Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ

MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu

2

I.1

Lý do chọn đề tài ...............................................................................2

I.2

Mục đích nghiên cứu.........................................................................2

I.3

Đối tượng nghiên cứu.........................................................................2

I.4

Phương pháp nghiên cứu....................................................................2

2. Nội dung SKKN

3

2.1 Cơ sở lý luận.......................................................................................3
2.2 Thực trạng vấn đề...............................................................................3
2.2.1 Sai lầm khi giải điều kiện................................................................4
2.2.2 Sai lầm khi đặt điều kiện................................................................. 5
2.2.3 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.......................................7

2.2.4 Sai lầm khi giải bài toán lên quan đến đạo hàm.............................12
2.3 Một số giải pháp................................................................................13
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ................................................15
3. Kết luận và kiến nghị

17

3.1 Kết luận............................................................................................. 16
3.2 Kiến nghị........................................................................................... 16

1


1 Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
Ở Trường phổ thông dạy toán là một hoạt động toán học. Đối với học sinh
có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán. Các bài toán
ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế trong
việc giúp học sinh nắm vững được tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ
năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Trong quá trình học môn toán ở trường THPT bất cứ một học sinh nào
cũng được làm quen với các dạng phương trình và cũng không tránh khỏi một
số sai lầm phổ biến khi giải phương trình vô tỉ. Vì vậy, tôi tập hợp các sai lầm
thường gặp của học sinh trong quá trình dạy học thành tập sáng kiến với tên gọi
“ Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ” . Từ đó rút ra kinh
nghiệm nhằm giúp các em học sinh học tập môn toán tốt hơn.Tập đúc rút kinh
nghiệm này gồm các nội dung sau:
Sai lầm trong khi giải điều kiện.
Sai lầm khi đặt điều kiện.
Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.

Sai lầm khi giải bài toán liên quan tới đạo hàm
1.2.

Mục đích nghiên cứu

Trong qua trình học toán ở trường phổ thông học sinh thường hay gặp khó
khăn khi giải phương trình vô tỷ. Vì vậy đề tài này sẽ chỉ ra ra một số sai lầm
mà học sinh dễ mắc phải khi giải phương trình vô tỉ đồng thời đề xuất một số
giải pháp để khắc phục các sai lầm đó.
1.3.

Đối tượng nghiên cứu

Phương trình vô tỷ( phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức)
1.4 . Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung
- Khảo sát điều tra từ thực tế và dạy học
2


- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm
Cách thực hiện:
- Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí có liên quan tới
dạy và học phương trình vô tỉ.
- Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo
trong tổ bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá
trình giảng dạy.
2. Nội dung SKKN

2.1. Cơ sở lý luận
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu” Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lưc,
bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc
biệt là bộ môn toán học rất cần thiết trong đời sống.
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững các tri thức khoa học ở môn
toán một cách hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào các dạng bài tập.
Điều đó đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần
định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống
trong chương trình phổ thông, vận dụng lý thuyết vào bài tập, phân dạng bài
tập rồi tổng hợp các cách giải cụ thể để tránh những sai lầm dễ mắc phải.

2.2. Thực trạng vấn đề
Trong gặp các bài toán về giải phương trình vô tỷ chưa phân dạng, học
sinh chưa định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện, sử dụng các
phép biến đổi không tương đương dẫn tới làm mở rộng hoặc thu hẹp miền xác
định của phương trình đó và dẫn tới miền nghiệm không chính xác bởi nó có
thể mất nghiệm hoặc thêm nghiệm.
Khi giải phương trình vô tỷ học sinh thường mắc những sai lầm sau:
2.2.1. Sai lầm thứ nhất: Sai lầm trong khi giải điều kiện.
Ví dụ 1: Giải phương trình

3


x2  1

x 1 x 1

Có học sinh giải như sau:
 x 2  1 0
ĐK: 
 x  1 0

 ( x  1)( x  1) 0
 x 1


 x  1 0
 x  1  x 1

(1)  ( x  1)( x  1)  x  1  x  1
Do x 1 nên chia hai vế cho x  1
Ta có:

x 1- 1 =

Với x 1 

x 1

x 1 <

x 1 

x  1 - 1<

x 1

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Phân tích sai lầm mắc phải ở đây là do học sinh lầm tưởng rằng
 AB 0

 A 0

 A 0

 B 0

Cho nên học sinh đã giải sai điều kiện
Lời giải đúng
 x 2  1 0
ĐK: 
 x  1 0

  x  1
 x 1

   x 1
 
 x  1
 x  1


Với x=-1 nghiệm đúng phương trình
Với x 1 giải như trên
Vậy phương trình có nghiệm x=-1
Giáo viên lưu ý cho học sinh
 AB 0


 A 0

 A  0

 B 0
 
  A 0

  B có nghia.

Ví dụ 2: Giải phương trình:
 x 3  3x  2  x  1  2

Có học sinh giải như sau:
  x 3  3 x  2 0
 ( x  1) 2 ( x  2) 0
 x  2 0


ĐK: 
 x  1
 x  1 0
 x  1

 x  2

 x  1

4

Vậy không tồn tại x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên phương trình đã
cho vô nghiệm.
Phân tích sai lầm học sinh mắc phải khi giải bất phương trình :
( x  1) 2 ( x  2) 0  x  2 0

Lời giải đúng:
  x 1
  x 3  3 x  2 0
 ( x  1) 2 ( x  2) 0


   x  2  x 1
ĐK: 
 x  1 0
 x  1
 x  1


Thay x=1 vào phương trình ta có:

2 2

Suy ra x=1 nghiệm đúng phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
2.2.2. Sai lầm thứ hai: Sai lầm khi đặt điều kiện.
1. Đối với phương trình dạng

f ( x )  g ( x) (1) học sinh thường biến đổi

như sau:
(1)  f ( x)  g 2 ( x)

(2)

 f ( x)  g 2 ( x)
Hoặc (1)  
 f ( x ) 0

(3)

Sau khi giải được nghiệm học sinh không thử lại với phương trình (1) mà
khẳng định ngay nghiệm của (2) hoặc (3) là nghiệm của (1) và kết luận đó là
nghiệm của phương trình ban đầu.
Để khắc phục sai lầm này cho học sinh giáo viên hướng dẫn cho học sinh
học theo phương pháp sau:
2n

 g ( x ) 0

2n
 f ( x)  g ( x)

f ( x)  g ( x)

(n  N )

Ví dụ 1: Giải phương trình x 2  1 2  x

(1)

Giải:
 2  x 0

(1)  

2

 x  1 ( 2  x )

2

 x 2
 

 4 x 5

2. Đối với phương trình dạng :

3

x

5
4

f ( x )  3 g ( x )  h( x )

(1)

Học sinh cần biến đổi như sau:
5


f ( x)  g ( x)  33 f ( x) g ( x) ( 3 f ( x)  3 g ( x) ) = h 3 ( x)

(1) 



f ( x)  g ( x)  33 f ( x) g ( x) h( x) h 3 ( x)

(2)

Sau khi giải song phương trình (2) học sinh kết luận luôn nghiệm của (2)
chính là nghiệm của (1)
Sai lầm của học sinh là coi (1) và (2) là hai phương trình tương đương,
nhưng thực ra đó không tương đương vì ta đã thay thế h(x) bởi

3

f ( x)  3 g ( x) .

Do đó để khắc phục sai cho học sinh ta nhấn mạnh rằng (1) và (2) không
tương đương, phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) nên khi giải xong
phải thử lại nghiệm vào phương trình (1).
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3

x  1  3 2 x  1 3 3 x  1

Giải:
(1)  x  1  2 x  1  33 ( x  1)(2 x  1) (3 ( x  1)  3 2 x  1) 3x  1
 33 ( x  1)(2 x  1)(3x  1) 3


6 x 3  7 x 2 0



x 2 (6 x  7) 0



 x 0

x 7
6


Thử lại (1) chỉ có x 

7
là thỏa mãn.
6

Vậy phương trình có nghiệm x 

7

6

3. Đối với phương trình dạng

f ( x) 

g ( x)  h( x) (1), học sinh thường

biến đổi như sau:
(1)

 f ( x ) 0

  g ( x ) 0

 f ( x) 



g ( x)



2

h( x )

6

Do đó để khắc phục sai lầm cho học sinh ta cần nhấn mạnh rằng muốn
bình phương 2 vế được phương trình tương đương thì 2 vế phải không âm.
Thực chất (1) 



f ( x )  g ( x )  h( x )

 g ( x ) 0

 h ( x ) 0

 f ( x)  g ( x )  h( x)





2

Nhiều học sinh kiến thức còn mắc phải sai lầm về kiến thức cơ bản
f ( x )  g ( x )  h( x )
 f(x) = g(x) + h(x).

2.2.3. Sai lầm thứ ba: Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.
Trong khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ học sinh thường mắc một
số sai lầm sau. Thứ nhất, khi đặt ẩn phụ học sinh thường lãng quên đặt điều
kiện của ẩn phụ, và cho rằng phương trình f  x   0 có nghiệm khi và chỉ khi
phương trình g  t   0 có nghiệm.Thứ hai, có đặt điều kiện nhưng điều kiện quá
hẹp, quá rộng hoặc không sát, đặt ẩn phụ t    x  để đưa phương trình về ẩn t,

tuy nhiên học sinh chỉ đưa ra một điều kiện cần đối với t chứ không phải là điều
kiện cần và đủ. Việc học sinh gặp sai lầm nói trên không chỉ giới hạn trong việc
giải những phương trình mà ngay cả rất nhiều dạng toán khác.
1. Học sinh không đặt điều kiện của ẩn phụ
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m  x 2 x  1

(1)

Giải:
Đặt:
(1)

x  1 1  x t 2  1
 m  t 2  1 2t
 t 2  2t  m  1 0

(2)

Học sinh thường mắc sai lầm: phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2)
có nghiệm  ' 1  m  1 0  m  2 .
7


Mà thực chất: phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm t  0.
Sử dụng kiến thức về đạo hàm ta có m + 1  0  m  -1.
2. Học sinh có đặt điều kiện của ẩn phụ nhưng nó mới là điều kiện cần
chứ chưa phải điều kiện đủ.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
(1)

2 x  x 2  2 x  x 2  m  1 0

Giải:
Đặt 2 x  x 2 t 0
(1)  t 2  t  m  1 0

(2)

Học sinh thường mắc sai lầm:
Phương trình (1) có nghiệm suy ra phương trình (2) nghiệm t  0.
Học sinh mắc phải sai lầm này là do nhầm tưởng rằng chỉ cần t  0 là đủ
nhưng thực ra t  0 mới chỉ là điều kiện cần.
Thực chất ta phải tìm điều kiện đủ của t.
Ta có: t = 2 x  x 2  x(2 x  x) 

x2 x
1
2

 t  [0,1] .

Vậy phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm t  [0,1]
 đường thẳng y = 1 – m cắt đồ thị hàm số y = t 2 + t tại những điểm có hoành

độ thuộc [0, 1].
 0 1 – m 2
 -1  m  1

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2(x2 – 2x) + x 2  2 x  5  m 0 (1)
H.D giải: Đặt t = x 2  2 x  5 ta có phương trình: 2t2 + t - m – 10 = 0 (2)
Giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh :
- Hãy chỉ ra miền xác định của ẩn x? (x2 – 2x +5 0  x  |R)
- Với những giá trị của x thuộc miền xác định chỉ ra miền giá trị của t ?
t = x2  2x  5 , …
Có thể nói gì về biểu thức dưới dấu căn?
x2 – 2x +5 = (x - 1)2 + 4  4, x  R
8


Biểu thức dưới dấu căn luôn lớn hơn hoặc bằng 4 với mọi giá trị của x  |R
- Có thể xác định được giá trị lớn nhất của biểu thức dưới dấu căn hay
không?
( Không vì x dẫn tới +  thì x2 – 2x + 5 sẽ dẫn tới +  )
- Hãy chỉ ra miền giá trị của t?
t = x 2  2 x  5 =  x  1 2  4  2 . Miền giá trị của t là [2, +  ]
- Với giá trị nào của t thì phương trình t = x 2  2 x  5 có nghiệm (t 2)
- Để phương trình (1) có nghiệm thì (2) phải như thế nào?
Trong ví dụ trước ta đã phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh
phát hiện ra điều kiện ẩn phụ cũng như mỗi tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban
đầu. ở đây ta thấy, không phải mọi giá trị của ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của
ẩn ban đầu, mà chỉ những giá trị ẩn phụ thoả mãn t 2 thì mới tồn tại của ẩn
ban đầu tương ứng.
Để giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tương ứng giữa ẩn phụ và ẩn ban
đầu, giáo viên đưa ra thêm một số yêu cầu mới, chẳng hạn:
* Tìm m để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm
* Tìm m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm, …
Bây giờ học sinh phải xét kỹ hơn là: với một giá trị của t 2 thì sẽ tồn tại
bao nhiêu giá trị của x tương ứng. chính sự xét sự tương ứng sau đây sẽ giúp

học sinh có cái nhìn sâu sắc, đầy đủ hơn về bài toán.
+ t = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tương ứng là x = 1
+ t > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tương ứng
Giáo viên cần tận dụng những cơ hội thích hợp cho học sinh giải đúng
những bài toán bằng phương pháp đồ thị, bảng biến thiên,…
Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm:

x  2  4  x  ( x  2) (4  x)  m (1)
HD giải: Đặt t =

x  2  4  x với x   2,4 .

Khi đó bài toán sẽ trở thành:
Tìm m để phương trình t2 – 2t + 2m – 2 = 0 (*)có nghiệm.
9


Nếu dịch chuyển bài toán như thế là không tương đương, bởi vì các em
chưa phát hiện được mối liên hệ giữa x và t.
Để phát hiện được điều kiện tương ứng của t cũng không phải là dễ !
Học sinh thường mắc sai lầm sau:
- Do t là tổng 2 căn thức nên t 0
- Do t 0, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được t  2 nên điều kiện
của t là t   0,2 .
Ở đây thực ra là phải tìm miền giá trị của t với x[2, 4]. Đối với HS cuối
cấp (lớp 12) sau khi đã được học kiến thức về hàm số thì phương pháp hay nhất
vẫn là tìm miềm giá trị của t là lập bảng biến thiên của hàm số t với ẩn x
t=
t’=0

,
x 2  4 x  t 



4x  x2
2 (4  x)( x  2

1
2 x2



1
2 4 x



4 x  x2
2 (4  x)( x  2

 0  x=3

Ta có bảng biến thiên:
x

////// 2

y’

//////

y

//////

3

4

+

2

///
///
///

Vậy với x[2, 4] thì t [ ,2].
Khi đó ta có bài toán tương đương: Tìm m để phương trình
t2 – 2t + 2m - 2 = 0 có nghiệm t [ , 2].
Ta biến đổi PT (*) về dạng: t2 – 2t – 2 = -2m
Khảo sát hàm số f(t) = t 2 – 2t – 2 với t [ , 2] tìm Max f(t)=-2 và
minf(t) = -2 , t [ , 2].
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 1  m
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
4 6  x  x 2  3x  m





x  2  2 3 x .

(1)

10


Giả sử học sinh đã biết hướng giải của bài toán này là đưa phương trình ban
đầu về dạng m  f  x  . Sau đó tìm miền giá trị của f  x  (thường bằng cách sử
dụng công cụ đạo hàm). Khi đó, phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi
m thuộc miền giá trị của f  x  .
Học sinh không quá khó khăn để phát hiện phương pháp giải nói trên. Trong
thực tế giảng dạy, chúng tôi thấy hầu như chỉ có những em có học lực khá trở lên
mới tìm ra được kết quả cuối cùng. Đa số các em thường gặp phải một trong các
trở ngại sau:
Sau khi biến đổi (1) về dạng:

4 6  x  x 2  3x
m  f  x 
x  2  2 3 x

thì các em gặp khó khăn trong việc tìm miền giá trị của f  x  mà trước hết là
tìm f '  x  bởi biểu thức của f  x  khá phức tạp. Để học sinh vượt qua chướng
ngại này, giáo viên hãy yêu cầu các em nhận xét và phát hiện về mối liên hệ
giữa các biểu thức có chứa trong f  x  :
x  2. 3  x  6  x  x 2



x  2  2 3 x



2

 4 x  2. 3  x  3x  14

4 6  x  x 2  3 x t 2  14

.
Do đó, nếu đặt t  x  2  2 3  x thì ta có
t
x  2  2 3 x

Các em sẽ phạm sai lầm nếu kết luận rằng, phương trình (1) có nghiệm khi
và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số: g  t  

t 2  14
mà quên tìm điều kiện
t

của biến t. Tuy nhiên, việc tìm miền giá trị của t phải sử dụng công cụ đạo hàm
(hoặc sử dụng bất đẳng thức), khảo sát hàm số:
t  x   x  2  2 3  x , x �[2;3]
�
.
Tìm được miền giá trị của t là �
� 5;5�

11


Cuối cùng, một lần nữa sử dụng công cụ đạo hàm (hoặc bất đẳng thức),
khảo sát hàm số: g  t  

t 2  14
�
g  t  là
, t ��
� 5;5�. Tìm được miền giá trị của
t

� 9 11 �

; �
.
�
� 5 5�
� 9 11 �
; �
. Thỏa mãn bài toán.
� 5 5�


Điều này cũng có nghĩa: m ��

Bên cạnh đó, có những bài toán mà việc tìm ra phương pháp giải không
khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thế nhưng cái khó chủ yếu lại thuộc về kỹ thuật

giải. Điều này đòi hỏi người làm toán không những sáng tạo trong quá trình tìm
phương pháp giải mà còn phải sáng tạo trong quá trình thực hiện lời giải bài
toán.
Để khắc phục sai lầm cho học sinh người dạy cần nhấn mạnh các bước
giải bài toán như sau:
Bước 1: Đặt ẩn phụ, từ điều kiện của ẩn chính tìm điều kiện của ẩn phụ.
Bước 2: Chuyển bài toán của ẩn chính về bài toán của ẩn phụ.
Bước 3: Giải bài toán của ẩn phụ và kết luận.
Khi học sinh làm bài yêu cầu học sinh kiểm tra xem mình có thực hiện
đầy đủ các bước chưa?
2.2.4. Sai lầm thứ tư:

Sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến

đạo hàm
Trong khi giải bài toán bằng phương pháp đạo hàm học sinh hay mắc sai
lầm là lấy giá trị chặn dưới ( hoặc chặn trên ) của tập giá trị là giá trị nhỏ nhất
( hoặc lớn nhất ) của hàm số.
Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
x

(1)

x  5 m

Giải:
 x 0
 x  5 0

ĐK: 

Xét

f ( x)  x 

 x 5
x 5

trên (5,   )
12


f ' ( x) 

=

1
2 x



1
2 x 5

x 5

x

2 x( x  5)

 0 x  5

Ta có bảng biến tiên
x

 

5

f’
f



5

0
Học sinh thường kết luận phương trình có nghiệm khi 0 m  5 sai lầm
mắc phải là do học sinh lầm tưởng 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm f, thực chất nó
là giá trị chặn dưới.
Kết luận đúng: phương trình có nghiệm 0  m  5 .

2.3.Một số giải pháp
Nhiệm vụ quan trọng của người thầy là hướng dẫn học sinh dự đoán được
những sai lầm, biết phân tích để tự tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp
tích cực để rèn luyện năng lực giải toán.
Các sai lầm của học sinh trong giải toán hoàn toàn có thể khắc phục được.
Hơn nữa chỉ ra các dạng sai lầm là cần thiết, song điều quan trọng hơn là dự
đoán và khắc phục các sai lầm. Để hạn chế được vấn đề này theo cá nhân tôi
người thầy giáo cần trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức về bộ môn Toán,
các kiến thức về phương pháp giải toán. Khắc phục hoàn toàn sai lầm là một

vấn đề khó bởi lẽ các nguyên nhân dẫn đến sai lầm rất đa dạng, dưới đây tôi
xin đưa ra một số giải pháp sau:
2.3.1. Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức về môn toán
Việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức được kích thích bởi việc học sinh
tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà học sinh phạm
phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lí luận về bản chất của các sai
lầm.
13


Một trong các nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các sai lầm là do trình độ còn
yếu, trong đó có thể học sinh không nắm vững kiến thức cơ bản về môn toán.
Trong quá trình dạy học giáo viên cần lưu ý:
+ Nắm vững nội dung môn Toán, đặc biệt là các tình huống điển hình
trong môn toán (dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp và đặc biệt là
dạy học giải bài tập toán học).
+ Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần chú ý tới các hoạt động
nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, làm cho học sinh chủ động
nắm kiến thức. Đó là các hoạt động nhận dạng, thể hiện, hoạt động toán học
phức hợp, hoạt động trí tuệ và hoạt động ngôn ngữ. Thông qua những hoạt
động này học sinh mới bộc lộ những sai lầm, từ đó để dự đoán, phòng tránh và
sữa chữa sai lầm.
+ Đặc biệt, phương pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ trong việc
phòng tránh các sai lầm cho học sinh. Nếu học sinh được làm quen với các
phương pháp dạy học mới, khiêu gợi trí tò mò, sáng tạo, biết phát hiện và giải
quyết vấn đề... thì họ sẽ tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế việc
mắc sai lầm trong giải toán.
2.3.2. Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức về lôgic
Rèn luyện tư duy lôgic là một nhiệm vụ hàng đầu của việc dạy học toán ở
trường phổ thông. Nhiệm vụ đó đòi hỏi giáo viên có hiểu biết cần thiết về lôgic

học, khoa học về suy luận, về tư duy, vận dụng kiến thức vào môn toán.
Kiến thức về lôgic toán đóng vai trò quan trọng trong dạy học giải toán,
giúp cho tiến trình giải toán được chính xác, rõ ràng và nhất quán. Một trong
những nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh khi giải toán là trình độ hiểu
biết các kiến thức cần thiết về lôgic còn yếu. học sinh thường khó nhận thấy
các sai lầm về lôgic. Trong tiến trình giải toán, các sai lầm thường gặp của học
sinh là:
- Các suy luận không hợp lôgic.
- Dựa vào tiên đề sai hoặc những mệnh đề chưa biết tính đúng sai của nó.

14


- Không nắm vững cấu trúc của định lí không xét toàn diện giả thiết của
định lí, suy luận sai dẫn đến nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận
2.3.3. Làm cho học sinh nắm vững một số phương pháp giải toán cơ bản
Việc xác định hướng giải bài toán có liên quan mật thiết với việc lựa chọn
phương pháp và công cụ thích hợp để giải toán. Không tìm được phương pháp
giải phù hợp với bài toán có thể đưa đến các sai lầm: Đặt điều kiện sai, biện
luận không hết các trường hợp, không theo trình tự lôgic, không có cách giải
tối ưu... Muốn giải tốt bài tập toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản
của môn toán, các kiến thức cần thiết của lôgic học, cần phải căn cứ hướng giải
đã vạch ra, vào quá trình tiếp nhận, phát hiện các đặc điểm của bài toán. Việc
hệ thống hóa các phương pháp giải cho từng loại bài tập toán cơ bản cũng góp
phần hạn chế sai lầm, giúp học sinh tự tin, chủ động trong tiến trình giải toán.

2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1 Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính

khả thi và hiệu quả của các biện pháp, rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến phương trình vô tỉ.
2.4.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm
a. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Đào Duy Từ
+) Lớp thực nghiệm : 10C12
+) Lớp đối chứng :

10C11

b. Nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành trong bài ôn tập về phương trình vô tỉ. Sau khi
dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung
đề kiểm tra:
Đề kiểm tra (thời gian 30 phút)
Câu 1: Giải các phương trình sau:

15


a. x 2  2 x  4  2  x
b. 3 x  1  3 x  1 3 5 x
c.

x 1

x 1

x 1 3


x 1 2

Câu 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
3

x  1  3 1  x m

Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, đề kiểm tra này dành
cho học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng. Xin được phân tích rõ hơn về
điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh.
Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ
của học sinh. Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ
của học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên đánh giá chính xác về mức độ
nắm kiến thức của học sinh. Cả hai câu trong đề kiểm tra chủ yếu là kiểm tra khả
năng suy luận, vận dụng kiến thức đã được học về phương trình vô tỉ.
Kết quả
TT Lớp

Số bài

1 10C12 50
2 10C11 50
2.4.3 Nhận xét

Điểm dưới TB Điểm TB

SL
10
18

%
20.0
36.0

SL
15
20

%
30.0
40.0

Điểm Khá
SL
%
18
36.0
10
20.0

Điểm Giỏi
SL
%
7
14.0
2
4.0

- Ở lớp thực nghiệm: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB thấp hơn ở lớp đối
chứng, tỉ lệ khá và giỏi cao hơn.

- Ở lớp đối chứng: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB cao hơn ở lớp thực
nghiệm, tỉ lệ có điểm khá và giỏi thấp hơn.
Điều đó cho thấy học sinh ở lớp thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng kiến
thức tốt hơn, khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn so với học sinh
lớp đối chứng.
Qua đó có thể thấy rằng phương trình vô tỷ là một nội dung quan trọng trong
chương trình môn toán phổ thông. Nhưng đối với học sinh là một mảng tương đối khó
và dễ mắc phải các sai lầm khi tìm nghiệm, đây cũng là nội dung được sự quan tâm
của các thầy cô.
16


Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm giảng dạy, được học sinh
đồng tình và đạt được kết quả, hạn chế tối đa các sai lầm học sinh thường mắc phải
khi giải phương trình vô tỷ. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn
kỹ các em với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải bài tập. Học sinh
biết áp dụng tăng rõ rệt, kỹ năng làm bài tốt hơn
Qua đây tôi thấy các phương pháp này có hiệu quả tương đối tốt . Theo tôi
khi dạy phần toán giải phương trình vô tỷ giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và
cách giải tương ứng để học sinh không mắc phải sai lầm như lấy thừa hoặc
thiếu nghiệm.

3. Kết luận và kiến nghị
3.1 Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã nêu ra một số sai lầm học sinh mắc phải
khi giải phương trình vô tỷ. Mỗi sai lầm đều được minh họa bằng các ví dụ,
nêu cách giải có sai sót của học sinh, qua đó phân tích, nhận xét, chỉ ra những
sai lầm và nguyên nhân phạm sai lầm về mặt lý luận và kĩ năng tính toán của
học sinh, từ đó nêu lời giải đúng. Cuối cùng tôi đưa một số giải pháp nhằm hạn
chế sai lầm của học sinh khi giải toán.

Tôi mong rằng các thầy, cô giáo có thể tìm trong bản sáng kiến kinh
nghiệm này những tư liệu có ích giúp học sinh của mình cải tiến phương pháp
học toán.
3.2 Kiến nghị
Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu tham khảo để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức
chuyên môn nghiệp vụ. Nhà trường cần tổ chức các lớp bồi dưỡng trao đổi
phương pháp dạy học, cung cấp các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của
giáo viên hằng năm để làm cơ sở nghiên cứu phát triển chuyên đề
Đây là là một vấn đề rộng lớn nhiều ví dụ bản thân tôi chưa nêu hết được ,
vì thời gian có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều vấn đề cần bàn luận trao đổi và
hoàn thiện. Rất mong được các thầy, cô giáo bổ sung thêm và chỉ bảo cho
những thiếu sót của bản sáng kiến kinh nghiệm này. Tôi xin chân thành cảm ơn.
17


XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Lưu Thúy Hồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Đại số 10

Trần Văn Hạo – Nhà xuất bản Giáo Dục.

2. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Trần Văn Hạo – Nhà xuất bản Giáo

Dục.
18


3. Sách giáo khoa Giải tích 12

Trần Văn Hạo – Nhà xuất bán Giáo Dục.

4. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán – Hàm số Trần Phương
– Nhà xuất bản Hà Nội.
5. Đề thi tuyển sinh vào Đại học – Cao đẳng 2017– 2018 – Nhà xuất bản Hà
Nội.
6. Phương pháp đồ thị để biện luận phương trình có tham số Phan Huy Khải
– Nhà xuất bản Giáo Dục.

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH, VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
19


Họ và tên tác giả: Lưu Thúy Hồng
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Đào Duy
Từ.

TT

1

Tên đề tài SKKN

Một số phương
pháp tìm điều kiện
cho ẩn phụ trong
quá trình giải toán

Cấp đánh
giá xếp
loại(Ngành
GD cấp
Huyện/Tỉnh
Ngành GD
cấp Tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại(A,B
hoặc C)

Năm học
đánh giá xếp
loại

C

2005-2006

20