Giải pháp giúp học sinh pháp huy khả năng giải bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong kỳ thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT HUY KHẢ NĂNG
GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Lại Văn Dũng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2018

1


`
MỤC LỤC
NỘI DUNG
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm.

2.3. Các biện pháp thực hiện
2.3.1. Một số tính chất cần nhớ
2.3.2. Các giải pháp
2.3.3. Bài tập tham khảo
2.4. Kết quả thực hiện
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Danh sách các đề tài SKKN đã được đánh giá, xếp loại của
Sở GD$ĐT Thanh Hóa
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
1
2
3
3
4
4
5-12
12-15
16
17
17
19
20

2

1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy môn toán, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo,
từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho
chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết, học sinh còn gặp nhiều
khó khăn ở một số nội dung trong chương trình môn toán. Nhiều học sinh học về
các chủ đề liên quan đến hàm số còn yếu, trong đó có nội dung về sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số. Học sinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong
quá trình giải toán. Đặc biệt năm học 2017- 2018, là năm học thứ 2 thực hiện thi
trắc nghiệm môn toán trong kỳ thi THPT Quốc gia, nhiều nội dung đề thi nằm
trong chương trình lớp 12 với các câu hỏi phát huy khả năng vận dụng kiến thức
của học sinh. Nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số là nội dung
quan trọng được đề cập nhiều trong đề thi THPT Quốc gia năm 2017, đề thi
minh họa năm 2018[5] và trong các đề thi thử ở các trường THPT trên toàn quốc
với mức độ từ dễ đến khó.
Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,
cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác
nhiều chuyên đề về hàm số. Trong SKKN này tôi xin chia sẻ : ‘‘Giải pháp giúp
học sinh phát huy khả năng giải bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong
kỳ thi THPT Quốc gia ”.
Đây là một nội dung quan trọng, hay trong chương trình giải tích lớp 12 nên đã
có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say
sưa nghiên cứu và học tập. Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận và quy lạ về
quen đối với bài toán này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho
người đọc. Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết, làm
các em hiểu sâu hơn về bài toán và yêu thích chủ đề về tính đơn điệu của hàm số

trong giải tích lớp 12.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọc
nắm được cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, đồng thời giúp cho học sinh
một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải
quyết các bài toán, hình thành cho các em thói quen tìm tòi tích lũy và rèn luyện
tư duy sáng tạo, chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Chúng tôi tập trung nghiên cứu về định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến
của hàm số, nghiên cứu về cách tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và mối quan

1


hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong phạm vi của đề tài, chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp
như: phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợpđánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải... và
một số phương pháp khác như phương pháp quy lạ về quen, sử dụng máy tính
để hổ trợ tìm đáp án trong câu hởi trắc nghiệm khách quan.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung số của giải tích
12 [1]. Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận,
liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết dạy

bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến
khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính
tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt
những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng
vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời
giải. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt .Trong quá trình giảng
dạy nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong giải tích lớp 12 của
trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên, tôi thấy kỹ năng giải bài toán của học sinh
còn yếu, đặc biệt là những bài toán thiết lập mối liên hệ giữa tính đơn điệu của
hàm số y=f(x) và đồ thị y=f’(x), bài toán chứa tham số. Do đó cần phải cho học
sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài
giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình
thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ
năng làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể
được trong kiểm tra, đánh giá và kỳ thi THPT Quốc gia.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số học sinh là nội dung
không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Học sinh thường gặp khó khăn khi
gặp những bài toán chứa tham số hoặc những bài toán với yêu cầu đọc hiểu đồ
thị. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài
toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác
các yếu đặc trưng của bài toán để tìm lời giải, học sinh phải được là quen với
việc đọc hiểu đồ thị. Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về
quen, kỹ năng đọc hiểu đồ thị.
Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán về sự
đồng biến, nghịch biến của hàm số cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp
học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo
của bản thân, tự tin giải quyết được những câu khó trong đề thi, chuẩn bị tốt cho
kỳ thi THPT Quốc gia.
Vậy với đề tài này, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày

càng vận dụng tốt các kiến thức để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài
toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số một cách chính xác và nhanh nhất
Đặc biệt là áp dụng những giải pháp để làm những câu hỏi dưới hình thức trắc
nghiệm về tính đơn điệu của hàm số.

3


2.3. Các biện pháp thực hiện
2.3.1. Một số kiến thức cần nhớ [1]
a) Một số nhận xét từ định nghĩa về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
*) Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị đi lên từ trái sang phải trên
khoảng đó
y

x
O

a

b

*) Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải
trên khoảng đó
y

O

a

b

x

b) Mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm
*) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K
Nếu f’(x)≥ 0 với ∀x∈ K và f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng
biến trên K.
Nếu f’(x)≤ 0 với ∀x∈ K và f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số
nghịch biến trên K.
c)Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
*) Tìm tập xác định
*) Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm và những điểm mà đạo hàm không
xác định.
*) Lập bảng biến thiên
*) Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
d)Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y=f(x) và đồ thị hàm
số y=f’(x)
Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía
trên trục hoành trên khoảng đó. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì
đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía dưới trục hoành trên khoảng đó
2.3.2. Các giải pháp
a) Giải pháp 1: Vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số[2].
Trong giải pháp này giáo viên cần ôn lại các bước tìm khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số; giáo viên cần cho học sinh làm quen với nhiều loại hàm số;

4


giáo viên cần xây dựng các ví dụ đa dạng, có ví dụ ở dạng tự luận, có ví dụ ở

dạng trắc nghiệm để học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm
số và dấu của đạo hàm là một phần quan trọng trong nội dung này và trong kỳ
thi THPT Quốc gia.
Ví dụ 1: Hàm số y =
A. ( −1; +∞ )

x+2
đồng biến trên các khoảng
1− x
B. R
C. ( −∞;1) và ( 1; +∞ )

D. R \ { 1} .

3

HD: y ' = (1 − x) 2 >0 với mọi x∈ R \ {1} . Đáp án C
Ví dụ 2: Các khoảng đồng biến của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3 là
A. ( −1;3)
B. ( −∞; 0 ) và ( 2; +∞ )
C. (−∞ ;0) ∪ (2;+∞) D. ( 0; 2 )
HD: y’=3x2-6x. Đáp án B
Ví dụ 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?
A. y = − x3 + 1

C. y =

B. y = x 2 − x

x

x+2

D. y = 2 x − cos x

HD: Đáp án D
Trong 3 ví dụ trên, giáo viên ngoài việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quy
tắc xét tính đơn điệu của hàm số mà còn cho học sinh nắm vững định nghĩa hàm
số đồng biến, nghịch biến. Đó là học sinh phải nhận thức được rằng hàm số
đồng biến, nghịch biến trên K thì phải xác định trên K và chỉ có khái niệm hàm
số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, không có khái niệm hàm số đồng biến,
nghịch biến trên hợp các khoảng.
Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x) có tập xác định là R và đạo hàm f’(x)=x(x-1)2(x+2).
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=g(x)=f(x2-2).
HD: g’(x)=2xf’(x2-2)=2x3(x2-2)(x2-3)2. Lập bảng xét dấu g’(x)
x
y’

−∞

− 3

-

0

− 2

-

0

0
+ 0

- 0

+∞

3

2

+

0

+

Vậy hàm số y=g(x) đồng biến trên các khoảng (− 2 ;0) và ( 2 ;+∞)
hàm số y=g(x) nghịch biến trên các khoảng (−∞ ;− 2 ) và (0; 2 )
Trong ví dụ trên, giáo viên ngoài việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quy tắc
xét tính đơn điệu của hàm số, cách xét dấu biểu thức mà còn cho học sinh nắm
vững cách tính đạo hàm của hàm hợp.
b) Giải pháp 2: Dựa vào đồ thị của hàm số để xác định tính đơn điệu[3].
Trong giải pháp này, giáo viên cần làm cho học sinh biết đọc hiểu đồ thị, biết
thiết lập được mối liên hệ giữa khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và đồ
thị của nó. Từ đó học sinh sẽ hiểu sâu và nhận biết, vận dụng vào bài toán dễ
dàng hơn; học sinh sẽ có động lực nghiên cứu, đam mê và yêu thích nội dung
này.
Ví dụ 5: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 1. Tìm khoảng đồng biến,

nghịch biến của hàm số?

5


y
4

HD: Qua hình 1 ta thấy: đồ thị hàm
số đi lên trên khoảng (−∞ ;−1) và (1;+∞) ;
đồ thị đi xuống trên khoảng
(-1;1).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
(−∞ ;−1) và (1;+∞) .
Hàm số nghịc biến trên khoảng (-1;1).

-1 O

1

x

(hình 1)

Ví dụ 6: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào sai?
A. f (c) > f (a) với cC. f (b) > f (d ) với d>b

B. f (a) < f (0) < f (b)

D. f (a) > f (e) > f (b) với ay

a

O

b

x

(hình 2)
HD: Đáp án D
Ví dụ 7: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm
số f(x) trên đoạn [-2;3] biết f(3)+55f(1)=55f(0)+f(-2).
y
HD: f(3)+55f(1)=55f(0)+f(-2) nên
- 2 -1 O 1
x
⇒
f(3)-f(-2)=55(f(0)-f(1))>0 f(3)>f(-2)>f(- 2 )=f(0)
Dựa vào đồ thị ở hình 3 của hàm số y=f(x) ta lập bảng
biến thiên của hàm số f(x) trên đoạn [-2;3]
(hình 3)
x
y’

−∞

-2

-1

0

- 0

+ 0

f(-2)

f(0)

1
-

0

3

+∞

+
f(3)

y
f ( x) = f (3) .
Do f(3)>f(-2)>f(0) nên xMax
∈[ − 2;3 ]

6


Trong 3 ví dụ này, học sinh phải nhận thức được đồ thị đi lên trên khoảng K thì
ứng với hàm số đồng biến trên K và đồ thị đi xuống trên khoảng K thì ứng với
hàm số nghịch biến trên K. Ngoài ra thông qua ví dụ giúp học sinh nắm vững
định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên K.
c) Giải pháp 3: Khai thác từ đồ thị của hàm số y=f’(x)[5]
Thông qua giải pháp này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích,
quy lạ về quen, từ đồ thị hàm số y=f’(x) đã cho xác định được dấu của f’(x) và
thông qua đó xác định được khoảng đồng biế, nghịch biến. Trong giải pháp này,
giáo viên nên đưa ra các ví dụ từ mức độ đơn gian đến phức tạp để học sinh sẽ
nhận dạng được, hiểu sâu hơn, tự tin khi gặp bài toán tương tự.
Ví dụ 8: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình 4. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
y
A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;1)
B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;2)
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1)

-2

O

2

x

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2)
(hình 4)

HD: Từ đồ thị ở hình 4, ta lập được bảng xét dấu của f’(x)
x
f’(x)

−∞

-2
-

0

0
+

0

+∞

2
-

0

+

Đáp án D
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm nghiệm của f’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x) và trục hoành.

- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trên trục hoành
(f’(x)>0) và dưới trục hoành (f’(x)<0).
- Lập bảng xét dấu f’(x)
Ví dụ 9: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình 5, đặt g(x)=f(x)+4x. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-1;2)
B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng ( − ∞ ;2)
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2;+ ∞ )
D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;+ ∞ )
HD: g’(x)=f’(x)+4.
Từ đồ thị ở hình 5, ta lập được bảng xét dấu của g’(x)
y

7


-1

O

2

x

-4
(hình 5)
x
g’(x)

−∞

-1
+

0

+∞

2
+

0

-

Đáp án B
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x) và đường thẳng y=-4.
- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trên đường thẳng
y=-4(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=-4 (g’(x)<0).
- Lập bảng xét dấu g’(x)
Ví dụ 10: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình 6, đặt g(x)=f(x+1)-2x. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
y
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0;3)
2
−
∞

B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (
;2)
∞
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2;+ )
D. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-1;+ ∞ )
O
3 x

(hình 6)
HD: g’(x)=f’(x+1)-2. Từ đồ thị ở hình 6, ta lập được bảng xét dấu của g’(x)
−∞
+∞
x
-1
2
g’(x)

-

0

-

0

+

Đáp án C
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:

- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
y=f’(x+1) và đường thẳng y=2.
- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x+1) nằm phía trên đường thẳng
y=2(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=2 (g’(x)<0).
- Lập bảng xét dấu g’(x)

8


Ví dụ 11: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình 7, đặt g(x)=f(2-x). Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng
y
A. (1;3)
B. ( − ∞ ;-2)
C. (2;+ ∞ )
D. (-2;1)
-1
O 1
4 x
(hình 7)
HD: g’(x)=-f’(2-x). Từ đồ thị ở hình 7, ta có
2 − x < −1

x > 3

⇔
g’(x)>0 ⇔ 
1 < 2 − x < 4
− 2 < x < 1
Đáp án D

Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Tìm g’(x),
- Tìm x để g’(x)>0 hay f’(2-x)<0
Ví dụ 12: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
1
2

cong như hình 8, đặt g(x)=f(x)- x 2 + x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (-1;3)
B. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (-1;1)
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (- ∞ ;1)
D. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;3)
y

-1

2

O 1

3

x

-2
(hình 8)
HD: g’(x)=f’(x)-(x-1). Từ đồ thị ở hình 8, ta lập được bảng xét dấu của g’(x)
x
g’(x)

−∞

-1
-

0

1
+

0

+∞

3
-

0

+

Đáp án B
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:

9


- Tìm nghiệm của g’(x), tức là tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y=f’(x) và đường thẳng y=x-1. Các nghiệm là x=-1, x=1, x=3.
- Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trên đường thẳng
y=x-1(g’(x)>0) và dưới đường thẳng y=x-1 (g’(x)<0).
- Lập bảng xét dấu g’(x)
Ví dụ 13: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ , liên tục trên đoạn [a;d] và có đồ thị
hàm số f’(x) là đường cong như hình 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên
đoạn [a;d] (af ( x) = f (a)
y
A. xMax
∈[ a ;d ]
f ( x) = f (b)
B. xMax
∈[ a ; d ]
f ( x ) = f (c )
C. xMax
∈[ a ; d ]
f ( x) = f (d )
D. xMax
∈[ a ; d ]

a

O b c

d

x

(hình 9)

HD: Từ đồ thị ở hình 9, ta có bảng biến thiên
x

−∞

f’(x)

a
+

b

0

-

f(a)

0

c
+

+∞

d
0

-

f(d)

f(x)
Mặt khác từ đồ thị ta lại có:
b

d

a

b

∫ f ' ( x)dx + ∫ f ' ( x)dx > 0 ⇒

f (b) − f (a ) + f (d ) − f (b) > 0 ⇒ f (d ) > f (a )

Đáp án D
Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ năng khi giải bài toán. Cụ
thể học sinh phải thực hiện được các thao tác sau:
- Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
- So sánh f(a) và f(d)
Như vậy qua các ví dụ ở giải pháp 3, học sinh đã được rèn luyện kỹ năng lập
bảng biến thiên của hàm số khi biết đồ thị của hàm số y=f’(x). Qua đó học sinh
sẽ xác định được khoảng đồng biến, nghịch biến. Đồng thời học sinh sẽ được
phát triển tư duy quy lạ về quen, tư duy biện chứng.
d) Giải pháp 4: Sử dụng bài toán chứa tham số để đào sâu kiến thức về tính
đơn điệu của hàm số.
Với giải pháp này, học sinh phải nắm được mối liên hệ giữa tính đơn điệu của

10

hàm số và dấu của đạo hàm. Đồng thời hình thành và phát triển tư duy trừu
tượng, quy lạ về quen, kỹ năng phân tích khi giải quyết bài toán.
Ví dụ 14: Hàm số y=x3+3x2+(m-2)x+1 đồng biến trên R khi và chỉ khi giá trị m
thỏa mãn
A. m<5
B. m ≥ 5
C. m ≠ 5
D. mọi m thuộc R
2
≥
0
,
∀
x
∈
R
⇔
∆
'≤
0
HD: y’=3x +6x+m-2
Đáp án B
1
3

Ví dụ 15: Hàm số y= x3+x2+(m+1)x+1 đồng biến trên khoảng (1;+ ∞ ) khi và
chỉ khi giá trị m thỏa mãn
A. m<-4

B. m ≥ -4

C. m ≠ −4

D. m ≥ 4

HD: y’=x2+2x+m+1 ≥ 0, ∀x ∈ (1;+∞) ⇔ x 2 + 2 x + 1 ≥ −m, ∀x ∈ (1;+∞)
Xét hàm số f(x)=x2+2x+1 trên khoảng (1;+ ∞ )
Đáp án B
Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y =
π
2

sin x − 2
3 sin x − m

đồng biến trên khoảng (0; ) ?
HD: Điều kiện sin x ≠

m
π
. Do x thuộc (0; ) nên sinx thuộc (0;1). Vậy
3
2

m ≤ 0
m
∉ (0;1) ⇔ 
3
m ≥ 3

(6 − m) cos x
π
Ta có y ' = (3 sin x − m) 2 > 0, ∀x ∈ (0; 2 ) ⇔ m < 6

Vậy số giá trị m nguyên dương là 3
Như vậy, qua các ví dụ trong giải pháp 4 , học sinh phải nắm được điều kiện cần
và đủ để một hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng. Đồng thời học
sinh cũng rèn luyện được kỹ năng khi giải toán.
e) Giải pháp 5: Vận dụng kiến thức về tính đơn điệu của hàm số để giải
quyết một số bài toán.
Thông qua giải pháp này để tạo hứng thú cho học sinh, học sinh thấy được mối
liên hệ giữa tích phân và đời sống xã hội, học sinh cảm thấy không nhàm chán
khi học nội dung này. Cũng qua đó rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích,
tổng hợp, quy lạ về quen.
π
2

Ví dụ 17: Chứng minh sinxHD: Xét hàm số f(x)=x-sinx

π
2

π
2

Ta có f’(x)=1-cosx>0 với ∀x ∈ (0; ) nên f(x) đồng biến trên khoảng (0; )
π
2

Áp dụng định nghĩa hàm số đồng biến ta có f(x)>f(0), ∀x ∈ (0; ) hay

11


π
2

sinxVí dụ 18: Cho phương trình log 3 (cos 3 x − 3 cos 2 x − m) + 2(cos 3 x + 3 sin 2 x) = 2m + 8 (1)
, với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình (1) có
nghiệm thực?
A. 6
B. 5
C. 7
D. 4
3
2
HD: Đăt t= cos x − 3 cos x − m , phương trình trở thành log3t+2t=2
Xét hàm số f(x)=log3t+2t. Ta có f’(x)=

1
+ 2 > 0, ∀t > 0 nên hàm số f(x) đồng
t ln 3

biến trên khoảng (0;+ ∞ ) ⇒ phương trình log3t+2t=2 có nhiều nhất một nghiệm.
Mặt khác t=1 là nghiệm nên ta có duy nhất t=1.
Vậy bài toán quy về xét phương trình cos 3 x − 3 cos 2 x − m = 1 .
Đáp án C
f) Giải pháp 6: Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài về sự đồng biến,

nghịch biến của hàm số thông qua buổi thảo luận.
Giáo viên tổ chức một vài buổi thảo luận trong đó giáo viên giao nhiệm vụ cho
từng nhóm chuẩn bị trước ở nhà, nên chia thành 5 nhóm và năng lực học tập ở
các nhóm là tương đương nhau.
Nhóm 1: Giải quyết các bài toán vận dụng quy tắc tìm khoảng đồng biến, nghịch
biến.
Nhóm 2: Giải quyết các bài toán dựa vào đồ thị hàm số để xác định khoảng
đồng biến, nghịch biến.
Nhóm 3: Giải quyết các bài toán dựa vào đồ thị của hàm số y=f’(x) để xác định
khoảng đồng biến, nghịch biến.
Nhóm 4: Giải quyết các bài toán có chứa tham số về sự đồng biến, nghịch biến .
Nhóm 5: Giải quyết các bài toán bằng cách vận dụng kiến thức về tính đơn điệu
của hàm số.
Buổi thảo luận được tiến hành theo trình tự như sau:
- Đầu tiên một nhóm lên trình bày, phát kết quả của nhóm cho các nhóm khác
- Tiếp theo, các nhóm khác đưa ra câu hỏi đối với nhóm vừa trình bày, đế
xuất cách giải của nhóm.
- Giáo viên nhận xét và đưa ra kết luận cuối cùng, yêu cầu toàn bộ học sinh
ghi nhận.
- Giáo viên có thể trao thưởng cho các nhóm hoàn thành tốt nhiệm vụ, có thể
thưởng điểm cao hoặc những món quà ý nghĩa để khích lệ học sinh.
- Giáo viên nhận xét từng học sinh trong sự chuẩn bị và tiếp thu kiến thức.
Buổi thảo luận tiếp theo thì yêu cấu của các nhóm được đổi cho nhau.
2.3.3. Một số bài tập tham khảo
Câu 1: Hàm số y= x3-3x+3 đồng biến trên
A. R
B. (-1;1)
C. R\{-1;1}
D. (- ∞ ;-1) và (1;+ ∞ )
Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ?

A. y=x3-x2-10x+1
B. y=-x3+x2-10x+1

12


C. y=x4+x2+2

D. y=

x+2
x −1

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên (0;+ ∞ )
A. y=x3-3x2+2
B. y=-x3-3x+1
C. y=x4+2x2+2

D. y=

x+2
x

1
đồng biến trên
x
B. (- ∞ ;0) và (0;+ ∞ )
C. R\{-1;1}

Câu 4: Hàm số y=x-

A. R
Câu 5: Hàm số y= − x 2 + 2 x + 3 đồng biến trên
A. R
B. (-1;3)
C. (-1;1)
x
Câu 6: Hàm số y= 2
đồng biến trên
x +1

A. (-1;1)

C. (- ∞ ;-1)

B. R

D. (- ∞ ;-1) và (1;+ ∞ )
D. (1;3)
D. (1;+ ∞ )

x + 2x + 2
nghịch biến trên
x +1
A. (-2;0)
B. R
C. (- ∞ ;-2)
D. (-2;-1) và (-1;0)
x + m +1
Câu 8: Hàm số y=

nghịch biến trên các khoảng xác định của nó khi m
x −1

Câu 7: Hàm số y=

2

bằng
A. m=-3

B. m=-4

C. m=0

D. m=-2017

1
Câu 9: Hàm số y= x3+(m-2)x2+(m-2)x+1 đồng biến trên R khi và chỉ khi giá trị
3

m thỏa mãn
A. 2 ≤ m ≤ 3
B. m>3
C. m<2
D. m∈ R\{2;3}
3
2
Câu 10: Hàm số y=x -3mx +1 nghịch biến trên khoảng (0;2) khi m bằng
A. m=-1
B. m=1

C. m=-2
D. m=-3
1
3

Câu 11: Hàm số y= x3-x2-(m+1)x+1 đồng biến trên khoảng (3;+ ∞ ) khi và chỉ
khi giá trị m thỏa mãn
A. m ≤ 2
B. m>2
Câu 12: Hàm số y =
khi và chỉ khi:

C. m ≠ 2

D. m ≥ −2

x+m
luôn đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ )
x +1
2

 m < −1

A. 
B. ∀m ∈ R
C. −1 ≤ m ≤ 1
D. −1 < m < 1
m > 1
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = − x 3 + 3x 2 − mx + 1 nghịch biến
trên R?

A. m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ )
B. m ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 3; +∞ )
C. m ∈ ( −2;3)
D. m ∈ [3; +∞)
Câu 14: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số?

13


y
4
O

2

x

Câu 15: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
y
A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-2;0)
B. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;3)
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1)
-2
O
3
x
D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;3)

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y =
π
4

tan x − 2
đồng
tan x − m

biến trên khoảng (0; ) ?
Câu 17: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình vẽ, đặt g(x)=2f(x)-(x+1)2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
( x) = g (1)
( x) = g (1)
A. Ming
B. Maxg
x∈[ −3; 3]
x∈[ − 3;3 ]
( x) = g (3)
C. Maxg
x∈[ −3; 3]

( x) = g (−3)
D. Ming
x∈[ −3;3]

Câu 18: Cho phương trình log 3 (sin 3 x − 3 sin x − m) + sin 3 x − 3 sin x) = m + 4 (1), với m
là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình (1) có nghiệm
thực?
A. 6
B. 5

C. 7
D. 4
Câu 19: Cho hàm số f(x) xác định và liên tụctrên ℜ , có đồ thị hàm số f’(x) là
đường cong cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ a, b, c như hình vẽ. Mệnh đề
nào dưới đây là đúng?

14


A. f(a)+f(c)-2f(b)>0
B.(f(b)- f(a))(f(b)-f(c))<0
C. f(a)>f(b)>f(c)
D. f(c)>f(b)>f(a)

Câu 20: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x)?

Câu 21: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị là đường cong như hình
vẽ. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x)?

Câu 22: Cho hàm số f(x) xác định trên ℜ và có đồ thị hàm số f’(x) là đường
cong như hình vẽ. Xét hàm số g(x)=f(x2-2. Chọn mệnh đề sai?
A. Hàm số g(x) nghịch biến trên (−∞ ;−2)
B. Hàm số g(x) đồng biến trên (2;+∞)
C. Hàm số g(x) nghịch biến trên (-1;0)
D. Hàm số g(x) nghịch biến trên (0;2)

15

2.4. Kết quả thực hiện
Kết quả vận dụng của bản thân:
Chúng tôi đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong nhiều năm với
những mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khoá học hoặc giữa các
lớp ở các khoá học khác nhau.
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12C2 ở
trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên. Trong quá trình học đề tài này, học sinh
thực sự thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra
cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học,
tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Kết quả học sinh tích cực tham gia
giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, nhiều em vận dụng
tốt ở từng bài toán cụ thể .Qua các bài kiểm tra về nội dung này và các bài thi
học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, tôi nhận thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và
đạt kết quả tốt. Cụ thể như sau :
Lớp 12C2 (Sỉ số 40)
G
K
TB
Y
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8
20
20

50
12
30
0
0
Triển khai trước tổ bộ môn:

Kém
SL
%
0
0

Chúng tôi đã đưa đề tài này ra tổ để trao đổi, thảo luận và rút kinh nghiệm. Đa
số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo được
hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về bản chất hình
học cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập. Và cho đến
nay, những kinh nghiệm của tôi đã được tổ thừa nhận là có tính thực tiễn và tính
khả thi. Hiện nay, chúng tôi tiếp tục xây dựng thêm nhiều ý tưởng để giúp học
sinh trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên học tập nội dung này một cách tốt nhất
để đạt kết quả cao nhất trong các kì thi.

16


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trong dạy học giải bài tập toán nói chung và dạy học giải bài tập toán tích
phân nói riêng, việc xây dựng các bài toán riêng lẻ thành một hệ thống theo một
trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải toán sẽ giúp học

sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát triển tư duy
học toán cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học toán.
Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu
hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp.
Mỗi dạng toán tôi chọn một số bài tập để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm
những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. Tuy nhiên, vẫn còn một
số học sinh không tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá lớn hoặc chưa có động cơ,
hứng thú trong học tập.
Do đó đây chỉ là những giải pháp trong hàng vạn giải pháp để giúp phát
triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học
sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận
dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến
thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào
là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần
dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác
phong tự học tự nghiên cứu . Đề tài có thể phát triển và xây dựng thành hệ thống
đề thành sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề
tài này được đầy đủ hoàn thiện hơn .
3.2. Kiến nghị
Đối với tổ chuyên môn :
Cần có nhiều buổi họp thảo luận về nội dung liên quan đến tính đơn điệu
của hàm số. Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những
dạng bài tập toán trong bài giảng.
Đối với trường :
Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ
trợ nhau về kiến thức. Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng
bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán.
Đối với ngành giáo dục :
Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời

viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên.

17


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Hiệu trưởng

Thanh Hoá ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
NGƯỜI THỰC HIỆN

Nguyễn Văn Ngọc

Lại Văn Dũng

18


DANH SÁCH CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC
ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA SỞ GD$ĐT THANH HÓA
Năm học

Tên đề tài

Xếp

Số quyết định

loại
Giải pháp giúp học sinh THPT tiếp
2012-2013

cận và hứng thú giải bài toán xác suất

743/QĐ-SGD&ĐT
C

Giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát
2015-2016 huy khả năng giải bài toán khoảng

972/QĐ-SGD&ĐT
C

cách trong hình học không gian
Giải pháp giúp học sinh lớp 12 phát
2016-2017

huy khả năng giải bài toán tích phân

Ngày 04/11/2013

Ngày 24/11/2016
1112/QĐ-SGD&ĐT

C

Ngày 18/10/2017

trong kỳ thi THPT Quốc gia

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1].

SGK giải tích 12_NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.

[2].

Sách BT giải tích 12_ NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.

[3].

Bồi dưỡng giải tích 12.

[4].

Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017- NXB Giáo

dục Việt Nam
[5]. Đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT năm 2017 và năm
2018- hoặc

20