Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng đạo hàmgiải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Sáng kiến kinh nghiệm

GÓP PHẦN RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH NĂNG LỰC
GÓP
PHẦN
RÈN LUYỆN
HỌC
SINHQUYẾT
NĂNG LỰC
VẬNSỐ
DỤNG
ĐẠO
VẬN
DỤNG
ĐẠOCHO
HÀM
GIẢI
MỘT
BÀI
HÀM GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN
TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN

Giáo viên: Vũ Thị Hương
Tổ chuyên môn: Toán- Tin

Người thực hiện: Vũ Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực ( môn) : Toán

THANH HÓA 2018
THANH HÓA NĂM 2018


MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I- Lý do chọn sáng kiến kinh nghiệm
II- Mục đích nghiên cứu
III- Nhiệm vụ nghiên cứu
IV- Đối tượng nghiên cứu
V- Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận và cơ sở pháp lý của đề tài
1. Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)
2. Tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn
II. Thực trạng của đề tài
III. Biện pháp thực hiện và kết quả nghiên cứu của đề tài
3.1. Biện pháp thực hiện
3.2 Nghiên cứu thực tế
VI. Thực nghiệm sư phạm
PHẦN III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang
1

1
1
1
1
1
2
2
2
2
4
4
4
6
15
17


PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Dạy học toán ở trường phổ thông theo định hướng gắn toán học với thực tiễn
là xu hướng đổi mới dạy học hiện nay.
Mục đích của dạy học toán nói chung , với lưu ý biết mô hình hóa toán học
các tình huống thực tiễn được xem là yếu tố cơ bản của năng lực hiểu biết toán.
Hiện nay định hướng đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là chương
trình định hướng nội dung dạy học sang định hướng năng lực, định hướng chuẩn
đầu ra về phẩm chất và năng lực cuả chương trình giáo dục cấp THPT.
Quan điểm đổi mới dạy học trong tương lai (cụ thể là quan điểm của
chương trình, nội dung sách giáo khoa mới từ năm 2018) là định hướng năng lực
hay định hướng kết quả đầu ra. Với quan điểm này, chương trình dạy học không
quy định chi tiết nội dung dạy học mà quy định những kết quả đầu ra mong

muốn của giáo dục. Từ đó tạo điều kiện quản lý chất lượng theo kết quả đầu ra
đã quy định, nhấn mạnh năng lực vận dụng của học sinh.
Kết hợp với đổi mới trong phương pháp kiểm tra đánh giá. Bài toán liên
quan đến đạo hàm là một dạng bài rất hay gặp trong các đề thi trắc nghiệm. Từ
đó, đề tài này tập trung vào việc xây dựng góp phần rèn luyện cho học sinh
năng lực vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn
theo định hướng tiếp cận các năng lực của người học.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng đạo hàm giải quyết
một số bài toán có nội dung thực tiễn.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Giúp học sinh biết toán học hóa các tình huống thực tế và vận dụng đạo
hàm (Chương trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn
chỉnh và chính xác.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU- PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Các bài toán xét dấu đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số - Chương I, giải tích lớp 12 .
- Học sinh 02 lớp 12 C2, 12C5 (tổng số học sinh 77) trường THPT Lê
Hồng Phong, năm học 2017– 2018 và kinh nghiệm của một số năm học trước.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

3
GV: Vũ Thị Hương

Trường THPT Lê Hồng Phong

PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Nội dung chương trình (Chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản)
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
* Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng D nếu với mọi x1, x2 thuộc D,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
* Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng D nếu với mọi x1, x2 thuộc D,
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:
* Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D
thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính
chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x).
* Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch
biến) trên D thì tích f(x).g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên
D. Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x).g(x) khi f(x) và g(x) là hai
hàm số không cùng dương trên D.
1.3. Công thức tính đạo hàm:
α

α−1

Hàm số hợp y = u có đạo hàm y ' = α.u .u ' (*)
* công thức (*) chỉ đúng với số mũ α là hằng số.
* Nếu α không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị
dương.
1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí:

* Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K.
(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
a. Nếu

f '( x ) ≥ 0

với ∀x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b. Nếu f ' ( x ) ≤ 0 với ∀x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
c. Nếu f '(x) = 0 với ∀x ∈ K thì hàm số f(x) không đổi trên K.
+ Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không
phải điều kiện cần.
1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên định lí sau:
* Định lý 1 (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng
K = (x 0 − h; x 0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x 0 } , với h > 0.

4
GV: Vũ Thị Hương

Trường THPT Lê Hồng Phong


a. Nếu ( )
trên khoảng (x 0 − h; x 0 ) và
(x 0 ; x 0 + h) thì x là một điểm cực đại của hàm số f(x).
0
f' x >0

f '( x ) < 0

b. Nếu ( )
trên khoảng (x 0 − h; x 0 ) và ( )
(x 0 − h; x 0 ) thì x là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
0
1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:
f' x <0

f (x) ≥ m , ∀x ∈ D
∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = m

m = min
f (x) ⇔ 
D

f' x >0

trên khoảng
trên khoảng

f (x) ≤ M , ∀x ∈ D
M = max f (x) ⇔ 
D
∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = M
,

+ Nếu f (x) ≥ m , ∀x ∈ D (hay f (x) ≤ M , ∀x ∈ D ) nhưng không
∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = m (hay ∃x 0 ∈ D : f (x 0 ) = M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó,
không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D.
+ Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền
D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với

phép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
2. Tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán học.
Làm thế nào để tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán
học? Qua tự tìm hiểu và kinh nghiệm bản thân, tác giả nhận thấy các ví dụ thực
tiễn toán học có thể được tìm thấy thông qua các hoạt động như:
- Nghiên cứu khoa học luận tri thức: lịch sử hình thành các khái niệm,
quá trình phát triển của tri thức, ý nghĩa thực tiễn của tri thức…
- Tham khảo từ các môn học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên.
- Tìm kiếm trong các tài liệu, đặc biệt là tài liệu, sách giáo khoa nước
ngoài, tìm kiếm trên internet.
- Tham khảo các vẫn đề cuộc sống có nhiều yếu tố toán học trong đó như
thống kê, ngân hàng, xây dựng, chứng khoán, bảo hiểm, quản lý giao thông,
điều phối sản xuất…
- Một trong những phương pháp hiệu quả nhất để xây dựng ví dụ chính là
phương pháp mô hình hóa.
Toán học hóa các tình huống thực tế (mô hình hóa)
Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả gồm 4 bước:
Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu
tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta
phải tuân theo.
Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại
dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với các vấn
đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào
của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để giải quyết bài toán hình thành ở
bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương
pháp giải cho phù hợp.
5
GV: Vũ Thị Hương

Trường THPT Lê Hồng Phong


Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3.
Trong phần này phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán
với các vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia.
Quá trình mô hình hóa có thể được tóm lược qua sơ đồ sau:
Vấn đề thực tiễn  B1. Mô hình trung gian  B2. Mô hình toán học  B3. Giải
toán trong mô hình toán  Giải thích kết quả, kết luận
II. THỰC TRẠNG CỦA VÁN ĐỀ:
Giảng dạy toán hiện nay tập trung ở bước 3, bởi vì:
- Chương trình, nội dung sách giáo khoa chủ yếu trình bày ở bước 3;
- Các đề thi cũng tập trung nội dung ở bước 3;
- Giáo viên giỏi ở bước 3 và chưa có nhiều kinh nghiệm ở các bước còn
lại.
Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới tác giả đã ứng dụng tìm kiếm,
tham khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các ứng dụng
toán học để phục vụ giảng dạy và cũng đã tập hợp được một số tình huống. Phần
tiếp sau sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, tìm
kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN - CÁC GIẢI PHÁP
3.1. Biện pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên
cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
3.1.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, giải thích rõ hơn các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh
nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống
và khác nhau giữa chúng.
3.1.2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3.1.3 Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng
sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn
sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử
kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực
tiếp tới bài giảng.
3.1.4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với các mức độ nhận
thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng – vận dụng ở mức độ cao.
- Giáo viên đánh giá học sinh.
6
GV: Vũ Thị Hương

Trường THPT Lê Hồng Phong


- Học sinh đánh giá học sinh.
3.1.5 Giáo viên có đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao
cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm
thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số, một số bài toán liên quan. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm
bài tập.
3.1.6 Phân loại bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản. Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
3.2. Nghiên cứu thực tế:
Bài 1: Có một cái hồ rộng 50m, dài 200m. Một vật động viên chạy phối hợp với
bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả chạy và
bơi. Sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì nên nhảy xuống bơi để đến
đích nhanh nhất? Biết rằng vận tốc bơi là 1.5 m/s, vận tốc chạy là 4.5m/s. Giá trị
của x gần bằng:
A.100
B.153
C.160
D.182

.
Hướng dẫn giải:
Quãng đường người đó chạy là x
Thời gian người đó chạy là t1= (s)
Quãng đường người đó bơi là:
Thời gian người đó bơi là:t2 = (s)
Để đến đích nhanh nhất thì thời gian chạy và bơi phải là nhỏ nhất:
Xét hàm f(x) = +
f′(x) = +; f’(x) = 0
Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số ta có Đáp án D
Bài 2: Một đội thi công cần mắc mạng điện từ trụ sở điện A ở ngoài tỉnh vào bốt
điện C ở bản Mèo qua một vực sâu. UBND B cách C 1 km, khoảng cách từ B
đến A là 4 km. Mỗi km dây điện đặt trên không (đi qua vực) mất 5000 USD, còn
đặt dưới đất là 3000 USD. Điểm S ngoài tỉnh cần cách trụ sở điện bao nhiêu km
để khi mắc điện từ A qua S rồi đến bốt điện C tốn ít kinh phí xây dựng nhất (các
khu vực A, B, C, S như hình vẽ). Chọn đáp án đúng trong các phương án sau?
7

GV: Vũ Thị Hương

Trường THPT Lê Hồng Phong


A. 1/4 km

B. 3/4km

C.13/4 km

D. 11/4 km

C

B

S

A

Giải
Đặt SB = x (0< x < 4) => SA= 4-x; SC=
Kinh phí xây dựng là f(x) = 3000(4-x) + 5000.
f’(x) = => f’(x) = 0 <=> x =km
Ứng dụng Đạo hàm ta có chi phí thấp nhất khi x =km Đáp án B
Bài 3: Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng
hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao
của hộp để lượng vàng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao
giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4 dm3.

A. 1 dm
B. 1,5 dm
C. 2 dm
D. 0,5 dm
Hướng dẫn giải:
Gọi x, y lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao
Bài toán quy về tìm x để diện tích xung quanh của khối hộp là nhỏ nhất
Thể tích khối hộp : V = x2y 4 = x2y y =
Diện tích cần mạ vàng : S= x2+4xy= x2
S’= 2x - =; S’= 0 x=2
Bảng biến thiên
x
0
2
S’
0
+
S
14
Dấu = xảy ra khi x = 2, y = 1
Đáp án : A
8
GV: Vũ Thị Hương

Trường THPT Lê Hồng Phong


Bài 4 : Một người nông dân có 15.000.000 đồng xây tường rào hình chữ E dọc
theo một con sông thành hai mảnh đất hình chữ nhật nhằm chăn nuôi hai loại gia

súc. Đối với tường rào song song với bờ sông thì chi phí là 60 000 đồng một
mét, còn đối với ba mặt tường rào song song với nhau thì chi phí là 50 000 đồng
một mét. Tìm diện tích lớn nhất mà mảnh đất rào thu được biết rằng diện tích
tường rào không đáng kể.
A. 7345m2

B.6250m2

C.3270m2

D. 2138m2

Hướng dẫn giải
Gọi x là độ dài của cạnh ngắn(0sông (y>0) Ta có:
3x.50 000 +y.60 000 = 15000 000 <=> y =

250 −

5x
2

5x2
250 x −
2
Diện tích hai mảnh đất là : S= xy =

Ta có : S’= 250-5x = 0 ⇔ x=50
Bảng biến thiên
x

0

S’

50
+

0

100
-

6250
S
0

0

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có diện tích khu đất lớn nhất là 6250m2
Đáp án B
Bài 5: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện
ngang là hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của
các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất?
9
GV: Vũ Thị Hương

Trường THPT Lê Hồng Phong

Hướng dẫn giải
Gọi x, y là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ như hình vẽ. Gọi d là đường
d
kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là 2
d
d(2 − 2)
4
và 0 < x <
, 0 < y < 2.

Theo bài ra ta được hình chữ nhật ABCD
như hình vẽ, theo Định lý Pitago ta có
2

x
y

A

B
d

d

1
2
2
 2x +
 +y =d
y=

d2 − 8x2 − 4 2x D
C
2
2

⇔
1
d(2 − 2)
S = S(x) =
x d2 − 4 2dx − 8x2
2
4
Suy ra
với 0 < x <
, S là diện

tích một miếng phụ. Ứng dụng Đạo hàm ta có S lớn nhất khi và chỉ khi
34− 3 2
16
.d

x=
Bài 6: Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần
thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai
tỷ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v = 10km/h thì phần thứ hai bằng 30
ngàn đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1
km đường là nhỏ nhất?
Hướng dẫn giải:
Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu. Thời gian tàu chạy quảng đường 1km là
1

1
480
.480=
x (giờ). Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là x
x (ngàn Đồng).
1
Tại v = 10 km/h chi phí cho quảng đường 1km ở phần thứ hai là 10.30 = 3

(ngàn đồng). Xét tại vận tốc x(km/h): gọi y (ngàn Đồng) là chi phí cho quảng
đường 1km tại vận tốc x, ta có y = kx 3, 3 = k103 (k là hệ số tỉ lệ giữa chi phí
1km đường của phần thứ hai và lập phương của vận tốc), suy ra
3

y  x
=   ⇔ y = 0,003x3
3  10
. Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1km đường là
480
p = p(x) =
+ 0,003x3
x
. Áp dụng Đạo hàm ta có chi phí p nhỏ nhất khi tàu

chạy với vận tốc x = 20 (km/h).
Bài 7: Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình
tròn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều
ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức

GV: Vũ Thị Hương

10
Trường THPT Lê Hồng Phong


C=k

sinα
r 2 ( α là góc nghiêng giữa
§ tia sáng và mép bàn, k - hằng số tỷ lệ chỉ phụ

thuộc vào nguồn sáng).
r

h
I

N
a

.

M

Hướng dẫn giải
Gọi h là độ cao của đèn so với mặt bàn (h > 0). Các ký hiệu r, M, N, Đ, I như
Hình vẽ. Ta có

sinα =

h

r

2
2
2
và h = r − a , suy ra cường độ sáng là:

r2 − a2
(r > a)
r3
. Ứng dụng Đạo hàm ta có C lớn nhất khi và chỉ
3
a 2
r = a.
h=
2 , khi đó
2 .
khi
C = C(r) = k

Bài 8: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng
"Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S,  là độ dài
đường biên giới hạn của tiết diện này,  - đặc trưng cho khả năng thấm nước của
mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định,  là
nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có
dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
y
x
Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy;

2S
2S
+x
+x

(
x
)
=
x
x
. Xét hàm số
.
2
− 2S
x − 2S
'
2
x2 .
Ta có  (x) = x + 1 =

 = 2y + x =

 (x) = 0 ⇔ x − 2S = 0 ⇔ x =
'

2

S
2S , khi đó y = x =

S
2.

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước
của mương là x = 2S , y =
GV: Vũ Thị Hương

S
2

11
Trường THPT Lê Hồng Phong


Bài 9 : Một màn ảnh hình chữ nhật cao 2,4m được đặt ở độ cao 8,5m so với
tầm mắt (tính đến mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí
đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó?

Hướng dẫn giải
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tgBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,
tgAOC− tgAOB
ta có tgBOC = tg(AOC - AOB) = 1 + tgAOC.tgAOB=

=

AC
AB
−

OA OA
AC.AB
1+
OA 2

2, 4
x
2, 4 x
10,9.8,5
1+
2
x2
=
= x + 92, 65

C
2,4
B

2, 4 x
Xét hàm số f(x) = x + 92, 65

8,5

2

Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có

A

−2, 4 x 2 + 2, 4.92, 65
2
2
f'(x) = ( x + 92, 65)
, f'(x) = 0 ⇔ x = ± 9,6

Ta có bảng biến thiên

x
f'(x)
f(x)

9,6

0
+

0

_

x

O

∞

2304
18481

0
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 9,6 m.

0

Bài 10: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung
chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc
GV: Vũ Thị Hương

12
Trường THPT Lê Hồng Phong


trên đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy xác định phương án
chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn
nhất ?
Hướng dẫn giải
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.
AC CD AE − CE CD
+
+
v
v2 =
v1
v2 =
Thời gian t là: t = 1
h
h
−
A

 − h.cotgα
h
tgα
−
+ sinα
v1
v 2 sinα
v2
= v1
=

D
h

C

E

B



 − h.cotgα
h
t (α) =
−
v1
v 2 sinα . Ứng dụng Đạo hàm ta được t (α ) nhỏ
Xét hàm số
v

v
cosα = 2
cosα = 2
v1 . Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho
v1 .
nhất khi

Bài 11 : Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích
V(m3), hệ số k cho trước (k- tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy).
Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu
nhất ?
Hướng dẫn giải
Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga (h > 0). Ta có

k=

h
x

h

V V
V
=
hxy
⇒
y
=
=

hx kx 2 (2).
suy ra h = kx (1),

Diện tích toàn phần của hố ga là:
S = 2xh + 2yh + xy
S = 2kx2 + 2

= 2xh + 2h

(k + 1)V
kx .

y

V
V
+ 2x 2
2
kx
kx kết hợp (1) và (2) ta suy ra

Áp dụng Đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi
y=3

x

x=

3

k+1
V
2k2 ,

khi đó

4kV
k(k + 1)V
, h= 3
2
(k + 1)
2
.

Bài 12: Một bác sĩ ở bệnh viện đa khoa tính độ giảm huyết áp của bệnh nhân A
theo công thức F(x) = 0,02.x2(30-x). Trong đó x là liều lượng thuốc cần tiêm
cho bệnh nhân (tính theo miligam). Lượng thuốc cần tiêm để huyết áp giảm
được nhiều nhất là:
GV: Vũ Thị Hương

13
Trường THPT Lê Hồng Phong


A. 20mg
B.40mg
C. 60mg
Hướng dẫn giải:
Ta có F’(x)= -0,06x2+1,2x, F’(x)=0 <=> x=0; x=20

Bảng biến thiên
x
F’(x)
F(x)

0
0

D.80mg

20
+

0
80

30
-

0

0

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có x=20
Đáp án: A
Bài 13: Bạn An là học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một
chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120cm theo cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học An giúp bố mình tìm được mảnh tôn để làm được chiếc
thùng có thể tích lớn nhất. Khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là :

A.25cm,35cm
B.40cm,20cm
C.50cm,10cm
D.30cm,30cm
Hướng dẫn giải
Gọi một chiều dài là x cm (0 < x < 60) khi đó chiều còn lại là 60-x cm, giả sử
quấn cạnh có chiều dài là x thì bán kính đáy là
V=

π r 2 .h =

r=

x
2π ,h = 60 – x Ta có :

− x 3 + 60 x 2
4π

3
2
Xét hàm số f ( x) = − x + 60 x , x ∈ (0;60)

x = 0
f '(x) = −3 x 2 + 120 x; f '( x) = 0 ⇔ 
 x = 40

Lập bảng biến thiên, ta thấy f ( x) = − x + 60 x , x ∈ (0;60) lớn nhất khi x =40.
Khi đó chiều dài là 40cm ; chiều rộng là 20cm.
Chọn đáp án B

3

GV: Vũ Thị Hương

2

14
Trường THPT Lê Hồng Phong


Bài 14 : Chuẩn bị kết thúc năm học, lớp 12C4 tổ chức cắm trại để chụp ảnh kỷ
yếu. Trại được dựng từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m, chiều
rộng 6m hai mép của chiều dài sát đất và cách nhau x mét như hình vẽ.

x gần với giá trị nào dưới đây để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất.
A.3m
B.4m
C.5m
D.6m
Hướng dẫn giải :
Chiếc trại có hình lăng trụ đứng với đáy là một tam giác cân, chiều cao bằng 12
x2
9−
4
Chiều cao của tam giác đáy là h=
1
x2
x 9−
4
Diện tích tam giác đáy là S= 2

Để phần không gian phía trong lều lớn nhất thì S lớn nhất.
18 − x 2
2
Ta có S’= 2 36 − x ; S’=0 ⇔ x = 3 2

Lập bảng biến thiên ta có S lớn nhất khi x = 3 2 ≈ 4, 2m .
Đáp án B
Bài 15: Một công ty muốn làm đường ống trên một điểm A trên bờ đến một
điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây dựng đường
ống trên bờ là 50.000 USD mỗi km và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước.
B’ là điểm trên bờ sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng các từ A đến B’
là 9km. Vị trí C đến đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất.
Khi đó C cách A một đoạn bằng:
A.6.5km
B. 6km
C.10km
D.9km

GV: Vũ Thị Hương

15
Trường THPT Lê Hồng Phong


Hướng dẫn giải:
Đặt x = B’C (km), x [0;9]
BC = ; AC= 9 – x
Chi phí xây dựng đường ống là C(x)=130.000 + 50.000(9 − x) (USD)
Hàm C(x), xác định, liên tục trên [0;9] và C’(x) = 10000.

C’(x) = 0 13x=5
C (0) = 1.230.000; C ( = 1.170.000; C (9)1.406.165
Vậy chi phí thấp nhất khi x=2,5. Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km. Đáp án A
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi có dạng hình trụ
dùng để chứa xăng (như hình) với thể tích theo yêu cầu là 2 mỗi chiếc. Để tiết
kiệm vật liệu nhất thì xưởng cơ khí phải làm chiếc thùng có kích thước mà tổng
chiều cao và bán kính đáy của thùng bằng bao nhiêu?

A.3
B. 2
C.2,5
D. 4
Câu 2: Công mỹ phẩm MILANO vừa cho ra mắt sản phẩm mới là chiếc thỏi son
mang tên Lastug có dạng hình trụ (như hình) có chiều cao h (cm), bán kính đáy
r(cm), thể tích yêu cầu là 20,25 ( mỗi thỏi. Biết rằng chi phí sản xuất cho mỗi
thỏi son như vây đươc xác định theo công thức:
để chi phí sản xuất là thấp nhất thì tổng (r + h) bằng bao nhiêu?

A. r + h = 9,5

B. r + h = 10,5

C.r + h = 11,4
D. r + h = 10,2
Câu 3: Một công ty nội thất vừa cho ra một đồ trang trí nội thất cao cấp có dạng
hình nón ( thể tích là V1), ở trong bóng đền dạng hình cầu ( thể tích là V2) nội
tiếp hình nón ( như hình vẽ ). Gọi r và h lần lượn là bán kính đáy và chiều cao
của một hình nón. Tỉ số bằng bao nhiêu để tỉ số là nhỏ nhất.
Câu 4: Một công ty mỹ phẩm vừa cho ra mắt sản phẩm mới là lọ kem dưỡng da

chống lão hóa. Vỏ ngoài sản phẩm có dạng hình cầu bán kính R, bên trong là
16
GV: Vũ Thị Hương
Trường THPT Lê Hồng Phong


bình đựng kem có dạng hình trụ bán kính r nội tiếp hình cầu ( như hình vẽ ).
Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính . Tìm bán kính r để
thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất ( nhằm thu hút khách hàng )

C. 2
Câu 5: Một cái nắp của bình chứa rượu gồm một phần dạng hình trụ, phần còn
lại có dạng nón ( như hình vẽ ). Phần hình nón có bán kính đáy bằng bán kính
hình nón, chiều cao bằng . Kết quả ( r + h ) xấp xỉ bằng bao nhiêu để diện tích
toàn phần của cái nắp là lớn nhất.
A. 427
B. 381
C.166
D.289

IV. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
4.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của việc lựa
chọn Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn, đồng thời cũng nhằm kiểm nghiệm
tính đúng đắn của giả thuyết khoa học.
4.2. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được tiến hành
trong việc dạy học các tiết ở bài Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
thuộc Chương 2 SGK Giải tích 12 THPT.
4.2.1 Công tác chuẩn bị

GV: Vũ Thị Hương

17
Trường THPT Lê Hồng Phong


Để tiến hành thực nghiệm có hiệu quả, tôi đã tiến hành nghiên cứu kỹ nội
dung Chương trình, sách giáo khoa, tài liệu bồi dưỡng giáo viên, ... và khảo sát
tình hình thực tế việc dạy học ứng dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh
THPT. Tài liệu thực nghiệm được đưa ra tham khảo ý kiến nhiều giáo viên có
kinh nghiệm.
4.2.2. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành tại trường THPT Lê Hồng Phong thị xã Bỉm
Sơn tỉnh Thanh Hóa, trong khoảng thời gian một tháng từ ngày 05 tháng 10 đến
ngày 15 tháng 11 năm 2017.
Lớp thực nghiệm là lớp 12C2 có 40 học sinh.
Lớp đối chứng là lớp 12C5 có 37 học sinh.
4.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
4.3.1. Một số đánh giá chung
Theo dõi tiến trình thực nghiệm sư phạm, tôi thấy rằng: nhìn chung đa số
học sinh học tập tích cực, sôi nổi hơn, thích thú với những bài toán có nội dung
thực tiễn. Sự hấp dẫn của các bài toán có nội dung thực tiễn cũng chính là ở
chỗ gắn các kiến thức Toán học với các ứng dụng thực tế đa dạng và sinh động
của nó trong học tập cũng như trong đời sống, lao động, sản xuất. Các tiềm
năng ứng dụng và ý nghĩa to lớn của những bài toán có nội dung thực tiễn được
gợi mở và dần dần được củng cố bằng Hệ thống các bài toán có nội dung thực
tiễn đa dạng, phong phú. Điều đó kích thích hứng thú của cả thầy lẫn trò trong
thời gian thực nghiệm. Nhận định chung cho rằng, điều khó khăn nhất cần và
có thể vượt qua - nếu ý tưởng này được triển khai về sau - là lựa chọn được một

Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn thích hợp cho mỗi tiết học, để cùng một
lúc đạt được nhiều mục đích dạy học như đề tài đã đặt ra.
4.3.2. Một số kết quả định lượng
Việc phân tích định lượng dựa vào kết quả kiểm tra trong đợt thực nghiệm
tại hai lớp thực nghiệm và đối chứng, nhằm minh họa và bước đầu kiểm
nghiệm tính khả thi, hiệu quả của việc lựa chọn Hệ thống bài tập có nội dung
thực tiễn.
Trong quá trình thực nghiệm, tôi tiến hành một bài kiểm tra gồm hai bài
tập để đánh giá.
a) Nội dung bài kiểm tra (thời gian làm bài 45 phút)
Câu 1: Hãy xác định cách cắt đi ở 4 góc một tấm tôn hình chữ nhật kích
thước 80cm x 50cm bốn hình vuông bằng nhau để khi gập lại được một chiếc
hộp không nắp có thể tích lớn nhất?
Câu 2: Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn
hình tròn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được
nhiều ánh sáng nhất? (Biết rằng độ sáng C được biểu thị bởi công thức

GV: Vũ Thị Hương

18
Trường THPT Lê Hồng Phong


C=k

sinα
r 2 trong đó α là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỷ

lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng).
b) Kết quả bài kiểm tra

Điể
Lớpp

m
Lớp TN
12C2
Lớp ĐC
12C5

Tổng số bài

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

0

0

3

8

11

7

5

4

1

40

0

0

0

3

5

10

16

5

1

0

37

Lớp Thực nghiệm: Yếu 7,5%; Trung bình 47,5%; Khá 30%; Giỏi 12,5%.
Lớp Đối chứng: Yếu 21,6%; trung bình 70,3%; Khá 8,1%; Giỏi 0%.
Căn cứ vào kết quả kiểm tra, có thể bước đầu thấy được hiệu quả của giải
pháp nhằm tăng cường, rèn luyện khả năng giải các bài toán có nội dung thực
tiễn cho học sinh THPT mà tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình thực
nghiệm.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I.KẾT LUẬN
1.Kết luận chung về thực nghiệm
Từ kết quả thực nghiệm tôi thấy rằng:
- Việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy trên cơ sở dựa

vào những Quan điểm, những gợi ý về phương pháp dạy học đã góp phần rèn
luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn.
- Sự "cài đặt" một cách khéo léo các bài toán có nội dung thực tiễn - trên
cơ sở những quan điểm chỉ đạo đã được trình bày ở 2.1, Chương 2 - làm cho
giáo viên thực hiện việc giảng dạy khá tự nhiên, không miễn cưỡng và không
có những khó khăn lớn về mặt thời gian.
- Số lượng và mức độ các bài toán có nội dung thực tiễn được lựa chọn và
cân nhắc thận trọng, được đưa vào giảng dạy một cách phù hợp, có chú ý nâng
cao dần tính tích cực và độc lập của học sinh, nên học sinh tiếp thu tốt, tích cực
tham gia luyện tập và đạt kết quả tốt.
Phương pháp giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn đã trình bày ở
Mục 2.4, trên cơ sở kế thừa và phát huy những kinh nghiệm dạy học tiên tiến,
được chuyển giao cho giáo viên thực nghiệm một cách thuận lợi và được vận
dụng một cách sinh động, không gặp phải những trở ngại gì lớn và các mục
đích dạy học được thực hiện một cách toàn diện, vững chắc.
2.Đề tài đã thu được một số kết quả chính như sau:
GV: Vũ Thị Hương

19
Trường THPT Lê Hồng Phong


1. Làm rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh năng lực
vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. Vai trò này được cụ thể hóa bằng
việc phân tích, nhận xét từng vấn đề, từng khía cạnh trong việc vận dụng Toán
học vào thực tiễn đã trình bày ở Mục 1.1.
2. Đã phân tích rõ thực trạng của vấn đề rèn luyện cho học sinh năng lực
vận dụng Toán học vào thực tiễn bằng việc khảo sát Chương trình, sách giáo
khoa trước đây, hiện tại cũng như sách giáo khoa thí điểm sau này.
3. Đã bước đầu kiểm nghiệm bằng thực nghiệm sư phạm nhằm minh họa

cho tính khả thi và tính hiệu quả của việc xây dựng và đưa vào giảng dạy các
bài toán có nội dung thực tiễn.
II. KIẾN NGHỊ
1. Đề nghị Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa xây dựng được những Quan
điểm chỉ đạo cho việc xây dựng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong
dạy học toán ở trường THPT và những gợi ý về phương pháp dạy học những
bài tập đó trên cơ sở tôn trọng Chương trình, sách giáo khoa Toán và kế hoạch
dạy học hiện hành.
2. Đề nghị BGH trường THPT Lê Hồng Phong cho phép tổ bộ môn xây
dựng một Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán ở trường
THPT Lê Hồng Phong.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5. Năm
2018.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

VŨ THỊ HƯƠNG
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Ngọc Anh (2000), Ứng dụng phép tính vi phân (phần đạo hàm) để giải
các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy học Toán lớp
12 THPT, Luận án Tiến sĩ giáo dục học, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội.
2. Nguyễn Văn Bàng (1997), "Lại bàn về bài toán mở", Nghiên cứu giáo dục, tr. 6.
3. I. I. Blekman, A. D. Mưskix, Ia. G. Panôvko (1985), Toán học ứng dụng (bản
dịch của Trần Tất Thắng), Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.
GV: Vũ Thị Hương

20
Trường THPT Lê Hồng Phong


4. Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Hàn Liên Hải (1999), Giải tích 12, Nxb Giáo
dục, Hà Nội.
5. Dự thảo Chương trình môn Toán cải cách giáo dục trường Phổ thông trung học
Việt Nam (1989), Vụ giáo dục phổ thông, Viện Khoa học giáo dục.
6. Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2004), Giới thiệu đề
thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng toàn Quốc (môn Toán), Nxb Hà Nội,
7.Tham khảo các tài liệu của đồng nghiệp: Bài báo trên internet, Tạp chí Toán học
tuổi trẻ, Tạp trí Giáp dục và thời đại, Luận văn thạc sĩ của đồng nghiệp.

ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
...
GV: Vũ Thị Hương

21
Trường THPT Lê Hồng Phong


ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

CẤP TRƯỜNG
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
ĐÁNH GIÁ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....
.................................................................................................................................
....

GV: Vũ Thị Hương

22
Trường THPT Lê Hồng Phong