Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán thực tiễn bằng phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm một biến

A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình
thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động,
sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích văn
kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII). Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương
Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về Đề án
“Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa,
hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội
nhập quốc tế”. Trong những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới
mạnh mẽ cả về nội dung, phương pháp và đã thu được những kết quả khả quan.
2. Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo
những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học
không chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập. Luyện tập
ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúp
học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách
hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng
động sáng tạo.
3. Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương pháp
dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ...), các phương pháp trực quan, các phương pháp thực
hành, luyện tập.... đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết vấn đề, lý
thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, có
sử dụng máy tính đã tạo ra một không khí học tập hoàn toàn mới.
4. Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ
thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học
Toán ở trường phổ thông. Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay nhằm phát
huy tính tích cực của học sinh, qua đó khai thác tính chủ động tiếp thu và khám phá tri
thức của các em, tạo hứng thú trong học tập.
1

5. Với tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp để phù hợp
với giáo dục trong giai đoạn hiện nay. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông,
bản thân tôi cũng đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dưỡng học sinh
ôn thi vào Đại hoc, Cao đẳng trước đây và bây giờ là thi THPT Quốc Gia hay bồi
dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi, chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực của học
sinh còn nhiều hạn chế. Nhiều bài toán trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng, thi
THPT Quốc Gia, thi HSG mặc dù có thể áp dụng các kiến thức cơ bản và thêm một
chút sáng tạo là có thể giải được, thế nhưng đa số các em gặp khó khăn. Chúng tôi thấy
rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư duy sáng tạo và tìm mối liên hệ linh
hoạt giữa các phần kiến thúc cần được quan tâm hơn, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng
HSG, bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, thi THPT Quốc Gia trong các trường phổ
thông là việc làm rất cần thiết hiện nay.
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng các phương pháp giải phương trình, bất
phương trình vô tỉ trong trường phổ thông. Phân loại các dạng toán thường gặp trong
chương trình theo chuẩn kiến thức kĩ năng cũng như trong các kì thi THPT, thi HSG.
III. NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU
Trình bày đề tài thông qua hệ thống bài tập. Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài
toán trong một số tình huống cụ thể. Bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng giải toán và khả
năng sáng tạo tư duy.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập, Sách
tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG và các tài liệu liên quan.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và học
phần bài tập này.
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp.
4. Phương pháp thống kê.

2

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:
Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có
liên quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp, do đó người
làm toán phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài toán nào gần gũi với bài
toán này hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh điển với nội
dung: "Giải bài toán như thế nào trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một
điều kiện thiết yếu”.
Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các kiến
thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để từ đó trình bày
bài toán theo một thể thống nhất. Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà
trong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là những thao tác tư duy cần thiết
cho người làm toán.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Trong chương trình Toán cấp THCS và THPT học sinh thường gặp nhiều bài
toán về phương pháp tối ưu. Như vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thể giải tốt
được loại toán này? Để trả lời được câu hỏi đó bản thân học sinh cần có kiến thức và
nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết
tốt loại toán này lại là một vấn đề không dễ. Khi làm các bài tập dạng này đa số học
sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết
quả tốt, hoặc nếu có thì kết quả cũng không cao.
2. Với những đặc điểm như vừa nêu, tôi cũng đã nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tài
liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận các
bài toán tối ưu một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo các yêu cầu cần thiết
của đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn đối với một
trong những vấn đề khó ở trường phổ thông, bởi vậy tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học
sinh giải một số bài toán thực tiễn bằng phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm
một biến”. Tôi mong rằng qua đề tài này có thể góp phần làm tăng thêm khả năng tư

3


duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán... về các bài toán liên quan đến
GTLN, GTNN của hàm số mà đa phần các em gặp khó khăn.
III. NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
PHẦN 1.2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế liên
quan đến việc sử dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học.
Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng toán thường
gặp là gì? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải
quyết bài toán mà họ đã đặt ra?
Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình
toán học. Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước tiên ta
phải “thiết lập được hàm số”. Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây
Hình sau đây mô tả quá trình của việc mô hình hóa toán học cho một hiện tượng
trong thực tế
Bài toán
thực tế

Đưa vào công thức

Mô hình
toán học

Giải

Kết luận
toán học

Giải thích
cho thực tế

Dự đoán
cho vấn đề
thực tế

Kiểm tra lại

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho
mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô
hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa
chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số,
tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết
của đề bài.

4


Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế,
đời sống trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ta thiết lập hoàn
chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội dung đang
xét ta chỉ xét với tình huống 1 biến)
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài
toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu
được có phù hợp với bài toàn thực tế đã cho chưa.
Sau đây để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả sẽ lấy các ví dụ minh họa được trình

bày theo các chủ đề ứng dụng đạo hàm:
Bài toán 1. Từ một tấm lớn hình chữ nhật có kích thước là a �b với a  b . Người ta cắt
bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp.
Một cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn
nhất?
 Phân tích
 Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình vuông
cắt đi. Như vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x. Do khi đó 1 cạnh của
tấm nhôm sau khi bị cắt trở thành
a  2x  0 � x 

a
a
nên ta có 0  x 
2
2

 Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại là b  2x  0 . Đến đây
ta cần thiết lập công thức tính thể tích khối hộp V  x(a  2x)(b  2x)
 Bài toán trở thành tìm

max V(x)  ?

� a�
x��
0; �
� 2�

. Mời bạn đọc xem lời giải!
Hướng dẫn giải

 Gọi x là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện 0  x 

a
2

Khi đó thể tích hình hộp là V  x(a  2x)(b  2x)  4x 3  2(a  b)x 2  abx  V(x)
 Bài toán trở thành tìm

max V(x)  ?

� a�
x��
0; �
� 2�

5


Đạo hàm V '  f '(x)  12x 2  4(a  b)x  ab
Ta có  '  4(a  b) 2  12ab  4(a 2  ab  b 2 )  0 với mọi a, b
Do đó  '  0 luông có hai nghiệm phân biệt.
x1 

a  b  a 2  ab  b 2
a  b  a 2  ab  b 2
 x2 
6
6

ab
�
x1  x 2 
0
�
�
3
Theo định lý Vi-et, ta có �
�x .x  ab  0
�1 2 12

Suy ra 0  x1  x 2
a

a

a

�� �� 2
Hơn nữa, ta có V ' � � f ' � � a  ab  a(a  b)  0 . Do đó 0  x1   x 2
2
2
2
��

��

Bảng biến thiên
x
V '(x)

x1

0
+

0
Max

a
2


V(x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi
x  x1 

a  b  a 2  ab  b 2
6

 Bình luận: Qua bài toán bày ta cần lưu ý:
Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng. Chúng ta không nên
chỉ ghi x  0 theo cách hiểu số đo đại số là một số dương.
Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài toán này không
thể giải quyết tiếp được. Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng các kiến
thức đã học vào bài toán thực tế.
Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình V '(x)  0 cũng như lập bảng biến thiên của
V(x) không hề đơn giản chút nào, đòi hỏi ở người giải phải có kỹ năng tốt trong biến
đổi đại số.

6


Bài toán 2. Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tưởng và mặt đất,
ngang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ.
A. Xấp xỉ bằng 5, 4902m

B. Xấp xỉ bằng 5, 602m

C. Xấp xỉ bằng 5,5902m

D. Xấp xỉ bằng 6,5902m

 Phân tích

 Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình trên bằng hình vẽ sau. Để xác định được
độ dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo
hướng nào? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp. Đối với hình vẽ trên và
các quan hệ về cạnh, ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng thứ nhất là
phân tích AC  AB2  AC2 và hướng thứ hai là AC  AM  MC
 Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt HC  x  0 , đến đây chỉ cần
tính được AB theo x là đã có thể lập được hàm số f (x) biểu diễn độ dài AC.
MH  4
Nhưng bằng cách nào đây? ���
� Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong định lý

HC

MH

x

Thales thuận (MH / /AB) nên ta có: BC  AB  x  0,5 . Bài toán trở thành tìm
min f (x)  ?
7


 Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC  x  0 thì khi đó ta sẽ biểu diễn
độ dài AC  P(x)  Q(x) (việc khảo sát hàm này không đơn giản chút nảo). Do
đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận thấy
  R MCH  R AMK . Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn thuận lợi

vì khi đó MC  MH sin  và AM  MK cos  . Khi đó bài toán trở thành tìm
min g()  ?

Hướng dẫn giải.
HC

MH

x

 Đặt HC  x  0 � BC  x  0,5 . Theo định lý Thales ta có BC  AB  x  0, 5
Do đó ta có AB 

4(x  0,5)
x

Do ABC vuông tại B � AC2  AB2  BC 2  (x  0,5)2 
 Hay AC 

2

 x  0,5 

2

x

2

 16 

x2

. Đặt f (x) 

x 4  x3 

16(x  0,5) 2
x2

65 2
x  16x  4
4
(x  0)
x2

Bài toán trở thành tìm min f (x)  ? với x  0
65
65

� 3
�
�
�
4x  3x 2  x  16 �x 2  2x �x 4  x 3  x 2  16x  4 �
�
Ta có f '(x)  �
2
4
�
�
�
4
x
� f '(x) 

2x 4  x 3  16x  8
x3

x20
�
�
Cho f '(x)  0 � (x  2)(2x  1)(x  2x  4)  0 � � 1
x    0(loai)
�
2
2

Lập bảng biến thiên ta có:
x

0

2

�
f '(x)





0

f(2)
f (x)  f (2) 
Dựa vào bảng biến thiên ta có min
x 0
8

125
4


Do đó ta có min AC 

125 5 5

�5,5902
4

2

Đáp án C
� �
Cách khác: Đặt x  R ACB ��0; �
� 2�

Khi đó ta có AC  AM  MC 
Đặt g(x) 
g '(x) 

KM MH
1
4



cos x sin x 2 cos x sin x

1
4
min g(x)  ?
�

. Bài toán trở thành tìm x��
0; �
�
2 cos x sin x
� 2�

8cos3 x  sin 3 x
, g '(x)  0 � tan x  2 � x o  acr tan(2) �63o 26 '6 ''
2sin 2 x cos 2 x

min g(x)  g(x o ) �5,5902m
�
Lập bảng biến thiên ta suy ra ACmin � x��
0; �
�
� 2�

Đáp án C
 Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, quả thật dù giải theo cách nào, ta cũng gặp phải một số khó khăn nhất định
khi giải tìm nghiệm của phương trình f '(x)  0 hay g '(x)  0 . Dựa theo cách thi trắc
nghiệm ta có thể thử 4 phương án từ đáp án để tìm nghiệm (bằng chức năng CALC
của máy tính cầm tay) sau đó kiểm tra qua f '(x)  0 hay g '(x)  0 .

Hai là, ngoài việc sử dụng “ứng dụng đạo hàm” để tìm GTLN – GTNN của hàm số
1�
�
này, ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức. Giả sử đặt AB  b, BC  a �b  0, a  �
�

x
a

y
b

Dựng hệ trục Bxy (BC �Bx, BA �By) . Ta có AC :   1
1
�2

� �
Khi đó M � ; 4 ��AC �
�

1 4
 1
2a b
9

2�


2
2
2
Bài toán trở thành tìm min AC  min  a  b  thỏa

1 4
1
 1 ,a  ,b  4
2a b
2

(việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc!)
Ba là, ta có: f (x) 

x4  x3 

65 2
x  16x  4
� 16 � � 4 � 65
4
 �x 2  � �x  2 �
2
x
x �� x � 4
�

8 8 x x 4 65 Cauchy
65 125
� f (x)  x 2      2 
� 3.4  3 

2 42
2 43
x
4
4
4
1 4 2x 43x 1
�3 3 82

�3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  2
Bài toán 3. Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V (

m3 ) không đổi, hệ số k  0 cho trước (k là tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng

của đáy). Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu
nhất?
 Phân tích:
 Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều
rộng của đáy và chiều cao của hình hộp ta hoàn
toàn có thể biểu diễn được độ dài theo 1 biến.
 Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán “tiết kiệm
nguyên vật liệu nhất là gì?” Đó chính là làm sao
cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tích
nhỏ nhất hay diện tích toàn phần của khối hộp nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
 Gọi x, y (0  x  y) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáp hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga (h  0)
 Theo đề bài ta có h  kx và V  hxy � y 

V
V
 2
hx kx

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn
phần của hố ga là nhỏ nhất.
Khi đó ta có: Stp  2xh  2yh  2xy  2x(kx)  2(kx).
10

V
V
 2x 2

2
kx
kx


�k  1 �
�k  1 �
2�
V
2� �
V
�
f
(x)
Suy ra S  2kx 2  � k � Xét hàm số
k �
2
�
 2kx 
tp
x
x

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) với x  0
�k  1 �
2� �
V
(k  1)V
2k 2 x 3  (k  1)V , cho f '(x)  0 � x o  3
0

k �
�
f '(x)  4kx 
2
2k 2
2
2
x
kx

Lập bảng biến thiên ta có
x

xo

0
�

f '(x)



0



f(x)
f (x o )
� (k  1)V �
�

2
�
� 2k
�

3
f (x)  f �
Dựa vào bảng biến thiên ta có min
�
x 0

Khi đó y  3

4kV
k(k  1)V
3
2 và h 
(k  1)
2

 Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, ta có thể sử dụng bất đẳng thức để tìm min Stp
�k  1 � �k  1 �
�k  1 �
V � �
V
2�
V
� �
�

2(k  1)V 2
k � �k �
k �
2
�
2
�
3

2kx


�
3
Stp  2kx 
x
x
k
x
�k  1 �
V
�
Khi đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2kx 2  �
�k � �x 
x

11

3

(k  1)V
2k 2


Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa yêu cầu bài toán trên ta đi đến quan hệ tỉ lệ giữa

�
(k  1)V
�x  3
2k 2
�
�
4kV
2kx
2h
�
�y

chúng là �y  3
2
(k  1)
k 1 k 1
�
�
k(k  1)V
�
h3
�
2

Ba là, cũng từ bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết V  const và thay thể y  kx hay
h  ky (k là tỉ số giữa các kích thước của hình hộp) thì liệu rằng bài toán có thay đổi?

Câu trả lời là kết quả vẫn tương tự như khi ta khảo sát với h  kx . Do đó
V  const
�
2kx
2y
x,y,h  ?
����
min Stp  ? � h 

k 1 k 1
�y  kx, k  0

Nếu �

�V  const
2ky
2h
x,y,h  ?
����
min Stp  ? � h 

k 1 k 1
�y  ky, k  0

Nếu �

Bài tập tương tự 1. Cần phải xây dựng một hố ga có dạng hình hộp chữ nhật có thể

tích V ( m3 ) , có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của cạnh đáy. Hãy xác định các kích
thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp
�V  kxy
6x 2h
x,y,h ?
����
min Stp  ? � y 

4
4
�y  3x, k  0

Dựa vào bài toán 3, ta có �

Như vậy khi đó chiều cao sẽ gấp 2 lần chiều dài hình hộp.
Bài toán 4: Giả sử bạn là chủ của một xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng
là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít. Để tốn ít nguyên vật
liệu nhất, bạn sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước trong các giá trị dưới đây?
A. 0,3 mét

B. 0,4 mét

C. 0,5 mét

Phân tích :
Ta đặt ra 1 số câu hỏi định hướng như sau :
Một là. Làm sao để tốn ít nguyên vật liệu nhất ?
12

D. 0,6 mét


Hai là, có thể tổng quát bài toán này lên không ?
Ta nhận thấy để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích xung quanh của phần vỏ bao bên
ngoài bồn chứa nước cùng với diện tích của đáy và nắp phải nhỏ nhất. Hay chính xác
hơn ta cần tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất ứng với thể tích mà đề bài cho.
2
Mà ta đã biết Stp  S xq  2Sday  2 rh  2 r (với r, h lần lượt bán kính đáy và chiều cao

của bồn nước hình trụ). Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo 2 biến r và h. Và đến đây
ta hiểu vì sao đề bài lại cho sẵn dung tích V   r 2 h  const tức là đang cho mối liên hệ
giữa bán kình đáy r và chiều cao h của hình trụ. Từ V  r 2 h � h 

V
r 2

Như vậy ta cso thể tìm min Stp phụ thuộc theo 1 trong 2 biến r hoặc h. Và ta thấy nên
tổng quát bài toán này lên thành V = const thay vì chỉ xét riêng lẻ trường hợp V  20
(lít)
Hướng dẫn giải
Gọi r, h (r,h>0) lần lượt bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi đó ta có
V  r 2 h � h 

V
r 2

Để ít tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r sao cho diện tích toàn phần của khối trụ nhỏ
nhất

2
2
Do đó Stp  2r  2rh  2r  2r

Xét hàm số f  t   r 2 
Ta có: f '  r   2r 

V
�2 V �
 2 �
r  �
2
r
� r �

V
f  r  ?
. Bài toán trở thành tìm min
r 0
r

V
V
4V
, f ' r  0 � r  3
�h  3
2
r
2


Lập bảng biến thiên, ta có

r
f’(r)
f(r)

0

3

-

0

V
2

�

+

13


� V �
3
f�
� 2 �
�

�
�
� V �
�
�
� 2 �

3
f  r  f �
Dựa vào bảng biến thiên, ta có min
�
r �0

� 4V � � 4.20 �
3
�
� �
�  �
��2,94  dm   0, 29m. Đáp án A

�
��
�

3
Khi đó h  f �
�

Bình luận: ngoài cách sử dụng đạo hàm, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy
V �

V2
�2 V �
�2 V
3
Stp  2 �
r  � 2 �
r 

�r
��23
4 2
� r �
� 2r 2r �

3

V
�h
2

3

4V


Thay V = 20 vào ta được h �2,94  dm   0, 29  m  . Ta chọn đáp án A.
h
Đồng thời với việc tổng quát bài toán trên, ta nhận thấy, 
r

3

3

4V
  2 � h  2r
4V
2

Bài toán 5. Màn hình TV đặt thẳng đứng tại một sân
vận động, cao 2,4m, cạnh thấp nhất nằm phía trên tầm
mặt khán giả A ngồi dưới nó là 8,5m. Một khán giả B
có góc quan sát TV là thuận lợi nhất khi góc đối diện
với màn hình TV là cực đại, khi đó khoảng cách giữa
khán giả A và B là bao nhiêu?
 Phân tích:
 Do đề bài yêu cầu góc quan sát  thuận lợi nhất (tức lớn nhất) nên ta tìm cách
biểu thị khoảng cách x theo góc  .
 Một nhận xét quan trọng là max  � max(tan ) , lại có   2  1 nên ta thử tính
2, 4  8,5 8,5
2, 4

tan 2  tan 1
2, 4
x
x 
x
tan(2  1 ) 



1  tan 2 tan 1 1  2, 4  8,5 . 8,5 1  1853 x  1853
x
x
20x 2
20x
g( x )

g(x)  ?
 Đến đây, bài toán trở thành tìm min
x 0

Hướng dẫn giải
14


Gọi x là khoảng cách từ khán giả B đến khán giả A
Ta thấy rằng yêu cầu bài toán chính là xác định max  để từ đó suy ra khoảng
cách x  ?
2, 4  8,5 8,5
2, 4

tan 2  tan 1
2, 4
x
x
x
Ta có tan   tan(2  1 )  1  tan 2 tan 1  2, 4  8,5 8,5  1853  1853
1
.
1

x
x
x
20x 2
20x
g( x )

Ta thấy rằng max  � max(tan ) � min g(x)
Đặt g(x)  x 

1853
g(x)  ?
. Bài toán trở thành tìm min
x 0
20x

Ta có: g '(x)  1 

1853
1853
, g '(x)  0 � x o 
�9, 63
2
20x
20

Lập bảng biến thiên
x

a

g '(x)



xo

0

�


g(x)
min
� 1853 �
�
�thỏa yêu cầu bài toán
� 20 �

g(x)  g �
ta suy ra min
�
x 0

 Bình luận: Có vài điều ta cần lưu ý khi giải với các bài toán liên quan đến góc là
Một là, trong các tỉ số lượng giác thì max   max sin  � max tan  với 0    10o
Hai là, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm tìm nhanh giá trị
max g(x) như sau: g(x)  x 

Dấu “=” xảy ra � x 

1853 Cauchy
1853
1853
�2 x
2
.
20x
20x
20

1853
1853
�x
20x
20
tan   tan 

2
1
Ba là, việc sử dụng công thức tan   tan(2  1 )  1  tan  tan  giúp ta chuyển
2
1

bài toán từ việc tìm góc sang tìm cạnh (đúng với tinh thần đặt ra của câu hỏi).Hai
bài tập tương tự dưới đây sẽ giúp các bạn rèn luyện và củng cố thêm cho mình.
15


Bài tập tương tự 1: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với

tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất
phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Xác
định vị trí đó?
Hướng dẫn giải
Với bài toán này ta cần xác định
OA  ? � R BOC � max

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tan R BOC � max
Đặt OA  x(m), x  0
Ta có tan R BOC  tan  R AOC  R AOB 
AC AB

1, 4x
tan R AOC  tan R AOB
,x  0

 OC OA � f (x)  tan R BOC  2
x  5, 76
1  tan R AOC.tan R AOB 1  AC.AB
OA 2

Bài toán trở thành tìm x  0 để f (x) đạt giá trị lớn nhất
f '(x) 

1, 4(x 2  5, 76)
x 0
, f '(x)  0 � x 2  5, 76 ���
x  2, 4
2
2

(x  5, 76)

x

2, 4

0
�

f '(x)

+

0



84
193

f(x)

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất cách màn ảnh
2,4m.
Bài toán 6. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t)  6t 2  t 3  9t  1,s tính theo
mét, t tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận tốc của chuyển
động đạt giá trị lớn nhất là:
A. t  3

B. t  1

C. t  2

D. t  4

 Phân tích:
 Với kiến thức vật lý đã học, ta biết v(t)  s '(t) . Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong
5 giây đầu tiên t � 0;5 thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học
16


Hướng dẫn giải
v(t)  s '(t)  12t  3t 2  9, v '(t)  6t  12, v '(t)  0 � t  2

Lập bảng biến thiên ta có:
t
v '(t)

0

2
0
3

+



5

v(t)
v(t)  v(2)  3
Dựa vào bảng biến thiên ta có max
t� 0;5



Bình luận: Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý rất đa dạng nhưng đặc biệt thể

hiện rõ nét nhất chính là qua các bài toán chuyển động khi liên quan đến các đại lượng
quãng đường, vận tốc và thời gian. Không chỉ riêng ở các bài toán chuyển động như
vậy, ta còn bắt gặp các ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở các bài toán khác. Mời bạn
đọc tiếp tục theo dõi các bài toán tiếp theo sau để hiểu rõ hơn.
Bài tập tương tự 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là
s(t) (km) là hàm phụ thuộc theo biến t(giây) tuần theo biểu thức sau:
s(t)  e t

2

3

 2te3t 1 (km) . Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu

thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?
A. 10e 4 (km / s) B. 5e 4 (km / s)

C. 3e4 (km / s)

D. 9e 4 (km / s)

Hướng dẫn giải
v(t)  s '(t)  2te t

2

3

 2e3t 1  6te3t 1 � v(1)  2e 4  2e 4  6e 4  10e 4 (km / s)

Bài tập tương tự 2: Cho phương trình chuyển động của một chất điểm
s  f (t)  t 3  6t 2  9t , với đơn vị đo của t là giây, của s là mét. Khi nào chất điểm

đứng yên biết rằng biểu thức của phương trình v(t) tại điểm t biết rằng v(t)  f '(t) ?
Hướng dẫn giải
Theo đề bài ta có: v(t)  f '(t)  3t 2  12t  9
t 1
�
t 3
�

2
Chất điểm đứng yên khi v(t)  0 � 3t  12t  9  0 � �

17


Bài toán 7. Khi cá hồi bơi với tốc độ v (km/h) ngược dòng nước, năng lượng sản ra
của nó trên một đơn vị thời gian là v3 (J) , đơn vị là Jun. Người ta thấy rằng khi cá di
cư cố gắng cực tiểu hóa năng lượng tổng thể để bơi một cách nhất định. Nếu vận tốc
dòng nước là a (km/h) thì thời gian cần bơi được khoảng cách L là

sản ra là E(v)  qv3

L
và năng lượng
va

L
trong đó q là hằng số dương. Để giảm thiểu tối đa năng lượng
va

khi bơi quãng đường L thì tốc độ v cần thỏa mãn
A. v 

a
2

B. v 

3a
2

C. v 

5a
2

D. v 

 Phân tích: Do bài toán đã cho ta sẵn hàm E(v)  qv3

7a
2

L
nên ta có thể ứng dụng
va

đạo hàm tìm min của E. (lưu ý v > a)
Hướng dẫn giải
E(v)  qv3

L
3v 2 (v  a)  v3
v 2 (2v  3a)
� E '(v)  q

q
, v  a
va
(v  a) 2
(v  a) 2

E '(v)  0 � v 

3a
. Lập bảng biến thiên ta thấy
2

v
E '(v)

E(v)

0


3a
2

0

�


27 3
a
4

�3a � 27 3
Dựa vào bảng biến thiên ta có: min E(v)  E � � a
�2 � 4

 Bình luận: Trong thực tế, khi khảo sát việc bơi ngược dòng của những chú cá
này, ta thấy tốc độ của chúng gấp gấn 1,5 lần tốc độ của dòng nước.
Bài tập tương tự 1: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức
f (v) 

290, 4v
(xe/giây), trong đó v(km / h) là vận tốc trung bình của các
0,36v  13, 2v  264

2

18


xe khi vào đường hầm. Tính vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm sao
cho lưu lượng xe là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
f (v) 

290, 4v
0,36v 2  264
�
f
'(v)

290,
4
,v  0
0,36v 2  13, 2v  264
(0,36v 2  13, 2v  264) 2

f '(v)  0 � v 

264 10 66

�27, 08(km / h)
0, 6
3

Lập bảng biến thiên ta có:
v

10 66
3

0

f '(v)

+

f(v)

0
max

�


Bài tập tương tự 2: Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng
AB bằng 1km và một kho hàng được đặt tại vị trí C
cách B một khoảng 1km. Người canh giữ hải đăng có
thể chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển nằm
giữa B và C với vận tốc 3 km/h, sau đó đi bộ đến vị trí
C với vận tốc 5 km/h. M cần cách B một khoảng ngắn
nhất bằng bao nhiêu để thời gian người đó đi đến kho
hàng nhanh nhất?
Hướng dẫn giải
Đặt x  BM(km) . Điều kiện: 0 �x �2

Suy ra quãng đường AM  1  x 2 và quãng đường MC  2  x
Thời gian người canh hải đăng chèo đò đi từ A đến M là t AM 
Thời gian người canh hải đăng đi bộ từ M đến C là t MC 

2x
5

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là t  t AM  t MC 

19

1 x2
3

1 x2 2  x

3
5


Xét hàm số f (x) 

1 x2 2  x
trên đoạn  0; 2

3
5

f (x)  ?
Bài toán trở thành tìm xmin

� 0;2

Ta có

f '(x) 

Ta có f  0  

1
3 1 x2 

1
5

, f '(x)  0 � 1  x 2 

5
4
� x  � 0; 2 
3
3

11
5
�4 � 31
�0, 73;f � �
�0, 68, f (2) 
�0, 75
15
3

�3 � 45
4
3

Vậy yêu cầu bài toán � x  BM  km

PHẦN BA: KẾT LUẬN
1. Kết quả đạt được

20


Sau một thời gian giảng dạy như trên tôi thấy đã thu được những kết quả hết sức khả
quan: Đa số học sinh tiếp thu được kiến thức cơ bản.
Nhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạng
bài tập cơ bản cũng như bài tập vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạo
Nhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạng
bài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạo.
Nhiều kĩ năng về giải quyết bài toán, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạng
bài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành Tinh
thần học tập của các em học sinh khi được nghiên cứu phần này tăng lên đáng kể, các
em hứng thú hơn trong việc tìm tòi, khám phá các lời giải, đồng thời tạo ra một động
lực để thúc đẩy trong việc nghiên cứu tiếp thu các phần kiến thức khác.
Kết quả học phần này được nâng lên rõ rệt. Trong các bài thi kiểm tra định kỳ, bài
thi học kỳ, bài thi THPT có nhiều em đạt điểm 10 môn Toán, có nhiều em đạt kết quả
điểm thi THPT với điểm số rất cao.
Trên cơ sở của chuyên đề này cùng với sự đồng ý của Ban giám hiệu nhà trường, tổ
chuyên môn ,tôi đã tiến hành thực hiện nội dung chuyên đề nêu trên của mình trên ba
năm liên tục, đó là các lớp 12A1, 12A5 (năm học 2015 - 2016), các lớp 12A1, 12A2,
(năm học 2016 - 2017) và các lớp 12A1,12A8 năm học 2017 - 2018), (Tổng số học sinh

bình quân là 90), kết quả thu được trong các kì thi thử THPT Quốc Gia ở trường với bảng
số liệu sau:

Số em tham Đạt điểm Đạt từ 5,0 Đạt từ 6,5 Đạt từ 7,5 Đạt trên
gia làm bài thi

dưới 5,0

đến 6,5

đến 7,5

đến 8,5

8,5

Thi lần 1

10

20

20

22

18

Thi lần 2

7

20

23

20

20

Thi lần 3

5

20

25

22

28

2. Bài học kinh nghiệm:
Nắm vững chuyên môn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả năng bao quát kiến
thức, có tinh thần trách nhiệm trong công việc.
21


Trong công tác giảng dạy cần đổi mới phương pháp dạy học, tìm ra phương pháp
phù hợp cho nội dung bài học. Trước khi lên lớp cần có sự nghiên cứu kĩ nội dung

chương trình, đặc biệt là tình hình học sinh để đưa ra bài học sát với khả năng của học
sinh, chọn lọc hệ thống bài tập phù hợp, có sự hướng dẫn hợp lý, dễ hiểu để học sinh
vận dụng được tốt.
Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện bài viết một cách cẩn thận nhất, song vẫn
không tránh khỏi những sai sót, rất mong các cấp chuyên môn đóng góp ý kiến bổ sung
để chuyên đề ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn nữa. Cũng rất mong được sự góp ý
của quý đồng nghiệp để chúng tôi có dịp được trau dồi và tích lũy kiến thức nhằm hoàn
thành tốt nhiệm vụ giáo dục được giao.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Lê Đức Trung

22