ỨNG DỤNG đạo hàm để GIÚP học SINH GIẢI QUYẾT các bài TOÁN THỰC tế TRONG đề THI THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT
CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019


MỤC LỤC
TT
I

Mục

Trang

MỞ ĐẦU

2

1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

II

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

3

2.1

Cơ sở lý luận

3

2.2

Thực trạng

3

2.3

Cơ sở lý thuyết
Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động

3
5

2.6

Ứng dụng đạo hàm trong bài toán tính diện tích,
tính thể tích
Ứng dụng đạo hàm trong bài toán kinh tế

13

2.7

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

20

III

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

22

3.1

Kết luận

22

3.2

Kiến nghị

22

2.4.
2.5

4

TÀI LIỆU THAM KHẢO

2


I.MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài

Mục tiêu của giáo dục phổ thông là phải phục vụ cuộc sống. Do vậy
các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tế. Chính vì lẽ đó mà
các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho
phù hợp với yêu cầu của xã hội.
Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đến
đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống: có rất
nhiều những bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất
như phải tính toán như thể nào để làm cho chi phí sản xuất là thấp nhất mà lợi
nhuận đạt được là cao nhất , các bài toán tính toán về vận tốc,và các bài toán
về kinh tế...Chính vì lẽ đó mà tôi viết sáng kiến:
“ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI
TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”. Trong phạm vi sáng
kiến của mình, tôi đề cập tới áp dụng của đạo hàm vào các bài toán thực tiễn,
cụ thể là dùng công cụ đạo hàm để xét tính tối ưu của các bài toán về vận tốc,
diện tích, thể tích, về khoảng cách, góc và bài toán kinh tế.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Cung cấp một số bài tập tương đối phong phú, đa dạng về ứng dụng đạo
hàm có tác dụng tốt để rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho học
sinh.
- Thông qua đây học sinh có thể làm tốt các bài tập liên quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán thực tế
- Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2017-2018 tại
trường THPT Nguyễn Trãi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet,
các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, các chuyên đề có liên
quan.
Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo
trong tổ bộ môn.

3


II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Công cụ đạo hàm được dùng rất hiệu quả trong các bài toán tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay tính toán tối ưu của các bài toán kinh tế.
Để giúp học sinh tích cực, chủ động trong học môn Toán - một môn
Khoa học tự nhiên khô khan thì người giáo viên cần phải sáng tạo trong
phương pháp giảng dạy, dạy học gắn với thực tế; từ đó kết quả dạy và học đạt
được cao hơn.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi dạy học sinh trung học phổ thông lớp 12, tôi nhận thấy các em có
phần hạn chế trong việc giải những bài toán thực tế, các em rất ngại các bài tập
dạng này. Hơn nữa tôi cũng nhận thấy rằng công cụ đạo hàm có thể giải
được phần lớn các bài toán thực tế. Xuất phát từ thực trạng đó tôi thiết nghĩ
cần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết các tình huống thực
tiễn liên quan đến việc ứng dụng của đạo hàm.
2.3. Cơ sở lý thuyết
2.3.1. Phương pháp giải bài toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x)
trên tập số D bằng đạo hàm
Phương pháp chung: Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ
vào bảng biến thiên để kết luận.
Trong trường hợp D là đoạn [a; b] và f(x) liên tục trên D thì có thể làm như
sau:
Tính đạo hàm y’.
Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b] giả sử các nghiệm này là x1, x2 ...
Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) ....
KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b].
2.3.2. Các bước làm bài toán thực tế ứng dụng đạo hàm

Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta diễn tả bài toán“dưới
dạng ngôn ngữ Toán học”
Đặt biến , biểu diễn các đại lượng trong bài theo biến, tìm các điều kiện tồn
tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.
Trong mục 2.3.1: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1,2.
4


Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế trong kinh tế, đời
sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta thiết lập
hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến.
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài
toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết
quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa .
2.4. Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động
2.4.1 Một số ví dụ:
Bài 1: Một đoàn tàu chuyển
động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng
( m)
đường (theo đơn vị (mét
) đi được của đoàn tàus là
s)
= 6một
t 2 −hàm
t 3 . số của thời gian
t (theo đơn vị giâyv ( m/s)) cho bởi phương trình là
Tìm thời điểm t
mà tại đó vận tốc
của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất ?
Bài giải

v ( t ) = 12t − 3t 2 .
Vận
v ' ( t ) tốc
= của đoàn
v ' tàu
( t ) =là: ⇒
12-3t v ( t ) 0
t=4
Lập BBT ta có
đạt gía trị lớn nhất tại t=4
Vậy tại thời điểm t=4 vận tốc của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất
Bài
giảm2 (huyết
G ( x2:
0, 024x
30 − x áp
) =Độ
) của một bệnh nhân được xác định bởi công thức
, trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân
cao huyết áp (x được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân
cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất
Bài giải
Bài toán trở thành: Tìm GTLN của hàm số

G ( x)

trên đoạn

[ 0;30]

5


Ta có:
x = 0
G ' ( x ) = 0, 024x 2 ( 30 − x )  ' = 1, 44x − 0, 072x 2 ⇒ G ' ( x ) = 0 ⇔ 1, 44x − 0, 072x 2 = 0 ⇔ 
 x = 20

Suy ra

G ( 0 ) = 0

G ( 20 ) = 96 ⇒ max G ( x ) = G ( 20 ) = 96

G ( 30 ) = 0

Vậy lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều
nhất là: 20 mg
Trong mục 2.4.1: Bài1,2 được tham khảo từ TLTK số 5.

2.4.2. Một số bài vận dụng.

s = 9t 2 − t 3

Bài 1: Một vật chuyển động theo quy luật
với t (giây) là khoảng
thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di
chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây, kể
từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?
A. 27 m/s

B. 15 m/s

C.100 m/s

D.541m/s
s = − t 3 + 6t 2
3
Bài 2: Một vật chuyển động theo quy luật
với t (giây) là
khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng
đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời
gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được
là bao nhiêu ?
27 (m/s)
A. 144 (m/s)
B. 36 (m/s)
C. 243 (m/s) D.
s = −2t 3 + 18t 2 + 2t + 1,
Bài 3: Một chất điểm chuyển
S theo phương (trình
m) .
( s ) vàđộng
trong đó t tính bằng giây
tính bằng mét
Tính thời gian vận tốc
chất điểm đạt giá trị lớn nhất.
t = 5s
t = 6s
t =13s3

t = 1s
2
s
=
−
t
+9
t
,
A.
B.
C.
D.
3
Bài 4: Một vật chuyển động theo quy luật
với t (giây) là khoảng
thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi

6


được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu
chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?
A. 216 (m/s).
B. 30 (m/s).
C. 400 (m/s).
D. 54 (m/s).
Bài 5: Có một cái hố rộng 50m, dài 200m. Một vận động viên chạy phối hợp
với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả chạy
và bơi. Sau khi chạy được bao xã (quảng đường x) thì nên chạy xuống bơi để

đến đích nhan nhất? Biết rằng vận tốc bơi là 1.5m/s, vận tốc chạy là 4.5m/s.
Giá trị của x gần bằng:
A. 100
B. 153
C. 160
D. 182
2.5. Ứng dụng đạo hàm trong bài toán diện tích, thể tích
2.5.1 Một số ví dụ:
Bài 1: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình
vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại hình vẽ dưới đây để được một cái hộp
Trong
không
mục
nắp.Tìm
2.4.2: Bàicạnh
3,4,5của
đượchình
thamvuông
khảo từbịTLTK
cắt sao
số7 cho thể tích của khối hộp lớn
Trong mục 2.5.1: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 2
nhất .

Bài giải
0< x<

Gọi x là độ dài cạnh hình vuông bị cắt
V ( x) = x ( a − 2x)

a
2

2

0< x<

a
2

Thể tích của khối hộp là:
 a
x ∈  0; ÷
 2

Bài toán trở thành: Tìm

V ( x)
sao cho

lớn nhất

7


V '( x) = ( a − 2 x ) ( a − 6 x )

Ta có:
V '( x) = 0 ⇔ x =

a
6

0< x<

a
2

do
Bảng biến thiên:
.

x=

a
6

Từ BBT ta có V(x) lớn nhất tại
AB = 60

Bài 2: Cho một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài
cm và chiều rộng
BC = 40
cm. Người ta cắt 6 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm,
rồi gập tấm bìa lại để được một cái hộp có nắp đậy (tham khảo hình vẽ bên
dưới). Giá trị của x sao cho thể tích của khối hộp lớn nhất là

Bài giải
Điều kiện:

0 < x < 20

.

8


V = x.( 40 - 2x) .

Thể tích khối hộp c hữ nhật:

f ( x) = 3x - 120x + 1200x
3

Xét hàm số:

60 - 3x
= 3x3 - 120x2 + 1200x
2

2

trên khoảng

éx = 20 ( l )
ê
f '( x) = 9x - 240x + 1200 = 0 Û ê 20
êx = ( n)
ê
3

ë

( 0;20)

.

2

Ta có:

x=

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

20
3

.

trên khoảng

( 0;20)

.

Bình luận: Qua hai bài toán trên ta cần lưu ý:
Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng. Chúng ta không
nên chỉ ghi theo cách hiểu số đo đại số là một số dương mà phải tìm điều kiện xác
định của ẩn
Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài toán này

không thể giải quyết tiếp được. Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng
các kiến thức đã học vào bài toán thực tế.
Ba là, biết chuyển sang bài toán tìm GTLN,NN.

Bài 3: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là
mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh
tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC;
P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao
bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:
A

Q

B

P

M

N

C

Bài giải
Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN

9


Đặt MN = x (

0 < x < 90

⇒

);

MQ BM
3
=
⇒ MQ =
(90 − x )
AI
BI
2

⇒R=

Gọi R là bán kính của trụ
f ( x) =

Xét

Khi đó:

3
(− x 3 + 90 x 2 )
8π

x

3
3
x
⇒ VT = π ( ) 2
(90 − x) =
(− x 3 + 90 x 2 )
2π
2π
2
8π

0 < x < 90

với
13500. 3
max f ( x ) =
π
x∈(0;90)

.

khi x= 60.
13500. 3
π
Vậy thể tích lớn nhất đạt được là:
ABCD

5dm

Bài 4: Từ một tấm bìa hình vuông

có cạnh bằng
DQA , người ta cắt bỏ
AMB BNC CPD
bốn tam giác cân bằng nhau là
,
,
và
. Với phần còn lại,
người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của
khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất?
A

B
M
Q

N

P
D

C

Bài giải
A
I
Q

M
P

O N

P khảo từ TLTK số 8
Trong mục 2.5.1: Bài 4 được tham
D
C N

Đặt

S

B

(

MQ = x dm 0 < x < 5 2

)

Q
I

O

M

.
10

AO =

AC 5 2
=
2
2

OI =

Ta có
,
Chiều cao của hình chóp:

MQ x
5 2−x
=
=
2
2 SI = AI = AO − IO
2

,

.

2

 5 2 − x   x 2
50 − 10 x 2

SO = SI − OI = 
− ÷ =
÷
÷
2  2
2

2

2

.

Thể tích của khối chóp:
1
1
50 − 10 x 2 1 50 x 4 − 10 x 5 2
V = S MNPQ .SO = .x 2 .
= .
3
3
2
3
2

Xét hàm số
y′ =

Ta có

y = 50 x 4 − 10 x 5 2

100 x − 25 x
3

4

50 x − 10 x
4

( 0 < x < 5 2)

.

2

5

2

. Khi đó

(

 x = 0 ∉ 0;5 2
y′ = 0 ⇔ 100 x 3 − 25 x 4 2 = 0 ⇔ 
x = 2 2


Lập bảng biến thiên ta có

y

Hàm số

.

đạt giá trị lớn nhất khi

x=2 2

Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi

)
.

.

x=2 2

.

Bài 5: Một sợi dây có chiều dài 6m, được chia thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất
được uốn thành một tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình vuông.
Hỏi độ dài của cạnh tam giác đều là bao nhiêu để tổng diện tích tam giác và
hình vuông đó nhỏ nhất?
Bài giải
Gọi x là độ dài tam giác đều,

Cạnh của hình vuông là

0< x<2

( m)

6 − 3x
4
2

S=

Tổng diện tích tam giác và hình vuông là

x 2 3  6 − 3x 
+
÷
4
 4 

11


S'=

x

(4

)

3 + 9 x − 18

8

0

18
4 3+9
2

18
4 3+9

S'

-

S

S'=0⇔ x=

0

+

9
4

3

Smin

Vậy cạnh của tam giác đều cần tìm là :

18
9 +4 3

40 cm

Bài 6: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng
, cần xả thành
một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu
x
xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng của miếng phụ để diện tích sử
dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

Bài giải
Gọi

x, y

lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ.
S = S MNPQ + 4 xy

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là
MN =

Cạnh hình vuông

(

⇒ S = 20 2

Ta có

)

2

MP 40
=
= 20 2 ( cm )
2
2

.

.

+ 4 xy = 800 + 4 xy

(1).

2 x = AB − MN = AB − 20 2 < BD − 20 2 = 40 − 20 2

.
12


Trong mục 2.5.1: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 8
⇒ 0 < x < 20 − 10 2

.

(

AB 2 + AD 2 = BD 2 = 402 ⇒ 2 x + 20 2

Lại có

)

2

+ y 2 = 1600

.

⇒ y 2 = 800 − 80 x 2 − 4 x 2 ⇒ y = 800 − 80 x 2 − 4 x 2

Thế vào

( 1) ⇒ S = 800 + 4 x

Xét hàm số

.

800 − 80 x 2 − 4 x 2 = 800 + 4 800 x 2 − 80 x 3 2 − 4 x 4

.

f ( x ) = 800 x 2 − 80 x3 2 − 4 x 4

(

x ∈ 0; 20 − 10 2

, với

(

f ′ ( x ) = 1600 x − 240 x 2 2 − 16 x3 = 16 x 100 − 15 x 2 − x 2

(

Ta có

)

(
(

)

)

)

có.

.

 x ∈ 0; 20 − 10 2
 x ∈ 0; 20 − 10 2
5 34 − 15 2

⇔
⇔x=

2
16 x 100 − 15 x 2 − x 2 = 0
 f ′ ( x ) = 0

x=

Khi đó

5 34 − 15 2
2

)

.

chính là giá trị thỏa mãn bài toán.
200cm

Bài 7: Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh
. Người ta cắt một tấm gỗ có
ABC
hình một

vuông
từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau.
AB = tam
x ( 0 x < 60
cm )
ABC
Biết
là một cạnh góc vuông của tam giác
và tổng độ
BC
120cm
x
AB
dài cạnh góc vuông
với cạnh huyền
bằng
. Tìm để tam giác
ABC
có diện tích lớn nhất.

13


Bài giải
AC = BC 2 − AB 2 =

( 120 − x )

2

− x 2 = 14400 − 240 x

Ta có độ dài cạnh
Diện tích tam giác
Xét hàm số

.
ABC

S=

là:

1
1
AB. AC = x 14400 − 240 x
2
2

f ( x ) = x 14400 − 240 x

f ′ ( x ) = 14400 − 240 x −

Ta có:
⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 40 ∈ ( 0;60 )

với

0 < x < 60

.

.

120 x
14400 − 360 x
=
14400 − 240 x
14400 − 240 x

;.

.

Bảng biến thiên:
.

Vậy

S max ⇔ f ( x ) max ⇔ x = 40

Vậy tam giác

ABC

.

có diện tích lớn nhất khi

x = 40cm

2.5.2. Một số bài vận dụng.
Bài 1: Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R, phải làm một cái
phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một
hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x. Tìm x để thể tích
khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.
A.

x=

2πR 6
3

B.

x=

2πR 2
3

C.

x=

2πR 3
3

D.

x=

πR 6
3

Bài 2: Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính
R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là

A.

R=

2S
2S
;h = 4
3π
3π .

B.

R=

S
1 S
;h =
2π
2 2π .
14

C.

R=

S
S
;h = 2
6π
6π .
D.
50 cm

S
S
;h =
4π
4π .

R=

Bài 3: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính
. Biết hình nón có thể
tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở
trên.
đó) hình nón có
kính
25 ( cm )
10Khi
2 ( cm
50bán

2 ( cm
) đáy là: 20 ( cm )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Bài 4: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới
mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là
một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như
hình vẽ. Theo
R = 3 3cm.
dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là
Tìm thể
tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn
nhất (với mục đích thu hút khách hàng).
Trong mục 2.5.2: Bài 1,2,3,4 được tham khảo từ TLTK số 5,6.

A.

108π cm3

.

B.

54π cm3

.

C.

18π cm3

.

D.

45π cm3

.

2.6. Ứng dụng đạo hàm trong bài toán kinh tế.
2.6.1 Một số ví dụ:
Bài 1: Một cửa hàng bán thanh long Châu Thành với giá bán mỗi quả là
50.000 đồng. Với giá bán này thì của hàng chỉ bán được khoảng 40 quả. Cửa
hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000
đồng thì số thanh long bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để của
hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là
30.000 đồng.
Bài giải
15


Gọi

5x

là số tiền cần giảm trên mỗi quả bưởi bán ra để đạt lợi nhuận lớn nhất

Khi đó, lợi nhuận thu được tính bằng công thức
f ( x ) = ( 50 − 5 x ) ( 50 x + 40 ) − 30 ( 50 x + 40 )

Ta có

 16 
f ( x ) = ( 20 − 5 x ) ( 50 x + 40 ) = 50 ( 4 − x ) ( 3x + 4 ) = 50 ( 16 + 16 x − 5 x 2 ) ⇒ max f ( x ) = f  ÷
 10 

50 − 5 x = 50 − 5.

Vậy giá bán của mỗi quả bưởi là

16
= 42
10

nghìn đồng

20

Bài 2: Ông Bình có tất cả
căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn
2
hộ với giá triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ
200
1

mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm chẵn
nghìn đồng thì có thêm
căn hộ bị bỏ trống. Hỏi khi tăng giá lên mức mỗi căn bao nhiêu tiền một tháng
thì ông Bình thu được tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng?
( x > 0)
x
200
Trong mục 2.6.1. : Bài 1,2 được tham khảo từ TLTK số 7 ,8.

Lời giải. Gọi là số lần tăng
nghìn đồng
tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng.

để ông Bình thu được

( 20- x)

Khi đó ông Bình cho thuê được số phòng là:
phòng.
Tổng
số( 20
tiền
ông
Bình thu+được
trênx)một
tháng là:
f (x) =
- x
200.000
= 200.000

) ( 2.000.000
( - x2 +10x + 200)

max f ( x ) = f (5)

x = 5.

'' = ''

Dấu
xảy ra khi và khi
Vậy ông Bình thu được tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng khi ông tăng giá
3
lên mức mỗi căn triệu đồng một tháng.
Bài 3: Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, 3
220500 cm
không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được
nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3. Xác định diện tích
đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
Bài giải
Gọi
nhật

a , b, h

lần lượt là chiều rộng, chiều dài đáy và chiều cao của hình hộp chữ

Theo bài ra, ta có

h

= 3 ⇔ h = 3a
a

và thể tích
16


V = abh = 220500 ⇒ a 2b = 73500 ⇔ b =

73500
a2

S = ab + 2bh = a.

Diện tích cần để làm bể là
6a 2 +

73500
73500
+ 2a.3a + 2. 2 .3a
2
a
a

514500
257250 257250
257250 257250
= 6a 2 +
+
≥ 3 3 6a 2 +

+
= 7350
a
a
a
a
a

⇔ 6a 2 =

257250
⇔ a = 35 → b = 60
a

S = a.b = 2100 cm 2

. Vậy
Dấu “=” xảy ra
500m2
Bài 4: Ông An có một
dùng để nuôi cá. Vụ cá năm nay
20cái ao diện tíchm2
ông nuôi với mật độ
con trên một
thì tổng
khối lượng cá thu được là 15
m2
tấn. 0,5kg
Biết rằng cứ thả giảm 4 con trên một
thì khối lượng mỗi con cá tăng

lên
. Hỏi vụ tới ông An cần phải thả bao nhiêu con cá giống để tổng
khối lượng cá thu được cao nhất ? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình
chăn nuôi và khối lượng mỗi con cá là bằng nhau).
Bài giải
Trong mục 2.6.1. : Bài 3,4 được tham khảo từ TLTK số 6 ,8.

Theo giả thiết: Giảm mật độ 4 con / m2 thì tăng 0,5 kg/con.
Suy
ra nếu
0,125.x
kg giảm x con/m2 (0 < x < 20, x là số nguyên) thì mỗi con tăng

f (x) = 500.(20 − x).(1,5+ 0,125x)
Và tổng khối lượng cá thu được là:
Lập bảng biến thiên thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 4.
Vậy ông An cần phải thả 8000 con cá giống để tổng khối lượng cá thu được
cao nhất.
3 gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích
Bài 5: Một người8 m
bán
không đổi bằng
, thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là2 hình vuông,
100000 / m
không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm
đáy
thùng
là
, giá tôn làm
50000 / m 2

thành xung quanh thùng là
. Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng
đựng gạo với cạnh đáy là bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?
Bài giải:

Gọi cạnh đáy và cạnh bên của thùng tôn là

a

và

b

(điều kiện:

a>0

và

b>0

).
17


V =a b=8

b=

2

Ta có thể tích thùng tôn là:

Chi phí để sản xuất thùng tôn là:
y=

Khảo sát hàm
y′ = −

Suy ra:

. Suy ra:

8
a2

4ab.50000 + 100000a

1600000
+ 100000a 2
a

với

a>0

1600000
+ 200000a = 0 ⇔ a = 2
a2

2

.
=

1600000
+ 100000a 2
a

.

.

. Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

ymin ⇔ a = 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có
.
2m
Vậy người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy
Bài 6: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng
khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km khoảng cách từ khách sạn A đến
điểm B trên bờ gần đảo C là 40km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi
đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ). Biết kinh phí đi đường thủy là
5USD/km, đi đường bộ là 3USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một
khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB=40km, BC=10km)

Bài giải: Giả sử người đó phải đi đường bộ một khoảng x (km) với 0Ta có (km)

Kinh phí phải trả khi đó là
Khảo sát hàm số này trên khoảng (0; 40) ta có
18


Vậy để kinh phí phải trả là nhỏ nhất thì người đó phải đi đường bộ một khoảng
32,5 km.
A

Bài 7: Cô An đang ở khách sạn bên bờ biển, cô cần 10
đi km
du lịch đến hòn đảo
C
C
. Biết rằng khoảng cách từ đảo
đến bờ biển
, khoảng cách từ
50 kmlà
C
A
B
A
khách sạn đến điểm trên bờ gần đảo là
. Từ khách sạn , cô An
C
có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo
5
(như hình vẽ bên). Biết rằng chi phí đi đường thủy là USD/km, chi phí đi
3
đường bộ là USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km

để chi phí là nhỏ nhất.

Lời giải
Gọi
Đặt

AD

là quảng qđường cô An đi đường bộ.

DB = x ( km ) ( 0 ≤ x ≤ 50 ) ⇒ AD = 50 − x ( km )

Chi phí của cô An:
f ( x)

liên tục trên

f ( x ) = ( 50 − x ) 3 + x 2 + 102 .5

[ 0;50]

f ′ ( x ) = −3 + 5.

Ta có

.

( USD )

.

x
x 2 + 100

=

−3 x 2 + 100 + 5 x
x 2 + 100

x ≥ 0
x ≥ 0


 x ≥ 0
⇔  2 9.100 ⇔ 
15
⇔
2
2
x
=
x
=
2

9
x
+
100
=

25
x

)
f ′ ( x ) = 0 ⇔ −3 x + 100 + 5 x = 0
 (
16


2

Ta có

.

 15 
f ( 0 ) = 200; f ( 50 ) = 50 26; f  ÷ = 190
2

19


x=

Để chi phí ít nhất thì

15
2

. Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng:

15 85
AD = 50 − = ( km )
2
2

để chi phí ít nhất.
AB = 25 km BC = 20 km
ABCD
Bài 8: Một
hình chữ nhật
có
,
và
MNkhu
( đất phẳng
N
AD BC
rào chắn
với M,
lầnClượt là trung điểm của
,
). Một người đi xe
A
A
X
đạp
xuất
phát
từ

đi
đến
bằng
cách
đi
thẳng
từ
đến
cửa
30 km /hthuộc đoạn
MN
15km /h
C
X
với vận tốc
rồi đi thẳng từ Cđến với vận tốc
(hình vẽ).
A
Thời gian ít nhất để người ấy đi từ đến là mấy giờ?
A

M

x

25 km

B

15 km /h

20 km

X

N

30 km /h
D

Bài giải:

C

Gọi

Quãng đường

MX = x ( km )

AX = x 2 + 102
CX =

Quãng đường

( 25 − x )

f ( x) =

Tổng thời gian

với

2

0 ≤ x ≤ 25

thời gian tương ứng
+ 10

2

thời gian tương ứng

x + 100
x − 50 x + 725
+
15
30
2

x 2 + 100
( h)
15

x 2 − 50 x + 725
( h)
30

2

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất

f ( x)

với

x ∈ [ 0; 25]

trên đoạn

[ 0; 25]

20


f ′( x) =

x
15 x 2 + 100

+

x − 25
30 x 2 − 50 x + 725

,

f ′( x) = 0 ⇔ x = 5

Trong mục 2.6.1.a: Bài 8 được tham khảo từ TLTK số 8.
4 + 29
1 + 29
f ( 0) =
≈ 1, 56 f ( 25 ) =
≈ 2,13
6
3

Tính các giá trị

Vậy hàm số đạt GTNN bằng

,

2 5
3

tại

f ( 5) =

,

2 5
≈ 1, 49
3

x=5

Bài 9: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với
tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị
trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó?
Bài giải:
Ta cần xác định OA để góc lớn nhất. Điều
này xảy ra khi và chỉ khi lớn nhất. Đặt OA=x
(m) với x>0.Ta có

C
1,4
B
1,8
A

O

Khảo sát hàm số , với x>0 ta được kết quả lớn nhất khi x=2,4.
Vậy góc nhìn lớn nhất khi vị trí đứng cách màn ảnh 2,4m
2.6.2. Một số bài vận dụng.
Bài 1: Một cửa hàng bán trà sữa ở Hà Nội sắp khai trương, đang nghiên cứu
thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa. Sau khi nghiên cứu, người quản
lý thấy rằng nếu bán với giá 30.000 đồng/ cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán
được 2.200 cốc, còn từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng thêm 1.000 đồng thì
sẽ bán ít đi 100 cốc mỗi tháng. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha 1 cốc trà
sữa không thay đổi là 22.000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với
giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?
21


Trong mục 2.6.2: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 8.

A. 32.000 VNĐ.
B. 30.000 VNĐ. C. 39.000 VNĐ. D.37.000 VNĐ
Bài 2: Công ty xe khách Thiên Ân dự định tăng giá vé trên mỗi hành khách.
Hiện tại giá vé là 50000 VNĐ một khách và có 10000 khách trong một tháng.
Nhưng nếu tăng giá vé thêm 1000 VNĐ một hành khách thì số khách sẽ giảm đi
50 người một tháng. Hỏi công ty sẽ tăng giá vé là bao nhiêu đối với một khách
để có lợi nhuận lớn nhất?
A. 50.000 VNĐ.
B. 15.000 VNĐ. C. 35.000 VNĐ. D.75.000 VNĐ.
Bài 3: Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi
tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá
mỗi phòng trọ thêm 200.000đ/tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ
kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao
nhất?
A.2.400.000
B.2.500.000
C.3.000.000 D. 3.200.000 3
72m .
Bài 4: Nam muốn xây một bình/ mchứa
hình
trụ
có
thể
tích
Đáy làm
2
,
bằng
bêtông giá 100 nghìn đồng

thành2 làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng
/ m2,
/m .
nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng
Vậy đáy của hình trụ có bán kính
bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất ?
2
3

A.

p

3

( m) .

3

B.

p

3

( m) .

3

C.

p

3

( m) .

3

D.

2 p

( m) .

Bài 5: Một người
8 m3bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích
không đổi bằng
, thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là2 hình vuông, không
100000 / m
nắp. Trên thị trường, giá tôn làm
đáy
thùng
là
, giá tôn làm thành
50000 / m 2
xung quanh thùng là
. Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng đựng
gạo với cạnh đáy là bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?
3m

A.

1,5 m

.

B.

2m

.

C.

1m

.

D.

.

Bài 6: Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đựng nước sạch có
V ( cm 3 ) .
R cm
dung tích
Hỏi bán kính ( ) của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau
đây để tiết kiệm vật liệu nhất?
A.

R=

3

3V
2π

B.

R=

3

V
π

C.

R=

3

V
4π

D.

R=

3

V
2π

22


Trong mục 2.6.2: Bài 2,3 được tham khảo từ TLTK số 8.
Trong mục 2.6.2: Bài 4,5,6 được tham khảo từ TLTK số 7.

A

Bài 7: Một công ty muốn xây dựng một đường ống dẫn từ một điểm trên bờ
50000
B
biển đến một điểm trên một hòn đảo. Giá để xây đường ống trên bờ là
130000
km
C
USD mỗi km và
USD để xây mỗi BCdưới
nước.
Gọi
là điểm trên bờ
= 6 km, AC = 9 km
BC
M
biển sao cho
vuông góc với bờ biển,

. Gọi
là vị trí
AC
AMB
trên đoạn sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc
thì chi phí ít
nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là bao
nhiêu ?
A.
C.

1230000

1140000

1406000

USD.

B.

USD.

D.

1170000

USD.
USD

Bài 8: Một xưởng in có 15 máy in được cài đặt tự động và giám sát bởi một kĩ
sư, mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong 1 giờ, chi phí cài đặt và bảo
dưỡng cho mỗi máy in cho 1 đợt hàng là 48 000 đồng, chi phí trả cho kĩ sư
giám sát là 24 000 đồng/ giờ. Đợt hàng này xưởng nhận in 6000 ấn phẩm thì
số máy in cần sử dụng để chi phi in ít nhất là
A. 10 máy

B. 11 máy

C. 12 máy

D. 9 máy

2.7. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.7.1. Kết quả từ thực tiễn
- Khi chưa áp dụng đề tài học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các ứng
dụng đạo hàm trong bài toán thực tế và học sinh không định hướng được
cách làm mà chỉ nhớ máy móc nên hay mắc sai lầm trong quá trình suy luận
,không nắm được mối liên hệ giữa các đại lượng… đẫn đến kết quả không cao.
- Khi áp dụng đề tài: Sau khi hướng dẫn học sinh và yêu cầu học sinh
giải một số bài tập ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế các đề thi khảo
sát chất lượng thi THPT Quốc gia 2017 (do Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh
Hóa, trường THPT Nguyễn Trãi và các trường trên cả nước tổ chức) thì các em
đã biết cách làm và đã giải được một lượng lớn bài tập đó.

23


Trong mục 2.6.2: Bài 7 được tham khảo từ TLTK số 7.
Trong mục 2.6.2: Bài 8 được tham khảo từ TLTK số 8.

2.7.2 Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2017-2018, bài kiểm tra áp dụng
trên hai đối tượng lớp 12 C1 không áp dụng sáng kiến và 12C2 áp dụng sáng
kiến (mỗi lớp 20 học sinh trình độ ngang nhau) như sau:
Lớp

Điểm giỏi
9-10

Điểm
khá

Điểm TB
5-6

Điểm
dưới TB

7-8
Lớp không thực nghiệm 12 C1
Lớp thực nghiệm 12 C2

2

3

5

12

8

6

4

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú
đặc biệt là khi giải các bài liên quan ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế
các em làm bài rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không chọn bừa
đáp án như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo của học sinh.

24


25