Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề tổ hợp xác suất ở trường THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC
SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
TỔ HỢP – XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG THPT

Người thực hiện: Lê Mai
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HOÁ, NĂM 2019


MỤC LỤC
I. PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu................................................................................2
II. NỘI DUNG.......................................................................................................3
1. Cơ sở lý luận...................................................................................................3
2. Thực trạng ......................................................................................................3
3. Một số giải pháp nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua
dạy
học
chủ
đề
tổ

hợp
xác
suất………………………………………………...3
3.1.

Rèn luyện cho học sinh nắm vững
kiến thức cơ bản
………………………...........3
3.2. Rèn cho học sinh biết " Quy lạ về quen ", biết thực hiện tương tự hóa, khái
quát hóa, bổ sung và hệ thống hóa các bài tập......................................................5
3.3. Rèn luyện năng lực định hướng đường lối, biết phân chia ra thành các
trường hợp nhỏ để giải toán……………………………………………………...9
3.4. Rèn kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán…………….. 11
3.4.1. Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân.................................11
3.4.2. Áp dụng nhầm giữa chỉnh hợp và tổ hợp........................................11
3.4.3. Sai lầm khi phân chia bài toán thành các trường hợp nhỏ .............12
3.5. Rèn cho học sinh năng lực thực tiễn và năng lực thực hiện mối liên hệ với
các môn khác…………………………………………………………………...14
3.6. Luôn khuyến khích học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau – sáng tạo
trong giải toán…………………………………………………………………..17
III. KẾT LUẬN CHƯƠNG.....................................................................................
1. Kết luận nghiên cứu........................................................................................19
2. Kết luận chung..................................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................20
DANH MỤC ......................................................................................................21
PHỤ LỤC............................................................................................................22


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Trong bối cảnh cuộc Cách mạng công nghiệp 4.0 lan rộng khắp thế giới
đã tác động không chỉ đến sự biến đổi kinh tế mà còn biến đổi cả văn hóa, xã hội
một cách sâu sắc và toàn diện, tạo sự thay đổi lớn, đòi hỏi Giáo dục phải thay
đổi cho phù hợp với sự phát triển đó.
Đảng và Nhà nước ta luôn dự liệu trước những thách thức trong hoạt
động giáo dục cho tương lai, các Nghị quyết của Đảng, Quốc hội, Chính phủ,
các chỉ đạo của Thủ tướng Chính phủ, các chỉ thị của Ngành về Giáo dục qua
thời đã chỉ rõ quan điểm giáo dục:“ Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu
trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học.
Học đi đôi với hành” với mục tiêu:“ Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và
đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa”( Nghị quyết số 29 của
Hội nghị Trung ương 8, khóa XI).
Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập,
sáng tạo của học sinh, tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm tiến trình giải
toán để đi đến lời giải, tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho và xây dựng
hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu.
Rèn lực năng lực giải toán cho học sinh nói chung có ý nghĩa vô cùng
quan trọng vì việc làm đó có tác dụng bước đầu rèn cho học sinh khả năng giải
quyết tốt các “ Bài toán”( Bao gồm cả bài toán cuộc sống ).
Các bài toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất luôn có mặt trong các kì thi cấp
quốc gia và đặc biệt việc áp dụng các bài toán chủ đề này vào thực tế rất nhiều
như: Thiết kế biển số xe, số điện thoại, mã số ổ khóa, mã vạch, sêri sản phẩm,
xác định được mức độ an toàn của sản phẩm, …Trong vui chơi giải trí, thông kê
thì áp dụng để thiết kế các trò chơi như máy đánh bạc, máy đếm sổ số, tỉ
số,...Ngoài ra kiến thức của toán Tổ hợp – Xác suất rất cần thiết cho nhiều ngành
khoa học từ Kinh tế tới Sinh vật, Hóa học, Vật lý và Quản trị kinh doanh.
Song chủ đề này thường làm học sinh lúng túng, khó khăn, hay nhầm lẫm
giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa, giữa khái niệm này với khái niệm
khác, công thức trìu tượng khó nhớ, gây ra tâm lý e ngại, tạo bức rào cản ngay
trong tư duy của các em.

Xuất phát từ những lý do trên, với mong muốn giúp học sinh có định
hướng, có năng lực tiếp cận thực tiễn và được tôi luyện qua các dạng toán, tôi
chọn đề tài: “ Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 thông qua dạy
học chủ đề Tổ hợp – Xác suất ”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất cho học sinh THPT
- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng toán trong chương trình phổ thông.

1


3. Đối tượng nghiên cứu
HS lớp 11A1 và lớp 11A6 năm học 2018 -2019
4. Phương pháp nghiên cứu:
* Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các loại tài liệu về lí luận và phương
pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí, Giáo dục học,...có liên quan
đến đề tài như năng lực, năng lực toán học,...
* Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua tài liệu, quan sát
thực trạng dạy học của giáo viên và học sinh.
* Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của đề tài.

2


II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
- Dựa trên các kiến thức về khái niệm, định nghĩa, định lí và các
công thức được chứng minh hoặc được thừa nhận trong chương trình toán trung
học phổ thông.

- Dựa trên đặc điểm phát triển năng lực nói chung và năng lực toán
nói riêng.
2. Thực trạng:
* Nguyên nhân khách quan:
Khóa học 2017 -2020, tôi được giao giảng dạy 2 lớp đại trà, chất lượng
đầu vào thấp, việc lĩnh hội kiến thức cơ bản đối với các em còn vất vả, các em
cộng trừ thậm chí còn chưa thạo. Bên cạnh đó, gia đình chủ yếu là thuần nông,
điều kiện còn khó khăn, nhiều gia đình phải đi làm ăn xa, việc quan tâm đến học
tập của con em còn hạn chế nên ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt,
chưa xác định được động cơ học tập.
* Nguyên nhân chủ quan:
- Nội dung Tổ hợp – Xác suất nhiều khái niệm mới, công thức mới, có
tính trìu tượng cao, khó nhớ, khó phân biệt và đặc biệt là cách suy luận không
hoàn toàn giống suy luận toán học.
- Đây là nội dung mà học sinh cảm thấy khó, mới mẻ và rất hay mắc sai
lầm từ việc nắm ngữ nghĩa cú pháp đến việc áp dụng các công thức, quy tắc khi
giải bài tập
- Học sinh khó khăn trong việc nhận thức các suy luận hợp lý trong sự
phân biệt với các suy luận diễn dịch khi học xác suất( Học sinh phải tiếp thu
ngay sự hợp lý khi học xác suất)
- Khó khăn do ở học sinh cơ sở trực giác cho việc học các yếu tố của Lí
thuyết xác suất là chưa có
3. Một số giải pháp nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông
qua dạy học chủ đề tổ hợp - xác suất
3.1. Rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản
* Đối với bài “ Hai quy tắc đếm ” cần yêu cầu học sinh phải phân biệt
được sự giống nhau và khác nhau của hai quy tắc này ? Khi nào áp dụng quy tắc
cộng, khi nào áp dụng quy tắc nhân ?
Để hoàn thành công việc có nhiều phương án thực hiện, các phương án
này độc lập nhau, ta có thể thực hiện phương án này này, không thực hiện

phương án kia mà công việc vẫn hoàn thành thì dùng quy tắc cộng. Công việc
được thực hiện bởi nhiều công đoạn, nếu bỏ qua một công đoạn nào đó thì công
việc không hoàn thành thì ta dùng quy tắc nhân.
3


Sau đó, nên phân tích cho học sinh trong một vài ví dụ thực tế, cụ thể
áp dụng quy tắc đếm và một số bài tập trắc nghiệm nhanh nhằm giúp học sinh
nắm vững kiến thức.
Ví dụ 1: Trường THPT Đông Sơn 2, khối 11 có 90 học sinh nam và 130 học
sinh nữ.
a) Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự đại hội Đoàn do
huyện Đoàn Đông Sơn tổ chức. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một học sinh nam và
một nữ đi thi giọng hát hay toàn huyện. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Ở câu a nhiệm vụ công việc là gì? (Chọn một học sinh nam hoặc nữ) .
áp dụng quy tắc nào?
Ở câu b nhiệm vụ công việc là gì? (Chọn ra hai học sinh, một nam và một
nữ). Như vậy công việc muốn hoàn thành ta cần thực hiện bao nhiêu bước liên
tiếp? Áp dụng quy tắc nào?
* Khi dạy khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên có thể dạy
bằng con đường diễn dịch hoặc quy nạp nhưng cốt lõi là học sinh phải lấy được
ví dụ cho từng dạng khái niệm.
* Phân biệt được hoán vị của n phần tử với số hoán vị của n phần tử,
chỉnh hợp chập k của n phân tử với số chỉnh hợp k của n phân tử, tổ hợp với số
tổ hợp chập k của n phần tử . Nắm được các công thức tính số hoán vị của n
phần tử Pn  n! , công thức tính số các chỉnh hợp k của n phân tử
n!
Ank 
1 �k �n , công thức tính các tổ hợp chập k của n phần tử

 n  k  ! với
n!
Cnk 
với 0 �k �n , cách sử dụng máy tính để tính.
k ! n  k  !
Vậy dựa trên những yếu tố đặc trưng nào bài toán sử dụng hoán vị,
chỉnh hợp hay tổ hợp?
+) Để sử dụng hoán vị của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
- Tất cả các phần tử đều có mặt
- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần
- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử
+) Để sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn
+) Để sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Sau đó giáo viên có thể đưa một vài ví dụ ở mức độ nhận biết – thông hiểu, học
sinh có thể dựa vào dấu hiệu đặc trưng đưa ra cách làm.
Ví dụ 2: Cho tập hợp A  {3,4,5,6,7}
a) Từ A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt ?
b) Từ A có thể lập được bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác nhau ?
Đối với học sinh yếu giáo viên có thể định hướng theo sự gợi ý :
4


?Ở tập hợp A có bao nhiêu số tất cả? Mỗi số xuất hiện bao nhiêu lần. Có phân
biệt thứ tự giữa các số không?
Ở câu a học sinh phải xác định được mỗi số tự nhiên có 5 chữ số phân
biệt là một hoán vị của 5 số ở tập hợp A nên số các số cần tìm bằng số hoán vị

của 5, ở câu b chỉ cần lấy ra 2 trong 5 số ở tập hợp A và xếp thứ tự ta được số tự
nhiên có 2 chữ số khác nhau như vậy số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau
bằng số hoán vị chập 2 của 5
Ví dụ 3: Lớp 11A6 có 45 học sinh cần chọn ra ban cán sự lớp gồm 5 người. Hỏi
có tất cả bao nhiêu cách chọn?
3.2. Rèn cho học sinh biết “ Quy lạ về quen ”, biết thực hiện tương tự hóa,
khái quát hóa, bổ sung và hệ thống hóa các bài tập.
Không chỉ giúp học sinh đưa những bài toán mới về những bài toán quen
thuộc, làm những bài tập tương tự mà còn phải giúp học sinh hệ thống hóa các
bài tập, đưa về các bài toán gốc.
* Bài toán về hoán vị thẳng, hoán vị vòng và hoán vị lặp
Ví dụ 1:
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn học sinh A, B, C, D ngồi vào một bàn
học gồm bốn chỗ?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn học sinh A, B, C, D ngồi vào một bàn
tròn gồm bốn chỗ?
Để mô tả cách xếp chỗ ngồi ta có thể dùng hình ảnh trực quan như sau:
Ở câu a, ta có thể liệt kê các cách có thể xảy ra:

A

B

C

D

A
C
B

D
,…Như vậy, mỗi cách xếp là một hoán vị, số cách xếp chính bằng số hoán vị
của 4 phần tử. Vậy có P4  4!  24 cách xếp.
Ở câu b, xếp bốn học sinh vào một bàn tròn có gì khác so với xếp vào bàn
thẳng? Cho học sinh quan sát cách xếp bốn học sinh vào bàn như hình dưới đây:

A
D

D
B

C

C

C
A

B

B
D

B
A

A

C

D

Các cách xếp trên có khác không?( Bốn cách xếp trên được coi là một cách sắp
xếp). Như vậy, nếu chuyển đổi liên tiếp cả 4 phần tử thì kết quả nhận được là
như nhau, số hoán vị vòng của 4 phần tử giảm 4 lần so với hoán vị thẳng. Vậy

5


số sắp xếp 4 học sinh vào một bàn tròn bằng số hoán vị vòng của 4 phần tử :
P4
 3!  6
4
Từ bài toán cụ thể sắp xếp 4 học sinh vào 4 vị trí, cần tổng quát hóa
thành bài toán thành tìm số hoán vị thẳng và số hoán vị vòng của n phần tử( Cần
biết lược bỏ các yếu tố thực tế còn lại các yếu tố toán học)
- Số hoán vị thẳng của n phần tử là Pn  n!
- Số hoán vị vòng của n phần tử là Pn   n  1 ! ( Vì nếu chuyển đổi liên
tiếp cả n phần tử thì kết quả nhận được là như nhau, số hoán vị vòng của n
phần tử giảm n lần so với hoán vị thẳng )
Khi đã nắm vững bản chất của bài toán này thì ta có thể “đẻ ra” hệ thống
các bài tập tương tự, đồng thời khi gặp các bài dạng này ta có thể bóc tách các
nội dung còn lại bản chất toán học.
Ví dụ 2:
a) Khi mời n người khách ngồi vào xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi? Có bao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàn
tròn?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp n người khách vào một bàn hình chữ U? Có
bao nhiêu cách xếp 10 người vào một bàn hình chữ U?
Học sinh cần xác định : - Bài toán sử dụng hoán vị gì? (Hoán vị thẳng hay hoán

vị vòng)
- Có bao nhiêu phần tử? Kết quả?
Bài toán hoán vị thẳng thỏa mãn tính chất cho trước:
Ví dụ 1: Có n quả cầu trắng và n quả cầu đen, đánh theo các số 1, 2, 3,…,n. Có
bao nhiêu cách sắp xếp các quả cầu này thành một dãy sao cho hai quả cầu cùng
màu không nằm cạnh nhau
- Các quả cầu được đánh số nên các quả cầu phân biệt với nhau bởi màu
sắc và số được đánh trên quả cầu.
- Nếu các quả cầu đánh số được xếp thành một dãy mà không thỏa mãn
điều kiện gì thì mỗi kết quả xếp là một hoán vị (thẳng) của 2n phần tử nhưng bài
toán yêu cầu hai quả cầu cùng màu không được đứng cạnh nhau nên sẽ phải sắp
xếp thế nào? Có thể định hướng cho học sinh dưới dạng trực quan từ đó các em
tự phân chia các khả năng có thể như:
Khả năng 1:
Đen
Trắng
Đen
….
Trắng
Khả năng 2:
Trắng
Đen
Trắng
Đen
Như vậy, có 2 khả năng:
* Các quả cầu đen chiếm ở vị trí lẻ, còn các quả cầu trắng chiếm các vị trí chẵn.
* Các quả cầu trắng chiếm ở vị trí lẻ, còn các quả cầu đen chiếm các vị trí chẵn.

6

Trong mỗi trường hợp: có n! cách xếp quả cầu trắng ( hoặc đen) nghĩa là
2
có  n! cách sắp xếp. Do đó, số cách sắp xếp các quả cầu sao cho hai quả cầu
cùng màu không nằm cạnh nhau là 2  n! .
Đề xuất bài toán tương tự: Một nhóm học sinh gồm n nam và n nữ đứng
thành hàng ngang. Có bao nhiêu tình huống mà nam, nữ đứng xen kẽ nhau? Có
thể cho bài toán với các số liệu n cụ thể.
Ví dụ 2: Tìm số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b
không đứng cạnh nhau.
+) Học sinh cần nhận thấy số các hoán vị của n phần tử chứa a, b gồm
những hoán vị mà a, b đứng cạnh nhau và những hoán vị mà a, b không đứng
cạnh nhau.
+) Xem 2 phần tử a và b đứng cạnh nhau là một phần tử. Lúc này số các
phần tử sẽ là n – 1. Tuy nhiên b đứng bên trái a (tức là ba)và b đứng bên phải a
(tức là ab) là khác nhau. Như vậy, sẽ có hai khả năng xảy ra.
Giải: Số hoán vị của n phần tử là: Pn  n!
Số hoán vị của n phần tử trong đó b đứng cạnh bên trái a (b đứng cạnh
bên phải a )là (n – 1)!. Do đó, số hoán vị của n phần tử mà a, b đứng cạnh nhau
là 2(n – 1)!. Vậy số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b không
đứng cạnh nhau là: n! 2  n  1 !   n  2   n  1 !
Từ đó, yêu cầu học sinh nắm công thức tính số hoán vị của n phần tử
trong đó có hai phần tử a và b không đứng cạnh nhau(
n! 2  n  1 !   n  2   n  1 ! ) và công thức tính số hoán vị của n phần tử trong
đó có hai phần tử a và b đứng cạnh nhau ( 2  n  1 !).
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau
trong đó chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. (ĐS: 5! 2.4!  72 số)
Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt sao cho:
a) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau

b) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau
Khi giải các bài toán dạng tìm số các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho
trước, tâm lí chung là các em tỏ ra khá lúng tung trong cách phân chia trường
hợp và cách diễn đạt đặc biệt là xuất hiện chữ số 0, có thể gợi ý cho các em theo
từng bước nhỏ để các em không cảm thấy rối, bỡ ngỡ ở những bài toán đó:
- Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau xảy ra những khả năng nào?
- Khi các chữ số chẵn đứng cạnh nhau thì xem như chiếm một vị trí trong
tổng hai vị trí( Mỗi số lẻ chiếm một vị trí, các số chẵn đứng cạnh nhau chiếm
một vị trí)
- Cần chú ý chữ số đứng đầu bên trái phải khác 0
* Đối với học sinh tiếp thu chậm, ta có thể định hướng :
Đặt a  024, b  042, c  402, d  204, e  420, f  240 .
Từ  a,1,3,5 lập được 3.3!=18 số. Từ  b,1,3,5 lập được 3.3!=18số
2

7


Từ  c,1,3,5 lập được 4!=24 số. Từ  d,1,3,5 lập được 4!=24 số. Tương tự từ
 e,1,3,5 ,  f,1,3,5 mỗi tập hợp cũng lập được 24 số. Vậy có 2.18+4.24=132 số
có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau.
* Đối với học sinh tiếp thu nhanh, ta có thể định hướng theo cách khác:
Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt chính là sự sắp xếp 6 chữ số khác nhau
vào 6 vị trí. Do có 3 chữ số chẵn, các chữ số này đứng cạnh nhau nên 3 chữ số
này sẽ chiếm 1 vị trí
Số các số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau là 4!
(Kể cả các số có chữ số 0 đứng bên trái)
Số các số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và số
0 đứng đầu bên trái là 2!.3!
Vậy có 4!-2!.3! =132 số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh

nhau.
b) Cũng như câu a tùy theo đối tượng học sinh mà ta có thể định hướng cách
làm:
Theo bài cho có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ, số cách xếp 3 chữ số chẵn
là 3!, số cách xếp 3 chữ số lẻ là 3!
Nên số cách xếp số có 6 chữ số phân biệt mà các chữ số chẵn đứng cạnh
nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau là 2!.3!.3!( Kể cả chữ số 0 đứng đầu bên
trái). Số các số có chữ số 0 đứng đầu bên trái là: 2!.3!
Vậy số các số thỏa mãn ycbt là 2!.3!.3! - 2!.3! = 60 số
Bài toán hoán vị vòng thỏa mãn tính chất cho trước:
Ví dụ: Một bàn tròn gồm 6 người ngồi được đánh số thứ tự. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp 6 người sao cho A và B luôn ngồi cạnh nhau?
Xếp vị trí A có 6 cách, xếp vị trí B có 2 cách ( Bên trái hoặc bên phải A),
Xếp vị trí cho 4 người còn lại có 4! cách. Vậy có 6.2.4! cách xếp
Đề nghị bài toán tổng quát:
1. Mời n vị khách vào ngồi một bàn tròn được đánh số thứ tự. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp để cho hai vị khách A và B luôn ngồi cạnh nhau?
Học sinh dễ dàng dự đoán được công thức tổng quát số cách xếp là: n.2.(n-2)!
( Yêu cầu chứng minh công thức tổng quát).
2. Mời n vị khách vào ngồi một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để
cho hai vị khách A và B luôn ngồi cạnh nhau?
Yêu cầu học sinh phân biệt đề bài 1 và đề bài 2, sự giống và khác nhau? Từ đó
đưa ra cách làm?
+) Xem mỗi vị khách là một phần tử trong hoán vị vòng. Khi đó, xem 2 vị
khách A và B ngồi cạnh nhau là một phần tử. Lúc này số các phần tử sẽ là n – 1.
Tuy nhiên B ngồi bên trái A (tức là BA)và B ngồi bên phải A (tức là AB) là khác
nhau. Do đó, số cách xếp là 2.(n-2)!
Bài toán tổng quát về hoán vị lặp:
8

Ta đã biết bài toán có bao nhiêu phần tử xếp vào bấy nhiêu vị trí thì nghĩ
tới việc tìm số hoán vị của các phần tử. Vậy trong các phần tử đó có những phần
tử lặp lại thì sao?
Bài toán gốc: Có n vật sắp xếp vào n vị trí và trong n vật này có:
+) n1 vật giống nhau
+) n2 vật khác giống nhau
…
+) nk vật khác lại giống nhau
n!
Số cách sắp xếp n vật vào n chỗ là
n1 !n2 !...nk !
Cần tách nhỏ bài toán: Nếu có n vật sắp xếp vào n vị trí và trong n vật này
n!
có n1 vật giống nhau thì số cách sắp xếp là
.Vì sao?
n1 !
Học sinh cần phát hiện ra vấn đề nếu các chữ số khác nhau khi tráo đổi vị
trí của hai chữ số ta được một số mới, còn nếu hai chữ số giống nhau khi tráo
đổi vị trí cho nhau thì không được số mới ( vẫn là số đó)
Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, 7, 9 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số trong
đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi số khác có mặt đúng 1 lần?
Xác định đây là bài toán hoán vị 8 vật( Coi 3 chữ số 1 là khác nhau)
trong đó có 3 vật giống nhau ( 3 chữ số 1 ) .
8!
Do đó, số các số thỏa mãn là , kể cả các số có chữ số 0 tận cùng bên
3!
7!
trái. Các số này có thể xem là số hoán vị 7 vật có 3 vật lặp lại là
.

3!
8! 7!
Vậy số các số phải tìm là   5880 số
3! 3!
Có thể hướng các em suy nghĩ theo cách áp dụng quy tắc nhân?
- Số cách chọn vị trí để viết chữ số 1?
- Số cách chọn chữ số tận cùng bên trái?
- Số cách viết vào các vị trí còn lại?
Ví dụ 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 5, 7, 9 có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số trong
đó chữ số 1 và chữ số 3 có mặt đúng 2 lần, mỗi số khác có mặt đúng 1 lần?
Khi đã nắm được bản chất của bài toán, học sinh có thể đọc ngay kết quả
8!
 180080 số. Vậy nếu làm theo cách khác được không?
là
2!2!
- Có C82 cách chọn vị trí để viết chữ số 1
- Có C62 cách chọn vị trí để viết chữ số 3
- Có 4! Cách viết 4 số vào 4 vị trí còn lại
Theo quy tắc nhân có C82 . C62 .4!=180080 số
3.3. Rèn luyện năng lực định hướng đường lối, biết phân chia ra thành các
trường hợp nhỏ để giải toán.
9


Rèn luyện cho học sinh năng lực định hướng đường lối giải, biết phân
chia bài toán thành các trường hợp nhỏ để giải toán là nhiệm vụ rất quan trọng
trong dạy học giải bài tập toán. Đối với dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất thì
đây là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng giúp học sinh đơn giản bài toán và biết
hướng làm cho các dạng tương tự.
Ví dụ 1: Một hộp có 9 bi đỏ, 4 bi xanh cùng kích cỡ. Chọn ngẫu nhiên một lúc

ra 5 bi . Tính xác suất để trong 5 bi chọn ra có ít nhất 3 bi đỏ.
Đây là dạng toán mà học sinh trung bình – yếu cảm thấy hứng thú nếu ta
hướng cho các em cách phân chia lấy đủ các trường hợp, hiểu rõ các cụm từ “có
ít nhất – có nhiều nhất- có đúng, không nhiều hơn, không ít hơn…”
5
)
- Tổng có bao nhiêu bi? Lấy ra bao nhiêu bi? n     ? (C13
- Lấy ra ít nhất 3 bi đỏ trong 5 bi sẽ xảy ra những trường hợp nào? Ứng
với mỗi trường hợp có bao nhiêu cách chọn?( Có 3 bi đỏ, 2 bi xanh: C93C42 cách,
Có 4 bi đỏ, 1 bi xanh: C94C41 cách, Có 5 bi đỏ: C95 cách)
C93C42  C94C41  C95 126

Vậy xác xuất cần tìm là
5
143
C13
Ví dụ 2: (Bài toán tìm số các số tự nhiên thỏa mãn tính chất cho trước được lập
từ tập hợp A, liên quan đến chia hết, tính chẵn - lẻ,...)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau, chọn một
số tự nhiên thuộc tập hợp A. Tính xác suất để chọn một số thuộc tập A và số đó
chia hết cho 3
Ở phần này ta phải nhắc lại cho học sinh tính chất và dấu hiệu chia hết ở
những dạng đơn giản như:
Dấu hiệu chia hết cho 2 phải có tận cùng là :0,2,4,6,8
Dấu hiệu chia hết cho 5 phải có tận cùng là:0, 5
Dấu hiệu chia hết cho 3 hoặc 9 phải tổng các chữ số chia hết cho 3 hoặc chia
hết cho 9
Dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4
Dấu hiệu chia hết cho 8 là có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8
Dấu hiệu chia hết cho 10 là có tận cùng bằng 0

Tính chẵn – lẻ của tổng, tích các số tự nhiên
Vận dụng tính chất của chia hết để giải quyết bài toán,đặc biệt là bài toán chia
hết cho 7, 11, 111, 1111,…
Chẳng hạn như ở ví dụ trên học sinh phải biết phân tích bài toán dựa trên
các câu hỏi gợi ý:
- Số tự nhiên cần tìm có bao nhiêu chữ số? ( Có 9 chữ số khác nhau). Các chữ số
đó thỏa mãn điều kiện gì? ( Tổng các chữ số chia hết cho 3)
- Lập số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau từ những chữ số nào? Từ đó để phân
chia các trường hợp( Chữ số đứng đầu bên trái phải khác 0, số tự nhiên cần tìm
chứa 0 hoặc không chứa 0)
Gọi phần tử của A có dạng là a1a2 ...a9 , a1 �0 nên có 9 cách chọn. Chọn 8
chữ số còn lại từ 9 chữ số và xếp vào 8 vị trí nên có A98 cách chọn.
10


Vậy n  A   9. A98
Giả sử gọi B   0,1,2....,9 có tổng 10 phần tử là 45 chia hết cho 3. Nếu muốn
tạo thành một số có 9 chữ số khác nhau chia hết cho 3 thì cần loại đi phần tử là
bội của 3. Do đó, ta sẽ có các tập B \  0 , B \  3 , B \  6 , B \  9
Trường hợp 1: Chọn B \  0 để tạo số, mỗi số sẽ là một hoán vị của 9 chữ số nên
có 9! cách
Trường hợp 2: Chọn một trong ba tập B \  3 , B \  6 , B \  9 .
Khi đó: a1 �0 có 8 cách, còn 8 chữ số xếp vào 8 vị trí còn lại nên có 8! Cách
Số cách chọ phần tử thuộc A và chia hết cho 3 là 9! 3.8.8! .Vậy xác suất cần tìm
9! 3.8.8! 7

là
11
9.A98
3.4. Rèn kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán.

Khi học chủ đề tổ hợp – xác suất học sinh dễ mắc sai lầm trong giải toán xuất
phát từ một số nguyên nhân phổ biến như:
3.4.1. Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân
Mặc dù khi học lý thuyết về “ Hai quy tắc đếm ” giáo viên đã khắc sâu và
lưu ý cách thực hiện nhưng khi vận dụng học sinh vẫn mắc sai lầm.
Ví dụ: Trong lớp 11A7 có 24 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Cần chọn hai
học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự đại hội Đoàn trường. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn?
Sai lầm thường gặp là học sinh áp dụng quy tắc cộng, cho rằng có 24 +20 =44
(cách), ở đây thực chất phải áp dụng quy tắc nhân là có 24.20 = 480 (cách)
Khi học sinh áp dụng sai quy tắc, lời giải sai, ta lại phải nhắc lại yêu cầu
bài toán là gì? Có mấy bước( hoặc công đoạn)?, bỏ đi một bước công việc có
thực hiện được không?
3.4.2. Áp dụng nhầm giữa chỉnh hợp và tổ hợp
Đây là hai khái niệm học sinh thường khó phân biệt nên dễ dẫn đến sai lầm
trong khi vận dụng giải bài tập toán
Ví dụ: Cần chọn từ 10 học sinh nam và 7 học sinh nữ ra 3 nam và 3 nữ để ghép
thành 3 cặp nhảy nam – nữ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép?
Sai lầm 1: Thông thường học sinh nghĩ ghép cặp nên có sự thay đổi vị trí
và chọn cả nam và nữ liên tiếp nên áp dụng quy tắc nhân, có cách giải như sau:
Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 nam trong 10 nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10,
3
nên số cách chọn 3 học sinh nam là A10
 720 cách.
Tương tự, số cách chọn 3 nữ có thứ tự là A73  210 cách
3
Số cách ghép 3 cặp nhảy là A10
. A73  720.210  151200 cách
Học sinh đã mắc sai lầm khi sắp thứ tự cả 3 nam và 3 nữ, vì vậy mà số
cách ghép 3 cặp nhảy lớn hơn thực tế vì có những cách ghép được tính nhiều lần

11


3
Sai lầm 2: Học sinh cho rằng số cách chọn 3 nam là C10
, số cách chọn 3

nữ là C73 và chọn cả nam – nữ liên tiếp nên áp dụng quy tắc nhân được số cách
3
ghép 3 cặp nhảy là C10
. C73
Ở cách giải này học sinh sai lầm khi không thay đổi thứ tự cho các
cặp, vì vậy mà số cách ghép 3 cặp nhảy nhỏ hơn thực tế.
3
Lời giải đúng: Số cách chọn 3 nam là C10
, số cách chọn 3 nữ là C73 , số cách
ghép 3 cặp nhảy cho 3nam và 3 nữ là 3!( vì cứ mỗi lần ghép 3 cặp nhảy nam –
nữ từ 3 nam , 3 nữ là một hoán vị của 3 nữ hoặc 3 nam)
3
Vậy số cách cách ghép 3 cặp nhảy nam – nữ là 3! C10
. C73 =25200 cách
3.4.3. Sai lầm khi phân chia bài toán thành các trường hợp nhỏ (xét thiếu
hoặc thừa trường hợp ) đặc biệt trong khi giải các bài toán bằng phương
pháp gián tiếp( làm bài toán ngược)
Đối với những bài toán có nhiều phương án lựa chọn khi làm trực tiếp,
gặp nhiều khó khăn trong việc xét đủ các trường hợp, rất dễ thiếu xót hoặc khó
xác định số các phương án xảy ra thì ta nên định hướng cho học sinh làm bằng
phương pháp gián tiếp. Sau đây, ta phân tích ví dụ sau:
Ví dụ 1: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi,12 em khá và 10 em

trung bình. Giáo viên cần chọn ra một nhóm có 13 học sinh để tham gia ngoại
khóa sao cho phải có đủ 3 đối tượng: giỏi, khá và trung bình. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn 1 nhóm học sinh trên để tham gia buổi ngoại khóa.
Nhận thấy nếu làm trực tiếp,chia từng trường hợp cụ thể để làm thì bài
giải dài, mất thời gian và mang tính thủ công. Do đó, ta hướng cho học sinh tìm
các trường hợp không thỏa mãn bài toán( Bài toán ngược)
13
Bước 1: Chọn 13 em trong 30 em có C30
cách
Bước 2: Chọn 13 em không thỏa mãn bài toán ( Tức là không có đủ cả ba
đối tượng hay không quá 2 trong 3 đối tượng)
13
Trường hợp 1: Chọn 13 em giỏi và khá trong 20 em có C20
cách
13
Trường hợp 2: Chọn 13 em giỏi và trung bình trong 18 em có C18
cách
13
Trường hợp 3: Chọn 13 em trung bình và khá trong 22 em có C22
cách
13
13
13
13
Vậy có C30
-( C20
+ C18
+ C22
) cách
Tuy nhiên nếu chỉ thay đổi từ chọn 13 em sang chọn 9 em có đủ cả 3 đối

tượng tưởng chừng như không có gì khác và bài làm tương tự được kết quả là
9
9
9
9
C30
-( C20
+ C18
+ C22
) cách là xong nhưng thật SAI LẦM. Vậy sai lầm do đâu?
Đâu là kết quả đúng?
Sai lầm ở chỗ HS loại trừ không hết các điều kiện không thỏa mãn. Ở ví
dụ đầu số học sinh được chọn nhiều hơn số học sinh mỗi loại giỏi, khá và trung
bình còn sau khi đổi yêu cầu bài toán thì số học sinh được chọn ít hơn một trong
số các học sinh của loại giỏi hoặc khá hoặc trung bình. Cho nên trong 9 em được
chọn còn sót trường hợp toàn học sinh khá hoặc toàn học sinh trung bình.

12


9
9
9
9
9
9
Vậy kết quả phải là C30
-( C20
+ C18
+ C22

+ C12
+ C10
) cách
Để giúp HS hạn chế sai lầm khi giải bằng phương pháp gián tiếp, theo tôi ta nên
giúp HS chuyển đổi bài toán ngược. Muốn vậy phải nắm vững từ các khái niệm
phủ định của mệnh đề, các cặp từ phủ định như: “ Có đủ - Không đủ; Có nhiều
nhất(Có tối đa, Có ít hơn hoặc bằng) – Có nhiều hơn ;Có ít nhất – Không có;
Bằng – Khác; Không nhiều hơn – Lớn hơn ”. Khi HS tư duy được bài toán
ngược thì đồng thời HS cũng phát triển tư duy so sánh sẽ quyết định làm bài
toán theo hướng nào nhanh hơn.
Ngoài ra sai lầm còn do học sinh suy luận sai khi phân chia trường hợp
dẫn đến thừa hoặc thiếu các trường hợp
Ví dụ 2: Cho hai người Việt Nam, bốn người Pháp và năm người Nhật xếp
thành một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để mỗi người đứng cạnh có ít nhất
một người cùng quốc tịch.
Do cứ mỗi người thì đứng cạnh phải ít nhất một người cùng quốc tịch nên :
+) Hai người Việt Nam luôn đứng cạnh nhau( kí hiệu là A)
+) Bốn người Pháp tách thành hai nhóm( mỗi nhóm hai người đứng cạnh
nhau, kí hiệu là B, C)
+) Năm người Nhật tách thành hai nhóm( một nhóm hai người và một
nhóm ba người đứng cạnh nhau, kí hiệu lần lượt là D, E).
Mỗi cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy là một hoán vị của 5 vị trí suy ra có
5! Cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy.
Sai lầm 1: Đưa hai người Việt Nam vào nhóm A có 2! cách;
Đưa hai người Pháp vào nhóm B có 2! cách;
Đưa hai người Pháp vào nhóm C có 2! cách;
Đưa hai người Nhật vào nhóm D có 2! cách;
Đưa ba người Nhật vào nhóm E có 3! Cách
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn là 5!.2!.2!.2!.3! = 4320 cách
Sai lầm 2: Đưa hai người Việt Nam vào nhóm A có 2! cách;

Đưa hai người Pháp vào nhóm B có A42 cách;
Đưa hai người Pháp vào nhóm C có 2! cách;
Đưa hai người Nhật vào nhóm D có A52 cách;
Đưa ba người Nhật vào nhóm E có 3! cách;
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn là 5!.2!. A42 .2!. A52 .3! = 691200 cách.
Hai cách làm kết quả khác xa nhau đều do yếu về năng lực suy luận hợp
lý mà lời giải bài toán mắc phải sai lầm khi phân chia trường hợp: Số cách xếp
tăng hơn hoặc giảm hơn so với thực tế .
Để tránh “Bẫy” bài toán, ta nhận xét thấy: Nếu có B và C hoặc D và E đổi
chỗ cho nhau khi đứng cạnh nhau sẽ tạo ra cách xếp lại. Vậy không để lặp lại ta
tìm cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy mà B luôn đứng trước C; D luôn đứng
trước E khi đứng cạnh nhau.
Trước hết ta xếp B, C, D, E thành một dãy theo quy tắc trên: Có 9 cách
sắp xếp BCDE(1); BDCE(2); BECD(3); BDEC(4); DBCE(5); DBEC(6);
DEBC(7); EBCD(8); EBDC(9)
13


Với cách xếp (1) có 5 vị trí đưa A vào, trong trường hợp BCDAE còn
thêm một cách nữa BCEAD, như vậy ứng với cách xếp (1) cho ta 6 cách xếp A,
B, C, D, E.Tương tự cho cách (4) và (7). Với mỗi cách còn lại ta có 5 cách đưa
A vào tạo thành một dãy. Vậy tổng số cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy là
3.6 + 6.5 = 48.
Khi đó, ứng với mỗi cách ta có: 2! Cách đưa hai người Việt Nam vào nhóm A
A42 cách đưa hai người Pháp vào nhóm B
2! cách đưa hai người Pháp vào nhóm C
A52 cách đưa hai người Nhật vào nhóm D
3! cách đưa ba người Nhật vào nhóm E
2
2

Vậy có 48.2!. A4 .2!. A5 .3! = 276480 cách
3.5. Rèn cho học sinh năng lực thực tiễn và năng lực thực hiện mối liên hệ
với các môn khác.
Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và trở
X©
y dùng nªn
về phục vụ thực tiễn, chính thực tiễn là cơ sở
nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lý thuyết
Toán học.
C¸c lÝthuyÕtTo¸n
Thùc tiÔn
häc
Chủ đề Tổ hợp – Xác suất là “ mảnh đất ” phù
hợp để rèn cho học sinh năng lực thực tiễn
Phôc vô
cũng như năng lực thực hiện mối liên hệ với
các môn khác cho học sinh.
Có thể đưa những bài toán liên quan trực tiếp tới các em, các bài toán có
tính thời sự, bài toán liên quan đến kinh doanh,… tạo sự mới mẽ và gây hứng
thú học tập cho các em.
* Bài tập liên quan đến thực tế
Ví dụ 1: Ở một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 40 người uống rượu. Biết
rằng tỷ lệ viêm dạ dày trong số những người uống rượu là 70%, còn trong tỷ số
người không uống rượu là 25%.Khám ngẫu nhiên một người thì thấy người ấy
bị viêm dạ dày. Tìm xác suất đế người đó uống rượu. Nếu người đó không bị
viêm dạ dày thì xác suất người đó uống rượu bằng bao nhiêu?
Cần hình thành cho học sinh : Cách đọc đề � Cách xác định đề ( Cho
yếu tố nào và cần tìm yếu tố nào) � Cách làm bài. Đối với bài toán xác suất
thì đầu tiên hướng dẫn học sinh cách đặt tên biến cố từ yêu cầu bài toán. Sau đó
thiết lập các mối quan hệ.

* Gọi A là biến cố: “ Người được khám bệnh bị viêm dạ dày”
B là biến cố: “ Người được khám bệnh uống rượu”
Ta có:
40
P B 
 0,4 � P B  1  0,4  0,6
100
70
25
P  A  P  B  .
P B .
 0,43
100
100
14

 

 


Xác suất để người bị viêm dạ dày là người uống rượu là:
70
0,4.
P  A �B 
100 �0,651
P  B / A 

P  A
0,43

Nếu người đó không bị viêm dạ dày thì xác suất người đó uống rượu là:
30
P B .
0,4.0,3
100
P B/ A 

�0,211
70
30 0,6.0,75  0,4.0,3
P B .
 P B .
100
100
Qua đây giáo dục cho các em tác hại của việc uống nhiều rượu bia.





 

Ví dụ 2: Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất
khoan trúng túi dầu khí 0,4. Tính xác suất để 5 lần khoan độc lập, chiếc tàu
khoan trúng túi dầu:
a . Đúng một lần duy nhất;
b. Ít nhất một lần.
Gọi Ai là biến cố: “ Tàu khoan trúng dầu lần thứ i ” ( i  1;5 )
Do các lần khoan độc lập nên
P  A1   P  A2   P  A3   P  A4   P  A5   0,4

 

 

 

 

 

P A1  P A2  P A3  P A4  P A5  0,6
a) Gọi B là biến cố: “ Trong 5 lần khoan có đúng một lần trúng túi dầu”
- Nêu không gian mẫu của biến cố B ?Xác suất xảy ra trong từng trường hợp?
Ta có: B  A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 ,..., A1 A2 A3 A4 A5





       

P  B   5.P  A1  .P A2 .P A3 .P A4 .P A5  5.0,4.0,6.0,6.0,6.0,6  0,2592
b)Gọi C là biến cố : “ Trong 5 lần khoan có ít nhất một lần trúng túi dầu”
- Nếu làm trực tiếp thì số trường hợp xảy ra của biến cố C thế nào? Gợi cho ta
làm bài toán bằng cách gián tiếp.
- Phủ định của mệnh đề “trúng ít nhất một lần” là gì?( không trúng lần nào).
Phủ định của C?
C là biến cố: “ Cả 5 lần khoan đều không trúng túi dầu”





 

 

Do đó : C  A1 A2 A3 A4 A5 � P C   0,6  .Vậy P  C   1  P C  0,92224
5

* Bài tập liên quan đến Thể dục - Giáo dục quốc phòng
Ví dụ 1 : Một vận động viên nhảy xa đang tập luyện, anh ta nhảy cho đến khi
nào vượt qua 7 m thì anh dừng lại nghỉ giải lao. Xác xuất nhảy vượt qua mức
7m là 0,6. Tính xác xuất để vận động viên ấy nhảy tới lần thứ tư thì ngừng nhảy
và nghỉ giải lao.
Ở bài này học sinh phải xác định được các yêu cầu:
15


- Vận động viên được nghỉ giải lao khi vượt qua 7m, nếu nhảy đến lần thứ tư
được nghỉ giải lao tức là phải đến lần thứ tư mới nhảy qua 7m.
- Xác định được xác suất nhảy không vượt qua 7m .
Gọi Ai là biến cố: “ Vận động viên nhảy vượt qua mức 7m ở lần thứ i”
với i = 1, 2, 3, 4
B là biến cố: “ Vận động viên nhảy đến lần thứ 4 thì dừng lại nghỉ giải lao”
Ta có:
P  B   P A1 �A2 �A3 �A4  P A1 P A2 P A3 P  A4 





     

  0,4  .0,6  0,0384
Ví dụ 2: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên
đạn là 0,7. Người đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tính xác suất để một
viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu.
? Nhắc lại khái niệm hai biến cố độc lập và tính chất
Gọi biến cố A: “ Viên thứ nhất bắn trúng mục tiêu ”
B: “ Viên thứ hai bắn trúng mục tiêu ”
H: “ Một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu ”
Khi đó, H  AB  AB . Vậy P  H   0,7.0,3  0,3.0,7  0,42
3

* Bài tập liên quan đến vật lý và sinh học
Ví dụ 1: Có 3 linh kiện điện tử xác suất hỏng tại cùng một thời điểm tương ứng
là 0,01; 0,02; 0,03. Tìm xác suất để dòng điện chạy qua mạch trong trường hợp:
a) Mắc nối tiếp;
b) Mạch mắc song song
Ở đây học sinh phải hiểu được bản chất của dòng điện đi qua mạch mắc
nối tiếp thì tất cả các linh kiện điện tử phải không hỏng, còn dòng điện muốn đi
qua được mạch mắc song song thì chỉ cần ít nhất một linh kiện điện tử không
hỏng. Khi đó chuyển làm bài toán lý rất đơn giản.
Gọi Ai : “ Linh kiện thứ i tốt ” ( i = 1,2,3),
A: “ Dòng điện chạy qua mạch mắc mắc nối tiếp ”
B: “Dòng điện chạy qua mạch mắc song song ”
Ta có: A  A1 A2 A3 , B  A1 A2 A3
Vì các biến cố Ai là độc lập nên

P  A   P  A1  P  A2  P  A3    1  0,01  1  0,02   1  0,03 �0,94

 

     

P  B   1  P B  1  P A1 P A2 P A3  1  0,01.0,02.0,03  0,999994
Ví dụ 2: Một cặp vợ chồng dự kiến sinh 3 người con .
a) Nếu họ muốn sinh 2 người con trai và 1 người con gái thì khả năng thực hiện
mong muốn đó là bao nhiêu?
b)Tìm xác suất để trong 3 lần sinh họ có được cả trai và gái.
Trước hết cần xác định cả 2 yêu cầu a và b đều thuộc dạng tính số tổ hợp
vì không phân biệt thứ tự các loại phần tử của biến cố (trai và gái)
16


Mỗi lần sinh là một sự kiện hoàn toàn độc lập, và có 2 khả năng có thể
xảy ra: hoặc đực hoặc cái với xác suất bằng nhau và = 1/2, do đó:
a)
- Số khả năng xảy ra trong 3 lần sinh là 23
- Số tổ hợp của 2 ♂ là C32 và 1 ♀ là C31 (3 trường hợp con gái: trướcgiữa-sau ) → Tính khả năng để trong 3 lần sinh có được 2 trai và 1 gái chính
C2 3
bằng xác suất để sinh được 2 trai và 1 gái . Kết quả là 33 
8
2
b) Học sinh có thể làm trực tiếp( yêu cầu bài toán xảy ra những khả năng nào?
(2trai + 1 gái) và (1 trai + 2 gái)) hoặc gián tiếp( làm bài toán ngược tức là cả ba
lần sinh họ được con một bề hoặc cả 3 trai hoặc cả 3 gái)
* Cách 1:
C1`

C2
- Xác suất sinh 1 trai và 2gái là 33 ; Xác suất sinh 2 trai và 1gái là 33
2
2
1`
2
3
C3 C3
Vậy xác suất cần tìm là
+
=
4
23
23
* Cách 2:
3

3

�1 �
�1 �
Xác suất sinh 3 trai là � �, Xác suất sinh 3 gái là � �
�2 �
�2 �
3
3
�1 � �1 � 3
Vậy xác suất cần tìm:
1-[ � �+ � �] =
�2 � �2 � 4

Chủ đề Tổ hợp – xác suất có quan hệ rất mật thiết với sinh học ở phần phân li
độc lập.
3.6. Luôn khuyến khích học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau –
sáng tạo trong giải toán.
Xuất phát từ bài toán trong SGK ( Đại số và giải tích lớp11 ):
Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp
thành hai dãy đối diện. Có bao nhiêu cách xếp để nữ ngồi đối diện nhau
Bằng tư duy cụ thể học sinh có thể phân chia các trường hợp và tìm ra kết quả
Nếu mở rộng bài toán cho 6 đối tượng :Hai dãy ghế đối diện, mỗi dãy 6
ghế. Muốn xếp 6 học sinh trường A, 6 học sinh trường B. Có bao nhiêu cách xếp
để hai học sinh ngồi đối diện phải khác trường .
Thì nhiều học sinh gặp vấn đề lúng túng không đi đến kết quả đúng do xét thiếu
trường hợp.
Đánh số thứ tự chỗ ngồi cho hai dãy ghế như sau:
D1

D2

D3

D4

D5

D6

C1

C2

C3

C4

C5

C6
17


* Xảy ra trường hợp D1 là học ra trường A ( D1 có bao nhiêu cách chọn HS?)
+) D1 có 6 cách. Khi đó C1 có bao nhiêu cách xếp?( C1 có 6 cách vì C1 phải là
HS trường B).
+)D2 có bao nhiêu cách?( D2 có thể là HS trường A hoặc trường B nên có 10
cách vì có 12 HS nhưng đã xếp 2 HS vào 2 vị trí D1 và C1)
Tương tự HS tìm được số cách xếp các vị trí còn lại
+)D3 có 8 cách; C3 có 4 cách
+)D4 có 6 cách; C4 có 3 cách
+)D5 có 4 cách; C5 có 2 cách
+)D6 có 2 cách; C3 có 1 cách
Do đó có 6.6.10.5.8.4.3.4.2.2.1=16588800 cách xếp
* Trường hợp D1 là HS trường B cũng có 16588800 cách xếp
Vậy số cách xếp là 2.16588800 = 33177600 cách xếp
Tiếp tục mở rộng số đối tượngbài toán tăng lên n học sinh trường A và n
học sinh trường B thì cách làm trên sẽ gặp trở ngại. Vậy cần khai thác bài toán
thế nào để khi mở rộng bài toán HS làm được( đặc biệt là HS trung bình – yếu
vẫn dễ hiểu )
Đối với bài toán trên: Xếp 6 HS trường A vào một dãy có 6! Cách.
Xếp 6 HS trường B vào một dãy có 6! Cách.
Đổi chỗ mỗi cặp hai HS ngồi đối diện nhau có 26 cách.

Vậy tất cả có 26 .6!.6! = 33177600 cách.
Như vậy, bài toán mở rộng trên có 2n.n!.n! cách.
Nhiều bài toán cụ thể có những cách làm tối ưu, ngắn gọn thậm chí có
những cách thủ công, liệt kê cho ta đáp số nhưng hãy khuyến khích học sinh
nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, có thể khai thác bài toán ở dạng tổng quát theo
các làm chung được không. Gợi cho HS sự sáng tạo, phát triển tư duy biện
chứng, trong cái chung có cái riêng và từ cái riêng phát triển thành cái chung, cái
tổng quát.

18


C. KẾT LUẬN CHƯƠNG
1. Kết quả nghiên cứu
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp có trình độ tương đương nhau. Sau khi dạy thực nghiệm , tôi cho học sinh làm bài kiểm tra và thu được kết quả như sau:

Điểm
Lớp

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số
lượng
bài

TN (11A6)

0

0

0

1

9

12

15

6

5

2

50

ĐC (11A1)

0

0

0

3

15

10

14

3

3

0

48

Lớp TN có 98% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 56% khá giỏi. Có
2 em đạt điểm tuyệt đối.
Lớp ĐC có 93,7% điểm trung bình trở lên, trong đó có 41,6% điểm khá
giỏi, không có HS đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao
hơn lớp đối chứng nhất là bài đạt trung bình - khá. Một nguyên nhân không thể
phủ định là lớp thực nghiệm HS thường xuyên được rèn luyện các kỹ năng giải
toán, có năng lực giải toán và đặc biệt các em tỏ ra hứng thú khi gặp các bài toán
chủ đề tổ hợp xác suất, …
2. Kết luận chung:
Với thực tế giảng dạy bộ môn Toán ở trường phổ thông nói chung, không
thể không chú trọng đến việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh.
Bằng hình thức dẫn dắt học sinh theo hướng tích cực hóa hoạt động của
người học kết hợp với các phương pháp dạy học nhằm thực hiện hóa các giải
pháp đã đưa ra khi dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất, đã tạo cho học sinh hứng
thú học tập và đem lại kết quả khả quan khi học chủ đề này.
Mặc dù đã cố gắng nhưng không tránh khỏi những sai sót. Rất mong được
quý thầy cô góp ý, bổ sung để nội dung được hoàn thiện và mang lại hiệu quả
cao trong dạy học.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Lê Mai

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán – Nguyễn Thái Hòe
Nhà xuất bản Giáo dục
2. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên môn Toán lớp 11, Nhà xuất bản Giáo dục
3. Bài tập xác suất – Đặng Hùng Thắng, Nhà xuất bản Giáo dục
4. Giải toán tổ hợp và xác suất – Trần Đức Huyên & Đặng Phương Thảo
Nhà xuất bản Giáo dục
5. Giải toán giải tích 11 (Dùng cho học sinh lớp chuyên) –Võ Anh
Dũng( Tổng chủ biên) & Trần Đức Huyên( Chủ biên); Nhà xuất bản Giáo
dục

20


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT
Họ và tên tác giả:
Lê Mai
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Đông Sơn 2
Cấp đánh
giá xếp loại
TT Tên đề tài SKKN
Sở
GD&ĐT
1. Một số biện pháp nhằm nâng Sở
cao chất lượng trong dạy học GD&ĐT
giải bài tập lượng giác

2. Phát triển năng lực khái quát Sở
hóa cho học sinh thông qua GD&ĐT
khai thác các bài toán
3. Phát huy năng lực huy động Sở
kiến thức cho học sinh trong GD&ĐT
dạy học giải bài tập hình học
không gian
4. Dạy học giải bài tập SGK Sở
hình học 10 theo quan điểm GD&ĐT
hoạt động ( Nhằm bồi dưỡng
năng lực giải toán cho học
sinh trung bình – yếu ).
5.

6.

Phát huy năng lực huy động
kiến thức trung gian, nhằm
bồi dưỡng các tư duy trí tuệ
cho học sinh thông qua dạy
học giải phương trình – bất
phương trình vô tỉ
Một số biện pháp nhằm
xây dựng tập thể lớp đoàn
kết, vững mạnh

Kết
quả Năm
học
đánh giá đánh giá xếp

xếp loại
loại
C

2008 – 2009

B

2009 – 2010

C

2010 – 2011

C

2011 – 2012

Sở
GD&ĐT

C

2014 – 2015

Sở
GD&ĐT

B

2016-2017

21


PHỤ LỤC
MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO TỪNG DẠNG
*Bài tập về hoán vị thẳng, hoán vị vòng, hoán vị lặp, hoán vị thỏa mãn điều
kiện
Bài 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 ông và 3 bà ngồi trên 7 cái ghế nếu các ông
ngồi gần nhau và các bà ngồi gần nhau ?
A. 5040
B. 288
C. 246
D. 487
Bài 2 : Có bao nhiêu cách xếp 10 vị khách vào một bàn tròn? Hai cách ngồi
được xem là như nhau nếu cách này có thể nhận được từ cách kia bằng cách
quay bàn đi một góc nào đó?
A. 40320
B.362880
C. 10!
D. 9!
Bài 3: Có bao nhiêu cách xâu 7 viên ngọc trai màu khác nhau thành một chiếc
vòng đeo tay?
A. 7!
B. 6!
C. 360
D.180
Bài 4 : Có 5 nam, 3 nữ xếp vào 1
dãy ghế sao cho không có 2 nữ ngồi kề nhau.

Có bao nhiêu cách?
A. 8!
B. 1440
C. 30 690
D. 30 960
Bài 5 : Số cách xếp 6 vị khách mời vào bàn chữ U là?
A. 720
B. 120
C. 240
D. 360
Bài 6 : Một nhân viên bán hàng cần giao dịch tại 7 địa điềm khác nhau. Cuộc
hành trình có thể bắt đầu từ bất kỳ địa điểm nào đó và đến 7 địa điểm còn lạ theo
thứ tự tùy ý. Hỏi có thể đi qua tất cả các địa điểm này theo bao nhiêu lộ trình?
A. 720
B.7!=5040
C. 40320
D. 120
Bài 7: Có 10 học sinh lớp 10 và 10 học sinh lớp 12 xếp vào 2 dãy ghế, mỗi dãy
ghế 10 học sinh. Có bao nhiêu cách xếp nếu các học sinh ngồi nối đuôi khác lớp
và ngồi cạnh nhau khác lớp?
2
A. 2. 10!
B. (10!)2
C. 20!
D. 2.20!
Bài 8: Xếp ngẫu nhiên 3 nam và 3 nữ ngồi vào 6 ghế thành hàng ngang
a) Xác suất để nam và nữ ngồi xem kẽ nhau là:
A. 1/20
B. 2/3
C. 1/5

D. 1/10
b)3 nam ngồi cạnh nhau
A. 1/120
B. 1/5
C. 2/5
D.1/60
* Bài toán về đếm số các số thỏa mãn tích chất  được hình thành từ một
tập các chữ số( Các chữ số đó có thể được lặp lại )
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, chỉ chứa các số 1, 2, 3 với điều
kiện chữ số 2 xuất hiện 2 lần trong mỗi số?
A. 672
B. 360
C. 720
D. 336
Bài 10: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt, có mặt đủ 3 chữ số 1, 2, 3?
A. 2160
B. 120
C. 720
D. 4320
22


Bài 11: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt
mà các chữ số chẵn đứng cạnh nhau?
A. 38
B. 48
C. 720
D. 12
Bài 12: Cho tập A   1,2,3,4,5,6,7,8,9 . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, có mặt chữ số 5 và không chia hết cho 5?

A. 7620
B.15120
C. 126
D. 6720
Bài 13: Cho tập E   0;1;2;3;4;5 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi
một khác nhau là các phần tử của E và chia hết cho 3?
A. 40
B. 30
C.20
D.50
Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm 8
chữ số sao cho mỗi chữ số có mặt ít nhất một lần và các chữ số chẵn không
đứng cạnh nhau?
A. 34120
B. 33120
C. 40320
D. 5040
* Bài tập về thực tiễn và liên quan đến các môn học
Bài 15: Trong thùng sữa có 20 hộp sữa trong đó có 80% hộp sữa có chất lượng
tốt. Lần lượt lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ thùng đó hai lần, mỗi lần một hộp
sữa. Xác suất để lấy được hai hộp sữa có chất lượng tốt là:
28
6
12
A. 0,25
B.
C.
D.
45
19

19
Bài 16: Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi “ Chiếc nón kì diệu” có thể dừng
lại ở 1 trong 10 vị trí với khả năng như nhau. Xác suất để trong ba lần quay,
chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau là:
A. 0,001
B. 0,72
C.0,072
D.0,9
Bài 17: Có ba bóng đèn trong một mạch điện. Chúng có thể bị hỏng một cách
độc lập trong thời gian 100 giờ sáng liên tục với xác suất tương ứng: 0,1; 0,25;
0,4. Xác suất để mạch điện không sáng bóng nào trong thời gian 100 giờ nếu
mắc ba bóng song song là:
A.0,01
B. 0,595
C. 0,405
D. 0,045
Bài 18: Xác suất để một học sinh thi đỗ đại học lần đầu lạ 0,4. Nếu thi trượt thì
học sinh đó thi lại và xác suát thi đạu lần hai là 0,75. Chọn ngẫu nhiên một học
sinh thì xác suất để học sinh đó thi đậu là:
A. 0,3
B.0.85
C. 0,15
D. 0,65
Bài 19: Để viết số đăng kí xe máy người ta dùng 2 chữ cái ( 30 chữ cái được
dùng) và một số có 4 chữ số ( trong các chữ số 0, 1, 2, …, 9). Hỏi có bao nhiêu
đăng kí xe máy ( Không có hai xe máy nào có đăng kí trùng nhau)?
A. 8 000 000
B. 9 000 000
C. 12!
D. 8 000 340

Bài 20: Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia. Xác suất trúng đích lần lượt là
0,7; 0,8; 0,9. Xác suất để có đúng hai người bắn trúng là:
A. 0,054
B. 0,398
C. 0,504
D. 0,024

23