TS247 BG giai phuong trinh luong giac chua tham so 15506 1508121498

CHUYÊN ĐỀ : LƯỢNG GIÁC
BÀI GIẢNG: BIỆN LUẬN NGHIỆM TÌM THAM SỐ m
Biện luận nghiệm (tìm tham số)
Dạng 1: Phương trình một hàm sin, cos.
Dạng sin  f  m  hay cos  f  m  .
Vì 1  sin,cos  1 nên 1  f  m   1.
Dạng 2. Phương trình bậc nhất sin, cos.
Phương trình có dạng Asinx  Bcos x  C.
Phương trình dạng trên có nghiệm khi và chỉ khi A2  B2  C2 .
Dạng 3. Phương trình bậc 2 :1 ẩn.
Phương trình có dạng At 2  Bt  C  0.
Điều kiện có nghiệm   B2  4AC  0.
Chú ý: t có điều kiện thì nên làm cách khác.
Câu 1. Điều kiện cần và đủ để phương trình 3sin x  m 1  0 có nghiệm là:
HD: 3sin x  m  1  0  s inx 

1 m
.
3

Để phương trình có nghiệm thì
1 

1 m
 1  3  1  m  3  4  m  2  4  m  2.
3

  3 
Câu 2: Phương trình 1  cos x  m (m là tham số thực ) có nghiệm thuộc khoảng  ;  khi và chỉ khi:
2 2 

HD: 1  cos x  m  cos x  m 1.
  3 
Vì x   ;  nên cos x   1;0   1  m 1  0  0  m  1.
2 2 

Câu 3: Phương trình  2m  1 cos x  m  1  0(m là tham số thực ) có nghiệm khi và chỉ khi?
HD:
1
1
1
3
Xét  2m  1  0. Khi đó ta có m   . Với m   thì phương trình đã cho trở thành   1    0. Vậy
2
2
2
2
1
m   thì phương trình đã cho vô nghiệm.
2

1

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Với 2m  1  0. Ta có phương trình đã cho trở thành cos x 
cần và đủ là 1 
+) TH 1:

1 m
. Để phương trình có nghiệm thì điều kiện
2m  1

1 m
 1.
2m  1

1 m
 1
2m  1

1 m
1  0
2m  1
2m

 0.
2m  1


 m  2
.
Vậy 
m   1

2
+) TH 2:

1 m

1
2m  1

1 m
1  0
2m  1
3m

 0.
2m  1


m  0
.
Vậy 
m   1

2
Kết hợp điều kiện:

m   , 2  0,   .
Câu 4. Điều kiện cần và đủ để phương trình 4mcos2 x  m  3( m là tham số thực ) vô nghiệm là
+) Với m  0 thì phương trình đã cho trở thành 0  3 vô lý. Vậy m  0 là một giá trị cần tìm.
+) Xét m  0. Phương trình đã cho trở thành cos 2 x 

m3
. Để phương trình vô nghiệm thì
4m

m 3

 4m  1

m 3  0
 4m
Trường hợp 1.

2

m3
m3
3m  3
1
1  0  
 0.
4m
4m
4m

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


Vậy 0  m  1.
m3
 0.
4m

Trường hợp 2.

Vậy 3  m  0.

Kết luận. Tất cả các giá trị m cần tìm là 3  m  1.
Câu 5. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình  m  1 sinx  2mcos x  1  0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho tương đương với  m  1 sinx  2mcos x  1. Để phương trình này có nghiệm thì điều kiện
m  0
cần và đủ là  m  1  4m  1  5m  2m  0  
.
m   2
5

2

2

2

Câu 6. Phương trình cos2 x   m  1 sin 2x  m(m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi:
HD:

cos 2 x   m  1 sin 2x  m
1  cos2x
  m  1 sin 2x  m
2
 1  cos2x  2  m  1 sin 2x  2m


 cos2x  2  m  1 sin 2x  2m  1.
Để phương trình trên có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là

1  4  m  1   2m  1

2

2

 1  4m 2  8m  4  4m 2  4m  1
 4m  4  0
 m  1.
Câu 7. Phương trình m tan 2 x  2m tan x  1  0(m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi:
HD:
Đặt t  tan x. Khi đó phương trình ban đầu trở thành mt 2  2mt  1  0.
+)Xét m  0. Phương trình trở thành 1  0 vô lí.
+)Với m  0. Phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi

4m2  4m  0
  0
m  1


.


m  0 m  0
m  0

3

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!

Câu 8. Phương trình cos2x  4cosx  3  2m  0 1 (m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi:
HD:
Cách 1:
Ta có

 2 cos

2

x  1  4 cos x  3  2m  0

 2 cos 2 x  4 cos x  2m  2  0
 cos 2 x  2 cos x  m  1  0.

Đặt t  cos x  t   1,1 . Phương trình trở thành t 2  2t  1  m  0.

 2

Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình  2  có nghiệm thuộc  1,1. Khi đó ta có
  0


1  t1  1

1  t  1
2


 4  4 1  m   0  m  0


b   
 t1 

2a 


+) Trường hợp 1. 1 
+) Trường hợp 2.

.

2  4m
.
2

2  4m
 1.
2

HS tự giải.
Cách 2:
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng
cos2 x  2cos x  1  m  0.

Đặt t  cos x  t   1,1 . Phương trình trở thành t 2  2t  1  m. Đặt f  t   t 2  2t  1.
Xét hàm số f  t   t 2  2t  1 trên  1,1. Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra

0  f  t   4  0  m  4  0  m  4.

  
Câu 9. Phương trình sin 2 x   m  1 sinx  m  0 (m là tham số thực) có nghiệm thuộc đoạn   ,  khi và
 4 4
chỉ khi

4

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!


 2 2
  
2
Đặt t  sinx. Do x    ,  nên t   
,
 . Phương trình trở thành t   m  1 t  m  0.
 4 4
 2 2 

t 2   m  1 t  m  0   t 2  mt   t  m  0

 2 2
,
 t  1  

2 2 


 t  t  m    t  m   0   t  1 t  m   0 

.

 t  m   2  m  2   2  m  2

2
2
2
2

Câu 10. Phương trình mcos2 x  sin 2 x  msinx cos x  0 (m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi
+)Nếu cos x  0 thì phương trình trên trở thành sin 2 x  0 vô lí.
+)Với cos x  0. Chia hai vế của phương trình cho cos2 x ta nhận được
m  tan 2 x  m tan x  0.
Đặt t  tan x  t 2  mt  m  0.

m  4
Để phương trình có nghiệm thì   0  m2  4m  0  
.
m  0
Câu 11. Phương trình sin 2x  sinx  cos x 1  2m  0 (m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi
Đặt t  sinx  cos x , 0  t  2. Ta có
sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x  t 2
 1  2sin x cos x  t 2
 2sin x cos x  1  t 2

Phương trình đã cho trở thành 1  t 2   t  1  2m  0  t 2  t  2m.
Lập bảng biến thiên của hàm số f  t   t 2  t trên đoạn 0, 2  ta có

Từ bảng biến thiên ta nhận được 0  f  t   2  2  0  2m  2  2  0  m 

5

2 2
.
2

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa
- GDCD tốt nhất!