Rèn luyện kỹ năng phân loại và giải toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn trong đề thi THPT quốc gia
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (540.7 KB, 26 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ
GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
Người thực hiện:
Lê Diễm Hương
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
STT
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
2.1
2.2
2.3
2.3.1
2.3.1.1
2.3.1.2
2.3.1.3
2.3.2
2.3.2.1
2.3.2.2
2.3.2.3
2.3.2.4
2.3.4
2.4
3.
Tên đề mục
Trang
Mở đầu
1
Lí do chọn đề tài
1
Mục đích nghiên cứu
1
Đối tượng nghiên cứu
1
Phương pháp nghiên cứu
1
Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
Thực trạng của đề tài
2
Giải pháp thực hiện
3
Hệ thống kiến thức liên quan
3
Định nghĩa nguyên hàm, tích phân
3
Tính chất nguyên hàm, tích phân
3
Phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm, tích phân từng
4
phần
Các phương pháp cơ bản
4
Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm
4
Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, giải hệ tích phân
10
Phương pháp đổi biến số
12
Phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần
18
Bài tập tương tự
21
Kết quả nghiên cứu
21
Kết luận và kiến nghị
22
Tài liệu tham khảo
1. MỞ ĐẦU
1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình môn Toán ở cấp THPT bài toán về tìm nguyên hàm, tích phân là
một nội dung mới và khó đối với đa số học sinh. Đứng trước bài toán này các em chủ yếu
được làm quen với cách tìm nguyên hàm, tích phân của một số hàm sô thường gặp bằng
bảng nguyên hàm và hai phương pháp cơ bản đổi biến số, phương pháp nguyên hàm tích
phân từng phần…. Nhưng với cách đổi mới căn bản về hình thức thi trắc nghiệm như
hiện nay trong đề thi thường xuất hiện các bài toán tìm nguyên hàm hay tích phân có
chứa hàm ẩn nên làm cho học sinh gặp khó khăn trong việc định hướng tìm ra lời giải
.Các em thường lúng túng trong việc áp dụng lý thuyết đã học, thậm chí đa số các em bỏ
qua câu này kể cả với các em có học lực khá, giỏi và suy nghĩ đây là câu hỏi có tính chất
vận dụng cao.
Vì lí do đó trong quá trình giảng dạy học sinh nhiều năm ở các lớp 12 và trong quá
trình ôn tập tiến tới kỳ thi THPTQG sắp tới tôi mạnh dạn đưa ra cách giải quyết những
khó khăn trên của học sinh bằng đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ
GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT
QUỐC GIA”.
1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đứng trước những vấn đề trên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức cho
học sinh , tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giải
quyết những vấn đề từ dễ đến khó. Nhưng chúng ta đã biết không có một chìa khoá vạn
năng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán. Trong khi đó việc giảng dạy toán học nói
chung và trong quá trình ôn thi THPTQG nói riêng, việc làm cho học sinh giải quyết
được vấn đề đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết. Trong bài
viết này, dựa trên kinh nghiệm một số năm giảng dạy ở lớp 12, luyện thi THPTQG bồi
dưỡng kiến thức cho các em giành được số điểm cao nhất , tôi xin nêu lên hướng giải
quyết bài toán về nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn với đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ
NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN
TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”, nhằm làm cho học sinh nâng cao khả năng tư duy,
phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho các em học sinh,giúp
các em tự tin để bước vào kì thi THPTQG sắp tới.
1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Nội dung là các bài toán về nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn trong chương trình
môn Toán cấp THPT.
- Một số bài tập vận dụng thấpvà vận dụng cao nằm trong đề thi khảo sát chất lượng
THPTQG của các trường THPT và các đề thi THPTQG những năm gần đây của Bộ GD
& ĐT.
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
* Phương pháp:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận chung.
- Phương pháp khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
* Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
1
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp các lớp khối THPT ở những năm học qua.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ
môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Toán học là
một môn học quan trọng và khó, kiến thức rộng, không ít học sinh ngại học môn này .
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập.
Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và
cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn Toán học
một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài
tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho
học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán nguyên hàm
tích phân chứa hàm ẩn.
Khi gặp một bài toán về nguyên hàm tích phân có chứa hàm ẩn chúng ta có rất nhiều
hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải. Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tư duy
theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của SGK sẽ khiến học sinh khó khăn tìm
ra hướng giải quyết. Vì tính chất phân loại của đề thi hiện nay, bài toán về tìm nguyên
hàm tích phân nói chung và bài toán tìm nguyên hamg tích phân có chứa hàm ẩn nói
riêng đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh. Để giải quyết được bài toán, học sinh
không chỉ nắm được lý thuyết cơ bản mà phải biết kết hợp thành thạo các cách giải tổng
quát mà các em học được. Tạo nên một sự liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức nhất
là kiến thức giữa các cấp học giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây
nên sự hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong việc tiếp thu
và lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, khắc
phục được tâm lý lo sợ khi gặp bài toán khó là mục tiêu quan trọng nhất trong hoạt động
dạy học của mỗi giáo viên.
Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải thành thạo một số bài
toán về nguyên hàm tích phân chứa hàm ẩn bằng “ Bốn phương pháp cơ bản”.
2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Qua việc khảo sát khảo sát rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn
cũng như các trường THPT trong địa bàn huyện Nga Sơn và trong quá trình kiểm tra
khảo sát định kỳ học tập, luyện đề ôn thi THPTQG hai năm gần đây tôi nhận thấy học
sinh khi gặp câu về tìm nguyên hàm, tích phân có chứa hàm ẩn thường không định hướng
được cách giải hoặc thậm chí bỏ qua câu này. Điều một phần thấy khó do yếu tố tâm lí
của học sinh nghĩ rằng đây là bài toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan
không thể làm được. Điều đó dẫn đến một sự thật đáng buồn, phần lớn học sinh dự thi
THPTQG đều bỏ qua hoàn toàn câu này hoặc chỉ làm được một vài dạng câu với mức độ
2
nhận biết học thậm chí khoanh bừa. Một điều đáng ngạc nhiên là những năm gần đây
trong các đề thi khảo sát chất lượng các môn thi THPTQG của các trường THPT trong cả
nước, đề thi và đề minh họa của Bộ GD &ĐT từ năm 2017 đến nay thường xuất hiện các
dạng câu hỏi này . Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn
chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng
loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic giúp các em học
sinh có thêm tự tin để giải quyết được những bài toán khó này. Đó là mục đích của đề tài
“ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH
PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”mà tôi hướng đến.
2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp
tôi mạnh dạn đưa ra bốn hướng giải quyết vấn đề bài toán về nguyên hàm, tích phân
chứa hàm ẩn để giúp học sinh có những kỹ năng cần thiết trong quá trình ôn tập thi
THPTQG đó là: “phương pháp sử dụng định nghĩa, tích chất nguyên hàm; phương pháp
sử dụng định nghĩa tính chất tích phân, giải hệ tích phân; phương pháp đổi biến số,
phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần”.
Đối với mỗi phương pháp, tôi phân tích và định hướng cho học sinh cho các em làm cụ
thể, đồng thời lấy các ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải. Những
dạng bài tập có nhiều cách giải tôi đều so sánh phân tích để các em thấy được ưu nhược
của từng cách giải để từ đó các em chủ động trong việc định hướng,lựa chọn cách giải
cho những bài tập tương tự.
Để minh họa cho từng phương pháp, tôi đều đưa ra những bài toán nằm trong các Đề
thi khảo sát THPT QG của các trường THPT hoặc của Bộ GD & ĐT. Với mỗi bài toán
như vậy tôi dẫn ra những cách giải phù hợp với nội dung chương trình đang học từ đó
học sinh có định hướng phân loại, kỹ năng giải thành thạo các bài toán sẽ gặp .
2.3.1.Hệ thống kiến thức liên quan
2.3.1.1 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân
* Định nghĩa 1: Cho hàm số f ( x) xác định trên K . Hàm số F ( x) được gọi là nguyên
hàm của f ( x) trên K nếu F ( x)� f ( x), x �K . Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) trên
f ( x)dx và �
f ( x)dx F ( x) C , C �R .
K được kí hiệu là �
f�
( x)dx f ( x) C ( C là hằng số) hay
Từ đó: �
�f ( x)dx � f ( x)
* Định nghĩa 2: Cho hàm số f ( x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Nếu
F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K thì hiệu số F (b) F (a ) được gọi là tích phân
của f ( x) từ a đến b và kí hiệu là:
b
b
a
a
f ( x) dx hay �
f�
( x) dx f (b) f (a )
�
2.3.1.2 Tính chất nguyên hàm, tích phân
* Giả sử các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K thì:
f ( x )dx �
g ( x )dx ; �
kf ( x) dx k �
f ( x), k �0
f ( x) g ( x) dx �
�
* Giả sử các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và là ba số a, b, c bất kì thuộc K . Khi
đó :
a
f ( x)dx 0 ;
+�
a
b
a
a
b
f ( x) dx �
f ( x) dx ;
�
b
c
c
a
b
a
f ( x) dx �
f ( x)dx �
f ( x) dx
�
3
b
b
b
b
a
a
a
a
a
b
f ( x )dx �
g ( x)dx ; �
kf ( x )dx k �
f ( x )dx, k �R
f ( x) g ( x) dx �
+�
b
�
�f ( x) �0, x � a; b
f ( x)dx 0
* Nếu hàm số f ( x) liên tục trên a; b thỏa mãn �
thì: �
a
�f ( x0 ) 0, x0 � a; b
�f ( x) �0, x � a; b
�
* Nếu hàm số f ( x) liên tục trên a; b và �b
thì: f ( x) 0, x � a; b
f ( x)dx 0
��
�a
2
b
�b
� b 2
f
(
x
),
g
(
x
)
a
;
b
f ( x).g ( x)dx ���
f ( x)dx.�
g 2 ( x)dx.
* Nếu Nếu hàm số
liên tục trên
thì: ��
a
�a
� a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f ( x), g ( x) tỉ lệ trên a; b .
2.3.1.3 Phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm, tích phân từng
phần
* Phương pháp đổi biến số :
+ Cho hàm số u ( x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f (u ) liên tục sao cho
f u ( x) xác định trên K . Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức là
f (u ) du F (u ) C thì �
f u ( x) u �
( x )dx F u ( x) C
�
+ Cho hàm số u ( x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f (u ) liên tục sao cho
f u ( x) xác định trên K ; a, b là hai số thuộc K . Khi đó:
b
u (b )
a
u (a)
f u ( x) u�
( x )dx
�
�f (u )du
* Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu u x , v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên
u ( x).v�
( x) dx u ( x).v( x) �
v( x).u�
( x) dx
tục trên K thì �
* Phương pháp tích phân từng phần: Nếu u x , v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục
b
u ( x).v�
( x )dx u ( x ).v ( x )
trên và a, b là hai số thuộc K thì �
a
b b
v ( x).u �
( x) dx
a �
a
2.3.1.4 Quy tắc tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm số
* Giả sử u u ( x), v v( x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
� v�
u � u�
v uv��1 �
; � � 2
v2
�v �
�v � v
u là yu�
* Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x là u�
x và hàm số y f u có đạo hàm tại
.u x .
thì hàm hợp y f ( g ( x)) có đạo hàm tại x là yx� yu��
��
�v�
; u.v � u �
v u.v�
; � �
Ta có: u �v � u �
( x) xác định và liên
* Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:Với u u x ; u � u �
tục trên K . Ta có:
u .u �
dx
�
u 1
u�
u�
u � 1
C ; � dx ln u ( x) C ; � dx u C ; �
eu .u �
dx e u C ; �2
C
1
u
u dx u
2 u
2.3.2. Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân
2.3.2.1. Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm
4
( x)
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) xác định trên tập R \ 1 thỏa mãn : f �
f (2) 2018 . Tính giá trị của biểu thức: S f (3) f (1) .
A. S 1
B. S ln 2
C. S ln 4035
1
; f (0) 2017;
x 1
D. S 4
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Khi gặp bài toán này các em học sinh sẽ lúng túng trong việc sử dụng giá trị
của hàm số tại điểm cho trước để tìm ra hàm ẩn f ( x) . Thậm chí có những em sẽ thấy đề
bài cho“ thừa” dữ kiện khi có hai giá trị của f ( x) và dẫn đến sai lầm khi tìm hằng số C
của f ( x) .Với những dạng toán này khi giả thiết có thể cho từ hai giá trị hàm tại 1 điểm
trở lên tôi hướng dẫn các em giải quyết theo hai cách sau:
1
x 1
f ( x) dx � dx ln x 1 C
* Cách 1: Ta có �
�f ( x) ln( x 1) 2017, x 1
�
Theo giả thiết: f (0) 2017, f (2) 2018 nên �
�f ( x) ln( x 1) 2018, x 1
Do đó: S f (3) f (1) ln 2 2018 ln 2 2017 1
0
0
�
dx
1
�
f
(0)
f
(
1)
f
(
x
)
dx
ln
(1)
�
�
�
x 1
2
�
1
1
* Cách 2: Ta có: �
3
3
dx
�f (3) f (2) f �
( x) dx � ln 2 (2)
�
�
x 1
�
2
2
Từ (1) và (2) suy ra: S = 1.
*Nhận xét: Trong hai cách giải trên cách thứ nhất học sinh sử dụngtrực tiếp định nghĩa
nguyên xét trên từng khoảng. Còn cách thứ hai sử dụng định nghĩa tích phân có thể sử
dụng máy tính hỗ trợ sẽ rút ngắn thời gian làm bài hơn.
1
�2
��
( x)
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) xác định trên tập R \ � �thỏa mãn : f �
2
; f (0) 1 . Tính
2x 1
giá trị của biểu thức: S f (3) f (1) .
A. S 2 ln15
B. S 4 ln15
C. S 3 ln15
D. S ln15
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Với dạng bài toán mà chỉ biết 1 giá trị hàm số f ( x) tại điểm tôi hướng dẫn học
sinh sử dụng trực tiếp định nghĩa nguyên hàm để tìm ra hàm ẩn f ( x) .
2
dx ln 2 x 1 C
2x 1
f�
( x )dx �
Ta có f ( x) �
Theo
giả
thiết:
f (0) 1 � C 1 � f ( x) ln 2 x 1 1 nên
�f (1) ln 3 1
� f ( 1) f (3) 2 ln15
�
�f (3) ln 5 1
1
�2
f (1) 2 . Tính giá trị của biểu thức: S f (3) f (1) .
A. S 4 ln 5
B. S 3 ln15
C. S 2 ln15
��
( x)
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) xác định trên tập R \ � �thỏa mãn : f �
2
; f (0) 1;
2x 1
D. S ln15
Hướng dẫn: Đáp án B
Phân tích: Với bài toán này tôi hướng dẫn học sinh tìm hàm ẩn f ( x) theo hai cách
5
�1
�
2
�
�
2
� 1�
+ Trên khoảng ��; �: f ( x) � dx ln 1 2 x C2 ; f (0) 1 � C2 1
2x 1
� 2�
1
�
f ( x) ln(2 x 1) 2, x
�
�
2 � f (1) f (3) 3 ln15
Vậy : �
�f ( x) ln(1 2 x) 1, x 1
�
2
0
0
�
2dx
1
�
f ( x)dx �
ln
(1)
�f (0) f (1) �
2x 1
3
�
1
1
* Cách 2: �
Từ (1) và (2) suy ra: S = 3 ln15 .
3
3
2dx
�f (3) f (1) f �
( x)dx �
ln 5 (2)
�
�
2x 1
�
1
1
( x ) 2 x 1; f (1) 5 . Phương trình
Ví dụ 4: Cho hàm số xác định trên tập R thỏa mãn : f �
f ( x) 5 có 2 nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức: S log 2 x1 log 2 x2 .
* Cách 1:
+ Trên khoảng � ; ��: f ( x) � dx ln 2 x 1 C1 ; f (1) 2 � C1 2
2
2x 1
A. S 1
B. S 2
C. S 0
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng định nghĩa nguyên hàm
f�
( x)dx �
(2 x 1)dx x 2 x C .
Ta
có f ( x) �
D. S 4
Theo
giả
thiết:
f (1) 5 � C 3 � f ( x) x x 3
2
x 1
�
. Suy ra: S log 2 x1 log 2 x2 1
x 2
�
Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên khoảng (0; �) thỏa
1
( x) (2 x 4). f 2 ( x) 0 . Tính giá trị biểu thức: S f (1) f (2) f (3)
mãn f (2) và f �
15
7
11
11
7
A. S
B. S
C. S
D. S
30
15
30
15
2
Xét phương trình: f ( x) 5 � x x 3 5 � �
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Khi gặp dạng bài toán này tôi hướng dẫn học sinh kết hợp quy tắc đạo hàm
với định nghĩa nguyên hàm để tìm ra hàm ẩn f ( x) .
f�
( x)
1
( x) (2 x 4). f 2 ( x) 0, f ( x) 0 � 2
2x 4 �
x2 4 x C
Ta có: f �
f ( x)
f ( x)
1
1
1 1 1
7
nên C 3 � f ( x) 2
. Suy ra f (1) f (2) f (3) .
15
x 4x 3
8 15 24 30
6
Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên R. Biết : f ( x). f ( x) 12 x 13; f (0) 2 .
Khi đó phương trình f ( x) 3 có bao nhiêu nghiệm?
A. S 2
B. S 3
C. S 7
D. S 4
Mà f (2)
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Với những bài toán xuất hiện lũy thừa tôi định hướng cho học sinh áp dụng
u .u �
dx
nguyên hàm �
Ta có:
u 1
C . Từ đó giải phương trình tìm được hàm ẩn f ( x) .
1
6
f 6 ( x). f ( x) 12 x 13 � �
f 6 ( x). f �
( x).dx �
f 6 ( x)d f ( x ) 6 x 2 13 x C
12 x 13 dx � �
f 7 ( x)
27
2
�
6 x 13 x C ; f (0) 2 � C
� f 7 ( x ) 42 x 2 91x 2
7
7
7
2
Từ phương trình: f ( x) 3 � f ( x) 2187 � 42 x 91x 2185 0 1
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn:
1
f�
( x ) e x e x 2; f (0) 5; f (ln ) 0. Tính giá trị của biểu thức: S f ( ln16) f (ln 4)
4
31
9
5
7
A. S
B. S
C. S
D. S
2
2
2
15
Hướng dẫn: Đáp án C
Phân tích: Với những bài toán đề bài cho hàm số mũ tôi định hướng cho học sinh sử
eu .u �
dx eu C để tìm ra hàm ẩn.
dụng theo nguyên hàm �
( x) e x e x 2
Ta có: f �
ex 1
ex
x
x
� 2x
�2x
2
2
2
e
2
e
C1 , x �0
e
e
,
x
�
0
�
�
� x
f
(
x
)
.
Do
đó:
�
x
x
x
�
�
2
2
2
2
2
e
2
e
C2 , x 0
e
e
,
x
0
�
�
ln 4
ln 4
Theo bài ra ta có: f (0) 5 � C1 1 � f (ln 4) 2e 2 2e 2 1 6
Tương tự: f (ln 1 ) 0 � 2e
4
Suy ra: f ( ln16) 2e
ln16
2
1
4
2
ln
1
4
2
ln
2e
2e
ln16
2
C2 0 � C2 5
5
7
5 . Vậy : S f ( ln16) f (ln 4)
2
2
Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x) liên tục và nhận giá trị dương trên R, thỏa mãn f (0) 1 và
f�
( x)
x
2
. Khi đó giá trị biểu thức: S f (2 2) 2 f (1) thuộc khoảng
f ( x) x 1
A. 9;12
B. 2;3
C. 7;9
D. 0;1
Hướng dẫn: Đáp án D
Phân tích: Với những bài toán đề bài cho tỉ số giữa đạo hàm và hàm số tôi định hướng
u�
dx ln u ( x) C để tìm ra hàm ẩn.
�
u
f�
( x)
x
d ( f ( x )) 1 d x 1
1
dx � �
�
� ln f ( x ) ln( x 1) C
�f ( x) dx �
x 1
f ( x)
2
x 1
2
cho học sinh sử dụng theo nguyên hàm
2
Ta có:
2
2
2
Do:
f (0) 1 � C 0 � f ( x) x 2 1 ;
f (2 2) 3; 2 f (1) 2 2 � f (2 2) 2 f (1) 3 2 2 �(0;1)
1
2
( x ) (2 x 3). f 2 ( x); f (0) . Biết tổng
Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x) �0 thỏa mãn điều kiện f �
a
a
f (1) f (2) ... f (2017) f (2018) ;( a �Z , b �N ) và
là phân số tối giản. Mệnh đề nào
b
b
đúng?
A. b a 3029
B.
a
1
b
C. a b 1010
D.
a
1
b
7
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương và định nghĩa nguyên
hàm.
f�
( x)
1
f�
( x)
( x) (2 x 3). f 2 ( x) � 2
2 x 3 � �2
dx �
x 2 3x C
2 x 3 dx �
Ta có: f �
f ( x)
f ( x)
f ( x)
� f ( x)
1
1
1
1 �
�1
; f (0) � C 2 � f ( x) 2
�
x 3x C
2
x 3x 2
�x 1 x 2 �
�
2
Khi đó:
a
1
1
1
�1
�
f (1) f (2) ... f (2017) f (2018) �
...
�
b
2018.2019 2019.2020 �
�2.3 3.4
a 1009
1
1
1
1 � �1
1 � 1009 �
�1 1 1 1
� ...
;�
� b a 3029
� �
�
b 2020
2018 2019 2019 2020 � �2 2020 � 2020 �
�2 3 3 4
�
�
( x). f ( x) 2 f �
( x) xf 3 ( x) 0
�f �
y
f
(
x
),
x
�
0
Ví dụ10: Cho
, thỏa mãn: �
. Tính f (1) ?
(0) 0; f (0) 1
�f �
6
7
3
2
A. S
B. S
C. S
D. S
7
6
2
3
2
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Khi gặp bài toán với giả thiết cho hệ thức chứa tổng(hiệu) có chứa f �
tôi định
hướng cho học sinh biến đổi theo các quy tắc đạo hàm rồi áp dụng định nghĩa nguyên
hàm tìm ra hàm ẩn f ( x) .
Ta có:
�
f�
( x). f ( x) 2 f �
( x) xf ( x) 0 �
2
3
�
f�
( x). f ( x) 2 f �
( x)
2
x
f 3 ( x)
�
�f �
( x) �
f�
( x) x 2
f�
(0) 0 2
f�
( x) x 2
� � 2 � x � 2
C � 2
C �C 0� 2
f ( x)
2
f (0)
2
f (x)
2
�f ( x ) �
1
1
f�
( x)
x2
1 1 � x 3 �1
1
1
1
6
� �2
dx � dx �
� � �
� f (1)
f ( x)
2
f ( x ) 0 � 6 �0
f (1) f (0) 6
7
0
0
Theo giả thiết: f (0) 1 � C 0 � f ( x) x 2 1 nên
(0) 9
Ví dụ 11: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn 0;1 , thỏa mãn f �
2
�
( x) f �
( x) x 9. Tính T f (1) f (0) .
và 9 f �
1
2
A. T 9 ln 2
B. T 2 9 ln 2
C. T 2 9 ln 2
D. T 9
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Đây là một bài toán khó gây lúng túng trong việc định hướng tìm ra cách
giải. Nên khi gặp những hệ thức chứa đạo hàm tôi hướng dẫn các em khéo léo biến đổi
bám theo quy tắc đạo hàm dẫn đến hàm ẩn f ( x) .
�
f�
( x) 1
1
�
�
( x) f �
( x) x 9 � 9 f �
( x) 1 f �
( x) x �
2
Ta có: 9 f �
9
( x) x
f�
2
2
�
f�
( x) 1
1
1
x
dx �dx �
C
2
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: �f �
9
f�
( x) x 9
( x) x
8
1
9
9
9
� f�
( x) x
x 1
x 1
1
1
�9
�
x �9 ln 2
Vậy: T f (1) f (0) �
�
x 1
2
�
0�
2
2
( x ) 2 x f ( x ) với mọi x �R . Giá trị
Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) và f �
9
f
(1)
của
bằng
2
35
2
19
A.
B.
C.
D.
3
36
15
36
(0) 9 � C � f �
( x) x
Do f �
Hướng dẫn: Đáp án A. Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương.
�
�1 �
1
2
2
x
�
�f ( x) � 2 x � f ( x) x C
2
f ( x)
�
�
1
1
1
2
2
C
� f ( x)
f (1)
1
1
Từ f (2) ; Suy ra
2
3.
x 2 .Suy ra
12
9
2
2
1
2
( x) x3 f ( x) với mọi x �R . Giá trị
Ví dụ 13: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2) và f �
5
f
(1)
của
bằng
4
4
79
71
A.
B.
C.
D.
5
35
20
20
( x) 2 x f ( x ) �
Ta có: f �
2
f�
( x)
Hướng dẫn: Đáp án A
( x) x3 f ( x) �
Ta có: f �
2
f�
( x)
f ( x)
2
�
�1 �
1
x4
3
x3 � �
x
�
C
�
f ( x)
4
�f ( x ) �
Ví dụ 14: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R \ 1;0 , thỏa mãn điều kiện f (1) 2 ln 2 và
x( x 1) f �
( x ) f ( x) x 2 x 0
x �R \ 1;0 với mọi x �R . Biết: f (2) a b ln 3 a, b �Q . Tính a 2 b 2
9
13
1
3
A.
B.
C.
D.
2
4
2
4
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Khi gặp hệ thức có tổng(hiệu) có chứa hàm số f ( x) và đạo hàm của nó tôi
định hướng cho học sinh biến đổi để dẫn đến đạo hàm của tích hoặc thương . Từ đó học
sinh sẽ có “thói quen” hình thành kỹ năng giải các bài toán tương tự như các ví dụ sau
x( x 1) f �
( x ) f ( x ) x 2 x 0 � x( x 1) f �
( x ) f ( x) x( x 1) �
x
1
x
.f �
( x)
. f ( x)
2
x 1
x 1
x 1
� x
x
x
�x
�
. f ( x) � dx x ln x 1 C
� � . f ( x) �
, x �R \ 1;0 �
x 1
x 1
�x 1
� x 1
x
. f ( x) x ln x 1 1
Từ f (1) 2 ln 2 ; Suy ra C 1 ; Do đó :
x 1
� 3
a
�
2
3 3
9
� 2
Với x 2 thì . f (2) 1 ln 3 � f (2) ln 3 � �
. Vậy : a 2 b 2
3
3
2 2
2
�
b
�
2
9
1
4
24
1
1
f (1)
C 5 1 � f ( x)
4
1
Từ f (2) ; Suy ra
. Suy ra
5.
x
4
1
5
1
4
4
2.3.2.2.Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, giải hệ tích phân
* Nhận xét: Sau đây là một số bài toán tìm tích phân chứa hàm ẩn ngoài việc sử dụng
định nghĩa, tính chất tích phân còn có sự kết hợp nhạy bén các quy tắc đạo hàm của
hàm số ở chương trình lớp 11. Tôi đã đưa ra một số ví dụ sau để học sinh tự phân tích,
định hướng và đưa ra lời giải.
2
5
f ( x)dx 10 . Kết quả
Ví dụ 1: Cho �
2
2 4 f ( x) dx
�
bằng:
5
A. 34
B. 36
C. 40
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất tích phân.
2
2
5
5
5
2
D. 32
dx 4 �
f ( x)dx 34
2 4 f ( x) dx 2�
Ta có: �
Ví dụ 2: Cho hàm sô f x liên tục trên R và F ( x) là nguyên hàm của f x , biết:
9
f ( x)dx 9 và
�
F (0) 3. Tính F (9) ?
0
A. F (9) 12
B. F (9) 6
C. F (9) 6
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng định nghĩa tích phân
9
Ta có:
D. F (9) 12
9
f ( x )dx F ( x ) F (9) F (0) 9 � F (9) 12
�
0
0
9
0
9
9
0
g ( x)dx 16 . Tính: I �
2 f ( x) 3g ( x) dx
�
f ( x)dx 37 và
Ví dụ 3: Cho �
0
A. I 26
B. I 58
C. I 143
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân.
9
9
9
0
0
9
0
0
9
D. I 122
f ( x) dx 3�
g ( x) dx 2 �
f ( x) dx 3�
g ( x) dx 26
2 f ( x) 3g ( x) dx 2 �
Ta có: I �
0
Ví dụ 4: Nếu
2
5
1
2
f ( x)dx 3 và �
f ( x)dx 1 thì :
�
5
I �
f ( x) dx bằng:
1
A. I 2
B. I 2
C. I 3
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân.
5
2
5
1
1
2
D. I 4
f ( x) dx �
f ( x)dx �
f ( x)dx 3 1 2
Ta có: I �
Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0;10 và
10
�f ( x)dx 7 và
0
2
10
0
6
6
f ( x)dx 3 . Tính
�
2
P�
f ( x)dx �
f ( x)dx .
A. P 4
B. P 4
C. P 7
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân
D. P 10
10
2
6
10
2
10
0
0
2
6
0
6
f ( x)dx �
f ( x)dx �
f ( x) dx �
f ( x) dx 7 � �
f ( x) dx �
f ( x) dx 7 3 4
Ta có: I �
10
8
Ví dụ 6: Biết
4
1
1
f ( x)dx 2 , �
f ( x)dx 3 , �
g ( x) dx 7 . Mệnh đề nào sau đây sai?
�
1
8
A.
4
f ( x)dx 5
�
4
4
8
f ( x) g ( x) dx 10
B. �
f ( x)dx 1
�
C.
1
4
4
4 f ( x) 2 g ( x) dx 2
D. �
1
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân.
8
Ta có:
8
4
1
1
f ( x)dx �
f ( x )dx �
f ( x)dx 2 3 5
�
4
2
5
Ví dụ 7: Cho
�f ( x)dx 8
và
2
g ( x)dx 3 . Tính:
�
5
I
f ( x) 4 g ( x) 1 dx
�
2
5
A. I 13
B. I 27
C. I 11
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân
Ta có: I
5
5
2
2
2
5
f ( x)dx 4 �
g ( x)dx x
f ( x) 4 g ( x) 1 dx �
�
D. I 3
5
13
2
1
f 2 ( x). f �
( x)dx .
Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x ) x 4 x 2 x x 1, x �R . Tính I �
4
3
2
0
2
A.
3
2
C.
3
B. 2
D. 2
Hướng dẫn: Đáp án A. Sử dụng tích phân của hàm lũy thừa
1
1
0
0
f 2 ( x). f �
( x)dx �
f 2 ( x).d ( f ( x))
Ta có: I �
f 3 ( x) 1 f 3 (1) f 3 (0)
2
3 0
3
3
Ví dụ 9: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn 1;1 , thỏa mãn
f ( x ) 0, x �R và f �
( x ) 2 f ( x) 0. Biết f (1) 1 , tính f ( 1).
4
A. f (1) e
B. f (1) e 2
C. f (1) e3
D. f (1) 3
Hướng dẫn: Đáp án A. Sử dụng tích phân của hàm số lôgarit
1
1
f�
( x)
f�
( x)
2 � � dx �
2dx 4 � ln f ( x)
f ( x)
f ( x)
1
1
( x ) 2 f ( x) 0 �
Ta có: f �
Suy ra f (1) e4 .
( x ). f ( x) x 4 x 2 . Biết
Ví dụ 10: Cho hàm số y f ( x) thỏa mãn f �
A. f 2 (2)
332
15
B. f 2 (2)
313
15
C. f 2 (2)
324
15
1
1
4
f (0) 2 Tính f 2 (2) .
323
D. f 2 (2)
15
Hướng dẫn: Đáp án A. Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp máy tính casio.
( x). f ( x ) x 4 x 2
Ta có: f �
2
2
2
0
0
0
f�
( x). f ( x)dx �
f ( x)df ( x)
x 4 x 2 dx � �
Suy ra : �
136
f 2 ( x) 2 136
332
�
� f 2 (2)
15
2 0 15
15
Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0;1 , thỏa mãn điều kiện
1
1
1
1
0
0
f ( x)dx �
xf ( x)dx 1
�
f ( x) dx 4 , Giá trị của tích phân �
f ( x) dx bằng
và �
2
0
A. 8
B. 1
Hướng dẫn: Đáp án C
3
0
C. 10
D. 80
11
*Phân tích: Đây là một bài toán tính tích phân hàm ẩn chứa lũy thừa đặc biệt là mũ 2,
tôi định hướng học sinh đi phân tích theo hằng đẳng thức và sử dụng thêm tích chất:
�f ( x) �0, x � a; b
�b
�
f ( x)dx 0
��
�a
thì: f ( x) 0, x � a; b từ đó tìm ra hàm ẩn f ( x) .
+ Xét:
1
1
1
1
0
0
�
�
ax b dx
f ( x) dx 2�
�f ( x) ax b �
�dx �
�f ( x). ax b �
�dx �
�
2
0
2
0
1
2
1
1
a2
3 1
4 2a �
xf ( x )dx 2b �
f ( x) dx ax b
4 2(a b) ab b 2 .
0
3a
3
0
0
2
a
Ta cần xác định 2 số a, b để 4 2(a b) ab b 2 0
3
2
b 2
4 2
2
Ta có: b 4b 4 (b 4b 4)
�0 � b 2 � a 6
3
3
1
1
1
�
f ( x) dx �
(6 x 2) dx 10
Khi đó: �
�f ( x) -6x 2 �
�dx 0 � f ( x) 6 x 2 � �
2
0
3
0
3
0
Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R , thỏa mãn điều kiện
�f ( x ) 0, x �R
�
(0) 1
�f (0) f �
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
�xy 2 y�
2
�
yy�
, x �R
�
1
1
3
A. 0 ln f (1)
B. ln f (1) 1
C. ln f (1) 2
2
2
2
D.1 ln f 1
3
2
Hướng dẫn: Đáp án D.Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương và định nghĩa tích
phân.
�
2
�
�y �
�
yy�
y�
y� x 2
2
Ta có: xy 2 y�
�
yy�
�
x
�
x
�
C
� �
2
y
y
2
�y �
2
f�
( x) x
f�
( x) x
�
C ; f (0) f �
(0) 1 � C 1 �
1
f ( x) 2
f ( x) 2
2
1
1
1 7
�x 2 �
f�
( x)
7
3
� � dx �
dx � ln f ( x) � ln f (1) � 1 ln f 1
� 1�
0 6
f ( x)
2
6
2
�
0
0�
2.3.2.3. Phương pháp đổi biến số
A. Phương pháp đổi biến số loại 1
6
Ví dụ 1: Cho
f ( x )dx 12 . Tính:
�
0
2
I �
f (3 x)dx
0
A. I 4
B. I 36
Hướng dẫn: Đáp án A
C. I 2
2
f (3 x)dx . Đặt : 3 x t � dx
Xét tích phân I �
0
2
f (3 x)dx
Do đó: I �
0
6
D. I 6
dt
. Khi x 0 � t 0; x 2 � t 6
3
6
1
1
1
f (t )dt �
f ( x )dx .12 4
�
30
30
3
12
2
Ví dụ 2: Cho
f (x
�
5
2
1
1)dx 2 . Tính: I �
f ( x)dx
2
A. I 4
B. I 2
Hướng dẫn: Đáp án A
C. I 1
D. I 1
2
Xét tích phân
f (x
�
2
1)dx 2 . Đặt : x 2 1 t � dt 2 xdx Khi x 1 � t 2; x 2 � t 5
1
2
5
5
2
1
f ( x 1)dx �
f (t ) dt � �
f (t )dt 2 �
f ( x 2 1)dx 4
Do đó: �
22
1
2
1
2
1
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn:
�f ( x)dx 9 . Tính:
5
2
I �
f (1 3x) 9 dx
0
A. I 21
Hướng dẫn: Đáp án A
B. I 15
C. I 27
D. I 75
2
f (1 3x) 9 dx . Đặt :1 3x t � dt 3dx Khi x 0 � t 1; x 2 � t 5
Xét tích phân I �
0
Do
đó:
2
2
5
2
2 11
dt
1
I �
f (1 3 x) dx �
9dx �
f ( x) dx 18 .9 18 21
f (1 3x) 9 dx �
f (t ) 9 x �
0 3 5
3
3
0
0
0
1
B. Phương pháp đổi biến số loại 2
. f (u ) C. f ( a b x) g ( x) . Bằng phương pháp đổi
Cho hàm số f ( x) thỏa mãn: A. f ( x) B.u�
biến ta chứng minh được:
u (a) a
�
+ Với �
thì
u (b) b
�
b
f ( x)dx
�
a
b
1
g ( x )dx (I)
A B C �
a
b
u (a) b
1
�
f
(
x
)
dx
g ( x )dx (II)
+ Với �
thì �
A B C �
u (b) a
�
a
a
b
b
b
a
a
f (a b x )dx �
f ( x)dx
* Nếu y f ( x) liên tục trên a; b thì �
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0;1 và thỏa mãn: 2 f ( x) 3 f (1 x) 1 x . Tính:
1
I �
f ( x)dx
0
A. I
2
15
B. I
1
6
C. I
3
5
D. I
2
3
Hướng dẫn: Đáp án A
1
0
1
1
0
f (1 x )dx �
f (t )dt �
f ( x)dx
Đặt : t 1 x � dx dt � �
0
1
1
0
0
2 f ( x ) 3 f (1 x ) 1 x � 5�
f ( x)dx �1 xdx
2
2
�I
3
15
13
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 1; 2 và thỏa mãn:
2
f ( x) 2 xf ( x 2) 3 f (1 x) 4 x . Tính: I
2
3
�f ( x)dx
1
B. I
A. I 3
5
2
C. I 15
D. I 5
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Với ví dụ này tôi hướng dẫn học sinh thực hiện theo hai cách đổi biến số và
vận dụng công thức đã nêu để từ đó thấy được hiệu quả của từng cách làm
+
Cách
1:
Đổi
biến
số
2
2
2
2
1
1
1
1
f ( x) 2 xf ( x 2 2) 3 f (1 x) 4 x3 � �
f ( x)dx �
2 xf ( x 2 2) dx �
3 f (1 x) dx �
4 x 3dx
Đặt :
t x 2 2 � dt 2 xdx � x 1 � t 1; x 2 � t 2
2
2
2
1
1
1
��
2 xf ( x 2 2)dx �
f (t ) dt �
f ( x) dx
1
u 1 x � du dx � x 1 � u 2; x 2 � t 1
2
��
f 1 x )dx
1
2
2
2
�f (u )du �f ( x)dx
1
1
2
2
f ( x)dx 15 � �
f ( x)dx 3
Vậy : 5 �
1
+
1
Cách
2:
Áp
dụng
công
thức
(I)
ta
có:
u (1) 1
�
f ( x) 2 xf ( x 2 2) 3 f (1 x) 4 x 3 � A 1; B 1; C 3; �
u (2) 2
�
2
Nên I
�f ( x)dx
1
2
1
4 x 3dx 3
�
1 1 3 1
* Bình luận: Cách giải thứ hai học sinh sử dụng linh hoạt, kết hợp bấm máy tính cho kết
quả nhanh, chính xác.
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 1; 2 và thỏa mãn: f ( x) x 2 xf (3 x 2 ) .
2
Tính: I
�f ( x)dx
1
A. I
28
3
B. I
Hướng dẫn: Đáp án A
Áp
dụng
f ( x)
2
4
3
công
D. I
C. I 2
thức
(II)
14
3
ta
có:
u (1) 2
�
1
1
2 x f (3 x 2 ) x 2 � A 1; B ; C 0; u 3 x 2 , �
u (2) 1
2
2
�
2
1
28
I�
f ( x)dx
x 2dx
�
1
Nên
3
1
1 0 1
2
3
4
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0;1 và thỏa mãn: f ( x) 8 x f ( x )
x3
x2 1
0.
14
1
f ( x) dx
Tích phân: I �
0
ab 2
a b
; a, b, c �Z ; ; tối giản. Tính a b c .
c
c c
A. I 6
B. I 4
Hướng dẫn: Đáp án A
3
4
Biến đổi f ( x) 8 x f ( x )
x3
x2 1
D. I 10
C. I 4
0 � f ( x) 2.4 x3 f ( x 4 )
x3
x2 1
; A 1; B 2; C 0
Áp dụng công thức (I) ta có:
1
� x3 �
1
2 2
dx
�
�
�
1 (2) 0 0 � x 2 1 �
3
0
Suy ra: a 2; b 1; c 3 � a b c 6
1
f ( x)dx
Nên I �
Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn: f (1 2 x) f (1 2 x)
x2
, x �R .
x2 1
3
f ( x)dx.
Tính tích phân: I �
1
A. I 2
2
B. I 1
1
2 8
4
C. I
D. I
4
Hướng dẫn: Đáp án A
t 1
. Khi đó điều kiện trở thành:
2
t 2 2t 1
x2 2x 1
f (t ) f (2 t ) 2
� f ( x ) f (2 x) 2
; A 1; B 0; C 1
t 2t 5
x 2x 5
3
3
1
x2 2 x 1
��
f ( x) dx
dx 2
�0, 429
2
�
1
1
x
2
x
5
2
1
1
Đặt: t 1 2 x � 1 2 x 2 t; x
C. Phương pháp đổi biến số loại 3
Phương pháp: Lần lượt đặt t u ( x ); t v ( x ) đưa về hệ phương trình hai ẩn (ẩn là f(x)) để
từ đó tìm được hàm số f(x).
* Một số kết quả chứng minh được: Cho biểu thức:
�x b �
�x c �
A.g �
� B.g �
�
�a �
�a � *
A. f (ax b) B. f (ax c ) g ( x) A2 �B 2 � f ( x)
A2 B 2
A.g x B.g x
+ Hệ quả 1: A. f ( x) B. f ( x) g ( x) � f ( x)
A2 B 2
g x
+ Hệ quả 2: A. f ( x) B. f ( x) g ( x) � f ( x)
, nếu g(x) là hàm số chẵn.
A B
2
f ( x)
�1 �
I
dx
�
y
f
(
x
)
f
(
x
)
2
f
3
x
.
R
Ví dụ 1: Cho hàm số
liên tục trên và
Tính
��
x
1
x
��
2
A. I
3
2
B. I
1
2
C. I 1
D. I 1
Hướng dẫn: Đáp án A
1
1
1
3
1
3
��
��
Đặt : t � x . Khi đó điều kiện trở thành : f �� 2 f (t ) � f � � 2 f ( x)
t
t
x
x
t
��
�x �
15
1
�x �
6
x
1
�x �
��
��
Hay 2 f � � 4 f ( x) . Kết hợp với điều kiện f ( x) 2 f � � 3x . Suy ra:
2
2
2
6
f ( x) 2
f ( x)
�2
� �2
� 3
3 f ( x) 3x �
2 1 � I � dx �
dx � x �1
� 2 1�
x
x
x
x
x
� �x
� 2
1
1�
2
2
2
x
Ví dụ 2: Cho hàm số y f ( x) liên tục trên R và f ( x) 2018 f x e . Tính I
1
�f ( x)dx
1
A. I
e2 1
2019e
B. I
e2 1
2018e
C. I 0
D. I
e2 1
e
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Đối với dạng bài toán này tôi hướng dẫn học sinh giải theo hai cách sau để
qua đó các em thấy được ưu nhược của từng phương pháp để có định hướng và lựa chọ
cách giải phù hợp cho quá trình làm bài thi trắc nghiệm.
+ Cách 1: (Áp dụng PP đổi biến số loại 2)
1
1
1
e2 1
x
f ( x ) 2018 f x e � A 1; B 2018 � I �
f ( x)dx
e dx
1 2018 �
2019e
1
1
x
+ Cách 2: (Áp dụng PP đổi biến số loại 3)
2018e x e x
1
e2 1
x
x
f ( x) 2018 f x e � f ( x)
��
f ( x)dx
2018e e dx 2019e
20182 1
2019.2017 �
1
1
1
1
x
Ví dụ 3: Cho hàm số y f ( x) liên tục trên R và f ( x) f x 2sin x. Tính I
A. I 0
B. I 1
Hướng dẫn: Đáp án A
C. I 1
2
2
Đặt t x � dt dx; x � t ; x
2
�f ( x)dx
2
D. I 2
�t .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
f (t )dt �
f (t )dt �
f ( x )dx � 2 I �
f ( x) f ( x) dx
Khi đó: I �
2
2
2sin xdx 0 � I 0
�
2
D. Phương pháp đổi biến số loại 4
* Tính chất:
+ Nếu hàm số y f ( x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn a; a , a 0 thì
a
a
a
0
f ( x) dx
�f ( x)dx 2�
+ Nếu + Nếu hàm số y f ( x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn a; a , a 0 thì
a
�f ( x)dx 0
a
Chứng minh: Đổi biến đặt x t
Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x) là hàm lẻ và liên tục trên 4; 4 thỏa mãn :
0
2
4
2
1
0
f ( x)dx .
f (2 x)dx 4 .Tính I �
�f ( x)dx 2; �
16
A. I 6
B. I 10
C. I 10
D. I 6
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Đây là một trong những bài toán đặc trưng về tính tích phân hàm ẩn của
một hàm số lẻ. Tôi hướng dẫn các em sử dụng các tính chất được nêu trong bài.
4
2
2
2
1
1
4�
f (2 x)dx �
f ( x)dx �
f ( x)dx � �
f ( x )dx 8
2 2
2 4
1
4
0
0
2
2
2
2
0
0
f ( x)dx �
f ( x)dx � �
f ( x )dx 2
�f ( x)dx �
2
Suy ra :
4
0
�f ( x)dx
4
2
0
4
2
0
f ( x )dx
�f ( x)dx �f ( x)dx �
4
�
�
� 0 8 ��
f ( x) dx �
f ( x) dx � I � 8 (0 2) I � I 6
2
0
�
�
2
2
Ví dụ 2: Cho hàm số y f ( x) là hàm chẵn, liên tục trên 1;1 thỏa mãn :
1
�f ( x)dx 2
1
1
f ( x)
.Tính I � x dx .
1 e
1
A. I 1
B. I 2
Hướng dẫn: Đáp án A
1
Ta có: I
0
D. I 3
C. I 4
1
f ( x)
f ( x)
f ( x)
dx � x dx � x dx I1 I 2
x
�
1 e
1 e
1 e
1
1
0
Xét
0
:
f ( x)
�
1 e
x
1
0
1
1
f (t )
e f (t ) dt
e f ( x) dx
dx; x t � dx dt ; x 0 � t 0; x 1 � t 1 � I1 � t dt � t �
1 e
1 e
1 ex
1
0
0
t
x
1
1
1
1 e x f ( x)
f ( x)
1
dx �
f ( x)dx �
f ( x)dx 1
Suy ra: I � x dx �
1 e
1 ex
2 1
1
0
0
1
E. Phương pháp đội biến số loại 5
Bài toán: Cho hàm số y f ( x) thỏa mãn g f ( x) x và g (t ) là hàm đơn điệu trên R .
b
f ( x)dx
Tính tích phân: I �
a
( y )dy
Cách giải: Đặt y f ( x) � g ( y ) � dx g �
b
�x a � g ( y ) a � y
�I �
f ( x)dx �
y.g ( y )dy
Đổi cận: �
�x b � g ( y ) b � y
a
3
Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x) liên tục trên R thỏa mãn f x f ( x) x, x �R. Tính
2
I �
f ( x)dx
0
A. I
1
2
B. I
3
2
C. I
5
4
D. I
5
4
Hướng dẫn: Đáp án C
17
* Phân tích: Đây là một trong những bài toán đặc trưng về tìm tích phân của hàm ẩn.
Để giải bài toán này tôi định hướng cho học sinh sử dụng phép đổi biến như sau và có
lời giải khá ngắn gọn phù hợp với tư duy họcsinh.
3
�
�x 0 � y y 0 � y 0
3
2
y
f
(
x
)
�
x
y
y
�
dx
3
y
1
dy
;
�x 2 � y3 y 2 � y 1
Đặt
�
2
1
5
f ( x)dx �
y (3 y 2 1)dy
Khi đó: I �
4
0
0
3
2
Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục trên R thỏa mãn 2 f x 3 f ( x) 6 f ( x) x, x �R. Tính
5
I �
f ( x)dx
0
A. I
5
4
B. I
5
12
C. I
5
3
D. I
5
2
Hướng dẫn: Đáp án D
�x 0 � 2 y 3 3 y 2 6 y 0 � y 0
Đặt y f ( x) � x 2 y 3 y 6 y � dx 6 y y 1 dy; �
3
2
�x 5 � 2 y 3 y 6 y 5 � y 1
1
1
5
I
f
(
x
)
dx
y.6( y 2 y 1)dy
Khi đó:
�
�
2
0
0
3
2
2
2.3.2.4. Phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần.
2
f ( x)dx 3 .
x liên tục trên 0; 2 và f 2 3; �
Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm f �
0
2
x. f �
( x) dx .
Tính �
0
A. 3
B. 3
C. 0
D. 6
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Với bài toán trong dấu tích phân xuất hiện tích của hàm ẩn và một hàm số
nào đó tôi định hướng cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân từng phần với phép
đặt u là là số đã biết.
2
2
2 2
�
x
.
f
(
x
)
dx
xd
(
f
(
x
))
x
.
f
(
x
)
�
f ( x) dx 2 f (2) 3 3
Ta có: �
�
0
0
0
0
1
( x 1). f �
( x)dx 10 và 2 f 1 f (0) 2;
Ví dụ 2: Cho hàm số y f ( x ) thỏa mãn �
0
1
Tính
f ( x)dx .
�
0
A. 8
B. 8
C. 4
D. 4
Hướng dẫn: Đáp án A
1
2
2 2
�
x
.
f
(
x
)
dx
xd
(
f
(
x
))
x
.
f
(
x
)
f ( x) dx 2 f (2) 3 3
Ta có: �
�
0 �
0
0
0
18
Ví dụ 3: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn:
2
f ( x ) f ( x ) s inx.cos x , với mọi x thuộc R và f (0) 0 . Tính I x. f �
� ( x)dx .
2
0
1
B. I
A. I 4
1
4
C. I
4
D. I
4
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Với bài toán này tôi hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân
từng phần và đổi biến số loại 1 để tìm ra đáp số.
2
2
2
Theo giả thiết : f (0) 0; f ( x) f ( x) s inx.cos x � f (0) f ( ) 0 � f ( ) 0
2
2
2
2
x. f �
( x)dx �
xd ( f ( x )) x. f ( x) 2 �
f ( x)dx � I �
f ( x)dx
Ta có: I �
0
0
0
0
0
2
2
0
0
2
1
Mặt khác ta có: f ( x) f ( x) s inx.cos x � �
f ( x) dx �
f ( x)dx �
s inx.cos xdx
2
2
2
0
2
2
2
1
1
�
� 1
��
f ( x) dx �
f ( x)d � x � � �
f ( x)dx � I �
f ( x)dx
2
4
4
�2
� 2
0
0
0
0
2
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm và liên tục trên 1; 2 , thỏa mãn:
2
2
2
1
2
2
( x ) dx 7. Tính: I �
f ( x)dx.
x 1 f ( x)dx ; f (2) 0; �
f�
�
3
1
1
1
7
7
7
A. I
B. I
C. I
5
5
20
D. I
7
20
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích:Đây là một câu hỏi có mức độ vận dụng cao ngoài việc định hướng cho học
sinh sử dụng phương pháp từng phần thì tôi hướng dẫn các em có kỹ năng phân tích tìm
�f ( x) �0, x � a; b
�
ra hàm ẩn f ( x) nhờ tính chất �b
f ( x)dx 0
��
�a
thì: f ( x) 0, x � a; b . Từ đó các em có
thể giải thành thạo ví dụ này cũng như những bài tập tương tự sau đây
�
du f �
x dx
3
3
2
u f ( x)
�
2 2 x 1
x 1
�
�
1
2
3
� � x 1
� �
. f ( x) �
f�
( x)dx
Đặt: �
x 1 f ( x)dx
2
dv x 1 dx �
1 1 3
3 1
3
�
v
3
�
2
2
2
1
1
3
3
3
� �
( x)dx � �
( x) dx 1 � �
2.7 x 1 f �
( x) dx 14
x 1 f �
x 1 f �
3
31
1
1
Tính được:
19
2
2
2
2
2
49 x 1 dx 7 � �
�
2.7 x 1 . f �
( x )dx �
49 x 1 dx 0
x �
�f �
�dx �
�
6
1
1
2
3
1
6
1
7 x 1
C
4
4
2
�
��
7( x 1)3 f �
( x) �
( x) 7( x 1)3 � f ( x)
�
�dx 0 � f �
1
2
2
�
7( x 1) 4 7
7( x 1) 4 7 �
7
�I �
f ( x) dx �
�
dx
�
4
4
4
4�
5
1
1 �
Ví dụ 5: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm và liên tục trên 0;1 , thỏa mãn:
Do
f (2) 0 � f ( x)
1
f 2 ( x)dx ; f (0) f (1) 0; �
f�
( x).cos( x) dx Tính: I �
f ( x)dx.
�
2
2
0
0
0
2
3
1
A. I
B. I
C. I
2
1
1
1
D. I
Hướng dẫn: Đáp án A
1
1
u cos( x)
du sin( x)dx
1
�
�
�
�
�
f
(
x
)
c
os(
x
)
dx
c
os
x
.
f
(
x
)
f ( x).sin x dx
�
Đặt: �dv f �
�
�
( x) dx �
v f ( x)
0
�
0
0
1
1
1
0
0
f (1) f (0) �
f ( x ).sin x dx �
f ( x).sin x dx � �
f ( x).sin x dx
0
1
1
2
�
Ta tìm số thực k sao cho: �
�f ( x) k sin x �
�dx 0
2
0
1
1
1
1
0
0
�
f ( x).sin( x) dx k 2 �
sin 2 ( x)dx
f ( x) dx 2k �
Ta có: �
�f ( x) k sin x �
�dx �
2
0
0
1
2
�
2
1
1
1
k
2
2
k
0 � k 1� �
f ( x)dx �
sin( x)dx
f ( x ) sin( x) dx 0 � f ( x) sin( x) � I �
2
2
0
0
0
Ví dụ 6: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm và liên tục trên 0;1 , thỏa mãn:
1
1
( x) dx 7; f (1) 0; �
x 2 f ( x )dx
f�
�
2
0
0
7
A. I
5
1
1
f ( x)dx.
Tính: I �
3
0
C. I
B. I 1
7
4
D. I 4
Hướng dẫn: Đáp án A
du f �
( x)dx
�
1
1
1
u f ( x)
�
x 3 . f ( x) 1 1 3
1
�
2
3
�
�� x
��
x f ( x)dx
�
x f ( x)dx � �
x3 f �
( x) dx 1
Đặt: �
2
0 30
3
3
dv x dx �
v
�
0
0
� 3
1
2
�
( x) kx 3 �
Ta tìm số thực k sao cho: �
�f �
�dx 0 . Ta có:
0
1
�
( x) kx
�
�f �
0
1
1
�
( x) dx 2k �
f�
( x).x dx k
f�
�dx 0 �
3 2
0
� f�
( x) 7 x3 � f ( x)
2
3
0
1
2
x dx 0 � 7 2k k
�
6
0
2
1
. 0�k 7
7
1
1
�7 x 4 7 �
7 4
7
7
x C; f (1) 0 � C � I �
f ( x)dx �
�
dx
�
4
4
4
4�
5
0
0�
* Bình luận: Qua những ví dụ trên tôi nhận thấy học sinh dễ dàng tư duy và hình thành
nên kỹ năng giải quyết những bài toán tương tự gặp trong các đề thi THPT QG.
20
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
3
Bài 1: Cho hàm số y f ( x) liên tục trên R thỏa mãn x f x 2 f ( x) 1, x �R. Tính
1
I
�f ( x)dx
2
7
5
D. I
3
4
Bài 2 : Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 , đồng biến trên đoạn 1; 4
A. I
7
4
B. I
5
12
C. I
4
3
f ( x)dx .
và thỏa mãn đẳng thức x 2 x. f ( x ) f ( x) , x � 1; 4 . Biết rằng f (1) , tính I �
2
1
1186
1174
1222
1201
A. I
B. I
C. I
D. I
45
45
45
45
2
Bài 3 (Đề thi KS THPT QG lần 2 năm học 2018 - 2019– THPT Ba Đình )
Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn f 2 (1 x) ( x 2 3). f ( x 1). Biết rằng
2
�
( x)dx
f ( x) �0x �R . Tính I �
2 x 1 f �
0
A. I 8
B. I 0
C. I 4
D. I 4
Bài 4 : Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 , thỏa mãn đẳng thức
1
( x )
f�
�
0
2
1
dx �
x 1 e x . f ( x )dx
0
B. I
A. I e 2
1
e2 1
f ( x)dx .
. Biết rằng f (1) 0 , tính I �
4
0
e
2
C. I
e2
4
D. I
e 1
2
Bài 5: (Đề thi KS THPT QG lần 2 năm học 2018 - 2019– THPT chuyên Lam Sơn )
Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp liên tục trên đoạn 0; thỏa mãn
f�
( x) sin . f ( x) cos x.e
cos x
f ( x )dx (làm tròn đến phần trăm)
, x � 0; . Tính I �
0
A. I �6,55
B. I �17,30
C. I �10,31
D. I �16,91
2.4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Thực tế cho thấy, với cách đưa ra các giải pháp như trên đã tạo được cho học sinh sự
nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơn trong quá trình giải toán.
Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến
thức, nhiều phương pháp giải cho mỗi phần trong cùng một bài toán. Cách làm trên đã
đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi đã được ôn tập những kiến
thức cơ bản về lý thuyết, học sinh đã tự giải được những bài tập tương tự, nhất là những
bài tập nằm trong các đề thi đại học những năm gần đây. Hiệu quả trong học tập của học
sinh đã được nâng lên rõ rệt.
Để có được bài viết trên, tôi đã phải nghiên cứu rất nhiều tài liệu và kiểm chứng qua
một số nhóm học sinh có học lực giỏi, khá và trung bình trong các lớp mà tôi giảng dạy
như lớp 12E,12C năm học 2018 -2019.
Với các bài toán 1,2,3,4 trong hệ thống bài tập tự luyện ở trên, mỗi lớp tôi đã
chọn ra hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tôi
cho làm sau khi triển khai bài viết, nhóm II: tôi cho làm trước khi triển khai bài viết; tôi
21
thấy kết quả như sau: cả nhóm I và nhóm II đều không có học sinh nào để trống, số lượng
học sinh làm được cả 4 câu chỉ có ở nhóm I, nhóm II học sinh làm được nhiều nhất là 3
câu còn lại là làm được 1-2 câu. Kết quả thu được cụ thể thể hiện ở bảng sau:
Số học sinh có lời Số học sinh có lời
Nhóm
Số học giải đúng 1-2 câu
giải đúng 3-4 câu
sinh
1 câu
2 câu
3 câu
4 câu
Nhóm I
Lớp 12C
Lớp 12E
15
20
0
1
2
3
6
6
7
10
Nhóm II
Lớp 12C
15
6
8
1
0
Lớp 12E
20
7
9
4
0
Qua bảng thống kê trên ta thấy cách làm trên đã thể hiện được sự hiệu quả vượt trội.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên nắm chắc cơ sở
lý thuyết, chủ động trong việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa và phát huy những kiến thức
có sẵn một cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải và đưa ra hệ thống các bài tập phù
hợp với từng đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải các
bài tập tương ứng một cách có hệ thống thì sẽ tạo được điều kiện để học sinh củng cố và
hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực hành giải toán hiệu quả hơn, tạo được sự hứng
thú, phát huy được tính chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh.
Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc không tránh khỏi những thiếu
sót, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn,
cũng như ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp mình giảng dạy, đem lại cho học
sinh những bài giảng hay hơn, cuốn hút hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 23/ 05/ 2019
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết
Lê Diễm Hương
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách Giải tích 12 – Nâng cao
22
2. Sách ĐS và GT 11
3. Tích phân xác định và các ứng dụng 12 – Nhà xuất bản đại học sư phạm
4. Nguồn tài liệu từ INTERNET; Đề thi thử các trường THPT trong tỉnh năm học 2018
-2019
Mẫu 1 (2)
23
