Hình thành tư duy kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm chiếm vai trò quan trọng trong
chương trình Toán THPT. Nội dung về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được
trình bày trong toàn bộ chương trình giải tích 11 và giải tích 12, trong đó đạo
hàm được trình bày trong học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm được trình bày
trong học kỳ I lớp 12. Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song đạo hàm
và ứng dụng đạo hàm là nội dung bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT,
ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia. Chúng ta có thể kể đến một số ứng
dụng của đạo hàm: Xét tính đơn điệu của hàm số; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của hàm số; cực trị hàm số…
Phần ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị
của hàm số bậc ba là một phần không quá khó với học sinh nếu không muốn nói
là phần “lấy điểm” của học sinh. Tuy nhiên, việc giải quyết các bài toán cực trị
hàm số bậc ba nhanh và hiệu quả là điều mà ít học sinh làm được nhất là trong
bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017, 2018 đổi từ hình thức thi tự luận sang
trắc nghiệm. Ngoài ra, việc trình bày các kiến thức ở SGK, SBT cũng như các
sách tham khảo, hệ thống các bài tập còn dàn trải và học sinh thường mất thời
gian khi giải bài tập phần này. Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng
dạy cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên
internet, tôi lựa chọn đề tài: “Hình thành tư duy - kỹ năng giải nhanh toán
trắc nghiệm phần cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh trường THPT Như
Thanh II luyện thi THPT Quốc Gia” với mong muốn trang bị cho học sinh nền
tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số công thức giải nhanh phần
cực trị của hàm số bậc ba giúp các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng
cũng như cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và
học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;
- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán. Từ đó cung cấp cho học
sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các kì thi

THPT Quốc gia;
- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu các bài toán ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài
toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

1


2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1 Khái niệm cực trị hàm số
2.1.1.1 Khái niệm cực trị của hàm số [3]
Cho f : D → ¡ và x0 ∈ D .
a) x0 được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng ( a; b ) sao cho
 x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D
.

 f ( x ) < f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 }
b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng ( a; b ) sao cho
 x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D
.

f
x
>

f
x
∀
x
∈
a
;
b
\
x
(
)
(
)
(
)
{
}

0
0
c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:
x0
f ( x0 )
( x0 ; f ( x0 ) )
Điểm cực đại
của f ( x)
Điểm cực tiểu
của f ( x)

Điểm cực trị của

Giá trị cực đại (cực đại) Điểm cực đại của đồ thị hàm
của f ( x)
số f ( x)
Giá trị cực tiểu (cực tiểu) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm
của f ( x)
số f ( x)
Cực trị của f ( x)
Điểm cực trị của đồ thị hàm số

f ( x)

f ( x)

2.1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị [6]
Giả sử hàm f ( x) có đạo hàm tại x0 . Khi đó: nếu f ( x) đạt cực trị tại x0 thì
f ' ( x0 ) = 0 .
2.1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị [6]
a) Quy tắc 1
• Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f ( x) đạt cực
đại tại x0 ;
• Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f ( x) đạt cực
tiểu tại x0 .
b) Quy tắc 2:
 f ' ( x0 ) = 0
⇒ f ( x ) đạt cực đại tại x0 ;
 f " ( x0 ) < 0

• 

 f ' ( x0 ) = 0
⇒ f đạt cực tiểu tại x0 .
f
"
x
>
0
(
)

0

• 

2


2.1.2 Cực trị của hàm số bậc ba [5]
Xét hàm y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ).
Đạo hàm: y ' = 3ax 2 + 2bx + c
2.1.2.1 Điều kiện tồn tại cực trị: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y ' = 0 có hai
nghiệm phân biệt hay ∆ ' = b 2 − 3ac > 0 .
2.1.2.2 Kỹ năng tính nhanh cực trị:
Giả sử ∆ ' = b 2 − 3ac > 0 , khi đó y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
−b ± b 2 − 3ac
và hàm số đạt cực trị tại x1 , x2 .
x1,2 =
3a
Thực hiện phép chia y cho y’ ta có:

b 
2
b2 
bc 
1

f ( x) =  x + ÷ f '( x) +  c − ÷x +  d − ÷
9a 
3
3a 
9a 
3

Tức là f ( x) = q ( x). f '( x) + r ( x )

2
b2 
bc 

 y1 = f ( x1 ) =  c − ÷x1 +  d − ÷
3
3a 
9a 

 f '( x1 ) = 0

Do 
nên 
2
 f '( x2 ) = 0

 y = f ( x ) = 2  c − b  x +  d − bc 
2
÷

÷ 2 
 2
3
3a 
9a 


Từ đó ta có phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của
hàm số là:
2
b 
bc  2
bc

y =  c − ÷x +  d − ÷ = ( 3ac − b 2 ) x + (d − )
3
3a 
9a  9a
9a

−2∆ '
bc 

=
x + d − ÷
9a

9a 

Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị của hàm số. Khi đó khoảng cách
giữa hai điểm cực trị là:
AB =
=

( x2 − x1 )

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 )

2

2

2

  −2 ∆ '
bc    −2∆ '
bc   


+
x2 +  d − ÷ − 
x1 +  d − ÷ ÷
9a    9a

9a   


  9a

3


=

( x2 − x1 )

2

2

 −2 ∆ '

+
( x2 − x1 ) ÷
 9a

2

2

 −2 b 2 − 3ac   −2∆ ' −2 b 2 − 3ac 
= 
.
÷ +

÷

÷  9a
÷
3
a
3
a

 

=

4∆ '
16
3
+
∆ ')
2
4 (
(3a) 9(3a)

Đặt k = 3a ta được AB =

4∆ ' 16
3
+ 4 ( ∆ ')
2
k
9k

Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là AB =

4∆ ' 16
3
+ 4 ( ∆ ') với
2
k
9k

k = 3a là hệ số của x 2 trong phương trình y ' = 0 .
Như vậy khi k là hằng số thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị ngắn nhất
khi ∆ ' nhỏ nhất.

2.2. Thực trạng của vấn đề.
Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia chuyển
từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán cực trị thường hay xuất hiện,
với mục đích của nhà giáo dục dành cho những học sinh có học lực trung bình.
Đối với trường THPT Như Thanh II là một trường miền núi, chất lượng đầu vào
của học sinh còn rất thấp nên gần như học sinh mất nhiều thời gian trong việc
định hướng cách làm hoặc trong quá trình làm thường mắc sai sót. Đặc biệt hiện
nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay
nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó
yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán cực trị
của hàm số bậc ba.
- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức
của học sinh.

- Trong mỗi bài toán cực trị của hàm bậc ba đều yêu cầu học sinh thực
hiện phân tích bản chất hình học phẳng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở
rộng cho bài toán.
- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
* Cụ thể: Một số bài cực trị của hàm số bậc ba thường gặp
2.3.1. Tìm m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = x0
Cách làm:
4


1. Tính đạo hàm y’ ⇒ y’ = 0.
2. Điều kiện cần: Thay x0 vào phương trình y’ = 0 ⇒ giá trị của m (nếu
có)
3. Điều kiện đủ: Kết hợp xét dấu của y’’:
 Nếu y’’(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
 Nếu y’’(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
(hoặc dùng bảng biến thiên) để suy ra giá trị m thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 2 . Tìm m để hàm số đạt
cực tiểu tại x = 2. [3]
Giải
2
Ta có : y ' = 3x − 6mx + m − 1
y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6mx + m − 1 = 0 (*)
Điều kiện cần: thay x = 2 vào (*) ⇒ m = 1
Điều kiện đủ: y '' = 6 x − 6m
Với m = 1 ⇒ ⇒y ''(2) = 6 > 0 (thỏa mãn)
Vậy m = 1 hàm số có cực tiểu tại x = 2.
1 3
2
2

Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số y = x − mx + ( m − m + 1) x + 1 . Tìm m để hàm số
3
[3]
đạt cực đại tại x = 1
Giải
2
2
Ta có: y ' = x − 2mx + m − m + 1
y ' = 0 ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − m + 1 = 0 (*)
Điều kiện cần: thay x = 1 vào (*) ⇒m 2 − 3m + 2 = 0 (m = 1 hoặc m = 2)
Điều kiện đủ: y '' = 2 x − 2m
 Với m = 2 ⇒ y '' = 2 x − 4 ⇒y ''(1) = −2 < 0 ( thỏa mãn)
 Với m = 1 ⇒ y '' = 2 x − 4 ⇒ ( không xét được dấu)
Nhưng khi đó: y ' = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) ≥ 0 (∀x) ⇒ hàm số luôn đồng biến
nên ko có cực trị. Hay m = 1 không thỏa mãn.
Vậy m = 2 hàm số có cực đại tại x = 1.
2

2.3.2. Biện luận theo m số cực trị của hàm số
Số cực trị của hàm số phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình y’ = 0
Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 2 . Tìm m để hàm số
không đạt cực trị. [3]
Giải
2
Ta có: y ' = 3x − 6mx + m − 1
5


y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6mx + m − 1 = 0 (*)
Hàm số không đạt cực trị khi: ∆ ' = 9m 2 − 3m + 3 ≤ 0 ⇔ 3m 2 − m + 1 ≤ 0 (vô lý)

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số không đạt cực trị.
Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số y = mx 3 + (m − 1) x + 2 . Tìm m để hàm số không đạt
cực trị. [3]
Giải
+ Nếu m = 0 hàm số trở thành y = − x + 2 là PT đường thẳng nên không có cực
trị hay m = 0 thỏa mãn.
+ Nếu m ≠ 0 . Ta có: y ' = 3mx 2 + m − 1
1− m
y ' = 0 ⇔ 3mx 2 + m − 1 = 0 ⇔ x 2 =
3m
m ≥ 1
1− m
≤0⇔
Hàm số không đạt cực trị khi:
3m
m < 0
m ≥ 1
Vậy để hàm số không đạt cực trị thì: 
m ≤ 0
2.3.3. Tìm m để hàm số có 2 cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Các bước làm:
1) Tính: y ' = 3ax 2 + 2bx + c
y ' = 0 ⇔ g ( x) = 3ax 2 + 2bx + c = 0
a ≠ 0
Để hàm số có 2 cực trị thì g ( x) = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 hay 
∆ > 0
2) Gọi rõ ràng tọa độ 2 điểm cực trị: A, B ( nếu các nghiệm x1 và x2 gọn
– đẹp)
Hoặc biểu thị tọa độ A, B theo x1; x2 nếu nghiệm quá xấu không nên tính ra.
3) Sử dụng các tính chất quen thuộc xử lý yêu cầu đề bài.

4) Kết luận giá trị m thỏa mãn.
Chú ý: Nếu biểu thị tọa độ A, B theo x1 và x2 do nghiệm xấu sau là phải dùng hệ
thức Vi-ét.
Ví dụ mẫu 1: THPT Quốc Gia 2016
Tìm m để hàm số f ( x) = x 3 − 3 x 2 + mx − 1 có hai điểm cực trị. Gọi x1 và x2 là
hoành độ hai điểm cực trị tìm m để x12 + x22 = 3 .
Giải
2
Ta có : f '( x) = 3x − 6 x + m
f '( x) = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x + m = 0 (*)
6


Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và x2
phân biệt
ĐK : ∆ ' > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3 (**)
b

x
+
x
=
−
=2
1
2

a
Theo định lý vi-ét: 
 x .x = c = m

 1 2 a 3
2m
3
2
2
2
=3⇔ m=
Theo bài ra ta có : x1 + x2 = 3 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 3 ⇔ 4 −
3
2
3
Kết hợp điều kiện (**) ⇒ m = thỏa mãn đề bài ra.
2
Ví dụ mẫu 2:
Tìm m để hàm số f ( x) = x 3 − 3 x 2 + mx − 1 có hai điểm cực trị. Gọi x1 và x2 là
hoành độ hai điểm cực trị tìm m để x1 và x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của
một tam giác vuông có cạnh huyền bằng . [2]
Giải
2
Ta có : f '( x) = 3x − 6 x + m
f '( x) = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x + m = 0 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và x2
phân biệt :
ĐK : ∆ ' > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3 (**)
b

x
+
x
=

−
=2
 1 2
a
Theo định lý vi-ét: 
 x .x = c = m
 1 2 a 3
 Để x1 và x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác thì:
 x1 + x2 > 0
⇔ m > 0 (***)

 x1.x2 > 0
 Để tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 thì:
x12 + x22 = 3 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 3 ⇔ 4 −
2

Kết hợp điều kiện (**) và (***) ⇒ m =

2m
3
=3⇔ m =
3
2

3
thỏa mãn đề bài ra.
2

Ví dụ mẫu 3: KD – 2012
2 3

2
2
2
Cho hàm số : y = x − mx − 2(3m − 1) x + . Tìm m để hàm số có hai điểm cực
3
3
trị x1 và x2 sao cho: x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 .
Giải
7


Ta có y ' = 2 x 2 − 2mx − 2(3m 2 − 1)
y ' = 0 ⇔ 2 x 2 − 2mx − 2(3m 2 − 1) = 0 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và x2
phân biệt :
2

 m > 13
2
2
2
ĐK : ∆ ' > 0 ⇔ m + 4(3m − 1) > 0 ⇔ 13m − 4 > 0 ⇔ 
(**)
 m < −2

13
b

 x1 + x2 = − a = m
Theo định lý vi-ét: 

 x .x = c = 1 − 3m 2
 1 2 a
m = 0
2
Theo bài ra ta có : x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 ⇔ 1 − 3m + 2m = 1 ⇔ 
2
m =
3

2
Đối chiếu với (**) ta được m = thỏa mãn điều kiện đề bài.
3
Ví dụ mẫu 4:
Cho hàm số : y = x3 − (2m − 1) x 2 + (2 − m) x + 2 . Tìm m để hàm số có hai điểm
cực trị x1 và x2 và hoành độ các điểm cực trị dương. [2]
Giải
Ta có : y ' = 3x 2 − 2(2m − 1) x + 2 − m
y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 2(2m − 1) x + 2 − m = 0 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và x2 phân biệt
 m < −1
2
2
ĐK : V' > 0 ⇔ ( 2m − 1) − 3 ( 2 − m ) > 0 ⇔ 4m − m − 5 > 0 ⇔ 
5 (**)
m >

4
b 2(2m − 1)

x

+
x
=
−
=
1
2

a
3
Theo định lý vi-ét: 
 x .x = c = 2 − m
 1 2 a
3
Để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương :
 2(2m − 1)
1
>0 
 x1 + x2 > 0 
1
m >
3
⇔
⇔
2 ⇔ 
2
 x1.x2 > 0
2 − m > 0
m < 2

 3
5
Kết hợp điều kiện (**) ta được < m < 2 .
4
8


Ví dụ mẫu 5:
Cho hàm số : y = (m + 2) x3 + 3 x 2 + mx − 5 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
x1 và x2 và hoành độ các điểm cực trị dương.
Giải
Ta có : y ' = 3(m + 2) x + 6 x + m
y ' = 0 ⇔ 3( m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và x2
phân biệt :
 m ≠ −2
a ≠ 0
m + 2 ≠ 0
m ≠ −2
⇔
⇔
⇔
(**)


2
∆ ' > 0 9 − 3m(m + 2) > 0 −3m − 6m + 9 > 0 −3 < m < 1
b
−2


 x1 + x2 = − a = m + 2
Theo định lý vi-ét: 
m
 x1.x2 = c =
a 3(m + 2)

Để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương :
b
−2

 −2
x
+
x
>
0
=
−
=
1
2

 m + 2 > 0
m + 2 < 0
a m+2
⇔
⇔
⇔ m < −2

 m


c
m
m
<
0

 x1.x2 > 0 = =

>0
a 3(m + 2)

 3(m + 2)
Kết hợp điều kiện (**) ta được −3 < m < −2
2

Ví dụ mẫu 6:
Cho hàm số : y = x3 − 2(m + 1) x 2 + (m 2 − 3m + 2) x + 4 . Tìm m để hàm số có hai
điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
Giải
2
2
Ta có : y ' = 3x − 4( m + 1) x + m − 3m + 2
y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 4(m + 1) x + m 2 − 3m + 2 = 0 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và x2
phân biệt :

−17 − 3 33
m <
2

∆ ' > 0 ⇔ 4( m + 1) 2 − 3(m 2 − 3m + 2) > 0 ⇔ m 2 + 17 m − 2 > 0 ⇔ 

−17 + 3 33
m >

2
(**)
Theo định lý vi-ét:
9


b 4(m + 1)

x
+
x
=
−
=
1
2

a
3

2
 x .x = c = m − 3m + 2
 1 2 a
3
Để cực trị nằm về hai phía trục tung chúng ta quan sát hình ảnh của đồ thị bậc 3

sau :

⇒ Để cực trị nằm về hai phía trục tung thì chỉ cần :
x1 x2 < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2
Kết hợp điều kiện (**) 1 < m < 2
Ví dụ mẫu 7:
Cho hàm số : y = x3 − 2(m + 1) x 2 + (m 2 − 3m + 2) x + 4 . Tìm m để hàm số có hai
điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung. [6]
Giải
2
2
Ta có : y ' = 3x − 4( m + 1) x + m − 3m + 2
y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 4(m + 1) x + m 2 − 3m + 2 = 0 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và x2
phân biệt :
∆ ' > 0 ⇔ 4( m + 1) 2 − 3(m 2 − 3m + 2) > 0 ⇔ m 2 + 17 m − 2 > 0

−17 − 3 33
m <
2
⇔

−17 + 3 33
m >

2

(**)

10

b 4(m + 1)

x
+
x
=
−
=
1
2

a
3
Theo định lý vi-ét: 
2
 x .x = c = m − 3m + 2
 1 2 a
3
Để 2 cực trị nằm cùng phía so với trục tung chúng ta quan sát 1 hình ảnh của đồ
thị bậc 3 sau (hoặc còn 1 ảnh đối ngược ảnh này bên trái Oy):

⇒

Để

2

cực

trị

nằm cùng
m > 2
x1 x2 > 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 > 0 ⇔ 
m < 1

phía

so

với

trục

tung

thì


−17 − 3 33
m<

Kết hợp điều kiện (**) ta được 
2
 m > 2
Ví dụ mẫu 8:
Cho hàm số : y = x3 − 3x 2 + mx − 1 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm
khác phía đường thẳng (d): x = 1.

Giải
2
Ta có : y ' = 3x − 6 x + m
y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x + m = 0 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và x2
phân biệt :
∆ ' > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3 (**)

11


b

x
+
x
=
−
=2
1
2

a
Theo định lý vi-ét: 
 x .x = c = m
 1 2 a 3
Ta có : (d): x = 1 ⇒ x – 1 = 0. Để hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía
đường thẳng (d) thì
m
( x1 − 1) ( x2 − 1) < 0 ⇔ x1x2 − ( x1 + x2 ) + 1 < 0 ⇔ − 1 < 0 ⇔ m < 3

2
Kết hợp điều kiện (**) ta được m < 3.
Ví dụ mẫu 9: KB - 2014
Cho hàm số : y = x3 − 3mx + 1 và A( 2; 3). Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
B và C để tam giác ABC cân tại A.
Giải
Ta có : y ' = 3x − 3m
y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 3m = 0 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị B và C thì phương trình (*) có 2 nghiệm x1 và
x2 phân biệt hay m > 0 (**)
Gọi tọa độ : B − m ;2m m + 1
2

(
)
C ( m ;2m m + 1)
uuu
r
AB ( − m ;2m m + 1)
Suy ra: uuur
AC ( m ;2m m + 1)

Để tam giác ABC cân tại A nên AB = AC hay:

(−

)

2

m − 2 + (2m m − 2) 2 = ( m − 2) 2 + ( −2m m − 2) 2

m = 0
⇔ 16m m − 8 m = 0 ⇔ 
1
m =

2
Kết hợp điều kiện (**) ta được m =

1
.
2

2.3.4. Áp dụng một số công thức giải nhanh
2.3.4.1 Công thức phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
2.3.4.1.1 Công thức của TS Nguyễn Thái Sơn [4]
Gọi phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y = Ax + B thì A,
y '. y ''
B được xác định như sau: Ax + B = y −
18a

12


Ví dụ mẫu 1: viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số:
y = x3 − x 2 + 3x + 1
Giải
Áp dụng công thức học nhanh:
3x 2 − 2 x + 3) ( 6 x − 2 )

(
3
2
Ax + B = ( x − x + 3x + 1) −
18
4
- Thay x = 0 vào đẳng thức ta được: B =
3
- Thay x = 1 vào lại đẳng thức trên ta lại được:
28
28
16
A+ B =
⇒ A=
−B=
9
9
9
16
4
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị sẽ là: y = x +
9
3
Ví dụ mẫu 2: viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số:
y = 2 x3 + 3x + 5
Giải
Áp dụng công thức học nhanh:
6 x 2 + 3) .12 x
(
3

Ax + B = ( 2 x + 3 x + 5 ) −
36
- Thay x = 0 vào đẳng thức ta được: B = 5
- Thay x = 1 vào lại đẳng thức trên ta lại được: A + B = 7 ⇒ A = 7 − B = 2
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị sẽ là: y = 2 x + 5
2.3.4.1.2 Công thức có được bằng cách chia y cho y’
−2 ∆ '
bc 

y=
x +d − ÷
9a
9a 

Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số : y = x3 − 3x 2 − mx + 2 . Tìm m để hàm số có hai điểm
cực trị A, B sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường
thẳng d: y = −4 x + 5 . [1]
Giải:
2
Ta có y ' = 3x − 6 x − m (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
ĐK: ∆ ' > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3
Ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
−2∆ ' −2
k=
= ( 9 + 3m )
9a
9
Do đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng d:
−2

y = −4 x + 5 nên
( 9 + 3m ) = 4 ⇔ m = 3 (tm)
9
13


Vậy m = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số : y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 . Tìm m để hàm số có hai điểm
cực trị A, B sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường
3
thẳng d: y = x + 2017 . [1]
2
Giải:
2
Ta có: y ' = 3x + 2mx + 7 (*)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
 m > 21
2
ĐK: ∆ ' > 0 ⇔ m − 21 > 0 ⇔ 
 m < − 21
Ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
−2∆ ' −2 2
k=
= ( m − 21)
9a
9
Do cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d:
−2 2
−2
3

m − 21) =
⇔ m 2 = 24 ⇔ m = ± 24 (tm)
y = x + 2017 nên
(
9
3
2
Vậy m = ± 24 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2.3.4.2 Công thức tính độ dài hai điểm cực trị
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là AB =
là hệ số của x 2 trong phương trình y ' = 0

4∆ ' 16
3
+ 4 ( ∆ ') với k = 3a
2
k
9k

Khi k là hằng số thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị ngắn nhất khi ∆ '
nhỏ nhất.
1 3
2
Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số : y = x − mx − x + 1. Tìm m để hàm số có hai điểm
3
cực trị A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất. [2]
Giải
2
2
Ta có: y ' = x − 2mx − 1 ; ∆ ' = m + 1

Hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất khi ∆ ' nhỏ
nhất. ∆ 'min = 1 khi m = 0
Vậy với m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số : y = x3 + 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) x + m 3 + m 2 . Biết
hàm số luôn có hai điểm cực trị A, B với mọi m. Tính khoảng cách giũa hai điểm
cực trị.
Giải
Ta có: y ' = 3x + 6( m + 1) x + 3m(m + 2)
∆ ' = 9(m + 1) 2 − 9m(m + 2) = 9
2

14


4∆ ' 16
3
+ 4 ( ∆ ') = 2 5
2
k
9k
Vậy khoảng cách giũa hai điểm cực trị bằng 2 5 .
Áp dụng công thức: AB =

1 3
2
Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số : y = x − mx − x + 1. Tìm m để hàm số có hai điểm
3
cực trị A, B sao cho độ dài AB = 2 15 .
Giải:
Ta có: y ' = x − 2mx − 1 ; ∆ ' = m + 1

Theo bài ra: hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = 2 15 .
4∆ ' 16
3
+ 4 ( ∆ ') ta được
Áp dụng công thức: AB =
2
k
9k
2

AB =

2

4∆ ' 16
16
3
3
+ 4 ( ∆ ') = 2 15 ⇔ ( ∆ ') + 4∆ '− 60 = 0
2
k
9k
9

⇔ ∆ ' = 3 ⇔ m 2 + 1 = 3 ⇔ m2 = 2 ⇔ m = ± 2
Vậy với m = ± 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2.3.5 Một số bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Đồ thị của hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d
số.

A. a > 0

B. a < 0

C. a ≥ 0

dạng như trong hình vẽ có hệ

D. a ≤ 0

Câu 2: Đồ thị của hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d dạng như trong hình vẽ có hệ
số.

15


A. d = 0
B. d = 1
C. d = 3
D. d = 2
Câu 3: Đồ thị của hàm số dạng như trong hình vẽ là một trong bốn đồ thị hàm
số được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D. Đó là đồ thị của hàm số nào.

A. y = x3 − 3x 2 + 2
C. y = − x3 + 3 x + 2

B. y = x3
D. y = x3 + 3 x + 2

Câu 4: Đồ thị của hàm số dạng như trong hình vẽ. Hỏi phương trình y = 4 có

bao nhiêu nghiệm.

16


A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 5: Đồ thị của hàm số có dạng như trong hình vẽ dưới đây. Khi đó.

A. ac > 0
B. ac < 0
C. ad > 0
D. ad < 0
Câu 6: Đồ thị của hàm số dtrong hình vẽ là một trong bốn đồ thị hàm số được
liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D. Đó là đồ thị của hàm số nào.

A. y = x3 − 3x 2 + 2
B. y = x3 − 3x + 2
C. y = − x3 + 3 x + 2
D. y = x3 + 3 x + 2
Câu 7: Biết đồ thị của hàm số có điểm cực đại, cực tiểu lần lượt là : A(x1; y1),
B(x2; y2) . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng.
A. ( x1; x2 )
B. ( x2 ; x1 )

C. ( − x1; − x2 )
D. ( − x2 ; − x1 )
Câu 8: Biết đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị và có tích hai giá trị cực trị
nhỏ hơn 0. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại.
A. 1 điểm
B. 2 điểm
C. 3 điểm
D. 4 điểm

17


Câu 9: Biết đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị và có tích hai giá trị cực trị
lớn hơn 0. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại.
A. 1 điểm
B. 2 điểm
C. 3 điểm
D. 4 điểm
Câu 10: Biết đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị và có tích hai giá trị cực trị
bằng 0. Khi đó phương trình y = 0 có.
A. 1 nghiệm
B. 2 nghiệm
C. 3 nghiệm
D. 4 nghiệm
Câu 11: Cho hàm số: y = x3 − 3x 2 + 2 (C). Đồ thị (C) đạt cực đại tại x bằng.
A. x = 0
B. x = 1
C. x = 2
D. x = - 1
Câu 12: Cho hàm số: (C). Đồ thị (C) đạt giá trị cực tiểu bằng.

A. y = 2
B. y = 1
C. y = - 2
D. y = - 1

Câu 13: Cho hàm số: y = x 3 − 3x 2 + 20 x − 1 (C). Đồ thị (C) có mấy điểm cực trị.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 14: Cho hàm số: (C). Đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu của đồ thị (C)
là.
A. y = −2 x − 1
B. y = −2 x
C. y = x − 1
D. y = −2 x + 1
Câu 15: Cho hàm số: (C). Đồ thị (C) có 2 điểm cực trị là A, B. Độ dài AB bằng.
A. 5
B. 2 5
C. 3 5
D. 4 5

Câu 16: Cho hàm số: y = − x3 − 3x 2 + 2 x − 5 (C). Đồ thị (C) có hoành độ 2 điểm
cực trị.
A. xCD > xCT
B. xCD < xCT
C. xCD .xCT = 1
D. xCD + xCT = 2
Câu 17: Cho hàm số: y = x3 − 3mx 2 + 2 x − 2 (Cm). Đồ thị (Cm) có hai điểm cực
trị khi.

1
2
1
2
A. m >
B. m >
C. m >
D. m >
3
3
3
3
Câu 18: Cho hàm số: y = x3 − 3x 2 + mx − 2 (Cm). Đồ thị (Cm) có hai điểm cực
trị khi.
A. m < 3
B. m < 1
C. m > 1
D. m > 3

18


Câu 19: Cho hàm số: y = x3 − 3x 2 + m 2 + 3 (Cm). Đồ thị (Cm) có giá trị cực đại
đạt nhỏ nhất khi.
A. m = 0
B. m = 1
C. m = 2
D. m = −1
Câu 20: Cho hàm số: y = − x3 − 3x 2 + m − 2 (C). Đồ thị (C) có giá trị điểm cực
đại bằng hai lần hoành độ điểm cực tiểu khi.

A. m = 1
B. m = 2
C. m = −1
D. m = −2
Câu 21: Cho hàm số: y = x3 − 3x 2 − 3m(m + 2) x − 1 (Cm). Đồ thị (Cm) có hoành
độ hai điểm cực trị cùng dấu khi.
 −2 < m < −1
 −2 < m < −1
 −3 < m < −1
 −2 < m < −1
A. 
B. 
C. 
D. 
 −1 < m < 0
 −1 < m < 1
 −1 < m < 0
 −1 < m < 2
Câu 22: Cho hàm số: y = x3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 2 (Cm). Đồ thị (Cm) có hai
điểm cực trị đều có hoành độ dương khi.
A. m < 2
B. m > 1
C. m < 1
D. 1 < m < 2
Câu 23: Cho hàm số: y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (Cm). Tìm m để đồ
thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B sao cho xA.xB = 0.
A. m = 0
B. m = 1
C. m = 2
D. m = 3

1 3
1
2
Câu 24: Cho hàm số: y = x + (m − 1) x + 3(m − 2) x +
(Cm). Tìm m để đồ
3
3
thị (Cm) có hai điểm cực trị có tổng hoành độ bằng 2.
A. m = 0
B. m = 1
C. m = 2
D. m = 3
Câu 25: Cho hàm số: y = − x3 + (2m + 1) x 2 − (m 2 − 3m + 2) x − 4 (Cm). Tìm m để
đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
A. 1 < m < 3
B. 1 < m < 2
C. 0 < m < 1
D. 0 < m < 2
Câu 26: Cho hàm số: y = − x3 + 3mx + 1 (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) có hai
điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
1
−1
A. m = 0
B. m = 1
C. m =
D. m =
2
2
Câu 27: Cho hàm số: y = x3 + 3 x 2 + m (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm
cực trị A, B sao cho góc AOB bằng 1200 .

−12 ± 2 3
−12 + 2 3
A. m =
B. m =
3
2

19


C. m =

−12 − 2 3
2

D. m =

−12 − 2 3
3

Câu 28: Cho hàm số: y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + m (Cm). Tìm m để đồ
thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB cân tại O.
A. m = 1
B. m = 0
C. m = 3
D. m = 2
Câu 29: Cho hàm số: y = 2 x3 + 3(m − 3) x 2 + 11 − 3m (Cm) và C (0; −1) . Tìm m
để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B sao cho A, B, C thẳng hàng.
A. m = 1
B. m = 2

C. m = 3
D. m = 4
Câu 30: Cho hàm số: y = x3 − 3x 2 − mx + 2 (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) có hai
điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng đi qua A, B song song với đường thẳng:
y = −4 x + 2017 .
1
1
A. m =
B. m =
C. m = 4
D. m = 3
3
4
Câu 31: Cho hàm số: (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B sao
cho đường thẳng đi qua A, B vuông góc với đường thẳng: x − y + 2017 = 0 .
1
3
A. m = −
B. m = −
C. m = −1
D. m = −2
2
2
ĐÁP ÁN:
1A
10B
19A
28B

2D

11A
20D
29D

3D
12C
21A
30D

4C
13D
22C
31B

5A
14A
23C

6C
15B
24C

7A
16B
25B

8C
17D
26C

9A
18A
27B

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoàn
thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy
nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh.
Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã
hứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học
lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bị động,
các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động. Từ đó nâng cao được chất
lượng giáo dục trong nhà trường. Đây là tiền đề để phụ huynh học sinh cũng như
chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà trường.
20


Trong năm học 2016 – 2017 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho
lớp 12C1, không áp dụng cho lớp 12C5. Sau khi kết thúc kỳ thi THPT Quốc gia
năm 2017 kết quả làm bài cho thấy tại lớp 12C1 có 95% học sinh giải được các
bài toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba trong khi lớp 12C5 chỉ có 31,33%.

21


3. Kết luận – Kiến nghị.
3.1 Kết luận
Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệu
tham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã hệ thống lại được một số
dạng của bài toán cực trị hàm số bậc ba và đưa ra một số công thức tính nhanh,

cụ thể:
Tìm m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = x0
•
•

Biện luận theo m số cực trị của hàm số

•

Tìm m để hàm số có 2 cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

•

Công thức phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

•

Công thức tính độ dài hai điểm cực trị

Từ những dạng toán thường gặp như trên và từ việc vận dụng các công thức
tính nhanh tôi đã đưa ra một hệ thống các bài trắc nghiệm nhằm củng cố đồng
thời giúp học sinh tiếp cận với các bài toán trắc nghiệm.
Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp một
phần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai
thác tốt các bài toán cực trị của hàm số bậc ba. Đồng thời hình thành khả năng
tư duy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm, từ đó tạo hứng thú cho
các em khi học toán. Tuy nhiên do kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ
bản thân còn hạn chế nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng
khoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp.
3.2.

Kiến nghị

- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học ;
Tích cự tổ chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn.
- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa các
buổi tập huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi kinh
nghiệm ; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến
rộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong quá trình dạy học.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình, không sao chép nội dung của
người khác.

Mạc Lương Thao
22


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Đoàn Quỳnh, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học
2015-2016, Nxb Giáo dục Việt Nam
[2]. Lê Hoành Phò, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội
[3]. Nguyễn Duy Hiếu, Giải toán giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm.
[4]. Nguyễn Thái Sơn, Giải toán THPT với máy tính cầm tay Fx-570VNPlus, Nxb ĐHSP TP Hò Chí Minh.
[5]. Trần Phương, Hàm số, Nxb ĐHQG Hà Nội
[6]. Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải toán và
câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục.

23