Hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng từ một bài toán chứng minh trong sách hình học 7

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài:
Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến
thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các
môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán
còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho
học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư
tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân.
Hình học là môn học có vai trò thực tiễn rất cao giúp học sinh phát triển tư
duy trực quan, năng lực phán đoán sáng tạo đồng thời rèn luyện tư duy logic và
năng lực thẩm mỹ. Đó là những năng lực cần thiết cho cuộc sống.
Việc khai thác bài toán hình học rất mới lạ và khó đối với học sinh THCS
đặc biệt là học sinh các lớp đầu cấp như khối 6,7. Nếu như chương trình học
phân môn hình học ở khối 6 mới giúp học sinh phát triển năng lực ở mức đơn
giản như tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc thì chương trình hình học 7 đòi
hỏi mức độ tư duy cao hơn rất nhiều. Do đó các em học sinh gặp khó khăn trong
việc nhận biết, hiểu và khai thác bài toán hình học một cách có hệ thống, có
chiều sâu.
Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác và mở rộng
từ một bài tập trong sách bài tập Hình học 7” nhằm giúp các em học sinh biết
tìm hướng giải quyết vấn đề thông qua việc mở rộng và khai thác có chiều sâu
nội dung bài toán đồng thời giúp học sinh củng cố kiến thức, phát triển tư duy lo
gic, sáng tạo trong giải toán hình học.
1.2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu: Dạng bài toán chứng minh trong Hình học 7
Đối tượng nghiên cứu: khai thác và mở rộng từ một bài tập trong sách bài
tập Hình học 7
1.3. Mục đích nghiên cứu:
Giúp giáo viên có cách khai thác và mở rộng bài toán trong sách bài tập
một cách có chiều sâu từ đó hình thành định hướng giảng dạy hình học có chiều
sâu giúp giáo viên có thêm kinh nghiệm trong việc ôn tập và bồi dưỡng học

sinh.
Giúp các em hiểu sâu về một dạng bài tập từ đó có thêm khả năng mở rộng
và phát triển tư duy thông qua các bài toán mở rộng. Củng cố, khắc sâu kiến
thức về một số dạng toán chứng minh trong hình học 7. Rèn luyện cho học sinh
khả năng tư duy sáng tạo từ đó tạo niềm đam mê với môn Toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Khảo sát mức độ tiếp nhận kiến thức hình học và vận dụng chúng thông qua
bài kiểm tra.
- Nghiên cứu dạng bài tập chứng minh.
- Nghiên cứu sơ đồ chứng minh.
- Tổng kết, khái quát sâu về một dạng bài tập chứng minh hình học.
1


2. NỘI DUNG
2.1Cơ sở lý luận:
2.1.1 Vị trí và vai trò của “bài toán chứng minh hình học” trong chương
trình toán THCS:
Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng có ứng dụng rộng rãi trong
nghiên cứu khoa học và trong thực tiễn đời sống con người.
Bài tập chứng minh trong hình học là một trong những dạng toán cơ bản và
có ứng dụng cao trong thực tiễn.
Bài tập chứng minh hình giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, sáng tạo,
phát triển năng lực phán đoán và năng lực tổng hợp kiến thức. Bài toán chứng
minh trong hình học là một trong những dạng toán thường gặp trong các kỳ thi
tuyển sinh vào THPT, tuyển sinh Cao đẳng, Đại học và các kỳ thi học sinh giỏi
các cấp.
2.1.2 Một số vấn đề liên quan đến “bài toán chứng minh hình học” trong
chương trình Toán THCS
Để làm được một bài toán chứng minh trong hình học, học sinh cần nắm

vững những định nghĩa, định lý liên quan đến vấn đề cần chứng minh; Học sinh
cần có tư duy trực quan, sáng tạo trong việc tìm hiểu và khai thác bài toán.
Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu bài toán chứng
minh hình học một cách có hệ thống, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, cách
mở rộng và khai thác có chiều sâu về nội dung bài toán.
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
2.2.1 Thực trạng của học sinh:
Trường PTDTBT THCS Trung Thượng là một trường thuộc vào vùng đặc
biệt khó khăn. Đa số các em học sinh đều rất khó khăn trong cuộc sống. Môn
Toán là một trong những môn mà học sinh cảm thấy khó học, khó hiểu và khó
vận dụng.
Qua thực tế kiểm tra khảo sát các em học sinh có học lực khá, giỏi môn
Toán thì đa số các em nhận biết các bài toán cơ bản trong SGK. Tuy nhiên đối
với dạng bài tập về chứng minh hình học (Từ những dạng cơ bản nhất), 95%
học sinh chưa biết khai thác và chứng minh bài toán (chỉ có 1/20 học sinh giải
được dạng cơ bản nhất về chứng minh hình học).
2.2.2 Thực trạng từ giáo viên:
Giáo viên môn toán của Trường PTDTBT THCS Trung Thượng nhiệt tình
trong công tác giảng dạy, tuy nhiên tuổi nghề còn trẻ nên kinh nghiệm giảng dạy
còn có những hạn chế nhất định. Việc mở rộng và khai thác có chiều sâu về một
bài toán chứng minh hình học sẽ giúp giáo viên nắm rõ hơn về chương trình, có
cách khai thác và giảng dạy một cách có chiều sâu, giúp giáo viên có thêm cách
bồi dưỡng học sinh giỏi. Từ đó thúc đẩy lòng yêu nghề, khả năng tìm tòi sáng
tạo trong mỗi giáo viên.

2


2.2.3 Thực trạng từ chương trình:
Nội dung chương trình toán THCS giảng dạy trên lớp theo PPCT còn chưa

đi sâu vào việc khai thác có hiệu quả các dạng toán chứng minh bài tập hình
học, nhưng trên thực tế đây là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi. Do đó việc
khai thác và mở rộng bài tập hình học để giúp giáo viên và học sinh hiểu sâu
hơn về một bài toán từ đó rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo trong giải bài toán
hình học.
2.3 Các giải pháp thực hiện:
Từ thực trạng trên cùng với việc nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh
nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải
quyết các vấn đề trên của học sinh và giáo viên với những giải pháp giúp học
sinh khai thác và mở rộng có chiều sâu về một bài toán chứng minh hình học
trong sách bài tập.
2.3.1 Bài toán cơ bản:
Bài tập 46 ( Trang 103, Sách bài tập Toán 7, tập 1 Nhà xuất bản giáo dục)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB
( D khác phía C đối với AB), Vẽ AE vuông góc và bằng AC ( E khác phía B đối
với AC). Chứng minh rằng:
a)
b)
Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh:

a.
b. DC lần lượt cắt AB và BE tại O và F, ta có sơ đồ chứng minh:

Chứng minh:
a. Ta có:

(1)
Mặt khác ta có
(2)
Từ (1) và (2)

3


a. Ta có:
Mặt khác:

2.3.2 Các bài toán phát triển từ bài toán cơ bản:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai
đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
a. Từ B kẻ BK ⊥ CD tại K. Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng
b. Gọi P,Q,R lần lượt là trung điểm của BD, BC, EC. Chứng minh tam giác
PQR là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh:
a.

ba điểm E, K, B thẳng hàng

b.

a. Ta có:

PQR vuông cân.
Lời giải:
( c/m như câu b bài tập 46)
(gt)

Theo tiên đề Ơclit
b.

E, K, B thẳng hàng

4


Trên tia QP lấy điểm F sao cho PQ=PF.
Xét
và
ta có

DF=BQ=CQ

(*)

( 2 góc ở vị trí so le trong)
Do đó: DF//BQ
(**)
( 2 góc ở vị trí so le trong)
Từ (*) và (**)

Mặt khác DC ⊥ BE

BE (1)

Chứng minh tương tự ta có:

, QR//BE

(2)

Theo bài toán cơ bản ở trên dễ dàng chứng minh được CD=BE
Từ (1), (2) và (3)

(3)

vuông cân tại Q

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác vuông cân
tại A là
.
a. Chứng minh rằng:
b. Chứng minh:
c. Kẻ

. Chứng minh AH đi qua trung điểm của

MN.
( Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Quan Hóa năm học 2017 -2018)
Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh:
- Câu a, b chứng minh tương tự bài toán cơ bản ở trên.
- Sơ đồ chứng minh câu c như sau:

5


Chứng minh:
b) AD cắt MN tại D.
Từ M kẻ

.

Từ N hạ đường vuông góc cắt tia AD tại F
Xét
và
ta có:
MA=AB (gt)
( theo cách vẽ trên)
Mà

(Do

)

(g.c.g)
( hai cạnh tương ứng)
Tương tự ta chứng minh được:
(g.c.g)
( hai cạnh tương ứng)
Do đó: FN=EM
Xét

ta có:
(theo cách vẽ trên)

Từ

( hai góc so le trong)
( Hai cạnh tương ứng)

Vậy D là trung điểm của MN.

Bài toán 3: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai
đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi M là
trung điểm của DE kẻ tia MA cắt BC tại H . Trên tia đối của tia MA lấy điểm N
sao cho MA = MN
a. Chứng minh
b. Chứng minh rằng : MH ⊥ BC
c. Kẻ BK
(K
BK cắt AH tại I. Chứng minh rằng: CI
d. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và DN.
Chứng minh rằng: 2PQ =BC
6


Hướng dẫn lập sơ đồ chứng minh:
a.
MH ⊥ BC

b.
c.

I là trực tâm của

CI

d.
CM như bài toán 1

a. Xét
và

ta có:
MD = ME (gt)
MA=MN (gt)
( 2 góc đối đỉnh)
(c.g.c)

( hai góc tương ứng ở vị trí so le trong)

b. Ta có:
DN = AE ( Do

)

Mà AE = AC ( gt)

DN = AC (*)
AD = AB (gt) (**)
Mặt khác:
Do

( Hai góc trong cùng phía)

(***)
Từ (*), (**), (***)

=

(c.g.c)
( Hai góc tương ứng)
( Do

Mà

)
(Vì AE

)

AH

7


2.3.3 Một số bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC góc A nhọn, AB< AC. Dựng ra phía ngoài các tam
giác ABD vuông cân tại A và tam giác ACE vuông cân tại A. Chứng minh rằng
a. DC = BE và DC vuông góc với BE.
b. BD2 + CE2 = BC2 + DE2.
c. Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh rằng
K là trung điểm của BC.
( Đề thi HSG huyện Quan Sơn năm học 2016 -2017)
Bài 2: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn
thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Kẻ đường cao
AH vuông góc với BC tại H. Tia đối của tia AH cắt DE tại M. Các đường vuông
góc DQ, ER lần lượt cắt tia AM tại Q và R.
a. Chứng minh rằng:
b. Chứng minh rằng: ∆AHC=∆ARE
c. Chứng tỏ M là trung điểm của cạnh DE
Bài 3: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn
thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H trung điểm

của BC . Tia đối của tia AH cắt DE tại M. Lấy điểm A’ trên tia đối của tia HA
sao cho HA=HA’.
a. Chứng minh rằng: ∆AHC=∆A’HB
b. Chứng minh rằng: ∆EAD=∆ABA’
c. Chứng minh rằng:
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam
giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc
vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
( Bài tập sưu tầm trên internet)
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng
chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE =
AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF
vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
c) AM ⊥ EF.
Bài 6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không
chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho
AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với
AC. Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng:
8


a) DE = 2 AM
b) AM ⊥ DE.
2.4. Thực nghiệm và kết quả thực nghiệm.
2.4.1. Kết quả đạt được của quá trình nghiên cứu:
Trên đây tôi vừa trình bày nội dung sáng kiến kinh nghiệm về mở rộng và

khai thác sâu về một bài toán hình học trong chương trình Toán 7. Toàn bộ kiến
thức đã sử dụng trong bài viết này đều được hệ thống sao cho phù hợp với
chương trình toán THCS. Đề tài được thực hiện từ trong tháng 3/2018 với thời
lượng 6 tiết dạy. Kết quả đạt được là:
Kết quả thứ nhất:
Học sinh biết khai thác vận dụng các kiến thức cơ bản để chứng minh một
bài toán hình học.
Kết quả thứ hai:
Rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo, lập luận logic biết sử dụng và liên
hệ những vấn đề đã biết để thực hiện những nhiệm vụ mới.
Kết quả thứ ba:
Rèn luyện tư duy sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề, tư duy biện chứng, biết
cách mở rộng và khai thác sâu về một bài toán trong sách giáo khoa để hiểu rõ
và sử dụng nó trong chứng minh hình học. Giúp giáo viên có cách dạy học có
chiều sâu phát huy được sự sáng tạo và tư duy logic trong chứng minh hình học.
Kết quả thực nghiệm cho thấy sự tiến bộ của các em học sinh thể hiện rõ
rệt. Các em giải quyết tốt các dạng bài toán tự luyện đã đưa ra.
2.4.2 Phương pháp đánh giá
Để đánh giá hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra đánh giá bằng các bài
kiểm tra đánh giá chuyên môn.
Bài số 1:
- 80% các bài tập cơ bản về vẽ hình, hiểu các khái niệm cơ bản.
- 20% bài tập là bài tập về chứng minh hình học cơ bản nhất.
Bài số 2:
Gồm các bài tập đòi hỏi học sinh biết tư duy, biết lập sơ đồ và chứng minh
theo sơ đồ.
2.4.3 Kết quả thực nghiệm
Kết quả bài kiểm tra ở nhóm lớp 7B không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi
Khá

TB
Yếu
Kém
SL

Nhóm
Lớp 7B
Sĩ số
10

Bài kiểm tra số
1
Bài kiểm tra số
2

2

TL (%)

SL

TL (%)

SL

TL (%)

7

70%

3

30%

20% 7

70%

1

10%

SL

TL (%)

SL

TL

9


Kết quả bài kiểm tra ở nhóm lớp 7A áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém

SL

Nhóm
Lớp 7A
Sĩ số
10

Bài kiểm tra số
1
Bài kiểm tra số
2

7

TL (%)

SL

TL (%)

SL

TL (%)

6

60% 4

40%

70% 3

SL

TL (%)

SL

TL

30%

Thông qua hai bản kết quả trên ta thấy thành tích học tập của các em học
sinh của cả hai lớp có thực nghiệm và không thực nghiệm có sự tăng trưởng
đáng kể. Tuy nhiên mức độ tăng trưởng ở mỗi nhóm là khác nhau. Đối với khối
lớp không có thực nghiệm giáo dục, sự tăng trưởng chậm. Còn ở khối lớp có
thực nghiệm thì quá trình tăng trưởng có nhiều bước đột phá, hầu hết các em đã
biết tư duy và thực hiện được các bài tập tự luyện.

10


3. KẾT LUẬN
3.1. Giá trị của sáng kiến kinh nghiệm:
Từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa nếu biết các khai thác và mở
rộng sẽ trở thành những bài toán rèn luyện học sinh mức tư duy, sáng tạo cao với
khả năng vận dụng các kiến thức cơ bản. Với hệ thống bài tập được hướng dẫn
lập sơ đồ chứng minh một cách cụ thể nên dễ dàng được sử dụng như một bài
giảng để giảng dạy cho tất cả các em học sinh từ học lực yếu, trung bình đến học
sinh khá giỏi và luyện thi học sinh giỏi cấp huyện. Giúp các em nhận thức đầy

đủ về kiến thức, phương pháp cũng như có nhiều cơ hội để rèn luyện kỹ năng
chứng minh bài tập hình học, giúp học khai thác tốt các bài tập cơ bản từ đó tạo
nền tảng kiến thức vững chắc để các em học sinh có tư duy sáng tạo lo gic trên
cơ sở mở rộng từ một bài toán đơn giản.
Mặt khác cùng với hệ thống bài tập tự luyện có thể là nguồn tài liệu để giúp
giáo viên và học sinh có tư liệu giảng dạy và giúp học sinh rèn luyện kỹ năng
chứng minh hình học, giúp bồi dưỡng, rèn luyện đội tuyển học sinh giỏi.
3.2. Đề xuất, kiến nghị:
Đề tài được xây dựng sao cho phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi để
khai thác và hiểu sau hơn về một bài toán cơ bản trong sách bài tập từ đó hình
thành cho học sinh năng lực phán đoán, sáng tạo trong chứng minh hình học..
Tôi rất mong được hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm nhà trường góp
ý, bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn và có thể triển khai áp dụng rộng rãi để
giảng dạy cho học sinh lớp 7 trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Trung Thượng, ngày 05 tháng 03 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

Lương Minh Thắng

11


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Để hoàn thành đề tài này tôi có nghiên cứu và sưu tầm một số bài toán

trong các tài liệu sau:
- Sách bài tập toán 7 – nhà xuất bản giáo dục
- Đề thi HSG huyện Quan Sơn, huyện Quan Hóa
- Web: www.MATHVN.com
MỤC LỤC

Mục
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.2.
3
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
3
3.1
3.2

Nội dung
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
NỘI DUNG
Cơ sở lí luận
Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Thực trạng từ học sinh
Thực trạng từ giáo viên
Thực trạng từ chương trình
Các giải pháp thực hiện
Bài toán cơ bản
Các bài toán phát triển từ bài toán cơ bản
Các bài tập tự luyện
Thực nghiệm và kết quả thực nghiệm.
Kết quả đạt được của quá trình nghiên cứu
Phương pháp đánh giá
Kết quả thực nghiệm
KẾT LUẬN
Giá trị của sáng kiến kinh nghiệm
Đề xuất, kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỤC LỤC

Trang
1
1

1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
4-6
6-7
7
7
8
8
10
10
10
11
11

12


SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC, MỞ RỘNG TỪ MỘT BÀI TOÁN CHỨNG MINH
TRONG SÁCH BÀI TẬP HÌNH HỌC 7

Người thực hiện: Lương Minh Thắng
Chức vụ: Phó hiệu trưởng
Đơn vị: Trường PTDTBT THCS Trung Thượng
SKKN thuộc lĩnh vực: Môn Toán

THANH HÓA NĂM 2018
13


14