Một số kỹ thuật giúp học sinh lớp 12 giải nhanh trắc nghiệm môn toán

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Năm học 2016-2017 là năm học Bộ Giáo dục và Đào tạo tiếp tục thực hiện
đổi mới công tác kiểm tra đánh giá và xem khâu thi trung học phổ thông quốc
gia là một trong những khâu đột phá. Trong đó đặc biệt có môn Toán sẽ thi
bằng hình thức trắc nghiệm khách quan. Mặc dù đã biết trước lộ trình của Bộ
và cũng đã thi trắc nghiệm các môn khác trong nhiều năm, song cả thầy và trò
khối 12 trường trung học phổ thông Triệu Sơn 3 đều không khỏi bỡ ngỡ, lúng
túng và có phần lo lắng. Câu hỏi thường trực đối với thầy cô dạy Toán và học
trò lớp 12 là: Đề thi Toán sẽ có cấu trúc như thế nào? Phương pháp học và
giải Toán trắc nghiệm như thế nào là hiệu quả nhất? Các dạng toán khó trong
trắc nghiệm Toán là những dạng nào? Có những phương pháp và kỹ thuật
nào để giải nhanh trắc nghiệm môn Toán ?
Vậy một vấn đề cấp thiết đặt ra là mỗi thầy cô giáo dạy Toán phải tìm cách
trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về các phương pháp và kỹ thuật
giải toán trắc nghiệm, từ đó giúp học trò có đủ kiến thức và tự tin khi đứng
trước đề toán trắc nghiệm khách quan.
Đứng trước thực trạng đó, là một giáo viên dạy Toán, hơn nữa là tổ trưởng
tổ Toán, tôi đã rất tích cực tìm tòi học hỏi và tích lũy được một số kỹ thuật giải
nhanh toán trắc nghiệm. Vậy tôi xin được trao đổi cùng đồng nghiệp qua đề tài
“Một số kỹ thuật giúp học sinh lớp 12 giải nhanh trắc nghiệm môn Toán”.
Rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và quý bạn đọc để tôi hoàn
thiện hơn các phương pháp dạy học của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm tòi và đúc rút các phương pháp và
các kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm khách quan môn Toán dành cho học sinh
lớp 12; từ đó giúp học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn 3 năm học 20162017 tự tin và đạt kết quả tốt khi tham gia kì thi trung học phổ thông quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài tập trung vào nghiên cứu các phương pháp và các kỹ thuật giải toán
trắc nghiệm; từ đó đưa ra được một số kỹ thuật giải nhanh toán trắc nghiệm

khách quan dành cho học sinh lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.


Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp khảo
sát thực tế, thu thập thông tin và phương pháp thống kê, xử lý số liệu cụ thể
theo các bước sau:
Bước 1. Tìm hiểu thực trạng của học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn 3 về
thi trắc nghiệm Toán thông qua phiếu học tập.
Bước 2. Thống kê số liệu thu thập được để hiểu rõ thực trạng của vấn đề đang
nghiên cứu, từ đó tìm cách đưa ra các giải pháp để giải quyết vấn đề.
Bước 3. Tìm tòi và xây dựng hệ thống các kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm
môn Toán.
Bước 4. Tổ chức dạy cho lớp thực nghiệm về các kỹ thuật đã xây dựng được.
Bước 5. Kiểm tra lớp thực nghiệm, thu thập kết quả và đưa ra kết luận về tính
hiệu quả của các kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán mà đề tài đã đưa
ra.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã quyết định thi môn Toán
trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia theo hình thức thi trắc nghiệm
khách quan. Đây là một thử thách đối với cả thầy và trò nhưng cũng là cơ hội
cho học sinh trung học phổ thông phát huy hết khả năng thông minh sáng tạo
của mình. Vì là lần đầu tiên thi trắc nghiệm môn Toán với thời lượng 90 phút
cho 50 câu nên đa số học sinh có cảm giác bị ngợp trước số lượng câu hỏi lớn
(so với 10 câu trong đề tự luận trước đây) trong thời gian ngắn (so với 180
phút khi thi đề tự luận). Nhưng bình tĩnh mà xem xét lại thì thi trắc nghiệm
cũng có rất nhiều ưu điểm, như: Phù hợp với xu thế hội nhập quốc tế, rèn tính
năng động sáng tạo cho học sinh, kiểm tra được kiến thức bao quát, tránh học
lệch học tủ,…Đặc biệt, vì thi trắc nghiệm chỉ cần chọn đúng 1 đáp án duy nhất

đúng trong 4 đáp án đã cho nên người học có thể sáng tạo nên nhiều phương
pháp, kỹ thuật giải nhanh độc đáo cho riêng mình.
Tôi thiết nghĩ đây cũng là mục đích của môn Toán – giúp người học sáng
tạo hơn, nhanh nhẹn hơn, quyết đoán hơn và chính xác hơn trong khi giải toán
cũng như trong xử lý công việc trong đời sống hàng ngày.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có
nhiều xã miền núi, V135, V134 và có nhiều học sinh là con em dân tộc thiểu


số nên điểm đầu vào rất thấp. Tư duy của học sinh rất chậm, điều kiện kinh tế
còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết
quả học tập.
Học sinh lớp 12 của nhà trường đã có 2 năm học luyện tập với thi tự luận
môn Toán, nên khi tiếp cận với thi trắc nghiệm Toán đã làm cho các em rất
lúng túng và gặp phải nhiều khó khăn hơn. Tôi đã tiến hành điều tra 6 lớp 12
của trường THPT Triệu Sơn 3 với tổng số 254 học sinh về phương pháp giải
toán trắc nghiệm theo phiếu học tập như sau:
PHIẾU HỌC TẬP
Họ và tên:…………………………………….……….lớp:…………
Câu hỏi 1. Em có thích thi trắc nghiệm môn Toán?
Không
Thích
Câu hỏi 2. Em hãy liệt kê những phương pháp giải nhanh Toán trắc nghiệm
mà em đã biết:.....................................................................................................
Câu hỏi 3. Em hãy hoàn thành bài tập sau

Bài

Bài 1 Tính tổng

S = 1009 + i + 2.i 2 + ...
+... + 2017.i 2017

Bài 2

Bài 3

Chọn
đúng

Đề bài

Cho tứ diện đều có
cạnh bằng a . Một điểm
M không nằm ngoài tứ
diện. Tính tổng khoảng
cách từ M đến các mặt
tứ diện.
x +1
Cho hàm số y =
(C).
x−2
Khoảng cách lớn nhất
giữa 2 tiếp tuyến của (C)
là:

đáp

án

A. S = 1009 + 2017.i
B. S = 1009 − 2017.i
C. S = 2017 + 1009.i
D. S = 2017 − 1009.i
A.

a 3
6

B.

a 3
3

C.

a 6
2

D.

a 3
2

A. 2 3

B. 3 6

C. 4 3

D. 2 6

Em
giải
bằng
cách
nào?

Thời gian
giải hết
khoảng
bao
nhiêu
phút ?


Bài 4

Biết rằng
1

x ln( x + 1)
b + ln c
∫0 e x dx = a − e

Bài 5

Tính S = a 3 + b 2 + c
Tìm giá trị lớn nhất của

A.
B.
C.
D.

S =4
S =5
S =6
S =7

A. 24
f ( x) = ( x + 4)(6 − x) + x 2 − 2 x C.24,5

B. 24,25
D. 24,05

Kết quả thu được như sau:
- Có 93% học sinh thích thi trắc nghiệm môn Toán.
- Đa số học sinh đưa ra các phương pháp giải sau: Giải tự luận, bấm máy tính,
thử ngược đáp án, sử dụng công thức tính nhanh và phương pháp loại trừ.
- Có 15,5% học sinh làm đúng Bài 1. Trong đó có em làm hết 21 phút.
- Có 46,7% học sinh làm đúng Bài 2. Trong đó có em làm hết 15 phút.
- Có 7,1% học sinh làm đúng Bài 3. Trong đó có em làm hết 12 phút.
- Có 13,2% học sinh làm đúng Bài 4. Trong đó có em làm hết 20 phút.
- Có 24,2% học sinh làm đúng Bài 5. Trong đó có em làm hết 15 phút.
Đa số thầy cô giáo giảng dạy bộ môn Toán trường THPT Triệu Sơn 3 còn
trẻ nên rất nhiệt huyết, nhưng là năm đầu hướng dẫn học sinh làm bài trắc
nghiệm môn Toán nên còn gặp rất nhiều khó khăn; có thầy cô tỏ ra lúng túng
khi học trò hỏi: “Có cách nào giải nhanh hơn không ạ ?”, “Làm sao để giải
nhanh Toán trắc nghiệm ạ ?”, “Cách giải nhanh này có đúng bản chất

Toán học không ạ ?”, “Các dạng toán khó trong đề thi trắc nghiệm là
những dạng nào ạ ?”….
Trước thực trạng đó, tôi đã đề xuất họp tổ chuyên môn cùng thảo luận và
tìm cách giải quyết. Trong quá trình tìm tòi, học hỏi và không ngừng suy nghĩ
tôi đã tìm ra một số kỹ thuật giúp học sinh lớp 12 giải nhanh toán trắc nghiệm
như: Kỹ thuật “ Mã hóa”, kỹ thuật đặc biệt hóa, kỹ thuật sử dụng công thức
đặc biệt và tính chất đặc biệt, kỹ thuật sử dụng tính năng đặc biệt của máy
tính cầm tay,…
Sau đây, tôi xin mạnh dạn trao đổi cùng đồng nghiệp một số kỹ thuật mà
tôi đã đúc rút được. Rất mong nhận được sự quan tâm và góp ý của quý đồng
nghiệp.
2.3. Các sáng kiến đã áp dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Kỹ thuật “Mã hóa”
+ Nội dung của kỹ thuật “Mã hóa”


Để giải nhanh một bài toán trắc nghiệm bằng phương pháp “Mã hóa” ta làm
theo 2 bước sau:
Bước 1: Mã hóa đề bài và 4 phương án trả lời (Tổng quát hóa đề bài và 4
phương án trả lời)
Bước 2: Thử với một giá trị n phù hợp từ đó đưa ra phương án đúng (Thử với
1 giá trị n nhỏ và thỏa mãn điều kiện của giả thiết bài toán)
+ Phạm vi áp dụng: Các bài toán tính tổng và các bài toán có thể tổng
quát hóa.
+ Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. (Trích đề thi thử trường THPT Triệu Sơn 2 tháng 3/2017)
Cho hàm số

4x
. Hãy tính tổng sau:

f ( x) = x
4 +2

 1 
S = 1009 + f 
÷+
 2017 
A. S = 2017
C. S = 1008

 2 
 2016 
f
÷+ ... + f 
÷
 2017 
 2017 
B. S = 1009
D. S = 4034

[2]

Cách 1. Giải bằng phương pháp tự luận.
Trước hết ta chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f ( a) + f (b) = 1 (*)
Thật vậy
4a
41−a
4a
4
4a + 2

f ( a) + f (b) = f ( a) + f (1 − a ) = a
+
=
+
=
=1
4 + 2 41−a + 2 4a + 2 4 + 2.4a 4 a + 2
Suy ra
  1 
S = 1009 +  f 
÷+
2017

 

  1008 
 2016  
f
÷ + ... +  f 
÷+
2017
2017



 

 1009  
f
÷ = 1009 + 1008 = 2017

2017



Vậy ta chọn đáp án A.
Cách 2. Giải bằng kỹ thuật “Mã hóa”
Bước 1. Mã hóa đề bài và 4 đáp án.
Mã hóa bài toán với n tương ứng là 2017 thì suy ra 1009 =
Vậy ta có S =

n +1
+
2

1
f  ÷+ ... +
n

A. S = 2017 mã hóa thành S = n

2017 + 1 n + 1
=
.
2
2

 n −1
f
÷ và 4 đáp án được mã hóa thành:
 n 

B. S = 1009 mã hóa thành S =

n +1
2


n −1
D. S = 4034 mã hóa thành S = 2n
2
Bước 2. Thử với một giá trị n phù hợp, thử với n = 3 ta được
C. S = 1008 mã hóa thành S =

3 +1
S=
+
2

1
f  ÷+
3

1/3

2/3

4
4
2
f  ÷ = 2 + 1/3
+ 2/3

=3
4 +2 4 +2
3
B. S = 2
D. S = 6

A. S = 3
C. S = 1
Vậy đáp án A là đáp án đúng.
*Nhận xét:
Đây là một bài toán khó đối với nhiều học sinh, nếu giải bằng phương pháp tự
luận thì học sinh gặp phải khó khăn là không phát hiện ra tính chất: Nếu
a + b = 1 thì f ( a) + f (b) = 1 (*) để dồn tổng S thành 1008 cặp có tổng mỗi cặp
bằng 1. Học sinh cũng không thể bấm máy để tính tổng vì vượt quá khả năng
của máy vì vậy cũng không thử được đáp án hoặc sử dụng phương pháp loại
trừ.Vậy để chọn đáp án đúng cho bài toán trên trong thời gian ngắn nhất mà
không sử dụng tính chất (*) thì cách giải thứ 2 bằng kỹ thuật “Mã hóa” là
nhanh nhất. Nếu mã hóa đúng cho đề bài và 4 đáp án thì ta đã có một bài toán
tổng quát đúng, vì vậy ta có thể thử với n = 2,3,4,... ta đều thu được kết quả
đúng.
Ví dụ 2. (Trích đề thi thử trường THPT Hai Bà Trưng- Thừa Thiên Huế năm
2017)
Tính tổng S = 1009 + i + 2.i 2 + 3.i 3 ... + 2017.i 2017
A. S = 1009 + 2017.i
B. S = 1009 − 2017.i
C. S = 2017 + 1009.i
D. S = 2017 − 1009.i
Cách 1. Giải bằng phương pháp tự luận.
Ta có S = 1009 + i + 2.i 2 + ... + 2017.i 2017 = 1009 + (i + 5i 5 + ... + 2017.i 2017 )
+(2.i 2 + 6.i 6 + ... + 2014.i 2014 )

+(3.i 3 + 7.i 7 + ... + 2015.i 2015 )
+(4.i 4 + 8.i8 + ... + 2016.i 2016 )
Mà i + 5i 5 + ... + 2017.i 2017 = i (1 + 5 + 9 + ... + 2017) = 509545.i
2.i 2 + 6.i 6 + ... + 2014.i 2014 = i 2 (2 + 6 + 10 + ... + 2014) = −508032
3.i 3 + 7.i 7 + ... + 2015.i 2015 = i 3 (3 + 7 + 11 + ... + 2015) = −508536.i

[2]


4.i 4 + 8.i 8 + ... + 2016.i 2016 = 4 + 8 + 12 + ... + 2016 = 509040
Suy ra S = 2017 + 1009.i . Vậy ta chọn đáp án C.
Cách 2. Giải bằng kỹ thuật “Mã hóa”
Bước 1. Mã hóa đề và 4 đáp án (Tổng quát hóa bài toán với n tương ứng là
n +1
+ i + 2.i 2 + ... + n.i n
2
n +1
n +1
+ n.i
− n.i
A. S = 1009 + 2017.i =
B. S = 1009 − 2017.i =
2
2
n +1
n +1
.i
.i
C. S = 2017 + 1009.i = n +
D. S = 2017 − 1009.i = n −

2
2
Bước 2. Thử với một giá trị n phù hợp. Ta thử với n = 5 .
5 +1
+ i + 2.i 2 + 3.i 3 + 4.i 4 + 5.i 5 = 5 + 3.i
Ta được Tính tổng S =
2
5 +1
5 +1
+ 5.i = 3 + 5.i
− 5.i = 3 − 5.i
A. S =
B. S =
2
2
5 +1
5 +1
.i = 5 + 3.i
.i = 5 − 3.i
C. S = 5 +
D. S = 5 −
2
2
Vậy đáp án C là đáp án đúng.
*Nhận xét:
Đây là một bài toán khó, nếu giải tự luận ta sẽ mất rất nhiều thời gian vì ta
phải tách S thành 4 tổng, mỗi tổng gồm các số hạng cách nhau 4 vị trí, sau đó
ta dùng công thức tính tổng của cấp số cộng và tính chất của đơn vị ảo i để
tính riêng từng tổng và cuối cùng ta mới đưa ra được tổng S = 2017 + 1009.i
2017). Tính tổng S = 1009 + i + 2.i 2 + ... + 2017.i 2017 =

Vậy trong ít phút, để kịp chọn đáp án đúng cho bài toán trên thì ta nên sử
dụng cách giải thứ 2 bằng kỹ thuật “Mã hóa” với chú ý: Khi gặp bài toán có
i
chứa lũy thừa của đơn vị ảo
thì ta phải nhớ:
i 4 n = 1, i 4 n+1 = i , i 4 n +2 = −1, i 4 n+3 = −i . Vì vậy ở bài này ta phải thử với
n = 1,5,9,... là những số tương đồng với 2017 ở đặc điểm là khi chia 4 dư 1.
Qua 2 ví dụ trên đã cho ta thấy tác dụng rất tích cực của kỹ thuật “Mã hóa”
khi giải toán trắc nghiệm. Để trải nghiệm thêm về kỹ thuật này chúng ta cùng
làm một số bài tập áp dụng sau.
+ Bài tập áp dụng.
Bài 1. Tính tổng S = 1 + i + i 2 + i 3 + ... + i 2017
A. S = 1
B. S = i
C. S = 2017

D. 1 + i

[3]


0
1
2
2017
C2017
C2017
C2017
C2017

−
+
− ... −
Bài 2. Tính tổng S =
1
2
3
2018

A. S =

1
2016

B. S =

1
2017

C. S =

1
2018

D. S =

2017
2018

3

18
+ C206 + ... + C20
Bài 3. Tính tổng S = C200 + C20

220 − 1
A. S =
3

221 − 1
B. S =
3

220 + 1
C. S =
3

2016 x
Bài 4. Cho f ( x) =
. Tính tổng S =
2016 x + 2016

A. S = 2016

B. S = 2017


Bài 5. Cho f ( x) =  x


A. f ( f (2017)) = 1

1
1+
2log 4 x

C. f ( f (2017)) = 2016

+8

 1 
f
÷+
 2017 

C. S = 1008
1
3log 2 2
x

220 − 1
D. S =
2
 2 
f
÷ + ... +
 2017 

 2016 
f
÷

 2017 

D. S = 2016

[2]

1
2


+ 1÷ − 1 . Tính f ( f (2017))
÷

B. f ( f (2017)) = 1009
D. f ( f (2017)) = 2017

[2]

2.3.2. Kỹ thuật đặc biệt hóa
+ Nội dung của kỹ thuật đặc biệt hóa
Đối với những bài toán có tính tổng quát như: Với mọi hàm chẵn f ( x) ta
có…, với một điểm M bất kì nằm trong tứ diện đều ABCD ta có…, với mọi
giá trị m dương ta có…, Cho P và Q là hai điểm bất kì trong không gian ta
có…thì kết quả của bài toán sẽ luôn đúng trong mọi trường hợp thỏa mãn giả
thiết của bài toán; vì vậy ta sẽ chọn một trường hợp đặc biệt để kiểm tra đáp
số và đưa ra lựa chọn đúng mà nhanh nhất.
+ Phạm vi áp dụng: Các bài toán có dạng tổng quát.
+ Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. (Trích đề thi thử lần 3 trường THPT Triệu Sơn 3 năm 2017)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a và một điểm M không nằm ngoài tứ

diện. Tính tổng khoảng cách d từ M đến 4 mặt của tứ diện ABCD .
a 3
a 3
a 6
B. d =
C. d =
6
3
2
Cách 1: Giải bằng phương pháp tự luận
A. d =

D. d =

a 3
2

[2]


a3 2
a2 3 d , d , d , d
Ta đặt V = VABCD =
; S = S∆ABC =
; 1 2 3 4 lần lượt là khoảng
12
4
cách từ M đến các mặt của tứ diện.
1
Ta có: V = VM . ABC + VM . ABD + VM . BCD + VM . ABD = (d1 + d 2 + d3 + d 4 ).S

3
a3 2
3V
= 24 = a 3 . Vậy ta chọn đáp án A.
Suy ra d = d1 + d 2 + d3 + d 4 =
S
a 3
6
4
Cách 2. Giải bằng kỹ thuật đặc biệt hóa.
Vì tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện luôn không đổi, nghĩa
là không phụ thuộc vào vị trí của M trong tứ diện nên ta chọn M trùng với A.
Khi đó d1 = d 2 = d 4 = 0 ⇒ d = d3 = d ( A,( BCD )) = AG = AB 2 − BG 2 =

a 6
,
3

với G là trọng tâm tam giác đều BCD . Vậy đáp án đúng là A.
* Nhận xét.
Đây là một bài toán không dễ đối với nhiều học sinh, kể cả học sinh khá
nhưng biết cách thì lại rất nhanh chóng có được đáp án.
Nếu giải bằng phương pháp tự luận thì sẽ mất nhiều thời gian và công sức vì
phải biết tách tứ diện thành 4 khối chóp có cùng diện tích đáy, ngoài ra còn phải
tính thể tích của tứ diện ABCD . Còn khi đặc biệt hóa, ta chọn M trùng với một
trong 4 đỉnh của tứ diện thì đã có 3 khoảng cách đến 3 mặt bằng 0, vậy chỉ còn
tính chiều cao của tứ diện là song.
Ở đây ta cũng có thể lấy M trùng với tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện; suy ra
3V a 6
d = 4.r với r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Vậy d = 4.r = 4.

=
4S
3
.
Ví dụ 2. (Trích đề thi thử lần 2 trường THPT Triệu Sơn 3 năm 2017)
b

Cho f ( x) là hàm số chẵn thỏa mãn

∫ f ( x)dx = M .
0

b

Tính I =

f ( x)
∫ a x + 1dx theo M , biết a > 0, b > 0 .
−b


B. I = (a + b) M

A. I = 2bM

C. I = M

D. I = 2M

[2]

Cách 1. Giải bằng phương pháp tự luận
Đặt x = −t → dx = − dt .
−b

b

b

b

f ( x)
f ( −t )
f (t ).a t
f (t ) 

I = ∫ x dx = − ∫ −t
dt = ∫ t
dt = ∫  f (t ) − t
 dt
a
+
1
a
+
1
a
+
1
a

+
1

−b
b
−b
−b

Khi đó
b

=

∫ f (t )dt − I

−b

b

Suy ra 2 I =

∫ f (t )dt . Vì

f (t ) là hàm chẵn nên:

−b
b

b

b

−b

0

0

∫ f (t )dt = 2∫ f (t )dt = 2∫ f ( x)dx .

b

Vậy I = ∫ f ( x )dx = M . Ta chọn đáp án C.
0

Cách 2. Giải bằng kỹ thuật đặc biệt hóa
Vì bài toán luôn đúng với mọi hàm f ( x) chẵn xác định và có nguyên hàm
trên [ −b; b ] với a, b dương tùy ý nên ta chọn f ( x) = x 2 và a = b = 1. Khi đó ta
1

1
có M = ∫ x dx =
3
0
2

1

x2
x3

và I = ∫ dx =
2
6
−1

1

1
= . Vậy I = M nên ta chọn đáp án C.
3
−1

* Nhận xét.
Đây là một bài toán khó, nếu giải tự luận thì học sinh phải biết đổi biến số
rất khéo léo là đặt x = −t và phải thạo tính chất của hàm số chẵn và tích phân
của hàm số chẵn. Nhưng nếu sử dụng kỹ thuật đặt biệt hóa thì bài toán lại trở
nên rất đơn giản. Qua ví dụ này một lần nữa cho ta thấy sức mạnh của kỹ thuật
đặc biệt hóa trong giải toán trắc nghiệm.
+ Bài tập áp dụng
Bài 1. (Trích đề thi thử lần 5 của trường Chuyên KHTN –Đại học KHTN- năm
2017)
Cho tứ diện ABCD có A(3; −1;1), B (−1;0; −2), C (4;1; −1), D(3;2; −6) . Hai điểm
P, Q bất kì thỏa mãn: PA = QB, PB = QC , PC = QD, PD = QA . Biết mặt phẳng
trung trực của PQ luôn đi qua một điểm cố định X . X thuộc mặt phẳng nào
trong các mặt phẳng sau:
A. x − 3 y − 3 z − 9 = 0
C. 3 x − 3 y + z − 6 = 0

B. 4 x − y + 3 z − 3 = 0
D. x + y − 3z − 12 = 0

[2]


Bài 2. (Trích đề thi KSCL lớp 12 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2017)
Cho f ( x) là một hàm số chẵn, liên tục trên R và

2

1

−2

0

∫ f ( x) = 2 . Tính I = ∫ f (2 x)

1
D. I = 1
[5]
2
Bài 3. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và
OA = a, OB = b, OC = c . Điểm M thuộc miền trong tam giác ABC . Gọi
x, y, z tương ứng là khoảng cách từ M đến các mặt (OBC ),(OCA),(OAB ) ,
A. I = 2

B. I = 4

C. I =

khi đó biểu thức nào sau đây là đúng?
x y z
x y z
x y z
x y z
A. + + < 1 B. + + > 1 C. + + = 1 D. + + = 3
[3]
a b c
a b c
a b c
a b c
Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' . Mặt phẳng đi qua AB và trung
điểm cạnh B ' C ' chia lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần
đó.
7
6
7
7
B.
C.
D.
[3]
5
5
12
4
2.3.3. Kỹ thuật sử dụng tính chất đặc biệt, công thức đặc biệt
+ Nội dung của kỹ thuật sử dụng tính chất đặc biệt, công thức đặc biệt
Trong quá trình học tập, thầy cô đã trang bị cho học sinh rất nhiều những
tính chất đặc biệt và những công thức đặc biệt mà có thể trong sách giáo khoa

không có hoặc không được nhấn mạnh, ví dụ như: Công thức tính diện tích
Elip; công thức tính thể tích chỏm cầu; tính chất về trục đối xứng của đồ thị
A.

hàm số y =

ax + b
; công thức mua trả góp, gửi lãi theo kì; các phép biến đổi
cx + d

đồ thị của các hàm có chứa dấu . ; công thức tính nhanh giá trị cực trị của các
hàm phân thức hữu tỷ; tích phân của hàm chẵn, hàm lẻ; công thức tính thể tích
và bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp các khối đa diện đều 4 mặt, tám mặt,
12 mặt;…
Nếu học sinh nhớ được các tính chất đặc biệt và các công thức đặc biệt
này thì khi làm toán trắc nghiệm sẽ nhanh hơn rất nhiều.
+ Phạm vi áp dụng: Các bài toán có liên quan đến các hình đặc biệt, các
hàm đặc biệt và các trường hợp đặc biệt.
+ Ví dụ minh họa


Ví dụ 1. Cho hàm số y =

x +1
(C ) . Tính khoảng cách lớn nhất giữa 2 tiếp
x−2

tuyến của đồ thị (C ) .
A. 2 3

B. 3 6

C. 4 3

D. 2 6

Cách 1. Giải bằng phương pháp tự luận
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của một trong hai tiếp tuyến song song của đồ
thị (C ) . Tâm đối xứng của (C ) là I (2;1) . Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến bằng
2 lần khoảng cách từ I đến một trong 2 tiếp tuyến. Suy ra khoảng cách giữa 2
tiếp tuyến lớn nhất khi IM lớn nhất, khi đó tiếp tuyến tại M sẽ vuông góc
uuur
với IM . Vậy tiếp tuyến có véc tơ pháp tuyến là IM = ( x0 − 2; y0 − 1) , suy ra hệ
số góc của tiếp tuyến là k =

−( x0 − 2)
. Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến tại
y0 − 1

M là k = f '( x0 ) . Từ đó suy ra

−( x0 − 2)
= f '( x0 ) ⇒ x0 = 2 ± 3
y0 − 1

Với x0 = 2 − 3 ⇒ y0 = 1 − 3 ⇒ IM = 6 . Vậy khoảng lớn nhất giữ 2 tiếp
tuyến của (C ) là d Max = 2.IM = 2 6 . Chọn đáp án D là đúng.
Cách 2. Sử dụng tính chất đặc biệt
Tính chất đặc biệt ở đây là: Vì (C ) là một Hypebol nên tiếp điểm
M ( x0 ; y0 ) thỏa mãn bài toán là đỉnh của Hypebol đó và chính là giao điểm của

đồ thị (C ) với trục đối xứng (d ) : y = x − 1 của nó. Từ đó suy ra x0 = 2 ± 3
Với x0 = 2 − 3 ⇒ y0 = 1 − 3 ⇒ IM = 6 . Vậy khoảng lớn nhất giữ 2 tiếp
tuyến của (C ) là d Max = 2.IM = 2 6 . Chọn đáp án D là đúng.
* Nhận xét.
Đây là một bài toán lạ và khó đối với đa số học sinh. Nếu giải bằng
phương pháp tự luận thì sẽ mất rất nhiều thời gian. Vậy để nhanh chóng chọn
được đáp án đúng ta nên ghi nhớ tính chất đặc biệt của đồ thị hàm số
y=

ax + b
(C ) sau đây để giải nhanh một số bài toán khó liên quan.
cx + d


−d a
; ) và có hai
c c
trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi 2 tiệm cận, nên có
- Đồ thị (C ) là một đường Hypebol có tâm đối xứng là I = (

a+d
a−d
và y = − x +
c
c
- Hai giao điểm M , N của (C ) với trục đối xứng của nó thỏa mãn một số tính
phương trình là: y = x +

chất đặc biệt sau:
Tính chất 1: M , N là 2 điểm lần lượt trên 2 nhánh của (C ) có khoảng cách

ngắn nhất.
Tính chất 2: Tiếp tuyến tại M , N vuông góc với IM , IN .
Tính chất 3: M , N là 2 có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận bé nhất.
Tính chất 4: M , N là 2 điểm có tiếp tuyến tại đó cách xa nhau nhất.
Tính chất 5: M , N là 2 điểm thỏ a mãn tổng OM 2 + ON 2 bé nhất, với O(0;0) .
Ví dụ 2 (Trích đề KSKT lớp 12 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2017)
Tính thể tích V của khối chóp S . ABC có độ dài các cạnh
SA = BC = 5a, SB = AC = 6a và SC = AB = 7a.
35
35 2 3
B. V = a 3
C. V = 2 95.a 3 D. V = 2 105.a 3
[5]
a
2
2
Cách 1. Giải bằng phương pháp tự luận (Do Sở GD&ĐT Thanh Hóa công
bố)
Qua các đỉnh của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối
diện, chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác MNP như hình vẽ.
A. V =

1
Dễ thấy tứ diện S.MNP là tứ diện vuông đỉnh S và VS . ABC = VS .MNP
4
Đặt x = SM , y = SN , z = SP , ta có:
 x 2 + y 2 = 4 ( 5a ) 2
 x 2 = 76a 2

 2

2
 2
2
2
 y + z = 4 ( 6a ) ⇔  y = 24a
 2
 z 2 = 120a 2
2
2
z
+
x
=
4
7
a
(
)


1
1
⇒ VS . ABC = VS .MNP =
xyz = 2 95a 3
4
24
Cách 2. Sử dụng công thức đặc biệt .
Công thức đặc biệt sử dụng cho bài toán này là công thức tính thể tích của
tứ diện gần đều. Nếu tứ diện có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và lần lượt

x, y , z

bằng
V=

1
6 2

thì

tứ

diện

có

thể

tích

là

( x 2 + y 2 − z 2 )( x 2 + z 2 − y 2 )( y 2 + z 2 − x 2 ) (*)

Theo bài ra ta thấy SABC là một tứ diện gần đều có x = 5a, y = 6a, z = 7a nên
có thể tích là V =

1
6 2

(52 + 62 − 7 2 )(52 + 7 2 − 62 )(62 + 7 2 − 52 ) a 6 = 2 95.a 3 .

Vậy chọn đáp án C.
* Nhận xét:
Đây là một bài toán thật sự khó đối với học sinh lần đầu gặp hoặc chưa biết
công thức (*). Nếu giải bằng tự luận thì học sinh phải dựng thêm hình, phải
chứng minh S .MNP là tứ diện vuông đỉnh S và phải lập hệ giải tìm cạnh của tứ
diện S .MNP rồi sử dụng tỉ lệ thể tích để tìm V . Nhưng nếu học sinh nhớ được
công thức (*) thì bài toán trở nên quá dễ dàng và chỉ cần bấm máy là có được
kết quả.
Qua ví dụ này, một lần nữa cho chúng ta thấy rõ hơn sức mạnh của những
công thức đặc biệt trong khi thi trắc nghiệm khách quan môn Toán.
Một số công thức đặc biệt khác:
x2 y 2
+ Diện tích của (E): 2 + 2 = 1 là S = abπ
a
b
+ Thể tích khối bát diện đều có đỉnh là tâm các mặt của lập phương cạnh a là
a3
V= .
6
+ Thể tích của khối lập phương có các đỉnh là tâm các mặt của một bát diện
3

a 2
đều cạnh a là V = 
÷
 3 

+ Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi (P) là mặt phẳng đi
qua A, song song với BC và vuông góc với mp(SBC), góc giữa (P) và đáy là α
a 3 .cot α
24
+ Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h của mặt cầu bán kính R là
. Khi đó thể tích của S.ABC là V =

h
V = π h2 ( R − )
3


+ Khối nón cụt có bán kính 2 đáy là R, r và khoảng cách 2 đáy là h có thể
tích

là

V=

π
h( R 2 + r 2 + Rr ) ,
3

có

diện

tích

xung

quanh

là

S = π ( R + r ) h2 + (R − r )2
a

+ Nếu f ( x) là hàm số lẻ và liên tục trên [ − a; a] thì

∫ f ( x)dx = 0

−a
a

a

f ( x)
+ Nếu f ( x) là hàm số chẵn thì ∫ x dx = ∫ f ( x) dx
b +1
−a
0
π

π

0

0

+ Nếu f ( x) liên tục trên [0;π ] thì ∫ xf (sin x) dx = ∫ f (sin x) dx
+ Bài tập áp dụng
2π

x 2016 sin x
dx .
Bài 1. Tính I = ∫
1
+
cos
2017
x
−2π
1
D. I = 1
2016
Bài 2. Tính diện tích phần bù của Elip trong hình tròn, biết hình tròn có R=5,
Elip có trục là 4 và 2.
A. I = 2016

C. I =

B. I = 0

B. S = 33π

A. S = 25π − 8

C. S = 17π

D. S =

17π
2

Bài 3. Cho lập phương cạnh 3 2 . Tính thể tích khối bát diện tạo bởi các tâm
của các mặt hình lập phương đã cho.
A. V =

27 2
6

B. V = 9 2

C. V = 18 2
2016

D. V = 27 2

f ( x)
dx = 2017 .Tính I =
Bài 4. Cho f ( x) là hàm số chẵn và ∫
x
2017
+
1
−2016
A. I = 2017

B. I = 2016

sin

Bài 5. Tính I =

∫
sin

A. I = 2017

π
5

6π
5

C. I = 0

[2]

2016

D. I =

∫

f ( x)dx

0

2017

2

2

2017 x .sin 2017 ( x)
dx
( x 2 + 1)cos(x)
B. I =

2017
2

C. I = 0

D. I = −2017


2.3.4. Kỹ thuật sử dụng tính năng đặc biệt của máy tính cầm tay (fx-570
ES, VinaCal, fx-570 VN Plus, fx-570 ES Plus)
+ Nội dung của kỹ thuật
Để giải nhanh một số bài toán khó, chúng ta có thể sử dụng một số tính năng
đặc biệt của máy tính cầm tay như:
Shift Solve để giải phương trình.
Model 7 để tìm min, max của hàm số hoặc xét tính đơn điệu của hàm số trên
một khoảng.
Calc để tính giá trị của biểu thức một biến, hai biến.
Chúng ta còn có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính đạo hàm tại một điểm,
tính giới hạn hàm số, tính tích phân, tính logarit, tìm căn bậc 2 của một số
phức, tính tích vô hướng, …
+ Phạm vi áp dụng: Các bài toán giải phương trình, tìm min max của

hàm số, tính tích phân, tính giới hạn, tính logarit, tìm căn bậc 2 của số phức,
tính giá trị của biểu thức nhiều biến,…
+ Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. (Trích đề thi thử nghiệm của Bộ GD&ĐT năm 2017-Câu 26 )
4

Biết

∫x
3

dx
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 , với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng
+x

2

S =a+b+c.
A. S = 6

B. S = 2

C. S = −2

D. S = 0

[1]

Cách 1. Giải tự luận
4

4

4

4

4

dx
dx
1 
dx
dx
1
I =∫ 2
=∫
= ∫ −
= ln x 34 − ln( x + 1)
÷dx = ∫ − ∫
x + x 3 x( x + 1) 3  x x + 1 
x 3 x +1
3
3
= 2ln 2 − ln 3 + ln 5
Suy ra a = 2, b = −1, c = 1 . Vậy S = 2 . Chọn đáp án B.
Cách 2. Sử dụng tính năng đặc biệt của máy tính cầm tay
4

- Bấm máy ta tính được

dx
∫3 x 2 + x ; 1,897119985

- Lưu kết quả trên bằng A (sử dụng tổ hợp phím shift sto A)
- Ta có
A = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 ⇔ A = ln(2 a.3b.5c ) ⇔ 2 a.3b.5c = e A =

20
= 2 2.3−1.5
3

4
3


Đồng nhất hai vế ta suy ra a = 2, b = −1, c = 1 . Vậy S = 2 . Chọn đáp án B.
Ví dụ 2. (Trích đề thi minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2017-Câu 6)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x2 + 3
trên [ 2;4]
x −1

y=6
A. min
[2;4]

y = −3
C. min

[2;4]

y = −2
B. min
[2;4]

D. min y =
[2;4]

19
3

[1]

Cách 1. Giải tự luận
- Ta có y ' =

x2 − 2x − 3
, y ' = 0 ⇒ x = 3 ∈ [2;4], x = −1∉ [2;4]
( x − 1) 2

19
y = y (3) = 6
. Vậy min
[2;4]
3
Cách 2. Sử dụng tính năng đặc biệt của máy tính cầm tay
- Ta có y (2) = 7, y (3) = 6, y (4) =

x2 + 3

- Bấm Model 7, nhập y =
x −1
- Chọn start =2, end=4, step=0.5
Kết quả trên máy hiện ra như sau:
Stt
x
1
2
2
2.5
3
3
4
3.5
5
4
y = y (3) = 6 . Ta chọn đáp án A.
Vậy min
[2;4]

f(x)
7
6.1(6)
6
6.1
6.(3)

Ví dụ 3. (Trích đề thi minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2017-Câu 17)
Đặt a = log 2 3; b = log 5 3 . Hãy biểu diễn log 6 45 theo a và b .
a + 2ab

A. log 6 45 =
ab
C. log 6 45 =

2a 2 − 2ab
B. log 6 45 =
ab

a + 2ab
ab + b

2a 2 − 2ab
D. log 6 45 =
[1]
ab + b

Cách 1. Giải tự luận
Ta có log 6 45 = log 6 9 + log 6 5 =
Ta lại có log 2 5 =

2log 2 3
log 2 5
2a log 2 5
+
+
=
log 2 3 + 1 log 2 3 + 1 a + 1 a + 1

log 3 5 log 2 3 a
=

= .
log 3 2 log 5 3 b


Suy ra log 6 45 =

2a
a
2ab + a
+
=
. Vậy ta chọn đáp án C
a + 1 b(a + 1) ab + b

Cách 2. Sử dụng tính năng đặc biệt của máy tính cầm tay
- Ta nhập và lưu log 2 3 = A , log 5 3 = B , log 6 45 = C
- Ta bấm kiểm tra : Với đáp án A. Ta bấm C −

A + 2 AB
≠0
AB

A2 − 2 AB
≠0
AB
A + 2 AB
= 0 . Vậy đáp án đúng là C.
Với đáp án C. Ta bấm C −
AB + B

Với đáp án B. Ta bấm C −

* Nhận xét:
Qua 3 ví dụ trên ta thấy, nếu biết khai thác các tính năng đặc biệt của máy
tính cầm tay một cách hợp lý thì sẽ giải toán trắc nghiệm nhanh hơn rất
nhiều; đặc biệt đối với những bài toán khó thì ta lại càng thấy được tác dụng
tích cực của máy tính cầm tay trong quá trình giải toán trắc nghiệm. Tuy
nhiên chúng ta không nên lạm dụng và phụ thuộc nhiều vào máy tính cầm tay
vì máy tính có thể chỉ cho ta kết quả gần đúng hoặc bản chất toán học không
còn đúng nữa. Ví dụ có bạn bấm máy tính đạo hàm của hàm số f ( x) = x − 1
d
( x − 1)
dx
+ Bài tập ứng dụng.
tại x = 1 ta được

x =1

= 0 là sai, vì thực tế không tồn tại f '(1) .

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = ( x + 4)(6 − x) + x 2 − 2 x
A. 24
Bài 2. Biết

B. 24,25
π2
16

C. 24,05

D. 23,75

xdx = a 2(1 + bπ ) với a, b ∈ Q . Tính S = a + 4b

∫ sin
0

A. S = 0

B. S = 1

C. S = −1

D. S = 2

[2]

Bài 3. Cho 2 x + 3 y = 10 . Giá trị lớn nhất của P = x 2 y 3 là:
A. 32

B. 55

C. 28

D. 29

2

2
Bài 4. Cho biết ∫ ln(9 − x ) dx = a ln 5 + b ln 2 + c , với a, b, c ∈ Z .

1

Tính S = a + b + c
A. S = 34

B. S = 13

C. S = 18

D. S = 26

[2]


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi áp dụng các kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán để giảng
dạy cho lớp 12B2, 12B4 trường THPT Triệu Sơn 3 trong một thời gian, tôi đã
cho học sinh làm các đề thi thử và tham gia khảo sát 3 lần do nhà trường tổ
chức (trong đó có 1 lần là đề của Sở GD&ĐT Thanh Hóa), tôi đã rất vui mừng
nhận được một số kết quả khả quan sau: Các em học sinh thấy tự tin hơn,
hứng thú hơn với trắc nghiệm Toán, làm bài nhanh hơn, sáng tạo hơn trong tư
duy giải toán trắc nghiệm, kết quả làm bài trắc nghiệm Toán tiến bộ hơn rất
nhiều.
Kết quả các bài kiểm tra của 3 lần khảo sát liên tiếp như sau:

Lớp

Sĩ
số

Điểm khảo
sát lần 1
Giỏi

12B2 48
12B4 2 45

Khá

Điểm khảo sát
lần 2

TB Yếu, Giỏi
Kém

Khá

TB

Điểm khảo sát
lần 3 (Làm đề
KS của Sở
GD&ĐT)

Yếu, Giỏi Khá
Kém

TB Yếu,
Kém

0 6
23 19 2 11 21 14 3 18 19 8
4 15 16 10 7
21 12
5 11 25
8 1
(Số liệu do thư ký hội đồng khảo sát của nhà trường thống kê và cung cấp)
Nhìn vào bảng thống kê ta thấy số điểm yếu kém đã giảm nhiều, đặc biệt
số điểm khá giỏi đã tăng lên đáng kể vì nhiều em đã chinh phục được các câu
ở mức độ vận dụng và vận dụng cao bằng các kỹ thuật giải nhanh mà các em
đã được học.
Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tại tổ chuyên môn, tôi đã đưa ra các
kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán để đồng nghiệp góp ý và tôi cũng
nhận được sự quan tâm cũng như những lời khen ngợi từ đồng nghiệp; trong
đó cũng có đồng chí đã đưa ra các bài tập để tôi thử giải bằng các kỹ thuật đó
và so sách với cách giải khác; kết quả là những bài toán có thể áp dụng được
các kỹ thuật này thì cho kết quả nhanh hơn rất nhiều so với các cách giải khác.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Mỗi thầy (cô) giáo phải luôn phấn đấu là một tấm gương tự học và sáng tạo
để học trò noi theo, vì vậy trong quá trình giảng dạy và đặc biệt là trong giai
đoạn đổi mới giáo dục hiện nay thì người thầy càng phải luôn nỗ lực trong


việc học hỏi, đổi mới phương pháp, tìm tòi cái hay cái mới để truyền thụ cho
học trò. Đây có lẽ cũng là tiêu chí của một người thầy mà xã hội đang mong
muốn. Ý thức được điều đó nên bản thân tôi và đồng nghiệp ở trường THPT
Triệu Sơn 3 luôn phấn đấu không ngừng để ngày càng là điểm tựa vững trãi
cho học trò vươn xa hơn.

Khi áp dụng các kỹ thuật giải nhanh trắc nghiệm môn Toán cho học sinh
các lớp 12B2 và 12B4 tôi thấy các em học sinh đã rất hứng thú, tự tin và làm
bài nhanh hơn rất nhiều, đặc biệt là những bài ở mức độ vận dụng và vận dụng
cao. Vì vậy trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và áp dụng cho các
dạng toán ở chương trình lớp 10 và lớp 11, trong đó có bổ sung thêm một số
kỹ thuật khác nữa mà tôi đang ấp ủ.
3.2. Kiến nghị.
Trên đây là sáng kiến của tôi đã áp dụng cho một số lớp 12 của trường THPT
Triệu Sơn 3 trong năm học 2016-2017 và đã có kết quả rất khả quan, rất mong
được sự quan tâm của đồng nghiệp và áp dụng mở rộng cho khối lớp 10 và lớp
11 để các em có thêm tự tin khi tham gia kì thi THPT quốc gia.
Rất mong các cấp lãnh đạo của nhà trường, của ngành tổ chức thêm các buổi
chuyên đề để giáo viên trao đổi về các phương pháp, các kỹ thuật giải trắc
nghiệm môn Toán nhằm nâng cao hơn nữa chất lượng môn Toán trong thời gian
tới. Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.

Vũ Đoàn Kết