Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Để giúp học tốt các môn học khác thì toán học đóng một vai trò vô cùng quan
trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát triển các năng lực tư
duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực
của đời sống sản xuất.
Qua quá trình dạy hình học không gian 11 và luyện thi TNTHPT. Tôi nhận thấy
rằng, đa số các em học sinh còn yếu trong viêc giải các bài toán về tính thể tích,
tính khoảng cách trong hình học không gian. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh
chưa nắm vững những kiến thức cơ bản về phần quan hệ vuông góc trong không
gian ở sgk hình học lớp 11 nên không tìm được phương pháp giải cho phù hợp bài
toán. Để góp phần nhỏ của mình vào việc hệ thống lại các phương pháp giải toán,
tạo sự thích thú cho các em học sinh học phân môn hình học không gian.Tôi đã
xây dựng nghiên cứu hệ thống lại các dạng bài tập về phần quan hệ vuông góc
trong không gian từ đó phát triển thành đề tài để học sinh dễ tiếp cận hơn trong
việc giải toán và hình thành cho học sinh những kỹ năng vận dụng tri thức trong bộ
môn toán để giải các bài tập toán.
Vì vậy tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ vuông
góc trong không gian” nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan hơn môn hình
không gian.
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm về
làm các dạng bài toán liên quan đến phần quan hệ vuông góc từ đó đạt được kết
quả cao khi giải bài toán về tính thể tích và các bài toán về khoảng cách, phát huy,
khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập
cho các em.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ :
-Hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh

1

- Biết làm những bài toán liên quan.
- Những khó khăn học sinh thường mắc khi giải bài tập toán
- Đánh giá được kết quả của việc thực hiện đề tài.
IV. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
Học sinh lớp trường TTGDTX THIỆU HÓA
V. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh
nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả
kiểm tra,…) và đi đến kết luận. Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phù hợp với
từng đối tượng học sinh.
PHẦN II. NỘI DUNG
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
Cách 1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
Cách 2: a  b � góc (a;b)  90o .
Cách3: Dùng hệ quả:

a

a  (P )�
�� a  b
b �(P )�

b

P

Cách 4: Dùng hệ quả:
b

a

b// c , a  b � a  c

c

[1]
`
[1] Tham khảo trong chương III sgk hình học 11

2


Cách 5 : Dùng hệ quả:
a
b

a song song (P )�
�� a  b
b  (P )
�

P

Cách 6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

Cách 7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam
giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác


B

A

C

  AB �
��   BC
  AC �

Cách 8: a  b khi 2 véctơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc.
Chú ý:Định lí hàm số cosin cos A 

AB 2  AC 2  BC 2
BA 2  BC 2  AC 2
cos
B

;
2. AB. AC
2.BA.BC

B. Bài tập:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD đều.Chứng minh:AB vuông góc với CD
Hướng dẫn:
Cách 1: Dùng tích vô hướng AB.CD 0

D

Ta có

uuu
r uuu
r uuuu
ruuu
r uuuu
r uuuruuu
r uuu
r uuu
r
AB.CD  AB ( AD  AC )  AB. AD  AB. AC
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
 AB . AD .cos 600  AB . AC .cos 600  0

A

C

� AB  CD

Cách 2: Để chứng minh AB vuông góc với CD

B

ta chứng minh AB vuông góc với một mặt phẳng chứa CD.
Gọi M là trung điểm của AB, chứng minh cho AB  (MCD)
Thật vậy: AB  CM; AB  DM � AB  (CDM) � AB  CD

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. Gọi M là trung
S

điểm BC. Chứng minh:
a. AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC
b. SA vuông góc với BC
Hướng dẫn:

C

M

A

B

3


a. Ta có  ABC cân tại A  AM  BC.
Ta có:  SAB=  SAC(cgc)  SB=SC  SM  BC
b. Từ câu a ta có: AM  BC
SM  BC

Suy ra BC  (SAM)  BC  SA.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
a. Chứng minh: AO  CD
b. Chứng minh: AB  CD
Hướng dẫn: a. Ta có: AO  ( BCD)  AO  CD
b. Gọi M là trung điểm của CD  AM  CD ,lại có AO  CD  CD  (AMB) 
CD  AB
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và
AB= AC = a 2 .
a. Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC

S

b. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC
Hướng dẫn:
a. Gọi M là trung điểm của BC  SM  BC;

C

M

B

và có AM  BC  BC  (SAM)
 góc giữa SA và BC là 90 0

b. Ta có:

A

uuu
r uuu
r uuur uuuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuuruuuu
r
SC.BA  ( BC  BS ).BA  a 2 � cos( SC , BA)  2 / 2 � ( SC; BA)  450

Ta có thể làm cách sau: Gọi M là trung điểm của AB, chứng minh cho
AB  (MCD).
Các bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD trong đó AB  AC, AB  BD. Gọi P và Q lần lựơt là
trung điểm của AB và CD. Chứng minh AB  PQ
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 600. Chứng minh
a. AB  CD
b. Nếu M, N là trung điểm của AB và CD thì MN  AB, MN  CD

4


Bài 3: Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, có
AB= AC= AD =

2a
3

a. CMR AD vuông góc BC
b. Gọi I là trung điểm CD. Tính góc giữa AB và CD
Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB,
SAC, SAD đều vuông, SA= a

2
. Tính góc giữa SC và AD.
2

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
Cách 1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc
với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
Cách 2 : Dùng hệ quả:
Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường
thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
b

a
a
b

P

P

a // b , b  (P ) � a  (P )

c

b , c cắt nhau , b,c �(P ) , a  b, a  c � a  (P )

Cách 3: Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường
thẳng a nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a
cũng vuông góc với mặt phẳng kia.1

1

Tham khảo lí thuyết trong sgk hình 11 chương 3 bài 2;3;4

5


Cách 4: Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
đó
Q
a
b

(P ) �(Q)  b �
�� a  (P )
a �(Q),a  b�

P



( )

( )

Lưu ý các
kiến thức thường gặp:
P

( ) �( )  
�
��   (P )
( )  (P ),( )  (P )�

- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau2
B. Bài tập:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy
BC. Gọi I là trung điểm BC.
a. Chứng minh BC vuông góc AD
b. Kẻ AH là đường cao trong  ADI. Chứng minh AH vuông góc với mp(BCD)3
Hướng dẫn:

A

a.Ta có: BC  DI; BC  AI nên BC  AD
b.Ta có: AH  DI và AH  BC nên AH  (BCD)
Bài 2: Cho hình chóp SABC. SA vuông góc với

B

H

D

I

đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B.

C

a. Chứng minh: BC  SB
b. Từ A kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC.
Chứng minh: AH  (SBC), SC  ( AHK)
2

S

Tham khảo lí thuyết trong sgk hình 11 chương 3 bài 2;3;4

3

K

Trích bài tập 2 trang 104 sgk hình 11

Hướng dẫn:
a. Ta áp dụng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc

H

A

C
B

6


với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh
còn lại.
Ta có: BC  AB và BC  SA nên BC  SB
b.Ta có: AH  SB và AH  BC nên AH  (SBC).
Theo trên ta có AH  SC
và AK  SC nên SC  (AHK)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi
tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng minh:
a. SO vuông góc với (ABCD)
b. AC vuông góc SD, BD  SA
c. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. Chứng minh: IJ  (SBD)
d. Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. Chứng minh: AD  (SOH) 4
S

Hướng dẫn:
a. Vì SO  AC và SO  BD nên SO  (ABCD)
b. Vì AC  BD và AC  SO nên AC  (SBD) suy ra AC  SD

B

c. Ta có: IJ //AC mà AC  (SBD) nên IJ//(SBD)
d. Vì AD  SH và AD  SO nên AD  (SOH)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA  đáy.
Đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Có AD = 2AB = 2BC

O

I
A

J

C

D

H

S

a. Chứng minh: BC  (SAB)
b. Chứng minh: SC  CD
Hướng dẫn:
a. Ta có: BC  SA và BC  AB ( vì AD song song với BC)

M

A
B

D
C

nên BC  (SAB)
b. Tam giác MAC cân tại M nên góc MCA = 45 0 tương tự tam giác MCD vuông cân
tại M suy ra góc MCD= 45 0 , do đó CD  SA và CD  AC nên CD  SC.
4

Trích bài tập 3 trang 104 sgk hình 11

Bài 5: Hình chóp S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là
trung điểm BC.

7


a.Chứng minh: BC  (SAM)

S

b.Vẽ AH  SM tại H. Chứng minh: AH  SB
Hướng dẫn :

H

a. Ta có: BC  AM và BC  SA nên BC  (SAM)
b. Ta có: AH  SM và AH  BC nên AH  (SBC)

C

A
M

Bài tập vận dụng:
B

Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a và SA 
(ABCD)
a. Gọi I là trung điểm SD.Chứng minh AI  (SCD)
b.Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình chiếu
của O trên CM.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD.
a. Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông
b. Chứng minh SI  (SCD); SJ  (SAB)
c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ. Chứng minh: SH  AC
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA  (ABCD).
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b. Chứng minh (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, AC  BD. Gọi H là trực tâm  BCD.
a. Chứng minh: AH  (BCD)
b. Chứng minh: AD  CD
Dạng 3: Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường
thẳng và mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
Ta sử dụng các định lý:

 a // b
 b  ( )
1. 
 a  ( )

 (  ) //( )
 a  ( )
2. 
a 

 ( ) (  )

3.  a  ( )  ( ) //(  ))
 a  ( )


8


 a b

4.  a  ( )  a // b
 b  ( )


a  b
 a  ( )
 
 ( )  b  a //( )

5. 

B. Bài tập
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,
SA vuông góc (ABCD). Gọi (  ) là mặt phẳng qua A và

vuông góc với SC, (  ) cắt SC tại I.
a. Xác định giao điểm của SO và (  )

S

b. Chứng minh: BD vuông góc SC.
Xét vị trí tương đối của BD và (  )
c. Xác định giao tuyến của (SBD) và (  )

J
A

Hướng dẫn:
a. Ta có J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm
của SO và (  )

I
B
O

D

C

b. Vì BD  AC và BD  SA nên BD  (SAC) suy ra BD  SC
c. Vì BD nằm trong (SBD) và BD song song (  )
 Giao tuyến của (SBD) và (  ) là đường thẳng qua J và song song với BD.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,
SA vuông góc(ABCD) và SA = AB. Gọi H và M lần lượt

S

là trung điểm của SB và SD.

H

Chứng minh OM vuông góc với (AHD).
M A

Hướng dẫn:Ta có: OM //SB và SB  AH; SB  AD

B

 SB  (AHD) suy ra OM  (AHD)

Bài tập vận dụng.

O
D

C

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, Gọi I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB,
BC, dựng SH  (ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC
= 2MI, NA = 2NS. Chứng minh MN  (ABC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA  (ABC)
a. Kẻ đường cao AH trong tam giác SAB. Chứng minh: BC  (SAB) và AH 
(SBC)

9


b. Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. Chứng minh SC  (AHK)
c. Kẻ đường cao BM trong tam giác SBC. Chứng minh BM //(AHK)
Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
A. Phương pháp chứng minh
Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng là một vuông

x





y



+) ( ) �(  )   , Ox �( ),Ox   , Oy �( ),Oy  
Khi đó:
�   : 0 � �90o
góc (( );( ))  góc (Ox;Oy)  xOy
+) ( )  ( ) �   90o

Cách 2: Dùng định lí: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
là phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
a �( )�
�
�� ( )  ( )

a  ( ) �

B. Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác
SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi. Chứng minh:
a.SO  (ABCD)

S

b. (SAC)  (SBD)

Hướng dẫn:
a. Ta có tam giác SAC cân tại S, mà OA= OC suy ra SO  AC (1)

D

Tam giác SBD cân tại S và OB=OD Suy ra SO  BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO  (ABCD)

C
O

A

B

b. Trong mp(SAC) chứa đường thẳng AC vuông góc với mp(SBD)
suy ra (SAC)  (SBD)
Bài 2: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. Có SA vuông
góc với đáy ABC.

S

a. Chứng minh: (SAB)  (SBC)
b.Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh: (SAC)  (SBM)
Hướng dẫn:

A

M

a. Trong (SBC) có BC  AB, BC  SA suy ra BC  (SAB)

C

B
10


mà BC thuộc mp(SBC) nên (SBC)  (SAB)
b. Trong (SBM) có BM  AC, BM  SA suy ra BM  (SAC)
nên (SBM)  (SAC)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC). Tam giác ABC
vuông tại B. Chứng minh: (SAC)  (ABC). Gọi H là

S
H

hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu
của A lên SB. Chứng minh (AHK)  (SBC)

Hướng dẫn:

K
A

C

a. Trong (SAC) có SA  (ABC) suy ra (SAC)  (ABC)
b. Ta có: BC  AB; BC  SA suy ra BC  (SAB) suy ra BC  AK B
Trong (AHK) có AK  BC,AK  SB suy ra AK  (SBC) suy ra (AHK)  (SBC)
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C,
mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a. Chứng minh: (SBC)  (SAC)
b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh (ABI)  (SBC)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB,
BC.
a. Chứng minh (SAD)  (SAB) và (SBC)  (SAB)
b. Chứng minh: (SDK)  (SIC)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA  (ABCD). Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh:
a. (SAB)  (SBC); (SAD)  (SCD)
b. (AEF)  (SBC); (AEF)  ((SCD)
Bài 4: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SO  mp(ABCD).
SO = a/2. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh:
a.(SBD)  (SAC)

b. (SIJ)  (SBC)

Dạng 5: Khoảng cách
Ta phân làm hai bài toán sau:

11


Bài toán 1: Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng ( ) , tính khoảng
cách từ M đến mặt phẳng ( ) .
Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) ta có thể sử dụng các phương pháp:
a. Phương pháp trưc tiếp: Xác định chân đường vuông góc H hạ từ M đến mặt
phẳng ( ) hoặc chỉ ra một mặt phẳng (  ) đi qua M và (  )  ( ) . Tìm giao tuyến
  (  ) �( ) . Kẻ MH   thì d  M;( )  = MH.[2]

Bài tập:
Bài 1 : Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a,
cạnh SA  (ABC) và SA = a.
a. Chứng minh: (SAB)  (SBC)
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC)
c. Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
d. Gọi D là trung điểm của BC. Tính khoảng cách từ A đến SD.
Hướng dẫn:

S

a. Ta có: BC  AB; BC  SA suy ra BC  (SAB)

K

mà BC�mp(SBC) nên (SBC)  (SAB)
b. Trong tam giác SAB kẻ AH  SB ,

H
O

A

 AH  (SBC)  d ( A; ( SBC ))  AH  a 6
3

C
D

I
B

d(C;(SAB))=CB=a 2 ;
d(B;(SAC))=BO=a với O là trung điểm của AC.
c. Gọi I là trung điểm của AB  IO // BC  IO //( SBC )
1
a 6
 d (O; ( SBC ))  d ( A; ( SBC )) 
2
6

d. Tam giác SDA vuông tại A, kẻ AK  SD thì AK=d(A;SD)=

a 35
7

[2] Tham khảo qua tài liệu: Các bài giảng luyện thi môn toán: Phan Đức Chính- Vũ Dương

Thụy- ĐàoTam- Lê Thống Nhất

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4,
SA  (ABCD) và SA = 5. Tính các khoảng cách từ:

12


a. A đến (SBD)

b. A đến (SBC)

c. O đến (SBC)

Hướng dẫn:
a. Kẻ AI  BD  BD  SI, trong (SAI) kẻ AH  SI  AH  (SBD).;  d(A;
(SBD))=AH
1

1

1

1

1

1

1

1

1

769

60

Ta có: AH 2  SA2  AI 2  SA2  AB 2  AD 2  25  9  16  3600 � AH 
769
b. Kẻ AK  SB vì BC  mp(SAB)  BC  AK
S

 AK  mp(SBC)
 d(A;(SBC))=AK Ta có:
1
1
1
1 1 34



 
2
2
2
AK
AS
AB

25 9 225
15
� AK 
34

A
M
B

H

D
O

I

1
2

C

c. M là trung điểm của AB  OM//(SBC) nên d(O;(SBC))=d(M;(SBC))= d(A;
(SBC))=

15
2 34

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc mp(ABCD) ,
với SA= a 6 . Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD).

S

Hướng dẫn:
Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường
tròn đường kính AD= 2a nên ta có: AD//BC,
AB= BC= CD= a
AC  CD, AB  BD , AC= BD= a 3
Ta có

CD  AC �
� � CD  mp(SAC)
CD  SA �

H
A

D

B

C

Kẻ AH  SC tại H ta có AH  CD Nên AH  mp(SCD). Vậy AH= d  A;(SCD) 
Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao

13


1

1

1

1

1

1
Do đó AH 2  SA 2  AC2  (a 6)2  (a 3)2  2
2a
� AH 2  2a 2 � AH  a 2

Nhận xét: Không phải bài toán nào ta cũng xác định được ngay chân đường vuông
góc hạ từ điểm đó đến mặt phẳng như ở trên. Do đó ta có thể làm gián tiếp theo
cách sau:
b. Phương pháp gián tiếp:
Hướng 1: Tìm đường thẳng  qua M và  cắt mp ( )
M

tại I trên  chọn điểm A  A �I, A �M  .
Lúc đó

d  M;    
d  A;    



dẫn đến d  M;     



A

IM
IA

I



d  A;( )  .IM
IA

Nhận xét : Ở hướng này thay vì tính khoảng cách từ A đến mp ( ) ta đưa về tính
khoảng cách từ một điểm khác A thuộc đường thẳng  đi qua A mà khoảng cách
đó tính được một cách dễ dàng.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc
với mp(ABCD), SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ
G đến mp(SAC).
Hướng dẫn: Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Đường thẳng BG cắt mặt phẳng(SAC) tại F.
Khi đó
Mà

d  G;  SAC  
d  B;  SAC  



FG 1

FB 3

OB  SA �
�� OB  (SAC)
OB  AC �

Nên d  B;(SAC)   OB 
Vậy d  G;(SAC)  

S

F

a 2
2

1a 2 a 2

.
3 2
6

D
G

A

C
O

B

14


3Vchóp
Hướng 2: Sử dụng công thức h  S
.5
dáy
Bài 5: Trên mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Bx ' và By lập với nhau một góc
450. Trên đường vuông góc với (P) tại B lấy BA= a, kẻ Ax // Bx ' và lấy C thuộc Ax
sao cho AC= c. Gọi D là hình chiếu của C lên By. Tính khoảng cách từ B đến
mp(ACD).
Hướng dẫn: Kẻ CE// AB, dễ thấy ABEC là hình chữ nhật và CE  (P).
Từ đó ED  BD (định lí 3 đường vuông góc).
Kẻ DF  BE từ đó ta có tam giác DBE vuông cân đỉnh D.
c
c
còn DF=
2
2

Mà BE= AC= c nên BD= DE=
Và F là trung điểm của BE

A

Vì AB  (BDE) � AB  DF

c
K
C

a

Do đó

DF  AB�
�� DF  (ABEC) .
DF  BE �

B

450

Nghĩa là DF là đường cao của hình

F

chóp DABC
Từ đó

y

D

x

E

2

1
1
ac
VABCD  DF.SABC  AC.AB.DF 
3
6
12

x’

Kẻ DK  AC, tam giác ADC cân có
AD= DC= a 2 
Từ đó DK=

c2
nên K là trung điểm của AC.
2

c2
AD  AK  a 
2
2

2

2

2

c2
�c �
 � �  a2 
2
�2 �

1
1
c2 1
SADC  AC.DK  c. a 2   c. 4a 2  c2
2
2
4 4
� d  B;(ADC)  

3VABCD 3ac2 c
ac

:
4a 2  c 2 
SADC
12 4
4a 2  c2

5

Tham khảo qua tài liệu: Các bài giảng luyện thi môn toán: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy-

ĐàoTam- Lê Thống Nhất

15


Nhận xét: ở bài này nếu ta sử dụng phương pháp trực tiếp để tính khoảng cách sẽ
gặp khó khăn hơn.
Bài toán 2: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Tính khoảng
cách giữa a và b.
Để giải bài toán này có 3 hướng sau:
Hướng 1: Áp dụng cho trường hợp a  b.Ta chọn mp ( ) chứa a và vuông góc với b
tại B. Dựng BA  a tại A. Khi đó d(a;b)= AB.
Bài tập:
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.Gọi M là
trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM  B1C và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và B1C.
Hướng dẫn: Lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có các cạnh bằng a nên các mặt bên là các
hình vuông bằng nhau. Đáy là tam giác đều
Gọi I là trung điểm của A1C1 ,tam giác A1B1C1 đều nên B1I  A1C1
� B1I  (ACC1A1 ) � B1I  MC1 (*)
A1C1M  C1CI � �MC1A1  �C1CI (1)

Mà �C1CI  �C1IC  900

B

C

(2)

A

Từ (1), (2) suy ra �MC1A1  �C1IC  900

O

� IC  MC1 (**)
B1

(*),(**) � MC1  mp(B1IC)

C1

M
I

MC1  B1C �
�
�� B C  (MBC1 ) � B1C  MB
BC1  B1C � 1

A1

Gọi O là giao điểm B1C và BC1
� d  B1C, MB  d(O, MB)  h .
M

2

a

a 5
Lại có MBC1 có MB= MC1= a 2  
4

2

� MBC1 cân đỉnh M.

H
B
O

1
2

có BC1= a 2,OB  BC1 

C1

a 2
5a 2 2a 2 a 3
,OM 


2
4
4
2

16

a 3 a 2
.
OM.OB
2
2  a 30

h= OH=
.
MB
10
a 5
2

Hướng 2: Dựng mặt phẳng ( ) chứa a và mp ( ) // b
Khi đó d  a;b   d  b;( )   d  B;( )  với B là một điểm bất kì thuộc b 6
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 đáy ABC là tam giác vuông, AB= BC=
a, AA1  a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và B1C.
Hướng dẫn:
Gọi N là trung điểm của BB1 khi đó MN// B1C
� B1C// mp(AMN) nên
d  B1C; AM   d  B1C;(AMN)   d  C;(AMN)   d  B;(AMN) 

Mặt khác tứ diện BAMN vuông đỉnh B nên

A

C

d  B;(AMN)  =BH với H là trực tâm AMN

M
B

a .
1
1
1
1
� BH 
�



2
2
2
2
7
BH
BA BM BN

Vậy d  AM;B1C  

a
7

A1

Hướng 3: Dựng mặt phẳng ( ) chứa a và mp ( ) // b.
Dựng mặt phẳng (  ) chứa b và mp (  ) // a

N

C1

B1

Khi đó d  a;b   d  ( );(  )   d  A;(  )  với A là một điểm bất kì thuộc ( )
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a. Lấy M, N, P lần lượt là
trung điểm của AD, AB, B1C1. Tính khoảng cách giữa MN và BP.
Hướng dẫn: Gọi E, F, Q, R, S, T, O lần lượt là trung điểm của CC 1, DD1, C1D1, PQ,
BD, MN, B1D1. Khi đó mp(MNB1D1) // mp(BDQP)
Ta có A1E  (MNB1D1).
6 Trích tham khảo từ báo THTT trang 7 số 325 tác giả Nguyễn Anh Dũng, Đặng Thanh Hải

Thật vậy hình chiếu của A1E lên mặt phẳng
(A1B1C1D1 ) là A1C1 .Mà A1C1  B1D1

17


nên A1E  B1D1 (định lí 3 đường vuông góc)
T

mà A1F  MD1
� A1E  MD1 . Từ đó A1E  (MNB1D1 ) .

M

A

Hình chiếu của A1E lên (AA1D1D) là A1F

D

S

N
B

Tương tự A1E  (BPQD) .
A1

Gọi I, J lần lượt là giao điểm

D1

J

I

của A1E với TO và SR.

E
O

Độ dài IJ là khoảng cách

giữa MN và BD.

F

C

Q

R
B1

P

C1

Áp dụng định lí Talet cho tam giác A1EC1 ta có:
JI
RO
RO 1
a2 a 7
a 7

� IJ  A1E.

2a 2  
. Vậy d(MN;BP) 
.[ 3]
A1E A1C1
A1C1 4
4

8
8

Bài này đối với học sinh lớp 12 ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ trong không
gian để giải
Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC)
và SA = h. Gọi I là trung điểm SC.
a.Tính khoảng cách từ I đến (ABCD)
b.Tính khoảng cách từ I đến AB
c. Chứng minh rằng (SBC)  (SAB); Tính khoảng cách từ A đến (SBC) và từ A
đến (SBD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SA= SB =SC
=SD = a 2 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
[3] Tham khảo tài liệu trên mạng internet nguồn giáo án điện tử

c. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. SA 
(ABCD) và SA = a.

18


a.Chứng minh (SAE)  (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD.
b. Tính khoảng cách từ A đến (SBD)
c. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AD và SB; AB và SC
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD)
cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600. Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AD và CD, MN 

a 2
. Tính thể tích khối
2

chóp S.BMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau BM và SN theo a.7
PHẦN III. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ
năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề
thực hiện. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
3. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh chứng tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, việc áp dụng các hình thức rèn
luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt.Cũng qua
thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, tôi thấy học sinh trung bình và khá,
rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã áp dụng trong chuyên đề này.

1Trích đề thi HSG môn toán lớp 12 BT THPT. Năm học 2014-2015

2. KIẾN NGHỊ

19


Nhà trường cần đầu tư cho phòng thư viện thêm các loại sách tham khảo để học

sinh tự học, tự làm bài tập ở nhà. Đoàn trường thường xuyên kiểm tra sách, vở và
việc soạn bài của học sinh trước khi đến trường.
Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài: “Một số phương pháp giải các bài
toán về quan hệ vuông góc trong không gian”,vào giảng dạy tôi nhận thấy vấn đề
này giúp ích cho học sinh trong việc làm toán, giúp các em không còn “e ngại” khi
học phần hình học không gian nữa các em đã giải khá tốt những bài tập.
Thực nghiệm cho thấy có khoảng 81% học sinh hiểu được các bài tập trong sách
giáo khoa, 19% học sinh giải quyết trọn vẹn các bài tập sách giáo khoa. Riêng bản
thân tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn nữa để có những định hướng tốt hơn.
Vì kiến thức và thời gian còn nhiều hạn chế chắc rằng đề tài còn có thiếu sót, tôi
chân thành nhận sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn.
Thiệu Hóa, tháng 3/2017
Người viết

Đinh Văn Ba

20


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG TTGDTX THIỆU HÓA
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tên đề tài:

Một số phương pháp giải các bài toán về quan hệ
vuông góc trong không gian

Người viết: Đinh Văn Ba
Sáng kiến kinh nghiệm thuộc môn: Toán
Đơn vị công tác: Trường TTGDTX Thiệu Hóa

Thiệu Hóa, tháng 3 năm 2017

21


MỤC LỤC

PHẦN I. MỞ ĐẦU

Trang 2

1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................2
2. Mục tiêu nghiên cứu.....................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................2
4. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:...............................................2
5. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................2
PHẦN II. NỘI DUNG ..................................................................................2
1. Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.......................3
2. Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng....................5
3. Dạng 3: Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng
và mặt phẳng....................................................................................... 7
4. Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc........................................9
5.Dạng 5: Khoảng cách..................................................................................12
PHẦN III. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ........................................................19
1. KẾT LUẬN ...............................................................................................19
2. KIẾN NGHỊ...............................................................................................20

PHỤ LỤC.......................................................................................................

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Các bài giảng luyện thi môn toán: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- ĐàoTam
- Lê Thống Nhất
2.Sách giáo khoa hình học 11-NXBGD
2.Sách giáo khoa hình học 12-NXBGD
. Chuẩn KT-KN môn toán
2.. Phương pháp giảng dạy môn toán, Vũ Dương Thụy, NXBGD, 2009
3. Hướng dẫn ôn thi TN 2014 - 2015; 2015 - 2016.
4. Phương pháp dạy học môn Toán: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy – NXBGD
2000
5. Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông – NXB ĐHQG TPHCM
2005
6. Hướng dẫn thực hiện chương trình SGK Toán 11: Nguyễn Thế Thạch – NXBGD
2008
7. Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục
9.Giới thiệu đề thi môn toán: Doãn Minh Cường- NXB ĐHQGHN

23