Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải nhanh bài toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Từ năm 2017 môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc gia chuyển từ bài thi tự
luận thành bài thi trắc nghiệm nên đề thi có rất nhiều đổi mới về cấu trúc đó là:
- Tăng số lượng các câu dễ.
- Đề thi có tính phân loại cao.
- Nội dung kiến thức bao phủ toàn bộ chương trình lớp 12, vì vậy xuất hiện
một số dạng toán mới chưa từng xuất hiện trong các bài thi tự luận trước đây,
điển hình là bài toán tính tích phân chứa hàm ẩn.
Trong khi đó các bài toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn tôi
thấy trong sách giáo khoa và sách tham khảo đề cập chưa nhiều, tài liệu nêu
phương pháp giải dạng toán này còn ít, học sinh thực sự gặp khó khăn, thường
lúng túng khi gặp những dạng bài toán này.
Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, thì việc giải nhanh các bài toán
là yêu cầu hàng đầu của người học. Phương pháp giải nhanh một bài toán sẽ
giúp học sinh tiết kiệm được thời gian làm bài, rèn luyện được tư duy và năng
lực phát hiện vấn đề.
Vì những lí do trên để giúp các em có được kỹ năng, kỹ xảo khi gặp các
bài toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn trước khi bước vào những
kì thi quan trọng của lớp 12 tôi đã lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một
số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải nhanh bài toán trắc nghiệm dạng
tính tích phân chứa hàm ẩn”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp cho các em học sinh lớp 12 có được kỹ năng, kỹ xảo khi giải các bài
toán tính tích phân chứa hàm ẩn nói chung, các bài toán tích phân nói riêng để
các em có sự chuẩn bị tốt nhất trong các kỳ thi quan trọng của lớp 12.
Những kiến thức đưa ra phải chính xác, có chọn lọc để phù hợp với khả
năng tiếp thu của học sinh, đảm bảo tính vừa sức và tính sáng tạo của học sinh,
dựa trên kiến thức sách giáo khoa và tài liệu tham khảo.
Giúp học sinh có thể chủ động để giải quyết tốt các bài tập thuộc từng
dạng đồng thời lựa chọn được cách giải nhanh nhất trong lúc làm bài thi trắc

nghiệm.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Các dạng toán tính tích phân chứa hàm ẩn thường gặp trong các kỳ thi lớp
12 đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia.
Phương pháp giải nhanh các dạng, có ví dụ minh họa được chọn lọc và sắp
xếp theo hệ thống để học sinh từng bước vận dụng lý thuyết đã học vào giải
quyết các yêu cầu từ đơn giản đến phức tạp. Có bài tập để học sinh tự rèn luyện
kỹ năng, kỹ xảo ở nhà.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Đã sử dụng các phương pháp để hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này cụ
thể là:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài
tập Giải tích 12 cơ bản và nâng cao, đề thi THPT Quốc gia môn Toán các năm
2017; 2018, các đề minh họa thi THPT Quốc gia của Bộ giáo dục, các đề thi thử
1


THPT Quốc gia của các Sở giáo dục đào tạo của các tỉnh và các trường THPT
trong cả nước các năm 2017; 2018; 2019. Các đề thi học kỳ II lớp 12 năm học
2017-2018; 2018-2019 của các Sở giáo dục và đào tạo trong cả nước.
- Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy và học phần bài
tập loại này.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
- Phương pháp thống kê.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
a. Các phương pháp tư duy toán học: Đặc biệt hóa; tổng quát hóa ...là
những phương pháp quan trọng, thường xuyên được sử dụng trong quá trình học
tập môn Toán.
b. Các tính chất của tích phân.

Tính chất 1:
b

b

a

a

kf ( x)dx  k �
f ( x )dx
�

Tính chất 2:
b

b

b

a

a

a

f ( x )dx ��
g ( x)dx
 f ( x) �g ( x) dx  �
�

Tính chất 3:
b

c

b

a

a

c

f ( x)dx  �
f ( x )dx  �
f ( x )dx ,
�

acb

b. Phương pháp tính tích phân.
- Phương pháp đổi biến số.
Định lí: Giả sử hàm số u  u  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b sao
cho  �u ( x ) � , x � a; b  . Nếu f ( x)  g (u ( x))u '( x), x � a; b  , trong đó g  u  liên
tục trên đoạn   ;   thì
b

u (b)

a

u (a )

f ( x )dx 
�

�g(u)du

- Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí: Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên
đoạn  a; b , thì
b

b b
udv  uv  �
vdu
�
a a
a

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh thường mắc những khó khăn
sau:
- Học sinh không biết cách liên hệ giữa tích phân cần tính với tích phân cho
trước trong đề bài cũng như chọn tích phân nào để xét.
- Học sinh còn lúng túng trong việc chọn phương pháp giải hoặc chọn
phương pháp giải tối ưu để tìm ra phương án đúng trong khoảng thời gian ngắn
nhất.
2

2.3. Giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề.
Thực hiện nội dung này thông qua 4 tiết học vào thời điểm sau khi các em
học xong bài Tích phân (Giải tích 12). Trong mỗi tiết học Giáo viên hướng dẫn
để các em tự tìm tòi ra các phương pháp giải đồng thời có so sánh các phương
pháp đó với nhau để học sinh nhận ra phương pháp nào tối ưu hơn, mất ít thời
gian hơn. Sau mỗi tiết học có bài tập về nhà để các em luyện tập thêm về kỹ
năng, có theo dõi, kiểm tra, nhận xét đánh giá vào tiết học tiếp theo.
Tiết thứ nhất: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán dạng 1.
Tiết thứ hai: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán dạng 2.
Tiết thứ ba: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán dạng 3.
Tiết thứ tư: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán dạng 4.
Sau khi học xong cho học sinh làm 1 bài kiểm tra 45 phút để lấy kết quả nội
dung triển khai và kỹ năng mà học sinh đạt được.
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân.
1. Phương pháp giải.
Bước 1: Sử dụng các tính chất của tích phân để phân tích tích phân cần
tính theo các tích phân đã cho và các tích phân đơn giản.
Bước 2: Thay giá trị tích phân đã cho và tính giá trị tích phân đơn giản có
liên quan suy ra giá trị tích phân cần tìm.
Bước 3: Chọn phương án đúng.
2. Các ví dụ minh họa
2

Ví dụ 1: Cho

�f ( x)dx  2

2

và

1

5
2

g ( x) dx  1 . Tính
�

I

1

7
2

A. I  .

2

B. I  .

C. I 

 x  2 f ( x)  3g ( x) dx .
�

1

17
.
2

D. I 

11
.  1
2

Phân tích
- Cận của các tích phân trong bài toán không thay đổi
- Sử dụng các tính chất 1 và tính chất 3 của tích phân ta có thể phân tích
2

f ( x)dx ;
được tích phân I theo các tích phân đã biết �
1

2

g ( x) dx
�

và tích phân đơn

1

2

giản

xdx .
�

1

Giải:
2

2

1

1

2

I�
xdx  2 �
f ( x )dx  3 �
g ( x )dx 
1

x2 2
17
. Chọn phương án C.
 2 .2-3.(-1) =

2 1
2

2

2

1

1

 3 f ( x)  2 g ( x)dx  1, �
 2 f ( x)  g ( x) dx  3 , khi đó
Ví dụ 2: Cho �
A.

11
.
7

5
7

B.  .

C.

6
.
7

2

f ( x)dx
�

bằng

1

D.

16
.
7

Phân tích
- Cận của các tích phân trong bài toán không thay đổi.

3


- Sử dụng các tính chất 1 và tính chất 3 của tích phân ta có thể phân tích
2

2

1

1

 3 f ( x)  2 g ( x) dx và �
 2 f ( x)  g ( x)dx theo các tích phân
được tích phân �

2

f ( x)dx
�
1

2

g  x  dx .
và �
1

2

- Xem hai tích phân

f ( x)dx và
�
1

2

g  x  dx
�

là ẩn thì ta có hệ phương trình

1

bậc nhất hai ẩn.
Giải:
2

f ( x)dx  a,
Đặt �
1

2

g( x )dx  b .
�
1

2

2

2

1
2

1
2

1

2

1

1

1

f ( x)dx 2 �
g( x)dx  3a  2b
 3 f ( x)  2 g ( x) dx  3�
Ta có: 1  �
3  �
f ( x )dx  �
g( x)dx  2a  b
 2 f ( x)  g ( x) dx  2�

(1)
(2)

5
�
a
2
�
3a  2b  1
�
5

�
7
� �
��
f ( x)dx   .Chọn phương án B
Từ (1) và (2) ta có: �
11
7
�2a  b  3
1
�
b
� 7

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên  a; b , nếu

d

f ( x)dx  5
�

d

và

a

f ( x)dx  2
�

(với

b

b

a  d  b ) thì

f ( x)dx
�

bằng

a

A. 3.

B. 7.

C.

5
.
2

D. 10.  2

Phân tích
- Cận của các tích phân trong bài toán thay đổi
- Sử dụng các tính chất 2 của tích phân ta có thể phân tích được tích phân

b

f ( x)dx
�

d

theo các tích phân đã biết là

a

f ( x)dx
�

d

và

a

f ( x)dx .
�
b

Giải:
b

d

b

a

a

d

f ( x) dx  �
f ( x )dx  �
f ( x )dx 
Ta có: �

d

d

a

b

f ( x) dx  �
f ( x) dx  5  2  3 .
�

Chọn phương án A.
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên  0;10 thỏa mãn

10

�f ( x)dx  7;

0

khi đó

2

10

0

6

6

f ( x)dx  3 ,
�
2

f ( x)dx  �
f ( x)dx bằng
�

A. 3.
Phân tích

B. 2.

C. 4.

D. 1.  3

4


- Cận của các tích phân trong bài toán thay đổi
- Sử dụng các tính chất 2 của tích phân ta có thể phân tích được tích phân
10

2

6

10

0

0

2

6

f ( x)dx; �
f  x  dx; �
f ( x)dx .
�f ( x)dx theo các tích phân �

Giải:
10

Ta có:

2

f ( x)dx  �
f ( x) dx
f ( x)dx  �
�f ( x)dx  �
0

�

10

6

0

6

2

2

10

10

6

0

6

0

2

f ( x )dx  �
f ( x )dx  7  3  4 . Chọn phương án C.
f ( x)dx  �
f ( x)dx = �
�

3. Bài tập tự luyện
1

Bài 1: Cho

f ( x)dx  2
�
0

1

1

0

0

g ( x) dx  5 , khi đó �
 f ( x)  2 g ( x) dx bằng
và �

A. -3.

B. 12.

D. 1.  4

C. -8.

Bài 2: Cho f ( x) , g ( x) là các hàm số liên tục trên  a; b với a  b ,

b

f ( x)dx  3 và
�
a

b

 3 f ( x)  5 g ( x) dx  4 . Tính
�
a

A.

I  1 .

B.

I

b

I �
g ( x )dx .
a

13
.
5

C.

I 0.

D.

I 1.

Bài 3: Cho hàm số f  x  liên tục trên  1;3 và F  x  là một nguyên hàm của
3

11
f  x  trên đoạn  1;3 thỏa mãn F  1  2; F  3  . Tính I  �
�
2 f  x   x�

�
�dx.
2
1

A.

I  11.

B.

Bài 4: Cho hàm số

I

7
2

C.

I  19.

D.

I  3.  5
9

f  x  dx  7 và
liên tục trên đoạn  1;9 thỏa mãn �

f  x

1

5

f  x  dx  3 . Tính giá trị của biểu thức
�
4

A. P  4.
2

B. P  3.

f ( x)dx  1 và
Bài 5: Cho �
2

A. I  5.

4

9

1

5

P�

f  x  dx  �
f  x  dx.

C. P  10.

D. P  2.  6

4

4

2

2

f  y  dy.
�f  t  dt  4 . Tính I  �

B. I  3.

C. I  3.

D. I  5.  7

Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa.
1. Phương pháp.
Bước 1: Đặc biệt hóa hàm số hoặc đặc biệt hóa đối số để tìm ra được một
hàm số đơn giản nhất thỏa mãn các điều kiện đề bài.
Bước 2: Suy ra hàm số trong tích phân cần tính, thay vào tích phân đó rồi
tính.

Bước 3: Chọn phương án đúng.

5


2. Các ví dụ minh họa.
1

Ví dụ 1: Cho

f  x  dx  2018 . Tính
�
0


4

I �
f  sin 2 x  .cos 2 xdx.
0

A. I  2018.

B. I  1009.

D. I  1009.  8

C. I  1008.

Phân tích

- Hàm số đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức
1

- Vì đề bài chỉ có một điều kiện là
f  x  là hàm hằng thỏa mãn điều kiện này
b

f  x  dx  2018
�

nên luôn tồn tại hàm

0

d

c.dx  d � c(b  a)  d � c 
- Nếu �
Với a; b; c; d là hằng số, a �b
ba
a

Giải:
Cách 1:
Chọn hàm số f ( x) 

4


4

0

0

2018
 2018 ( thỏa mãn đề bài) � f (sin 2 x)  2018
1 0

I�
f  sin 2 x  .cos 2 x .dx  �
2018.cos 2 xdx  1009sin 2 x


4

 1009. Chọn phương án C

0

Cách 2:
Đặt t  sin 2 x � dt  2 cos 2 xdx �

dt
 cos 2 xdx
2

Đổi cận:



4
t
0
1
1
1
dt 1
1
f  t  �
f  t  dt  .2018  1009. Chọn phương án C.
Ta có: �
2 20
2
0
x

0

Nhận xét
- Đối với cách 1, học sinh có thể chọn ngay được hàm số f  x  là hàm
hằng thỏa mãn đề bài. Từ đó kết hợp với sử dụng MTCT để tìm ra giá trị của
tích phân cần tìm một cách nhanh chóng.
- Đối với cách 2, liên quan đến nhiều phép toán hơn đặc biệt là các phép
toán có liên quan đến lượng giác thì học sinh hay lúng túng và hay tính sai.
Ví dụ 2: Cho f ( x) là hàm số chẵn có đạo hàm trên đoạn  6; 6 . Biết rằng
2

3

1

1

f (2 x)dx  3 . Tính tích phân
�f ( x)dx  8 và �

6

I

�f ( x)dx.

1

A. I  2.
B. I  5.
C. I  11.
D. I  14.  9
Phân tích
- Hàm số f  x  đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức.

6


2

- Vì hàm số f ( x) thỏa mãn hai điều kiện

�f ( x)dx  8 và

1

3

�f (2 x)dx  3 nên

1

trong các hàm đa thức chẵn đơn giản: f ( x)  a; f ( x)  ax 2  b; f ( x)  ax 4  bx 2  c;...
thì hàm hằng f ( x)  a không thể thỏa mãn hai điều kiện trên. Vậy ta chọn f  x 
có dạng f ( x)  ax 2  b là đơn giản nhất.
Giải:
Cách 1
2
Chọn hàm số f ( x)  ax 2  b � f  2 x   4ax  b
2
�2
�2
�2 2
2
f
(
x
)
dx

8
ax

b

dx

8
a
x
dx

b
dx  8


��
��
��
3a  3b  8
�
�
�1
�
� 1
�
1
1
� �3
�� 3
��
104
Ta có: �3
3
a  2b  3

� f (2 x)dx  3
� 4ax 2  b dx  3 �4a x 2 dx  b dx  3
�
3
�


�
��
��
� �
�1
�1
� 1
1
1
�
a
�
1
115
�
14
��
� f ( x)   x 2 
115
14
42
�
b

� 42
6
6
� 1 2 115 �
I

f
(
x
)
dx

 x 
dx  14 . Chọn phương án D.
Vậy:
�
�
�
�
14
42
�
�
1
1

Cách 2
Vì f  x  là hàm số chẵn nên f  2 x   f  2 x 
3

3

1

1

f (2 x)dx  �
f  2 x  dx  3
Xét J  �

Đặt t  2 x � dt  2dx
Đổi cận:
x
t
6

Khi đó J 

6

6

1
1
f  t  dt  �
f  x  dx  3 � �
f  x  dx  6
�
22
22

2

6

Vậy I 

3
6

1
2

�f ( x)dx 

1

2

6

1

2

f  x  dx  8  6  14. Chọn phương án D.
�f  x  dx  �

Nhận xét
- Đối với cách 1, học sinh định hướng được cách giải nhanh hơn. Quy
trình giải đơn giản và dễ nhớ hơn. Học sinh có thể vận dụng ngay cách giải vào

những bài toán tương tự.
- Đối với cách 2, liên quan đến nhiều tính chất và đòi hỏi kỹ năng giải
toán cao hơn.
Ví dụ 3: Cho f ( x) là hàm số có đạo hàm trên tập hợp � và thỏa mãn f (3)  2
0

2

f (3 x  6) dx  3 . Giá trị của
và �
1

A. 3.
Phân tích

B. 11.

x. f
�

'

( x )dx bằng

3

C.

6.

D.

9.  10

7


- Hàm số f  x  đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức.
- Trong các hàm số đa thức thì hàm hằng không thể thỏa mãn hai điều
2

f (3x  6)dx  3
�

kiện f (3)  2 và

nên ta chọn hàm số f  x  đơn giản nhất có

1

dạng f ( x)  ax  b.
Giải:
Cách 1
Chọn hàm số f ( x)  ax  b � f  3x  6   a(3x  6)  b
3a  b  2
�f (3)  2
�
� 2
�3
a

 ab  3 �
�2
�2
�
2
�� 3
Ta có: � f (3x  6)dx  3 � �a (3x  6)dx  b dx  3 � � 2
�
��
��
�
�
3a  b  2
b4
�
�
�1
�1
1
0
0
2
2
x. f ' ( x )dx  �
x. dx  3 . Chọn phương án A.
� f ( x)  x  4 . Vậy: �
3
3
3
3

Cách 2
2

f (3 x  6)dx
Xét J  �
1

Đặt t  3x  6 � dt  3dx
Đổi cận:
x
t

1
3

2
0

0

0

0

1
1
f  t  dt  �
f  x  dx  3 � �
f  x  dx  9

Khi đó J  3 �
3 3
3
3
0

Xét I 

x. f
�

'

( x)dx

3

ux
du  dx
�
�
�
�
v  f  x
dv  f '  x  dx �
�

Đặt �

Ta có: I  x. f  x 

0

0
3

�
f  x  dx  3. f  3  9  3. Chọn phương án A.
3

Nhận xét
- Đối với cách 1, học sinh có thể xác định được ngay cách giải. Quy trình
giải đơn giản và dễ nhớ hơn. Học sinh có thể vận dụng ngay cách giải vào những
bài toán tương tự.
- Đối với cách 2, liên quan đến việc phải sử dụng nhiều phương pháp như
phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần và đòi hỏi kỹ năng
giải toán cao hơn.
Ví dụ 4: Cho f ( x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên � và thỏa mãn điều kiện
2

�f ' ( x)  2 f ( x)  1 �
f (1)  1 và f (2)  4 . Tính tích phân I  �

�
�dx.
x
x2 �
1�

A.

I  1  ln 4.

B.

I  4  ln 2.

C.

1
I  ln 2  .
2

D.

I

1
 ln 4.  11
2

8


Phân tích
- Hàm số f  x  đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức.
- Trong các hàm số đa thức thì hàm hằng không thể thỏa mãn hai điều
kiện f (1)  1 và f (2)  4 nên ta chọn hàm số f  x  đơn giản nhất có dạng
f ( x)  ax  b.

Giải:
Cách 1
Chọn hàm số f ( x)  ax  b
a  b 1
a 3
�f (1)  1
�
�
��
��
� f ( x )  3x  2
2a  b  4
b  2
�f (2)  4
�
�

Ta có: �

2
2
2
2
�f ' ( x)  2 f ( x)  1 �
�5 3 x  1 �
�5 3 1 �
�2 1 �
I



dx


dx



dx

dx
Do đó:
�
� �
�
� �
�
� 2�
2
2
2 �
�
�
x
x
x
x
x
x
x
x

x
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
2
1�
1
�
�
2 ln x  �  ln 4  . Chọn phương án D.
x �1
2
�

Cách 2

2
2
2
f '  x
f  x

dx
dx
Ta có: I  � dx  2�  � 2 dx  �2
x
x 1 x
x
1
1
1
2

�
u  f  x
�
du  f '  x  dx
�
�
�
dx � �
1
dv

v
�
�
2
x
�
x
�

'
2
2
f  x
f '  x
1
1
2
� J   . f  x 1  �
dx   f  2   f  1  � dx
x
x
2
x
1
1

f  x
Xét J  � 2 dx . Đặt
x
1
2

2
2
2
2
2 1
f '  x
f '  x

12
dx 1
dx
�I �
dx  2�  f  2   f  1  �
dx  �2  2 ln x  f  2   f  1 
1 2
x1
x
x 2
x
x
1
1
1
1

1
1
1
1
 2 ln 2  .4  1   1  2 ln 2   ln 4  . Chọn phương án D.
2
2
2
2

Nhận xét
- Đối với cách 1, cách làm đơn giản hơn, phép toán ít và đơn giản dẫn đến
tiết kiệm được thời gian trong lúc làm bài thi.

- Đối với cách 2, liên quan đến việc phải sử dụng nhiều phương pháp và
công thức, phép tính dài phức tạp hơn đòi hỏi kỹ năng giải toán cao hơn.
Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục trên � thỏa mãn f ( x)  f ( x )  2  2 cos 2 x ,
x ��. Tính I 

3
2

�f ( x)dx.



3
2

A. I  6.
B. I  0.
C. I  2.
D. I  6.  12
Phân tích
Hàm số g  x   2  2cos 2 x có là hàm số chẵn vì g  x   g ( x) � Chọn
f  x 

1
g  x  thì f ( x) thỏa mãn f ( x)  f ( x)  2  2 cos 2 x .
2

9

Giải:
Chọn hàm số f ( x)  f ( x) 
3
2

3
2

3

2

3

2

1

�f ( x)dx  �2

Ta có: I 

1
2  2 cos 2 x
2

2  2 cos 2 xdx  6 . Chọn phương án D.

1 �
�

�1 �
Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x) liên tục trên � ; 2 �và thỏa mãn f ( x )  2 f � � 3x.
2 �
�
�x �
f  x

2

dx.
Tính tích phân I  �
x
1
2

A.

1
I .
2

B.

3
I .
2

C.

5

I .
2

D.

7
I .
2

Phân tích
1
�1 �
Nếu ta đặc biệt hóa đối số bằng cách thay x bởi thì f  x  thành f � �
x
x
��

1

1

��
��
và f � �thành f  x  . Do đó khi xem f  x  và f � �là ẩn thì ta có hệ phương
x
x
��

��

trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ phương trình tìm được hàm số f  x  thỏa mãn đề
bài.
Giải:
Cách 1
1
�x �

��
Ta có: f ( x)  2 f � � 3x

(1)

3
1
�1 �
Thay x bởi ta được: f � � 2 f  x  
x
x
x
��

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
�
�
�1 �
�1 �
�f ( x )  2 f �x � 3x
�f ( x)  2 f �x � 3x

2
�
��
�
��
� �
� f  x   x
�
x
�1 � 6
�f �1 � 2 f ( x)  3
�
4 f ( x)  2 f � �
�
�
�
�
x
�x � x
� �x �
�
2
2
2
f  x
�2
� �2
� 3
dx  �
  x �1  . Chọn phương án B.

Do đó: I  �x dx  �
� 2  1�
x
� �x
� 2
1
1�
2
2
2

Cách 2
1
�x �

1
�x �

��
��
Ta có f ( x)  2 f � � 3 x � f  x   3 x  2 f � �
�
�
f  x
�
I  � dx  �
3 2
x
1
1�

2
2�
�
2

2

�1 ��
�1 �
f � ��
2
2 f � �
x
�x ��
dx  3�
dx  2�� �
dx
x �
x
1
1
�
2
2
�

10


�1 �

f��
1
1
1
Xét J  ��x �dx . Đặt t  � dt   2 dx  t 2 dx � dx   2 dt
x
x
t
x
1
2

2

Đổi cận:
x

1
2
2

t

2
1
2

1
2

2
2
f  t
f  x
�1�
J

tf
t

dt

dt

dx  I


Khi đó
� 2� �
�
�
x
�t � 1 t
1
2
2
2

2

2

2

2

3
� I  3�
dx  2 I � I  �
dx  .
2 Chọn phương án B.
1
1

Nhận xét
- Đối với cách 1, cách làm đơn giản và dễ nhớ hơn, nhìn vào bài toán
tương tự học sinh có thể định hướng ngay được phương pháp giải. Phép toán ít
và đơn giản dẫn đến tiết kiệm được thời gian trong lúc làm bài thi.
- Đối với cách 2, liên quan đến việc phải sử dụng nhiều phương pháp và
công thức, phép tính dài phức tạp hơn đòi hỏi kỹ năng giải toán cao hơn.
Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x) liên tục trên �, thỏa mãn f ( x)  2018 f  x   x sin x.
Tính tích phân I 


2

f ( x ) dx.
�




A.

2

2
I
.
2019

B.

I

1
.
2019

C.

I

1
.
1009

D.

I

1
.
2018

Phân tích
Nếu ta đặc biệt hóa đối số bằng cách thay x bởi  x thì f  x  thành f   x 
và f   x  thành f  x  . Do đó khi xem f  x  và f   x  là ẩn thì ta có hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ phương trình tìm được hàm số f  x  thỏa mãn đề
bài.
Giải:
Ta có: f ( x)  2018 f  x   x sin x
(1)
Thay x bởi  x ta được: f ( x)  2018 f   x   x sin x
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
�
1
�f ( x)  2018 f  x   x sin x
�  20182  1 f  x   2017 x sin x � f ( x) 
x sin x
�
2019
�f  x   2018 f ( x)  x sin x
1


2

2

x sin x dx 
Do đó I  2019 �
.
2019



2

Chọn phương án A.

11


3. Bài tập tự luyện
2

Bài 1: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên � , thỏa mãn f (2)  16 và

f ( x)dx  4 .
�
0

4

x

��
x. f ' � �
dx.

Tính tích phân I  �
2
��

0

A.

I  144.

I  12.

B.

C.

I  56.

I  112.  13

D.

Bài 2: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  0;3 , thỏa mãn

1

f ( x)dx  2
�

và

0

3

f ( x)dx  8.
�
0

1

f  2 x  1  dx.
Tính tích phân I  �
1

A. I  6.
B. I  3.
C. I  4.
D. I  5.
Bài 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn
2

1

1

0

x 3 f  x 2  dx.
f ( x  1)dx  3 và f (1)  4. Tính tích phân I  �

�

A.

I  1.

B.

1
I  .
2

C.

1
I .
2

D.

I  1.

�  �
 ;
Bài 4: Cho hàm số f ( x) liên tục trên �
, thỏa mãn 2 f ( x)  f   x   cos x.
�2 2�
�

Tính tích phân I 


2

f  x  dx.
�




A.

I  2.

2

2
I .
3

B.

C.

3
I .
2

D.

I  2.

Bài 5: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn

4

1

x. f ( x ) dx  4 . Tính tích phân
�
0

I �
f  cos 2 x  .sin 4 xdx.
0

I  4.

I  4.

A.
B.
C. I  1.
D. I  1.
Bài 6: Cho hàm số f ( x) liên tục trên  3;7  , thỏa mãn f ( x)  f  10  x  và
7

f  x  dx  4 . Tính tích phân
�
3

I  20.

7

I �
x. f ( x) dx.
3

I  40.

A.
B.
C.
Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số.
1. Phương pháp.

I  60.

D.

I  80.

b

f  x  dx thích hợp trong bài toán (thường là tích phân phức tạp
Xét tích phân I  �
a

hơn)

'
Bước 1: Đặt t  u  x  � dt  u  x  dx
Bước 2: Đổi cận:

x
t

a
u  a

b
u  b

12


I

Bước 3: Biến đổi thành dạng

u b

�g  t  dt .

u a

Bước 4: Liên hệ với tích phân cần tính, suy ra giá trị của tích phân cần
tính.
Bước 5: Trả lời phương án đúng.

2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên �, thỏa mãn f  3x   f  x   2 x với
1

x �� và

f  x  dx  5. Giá trị
�
0

3

f ( x) dx bằng
�
1

A. 4.
B. 10.
C. 7.
D. 12.  14
Phân tích
- Khi đưa ra bài toán này, giáo viên đặt vấn đề yêu cầu các em thử giải
theo phương pháp đặc biệt hóa như ở trên.
- Sau khi thấy các em gặp khó khăn không thể vượt qua là tìm được một
hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài thì giáo viên giới thiệu cho các em thêm một
kỹ năng khác khi trong đề bài cho một phương trình hàm đó là lấy tích phân hai
vế rồi kết hợp với các phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp từng phần để
giải.
Giải:
Ta có:

1

1

1

0

0

0

f (3 x)dx  �
f  x  dx  �
2 xdx  5  x 2
�

1
4
0

1

Xét

f (3 x)dx  4 . Đặt t  3 x � dt  3dx
�
0

Đổi cận:
x
t

0
1
0
3
1
3
3
3
1
1
4

f
(3
x
)
dx

f
t
dt

f
x
dx
�

f  x  dx  12
 
 
Ta có
�
�
�
�
3
3
0
0
0
0

Mà

3

1

3

3

3

1

0

0

1

1

0

0

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx � �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx  12  5  7
�

Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) liên tục trên �, thỏa mãn

9

x

và

3

f  sin x  cos xdx  2. Tính tích phân

�
0

 x  dx  4

�
1


2

f

I �
f ( x)dx.
0

A. I  2.
B. I  6.
C. I  4.
D. I  10.
Phân tích
- Các tích phân cho trước có đặc điểm phức tạp hơn tích phân cần tìm.
b

- Các tích phân cho trước có dạng

g  u  x   .u  x  dx
�
'

nên nghĩ đến việc xét

a

các tích phân cho trước và sử dụng phương pháp đổi biến số.

13


Giải:
- Xét

9

 x  dx  4 . Đặt t 

f

�

x

1

x � t 2  x � 2tdt  dx

 

9 f

3
3
3
x
�x  1 � t  1
. Suy ra 4  �
dx  2�
f (t )2dt � 2  �
f (t ) dt  �
f ( x) dx.
�x  9 � t  3
x
1
1
1
1
- Xét Đặt t  sin x � dt  cos xdx

�x  0 � t  0
1
1
2
�
Đổi cận: � 
. Suy ra 2  �
f  sin x  cos xdx  �
f (t )dt  �
f ( x)dx.
x  �t 1
�

0
0
0
� 2

Đổi cận: �

3

1

3

0

0

1

f ( x )dx  �
f ( x)dx  �
f ( x)dx  4. Chọn phương án C.
Vậy I  �

Nhận xét
Sử dụng phương pháp đổi biến số vào những tích phân phức tạp hơn và có dạng
b

g  u  x   .u  x  dx
�

'

ở trong đề bài.

a

Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục trên �, thỏa mãn


4

f  tan x  dx  4
�

và

0

1

1

2

x f ( x)
dx  2. Tính tích phân I  �
f ( x)dx.
2
1
0

�x
0

A. I  2.
Giải:
- Xét

B.

I  6.

C.

I  3.

D.

I  1.


4

dt
t  tan x � tdt  (tan 2 x  1)dx  (t 2  1)dt � dx 
.
Đặt
f
tan
x

dx

4


�
1 t2
0


�x  0 � t  0
1
1
4
�
f (t )
f ( x)
Đổi cận: � 
. Suy ra 4  �
f
tan
x
dx

dt

dx


2

2
�
�
x

�
t

1
t

1
x

1
�
0
0
0
� 4
1
1
1 2
f  x
x f ( x)
f ( x)dx  �2
dx  �2
dx  4  2  6 . Chọn phương án B.
Vậy I  �
x 1

x 1
0
0
0

Ví dụ 4: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  0; a  , biết rằng với x � 0; a  , ta
có f ( x)  0 và f ( x). f (a  x)  k 2 ( với k là hằng số k  0 ). Tính tích phân
a

dx
I �
.
k  f ( x)
0

A.

a
I .
k

B.

I

a
.
2k

C.

I

ak
.
2

D.

I  ak .

Giải:
a

dx
- Xét I  �
. Đặt t  a  x � dt   dx
k  f ( x)
0
�x  0 � t  a
�x  a � t  0

Đổi cận: �

14


a

a

0

dx
dt
 �

Suy ra I  �
k  f ( x)
k  f  a t
0
a

dt

k2
k
f (t )

a
f  x
f (t )dt
�I �
dx
�
k (k  f (t))
0 k  k  f  x 
0

�

0

a

a
f  x  dx a k .dx
a
� 2k .I  �
�
�
dx a � I 
. Chọn phương án B.
k  f  x  0 k  f ( x) 0
2k
0
a

3. Bài tập tự luyện
2

f  x 2  1 xdx  2. Khi đó
Bài 1: Cho �
1

5

f  x  dx
�

bằng

2

A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 1.  15
Bài 2: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  0;1 , biết rằng với x � 0;1 , ta có
1

dx
f ( x )  0 và f ( x). f (1  x)  4 . Tính I  �
.
2  f ( x)
0

A.

I  1.

I  2.

B.

C.

1
I .
2

D.

1
I .
4

Bài 3: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  0; a  , biết rằng với x � 0; a  ,
a

ta có f ( x)  0 và
A.

f  x  . f (a  x )  1 . Tính I  �
0 1

I  a.

B.

a
I .
2

C.

dx
f  x

.

I  2a.

Bài 4: Cho hàm số f ( x) liên tục trên �, thỏa mãn
e

2

f  ln x 
2

�x ln x
e

A.

D.

4

I  a ln  a  1 .

tan x. f  cos x  dx  1
�
2

và

0

f  2x

dx  1. Tính tích phân I  � x dx.
1
2

4

I  1.

B.

I  2.

C.

I  3.

D.

I  4.

Dạng 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
1. Phương pháp.
Bước 1: Xét tích phân thích hợp.
Bước 2: Đặt u và du từ đó tính du và v.
Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần.
b

b b
udv


uv
 vdu
�
a �
a
a

Bước 4: Liên hệ với tích phân cần tính, suy ra giá trị của tích phân cần
tính.
Bước 5: Trả lời phương án đúng.
Nhận xét
b

Tích phân có dạng

g  x  . f  x  dx
�
'

thường sử dụng phương pháp từng

a

'
u  g  x
�
�
�
�du  g  x  dx
��

phần, bằng cách đặt: �
dv  f '  x  dx �
v  f  x
�

15


2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thảo mãn
1

1

0

0

'
x�
f  x  dx .
�
�f  x   2 �
�dx  f  1 . Tính tích phân I  �

I  2.

A.

B.

I  2.

C.

I  1.

D.

I  1.

Phân tích
- Khi đưa ra bài toán này, giáo viên đặt vấn đề yêu cầu các em thử giải
theo phương pháp đặc biệt hóa như dạng 2 ở trên được không ?
- Sau khi thấy các em gặp khó khăn không thể vượt qua là tìm được một
hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài thì giáo viên định hướng để các em nhận ra
'
tích phân cho trước có chứa đạo hàm f  x  , vậy thì nếu dùng phương pháp từng
phần sẽ biến đổi ra tích phân chứa hàm f  x  .
Giải:
1

'
x�
Xét �
�f  x   2 �
�dx  f  1
0

1

1

f  1  �
x�
x. f
�f  x   2 �
�dx  �
'

Ta có

0

0

'

1

1

0

0

2 xdx  �
x. f '  x  dx  1
 x  dx  �

ux
du  dx
�
�
��
'
v  f  x
dv  f  x  dx �
�

Đặt �

1 1
f  x  dx  1  f  1  I  1 � I  1 . Chọn phương án C.
Ta được f  1  x. f  x  0  �
0

Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  1; 2 và

2

 x  1 f  x  dx  a .
�
'

1

2

f  x  dx theo a và b  f (2) .

Tính tích phân I  �
1

A.

I  b  a.

B.

I  a  b.

C.

I  a  b.

D.

I  a  b.

Phân tích
'
- Tích phân cho trước có chứa đạo hàm f  x  , tích phân phải tìm không
chứa đạo hàm.
b

g  x  . f '  x  dx nên khi sử dụng
- Trong đề bài tích phân cho trước có dạng �
a

phương pháp tích phân từng phần sẽ biến đổi ra tích phân chứa hàm số f ( x)

u  x 1
�
bằng cách đặt �
.
'
�dv  f  x  dx

Giải:
2

 x  1 f '  x  dx  a . Đặt
Xét �
1

u  x 1
du  dx
�
�
��
�
'
v  f  x
dv  f  x  dx �
�

2

2
2 2
f  x  dx  b  �

f  x  dx
 x  1 f  x  dx   x  1 f  x   �
Ta có �
1 1
1
1
'

16


2

2

2

1

1

1

��
f  x  dx  a � �
f  x  dx  b  a . Chọn phương án A.
 x  1 f '  x  dx  a � b  �



� �
0;
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên �
, thỏa mãn
� 2�
�

2

3

f '  x  .c os xdx  10
�
2

f  x  sin 2 xdx .
và f (0)  3. Tính tích phân I  �
0

0

A.

I  13.

B.

I  7.

C.

I  7.

D.

I  13.

Phân tích
Tích phân cho trước


2

f '  x  .c os xdx
�
2

'
có chứa đạo hàm f  x  và có dạng

0

b

g  x  . f  x  dx , nên muốn biến đổi ra tích phân chứa hàm số
�
'

f ( x ) thì ta phải sử

a

�
u  cos 2 x
�
dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt �
.
dv  f '  x  dx
�

Giải:

2

�
du   sin 2 xdx
u  cos 2 x
�
�
�
Xét �
.
Đặt
�
�
f '  x  .c os xdx  10
v  f  x
dv  f '  x  dx
�
�

0
2


2

Ta có: 10  �
f '  x  .c os 2 xdx  cos 2 x. f  x 
0


2


2

0

0


2
0


2

�
f  x  .sin 2 xdx
0

10   f  0   �
f  x  sin 2 xdx � �
f  x  sin 2 xdx  10  f  0   13 . Chọn phương án D.





� �
��
0; �thỏa mãn f � � 0,
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên �
� 4�
�4 �

4

 và

f  x  dx 
�
8
2

0

A.



4



f  x  sin 2 xdx   . Tính tích phân
�
4
'

0

I  1.

B.

1
I .
2

C.


8

I�
f  2 x  dx .
0

I  2.

D.

1
I .
4

Phân tích
Tích phân cho trước


4

f  x  sin 2 xdx
�
'

'
có chứa đạo hàm f  x  và có dạng

0

b

g  x  . f  x  dx , nên muốn biến đổi ra tích phân chứa hàm số
�
'

f ( x ) thì ta phải sử

a

u  sin 2 x
�
�
'
�dv  f  x  dx

dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt �

17


Giải:
Xét


4

f '  x  sin 2 xdx  
�
0


4

 . Đặt
4

u  sin 2 x
�

�du  2 cos 2 xdx
��
�
'
v  f  x
dv  f  x  dx �
�

4

f  x  sin 2 xdx  sin 2 x. f  x 
�

Khi đó

'

0

0


4

 2�
f  x  cos 2 xdx
0




 sin . f
2

4


4





4
4
� �
sin
0.
f
0

2
f
x
cos
2
xdx


2

f  x  cos 2 xdx




��
�
�
�4 �
0
0



f  x  sin 2 xdx   � �
f  x  cos 2 x 
�
4
8
'

0

0


4

�


� 2

f  x  dx 
��
4
8
�0
2
�
�
Ta có �
�
�f  x   f  x  cos 2 x �
�dx  0
0
�4
� f  x  cos 2 xdx  
�
�
8
�0

4

� f  x �
��
f  x �
�f  x   cos 2 x �
� 0 � f  x   cos 2 x
�f  x   cos 2 x �

�dx  0
0


8


8

0

0



1
1
Do đó I  �
f  2 x  dx  �
cos 4 xdx  sin 4 x 8  . Chọn phương án D.
4

0

4

Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f (1)  0 ,
1

'

�
�
�f  x  �
�dx  7 và
2

0

A.

1

x 2 f  x  dx 
�
0

7
.
5

1
. Tích phân
3

B. 1.

1

f  x  dx
�

bằng

0

C.

7
.
4

D.

4.  16

Phân tích
1

x 2 f  x  dx ta sẽ biến đổi ra tích phân có chứa f '  x 
Tích phân cho trước �
0

1

'
�
để liên kết với tích phân �
�f  x  �
�dx  7 . Như vậy ta phải lựa chọn phương pháp
2

0

�
u  f  x
�
.
dv  3x 2 dx
�

từng phần bằng cách đặt �
Giải:
1

Xét

x 2 f  x  dx 
�
0

1

1
3

��
3 x 2 f  x  dx  x 3 . f  x 
0

1

hay

3x 2 f  x  dx  1 .
�
0

Đặt

�
�
u  f  x
du  f '  x  dx
�
�
�
�
� 3
dv  3 x 2 dx �
vx
�

1
1
1 1 3 '
�
x. f  x  dx � 1  f  1  �
x 3 f '  x  dx � �
x3 f '  x  dx  1
0 0

0
0

18


�1 '
2
�
��
�f  x  �
�dx  7
�0
�
Ta có �1
� x3 f ' x dx  1
��  
�0

�1 '
2
�
��
�f  x  �
�dx  7
1
�0
'
3
f '  x . �

��
�1
�f  x   7 x �
�dx  0
0
� 7 x 3 f ' x dx  7
��  
�0
7
'
3
7 x 3dx   x 4  C
Chọn f  x   7 x � f  x    �
4
7
7 7 4
Vì f (1)  0 � C  � f  x    x
4
4 4
1
1
�7 7 4 � 7
f  x  dx  �
dx  . Chọn phương án A.
Vậy �
� x �
4
4
5
�

�
0
0

3. Bài tập tự luyện

2

3

cos x. f '  x  dx.
Bài 1: Cho �
sin x. f  x  dx  f  0   1 . Tính tích phân I  �
0

0

A. I  1.
B. I  0.
C. I  2.
D. I  1.
Bài 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  1; 2 thỏa mãn f (2)  0 ,
2

'
�
�
�f  x  �
�dx  7 và
2

1

A.

2

 x  1
�

2

1

7
.
5

B.

2

1
f  x  dx   . Tích phân
3

7
 .
5

C.



f  x  dx
�

bằng

1

7
.
20

D.

7
.
20

Bài 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f (1)  1 ,
1

'
�
�
�f  x  �
�dx  9 và
2

0

A.

1

1
x f  x  dx  . Tích phân
�
2
0
3

2
.
3

B.

5
.
2

1

f  x  dx
�

bằng

0

C.

7
.
4

D.

6
.
5

Bài 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  0   f  1  0.
1

f 2  x  dx 
Biết �
0

A.

1
và
2

I  .

1

f '  x  cos   x  dx 
�
0

B.

I

1
.


1

I

f  x  dx .
. Tính tích phân
�
2
0

C.

I

2
.



D.

I

3
.
2

Bài 5: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  0   1. Biết
1

2
1
'
�
�
f
x


�
�
�dx  30 và
0

A.

I

11
.
4

1

1

1
f  x  dx .
 2 x  1 f  x  dx   . Tính tích phân I  �
�
30
0
0

B.

I

1
.
30

C.

I

11

.
12

D.

I

11
.  17 
30

2.4. Hiệu quả của đề tài.
Qua thực tế giảng dạy lớp 12 về việc giải nhanh bài toán tính tích phân
chứa hàm ẩn, nếu thực hiện theo tiến trình của đề tài này thì học sinh nắm kiến
thức chắc chắn, có hệ thống. Nên khi gặp các bài toán cùng dạng các em nhạy
bén trong việc chọn phương pháp tính và giải quyết nhanh chóng, chính xác.
Tôi đã thử nghiệm đối với 2 lớp 12 năm học 2018-2019 với học lực
trung bình hoàn toàn như nhau với hai tiến trình khác nhau:
19


- Lớp 12 C2 tôi dạy theo tiến trình của đề tài này.
- Lớp 12 C3 tôi dạy theo tiến trình khác.
Kết quả thu được sau khi kiểm tra khảo sát với mức độ đề như trong đề thi
THPT Quốc gia các năm trước thì thu được kết như sau:
Lớp
12C2
12C3

Sỉ số

50
41

Giỏi
12%
0

Khá
40%
25%

Trung bình
43,8%
35%

Yếu
4,2%
40%

3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy việc sắp xếp các vấn đề, các dạng
toán theo một hệ thống thì không riêng gì phần tích phân mà tất cả các phần nói
chung là sự cần thiết. Nó giúp cho học sinh nắm vấn đề rõ ràng hơn, không bị
lúng trong việc lựa chọn được phương pháp tối ưu, đặc biệt trong việc ôn tập để
chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.
Là một người giáo viên để giảng dạy ngày càng có kết quả cao hơn thì phải
thường xuyên học hỏi, đúc rút kinh nghiệm cho bản thân để ngày càng nâng cao
trình độ chuyên môn nghiệp vụ và hiểu biết về lĩnh vực khoa học để phục vụ cho
việc giảng dạy của mình.

3.2. Kiến nghị.
Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân thu
được trong quá trình dạy một phạm vi học sinh nhỏ hẹp. Vì vậy sự phát hiện ra
những ưu nhược điểm chưa được đầy đủ và sâu sắc. Rất mong được sự góp ý
phản hồi từ hội đồng khoa học ngành, các đồng nghiệp những ưu nhược điểm về
cách dạy nội dung này để đề tài của tôi được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
ĐƠN VỊ
viết, không sao chép của người khác.
Người viết

Trịnh Văn Thắng

20


21