Các thiếu sót trong tác phẩm tiên đề ơclit

Các thiếu sót trong tác phẩm "Nguyên lý" của ơclít
1. Trước hết Ơclít chưa nhận ra được sự tất yếu cần phải có các khái niệm cơ bản là các khái niệm xuất phát đầu tiên dùng để định nghĩa các khái niệm khác. Ông đã đi
vào cái vòng luẩn quẩn là dùng cái chưa định nghĩa để định nghĩa các khái niệm khác. Ví dụ trong định nghĩa về "điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng" thì các khái niệm
như "bộ phận", "bề dài", "bề rộng", "sắp đặt vị trí như nhau" đều chưa được định nghĩa. Mặt khác một số định nghĩa của Ơclít là thừa, người ta có thể bỏ đi mà không có
ảnh hưởng gì đến việc xây dựng hình học, ví dụ định nghĩa "điểm", "đường thẳng", "mặt phẳng". Hơn nữa các định nghĩa nêu lên ở phần này thực chất chỉ là sự mô tả
sơ sài các khái niệm đó mà thôi.
2. Các định đề và tiên đề của Ơclít vừa thừa nhưng lại vừa thiếu. Ví dụ mệnh đề : "Tất cả các góc vuông đều bằng nhau" là thừa vì mệnh đề này có thể chứng minh
được. Mặt khác hệ tiên đề của Ơclít còn thiếu các tiên đề về thứ tự, về liên tục nên chưa cung cấp đủ cơ sở cho việc suy luận chặt chẽ trong việc chứng minh các định lí
có liên quan đến vấn đề này.
Trong nhiều chứng minh ông đã phải thừa nhận những điều mà ông không nêu lên thành tiên đề. Ví dụ khi có hai đường tròn bằng nhau mà đường tròn này đi qua tâm
của đường tròn kia thì Ơclít mặc nhiên công nhận rằng chúng cắt nhau chứ không chứng minh sự tồn tại của các giao điểm (mà thực ra không thể chứng minh được vì
thiếu các tiên đề liên tục). Về sự bằng nhau của các hình thì Ơclít đã định nghĩa thông qua khái niệm dời hình thể hiện cụ thể bằng khái niệm chồng khít, nhưng trong hệ
tiên đề của Ơclít không có một tiên đề nào nói về phép dời hình cả. Ngoài ra hệ tiên đề của Ơclít còn thiếu một số tiên đề về hình học không gian.
3. Chúng ta không hề gặp trong tác phẩm "Nguyên lý" những ứng dụng thực tiễn của hình học, thậm chí không thấy nói đến thước và compa là những dụng cụ dựng
hình thông thường để dựng đường thẳng và đường tròn. Vấn đề này có lẽ nằm trong xu thế chung của xã hội thời bấy giờ vì lúc đó người ta có xu hướng coi trọng các
môn toán học lí thuyết và xem nhẹ các môn toán học ứng dụng. Hơn nữa trong tác phẩm của Ơclít người ta không thấy nói tới các đường côníc là những kiến thức đã có
thời bấy giờ.
Các nhà bác học thời cổ đã phát hiện được một số thiếu sót trong tác phẩm của Ơclít. Đặc biệt Acsimét đã bổ sung thêm các tiên đề làm cơ sở cho việc đo độ dài, đo
diện tích và đo thể tích. Trong khi nghiên cứu về hệ tiên đề của Ơclít có một số các nhà toán học cho rằng cần phải thêm vào đó một số tiên đề cần thiết thì một số đông
các nhà toán học khác lại cố gắng tìm cách bớt đi những tiên đề thừa. Theo hướng này định đề V của Ơclít bị nghi là thừa vì người ta quen nghĩ rằng tiên đề phải đơn
giản trong khi đó định đề V của Ơclít được phát biểu khá phức tạp. Quá trình thêm, bớt, lựa chọn, hoàn chỉnh hệ tiên đề của Ơclít đã diễn ra trên hai nghìn năm trong đó
có các công trình quan trọng của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới nghiên cứu về định đề V của Ơclít.
Các thiếu sót trên của Ơclít không phải là điều khó hiểu nếu chúng ta biết rằng khoảng 2200 năm sau khi Hinbe mới xây dựng được một hệ tiên đề không thừa không
thiếu cho hình học Ơclít. Nếu như đến cuối thế kỉ XIX chúng ta mới có được một hệ tiên đề hình học hoàn chỉnh thì thắng lợi đó phải xem là được bắt đầu từ tác phẩm
"Nguyên lý" của Ơclít. Chúng ta cần đánh giá công trình có giá trị khoa học đó của Ơclít một cách khách quan, khoa học vì Ơclít không thể nào thoát ra khỏi những hạn
chế có tính chất lịch sử của thời đại cổ Hi Lạp cách đây hơn hai nghìn năm.
Câu hỏi kiểm tra nhận thức
Dựa vào trực giác, ơclít cho rằng hai đường tròn đi qua tâm của nhau thì cắt nhau mà không chứng minh. Vậy, để chứng minh được khẳng định trên, ông cần bổ sung
các tiên đề về:

Tính thứ tự.

Tính liên tục.
Phép dời hình.
Sai. Bạn chọn đáp án khác.
Đúng. Khi bổ sung các tiên đề về tính liên tục, ta có thể chứng minh được rằng mỗi đường tròn là một đường liền đóng kín.
Sai. Bạn chọn đáp án khác.
Thảo luận
Thiên văn học rất phát triển ở thời kì ơclít sống. Lý thuyết về đường côníc đã ra đời nhằm giải thích về quỹ đạo chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời. Quỹ
đạo chuyển động của các hành tinh theo đường elíp, hypebol, parabol.
Vậy, tại sao một tác phẩm được coi là tập hợp được hầu hết các kiến thức toán học lúc bấy giờ lại không trình bày lý thuyết về đường côníc - một trong những minh
chứng rất tốt cho khả năng ứng dụng của toán học trong thực tiễn.