Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.08 MB, 18 trang )
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất
quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá
trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến
thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và
động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho thấy còn có nhiều vấn đề cần
phải giải quyết như học sinh học hình còn yếu, đặc biệt là khi phải vẽ thêm
đường phụ, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo, trong quá trình giải toán hình
học không gian. Đặc biệt từ năm học 2017 – 2018, chương trình Toán 11 được
đưa vào kỳ thi THPT Quốc gia, những học sinh sử dụng kết quả môn Toán để
xét Đại học – Cao đẳng cần phải làm được câu hỏi ở mức độ vận dụng, đặc biệt
là những câu hỏi vận dụng về góc trong hình học không gian. Để làm được câu
hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức về hình học không
gian còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để từ đó quy bài toán
khó về dễ và phù hợp với kiến thức mình đang có, đặc biệt là kỹ năng phân tích,
xác định phương pháp và tính toán nhanh để đạt được yêu cầu kiến thức lẫn thời
gian của một câu hỏi trắc nghiệm.
Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,
cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, tác giả trăn trở về vấn đề này
nên chọn đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc
trong không gian”để giúp các em có hướng làm bài hiệu quả hơn mà rút ngắn
được thời gian.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Để giải bài toán về góc, chúng ta thường xác định góc rồi tính giá trị của
góc đó. Nhưng để giải quyết bài toán bằng phương pháp này yêu cầu học sinh
phải biết cách xác định các đường vẽ phụ, mà điều này không phải lúc nào cũng
đơn giản, nên khi gặp bài toán khó học sinh thường gặp khó khăn để định hướng
cho việc tìm lời giải. Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút ra được kinh nghiệm nhỏ
trong việc xác định góc trong hình học không gian. “Một số kỹ thuật giúp học
sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian”là đề tài giúp các em
học sinh không còn e ngại giải các bài tập liên quan đến góc trong hình học
không gian, hơn nữa còn giúp các em giải quyết các bài toán trắc nghiệm một
cách hiệu quả trong thời gian ngắn nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số vấn đề như sau:
Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm góc nhanh trong không gian về
1.3.1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
1.3.2. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng.
1
Ngoài ra một đối tượng nghiên cứu khác chính là các em học sinh của lớp 11A5;
11A7 trường THPT Sầm Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh.
1.4.2. Nghiên cứu tài liệu.
1.4.3. Thực nghiệm.
1.4.4. Nhận xét.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Vấn đề tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung góc trong hình học
không gian ở chương trình hình học 11. Khi giải bài tập toán, người học phải
được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán
đã làm và bài toán mới. Các bài tập của một chuyên đề phải được thiết kế theo
một hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh
trong quá trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập
giúp các em học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất, và
dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một
cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải. Từ đó học sinh có hứng thú và
động cơ học tập tốt hơn. Trong quá trình giảng dạy nội dung góc của hình học
không gian lớp 11 và ôn thi THPT Quốc gia lớp 12, tôi thấy kỹ năng giải bài
toán về góc của học sinh còn yếu, đặc biệt là các bài toán trắc nghiệm đòi hỏi
thời gian ngắn đa số các em bỏ qua. Do đó cần phải cho học sinh tiếp cận bài
toán một cách dễ dàng, thiết kế trình tự bài giảng hợp lí giảm bớt khó khăn giúp
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo
và lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệm khách
quan, từ đó đạt kết quả cao nhất trong các kỳ thi.
2.1.1 Góc giữa hai đường thẳng
2.1.1.1. [1] Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 là góc giữa hai đường thẳng '1 và
'2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với 1 và 2 .
2
2.1.1.2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1 và 2 bất kì trong không gian. Từ điểm O nào
đó, ta vẽ hai đường thẳng '1 và '2 lần lượt song song (hoặc trùng) với 1 và
2 . Khi đó góc giữa hai đường thẳng '1 và '2 chính là góc giữa hai đường
thẳng 1 và 2 .
2.1.1.3. Chú ý
�
00 ;900 �
�.
Góc giữa hai đường thẳng có giá trị trong đoạn �
2.1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.1.2.1. [1] Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P) thì ta nói rằng góc giữa
0
đường thẳng a và mặt phẳng ( P) bằng 90 .
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P ) thì góc giữa a
và hình chiếu a ' của nó trên ( P ) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
( P) .
2.1.2.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Khi
một điểm
a
không vuông góc với mặt phẳng ( P) và
A
tùy ý trên
a khác
điểm O . Gọi
H
a
cắt ( P) tại điểm O , ta lấy
là hình chiếu của
A
lên ( P) và
�
là góc giữa a và ( P) thì AOH .
2.1.2.3. Chú ý
�
0 ;90 �
.
�
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn �
2.1.3. Góc giữa hai mặt phẳng
2.1.3.1. [1] Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc
với hai mặt phẳng đó.
2.1.3.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
0
Giả sử hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến là
điểm
I
bất kì nằm trên
vuông góc với
ta dựng một đường thẳng
a
0
.
Từ một
nằm trong mặt phẳng P
và dựng một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng Q vuông
3
góc với
và b .
.
Góc giữa hai mặt phẳng P và Q là góc giữa hai đường thẳng a
2.1.3.3. Chú ý
�
00 ;900 �
.
�
�
Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung góc trong hình học không gian lớp 11 là một phần kiến thức
tương đối khó với học sinh. Học sinh rất nhanh quên và không vận dụng được
những kiến thức đã học vào giải toán. Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018,
2019 nội dung này được đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm. Với thực thế ấy để
giúp học sinh có định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán góc, người
giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố
đặc trưng của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ
năng quy lạ về quen, quy cái chưa biết về cái đã có. Chính vì vậy đề tài này đưa
ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán góc cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn,
giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng
tạo của bản thân, chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia. Vì vậy, tôi mong muốn
các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng tốt các kiến thức về góc trong
hình học không gian để đưa ra giải pháp nhằm giải quyết bài toán về góc một
cách nhanh chóng, chính xác và hiệu quả nhất.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng
giữa đường thẳng
sin
AB
AB không
song song với mặt phẳng P , gọi là góc
và mặt phẳng P , đặt C AB � P . Thì ta có
d ( A, P ) d ( B, P )
(1)
d ( A, C )
d ( B, C )
sin
d ( A, P )
d ( A, P )
d ( A, B )
AB .
Nếu B AB � P thì ta có
Chú ý: Cho tứ diện ABCD gọi là góc giữa đường thẳng
BCD thì ta có
sin
d ( A, BCD )
AB
AB
và mặt phẳng
3VABCD
AB.S BCD .
4
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng SAB là , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau
A.
tan
1
2.
B. tan 1 .
D. tan 3 .
C. tan 2 .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử
dụng công thức (1).
Lời giải
Ta có SC � SAB S nên
Vậy
tan
sin
d (C , SAB ) BC
a
1
d (C , S )
SC a 3
3
1
2 . Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 6 . Góc giữa đường thẳng SB và mặt
phẳng SAC là , khi đó hệ thức nào sau đây đúng
cos
14
14 .
sin
14
14 .
cos
2
14 .
sin
2
14 .
A.
B.
C.
D.
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử
dụng công thức (1).
Lời giải
5
Ta có SB � SAC S nên
sin
d ( B, SAC )
d ( B, S )
a 2
d ( B, SAC ) d ( B, AC )
14
2
SA � SAC
SB
14
a 7
Do
nên d ( B, S )
Vậy
sin
14
14 . Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD ,
đáy ABCD là hình chữ nhật có AD 3a, AC 5a . Góc giữa hai mặt phẳng SCD
0
và ABCD bằng 45 .Gọi là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC .
Hệ thức nào sau đây đúng
cos
2
5 .
cos
14
5 .
cos
2 2
5 .
cos
17
5 .
A.
B.
C.
D.
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử
dụng công thức (1).
Lời giải
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD .
Ta có SCD � ABCD CD nên
sin
d ( S , ABCD ) SA
d ( S , CD)
SD
SA
SA2 AD 2
2
� SA 3a
2
.
6
Mặt khác SD � SBC S nên
1
1
1
2
SA
AB 2 2 2
SD
5
d ( D, SBC ) d ( A, (SBC ))
sin
d ( D, S )
SD
cos
17
5 . Chọn D.
Vậy
Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , đáy ABC là tam giác vuông tại
A,
AC a, BC 2a và AA ' a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và I là trung
điểm cạnh
cos
cos
A' B ' .
Gọi là góc giữa đường thẳng IG mặt phẳng ABC . Tính
7
115 .
cos
6 3
115 .
cos
2 2
5 .
cos
17
5 .
A.
B.
C.
D.
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử
dụng công thức (1).
Lời giải
Gọi
M
là trung điểm
AB .
Ta có IG � ABC G nên
sin
d ( I , ABC ) d ( A ', ( ABC ))
AA '
d ( I , G)
IG
IM 2 MG 2
6 3
7
1
a 7
sin
� cos
MG CM
115
115 . Chọn A.
3
6 . Vậy
Mà
Ví dụ 5.[4] (Đề thi THPTQG năm 2018)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SB 2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
0
0
0
0
A. 60 .
B. 90 .
C. 30 .
D. 45 .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử
dụng công thức (1).
7
Lời giải
Ta có SB � ABCD B nên
sin( SB, ( ABCD ))
d ( S , ( ABCD)) SA
d (S , B)
SB
SB 2 AB 2
3
SB
2 .
Vậy ( SB, ( ABCD)) 60 . Chọn A.
Ví dụ 6.[5] (Đề thi thử THPTQG Trường Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 2 năm
2019)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và AB BC CD a .
0
Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa
SC và ABCD bằng 600 . Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD
3 3
A. 8 .
6
B. 6 .
3
C. 8 .
3
D. 2 .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử
dụng công thức (1).
Lời giải
Vì SC � ABCD C nên
sin SC , ABCD
Ta có
d ( S , ABCD ) SH
d S, C
SC
SC � SAD S
nên
SH
SH 2 HC 2
sin SC , SAD
3
� SH a
2
3
d (C , SAD ) 2 d ( H , SAD )
d C, S
SC
8
Mà
1
1
1
a
2
� d H , SAD
2
d ( H , SAD ) HS
d ( H , AD)
2
2
sin SC , SAD
3 3
8 . Chọn A.
Do đó
Ví dụ 7.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Quãng Ngãi 2019)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD 2a, AB a ; O là giao điểm
của AC và BD , SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD , tính sin .
SO
a
2 . Gọi là góc
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử
dụng công thức (1).
Lời giải
Ta có SC � SAD S nên
d (O, SAD )
Mà
sin
sin
1
1
1
2
2
SO d (O, AD)
d (C , SAD ) 2d (O, SAD )
d (C , S )
SC
a
2 2
;
SC SO 2 OC 2
a 6
2 .
1
3.
Vậy
Ví dụ 8.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Hà Tĩnh - 2019)
Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , cạnh
AB a, AD 2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC . Biết rằng
SA SB SC SD và góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD là 600 .
Tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử
dụng công thức (1).
Lời giải
9
Vì SA SB SC SD nên SO ABCD
Ta có
MN �( ABCD) N
Gọi I là hình chiếu của
nên
M
sin MN , ABCD
1
d ( M , ABCD ) 2 SO
d (M , N )
MN
lên ABCD .
SO 2
SO 2 13a 2
IK 2 KN 2
4
4
16
MN MI 2 IN 2
a 39
2 . Gọi P là trung điểm của SD .
Suy ra
Khi đó MNCP là hình bình hành nên MN song song với CP .
SO
Do đó sin MN , SBD sin CP, SBD
Mà CP � SBD P nên
d (C , SBD )
1
1
1
2
CB CD 2
sin CP, SBD
2a
5
;
d (C , SBD )
d (C , P)
d (C , P) CP MN
sin MN , SBD sin CP, SBD
a 13
2 .
4
65 .
Vậy
2.3.2. Công thức tính góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
Cho tứ diện ABCD gọi là góc giữa mặt phẳng ABC và mặt phẳng
sin
BCD thì ta có
d ( A, BCD ) d ( D, ABC )
(2)
d ( A, BC )
d ( D, BC )
Với BC ABC � BCD , tổng quát ta có:
sin
d A, BCD
d A, BC
3VABCD
2S ABC .S BCD
Chú ý: Ta có một công thức đổi khoảng cách như sau
d ( A, BCD )
Cho tứ diện ABCD ta có
d ( B, ( ACD ))
d ( A, CD )
d ( B, CD ) ,trong đó
BCD � ACD CD .
10
Công thức này thực ra chính là công thức đổi đỉnh khi sử dụng công thức thể
tích để tính khoảng cách, tuy nhiên bằng công thức sin số (2) ta có thể dễ dàng
chứng minh nó mà không cần thông qua khái niệm thể tích của lớp 12.
Ví dụ 9. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt
phẳng ABCD là , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau
A.
tan
3
3 .
B. tan 1 .
C. tan 2 .
D. tan 3 .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Ta có SCD � ABCD CD nên
sin
d (S , ABCD ) SA
a
1
d ( S , CD)
SD a 2
2
Vậy tan 1 . Chọn B.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A
và
B,
đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , AB BC a, AD 2a . Góc
0
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45 . Tính góc giữa hai mặt
phẳng SAD và SCD
A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
0
0
0
0
11
Vì SC � ABCD C nên
2
Do đó 2
SA
SA AC 2
2
sin 450 sin( SC , ( ABCD))
� SA a 2
d ( S , ABCD ) SA
2
d (S , C )
SC
2
.
Mặt khác SAD � SCD SD nên
1
sin
d ( A, SCD )
d ( A, SD )
1
1
1
2
SA
AC 2
1
1
1
2
SA
AD 2
1
1
2
2
2a
2a 3
1
2
1
1
2
2
2a
4a
Vậy 60 . Chọn C.
Ví dụ 11. Cho hình chóp S . ABC có đường cao SA bằng 2a , tam giác ABC
0
0
�
vuông ở C có AB 2a, CAB 30 . Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên SC . Gọi là
góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC . Tính sin
sin
7
7 .
sin
42
7 .
sin
2
7 .
sin
1
6.
A.
B.
C.
D.
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
12
1
sin
d ( A, SBC )
d ( A, SB)
Ta có SAB � SBC SB nên
sin
1
1
2
SA
AC 2 42
1
7
1
1
2
SA
AB 2
42
7 . Chọn B.
Vậy
Ví dụ 12.[5] (Đề thi thử THPTQG của Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2019)
Cho hình chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của
SC . Tính góc giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD
A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
0
0
0
0
Ta có MBD � ABCD BD nên
1
1
d ( S , ( ABCD ))
SH
d ( M , ( ABCD)) 2
SC 2 HC 2
2
sin
2
2
1
d ( M , BD)
MH
SC
2
SC
2
Vậy 45 . Chọn C.
Ví dụ 13.[5] (Đề thi thử THPTQG của Sở GD & ĐT Bắc Giang năm 2019)
0
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD 2a . Cạnh
SA vuông góc với đáy ABCD , SA 2a . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng
SBD và ABCD
5
A. 2 .
B. 5 .
1
C. 5 .
2
D. 5 .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
13
Ta có SBD � ABCD BD nên
sin(( SBD), ( ABCD))
Mà
d ( S , ( ABCD))
d ( S , BD)
SA
SA d 2 ( A, BD)
2
1
1
1
5
4a 2
2
�
d
(
A
,
BD
)
d 2 ( A, BD ) AB 2 AD 2 4a 2
5
sin(( SBD),( ABCD))
5
� tan SBD , ABCD 5
6
. Chọn B.
Suy ra
Ví dụ 14. [5] (Đề thi thử THPTQG Trường Trần Phú – Hà Tĩnh - lần 2 năm
2019)
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB OC a 6, OA a .
Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và OBC
0
A. 30 .
0
B. 60 .
0
C. 90 .
0
D. 45 .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Ta có ABC � OBC BC nên
sin ABC , OBC
d ( A, OBC ) OA
d ( A, BC )
AM
14
2
2
2
2
2
Mà AM AB BM OA OB BM 2a
Vậy
sin ABC , OBC
1
� ABC , OBC 300
2
. Chọn A.
Ví dụ 15.[5](Đề thi thử THPTQG Trường Quỳnh Lưu 2 - lần 1 năm 2019)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA 2a vuông
góc với đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Côsin của góc tạo bởi hai mặt
phẳng AMC và SAC bằng
3
A. 2 .
2 2
B. 3 .
2 10
C. 5 .
5
D. 3 .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Ta có AMC � SAC AC nên
Mà
d ( M , SAC )
sin AMC , SAC
d ( M , SAC )
d ( M , AC )
1
1
a 2
d D, SAC DH
2
2
4
d ( M , AC ) MJ MI 2 IJ 2
sin AMC , SAC
3a
2 2
1
2 2
� cos AMC , SAC
3
3 . Chọn B.
Do đó
2.4. Hiệu quả nghiên cứu
Tác giả đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong nhiều năm với
những mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khóa học hoặc giữa các
lớp ở các khóa học khác nhau.
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy ở lớp 11A5 năm học 2018-2019 ở
Trường THPT Sầm Sơn. Trong quá trình học đề tài này, học sinh thực sự thấy tự
tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách
nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học
sinh tự học, tự nghiên cứu. Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập,
15
nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, nhiều em vận dụng tốt ở từng bài
toán cụ thể. Qua bài kiểm tra về nội dung này, và các bài thi học kỳ, thi thử
THPT Quốc gia, tôi nhận thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và đạt kết quả tốt.
Cụ thể như sau:
2.4.1. Về mặt định lượng
Đối với lớp 11A7 tôi cho các em sử dụng phương pháp sách giáo khoa để giải,
còn lớp 11A5 tôi đã hướng dẫn kỹ thuật tính góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng, tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau nên trong bài làm các em sẽ sử
dụng phương pháp này để giải quyết.
Kết quả khảo sát:
Lớp 11A7 (43 học sinh)
- 0 học sinh đạt 10 điểm
- 2 học sinh đạt từ 8 điểm đến 9,5 điểm.
- 8 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm.
- 21 học sinh đạt từ 5 điểm đến 6 điểm.
- 12 học sinh dưới 5 điểm.
60
50
40
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
30
20
10
0
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp 11A5 (40 học sinh)
- 5 học sinh đạt 10 điểm
- 10 học sinh đạt từ 8 điểm đến 9,5 điểm.
- 18 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm.
16
- 6 học sinh đạt từ 5 điểm đến 6 điểm.
- 1 học sinh dưới 5 điểm.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
2.4.2. Về mặt định tính
Tác giả thăm dò ý kiến của học sinh và giáo viên dự giờ sau tiết giảng thực
nghiệm như sau:
- Các em học sinh được hỏi ý kiến đều cho biết bài giảng vừa dễ hiểu vừa dễ
nhớ và tỏ ra rất hứng thú trong học tập. Ngoài ra, còn rèn luyện cho các em kĩ
năng tự lập suy nghĩ giải quyết các vấn đề trong học tập.
- Các giáo viên đánh giá cao về hiệu quả của bài giảng.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc
trong không gian” nhằm mục đích xây dựng mô hình tính góc và đưa ra hệ
thống bài tập tương ứng với mô hình đó giúp các em học sinh có những phương
pháp làm bài tập hình học không gian hiệu quả trong thời gian ngắn nhất.Đề tài
đã được tác giả áp dụng dạy ở lớp 11A5 và thấy kết quả rất khả quan, học sinh
rất hứng thú, tiếp thu nhanh và vận dụng có hiệu quả. Đồng thời với cách định
hướng của phương pháp giúp cho bản thân dễ dàng hơn khi tiếp xúc cũng như
định hướng cho học sinh giải các bài toán về góc. Bài viết cũng đã được sự đồng
tình và ủng hộ rất cao của các giáo viên trong tổ chuyên môn khi triển khai trình
bày ở tổ.
Trong tương lai, tác giả sẽ tiếp tục nghiên cứu phương pháp này phát triển
theo hướng tính góc trong hình học không gian khi chưa có sẵn đường cao của
hình chóp, hình lăng trụ. Nếu làm tốt công việc này, sẽ giúp công việc học toán
17
của học sinh trở nên nhẹ nhàng hơn và giúp các em có kết quả tốt trong các kỳ
thi: học kỳ, thi THPT Quốc gia hay kỳ thi học sinh giỏi.
3.2. Kiến nghị
Qua quá trình nghiên cứu và áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi nhận thấy
“Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không
gian”có thể áp dụng hiệu quả cho tất cả các đối tượng học sinh. Đề tài phù hợp
với đối tượng học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi THPT Quốc gia. Đồng thời dựa
trên định hướng của phương pháp mà giáo viên có thể sáng tạo ra các bài toán từ
dễ đến khó.
Mặc dù đã cố gắng, nhưng chắc chắn đề tài sẽ không tránh khỏi những
thiếu xót nhất định. Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý, bổ sung từ
các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, để đề tài được hoàn thiện hơn, nhằm nâng
cao năng lực dạy toán cho học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình, không sao chép nội dung của
người khác.
Trần Thị Hường
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên), sách giáo khoa
“hình học 11” (nâng cao), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[2] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), sách giáo
khoa “hình học 11” (cơ bản), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[3] Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), “Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức,
kỹ năng môn Toán lớp 11”,Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[4] Đề thi THPT Quốc gia năm 2018.
[5] Các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường năm 2019.
[6] Các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 năm 2019.
18
