Vận dụng hàm số mũ phương trình mũ vào các bài toán thực tiễn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“

VẬN DỤNG HÀM SỐ MŨ- PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀO CÁC
BÀI TOÁN THỰC TIỄN”

Người thực hiện: Trịnh Thị Lệ
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1. Các bài toán cơ bản.
2.1.2. Các ví dụ điển hình.
2.1.2.1. Các bài toán kinh tế.
2.1.2.2.Các bài toán về Sinh học.

2.1.2.3. Các bài toán về Địa lí.
2.1.2.4. Các bài toán về Vật lí.
2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện .
2.4 Hiệu quả của SKKN
2.4.1. Đối với giáo viên .
2.4.2. Đối với học sinh.
3. Kết luận và kiến nghị.
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.

Trang
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
10
11
11
13
13
13
14
14

14

1. MỞ ĐẦU
2


1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình giải tích lớp 12 thì hàm số mũ và phương trình mũ là một
phần rất quan trọng , các bài toán về phần này luôn là nội dung được lựa chon trong
các đề thi đại học, cao đẳng tất cả các năm đặc biệt với hướng thi trắc nghiệm về
môn toán như hiện nay thì những nội dung về hàm số mũ và phương trình mũ được
đưa ra trong các đề thi với số lượng câu nhiều hơn. Tuy nhiên các bài tập về hàm số
mũ và phương trình mũ không chỉ đơn thuần là những bài toán về tìm tập xác định,
tính đạo hàm của hàm số mũ hay giải các dạng về phương trình mũ đơn thuần như
trong sách giáo khoa hay trong các đề thi tự luận từ 2016 trở về trước, mà trong
các đề thi trắc nghiệm trong 2 năm nay các bài toán mang bản chất của hàm số mũ
và phương trình mũ được gắn vào trong các bài toán về thực tiễn rất đa dạng và
phong phú như: bài toán về lãi suất, bài toán về sự tăng trưởng của các vi sinh vật,
bài toán về dân số, bài toán về tính khối lượng của chất phóng xạ trong vật lí. Nếu
như học sinh không được làm quen với các dạng toán này , không nhìn nhận đúng
bản chất của bài toán thì học sinh khong thể giải được các dạng toán này. Vì vậy
với trách nhiệm của mình là một giáo viên hiện đang giảng dạy cho học sinh lớp 12
chuẩn bị bước vào kì thi THPT QG sắp tới tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên
đề từ đó rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt, nâng cao năng lực giải toán cho học
sinh khi gặp những dạng toán thực tế về hàm số mũ- phương trình mũ. Qua quá
trình tích lũy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Vận dụng hàm số mũ-phương trình
mũ vào các bài toán thực tiễn”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán và phương pháp giaỉ các bài
toán thực tế về hàm số mũ và phương trình mũ.

Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán. Từ đó cung cấp cho
học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các kì
thi, đặc biệt là kỳ thi THPTQG
Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tố hơn kiến
thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học toán.
Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán kinh tế, bài toán về lĩnh vực địa lí, bài toán về lĩnh vực sinh học,
bài toán về lĩnh vực vật lí.
Một số đề thi thử THPTQG năm 2017 và 2018 các trường THPT của tỉnh
Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 12
- Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán liên quan đến bài toán về hàm
số mũ và phương trình mũ . Đặc biệt là các bài toán, dạng toán trong các đề thi thử
THPTQG của các trường THPT của tỉnh Thanh Hóa trong 2 năm 2017 và 2018.
2. NỘI DUNG
3


2.1. Cơ sở lý luận
2.1.1.Các bài toán cơ bản [2]
Bài toán 1.( Dành cho gửi tiền một lần) Một người gửi vào ngân hàng số tiền là a
đồng với lãi suất hàng tháng là r% gửi trong n tháng khi đó số tiền gốc và lãi người
đó nhận được tính theo công thức
Tn=a(1+r)n
Bài toán 2. ( Dành cho gửi tiền hàng tháng )Một người hàng tháng gửi ngân hàng
số tiền là a đồng, biết lãi suất hàng tháng là r%. Sau n tháng người đó thu được số
tiền được tính theo công thức
a

Tn = [(1 + r ) n − 1](1 + r )
r

Bài toán 3. (Dành cho bài toán trả góp) Một người vay ngân hàng với số tiền ban
đầu là N, lãi suất là r%, n là số tháng phải trả, a là số tiền phải trả hàng tháng để
sau n tháng trả hết nợ, khi đó ta có công thức
N ( 1+ r ) r
n

a=

(1 + r ) n − 1

Bài toán 4.(Rút tiền tiết kiệm theo định kỳ ) Một người gửi ngân hàng với số tiền
ban đầu là N, lãi suất là r%, a là số tiền hàng tháng người đó rút ra, sau n tháng thì
người đó rút hết tiền khi đó ta có công thức
N ( 1+ r ) r
n

a=

(1 + r )n − 1

Bài toán 5. Một người gửi vào ngân hàng với số tiền ban đầu là a, lãi suất r%/kỳ.
Sau n tháng người đó thu được số tiền được tính theo công thức
Tn=a(1+r)n
Bài toán 6. Một chất phóng xạ có khối lượng ban đầu là m 0, chu kỳ bán rã là T,
sau thời gian bán rã t thì khối lượng chất phóng xạ còn lại được tính theo công thức
1 t
m0 ( ) T

m= 2

Bài toán 7. Qúa trình sinh trưởng của một vi sinh vật được tính theo công thức
S = Aert

( Trong đó A là số lượng vi sinh vật ban đầu , r là tốc độ tăng trưởng , t là thời gian
tăng trưởng )
Chú ý: Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số nhân với công bội
q
S = u1 + u2 + .................un =

u1 (1 − q n )
1− q

2.1.2. Các ví dụ điển hình
2.1.2.1. Các bài toán kinh tế
4


Bài toán cơ bản 1. Một người gửi vào ngân hàng với số tiền là a đồng với lãi suất
hàng tháng là r% . Tính số tiền cả gốc và lãi người đó thu được sau n tháng [2]
Giải
Gọi Tn là số tiền người đó thu được sau n tháng
Sau tháng thứ nhất (n=1) : T1=a+ar=a(1+r)
Sau tháng thứ hai (n=2) : T2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2
.........................
Sau tháng thứ n (n=n) : Tn=a(1+r)n-1+a(1+r)n-1r=a(1+r)n
Vậy sau n tháng số tiền cả gốc và lãi người đó thu được là
Tn=a(1+r)n (*)
Từ công thức (*) ta tính được các đại lượng khác như sau

Tn
a
n=
ln(1 + r )
ln

r=

n

Tn
−1
a

a=

A
(1 + r ) n

Ví dụ 1 :(Trích đề thi thử trường THPT Nga Sơn Thanh Hóa năm 2018) [1]
Ông A gửi 100 triệu VNĐ vào ngân hàng ACB theo hình thức lãi kép với
lãi suất 8%/năm. Tính số tiền ông A thu được sau 10 năm.
A. 215,802 triệu
B. 115,802 triệu
C. 215,892 triệu
D. 115,892 triệu
Giải :
Áp dụng công thức : Tn=a(1+r)n
Thay các giá trị a=100, r=8%, n=10 vào công thức trên ta được số tiền ông A thu
được sau 10 năm là

T10=100(1+0,08)10=215,892 triệu đồng
Chọn đáp án C
Ví dụ 2 : (Trích đề thi thử trường THPT Yên Định 3 năm 2018 ) [1]
Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,8%/năm và lãi suất hàng năm được nhập vào
gốc. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu.
A.8 năm
B. 9 năm
C. 10 năm
D. 11 năm
Giải
Gọi a là số tiền vốn ban đầu người đó gửi vào ngân hàng
Áp dụng công thức lãi kép Tn=a(1+r)n ta có :
2a=a(1+0,068)n ⇒ (1, 068) = 2 ⇒ n = log1,068 (2) ≈ 11 . Chọn đáp án D
Ví dụ 3 ( Trích đề thi thử lần 1 trường THPT Yên Định 3 năm 2018) [1]
Ông An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất
0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi Ông An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả
vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ?
A. 46
B. 45
C. 44
D.47
Giải
Áp dụng công thức Tn=a(1+r)n ta có
n

5


Theo bài ra ta có 100000(1+0,0058)n ≥ 1300000 ⇒ n ≥ log1,0058 (1,3) ⇒ n ≥ 45,37
Ta chọn đáp án A

Ví dụ 4: (Trích đề thi thử trường THPT Triệu Sơn 1năm 2018) [1]
Bà Hoa gửi 100 triệu đồng vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm.
Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp
tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
A. 81,413 triệu. B. 107,946 triệu.
C. 34,480 triệu.
D. 46,933 triệu.
Giải
Số tiền bà Hoa thu được sau 5 năm đầu là : 100(1+0,08)5=146,933 triệu
Số tiền lãi bà Hoa thu được sau 5 năm đầu là : 146,933-100=46,933 triệu
Số tiền bà Hoa thu được sau 5 năm sau là : 73,466(1,08)5=107,946 triệu
Số tiền lãi bà Hoa thu được sau 5 năm sau là : 107,946-73,466=34,48 triệu
Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sau 10 năm là : 46,933+34,48=81,413 triệu
Ta chọn đáp án A
Ví dụ 5( Trích đề thi thử lần 1 trường THPTQuảng xương I năm 2018) [1]
Lãi suất gửi tiền tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi.
Bác Mạnh gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Sau
sáu tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9%/tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền,
lãi suất giảm xuống 0,6%/tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác Mạnh không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban
đầu (ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là bao
nhiêu? (biết trong khoảng thời gian này bác Mạnh không rút tiền ra)
A. 5436521,164 đồng.
B. 5452771,729 đồng.
C.5436566,169 đồng.
D. 5452733,453 đồng.
Giải
Sau tháng thứ 6 số tiền Bác Mạnh có được là : 5(1+0,007)6
Sau tháng thứ 9 số tiền Bác Mạnh có được là : 5(1+0,007)6(1+0,09)3
Sau một năm số tiền Bác Mạnh nhận được là:

5(1+0,007)6(1+0,09)3(1+0,06)3=5452733,453 đồng
Ví dụ 6(Trích câu 50 đề số 6 trong bộ đề ôn thi THPTQG năm 2018) [5]
Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập
vào vốn ban đầu. Hỏi người đó sẽ lĩnh bao nhiêu tiền sau 4 năm, Nếu trong khoảng
thời gian đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?
A.(1,07)4
B. (1,93)4
C. (2,07)4
D. (2,93)4
Giải
Ap dụng công thức lãi kép ta có số tiền người đó thu được sau 4 năm là
C= 1(1+0,07)4=(1,07)4
Ta chọn đáp án A
Ví dụ 7(Trích câu 18 đề số 16 trong bộ đề ôn thi THPTQG năm 2018) [5]
6


Một người đầu tư 100 triệu đồng vào một công ty theo thể thức lãi kép với lãi suất
13% một năm. Hỏi nếu sau 5 năm mới rút lãi thì người đó thu được bao nhiêu tiền
lãi ( Gỉa sử lãi suất hàng năm không thay đổi)
A. 100[(1,13)5-1] ( triệu đồng)
B. 100[(1,13)5+1] ( triệu đồng)
C.100[(0,13)5-1] ( triệu đồng)
D. 100(0,13)5
( triệu đồng)
Giải:
Số tiền cả gốc và lãi thu được sau 5 năm là : 100.(1+0,13)5=100.(1,13)5
Số lãi người đó thu được sau 5 năm là: 100(1.13)5-100=100[(1,13)5-1]
Ta chọn đáp án A

Bài toán cơ bản 2. ( Dành cho gửi tiền hàng tháng )Một người hàng tháng gửi
ngân hàng số tiền là a đồng, biết lãi suất hàng tháng là r%. Sau n tháng người đó
thu được số tiền được tính theo công thức [2]
Giải
Cuối tháng thứ nhất người đó nhận được số tiền là
T1=a+ar=a(1+r)
Đầu tháng thứ 2 người đó có số tiền là : a(1+r)+a=a[(1+r)+1]
Cuối tháng thứ 2 người đó có số tiền là
Tn= a[(1+r)+1]+a[(1+r)+1]r=a(1+r)2+a(1+r)=a[(1+r)2+(1+r)]
……………………….
Cuối tháng thứ n người đó nhận được số tiền là
Tn=a [(1+r)n+(1+r)n-1+(1+r)n-2+………………..+(1+r)]
 (1 + r ) n − 1  a
n
a (1 + r ) 
 = (1 + r ) − 1 (1 + r )
r

 r
=

Ví dụ 1: ( Trích đề thi thử THPTQG Trường Yên Định I năm 2017) [1]
Một người A được hưởng số tiền trợ cấp lương là 4 triệu đồng một tháng và huyển
vào tài khoản ở ngân hàng vào đầu tháng 1năm 2016 với lãi suất 1%/tháng . Hàng
tháng không rút tiền về mà đến đầu tháng 12 năm 2016 người đó rút toàn bộ số tiền
(gồm số tiền lương của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi số tiền mà người
đó rút được là bao nhiêu .
Giải:
Số tiền người đó thu được sau 11 tháng
Aps dụng công thức

a
Tn = [(1 + r ) n − 1](1 + r )
r

4.106
(1 + 0, 01)[(1 + 0, 01)11 − 1] = 46730012, 05
Với a=4.106 ,r=0,01, n=11 ta được T11= 0, 01

Vậy số tiền người đó thu được đầu tháng 12 gồm tiền của 11 tháng trước và lương
của tháng 12 là : 46730012,05+4.106 ≈ 50730000
Ví dụ 2: (Trích đề thi thử trường Thạch Thành 2 năm 2018 ) [1]
7


Trong thời gian liên tục 25 năm, một người lao động luôn gửi đúng 4.000.000 đồng
vào một ngày cố định của tháng ở ngân hàng A với lãi suất không thay đổi trong
suốt thời gian gửi tiền là 0,6%/tháng. Gọi A đồng là số tiền người đó có được sau
25 năm. Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 3.450.000.000 < A < 3.500.000.000 .
B. 3.400.000.000 < A < 3.450.000.000 .
C. 3.350.000.000 < A < 3.400.000.000 .
D. 3.500.000.000 < A < 3.550.000.000 .
Giải:
a
Tn = [(1 + r ) n − 1](1 + r )
r

Áp dụng công thức
Với a=4.106, r=0,006, n=300 ta có số tiền người đó thu được sau 25 năm là

4.106
(1, 006)[(1, 006)300 − 1]
0, 006
=3364866655

Ta chọn đáp án C
Bài toán cơ bản 3: (Dành cho bài toán trả góp) Một người vay ngân hàng với số
tiền ban đầu là N, lãi suất là r%, n là số tháng phải trả, a là số tiền phải trả hàng
tháng để sau n tháng trả hết nợ, khi đó ta có công thức [2]
N ( 1+ r ) r
n

a=

(1 + r )n − 1

Chứng minh
Số tiền gốc cuối tháng 1 là: N+Nr-a=N(1+r)-a
Cuối tháng thứ 2 : [N(1+r)-a]+[A(r+1)-a]r-a=N(1+r)2-a[(r+1)+1]
Cuối tháng thứ 3: [N(1+r)2-a[(r+1)+1]](1+r)-a= N(1+r)3-a[(1+r)2+(1+r)+1]
………………………
Cuối tháng thứ n : N(1+r)n-a[(1+r)n-1+(1+r)n-2+………………+(1+r)+1]
(1 + r ) n − 1)
]
r
=N(1+r)n-a
[

Để người đó trả hết nợ có nghĩa là sau n tháng số tiền còn lại bằng 0 khi đó ta có
n

(1 + r ) n − 1) ⇔ a = N (1 + r ) r
[
]
(1 + r )n − 1
r
N(1+r)n=a

log1+ r (

a
)
a − Nr

Từ công thức trên ta suy ra được các đại lượng n =
Ví dụ 1: ( Trích đề thi thử trường THPT Như Thanh năm 2018 ) [1]
Anh Long vay ngân hàng 100 triệu ngân hàng với lãi suất là 0,7%/tháng theo thỏa
thuận anh Long cứ mỗi tháng trả 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến
hết nợ( Tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu ) . Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh
Long trả hết nợ.
A.23 tháng
B. 22 tháng
C. 24 tháng
D. 21 tháng
Giải:
8


a
)
a − Nr với a=5, N=100, r=0,007 ta có

Áp dụng công thức n =
5
log1,007 ( ) ≈ 21, 62
4,3
Số tháng Anh Long trả hết nợ là n=
tháng
log1+ r (

Vậy ta chọn đáp án B
Ví dụ 2: Một xe máy điện giá 10 triệu đồng bán trả góp 11 lần mỗi lần trả góp với
số tiền 1 triệu đồng (lần đầu trả xe sau khi nhận xe được 1 tháng ).Tính lãi suất
hàng tháng.[2]
A. 1,51%
B.1,62%
C. 1,73%
D.1,49%
Giải
Áp dụng công thức ta có phương trình (1+r)11-10r(1+r)11-1=0
Bằng phương án thử đáp án ta có r=1,62%
Ví dụ 3 ( Trích đề thi thử trường THPT Triệu Sơn 2 năm 2018 ) [1]
Ông A muốn mua một căn hộ trị giá 600 triệu đồng nhưng vì chưa đủ tiền nên ông
đã quyết định chọn mua hình thức trả góp với lãi suất là 8%/ năm và trả trước 50
triệu đồng ngay sau khi mua. Hỏi mỗi tháng ông sẽ phải trả số tiền là bao nhiêu để
sau hai năm ông hết nợ biết kỳ trả nợ đầu tiên sau ngày mua đúng một tháng(làm
tròn đến đơn vị nghìn đồng).
A. 24.875.010 đồng
C. 24.875.000 đồng
B. 24.876.000 đồng
D. 24.880.000đồng
Bài toán cơ bản 4: .(Rút tiền tiết kiệm theo định kỳ ) Một người gửi ngân hàng

với số tiền ban đầu là N, lãi suất là r%, a là số tiền hàng tháng người đó rút ra, sau
n tháng thì người đó rút hết tiền khi đó ta có công thức
N ( 1+ r ) r
n

a=

(1 + r ) n − 1

( về bản chất bài toán này giống bài toán 3 ở đây xem như ngân hàng là người vay
nợ) [2]
Ví dụ 1(Trích đề thi thử trường THPT Ba Đình năm 2018 ) [1]
Chị Hoa gửi ngân hàng với số tiền 300 triệu đồng với lãi suất 0,5%/tháng . Nếu
tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất chị rút ra mỗi tháng 5,5 triệu đồng . Hỏi sau bao
nhiêu tháng Chị Hoa rút hết tiền trong ngân hàng
A.64 tháng
B.63 tháng
C.62 tháng
D.65 tháng
Giải:
Áp dụng công thức
N ( 1+ r ) r
n

a=

(1 + r ) n − 1

Với N=300, r=0,005, a=5,5 ta được
Vậy ta chọn đáp án A

5,5 =

300(1, 005) n .0, 005
5,5
⇒ n = log1,005 ( ) ≈ 63,849
n
(1, 005) − 1
4
9


Ví dụ 2: (Trích đề thi HSG khu vực 2013) [2]
Một anh sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng số tiền là
8.000.000 đồng với lãi suất là 0,9%/tháng .Nếu mỗi tháng anh sinh viên đó rút ra
một số tiền là như nhau vào ngày trả lãi thì mỗi tháng anh ta phai rút ra bao nhiêu
để sau đúng 5 năm sẽ vừa hết số tiền cả vốn lẫn lãi trong ngân hàng.
Giải:
Gọi a là số tiền anh sinh viên rút ra hàng tháng
N ( 1+ r ) r
n

a=

8000000(1 + 0, 009)60 .0, 009
= 173142
(1 + r ) n − 1 ta được a=
(1 + 0, 009) 60 − 1

Áp dụng công thức

đồng
Ví dụ 3: ( Trích câu 44 đề số 7 trong bộ đề ôn thi THPTQG năm 2018) [5]
Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng. Hỏi nếu theo kỳ hạn 3 tháng với lãi
suất 1,65%/một quý thì sau 2 năm người đó nhận được số tiền ( triệu đồng) là bao
nhiêu?
A.10.(1,0165)8
B. 10.(0,0165)8
C. 10.(1,165)8
D. 10.(0,165)8
Giải:
Ta có : 2 năm=8 quý
Aps dụng công thức lãi kép số tiền người đó thu được là: 10.
(1+0,0165)8=10(1,0165)8
Ta chọn đáp án A
Bài toán cơ bản 5: Một người gửi vào ngân hàng với số tiền ban đầu là a, lãi suất r
%/kỳ. Sau n tháng người đó thu được số tiền được tính theo công thức [2]
Tn=a(1+r)n
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Yên Định 2 năm 2018) [1]
Ông A gửi tiết kiệm vào ngân hàng 300 triệu đồng, với loại kì hạn 3 tháng và lãi
suất 12,8% /năm. Hỏi sau 4 năm 6 tháng thì số tiền T ông nhận được là bao nhiêu?
Biết trong thời gian gửi ông không rút lãi ra khỏi ngân hàng ?

(
) (triệu đồng ).
A.
B. T = 3.10 . (1, 032) ( triệu đồng).
2
18
C. T = 3.10 (1, 032) (triệu đồng ).
D. Đáp án khác.

Giải:
Ta có 4 năm 6 tháng =54 tháng =18 kỳ (mỗi kỳ 3 tháng)
2
18
Số tiền Ông A nhận được sau 18 kỳ là : T = 3.10 (1, 032) (triệu đồng ).
Ta chọn đáp án C
Ví dụ 2: ( Trích đề thi thử trường THPT Nông Cống 1năm 2018 ) [1]
Vào 4 năm trước, chị Thương có gửi vào ngân hàng một số tiền là 20 triệu đồng
theo hình thức lãi kép có kỳ hạn. Số tiền hiện tại chị nhận được là 29,186792 triệu
đồng. Biết rằng, lãi suất ngân hàng tại thời điểm mà chị Thương gửi tiền là 0,8
%/tháng. Hỏi kỳ hạn k mà chị Thương đã chọn là bao nhiêu tháng?
A. k = 3 tháng
B. k = 5 tháng
C. k = 4 tháng
D. k = 6 tháng
T = 3.108 1, 032

18

8

54

10


Giải:
Gọi K tháng là kỳ hạn mà chị Thương gửi tiền ngân hàng
Lãi suất của mỗi kỳ là 0,8k%/kỳ
48

Thời gian gửi 4 năm =48 tháng = k kỳ
48

k
Áp dụng công thức lãi kép ta có : 29,186792=20 (1 + 0, 008k ) ⇒ k = 4

Vậy kỳ hạn mà chị Thương gửi ngân hàng là 4 tháng
Ví dụ 3( trích đề thi thử trường THPT Yên Định I lần 2 năm 2018 ) [1]
Ông A gửi 20.000.000 (đồng) vào ngân hàng loại kì hạn 6 tháng với lãi suất kép là
8,5% một năm. Hỏi sau 5 năm 8 tháng ông A nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn
lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết rằng ông A đó không rút vốn cũng như lãi
trong tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất
theo loại không kì hạn 0,01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày)
A. 32833110 (đồng)
B. 33083311 (đồng)
C. 31803311 (đồng)
D. 30803311 (đồng)
Giải:
Lãi suất 1 năm là 8,5% ⇒ lãi suất 6 tháng là 4,25%
Vì Ông A gửi tiết kiệm kỳ hạn 6 tháng nên sau 5 năm 6 tháng có 11 lần ông được
tính lãi
=> Số tiền ông nhận được sau 5 năm 6 tháng là:

( 1 + 0, 0425)

11

.20 = 31, 61307166

( triệu đồng)

Do ông rút trước kỳ hạn => 2 tháng cuối nhân lãi suất 0,01% mỗi ngày (2
tháng=60 ngày)
=> Số tiền cuối cùng ông nhận được là
31, 61307166. ( 1 + 0, 0001)

60

= 31,803311

( triệu đồng)
Ví dụ 4: (Trích đề thi thử trường THPT Yên Định I lần 1 năm 2018) [1]
Một người được lĩnh lương khởi điểm là 10 triệu đồng một tháng. Cứ sau 3 tháng
lương của anh ta lại được tăng thêm 6%. Sau đúng 2 năm làm việc anh ta lĩnh được
tất cả số tiền là T, giá trị của T gần với giá trị nào sau đây nhất?
A. 304 triệu đồng.
B. 305 triệu đồng. C. 297 triệu đồng. D. 296 triệu .
Giải:
Gọi a (triệu đồng) là lương khởi điểm và t là sau số tháng anh được tăng lương và
r = 6% . Số tiền người đó nhận được sau 2 năm là (2 năm =8x3tháng nên N=8)
 (1 + 0, 06) N − 1 
 (1 + 0, 06)8 − 1 
T = a.t. 
=
10.3.


 ≈ 297
0, 06
0, 06





triệu đồng

2.1.2.2. Các bài toán Sinh học
Ví dụ 1:(Trích đề thi thử trường THPT Vĩnh Lộc năm 2018) [1]
11


Quan sát một đám bèo phát triển trên mặt hồ thì thấy cứ sau một giờ, diện tích của
đám bèo lớn gấp 10 lần diện tích đám bèo trước đó và sau 9 giờ đám bèo ấy phủ
kín mặt hồ. Sau khoảng thời gian x (giờ) thì đám bèo ấy phủ kín một phần ba mặt
hồ. Tìm x ?
A. x = 3.

x=

9
.
log 3

x=

109
.
3

D.

x = 9 − log 3.

B.
C.
Ví dụ 2: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S=A.ert. Tong
đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng.
Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con .Hỏi sau
bao lâu số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi [3]
Giải:
Theo bài ra ta có
300=100e5r
⇒r=

1
ln 3
5

⇒ t=3,15. Vậy sau 3 giờ 9 phút lượng vi khuẩn
Yêu cầu bài toán 200=100et
tăng gấp đôi
Ví dụ 3: ( Trích câu 18 đề số 13 trong bộ đề ôn thi THPTQG năm 2018) [5]
Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 4.105. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu
rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét khối gỗ là bao
nhiêu ?
A.4.105.(1,4)5
B. 4.105
C. 4.105.(0,04)5
D.4.105.(1,04)5
Giair:
Aps dụng công thức lãi kép ta có số mét khối gỗ mà khu rừng thu được sau 5 năm

là : 4.105.(1+0,04)5=4.105.(1,04)5
Ta chọn đáp án D
2.1.2.3. Các bài toán về Địa lí
Ví dụ 1: Dân số một nước là 65 triệu người vào năm 2015 .Tính dân số nước đó
sau 15 năn nữa, biết mức tăng dân số hàng năm là 1,2%
[3]
Giải:
Áp dụng công thức lãi kép C=A(1+r)n ta được
C=65000000(1+0,012)15=77735795(Triệu người)
sau 25 năm nữa tức vào năm 2026 thì dân số Việt Nam là 120 triệu người.
Ví dụ 2(Trích câu 17 đề số 19 trong bộ đề ôn THPTQG năm 2018) [5]
Theo số liệu từ tổng cục thống kê , dân số Việt Nam năm 2015 là 91,7 triệu người.
Gỉa sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam trong giai đoạn 2015-2030 ở mức
không đổi là 1,1%, tính số dân Việt Nam năm 2030. Biết rằng công thức tính số dân
sau N năm là M.eNr, trong đó M là số dân hiện tại, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm
A. 91,7.e0,165(triệu người)
B. 91,7.e1,65( triệu người)
C.91,7.e0,011( triệu người)
D. 91,7.e0,11(triệu người)
0 , 2 ln 3

12


2.1.2.4.Các bài toán về vật lí
Ví dụ 1: (Trích đề KSCL lớp 12 của sở giáo dục Quảng Ninh năm 2017) [1]
Một loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận một lượng nhỏ CácBon
14.Khi cây đó chết đi thì hiện tượng quang hợp sẽ ngưng và nó sẽ không nhận
cacsbon14 nũa. Lượng cacbon14 của nó sẽ phân hủy chậm chạp và chuyển hóa
thành Nito14. Gọi p(t) là phần trăm Cácbon14 còn lại trong một bộ phận cây sinh

t
5750
trưởng t năm trước đây thì p(t) được cho bởi công thức p(t)= 100(0,5) (%)

Phân tích một gỗ từ công trình kiến trúc gỗ người ta thấy lượng cacbon14còn lại
trong gỗ là 65,21%. Hãy xác định số tuổi của công trình kiến trúc.
A.3574(năm)
B.3754(năm)
C.3475(năm)
D.3547(năm)
Giải:
100(0,5)

t
5750

= 65, 21 ⇒

t
65, 21
= log 0,5 (
) ⇒ t = 3547
5750
100
(năm)

Theo bài ra ta có :
Ta chọn đáp án D
Ví dụ 2:(Trích đề khảo sát lớp 12 của SGD Thanh Hóa năm 2018) [1]
Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn theo công thức hàm số mũ

ln 2
T , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời
điểm t = 0 ), m(t ) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t , T là chu kỳ bán rã
m(t ) = m0e − λt , λ =

(tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất
khác). Khi phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, các nhà khoa học thấy
14
rằng khối lượng cacbon phóng xạ 6 C trong mẫu gỗ đó đã mất 45% so với lượng

14
6

C

ban đầu của nó. Hỏi công trình kiến trúc đó có niên đại khoảng bao nhiêu năm?
14

Cho biết chu kỳ bán rã của 6 C là khoảng 5730 năm.
A. 5157 (năm).
B. 3561 (năm).
C. 6601 (năm).
Giải
Từ công thức m(t)=m0
0,55 = e

− ln 2
t
5730

e − λt , λ =

D. 4942 (năm).

ln 2
T và m(t)=0,55m0 ta suy ra

t
1 5730
⇔ 0,55 = ( )
⇒ t = 5730.log 1 0,55 ≈ 4942
2
2
(năm)

Ví dụ 3: (trích đề thi thử trường chuyên Hà Tĩnh năm 2017) [4]
Trong vật lí sự phân rã của các chất phóng xạ được tính theo công thức m(t)=m 0ekt

ln 2
, k= T trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ ,m(t) là khối lượng

của chất phóng xạ còn lại sau thời gian t , k là hệ số phóng xạ phụ thuộc vào từng
loại chất .Biết chu kỳ bán rã của 14 C là khoảng 5730 năm ( tức là một lượng 14 C
sau 5730 năm thì còn một nửa) người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng
13


các bon và xác định được là nó đã mất đi khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu của
nó. Hỏi mẫu đồ vật có tuổi bao nhiêu năm
A.2300 năm

B. 2378 năm
C. 2387 năm
D. 2400 năm
Giải:
Từ công thức m(t)=m0
0, 75 = e

− ln 2
t
5730

e − λt , λ =

ln 2
T và m(t)=0,75m0 ta suy ra

t
1 5730
⇔ 0, 75 = ( )
⇒ t = 5730.log 1 0, 75 ≈ 2378
2
2
(năm)

Vậy ta chọn đáp án B
2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Thực trạng khi đứng trước một bài toán thực tế về hàm số mũ- phương trình
mũ học sinh rất lúng túng không biết giải theo hướng nào và áp dụng công thức
nào? Một số học sinh có thói quen không tốt khi gặp những bài toán về thực tế học
sinh không chịu suy nghĩ mà cho rằng những bài toán này khó và thường bỏ qua

hoặc khoanh tù mù đáp án, tuy nhiên bài toán về thực tế nếu chúng ta được làm
quen nhiều và nắm được cách giải cho từng dạng toán thì những bài toán này vừa
ngắn gọn vừa đơn giản. Với tình hình thực tế như vậy để giúp học sinh không còn
bỡ ngỡ khi đứng trước các bài toán thực tế về hàm số mũ- phương trình mũ giáo
viên cần rèn cho học sinh luyện tập các dạng toán này để học sinh phân tích và có
lời giải đúng. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện
kỹ năng định hướng và giải toán.
2.3. Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề
1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay
nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó
yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán thực tế về
hàm số mũ- phương trình mũ.
3. Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức
của học sinh.
4. Trong mỗi bài toán thực tế đặc biệt các bài toán về lãi suất đều yêu cầu
học sinh thực hiện phân tích bản chất của bài toán.
5. Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong mỗi buổi học, tôi đã cung
cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập cơ bản về các dạng để cho học sinh tự
suy luận và tìm ra công thức cho bài toán gốc, Sau mỗi dạng là hệ thống các bài tập
nhằm củng cố kiến thức cho dạng toán đó.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
+ Từ những giải pháp nêu trên, bản thân tôi thấy các kết quả khả quan.
2.4.1.Đối với giáo viên
14


- Với SKKN này là nguồn tài liệu hay và bổ ích để ôn thi THPTQG cho học
sinh lớp 12

- Hình thành cho giáo viên phương pháp truyền tải kiến thúc mới linh hoạt vào
trong bài dạy
2.4.2. Đối với học sinh
-Việc tiếp cận các bài toán thực tế như bài toán về lãi suất , bài toán về sự phát
triển của vi sinh vật, bài toán về dân số ,bài toán về chất phóng xạ học sinh đã
không còn cảm thấy khó , không còn áp lực mà các em có thể tự tin làm được các
dạng toán này.
- Không khí lớp học sôi nổi, các em thấy hứng thú với việc tiếp cận vấn đề mới.
Chất lượng ôn thi THPTQG được nâng lên rõ dệt.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trước một bài toán, giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh tự giải, biết tìm
ra hướng đi đúng đắn. Bởi một số bài toán đòi hỏi phải sáng tạo, phải có tư duy
nhất định mới có thể giải được.
Biết trân trọng thành quả lao động sáng tạo của các nhà khoa học, giúp học
sinh hứng thú học tập bộ môn nhằm nâng cao chất lượng bộ môn toán và chất
lượng giáo dục hiện nay.
Hiện nay, đa số các thầy cô giáo cũng biết phương pháp này. Tuy nhiên ứng
dụng của nó hiện nay chưa được nghiên cứu một cách tổng thể. Do vậy tôi mong
rằng những kinh nghiệm nhỏ mình có thể giúp ích phần nào cho công tác giảng dạy
tại các trườngtrung học phổ thông.
3.2. Kiến nghị
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức cơ
bản, vận dụng được kiến thức để giải toán cần lưu ý một số nội dung sau:
Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu
tham khảo để hiểu rõ kiến thức cơ bản, kiến thức trọng tâm.
Biết phân loại, dạng bài tập phù hợp các đối tượng trong lớp, kiên trì uốn
nắn động viên, phát huy kiến thức học sinh đã có, bổ sung hoàn thiện kiến thức học
sinh thiếu, hổng trong từng tiết dạy.
Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thông qua các tiết

bài tập, bài kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng … điều chỉnh kịp thời nội dung giúp
học sinh dễ hiểu bài học.
Trước khi giảng dạy phần này nói riêng cũng như các nội dung khác nói
chung giáo viên cần bổ sung những nội dung kiến thức có liên quan để học tốt nội
dung mới.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân để phần nào giúp học sinh có
cái nhìn dễ dàng hơn về bài toán toán thực tế về chuyên đề hàm số mũ- phương
trình mũ mới được vận dụng nhiều vào các đề thi trắc nghiệm toán trong 2 năm
nay. Tôi cũng nhận thấy với sự hiểu biết có hạn, thời gian, không gian hẹp nên sáng
15


kiến này không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các
đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cám ơn!
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 14 tháng 4 năm 2018
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
Người viết

Nguyễn Hữu Tuấn

Trịnh Thị Lệ

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tuyển tập các đề thi thử của các trường trong tỉnh Thanh Hóa trong 2 năm 2017
và 2018 trong nhóm kín facebook TOÁN THPT THANH HÓA.

2. Phương pháp giải bài toán lãi suất ngân hàng, Mẫn Ngọc Quang.
3. Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam 2012.
4. 121 Bài toán trắc nghiệm thực tế của Nguyễn Bảo Vương tổng hợp và biên soạn
năm 2017
5. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG năm 2018 môn Toán , NXB Giáo dục Việt
Nam.

17