Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số trong ôn thi THPT quốc gia tại trường THPT tĩnh gi

1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Năm học 2017 – 2018 là năm học thứ hai môn toán được thi theo hình thức
thi trắc nghiệm trong kỳ thi THPT quốc. Việc thay đổi hình thức thi từ tự luận sang
hình thức thi trắc nghiệm đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ không những cho các em học
sinh mà ngay bản thân tôi. Hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phải có một số cách
tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận.
Chẳng hạn ta xem xét ví dụ sau:
Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ:
y
Khẳng định nào sau đây đúng ?
3
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (�, 2)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (�, 2)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (2, 1)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1, �)
-2 O 1
x
Đối với ví dụ trên học sinh dễ dàng tìm ra đáp án A

-3

( x ) thì có thể kết luận
Bây giờ ta thử đặt vấn đề nếu cho đồ thị hàm số y  f �
về tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y  f ( x) không ?
Ta xét ví dụ sau:
y
Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên R là hàm số
y f�
( x) . Biết hàm số y  f �
( x) có đồ thị như hình

bên. Hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào
trong các khoảng sau ?
1
A. (0, �)
B. ( ,1)
3
O
1
C. (�, )
D. (�,0)
3
Với bài tập này học sinh sẽ gặp một số khó khăn sau:
- Nhầm lẫn đây là đồ thị hàm số y  f ( x )
( x)
- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị mà đây lại là đồ thị hàm số y  f �
Bài tập trên chỉ ở mức độ thông hiểu với những bài tập kiến thức ở mức độ
vận dụng thấp hoặc vận dụng cao thì học sinh sẽ gặp những khó khăn gì?
Chẳng hạn ta xét bài tập sau:
( ĐềThi KSCL lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
( x) như hình vẽ.
Cho hàm số y  f ( x ) . Đồ thị của hàm số y  f �
1


f(x) , m  min
f(x) , T  M  m .
Đặt M  max
 2;6
 2;6
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. T  f (0)  f (2)
B. T  f (0)  f (2)
C. T  f (5)  f ( 2)
D. T  f (5)  f (6)

y

O

2

6

Trước các vấn đề trên trong quá trình ôn thi THPT quốc gia năm 2018 tôi
thấy cần hệ thống lại một số lý thuyết, phân dạng bài tập, trình bày phương pháp
( x) nhằm rèn luyện kỹ
giải các dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số y  f �
năng giải bài tập và phát triển năng lực tư duy phân tích tổng hợp cho các em học
sinh chính vì vậy tôi chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập liên
( x) trong ôn thi THPT quốc gia tại trường THPT
quan đến đồ thị hàm số y  f �
Tĩnh Gia 4”
1.2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
- Đề tài nhằm mục đích cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa đồ thị hàm số
y f�
( x) với các vấn đề của hàm số y  f ( x) . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán
này, mang lại kết quả cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia 2017 –
2018.
- Đề tài nhằm mục đích phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự
học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn toán trong

trường phổ thông.
- Đề tài cũng góp phần hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm của
trường THPT Tĩnh Gia 4 và của Sở giáo dục đào tạo Thanh hóa.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Do bị giới hạn về số trang của sáng kiến kinh nghiệm nên trong đề tài này tôi
( x ) liên quan đến
chỉ trích ra và trình bày một số bài toán về đồ thị hàm số y  f �
hàm số y  f ( x ) như bài toán tính đồng biến, nghịch biến của hàm số; bài toán tìm
giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số; bài toán so sánh giá trị của hàm số; và một
vài bài toán khác
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ
( x) .
sách, báo, mạng internet về các bài toán liên quan đế đồ thị hàm số y  f �
2


- Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy; ôn thi THPT Quốc Gia ở
trường THPT Tĩnh Gia 4, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dò học sinh để
tìm hiểu tình hình học tập của các em.
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu
quả sử dụng đề tài nghiên cứu trong việc giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia năm học
2017 – 2018 của Trường THPT Tĩnh Gia 4.
1.5. Những điểm mới của SKKN.
Theo tôi được biết, đã có một số đề tài viết về những bài toán liên quan đến đồ
( x) . Nhưng theo quan điểm của cá nhân tôi trong tình hình hiện
thị hàm số y  f �
tại do sự đổi mới của hình thức thi trung học phổ thông quốc gia đối với môn toán,
đề tài của tôi là một quan điểm hoàn toàn mới về cách thức giải những bài toán như
thế, cụ thể :

- Thứ nhất, sáng kiến kinh nghiệm này trình bày một cách có hệ thống các dạng
( x) , việc phân dạng bài tập cũng cụ thể
bài tập liên quan đến đồ thị hàm số y  f �
và đa dạng hơn , hệ thống câu hỏi và bài tập nhiều, tôi cũng cập nhật nhiều bài tập
vừa thi thử của các trường THPT trong tỉnh Thanh Hóa giúp giáo viên các em học
sinh có thêm nguồn tài liệu cần thiết .
- Thứ hai, sáng kiến kinh nghiệm này đã đưa ra một cách thức, một phương
pháp hoàn toàn mới so với phương pháp tự luận truyền thống để giúp giáo viên và
học sinh hoàn thành nhanh nhất và đúng nhất những bài tập liên quan đến đồ thị
( x ) đề cập trong đề tài này.
hàm số y  f �
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2. 1. Cơ sở lí luận
Trong giải tích đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán.
( x) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ
Giữa hàm số y  f ( x ) và đạo hàm của nó y  f �
với nhau. Điển hình là mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm, mối liên
hệ giữ sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm…
+) Mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
Định lý:
Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K.
b) Nếu f '  x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K.
[1]
( x) ta nhận thấy:
Dựa vào đồ thì hàm số y  f �
( x)  0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số y  f �
( x)
- Nếu f �
nằm phía trên trục hoành.

3


( x)  0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số y  f �
( x)
- Nếu f �
nằm phía dưới trục hoành.
Từ đó ta có kết luận:
( x ) nằm phía trên
- Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số y  f �
trục hoành thì trên khoảng đó hàm số y  f ( x) đồng biến.
( x ) nằm phía dưới
- Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số y  f �
trục hoành thì trên khoảng đó hàm số y  f ( x) nghịch biến.
+) Mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm:
Nếu hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu
( x0 )  0 .
tại x0 thì f �
[1]
Từ đó ta suy ra:
Nếu hàm số y  f ( x ) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì đồ thị hàm số
y f�
( x) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( x0 ;0) .
Ngược lại, nếu hàm số y  f ( x ) liên tục, có đạo hàm tại x0 và đồ thị hàm số
y f�
( x) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( x0 ;0) đồng thời f �
( x) đổi dấu khi đi
qua x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số y  f ( x) .
( x) đổi dấu từ + sang - khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại

Ngoài ra nếu f �
( x) đổi dấu từ - sang + khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực
của hàm số y  f ( x ) , nếu f �
tiểu của hàm số y  f ( x ) .
+ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Định nghĩa:
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên D.
Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f ( x ) trên D nếu f ( x) �M , x �D
và x0 �D sao cho f ( x0 )  M . Kí hiệu M  mDax f ( x)
Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f ( x ) trên D nếu f ( x) �m, x �D
m  min
f ( x) .
x0 �D sao
f ( x0 )  m .
và
cho
Kí
hiệu
D
[1] Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số
* Từ việc lập BBT của hàm số f ( x) trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy
những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là
GTLN ( GTNN ) của hàm số .
* Nếu hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn  a; b  thì ta có thể tìm GTLN
và GTNN theo các bước sau :
'
'
- Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên đoạn  a; b  mà tại đó f ( x) bằng 0 hoặc f ( x) không
xác định.
- Tính các giá trị f (a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )

- Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) của hàm số f ( x) trên
đoạn  a; b  .
4


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Tĩnh Gia 4, tôi thấy rằng trong các đề thi
TNKQ hiện nay xuất hiện khá nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị hàm số
y f�
( x) và chỉ ra các tính chất của hàm số y  f ( x ) . Khi học sinh giải một bài toán
( x ) thì các em thường gặp phải một số vấn
nào đó liên quan đến đồ thị hàm số y  f �
đề khó khăn sau:
Thứ nhất là không ít học sinh do không nắm được các kiến thức liên quan và
không rèn luyện thường xuyên nên yêu cầu trên trở thành một yêu cầu khó. Một số học
( x ) với đồ thị hàm số y  f ( x ) .
sinh còn nhầm lẫn đồ thị hàm số y  f �
Thứ hai là vẫn còn một số học sinh nắm được phương pháp giải toán nhưng yếu
( x) . Nên khi giải các bài
về kỹ năng đọc đồ thị mà đây lại là đồ thị hàm số y  f �
toán sẽ cho kết quả sai, hoặc các em phải mất rất nhiều thời gian thì mới hoàn thành bài
giải.
Thứ ba là đa phần học sinh yếu về khả năng phân tích, định hướng tìm lời giải
cho bài toán. Vì thế khi đứng trước một bài toán mới các em rất lúng túng trong việc
tìm hướng giải cho bài toán đó.
Những khó khăn kể trên đối với học sinh sẽ được tháo gỡ nếu học sinh nắm
( x) .
được phương pháp giải từng dạng bài tập về đồ thị hàm số y  f �
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề.
( x ) và tính đơn điệu của hàm số y  f ( x )

2.3.1. Dạng 1. Đồ thị hàm số y  f �
y
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên � và
( x) là đường cong như hình
có đồ thị hàm số y  f �
bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên khoảng
-2 -1 O 1
2
(1;1)
x
B. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên khoảng
(1;2)
C. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên khoảng (2;1)
D. Hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên khoảng (0;2)
Lời giải:
Cách 1: sử dụng bảng biến thiên.
( x) ta có bảng biến thiên như sau:
Từ đồ thị của hàm số y  f �
x �
�
0
2
2
,
y
0
+
0
0

+
y
f (0)
5


f ( 2)
Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D

f (2)

( x)
Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y  f �
( x) nằm trên trục hoành (có thể tiếp
- Nếu trong khoảng  đồ thị hàm số y  f �
xúc) thì y  f ( x ) đồng biến trên  .
( x) nằm dưới trục hoành (có thể tiếp
- Nếu trong khoảng  đồ thị hàm số y  f �
xúc) thì y  f ( x ) nghịch biến trên  .
( x) vừa có phần nằm dưới trục hoành
- Nếu trong khoảng  đồ thị hàm số y  f �
vừa có phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó.
( x ) trên khoảng (0;2) ta thấy đồ thị hàm số
Quan sát đồ thị hàm số y  f �
y f�
( x) phần nằm dưới trục hoành nên ta chọn đáp án D
Ví dụ 2. ( Đề minh họa của Bộ - 2018):
Cho hàm số y  f (x). Hàm số y  f   x  có đồ thị như
hình bên. Hàm số y  f 2  x đồng biến trên khoảng
A. 1;3.

B. 2; .
C. 2;1.

D. ; 2.
[3]

Lời giải:
Hàm số y  f (2  x) đồng biến
� y�
f�
(2  x)  0 � f �
(2  x)  0 . Nhìn đồ thị
� 2  x  1 hoặc 1  2  x  4 � x  3 hoặc 2  x  1
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục
( x ) như hình vẽ
trên � và có đồ thị của hàm số y  f �
1
bên. Xét hàm số g ( x)  f ( x)  x 2  x  2018 .
2
-3
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (1;3)
B. Hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (3;0)
C. Hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (0;3)
D. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (0;3)

y
2
3

O
-2
-4

Lời giải:
6


Vẽ đường thẳng (d): y   x  1 đi qua các điểm (-3; -2) , (1; -2), (3;-3)
y
( x)  f �
( x)  x  1  f �
( x)  (  x  1)
Ta có g �
Dựa vào đồ thi ta nhận thấy:
2
( x)
+) Trên khoảng (-3; 1) đồ thị của hàm số y  f �
nằm phía dưới đường thẳng y   x  1
-3
O
�
�
f
(
x
)



x

1
�
g
(
x
)

0
nên
. Suy ra trên khoảng
-2
(-3; 1) hàm số g ( x) nghịch biến.
( x)
+) Trên khoảng (1; 3) đồ thị của hàm số y  f �
-4
nằm phía trên đường thẳng y   x  1
( x)   x  1 � g �
( x)  0 . Suy ra trên khoảng
nên f �
(1; 3) hàm số g ( x) đồng biến.
Do đó ta chọn đáp án A
Bài tập luyện tập.
Bài tập1. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên � và có
( x) như hình vẽ . Mệnh đề nào
đồ thị của hàm số y  f �
sau đây đúng?
A. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên khoảng
(�; 2);(0; �) .

B. Hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên khoảng (2;0)
C. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên khoảng (3; �)
D. Hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên khoảng (�;0)

3

y

-3

-2

O

x

Đáp án: Chọn đáp án C
Bài tập 2. (Thi HK1 2017 -2018, THPT Lê Quý Đôn – Quảng Trị)
Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên � và
y
( x) như hình vẽ bên.
có đồ thị của hàm số y  f �
2
Xét hàm số g ( x)  f ( x  2) . Mệnh đề nào sau
-1
đây sai?
O
A. Hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (2; �) .
B. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (1;0)
-2

C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (�; 2)
D. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (0;2) .

2

Đáp án: Chọn đáp án B

7


Bài tập 3. ( Thi HK1 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Bến tre)
4
3
2
Cho hàm số f ( x)  ax  bx  cx  d ( a �0 ) .
( x) và hàm
Biết rằng hàm số f ( x) có đạo hàm là f �
( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận
số y  f �
xét nào sau đây là sai?
A. Trên (2;1) thì hàm số f ( x) luôn tăng.
B. Hàm f ( x) giảm trên đoạn  1;1 .
C. Hàm f ( x) đồng biến trên khoảng (1; �) .
D. Hàm f ( x) nghịch biến trên khoảng (�; 2)
-2

Đáp án: Chọn đáp án B
Bài tập 4. Cho hàm số y  f ( x) liên tục và xác định
( x) và hàm số
trên �. Biết f ( x) có đạo hàm f �

y f�
( x) có đồ thị như hình vẽ. Xét trên ( ; ) ,
khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng ( ; ) .
B. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng ( ; ) .

C. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng ( ;  )
2

và ( ; ) .
2
D. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (0;  ) .

y

2

O

-1
y




2



1

O
-1


2



x

Đáp án: Chọn đáp án D
Bài tập 5. ( Thi thử 2017 – 2018, THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ)
y
 x  . Hỏi đồ thị
Hình bên là đồ thị của hàm số y  f �
hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào dưới
đây?
A.  2;� .
B.  1;2  .
C.  0;1 .
D.  0;1 và  2;� .

O

1

2

Đáp án: Chọn đáp án A

8


( x ) và cực trị của hàm số y  f ( x)
2.3.2. Dạng 2. Đồ thị hàm số y  f �
Ví dụ 1. (Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Lương Văn Tụy – Ninh Bình)
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên � và có đồ
y
( x ) là đường cong trong hình bên.
thị hàm số y  f �
Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu tại x  0
B. Hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu tại x  2
O
-2
C. Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại x  2
D. Cực tiểu của f ( x) nhỏ hơn cựa đại
Lời giải
( x) ta thấy f �
( x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua
Từ đồ thị hàm số y  f �
( x) đổi dấu từ âm sang
2 nên x  2 là điểm cực đại của hàm số y  f ( x ) , f �
dương khi đi qua 0 nên x  0 là điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x )
Bảng biến thiên của hàm số y  f ( x )
x
f�
( x)

�

2
+

0

�

0
-

0

+

f ( 2)
f ( x)
f (0)
Từ bảng biến thiên ta thấy cực tiểu của f ( x) nhỏ hơn cựa đại của f ( x)
Vậy ta chọn đáp án B
Ví dụ 2. Hàm số y  f ( x ) liên tục trên khoảng  ,
( x) trên  như hình
biết đồ thị của hàm số y  f �
vẽ. Tìm số cực trị của hàm số g ( x)  f ( x  1) trên
?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

y

O

Lời giải
9


( x) cắt trục hoành tại 1 điểm
Ta thấy đồ thị hàm số y  f �
( x)  f �
( x  1)
Ta có g �
( x)  f �
( x  1) có được bằng cách thực hiện phép tịnh
Do đó đồ thị hàm số g �
( x) theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.
tiến đồ thị hàm số y  f �
( x)  f �
( x  1) vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm. Nên hàm
Khi đó đồ thị hàm số g �
số g ( x)  f ( x  1) có 1 cực trị.
Ta chọn đáp án B.
Ví dụ 3. (Đề KSCL năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thái Bình)
y
Hàm số y  f ( x ) liên tục trên khoảng �, biết đồ
( x) trên �như hình vẽ. Hàm
5
thị của hàm số y  f �

2017  2018 x
số y  f ( x ) 
có số điểm cực trị là
2017
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
2
1
Lời giải
�
2017  2018 x �
2018
�
Ta có y�
 �f ( x ) 
( x) 
� f �
2017
2017
�
�

O
y
5

2017
2017

0� f�
( x) 
2018
2018
2
2018
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y 
(d)
1
2017
( x) tại 4 điểm phân biệt,
cắt đồ thị hàm số y  f �
O
�
y

0
do đó phương trình
có 4 nghiệm phân biệt.
2017  2018 x
Vậy hàm số y  f ( x ) 
có 4 điểm cực trị.
2017
Do đó ta chọn đáp án A.
0� f�
( x) 
Khi đó y�

d

Bài tập luyện tập.
10


Bài tập 1. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên R và
( x) như hình vẽ bên.
có đồ thị của hàm số y  f �
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên (�;2)
B. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên (�; 1)
C. Hàm số y  f ( x ) có ba điểm cực trị.
D. Hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên (0;1)

y

O
-2

-1

1

Đáp án: Chọn đáp án C
Bài tập 2. ( Thi thử 2017 – 2018 , THPT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh)
Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên R và có đồ thị
( x) như hình vẽ .
của hàm số y  f �
1
Đặt g ( x)  f ( x)  x 2 . Hàm số g ( x) đạt cực đại
2

tại điểm nào sau đây.
A. x  0
B. x  1
C. x  a
D. x  2

y

O
a

-1

1

2

Đáp án: Chọn đáp án B
Bài tập 3. ( Toán học tuổi trẻ Số 483 (T9-2017))
( x) , hình vẽ
Hàm số y  f ( x ) có đạo hàm f �
( x) . Hỏi hàm số
bên là đồ thị của hàm số y  f �
y  f ( x ) có bao nhiêu cực ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

y

-1

O

2

Đáp án: Chọn đáp án B
[2]

Bài tập 4. ( Thi thử lần 1 năm học 2017 – 2018, THPT Chuyên Lam Sơn)
11


Cho hàm số y  f ( x ) , có đạo hàm f '( x) . Hàm số
y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ:
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau ?
A. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên  �;1 .
B. Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại x  1 .
C. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có một điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có hai điểm cực trị

y

O
3

1

Đáp án: Chọn đáp án C

( x) ,
Bài tập 5: Hàm số y  f ( x ) có đạo hàm f �
( x ) . Tìm
hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f �
điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x) trên đoạn
 0;3 ?
A. x  0 và x  2 B. x  1 và x  3
C. x  2
D. x  0

y

O

1

2

3

Đáp án: Chọn đáp án C
( x ) và so sánh các giá trị của hàm số
2.3.3. Dạng 3. Đồ thị hàm số y  f �
y  f ( x ) , tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f ( x )
Ví dụ 1. ( Thi KSCL năm học 2017 – 2018, Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
y
Cho hàm số y  f ( x ) . Đồ thị của hàm số
y f�
( x) như hình vẽ bên.
f(x) , T  M  m .

Đặt M  max f(x) , m  min
2;6
 2;6





Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. T  f (0)  f (2)
B. T  f (0)  f (2)
C. T  f (5)  f ( 2)
D. T  f (5)  f (6)

O

2

6

Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x 
ta lập được bảng biến thiên của hàm số y  f  x 
12


x

-2

0

y'

+

2


0

y

5

0

+

6


0

f (0)

f (5)
f (2)

0

Ta lại có

f '  x  dx  S
�

5

1

2

 f  0  f  2 ; �
f '  x  dx  S 2  f  5   f  2 
2

Dựa vào đồ thị ta có: S2  S1 � f  5   f  0  � M  f  5  (loại A và B)
Ta cần so sánh f  2  và f  6 
0

5

2

6

f '  x  dx  f  0   f  2   S3 ; �
f '  x  dx  f  5   f  6   S 4
Tương tự ta có �
Quan sát đồ thị suy ra

S3  S4 � f  0   f  2   f  5   f  6  � f  6   f  2   f  5   f  0   0
Do đó f  2   f  6  � m  f  2  .
Vậy T  f (5)  f ( 2) . Do đó ta chọn đáp án C
Ví dụ 2. ( Thi thử 2017 – 2018, THPT Ba Đình – Thanh Hóa)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm là y = f ’(x). Đồ
y
thị của hàm số y = f ’(x) như hình vẽ bên.
Biết f(0) + f(3) = f(2) + f(5). Giá trị nhỏ nhất,
giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn  0;5 lần lượt
O
là.
2
A. f(1), f(5)
B. f(2), f(0)
C. f(2), f(5)
D. f(0), f(5)

5

Lời Giải
( x) ta có bảng biến thiên của hàm số y  f ( x )
Dựa vào đồ thị hàm số y  f �
x

0

f�
( x)

3

2

-

0

+

0

f (0)

5
+
f (5)

f ( x)

f (3)
f (2)

f(x)=f(2)
Từ bảng biến thiên suy ra min
 0;5
13


Theo bài ra f(0) + f(3) = f(2) + f(5) � f(5) - f(3) = f(0) - f(2)
Mà f(3) > f(2) � f(5) > f(0)

f(x)=f(5) . Vậy chọn đáp án C
Suy ra max
 0;5
Ví dụ 3. ( Đề thi THPT Quốc Gia 2016 – 2017, Bộ GD&ĐT)
( x)
y
Cho hàm số y  f ( x ) . Đồ thị hàm số y  f �
2
như hình bên. Đặt g ( x)  2 f ( x)  ( x  1) . Mệnh
4
đề nào dưới đây đúng ?
2
A. g (1)  g ( 3)  g (3)
B. g (3)  g (3)  g (1)
B. g ( 3)  g (3)  g (1)
-3
O 1
g
(1)

g
(3)

g
(

3)
B.
-2

3

[3]
Lời giải
( x)  2 f �
( x)  2( x  1)  2[ f �
( x)  ( x  1)]
Ta có g �
Biểu diễn lên hình vẽ đường thẳng y  x  1

y

Như vậy đường thẳng y  x  1 sẽ tạo với đường
( x ) hai miền.
cong y  f �

4

+ Với miền gạch ngang ta thấy:
f�
( x)  ( x  1) �0 . Nếu gọi S1 là diện tích của miền
1

1

3

3

[f �

( x)  ( x  1)]dx  �
g�
( x)dx
này thì 2S1  2 �

2
-3

 g (1)  g ( 3) � g (1)  g (3)  2S1

O

1

3

-2

+ Với miền gạch đứng ta thấy:
f�
( x)  ( x  1) �0 . Nếu gọi S2 là diện tích của miền
3

3

1

1

[( x  1)  f �

( x)]dx   �
g�
( x)dx
này thì 2S 2  2 �
 g (3)  g (1) � g (1)  g (3)  2 S 2
Dựa vào hình vẽ dễ dàng nhận thấy S1  S2  0 � g (1)  g (3)  g (3)
Vậy ta chọn đáp án D
Bài tập luyện tập
Bài tập 1. ( Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Tĩnh Gia 3- Thanh Hóa)

14


Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị hàm số
y f�
( x) như hình bên. Gọi M và m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x )
� 9�
0;
trên đoạn �
. Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?
� 2�
�
�9 �
A. M  f � � ; m  f (4)
�2 �
B. M  f (0) ; m  f (4)
C. M  f (0) ; m  f (1)
�9 �
D. D. M  f � � ; m  f (1)

�2 �
Đáp án: Chọn đáp án B
Đ
Bài tập 2. Cho hàm số y  f ( x ) xác định và
( x)
liên tục trên  2;2 , có đồ thị của hàm số y  f �
như hình bên. Tìm giá trị x0 để hàm số y  f ( x )
đạt giá trị lớn nhất trên  2;2 .
A. x0  2
B. x0  1
C. x0  2
D. x0  1 .

y

O 1

4 9/2

2

x

y

-2

-1

O 1 2

Đáp án: Chọn đáp án D
Bài tập 3. (Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa)
Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị hàm số
y f�
( x) là như hình vẽ. Xét hàm số
y
1
3
3
g ( x)  f ( x)  x 3  x 2  x  2017
3
3
4
2
Trong các mệnh đề dưới đây:
(I) g (0)  g (1)
g(x)=g(-1)
(II) min
 3;1
-1
O1
-3
(III) Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (-3;1)
-2
g(x)=  g(-3),g(1)
(IV) max
 3;1
Số mệnh đề đúng là:
A. 2

B. 1
C. 3

D. 4
15


Đáp án: Chọn đáp án D

Bài tập 4. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị hàm
( x) là như hình bên. Biết rằng
số y  f �
f (0)  f (1)  2f(2)  f(4)  f(3) Gọi M và m lần lượt
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  f ( x ) trên đoạn  0;4 . Chọn phương án đúng?
A. M  f  2  ; m  f (4)
B. M  f (2) ; m  f (0)
C. M  f (1) ; m  f (4)
D. D. M  f (2) ; m  f (1)

y

O

1 2

4

Đáp án: Chọn đáp án A
Bài tập 5 . ( Đề thi thử 2016 – 2017, THPT chuyên Lam Sơn)

Cho các số a, b, c, d thỏa mãn 0  a  b  c  d và
y
( x ) có đồ thị như
hàm số y  f ( x ) . Biết hàm số y  f �
hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên đoạn  0;d  .
O a
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. M  m  f  0   f (c)
B. M  m  f  d   f (c)
C. M  m  f  b   f (a)
D. D. M  m  f  0   f (a)
Đáp án: Chọn đáp án A

b

c

d

( x)
2.3.4. Một số dạng bài tập khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f �
Ví dụ 1. ( Đề thi thử 2017 – 2018, THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh) y
Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đồ thị
( x ) như hình vẽ.
hàm số y  f �
x2
Đặt g ( x)  f ( x)  . Điều kiện cần và đủ đề đồ thị
1
2

O
-2

1
-2

16


hàm số y  g ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là:
�g (0)  0
�g (0)  0
�
A. �
B. �g (1)  0
�g (1)  0
�g (1).g( 2)  0
�
�g (0)  0
�g (0)  0
�
C. �
D. �g (2) �0
�g (2)  0
�g (1) �0
�
Lời giải
y

x

Vẽ thêm đường thẳng
( hình bên)
y
( x)  f �
( x)  x .
Ta có g �
(0)  f �
(0)  0  0 ,
Dựa vào đồ thị ta suy ra: g �
g�
(1)  f �
(1)  1  0 , g �
(2)  f �
(2)  2  0
1
Dựa vào đồ thị ta thấy:
O 1
-2
( x)  x
+) Với x �(�; 2) �(0;1) thì f �
� g�
( x)  0
-2
( x)  x
+) Với x �(1; �) �(2;0) thì f �
� g�
( x)  0
Từ đó ta có bảng biên thiên của hàm số y  g ( x ) như sau:
x
�

�
-2
0
1
g�
( x)
0
+
0
0
+
�
�
g (0)
g ( x)
g ( 2)

g (1)

Dựa vào bảng biên thiên ta suy ra điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số
�g (0)  0
�
y  g ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là �g (1)  0
.
�g (1).g(2)  0
�
Vậy ta chọn đáp án B.
y
Ví dụ 2 ( Đề thi thử THPT QG 2016 – 2017, Sở GD&ĐT Hà Nội)

-1 O

1
17

-3


3
2
Cho hàm số y  f ( x)  ax  bx  cx  d với
(a, b, c  �, a 0) . Có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị
(C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có
( x ) cho bởi
hoành độ âm và đồ thi hàm số y  f �
hình vẽ bên. Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị (C) và trục hoành.
27
A. S  9
B. S 
4
21
5
C. S 
D. S 
4
4
Lời giải
2
( x)  3ax  2bx  c .

Ta có f �
( x) đối xứng nhau qua trục tung,
Ta thấy đồ thị hàm số y  f �
( x) là hàm chẵn nên f �
(1)  f �
(1) � b  0
suy ra y  f �
(0)  3 � c  3
Mặt khác f �
(1)  3a  c  0 � a  1 � f �
( x)  3x 2  3
Do f �
f�
( x )dx  �
(3x 2  3)dx x3  3x  C
Ta lại có f ( x)  �

Giả sử đồ thi (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ x0
� f�
( x0 )  0 � 3x02  3  0 � x0  �1 , vì x0 <0 nên x0 = -1
� f (1)  4 � C  2
3
Vậy ( C) có phương trình y  f ( x )  x  3 x  2
x  2
�
3
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) với Ox x  3x  2  0 � �
x 1
�
1

27
S

x 3  3x  2 dx 
Diện tích hình phẳng cần tìm là
�
4
2
Từ đó ta chọn đáp án D
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hàm số
y f�
( x) như hình vẽ , biết f (a)  0 .
Hỏi phương trình f ( x)  0 có nhiều nhất bao
nhiêu nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

y

a

b

O

c

x

18


Lời giải
( x) ta có bảng biến thiên của hàm số y  f ( x)
Dựa vào đồ thị hàm số y  f �
x
�
�
a
b
c
f�
( x)
0
+
0
0
+
�
�
f(b)
f( x)

f(a)
f(c)

Để phương trình f ( x)  0 có nhiều nghiệm nhất thì đồ thị hàm số y  f ( x )
phải cắt trục hoành tại nhiều điểm nhất.

Theo giả thiết f (a)  0 � f (c)  0 . Khi đó phương trình f ( x)  0 có nhiều
nhất 2 nghiệm Vậy ta chọn đáp án B.
* Vì lý do hạn chế về mặt số lượng trang của đề tài, tuy ý tưởng vẫn đang còn
nhiều về các bài toán khác nhưng tôi xin dừng ở đây. Xin cảm ơn !
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trong quá trình dạy học thực tiễn ôn thi THPT quốc gia năm 2018 tại lớp hai
lớp 12C1, 12C6 tôi nhận thấy kết quả đạt được như sau :
Trước khi áp dụng đề tài vào giảng dạy :

Lớp

Sĩ số

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

12C1

40

2,5 %

20,0 %

75,0 %

2,5 %

0%

12C6

39

0%

15,4 %

61,5 %

23,1 %

0%

Sau khi áp dụng đề tài SKKN vào giảng dạy :

Lớp

Sĩ số

Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

12C1

40

12,5 %

40,0 %

47,5 %

0%

0%

12C6

39

2.6 %

64.1 %

25.6 %

7.7 % 0 %

Qua hai bảng kết quả trên đây cho thấy có sự tiến bộ rất lớn của học sinh trong
quá trình học tập môn toán khi được tiếp cận đề tài SKKN này. Đây là một minh
19


chứng cho thấy chất lượng dạy và học sẽ được cải thiện và nâng cao trong thời gian
tới, giúp các em có thể tự tin bước vào kỳ thi THPT quốc gia năm 2018 sắp tới.
Tuy nhiên việc nghiên cứu, áp dụng ở mức độ ban đầu nên kết quả còn nhiều
hạn chế. Đòi hỏi phải tiếp tục đầu tư thời gian và trí tuệ trong một thời gian dài để
bổ sung, vận dụng linh hoạt, sáng tạo các dạng toán thiết thực và hữu ích trong việc
học tập và giảng dạy, nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinh, chấy lượng
giáo dục của nhà trường.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận:
- Sáng kiến kinh nghiệm đã thể hiện được một số dạng toán liên quan đến đồ thị
( x ) và phương pháp giải mỗi dạng. Việc áp dụng đề tài SKKN này
hàm số y  f �
trong dạy ôn thi THPT quốc gia đã mang lại cho học sinh cơ hội học tập nhiều hơn,
phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh.
- Sáng kiến kinh nghiệm đã góp phần thay đổi tư duy từ tự luận sang trắc
( x) là một dạng toán tổng
nghiệm. Dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số y  f �
hợp nên giúp học sinh thấy được mỗi liên hệ giữa các kiến thức đã học, từ đó giúp
học sinh hình thành tư duy phân tích, tổng hợp.
- Phần trình bày của sáng kiến kinh nghiệm chắc chắn không tránh khỏi những
thiếu sót, kính mong quý thầy cô đóng góp, bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm được

hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị:
- Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ
thống những bài tập, xây dựng quy trình phương pháp giải từng dạng bài tập.
- Giáo viên cần khuyến khích học sinh biết cách xây dựng hệ thống bài tập liên
quan đến bài giảng.
- Sở GD&ĐT Thanh Hóa nên phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng
thực tiễn cao, đồng thời viết thành sách hoặc tập san để học sinh và giáo viên tham
khảo.

20


XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI THỰC HIỆN

Bùi Anh Hiếu

21