ) = 2 cos 2
2
2
4) ( sin a − sin b ) + ( cos a − cos b ) = 4 sin 2

5)

1 − sin 2a + cos 2a
π

= tan  − a 
1 + sin 2a + cos 2a
4


a−b
2

a−b
2

π 
π

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : L = sin a +  sin a − 


4



4

2.3.3. Sử dụng một số bài tập lượng giác giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vận
dụng công thức biến đổi tích thành tổng để giải được những bài toán biến đổi
lượng giác đơn giản.

10


+Công thức này dễ vận dụng nhất và dễ dàng nhận ra dấu hiệu áp dụng là
nếu có tích ta biến đổi thành tổng để rút gọn. Do vậy tôi chỉ đưa ra một bài tập để
các em nhận dạng khi nào thì dùng công thức này .
Bài tập 1: a) Biến đổi tích sau thành tổng : A = sin 3a sin 5a


0
0
b) Chứng minh đẳng thức sau : sin a − 2 sin  − 15  cos + 15  =
a

2



a
2



1
2

Bài giải :
1
2
a
a
0
0
b) sin a − 2 sin − 15  cos + 15  =
2
 2

1
1
⇔ sin a − 2 ⋅ sin a − sin 30 0 = ⇔
2
2

a) A = sin 5a sin 3a = ( cos a − cos 4a )

(

)

 a
1
 a
 1
⇔ sin a − 2 cos + 15 0  sin  − 15 0  =
2
 2
 2
 2
1 1
=
2 2

Đẳng thức cuối cùng đúng , vậy đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Ghi chú : Biểu thức lượng giác có dạng tích ta biến đổi thành tổng để rút gọn.
Bài tập tương tự : Biến đổi các tích sau thành tổng :
A = cos 2a cos a ; B = cos 3a sin 2a ; C = sin 4a cos a
Chứng minh đẳng thức sau : sin 5a + 2 sin a(cos 4a + cos 2a) = sin a
2.3.4.Sử dụng một số bài tập lượng giác giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vận
dụng công thức biến đổi tổng thành tích để giải được những bài toán biến đổi
lượng giác đơn giản.
+Bài tập đầu tiên khá dễ mục đích cho các em nhớ lưu ý khi sử dụng công thức .
Bài tập 1: Biến đổi tổng sau thành tích : A = cos a + cos 3a
Bài giải :
A = cos 3a + cos a = 2 cos 2a cos a

Ghi chú : Cũng như công thức biến đổi tích thành tổng, khi biến đổi tổng thành
tích ta nên để cung lớn trước cung bé tránh kết quả cho dấu âm.
Bài tập tương tự : Biến đổi các tổng sau thành tích :
B = cos 4a − cos 3a ; C = sin 2a + sin a ; D = sin 5a − sin 3a
Rút gọn các biểu thức sau :
E=

cos 6a − cos 4a
;
cos 6a + cos 4a

F=

cos a − cos 3a
sin a + sin 3a

+Trên thưc tế các biểu thức lượng giác không đơn giản chỉ chứa tổng hai
số hạng như bài tập 1. Bởi vậy nếu có nhiều số hạng thì phải ghép như thế nào mới
phù hợp. Đây là điểm mà công thức khó vận dụng hơn công thức biến đổi tích
thành tổng. Bài tập sau đây chỉ ra một dấu hiệu giải quyết phần nào băn khoăn
này.
Bài tập 2: Biến đổi tổng sau thành tích : A = sin a + sin 2a + sin 3a
Bài giải :
A = ( sin 3a + sin a ) + sin 2a = 2 sin 2a cos a + sin 2a = sin 2a(2 cos a + 1)

11


Ghi chú : Nếu muốn sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta thường ghép

các cặp sao cho nửa tổng hay nửa hiệu của các cung trong các cặp bằng nhau.
Bài tập tương tự : Biến đổi các tổng sau thành tích :
B = sin a + sin 2a + sin 3a + sin 4a ; C = cos a + cos 2a + cos 3a + cos 4a
Rút gọn các biểu thức :
cos a + 2 cos 2a + cos 3a
;
sin a + 2 sin 2a + sin 3a

C=

D=

cos a − cos 3a + cos 5a − cos 7 a
sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7 a

Chứng minh các đẳng thức sau :

1)

cos a + cos 5a + cos 9a
sin a + sin 3a + sin 5a
= cot 5a ; 2)
= tan 3a
sin a + sin 5a + sin 9a
cos a + cos 3a + cos 5a

+Bài tập tiếp theo làm rõ hơn sự khéo léo trong việc ghép đôi các số hạng
để biến đổi tổng thành tích phù hợp với bài toán :
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức : A = cos 85 0 + cos 35 0 − cos 25 0
Bài giải :

(

)

A = cos 85 0 + cos 35 0 − cos 25 0 = 2 cos 60 0 cos 25 0 − cos 25 0 = cos 25 0 − cos 25 0 = 0

Bài tập tương tự : Tính giá trị của các biểu thức :

π
5π
7π
2π
4π
6π
8π
+ cos
+ cos
; C = cos + cos + cos + cos
9
9
9
5
5
5
5
0
0
0
0

0
0
D = cos 40 + cos 50 + cos 60 − sin 40 − sin 50 − sin 60
E = cos 30 0 + cos 50 0 + cos 70 0 + cos 90 0 + cos110 0 + cos130 0
π
2π
3π
4π
5π
6π
F = 1 + cos + cos
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos
7
7
7
7
7
7
B = cos

+Bài tập tiếp theo vận dụng phối hợp hai công thức hạ bậc và biến đổi tổng
thành tích.
Bài tập 4: Biến đổi biểu thức sau thành tích : A = sin 2 3a − cos 2 4a − sin 2 5a + cos 2 6a
Bài giải :
1 − cos 6a 1 + cos 8a 1 − cos10a 1 + cos12a
−
−

+
2
2
2
2
1
1
1
1
= ( cos12a + cos10a ) − ( cos 8a + cos 6a ) = ⋅ 2 cos11a cos a − ⋅ 2 cos 7 a cos a
2
2
2
2
= cos a( cos11a − cos 7 a ) = cos a( − 2 sin 9a sin 2a ) = −2 cos a sin 9a sin 2a

A=

Bài tập tương tự : Tính giá trị của các biểu thức :
B = cos 2 20 0 + cos 2 30 0 + cos 2 40 0 + cos 2 50 0 + cos 2 60 0 + cos 2 70 0
C = sin 2 15 0 + sin 2 35 0 + sin 2 55 0 + sin 2 75 0
D = cos 2 15 0 + cos 2 35 0 + cos 2 55 0 + cos 2 75 0
E = cos 2 3 0 + cos 2 10 − cos 4 0 cos 2 0

+Như vậy tôi đã giúp các em vận dụng được 4 công thức lượng giác bằng
hệ thống những bài tập đơn giản. Cuối cùng tôi sẽ đưa ra một ghi chú mang tính
tổng kết cho bài học như sau :

12

Ghi chú : Khi gặp một biểu thức lượng giác, có một số dấu hiệu ta dễ dàng nhận ra
để sử dụng công thức lượng giác cho phù hợp như sau :
- Nếu có số hạng bậc cao ta sử dụng công thức hạ bậc.
- Nếu có các cung đặc biệt ta có thể loại bỏ bằng công thức cộng.
- Nếu có tích ta biến đổi thành tổng để rút gọn.
- Nếu có tổng ta biến đổi thành tích để rút gọn.
+Giáo viên ra đề kiểm tra 45’ để củng cố bài học đồng thời đánh giá kết quả sáng
kiến kinh nghiệm:
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục , đối với
bản thân , đồng nghiệp và nhà trường.
Từ những biện pháp đã nêu ở trên, bản thân tôi nhận thấy có kết quả rất khả quan.
Không khí lớp học sôi nổi , ở học sinh có sự tiến bộ rõ rệt về kết quả học tập. Các
em dần mạnh dạn, tự tin hơn, hứng thú với nội dung bài học hơn.
Minh chứng kết quả học tập của HS ( bài kiểm tra 45 phút) qua đề tài SKKN
Số lượng
học sinh
Số
đạt
Số
lượng
Số
điểm
Số lượng Tỉ
lượng
HS
Tỉ
lượng
Tỉ lệ
Tỉ lệ

HS đạt lệ
HS đạt
đạt
lệ
HS đạt
Lớp
(%)
(%)
điểm tốt (%) điểm
điểm (%) điểm
Sĩ số
khá
trung
yếu
bình
Lớp 10 C2
Sĩ số: 50

15

30

Lớp 10C3
Sĩ số: 46

11

Tổng số HS
(96 HS)

26

18

36

14

28

3

6

23,9 16

34,8

12

26,1 7

15,2

27,1 34

35,4

26

27,1 10

10,4

*Nhận xét bài kiểm tra, đánh giá HS đã làm:
-Đa số đều biết vận dụng các công thức lượng giác để giải được những bài toán
không quá phức tạp.
Vì vậy, tỉ lệ HS đạt điểm giỏi 26/96 (27,1(%); đạt điểm khá 34/96 (35,4(%);
đạt điểm trung bình 26/96(27,1(%)) cao, tỉ lệ HS đạt điểm yếu là rất thấp
10/96(10,4(%))

13


Do vậy, có thể nói đề tài SKKN nêu trên là thành công. HS phát huy được
tính tích cực, chủ động của mình trong tiết học, biết vận dụng các công thức lượng
giác để giải được những bài toán không quá phức tạp.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Sau khi tiến hành giảng dạy theo đề tài trên đây tôi thu được một số kết luận sau:
- Đa số học sinh khi đứng trước một biểu thức lượng giác đã nhận ra một số
dấu hiệu cơ bản để biết phải dùng công thức lượng giác nào là phù hợp từ đó đã
làm được bài toán.
- Những học sinh yếu kém khi được gợi ý, chỉ rõ công thức lượng giác có thể
tiến hành thay số vào để biến đổi không như trước đây chỉ ngồi chờ cô giáo chữa
bài.
- Học sinh đã nhớ được tất cả các công thức lượng giác, hiểu được ý nghĩa
của nó bằng cách làm nhiều bài tập. Không như trước kia cứ học vẹt rồi lại quên .
- Quan trọng hơn là học sinh đã hứng thú với phần lượng giác, điều đó hứa
hẹn rằng khi học phần giải phương trình lượng giác lớp 11 trong năm học tới các

em sẽ học tốt.
3.2. Kiến nghị, đề xuất.
a) Đối với sở giáo dục.
- Thường xuyên tổ chức cho giáo viên tham gia các lớp tập huấn về dạy học, giáo
dục.
- Đưa các sáng kiến kinh nghiệm đạt hiệu quả cao vào áp dụng trong các nhà
trường.
b) Đối với nhà trường:
Có thêm nhiều sách tham khảo và tạo điều kiện cho các em mượn sách về nhà.
Tăng cường bổ sung, hoàn thiện cơ sở vật chất, phương tiện, công nghệ - thông tin
nhằm hỗ trợ đắc lực cho quá trình đổi mới dạy học; tạo điều kiện thuận lợi, ủng hộ
tích cực cho sự chủ động sáng tạo của người GV và HS.
c) Đối với địa phương, gia đình:
- Gia đình cần quan tâm đến việc học hành của con cái mình nhiều hơn, Cần giành
nhiều thời gian giám sát việc học ở nhà của các em. Cần mua sắm sách vở, đồ dùng
học tập cần thiết và đầy đủ cho các em.
Với những điều tôi trình bày ở trên thật ra là quá trình vừa giảng dạy, vừa học hỏi,
vừa áp dụng trong thực tế. Qua đó thấy rằng ở mỗi học sinh đều tiềm ẩn một khả
năng hểu biết nhất định, nếu chúng ta biết quan tâm, tạo điều kiện cho các em phát
huy khả năng vốn có của mình, thì các em sẽ càng mạnh dạn, tự tin hơn. Chỉ có
như thế thì giờ học mới mang lại hiệu quả cao.

14


Vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn, chắc chắn đề tài sẽ có phần chưa thỏa
đáng, bản thân tôi mong được góp ý bổ sung của sở giáo dục và các bạn đồng
nghiệp. Hy vọng đề tài của tôi được phổ biến rộng trong nhà trường để các bạn
đồng nghiệp có thể xem là tài liệu tham khảo.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 25 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Thị Thu Phương

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Sách giáo khoa Đại số 10 ( cơ bản và nâng cao) – NXB Giáo dục.
2. Sách giáo viên Đại số 10 (cơ bản và nâng cao) -NXB Giáo dục
3.Giải toán lượng giác 10 -Trần Thành Minh (chủ biên)-NXB Giáo dục
4.Giải toán lượng giác chọn lọc 10-11-12 -Nguyễn Cam-NXB trẻ

16