MỘT số bài TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT đồ THỊ của đạo hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT ĐỒ THỊ CỦA
ĐẠO HÀM

Người thực hiện: Nguyễn Thị Bé
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


MỤC LỤC
Nội dung
1- PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2- PHẦN NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1, Đối với giáo viên
2.2.2, Đối với học sinh
2.3 Một số bài toán khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm.
2.3.1,Đồ thị hàm số y = f’(x) và tính đồng biến nghịch biến của
hàm số y = f(x).

2.3.2, Đồ thị hàm số y = f’(x) và cực trị của hàm số y = f(x).
2.3.3, Đồ thị của hàm số y = f’(x) và bài toán liên quan đến kiến
thức tích phân.
2.3.4, Một số bài tập khác.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3- PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
3.2 Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN được xếp loại cấp tỉnh

Trang
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
6
6
10
12
13
14
15

15
16
16
16

2


1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Trong giải tích, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài
toán. Giữa hàm số f(x) và đạo hàm của nó f’(x) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ.
Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài
việc biểu diễn dưới dạng các công thức thì nó còn được thể hiện thông qua đồ
thị. Việc dựa vào đồ thị của f’(x) để tìm ra được các tính chất của hàm số f(x)
đưa đến cho chúng ta những điều thú vị cũng như những bài toán hay.
Trong các đề thi hiện nay, xuất hiện nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ
thị của hàm số f’(x) và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như
cực trị và một số tính chất khác của hàm số f(x). Một yêu cầu mặc dù không
phải mới mẻ nhưng giống như hầu hết các bài toán khác nếu học sinh không
nắm vững các kiến thức liên quan và rèn luyện thường xuyên thì nó trở thành
một yêu cầu khó.
Trong quá trình tự học, tự tìm tòi nghiên cứu các dạng bài tập để ôn tập
cho học sinh lớp 12 chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia sắp tới, tôi rất
thích dạng bài tập đọc đồ thị hàm số. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài: “Một số
bài toán khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm” nhằm góp một phần nho
kinh nghiệm của mình trong quá trình nâng cao trình độ chuyên môn cùng các
bạn bè đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Nhìn nhận rõ bản chất của hình thức thi trắc nghiệm môn Toán.

- Làm cơ sở lý luận, cơ sở đánh giá cho các đề ôn tập.
- Vận dụng vào thực tế nhà trường trên cơ sở đối tượng học sinh, phương
tiện dạy học hiện có.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
* Đề tài nghiên cứu về các bài tập khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm.
* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch
giáo dục ở trường THPT, các định hướng và quan điểm về đổi mới phương
pháp dạy học, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Yên Định II.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
Nghiên cứu một số tài liệu về cách ra đề trắc nghiệm, đổi mới PPDH môn
toán, tài liệu nghiên cứu cách kiểm tra đánh giá học sinh… để xây dựng lý luận
cho đề tài.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
Giảng dạy trực tiếp, ra đề kiểm tra từ đó đánh giá nhận xét cách làm, chất
lượng đề. Quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút ra bài học.
3


- Phương pháp thống kê, xử lý dữ liệu
Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá trước và sau
khi học theo hệ thống bài tập được khai thác.

4


2. PHẦN NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Không ngừng tìm tòi, phát hiện vấn đề, nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ,
nhiều khía cạnh để từ đó tăng khả năng tư duy nhạy bén là một điều mà môn

học nào cũng đều hướng tới. Đặc biệt Toán học vốn đã mang trong nó rất nhiều
vẻ đẹp tiềm ẩn, là công cụ sắc bén cho nhiều ứng dụng thực tiễn cũng như trong
các môn học khác. Để làm được điều đó, để truyền lại cho học sinh cái nhìn
tổng thể, sâu sắc bản chất của vấn đề thì việc rèn luyện kĩ năng khai thác bài
toán là vô cùng quan trọng. Lý thuyết phải có thực hành để kiểm chứng và vận
dụng.
Trước đây trong các đề thi tự luận luôn luôn có câu khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một bài toán tổng hợp bao gồm: xét tính đơn điệu,
cự trị, tiệm cận…..khi chuyển sang đề thi dạng trắc nghiệm bài toán này được
phân chia thành nhiều câu nho, mỗi loại lại là một đề tài vô cùng đa dạng và
phong phú, trong đó bài toán đọc đồ thị hàm số là một bài toán rất hay và thú vị.
2.2 Thực trạng vấn đề
2.2.1, Đối với giáo viên
Như chúng ta đã biết bất kì vấn đề nào mới được đưa ra cũng cần phải có
thời gian để thích ứng cũng như kiểm nghiệm. Chính vì thế Bộ Giáo dục và Đào
tạo đã có lộ trình rõ ràng trong việc chuyển từ hình thức thi tự luận môn toán
sang hình thức thi trắc nghiệm, thể hiện rõ nhất là nội dung trong đề thi: năm
đầu tiên hoàn toàn là nội dung chương trình lớp 12, năm thứ hai có cả lớp 11 và
cuối cùng là có toàn bộ nội dung chương trình phổ thông. Điều đó cũng có mục
đích là tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có thời gian thích ứng.
Đối với giáo viên cũng cần có thời gian để làm quen và cập nhật theo
hình thức thi mới. Cách rèn luyện kĩ năng cho học sinh cũng cần phải tư duy và
nhìn nhận lại. Tuy vậy, không phải giáo viên nào cũng có đủ điều kiện, đủ tư
duy để nắm bắt kịp thời. Chưa kể cách giảng dạy, cách rèn kĩ năng theo kiểu cũ
đối với một số giáo viên lâu năm đã ăn sâu vào tiềm thức, không phải nói đổi là
đổi ngay được.
Để có thể nắm bắt theo kịp được sự đổi mới này thì bản thân mỗi giáo
viên phải không ngừng học hoi, có ý chí phấn đấu vươn lên, tự trau dồi kiến
thức và đặt địa vị mình vào mỗi học sinh.
2.2.2, Đối với học sinh

Tuy rằng đã qua một năm thực hiện nhưng các em học sinh vẫn còn chưa
tiếp cận hết được với các dạng bài tập toán được đưa ra dưới hình thức trắc
nghiệm. Tài liệu trên mạng tuy rất nhiều nhưng không phải em nào cũng có điều
kiện để nghiên cứu. Cộng thêm với cách tư duy cũng có ít nhiều sự thay đổi
khiến các em bước đầu vẫn còn nhất thời chưa thích nghi tốt với đề thi trắc
nghiệm toán.
5


2.3 Một số bài toán khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm
Hàm số là một phần đơn vị kiến thức được xuất hiện khá nhiều trong các
đề thi, chiếm nội dung tương đối lớn trong giải tích 12. Vì thế bài tập cũng rất
phong phú và đa dạng. Sau đây tôi xin đưa ra một số phân dạng bài toán khai
thác tính chất đồ thị của đạo hàm.
2.3.1, Đồ thị hàm số y = f’(x) và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
y = f(x)
a, Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức sau [1]
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
* Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến (tăng) trên K
* Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến (giảm) trên K
Dựa vào đồ thị hàm số f’(x) ta nhận thấy:
* f’(x) > 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm
phía trên trục hoành
* f’(x) < 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm
phía dưới trục hoành.
Từ đó ta có kết luận:
* x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trên trục
hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) đồng biến (tăng).
* x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f’(x) nằm phía dưới trục
hoành thì trong khoảng đó hàm số f(x) nghịch biến (giảm)

b, Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; e]. Đồ thị
hàm số y = f’(x) như hình vẽ sau đây
y
a b Oc

d

e
x

Hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến và lập bảng biến thiên của
hàm số y = f(x) trên khoảng (a; e)
Hướng dẫn
6


Trên các khoảng (a; b) và (c; d) đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía dưới trục
hoành, tức là f’(x) < 0 nên trên hai khoảng này hàm số y = f(x) nghịch biến.
Trên các khoảng (b; c) và (d; e) đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía trên trục
hoành, tức là f’(x) > 0 nên trên hai khoảng này hàm số y = f(x) đồng biến.
Nói một cách ngắn gọn, dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có thể biết được
dấu của f’(x) để từ đó kết luận được sự biến thiên của hàm số y = f(x)
Trên đoạn [a; e], f’(x) = 0 ⇔ x = a, x = b, x = c, x = d, x = e. Ta lập được
bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; e] như sau:
A

b

c

d

f ’(x) 0

− 0

+ 0

− 0

x

f (a)

e
+

f (c)

f (x)

f (b)

0
f (e)

f (d)

Nhận xét: Khi dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có thể biết được dấu của

f’(x) và những điểm mà tại đó f’(x) = 0. Điều này giúp ta lập được bảng biến
thiên của hàm số y = f(x). Trong nhiều trường hợp, bảng biến thiên cho ta cái
nhìn trực quan hơn về hàm số y = f(x).
Ví dụ 2 (Đề thi tham khảo THPT Quốc gia 2018 – Bộ GD và ĐT) [2]. Cho
hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình sau
y
−
1

0

1

4

x

Hàm số y = f(2 - x) đồng biến trên khoảng
A. (1; 3)

B. (2; + ∞ )

C. (-2; 1)

D. (- ∞ ; -2)

Hướng dẫn
Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta suy ra f’(x) < 0 ⇔ x < -1 hoặc 1 < x < 4.
Đặt g(x) = f(2 - x), ta có: g’(x) = (2 - x)’f’(2 - x) = -f’(2 - x)
Để hàm số g(x) = f(2 - x) đồng biến thì g’(x) > 0 ⇔ f’(2- x) < 0 ⇔ x > 3

hoặc -2 < x < 1
7


Vậy hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên các khoảng (-2; 1) và (3; + ∞ ). Chọn
đáp án C
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị của hàm số y
= f’(x) cho ở hình sau:
y
− 01
1−
2x
−
2
4

Xét hàm số g(x) = f(x2 - 2). Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số g(x) đồng biến trên (2; + ∞ )
B. Hàm số g(x) nghịch biến trên (-1; 0)
C. Hàm số g(x) nghịch biến trên (- ∞ ; -2)
D. Hàm số g(x) nghịch biến trên (0; 2)
Hướng dẫn
Dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có:
* f’(x) > 0 ⇔ x > 2

* f’(x) < 0 ⇔ x < 2 và x ≠ 1

* f’(x) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = -1

Ta có g’(x) = 2xf’(x2-2)

x > 2
x > 0
x < 0

⇔   −2 < x < 0
Ta thấy g’(x) > 0 ⇔ 
hoặc 
2
2
 f '( x − 2) > 0
 f '( x − 2) < 0
  x ≠ −1
 x < −2
x > 0
x < 0
y

⇔  0 < x < 2
g’(x) < 0 ⇔ 
hoặc 
2
2
 f '( x − 2) < 0
 f '( x − 2) > 0
  x ≠ 1

Từ đó suy ra đáp án B

2

4

x

O

Ví dụ 4: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm là hàm số y = f’(x), đồ thị hàm
số y = f’(x) được cho như hình vẽ dưới đây và f(0) + f(1) – 2f(2) = f(4) – f(3).
Hoi trong các giá trị f(0), f(1), f(4) giá trị nào là giá trị nho nhất của hàm số y =
f(x) trên đoạn [0; 4]

8


Hướng dẫn
Trước hết, dựa vào đồ thị hàm số y = f’(x) ta có:
* Trên khoảng (0; 2) hàm số y = f(x) đồng biến nên f(0) < f(2) và f(2) > f(1)
* Trên khoảng (2; 4) hàm số nghịc biến nên f(2) > f(4) và f(2) > f(3)
Từ đó suy ra giá trị nho nhất của hàm số y = f(x) chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)
Mặt khác, từ giả thiết: f(0) + f(1) – 2f(2) = f(4) – f(3) suy ra f(0) – f(4) =
2f(2) – f(1) – f(3) = [f(2) – f(1)] + [f(2) – f(3)] > 0 suy ra f(0) > f(4)
Vậy trên đoạn [0; 4] thì f(4) là giá trị nho nhất của hàm số y = f(x)
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Đặt
g(x) = f(x) +

1 2
x + x + 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

y

A. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; 3).
B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (-3; 0).
C. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0; 3).
D. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 3).

-3

O 1
-2

3
x

-4

Hướng dẫn
Vẽ đường thẳng d: y = - x – 1 đi qua các điểm có tọa độ (-3; 2), (1; -2), (3; -3).
y
-3

O 1
-2
-4

3
x

(C)

Ta có g’(x) = f’(x) + x + 1 = f’(x) – (- x - 1)
* Trên khoảng (-3; 1), đồ thị hàm số f’(x) nằm phía dưới đường thẳng y = -x – 1
nên f’(x) < - x – 1 suy ra g’(x) < 0. Vậy trên khoảng (-3; 1) hàm số g(x) nghịch
biến
* Trên khoảng (1; 3), đồ thị hàm số f’(x) nằm phía trên đường thẳng y = - x – 1
nên f’(x) > - x – 1 suy ra g’(x) > 0.
Vậy trên khoảng (1; 3) hàm số g(x) đồng biến. Chọn đáp án A
2.3.2 Đồ thị hàm số y = f’(x) và cực trị của hàm số y = f(x)
a, Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức sau [1]
* Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực
tiểu tại x0 thì f’(x0) = 0. Từ đó suy ra nếu hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x 0
thì đồ thị của hàm số y = f’(x) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (x 0; 0). Ngược
lại, nếu hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm tại x 0 và đồ thị hàm số y = f’(x) cắt
9


trục hoành tại điểm (x0; 0) và đồng thời f’(x) đổi dấu khi qua x 0 thì x0 là điểm cự
trị của hàm số y = f(x)
Ngoài ra nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0 thì x0 là điểm cực đại và
nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu
b, Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, đồ thị của đạo hàm f’(x) như hình
vẽ. Trong các mệnh sau, mệnh đề nào sai?
y
y
2

1

O
-4

-3

-2

1

2

x

-1
-1

A. f đạt cực tiểu tại x = 0.
B. f đạt cực tiểu tại x = -2.
C. f đạt cự đại tại x = -2.
D. Cực tiểu của f nho hơn cực đại.
Hướng dẫn
Theo giả thiết f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua -2 nên x = -2 là
điểm cực đại của hàm số f(x) và f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x = 0
nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Bảng biến thiên của hàm số f(x)
−∞
+∞
−2
x
0

f j(x) +
f (x)

− 0

0

+

f (−2)
f (0)

Từ đó ta thấy cực tiểu của f(x) nho hơn cực đại của nó. Chọn B
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị của hàm số y = f’(x)
là đường cong ở hình vẽ. Hoi hàm số y = f(x) có bao nhiêu cực trị?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
y

O

x
10


Hướng dẫn
Ta thấy đồ thị hàm số y = f’(x) cắt trục hoành tại 4 điểm nhưng chỉ có 3
điểm mà khi đi qua đó f’(x) đổi dấu nên hàm số y = f(x) có ba cực trị. Chọn đáp

án A
Ví dụ 3: Cho hàm sô f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y = f’(x) như hình
vẽ
y

Đặt g(x) = f(x) -

2
−Oa 1 2x
1 1−
1

x2
. Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
2

A. x = 0

B. x = 1

C. x = -2

D. x = 2

Hướng dẫn
Trước hết ta có g’(x) = f’(x) – x. Vẽ đường thẳng y = x đi qua các điểm (-1;
1), (1; 1), (2; 2). Quan sát đồ thị ta thấy:
y

2

−Oa 1 2x
1 1−
1

 1 

* Trên khoảng  − ;1÷ đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía trên đường thẳng y
 2 
= x nên g’(x) = f’(x) – x > 0
* Trên khoảng (1; 2) đồ thị hàm số y = f’(x) nằm phía dưới đường thẳng y =
x nên g’(x) = f’(x) – x < 0
Như vậy g’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = 1 nên tại đó
hàm số g(x) đạt cực đại. Chọn đáp án B
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, hàm số y = f’(x) có đồ thị như
hình vẽ sau:
11


2017 − 2018 x
có số điểm cực
2017

Hàm số y = f(x) +
trị là:

y

A. 4

B. 3

C. 2

5
2
O 1x

D. 1

Hướng dẫn

1

x2

x

x3

2018
2018
2018
Ta có: y’ = f’(x) . Khi đó y’ = 0 ⇒ f’(x) = 0 ⇒ f’(x) =
2017
2017
2017

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y’ = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Do đó
hàm số đã cho có 4 điểm cực trị. Chọn đáp án A.
2.3.3 Bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm có sử dụng đến kiến

thức tích phân
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) như hình bên. Gọi M và m lần lượt là giá
 9
trị lớn nhất, giá trị nho nhất của hàm số y = f ( x ) trên 0;  . Hoi
 2

mệnh đề nào sau đây đúng?
9
A. M = f  ÷, m = f ( 4 )

B. M = f ( 0 ) , m = f ( 4 )

2

9
D. M = f  ÷, m = f ( 1)

C. M = f ( 2 ) , m = f ( 1)

2

Đáp án B


Bảng biến thiên của hàm số trên 0;  có dạng như hình vẽ dưới đây.
 2
9

x

0

y'

1

-

2

+

0

0

9
2

4

-

+

0

y

 

Do đó GTLN của hàm số là f ( 0 ) ;f ( 2 ) hoặc f  ÷; GTNN của hàm số là f ( 1)
2
9

hoặc f ( 4 )
2

4

1

2

Mặt khác f ( 1) = f ( 2 ) − ∫ f ' ( x ) dx;f ( 4 ) = f ( 2 ) − ∫ f ' ( x ) dx
12


4

Dựa vào hình vẽ ta có:

∫
2

2

f ' ( x ) dx > ∫ f ' ( x ) dx ⇒ f ( 4 ) < f ( 1) (loại C và D)
1

9

1

2
Mặt khác f  9 ÷ = f ( 4 ) + ∫ f ' ( x ) dx;f ( 0 ) = f ( 1) + ∫ f ' ( x ) dx dx
2
4
0
9
1
2

f
'
x
dx
>
(
)
∫4 f ' ( x ) dx ⇒ f ( 0 ) > f  9 ÷
Dựa vào hình vẽ ta có:  ∫0
2

f
1
>
f
4
( )
 ( )

2.3.4 Một số bài toán khác
Bài 1: [3] Cho các hàm số f(x), f’(x), f’’(x) có đồ thị như hình vẽ sau
y
(C1)
(C3)

O

(C2)

x

Khi đó (C1), (C2), (C3) thứ tự là đồ thị của các hàm số
A. f’’(x), f(x), f’(x)

B. f(x), f’(x), f’’(x)

C. f’(x), f(x), f’’(x)

D. f’(x), f’’(x), f(x)

Hướng dẫn: Ta nhận thấy tại các vị trí (C 1) cắt trục hoành thì (C2) và (C3) đạt
cực trị. Tại các khoảng mà đồ thị của (C1) nằm
trên Ox thì (C3) đồng biến và ngược lại
y
(
Xét đường cong (C2) ta thấy: tại các vị trí (C2)
cắt Ox thì (C1) đạt cực trị. Tại các khoảng mà đồ
thị của (C2) nằm trên Ox thì (C1) đồng biến và
ngược lại.

C
(
1)
C
2)
x

O

(
C
3)

Chọn đáp án D

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một
f’(x) và đạo hàm cấp hai f’’(x) trên R. Biết đồ thị của hàm số y = f(x), y = f’(x),
y = f’’(x) là một trong các đường cong (C1), (C2), (C3) ở hình vẽ sau
Hoi đồ thị của hàm số y = f(x), y = f’(x), y =
f’’(x) lần lượt theo thứ tự nào dưới đây?
A. (C2), (C1), (C3)
(C2), (C3)

B.

C. (C3), (C2), (C1)
(C1), (C2)

D. (C3),

Hướng dẫn

y

(
C
1)

(C1),
O x

x

1

2

(
C
()
2
Cx
3)

13


* Tại x1 ta thấy (C2) đạt cực tiểu và (C1) có giá trị bằng 0. Hơn nữa, khi qua
x1, (C1) đổi dấu từ âm sang dương. Nên (C3) là đạo hàm của (C2)

* Tại x2 ta thấy (C3) đạt cực đại và (C2) có giá trị bằng 0. Hơn nữa, khi qua
x2, (C2) đổi dấu từ dương sang âm. Nên (C2) là đạo hàm của (C3).
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Bằng việc khai thác tính chất đồ thị của đạo hàm, phân loại thành một số
bài toán có ví dụ minh chứng và hệ thống bài tập áp dụng đã giúp cho học sinh
có cái nhìn mới về một bài toán không cũ. Giúp các em tiếp cận thêm một cách
ra đề mới trong dạng đề thi trắc nghiệm. Từ đó giúp các em khoi bỡ ngỡ với các
câu hoi dạng đọc đồ thị. Đồng thời cũng giúp bạn bè đồng nghiệp thêm một đơn
vị kiến thức bổ xung trong quá trình giảng dạy, ôn tập cho học sinh ôn thi THPT
Trong năm học 2017 – 2018 tôi đã áp dụng sáng kiến này đối với đối tượng
là học sinh lớp 12A2 trường THPT Yên Định II. Các em đã có sự chuyển biến
rất khả quan. Điều đó thể hiện qua bảng khảo sát sau:
Điểm khảo sát chất lượng phần đọc đồ thị đạo hàm năm học 2017 -2018
Lớp

12A2

Sĩ

Điểm >=8

Trên TB

Dưới TB

Điểm <2.5

số

SL

TL%

SL TL%

SL

TL%

SL TL%

41

20

48.8%

11

26.8%

10

24.4%

0

0%

41

25

60.9%

12

29.3%

4

9.8%

0

0%

41

33

80.5%

8

19.5%

0

0%

0

0%

(lần 1)
12A2
(lần 2)
12A2
(lần 3)

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Luôn không ngừng học tập, tìm tòi sáng tạo là cái đích mà cuộc thi viết sáng
kiến kinh nghiệm hướng tới. Bên cạnh đó chúng ta luôn biết rằng kiến thức là vô
hạn, sự hiểu biết của chúng ta là có hạn. Cuộc sống luôn không ngừng vận động
như việc đi một chiếc xe đạp, nếu dừng lại nó sẽ đổ. Trong quá trình nghiên cứu
tài liệu, trong hành trình đi tìm cái hay cái đẹp của toán học ta sẽ gặp, sẽ cảm
nhận được rất nhiều điều thú vị.

14


Bài toán đọc đồ thị chứa trong nó rất nhiều tư duy, suy luận. Tuy chỉ là một
cái hình vẽ nhưng thông qua nó người ta có thể đọc ra được rất nhiều thông số,
từ đó giúp giải quyết các bài toán về hàm số một cách rất nhẹ nhàng.
Cùng là một vấn đề về hàm số nhưng thay đổi cách hoi, đổi mới cách ra đề
giúp cho học sinh có tư duy và nhận thức khác hơn
* Về mặt nhận thức: các em nhận thức được cần phải học tập nghiêm túc và

phải học tập như thế nào, biết tiếp thu khái niệm cơ bản, con đường dẫn đến
định lí, công thức.
* Về mặt hành động: Các em xóa bo ngay cái suy nghĩ thi trắc nghiệm toán
là chỉ cần biết bấm máy tính là đủ. Các em biết cách đọc một vấn đề không chỉ
là viết thành chữ.
Bước sang năm thứ hai Bộ GD và ĐT chuyển sang hình thức thi toán trắc
nghiệm nên tôi chỉ mới áp dụng được giải pháp này ở trường THPT Yên Định
II một năm học 2017 -2018 đối với học sinh khối 12. Nhưng tôi tin rằng cách
khai thác các bài toán về đồ thị của đạo hàm như trên sẽ giúp học sinh có cách
đọc đồ thị đạo hàm một cách đa chiều và hiểu sâu sắc bản chất của bài toán đọc
đồ thị.
Với khả năng nghiên cứu và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế, tôi rất mong
nhận được sự quan tâm đóng góp ý kiến của tổ chuyên môn, sự góp ý của đồng
nghiệp để giải pháp được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.
3.2 Kiến nghị
Để chất lượng ngành GD và ĐT được nâng lên một cách rõ rệt thì phải
đổi mới toàn diện, trong đó chất lượng đội ngũ giáo viên là một vấn đề cấp thiết.
Chương trình đào tạo có chất lượng cho giáo viên là một hình thức nên được
quan tâm và tổ chức thường xuyên một cách có hiệu quả. Hình thức thi viết sáng
kiến kinh nghiệm ít nhiều cũng đã giúp đội ngũ giáo viên tăng khả năng tự học,
tự sáng tạo. Bất kể một công việc nào muốn đạt được kết quả cao cũng đòi hoi
phải có sự tâm huyết và quyết tâm cao. Rất mong Nghành GD duy trì thường
xuyên và liên tục những chương trình giúp đội ngũ giáo viên được rèn luyện
nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
Tài liệu tham khảo
[1]. Sách giáo khoa Giải Tích 12 – chương trình chuẩn của nhà xuất bản Giáo
Dục
[2]. Đề tham khảo Kì Thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia năm 2018 của Bộ
Giáo Dục và Đào tạo.

[3]. Các đề thi kiểm tra kiến thức lớp 12 của các trường THPT được gửi trên
mạng internet.
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được xếp loại C cấp tỉnh
15


- Sáng kiến kinh nghiệm: “Cách ra đề bài tập có đáp số giống nhau” được Hội
đồng khoa học Nghành đánh giá xếp loại Ccấp tỉnh năm học 2009 - 2010
- Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số giải pháp khắc phục tình trạng học sinh học
yếu môn toán lớp 11 ở THPT” được Hội đồng khoa học Nghành đánh giá xếp
loại C cấp tỉnh năm học 2011 – 2012.
- Sáng kiến kinh nghiệm: “ Cách ra đề bài tập trắc nghiệm toán tích phân chống
mẹo dùng máy tính cầm tay” được Hội đồng khoa học Nghành đánh giá xếp loại
C cấp tỉnh năm học 2016 – 2017

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Bé

16