Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về hàm số trong đề thi THPT quốc gia với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM
SỐ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA VỚI SỰ HỖ TRỢ
CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY

Người thực hiện: Đinh Thị Hương Giang
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2017


MỤC LỤC
Mục
A ĐẶT VẤN ĐỀ
1
2
3
4
B
1
2
3

Nội dung

Trang
1

Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận
Thực trạng của vấn đề
Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về hàm số trong đề thi
THPTQG với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay.
3.1. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về sự biến thiên của
hàm số.
3.2. Hướng dẫn học sinh các bài toán về cực trị của hàm số.

1
1
1
1
2
2
2
3

3
6

3.3. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4
C

3.4. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về đường tiệm cận
của đồ thị hàm số.
3.5. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về tương giao của
hai đồ thị hàm số.
3.6. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về tiếp tuyến của đồ
thị hàm số.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

8
9
12
15
18
18

A. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trang 2


Kỳ thi THPTQG năm 2017 được tổ chức theo tinh thần Nghị quyết 29NQTW về đổi mới bản và toàn diện GD-ĐT, trong đó đổi mới kỳ thi tốt nghiệp
THPT và tuyển sinh ĐH, CĐ theo hướng giảm áp lực, giảm tốn kém cho thí sinh,
gia đình và xã hội nhưng kết quả vẫn bảo đảm độ tin cậy để xét tốt nghiệp THPT và
làm căn cứ cho các ĐH, CĐ sử dụng trong tuyển sinh.
Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 tổ chức thi 5 bài thi: Toán, Ngữ Văn, Ngoại

ngữ, Khoa học tự nhiên (KHTN) và Khoa học Xã hội (KHXH). Môn Ngữ văn thi
theo hình thức tự luận, các bài thi khác theo hình thức trắc nghiệm khách quan.
Như vậy môn Toán là một trong các môn lần đầu tiên thi theo hình thức trắc
nghiệm. Điều này đặt ra nhiều trăn trở cho những cán bộ quản lý, các thầy cô giáo
giảng dạy và bản thân mỗi học sinh phải tìm hiểu, nắm bắt chương trình, đề thi và
tìm ra phương án dạy, học như thế nào . Đặc biệt là học sinh yếu kém làm thế nào
để gỡ điểm trong bài thi trắc nghiệm môn Toán.
Qua nhiều năm giảng dạy và tham gia ôn luyện môn Toán tại Trường THPT
Thạch Thành 2 tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải các bài toán
về hàm số trong đề thi THPTQG với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay”
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
- Giúp cho học sinh và đồng nghiệp có thêm hướng giải nhanh và chính xác
một số dạng toán trắc nghiệm.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay tìm đáp án đúng một số dạng toán
trắc nghiệm trong đề thi THPTQG môn Toán của học sinh lớp 12 trường THPT
Thạch Thành 2.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Thực hiện tổng hợp các phương pháp: Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết,
điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin xử lý số liệu.

B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
Trang 3


- Các ứng dụng của máy tính cầm tay vào việc dạy và học toán đã trở nên
phổ biến trong những năm trở lại đây. Đặc biệt một số chuyên đề khó có thể trở nên
dễ dàng ngay cả với những học sinh yếu khi tham gia kỳ thi THPTQG với sự hỗ trợ
của máy tính cầm tay. Chính vì thế hàng năm các sở giáo dục đạo tạo luôn đấu mối

để mở các lớp tập huấn cho giáo viên nhằm trang bị các kiến thức và ứng dụng của
máy tính cầm tay trong giải toán. Các trường THPT tăng cường việc phụ đạo học
sinh yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay cho học sinh
nhằm đạt kết quả cao trong kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay
được tổ chức hằng năm cũng như có kiến thức để làm tốt đề thi THPT QG.
- Trên cơ sở Qui chế thi THPTQG ban hành kèm theo Thông tư số
02/2015/TT-BGD ĐT ngày 26/2/2015 của Bộ GD ĐT, ngày 17/6/2015 Bộ GD ĐT
ra công văn số 3013/BGD ĐT – CNTT về việc danh sách máy tính cầm tay được
mang vào phòng thi trong đó có FX- 570 ES Plus, FX- 570 VN Plus ... là dòng
máy tính được học sinh dùng phổ biến lâu nay.
2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ.
Trường THPT Thạch Thành 2 là một trường đóng tại địa bàn miền núi của
tỉnh Thanh Hóa. Điều kiện học tập, sinh hoạt của học sinh ngày càng được cải
thiện. Chất lượng giáo dục của nhà trường ngày càng đi lên từng bước khẳng định
vị thế của nhà trường. Hàng năm tỉ lệ đỗ tốt nghiệp là 98 đến 100%; tỉ lệ học sinh
đỗ vào các trường Đại học cao đẳng từ 35 đến 40%. Tuy nhiên vẫn chưa vượt lên
các trường THPT trong địa bàn huyện nhà. Số lượng học sinh đỗ vào các trường
Đại học tốp trên còn khiêm tốn. Môn Toán có vai trò rất quan trọng số để đưa chất
lượng nhà trường đi lên. ,Mặt khác, việc thay đổi cơ chế thi cử không chỉ lúng túng
cho học sinh trong việc tìm phương pháp học tập phù hợp mà bản thân các thầy cô
giáo trong nhà trường cũng gặp nhiều khó khăn, trăn trở. Việc sử dụng máy tính để
giải toán đã nói đến nhiều nhưng nhà trường chưa có tài liệu nào chính thống giúp
học sinh ứng dụng tốt trong kỳ thi THPTQG môn Toán.
Trước tình hình đó, tôi đưa ra một số kinh nghiệm giúp học sinh, đặc biệt là
học sinh yếu kém nhà trường biết khai thác máy tính cầm tay tìm đáp số cho một số
dạng toán trắc nghiệm trong đề thi THPTQG.
3. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ TRONG
ĐỀ THI THPTQG VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY .
Trang 4

3.1. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về sự biến thiên của hàm số.
Ví dụ 1: (Đề khảo sát lần 1 năm 2017, SGD Thanh Hóa)
4
2
Cho hàm số y = f ( x ) = x − 2 x . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 1; +∞ )
B. f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −∞; −1)
C. f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;0 )
D. f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1)
Hướng dẫn: Ta sử dụng Chức năng tính đạo hàm của hàm số tại 1 điểm. Ta cần
kiểm tra dấu đạo hàm của hàm số tại một điểm bất kỳ thuộc khoảng đang xét.
,
Ta kiểm tra phương án A bằng cách tính y ( 2 ) . Nhập
vào màn hình máy tính.
,
Từ kết quả y ( 2 ) = 24 > 0 , ta có A sai.
,
Ta kiểm tra phương án B bằng cách tính y ( −2 ) . Nhập

vào màn hình máy tính.
,
Từ kết quả y ( −2 ) = −24 < 0 , ta có B sai.


,
Ta kiểm tra phương án C bằng cách tính y  − ÷. Nhập
 2
vào màn hình máy tính.

1


,
Từ kết quả y  − ÷ = > 0 , ta có C sai.
 2 2
1

3

Vậy đáp án đúng là D.
Ví dụ 2: Hàm số y = x + 2 + 3 − x đồng biến trên khoảng nào?
1

1 
A.  −2; ÷ và  ;3 ÷
2

2 

1



B.  ;3 ÷
2 

1

C.  −2; ÷



2

D. ( −2;3)

Hướng dẫn: Ta sử dụng Chức năng tính đạo hàm của hàm số tại 1 điểm. Ta cần
kiểm tra dấu đạo hàm của hàm số tại một điểm bất kỳ thuộc khoảng đang xét.
,
Ta kiểm tra phương án A, B, D bằng cách tính y ( 1) .

Nhập vào màn hình máy tính.
Trang 5


,
Từ kết quả y ( 1) < 0 , ta có A, B, D sai.
Vậy đáp án đúng là C.

Ví dụ 3: Hàm số y = x3 − 6 x 2 + mx + 1 đồng biến trên miền ( 0; +∞ ) khi giá trị m là:
A. m≥0

B. m≥12

C. m≤0

D. m≤12

Hướng dẫn: Ta sử dụng Chức năng tính đạo hàm của hàm số tại 1 điểm. Ta cần
tìm m để đạo hàm của hàm số không âm với mọi x ∈ ( 0; +∞ )

Ta kiểm tra phương án A và B bằng cách thay m = 15 vào d X 3 − 6 X 2 + 15 X + 1
(
)
x =1
hàm số và kiểm tra đạo hàm của hàm số tại x bất kỳ với dx
6

x ∈ ( 0; +∞ ) ví dụ x = 1 , bằng cách nhập vào máy tính.

Từ kết quả y ( 1) = 6 > 0 , ta có A, B đúng nên loại C, D.
Vì A, B khác nhau giá trị m từ 0 đến 12 nên ta thay m = 1 d ( X 3 − 6 X 2 + X + 1)
x =1
vào hàm số kiểm tra đạo hàm của hàm số tại x bất kỳ dx
,

với x ∈ ( 0; +∞ ) ví dụ x = 1 , bằng cách nhập vào máy tính.

−8

,
Từ kết quả y ( 1) = −8 < 0 , A sai .
Vậy đáp án đúng là B.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
x3
+ ( m + 1) x 2 + ( 3m + 1) x + 2 đồng biến trên ¡ .
3
A. 0 ≤ m ≤ 1 B. m ≥ 1 hoặc m ≤ 0
C. 0 < m < 1
y=

D. m > 1 hoặc m < 0

Hướng dẫn: Ta sử dụng Chức năng tính đạo hàm của hàm số tại 1 điểm. Ta cần
tìm m để đạo hàm của hàm số không âm với mọi x ∈ ( 0; +∞ )
Ta kiểm tra phương án B và D bằng cách thay m = −15 d  x3

− 6 X 2 − 14 X + 2 ÷

vào hàm số và kiểm tra đạo hàm của hàm số tại x bất kỳ dx  3
 x =1
với x ∈ ¡ ví dụ x = 1 , bằng cách nhập vào máy tính.
− 71

Từ kết quả y ( 1) = −71 < 0 , ta có B, D sai.
Vì A, C khác nhau giá trị m = 0 và m = 1 nên ta thay m = 1 d  x3

+ 2X 2 + 4X + 2÷

vào hàm số kiểm tra đạo hàm của hàm số tại x bất kỳ dx  3
 x =100
với x ∈ ¡ ví dụ x = 100 và x = −100 , bằng cách nhập vào
10404
máy tính.
,

Trang 6




d  x3
2
 + 2X + 4X + 2÷
dx  3
 x =−100
9604

Từ kết suy ra đáp án đúng là A.
Bài tập áp dụng:
1. Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1÷ .
3
1



1

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  −∞; ÷.
3

1 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1÷ .
3 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;+∞ ) .

2. Hàm số y = x3 − 3x 2 + 3x + 5 đồng biến trên khoảng nào?
A. ( −∞;3) B. ( −∞;3) và ( 3; +∞ )

C. ( −3;3)
D. ¡
3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y=−

x3
+ 2 x 2 + ( 2m + 1) x − 3m + 2 nghịch biến trên ¡ .
3
5
5
5
A. m = −
B. m ≥ −
C. m > −
2
2
2

D. m ≤ −

5
2

3
2
4. Hàm số y = x − 2mx + ( m + 1) x + 1 đồng biến trên miền [ 0; 2] khi giá trị m là:

A. m ≥ −1

B. m ≤ −1

C. m ≥

11
9

D. m ≤

11
9

3.2. Hướng dẫn học sinh các bài toán về cực trị của hàm số.
Ví dụ 1: Điểm cực tiểu của hàm số y = x3 − 3x 2 + 3 là:
A. x = 3
B. x = 2
C. x = −1
D. x = 0
Hướng dẫn:
Yêu cầu HS tính đạo hàm y , = 3x 2 − 6 x . Nhập máy tính
các hệ số a, b, c được hai nghiệm x1 = 2, x2 = 0 . Loại hai
phương án A, C.

Trang 7


Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x = 2 và x = 0 , bằng
cách nhập vào máy tính.
,,
,,
Từ kết quả y ( 2 ) = 6 > 2, y ( 0 ) = −6 < 0 suy ra đáp án đúng

là B.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = ( x − 5) 3 x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 .
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
D. Hàm số không có cực tiểu.
Hướng dẫn:
Yêu cầu HS tính đạo hàm y , = 3x 2 − 6 x . Nhập máy tính
các hệ số a, b, c được hai nghiệm x1 = 2, x2 = 0 . Loại hai
phương án A, C.
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x = 2 và x = 0 , bằng
cách nhập vào máy tính.
,,
,,
Từ kết quả y ( 2 ) = 6 > 2, y ( 0 ) = −6 < 0 suy ra đáp án đúng

là B.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
1
y = x3 − 2 x 2 + 3x
3
A. 2 x + 3 y + 9 = 0

C. −2 x + 3 y + 3 = 0

B. 2 x + 3 y − 6 = 0
D. −2 x + 3 y + 6 = 0

Hướng dẫn:
Yêu cầu HS tính đạo hàm y , = 3x 2 − 6 x . Nhập máy tính
các hệ số a, b, c được hai nghiệm x1 = 2, x2 = 0 . Loại hai
phương án A, C.

Trang 8


Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x = 2 và x = 0 , bằng
cách nhập vào máy tính.
,,
,,
Từ kết quả y ( 2 ) = 6 > 2, y ( 0 ) = −6 < 0 suy ra đáp án đúng

là B.

3
2
Ví dụ 4: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x − ( m − 1) x + 2mx + 3 đạt

cực trị tại điểm x = −1 .
B. m =

A. m = −2

5
4

C. m = −

1
4

D. m = 1

( Tài liệu luyện thi THPT quốc gia 2017 của NXB Giáo dục)
Đơn giản là hướng dẫn HS giải phương trình 3 ( −1) − 2 ( m − 1) ( −1) + 2m bằng cách
2

nhập vào màn hình 3 ( −1) − 2 x ( m − 1) ( −1) + 2 x và sử dụng chức năng
2

1
4

SOLVE được x = − . Đáp án đúng là C.
Bài tập áp dụng:
y=

x2 + 3
x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1. Cho hàm số
A. Cực tiểu của hàm số bằng −3.
B. Cực tiểu của hàm số bằng 1.
C. Cực tiểu của hàm số bằng −6.
D. Cực tiểu của hàm số bằng 2.
3.3. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
y = 6 B. min y = −2
A. min
[ 2;4]
[ 2;4]

x2 + 3
trên đoạn [ 2; 4]
x −1

y = −3
C. min
[ 2;4]

19

D. min y = 3
[ 2;4]
( Đề thi minh họa lần 1 kỳ thi THPT quốc gia 2017 của Bộ Giáo dục)

Hướng dẫn: Trước hết ta dùng TABLE tính giá trị hàm số trên đoạn [ 2; 4]

Trang 9


- Bấm MODE 7 và nhập vào màn hình máy tính
f ( x) =

x2 + 3
x −1

- Bắt đầu tính từ giá trị 2
- Đến giá trị 4
- Bước nhảy bằng 0,5
- Ta xem màn hình kết quả bằng việc di chuyển phím lên
xuống.

Từ kết quả được đáp án đúng là A.
Ví dụ 2: Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x +
min y = 3 3 9.
A. (0;
+∞ )

min y = 7. C. min y = 33 .
B. (0;
+∞ )
(0; +∞ )
5

4
trên khoảng (0; +∞).
x2
min y = 2 3 9.
D. (0;
+∞ )

( Đề thi minh họa lần 3 kỳ thi THPT quốc gia 2017 của Bộ Giáo dục)
min y thì tồn tại x0 ∈ ( 0; +∞ ) sao cho y ( x0 ) = m .
Hướng dẫn: Nếu m = (0;
+∞ )

3
Ta chọn m = 2 9. Kiểm tra bằng cách sử dụng phím
SOLVE. Nhập vào máy tính và bấm SOLVE ( SHIFT và
CALC)
Vì x0 ∉ ( 0; +∞ ) nên loại D.

Tiếp tục chọn m = 3 3 9. Nhập vào máy tính và bấm
SOLVE được kết quả x0 ∈ ( 0; +∞ ) . Dự đoán kết quả A.
Kiểm tra bằng cách sử dụng TABLE

Trang 10


- Ta xem màn hình kết quả bằng việc di chuyển phím lên
xuống.
Từ kết quả được đáp án đúng là A.
3.4. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
2x − 1 − x2 + x + 3
Ví dụ 1:Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
.
x2 − 5x + 6

A. x = −3. và x = −2. B. x = −3.
C. x = 3. và x = 2.
D. x = 3.
( Đề thi minh họa lần 2 kỳ thi THPT quốc gia 2017 của Bộ Giáo dục)
Hướng dẫn: Tiệm cận đứng x = a thì tại giá trị đó thường làm cho mẫu không xác
y=∞.
định và lim
x →a

Do đó ta sẽ CALC các đáp án xem có đáp án nào báo ERROR không
- Nhập vào màn hình máy tính
Bấm CALC với x = −3 , được kết quả hàm số xác định
1
3

bằng − . Vậy loại đáp án A, B.
Bấm CALC với x = 3 và x = 2 , được kết quả hàm số
không xác định.
Bấm CALC với x = 3, 0000001 , được kết quả :
Bấm CALC với x = 2, 0000001 , được kết quả :

Từ kết quả được đáp án đúng là D.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. y = −3 và y = 3

B. y = −3

C. y = 3

3 x + 1 + sin 5 x
x2 − 9 − 4

.

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn: Chúng ta sẽ tính giá trị hàm số tại x = ±106 thay cho ±∞
Trang 11

- Nhập vào màn hình máy tính
Bấm CALC với x = −106 , được kết quả :
Bấm CALC với x = 106 , được kết quả :
Từ kết quả được đáp án đúng là A.
Ví dụ 3: Cho đồ thị ( C ) : y =

x+2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x2 −1

A. Đồ thị ( C ) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
B. Đồ thị ( C ) chỉ có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị ( C ) chỉ có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị ( C ) không có tiệm cận.
y và tiệm cận ngang
Hướng dẫn: Ta kiểm tra tiệm cận đứng bằng cách tính xlim
→±1
y.
bằng cách tính xlim
→±∞

- Nhập vào màn hình máy tính
Bấm CALC với x = −1, 0000001 , được kết quả :
y = +∞
Vậy xlim
→−1
+

Bấm CALC với x = 1, 0000001 , được kết quả :
y = +∞
Vậy xlim
→1
+

Bấm CALC với x = 106 , được kết quả :
y=0
Vậy xlim
→±∞

Vậy đồ thị ( C ) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Đáp án đúng là A.
Bài tập áp dụng:
1. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

1
là:
e −1
x

Trang 12


A. Trục Oy

B. x = e

C. Trục Ox

2. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y =

3x + 2
x 2 − 3x

D. x = 1

. Khẳng định nào sauđây sai?

A. Đồ thị ( C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = −3 .
B. Đồ thị ( C ) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0 .
C. Đồ thị ( C ) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3 .
D. Đồ thị ( C ) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 .
x2 − x −1
3. Cho đồ thị ( C ) : y =
. Khẳng định nào sau đây đúng?
2x − 3

A. Đồ thị ( C ) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
B. Đồ thị ( C ) chỉ có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị ( C ) chỉ có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị ( C ) không có tiệm cận.
3.5. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về tương giao của hai đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3x có đồ thị (C). Tìm số giao điểm của (C) và trục
hoành.
A. 2.
B. 3.
C. 1. D. 0.
( Đề thi minh họa lần 3 kỳ thi THPT quốc gia 2017 của Bộ Giáo dục)
Hướng dẫn: Số giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành bằng số nghiệm của phương
trình x3 − 3x = 0 . Ta sẽ sử dụng chức năng giải phương trình bậc ba của máy tính.

Bấm MODE, chọn chức năng EQN (bấm 5), chọn chức
năng giải phương trình bậc 3 (bấm 4). Nhập vào màn
hình máy tính a = 1, b = 0, c = −3, d = 0
Được kết quả 3 nghiệm x1,2 = ± 3 , x3 = 0
Vậy đồ thị ( C ) cắt trục hoành tại 3 điểm. Đáp án đúng là B.
Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 2 và đồ thị hàm số y = − x 2 + 4 có tất cả bao
nhiêu điểm chung
A. 0
B. 4
C. 1
D. 2
Trang 13


( Đề thi minh họa lần 2 kỳ thi THPT quốc gia 2017 của Bộ Giáo dục)
Hướng dẫn: Số giao điểm của hai đồ thị đã cho bằng số nghiệm của phương trình
x 4 − 2 x 2 + 2 = − x 2 + 4 ⇔ x 4 − x 2 − 2 = 0 . Ta sẽ sử dụng chức năng giải phương trình bậc
hai của máy tính.
Bấm MODE, chọn chức năng EQN (bấm 5), chọn chức
năng giải phương trình bậc 2 (bấm 3). Nhập vào màn
hình máy tính a = 1, b = −1, c = −2
Được kết quả

2 nghiệm

x1 = 2 ,

x2 = −1 .

Tức

 x2 = 2
⇔ x=± 2
 2
x
=
−
1,
VN


Vậy hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm. Đáp án đúng là D.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình có ba nghiệm
thực phân biệt .
A. m = 2
B. 0 < m < 4
C. m < 0 D. m ≥ 0
Hướng dẫn: Để tìm được m ta dùng phương pháp loại dần đáp án.
Để kiểm tra phương án C ta thay m = −2 vào phương
trình. Bấm MODE, chọn chức năng EQN (bấm 5), chọn
chức năng giải phương trình bậc 3 (bấm 4). Nhập vào
màn hình máy tính a = 1, b = 3, c = 0, d = 2
Được kết quả 1 nghiệm thực. Vậy loại phương án C.
Để kiểm tra phương án D ta thay m = 0 vào phương
trình. Bấm MODE, chọn chức năng EQN (bấm 5), chọn
chức năng giải phương trình bậc 3 (bấm 4). Nhập vào
màn hình máy tính a = 1, b = 3, c = 0, d = 0 . Được kết quả 1
nghiệm thực. Vậy loại phương án D.

Trang 14

Để phân biệt phương án A và B ta thay m = 3 vào
phương trình. Bấm MODE, chọn chức năng EQN (bấm
5), chọn chức năng giải phương trình bậc 3 (bấm 4).
Nhập vào màn hình máy tính a = 1, b = 3, c = 0, d = −3 .
Được kết quả 3 nghiệm thực.

Vậy đáp án đúng là B.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình có nghiệm thực.
A. m ≤ 0
B. m ≥ −2
C. −2 ≤ m ≤ 0
D. m = 0
Hướng dẫn: Để tìm được m ta dùng phương pháp loại dần đáp án.
Nhập vào máy tính vế trái phương trình và thay m = Y
và bấm SOLVE ( SHIFT và CALC).
Để kiểm tra phương án B và D ta chọn m = 1 , tức nhập
Y = 1 , sau đó chọn X = 0
Máy báo kết quả Can't Solve. Tức với m = 1 phương
trình không có nghiệm. Vậy loại hai phương án B và D.
Tiếp tục quay trở lại phương trình và bấm SOLVE.
Kiểm tra phương án A bằng cách chọn m = −3 , tức nhập
Y = −3 , sau đó chọn X = 0 .
Máy báo kết quả Can't Solve. Tức với m = −3 phương
trình không có nghiệm. Vậy loại phương án A.
Từ kết quả được đáp án đúng là C.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình có ba nghiệm thực

phân biệt .
A. 1 < m < 4 B. 0 < m < 4
C. 0 ≤ m < 7
D. −4 < m < 0

Trang 15


2. Cho đồ thị hàm số ( C ) : y =

2x + 3
và đường thẳng d : y = x + m . Với giá trị nào của
x+2

m thì d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt.

A. m < 2

B. 2 < m < 6

C. m > 6

D. m < 2 hoặc m > 6

3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình có nghiệm thuộc
khoảng (0;1) .
A. [3;4].
B. [2;4].
C. (2:4).
D. (3;4).

( Đề thi minh họa lần 2 kỳ thi THPT quốc gia 2017 của Bộ Giáo dục)
3.6. Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
hoành độ x0 = −1 là:
A. -2
B. 2

C. 0

x 4 x2
+ − 1 tại điểm có
4 2

D. Đáp số khác

x 4 x2
Hướng dẫn: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = + − 1 tại điểm có
4 2
,
hoành độ x0 = −1 bằng y ( −1) . Ta sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm của

máy tính.
,
Ta tính y ( −1) bằng cách nhập vào màn hình máy tính.
,
Từ kết quả y ( −1) = −2 , ta có A đúng.

Ví dụ 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
phương trình là:
A. y = − x − 3

B. y = − x + 2

Hướng dẫn: Phương trình

4
tại điểm có hoành độ x0 = −1 có
x −1

C. y = x − 1 D. y = x + 2
tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) là y = ax + b với

 a = f , ( x0 )
. Ta sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm

b = f ( x0 ) − ax 0 = a ( − x0 ) + f ( x0 )

của máy tính.

Trang 16


,
Ta tính y ( −1) bằng cách nhập vào màn hình máy tính.

Được kết quả y ( −1) = −1 nên a = −1 loại C và D
Tính b bằng cách nhập tiếp và bấm CALC với X = −1 .
Được kết quả -3 suy ra b = −3 .
,

Vậy đáp án là A.

Ví dụ 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x3
+ 3 x 2 − 2 có hệ số góc k = −9 có phương
3

trình là:
A. y = −9 x − 43
B. y = −9 x + 43
C. y = −9 x − 11
D. y = −9 x − 27
Hướng dẫn: Tìm hoành độ tiếp điểm bằng cách giải phương trình
y , = −9 ⇔ x 2 + 6 x = 0

Bấm MODE, chọn chức năng EQN (bấm 5), chọn chức
năng giải phương trình bậc 2 (bấm 3). Nhập vào màn
hình máy tính a = 1, b = 6, c = 9 , được:
Tính b bằng cách sử dụng b = a ( − x0 ) + f ( x0 ) . Nhập vào
màn hình máy tính . Bấm CALC với X = −3
Được kết quả b = −11 .
Vậy đáp án đúng là C.
Bài tập áp dụng:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

2 − 3x
tại giao điểm với trục
x−1

hoành bằng :
A. 9

B.

1
9

2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

C. −9
1
2x

1
9

D. − .

1 
2 

tại điểm A ;1÷ có phương trình là:

Trang 17


A. 2x − 2y = −1
2x + 2y = −3 .

B. 2x − 2y = 1

C. 2x + 2y = 3

D.

2
3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 tại giao điểm của đồ thị hàm số với

2x − 1

trục tung có phương trình là:
A y = x− 1
y = −x .
4. Cho hàm số y =

B. y = x + 1

C. y = x

D.

2x − 4
có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
x −3

(H) với trục hoành là:
A. y = 2x – 4
B. y = - 3x + 1

C. y = - 2x + 4

D. y = 2

1
3

5. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 là
A Song song với đường thẳng x = 1 .
C. Có hệ số góc dương
6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

B. Song song với trục hoành
D. Có hệ số góc bằng – 1

x +1
tại điểm A( - 1 ; 0) có hệ số góc bằng
x −5

A. 1/6
B. -1/6
C. 6/25
D. -6/25
4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM.
Thực hiện kiểm nghiệm hiệu quả tác động của sáng kiến trên lớp thực
nghiệm là 12A3 và lớp đối chứng 12A4 được đánh giá là có học lực đầu vào ngang
nhau. Trong đề thi thử THPTQG có 10 câu hỏi về hàm số. Thống kê kết quả thi thử
THPTQG lần 1 (Chưa có tác động) và lần 2 (Đã có tác động) của hai lớp như sau:
THỐNG KÊ KẾT QUẢ THI THỬ THPTQG LẦN 1
Lớp

SL dự
< 5 câu
Từ 5 đến 7 Từ 7 đến 9
> 9 câu
thi
câu
câu
12A4
35
25 70%
8
24%
2
6%
0
0%
(Lớp đối chứng)
12A3
35
26 73%
7
21%
2
6%
0
0%
(Lớp thực nghiệm)
THỐNG KÊ KẾT QUẢ THI THỬ THPTQG LẦN 2
Lớp
SL dự

< 5 câu
Từ 5 đến 7 Từ 7 đến 9
> 9 câu
thi
câu
câu

Trang 18


12A4
35
26 73%
7
21%
2
6%
0
0%
(Lớp đối chứng)
12A3
35
4
11% 13 39% 13 39%
5
14%
(Lớp thực nghiệm)
Qua thống kê có thể thấy số lượng học sinh đạt điểm > 8 của lớp 12A3 tăng
hơn hẳn so với lớp 12A4. Mặt khác tốc độ làm bài của học sinh lớp thực nghiệm để
làm các câu hỏi phân loại trong đề thi THPTQG cũng cải thiện khá nhiều. Việc khai

thác và sử dụng máy tính cầm tay để giải toán ngày càng hiệu quả.
Tác động của sáng kiến kinh nghiệm còn thấy được với nhiều đồng nghiệp từ
trước đến nay chưa coi trọng việc sử dụng máy tính trong giải toán. Hiện tại đang
hăng hái tìm hiểu và áp dụng sáng kiến trong giảng dạy và nâng cao trình độ của
bản thân.
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
Các ứng dụng của máy tính cầm tay vào việc dạy và học toán đã trở nên rất
phổ biến trong những năm trở lại đây. Đặc biệt với đề thi trắc nghiệm trong kỳ thi
THPTQG. Chính vì thế bản thân mỗi giáo viên cần trang bị các kiến thức và ứng
dụng của máy tính cầm tay trong giải toán.
Các thầy cô giáo lên lớp không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ kiến thức cho
học sinh mà cần phải truyền được cảm hứng học tập cho các em, giúp học sinh tự
tìm ra kiến thức mới, lĩnh hội kiến thức mới một cách sáng tạo không bị gượng ép
thì chất lượng học sinh sẽ được nâng lên rõ rệt.
Sáng kiến kinh nghiệm có khả năng áp dụng ở các lớp khác có nhiều học
sinh đang còn yếu kém môn toán của nhà trường, giúp các em tiếp cận giải các bài
toán về hàm số một cách dễ dàng và tạo cảm hứng học tập cho các em. Ngoài ra
còn có thể áp dụng cho đối tượng học sinh khối 12 nói chung của các trường THPT
trên địa bàn toàn tỉnh.
Ngoài ra sáng kiến kinh nghiệm còn là một tài liệu tham khảo tốt cho giáo
viên toán và các em học sinh. Vì vậy nên trưng bày tại thư viện của nhà trường để
mọi người tham khảo. Hiện tại nhà trường chưa có tài liệu nào về ứng dụng của
máy tính cầm tay trong giải toán trắc nghiệm của đề thi THPTQG.

Trang 19


XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Đinh Thị Hương Giang

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải toán - Đoàn Trí Dũng và
Bùi Thế Việt - NXB Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh.
2. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2017 – NXB
Giáo dục.
3. Đề minh họa lần 1, 2, 3 của BGD Đào tạo,đề thi thử THPT Quốc gia của
SGD Thanh Hóa và của các trường trên toàn quốc, nguồn .
Trang 20


4. SGK Giải tích lớp 12- – NXB Giáo dục.

Trang 21