hàm sô 2

Câu 51:(Chuyên Đại Học Vinh) Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên
R?
A.

y= x

B.

C.

x
y=
x +1

D.

y = s inx

y=

x
x +1

Đáp án B
Phương pháp:
Dựa vào tính chất liên tục của hàm số.
Cách giải:

D = R \ { 1}
TXĐ:

. Đồ thị hàm số

x
y=
x +1

không liên tục tại điểm

Câu 52: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho hàm số

y = f ( x)

x = −1

.

có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
A. Nghịch biến trên khoảng

B. Đồng biến trên khoảng

C. Đồng biến trên khoảng

( −3;0 )

( 0; 2 )
( −1;0 )

D. Nghịch biến trên khoảng

( 0;3)

Đáp án C
Phương pháp:
+) Dựa vào đồ thị hàm số nhận xét những đặc điểm của đồ thì và chọn kết luận đúng.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số đồng biến trên

( −1;0 )

và ( 2; +∞ ) ,

nghịch biến


trên

( −∞; −1)

và

( 0; 2 )

Câu 53:(Chuyên Đại Học Vinh)
Đồ thị hàm số
y=

A.

có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

x +1
x2 −1

B.

4

C.

2

D.

1

3

Đáp án D
Phương pháp:
+) Đường thẳng

x=a

được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = f ( x)

nếu:

lim f ( x ) = ±∞
x →a

+) Đường thẳng

y=b

được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

lim f ( x ) = b

x →±∞

Cách giải:
TXĐ:

D = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ )

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Ta có

x =1

.

1
1+
x = 1 =1⇒

lim y = lim
x →+∞
x →+∞
1
1
1− 2
x

tiệm cận ngang

y =1

.

y = f ( x)

nếu:


Lại có
lim y = lim

x →−∞

x →−∞

Đồ thị hàm số
y=

tiệm cận ngang

1
1+
x
1
− 1− 2
x

=

1
− 1

y = −1

.

= −1 ⇒

có tất cả 3 cận đứng và tiệm cận ngang.

x +1
x2 −1

Câu 54:(Chuyên Đại Học Vinh)
Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm

f ' ( x ) = x 2 − 2x, ∀x ∈ ¡ .

Hàm số

y = −2f ( x )

đồng biến

trên khoảng
A.

B.

( 0; 2 )

C.

( −2;0 )

D.

( 2; +∞ )

( −∞; −2 )

Đáp án A
Phương pháp:
+) Hàm số

y = f ( x)

đồng biến trên

¡ ⇔ y' ≥ 0

với mọi

x∈¡

Cách giải:
Ta có:

y ' = −2f ' ( x ) > 0 ⇔ f ' ( x ) < 0 ⇔ x 2 − 2x < 0 ⇔ 0 < x < 2

Câu 55:(Chuyên Đại Học Vinh)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A.

−5

4
y = 1+ x +
x

B.

trên đoạn

5

C.

[ −3; −1]
−4

Đáp án C
Phương pháp:
+) Giải phương trình

y' = 0

để tìm các nghiệm

x = xi

bằng

D.

−6


+) Ta tính các giá trị

y ( a ) ; y ( xi ) ; y ( b)

và kết luận giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[ a; b ]
Cách giải:
Hàm số đã xác định và liên tục trên

Ta có:
y ' = 1−

[ −3; −1] .

 x = −2 ( ∈ [ −3; −1] )
4
2

⇒
y
'
=
0
⇔
x
=
4
⇔
x2
 x = 2 ( ∉ [ −3; −1] )

Tính
y ( −3 ) = −

10

ly ( −1) = −4; y ( −2 ) = −3 ⇒ min y = −4
[ −3;−1]
3

Câu 56: (Chuyên Đại Học Vinh)
Cho

( P) : y = x

2

và

1

A  −2; ÷.
2


Gọi M là một điểm bất kì thuộc

( P) .

Khoảng cách MA bé nhất

là
A.

B.
2

2

C.

5
4

D.
5
2

Đáp án C
Phương pháp:
Gọi

M ( a;a 2 ) ( P ) ,

tính

MA 2

theo a và tìm GTNN của

MA 2

Cách giải:
Gọi

2

1
2

M ( a;a 2 ) ⇒ MA 2 = ( a + 2 ) +  a 2 − ÷ = f ( a )
2

Khi đó

1

f ' ( a ) = 2 ( a + 2 ) + 2  a 2 − ÷.2a = 4a 3 + 4 = 0 ⇔ a = −1
2


2 3
3


Lại có:
lim f ( a ) = +∞ ⇒ Min f ( a ) = f ( −1) =
x →∞

¡

5
5
⇒ MA min =
4
2

Câu 57: (Chuyên Đại Học Vinh)
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn
đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch đế tạo ra bốn cánh hoa
(được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của
viên gạch bằng
A.

B.

800 2
cm
3

C.

400 2
cm
3

250cm 2

D.

800cm 2

Đáp án B
Phương pháp:
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của viên gạch hình vuông. Xác định
tọa độ các đỉnh của hình vuông.
+) Tính diện tích của một cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất. Xác định các phương trình

parabol tạo nên cánh hoa đó.
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Với

A ( 20; 20 ) ,

xét hình phẳng ở góc phân tư thứ nhất.

Hai Parabol có phương trình lần lượt là:

Do Parabol

Do Parabol

⇒a=

( P1 )

( P2 )

qua điểm

qua điểm

y = a x ( P1 )
2

và

x = ay 2 ( P2 )

20
1
x2
A ( 20; 20 ) ⇒ a = 2 =
⇒y=
20
20
20

A ( 20; 20 )

20
1
y2
=
⇒
y
=
⇔ y = 20x
202 20
20


20


2

x2 
x3 
400
S = ∫  20x − ÷dx = 
20x 3 − ÷ =
20 
60  0
3
3
0 
20

Câu 58: (Chuyên Đại Học Vinh)
Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình

a ≥ 9x + 1
x

nghiệm đúng với mọi

x∈R

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

B.

a ∈ 104 ; +∞ )

C.

a ∈ ( 103 ;10 4 

a ∈ ( 0;102 

D.

a ∈ ( 102 ;103 

Đáp án B
Phương pháp:
Chuyển vế, đưa phương trình về dạng

f ( x ) ≥ 0∀x ∈ ¡ ⇔ min f ( x ) ≥ 0
¡

Cách giải:
Xét hàm số

Ta có:

Để

f ( x ) = a x − 9x − 1( x ∈ ¡

)

f ( 0 ) = 0;f ' ( x ) = a x ln a − 9

f ( x ) ≥ 0 ( ∀x ∈ ¡

nghịch biến trên

)

thì

( −∞;0]

Min f ( x ) = 0 = f ( 0 ) ⇒ f ( x )

là hàm đồng biến trên

¡

suy ra

f ' ( 0 ) = 0 ⇔ a ln a = 9 ⇔ a = e ≈ 8103.
0

9

Vậy

và

[ 0; +∞ )

a ∈ ( 10 ;10 
3

4

.

Câu 59: (Chuyên Đại Học Vinh)
Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình

mọi

x∈¡ .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

− x + 2 + a ln ( x − x + 1) ≥ 0
2

nghiệm đúng với

.


A.

B.

a ∈ ( 6;7 ]

a ∈ ( 2;3]

C.

a ∈ ( −6; −5]

D.

a ∈ ( 8; +∞ )

Đáp án A
Phương pháp:
Đặt

t = x 2 − x + 1,

tìm khoảng giá trị của t.

Xét bất phương trình

f ( t) ≥ 0

trên khoảng vừa tìm được

⇔ M( t) ≥ 0

Cách giải:
Đặt

2

1 3 3

t = x2 − x +1 =  x − ÷ + ≥
2 4 4

Khi đó BPT trở thành

Ta có:
f '( t ) = 1+

Mặt khác

 3

f ( t ) = t + 1 + a ln t ≥ 0  t ∈  ; +∞ ÷÷

 4

a
= 0 ⇔ t = −a
t

3
3 7
lim f ( t ) = +∞;f  ÷ = + a ln
4
4 4

t →+∞

Với

a > 0 ⇒ f ( t)

đồng biến trên

3

 4 ; +∞ ÷


7
3
3

⇒ f ( t ) ≥ 0  ∀t ∈  ; +∞ ÷÷ ⇔ Min f ( t ) = + a ln ≥ 0
3

4
4
4


 4 ;+∞ ÷
−7
3 −7
⇔ a ln ≥
⇔ a ≤ 4 ≈ 6, 08.
3

4 4
ln
4

a ∈ ( 6;7 ] .

Vì đề bài yêu cầu tìm số thực lớn nhất nên suy ra


a ∈ ( 6;7 ] .

Câu 60: (Chuyên Đại Học Vinh)
Cho đồ thị

của

( C)

A.

( C ) : x 3 − 3x 2 .

đi qua điểm

Có bao nhiêu số nguyên

b ∈ ( −10;10 )

để có đúng một tiếp tuyến

B ( 0; b ) ?
B.

17

C.

9

2

D.

16

Đáp án
Phương pháp:
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

x 0 : y − y ' ( x 0 ) ( x − x 0 ) + y0
+) Thay tọa độ điểm B vào phương trình tiếp tuyến, suy ra phương trình có dạng

b = f ( x0 )

tìm điều kiện của b để phương trình đó có nghiệm duy nhất.
+) Phương trình

hàm số

y = f ( x0 )

b = f ( x0 )

có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng

tại một điểm duy nhất. Lập BBT của đồ thị hàm số

y=b

y = f ( x0 )

và kết luận.

Cách giải:
Phương trình tiếp tuyến của

( C)

tại

M ( x 0 ; x − 3x
3
0

2
0

)

có dạng:

y = ( 3x 02 − 6x 0 ) ( x − x 0 ) + x 30 − 3x 02

Do tiếp tuyến đi qua điểm

cắt đồ thị

( 0; b ) ⇒ b = ( 3x 02 − 6x 0 ) ( − x 0 ) + x 30 − 3x 02 = −2x 30 + 3x 02


Để có đúng một tiếp của

( C)

đi qua

B ( 0; b )

thì phương trình

b = −2x + 3x
3
0

2
0

có duy nhất một

nghiệm.

Xét hàm số

BBT:
x

x = 0 ⇒ y = 0
y = −2x 3 + 3x 2 ⇒ y ' = −6x 2 + 6x = 0 ⇔ 
x = 1 ⇒ y = 1

−∞

y'

0
0

-

+

+∞

y

+∞

1

0

-

1
−∞

0
Dựa vào BBT của đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi

Với

b > 1
b < 0

có 17 giá trị

b ∈ ( −10;10 ) ⇒ b ∈ { −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} ⇒

nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bào toán.
Câu 61:(Chuyên Đại Học Vinh)
Cho hàm số

trị của

A.

f 2 ( 1)

f ( x)

thỏa mãn

( f '( x ) )

+ f ( x ) .f '' ( x ) = 15x + 12x, ∀x ∈ ¡

và

4

f ( 0) = f ' ( 0)

bằng

B.

4

9
2

Đáp án A
Phương pháp:
+) Nhận xét

2

VT =  f ( x ) .f ' ( x )  '

C.

10

D.

5
2

. Giá


+) Lấy nguyên hàm hai vế hai lần.
Cách giải:
Ta có:

 f ( x ) .f ' ( x )  ' = f ' ( x )  + f ( x ) .f '' ( x ) = 15x 4 + 12x
2

Nguyên hàm 2 vế ta được

Do

f ( x ) .f ' ( x ) = 3x 5 + 6x 2 + C

f ( 0) = f ' ( 0) = 1 ⇒ C = 1

Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được:

⇒

∫ f ( x ) df ( x ) = ∫ ( 3x

5

+ 6x 2 + 1) dx

f 2 ( x ) 3x 6 6x 3
1
=
+
+ x + D = x 6 + 2x 3 + x + D
2
6
3
2

Do
f ( 0) = 1 ⇒ D =

1
1
1
⇒ f 2 ( x ) = x 6 + 2x 3 + x + ⇒ f 2 ( 1) = 4
2
2
2

Câu 62:(Chuyên Đại Học Vinh)
ho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số

cho như hình vẽ bên. Hàm số

x

−1

f '( x )

3

0

 x
y = f 1 − ÷+ x
 2
1

nghịch biến trên khoảng

2

3
4

1

2

−1

y = f '( x)

được


A.

B.

( 2; 4 )

( −4; −2 )

C.

D.

( −2;0 )

( 0; 2 )

Đáp án B
Phương pháp:
Tính

g '( x ) ,

giải bất phương trình

g '( x ) < 0

Cách giải:
Ta có

1  x
 x
g ( x ) = f 1 − ÷+ x ⇒ g ' ( x ) = − .f ' 1 − ÷+ 1; ∀x ∈ ¡
2  2
 2

Xét bất phương trình

1  x
 x
g ' ( x ) < 0 ⇔ − .f ' 1 − ÷+ 1 < 0 ⇔ f ' 1 − ÷ > 2
2  2
 2

( *)

Thử lần lượt từng đáp án
Đáp án A:

Đáp án B:

Đáp án C:

Đáp án D:

x
 x
x ∈ ( 2; 4 ) ⇔ 1 − ∈ ( −1;0 ) ⇒ f ' 1 − ÷ > 1 ⇒
2
 2

đáp án A sai

x
 x
x ∈ ( −4; −2 ) ⇔ 1 − ∈ ( 2;3) ⇒ f ' 1 − ÷ > 2 ⇒
2
 2

B đúng.

x
 x
x ∈ ( −2;0 ) ⇔ 1 − ∈ ( 1; 2 ) ⇒ −1 < f ' 1 − ÷ < 2 ⇒
2
 2
x
 x
x ∈ ( 0; 2 ) ⇔ 1 − ∈ ( 0;1) ⇒ −1 < f ' 1 − ÷ < 1 ⇒
2
 2

Csai

D sai.

Câu 63: (Chuyên Đại Học Vinh)
Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm

f ' ( x ) = ( x − 1)

2

(x

2

− 2x ) ,

với mọi

x∈¡ .

.Có bao nhiêu giá


trị nguyên dương của tham số m để hàm số

A.

B.

16

y = f ( x − 8x + m )
2

C.

17

có 5 điểm cực trị?

D.

15

18

Đáp án C
Phương pháp:
Đặt

g ( x ) = f ( x 2 = 8x + m ) ,

tính

g '( x )

và giải phương trình

phương trình có 5 nghiệm phân biệt và qua các nghiệm đó

g '( x )

g ' ( x ) = 0,

tìm điều kiện để

đổi dấu.

Cách giải:
Ta có

Mà

x = 4
g ' ( x ) = ( 2x − 8 ) f ' ( x 2 − 8x + m ) = 0 ⇔ 
2
f ' ( x − 8x + m ) = 0

f ' ( x ) = ( x − 1)

2

(x

2

( *)

( I) .

− 2x ) = ( x − 1) .x ( x − 2 ) ; ∀x ∈ ¡
2

Suy

ra

 x 2 − 8x + m − 1 = 0 ( 1)

2
( *) ⇔ ( x 2 − 8x + m − 1) ( x 2 − 8x + m ) ( x 2 − 8x + m − 2 ) = 0 ⇔ x 2 − 8x + m = 0
( 2)
 2
 x − 8x + m − 2 = 0 ( 3 )
Qua các nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì

g '( x )

đều không đổi dấu. Do đó ta không

xét phương trình (1).
Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2); (3) có 2 nghiệm phân biệt
khác 4.


16 − m > 0
16 − m + 2 > 0


⇔
⇔ m < 16
−
16
+
m
≠
0

 −18 + m ≠ 0
Kết hợp

m ∈ ¢* ⇒

có 15gias trị m cần tìm.

Câu 64: (Chuyên Đại Học Vinh)
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số

y = x 3 + ( a + 10 ) x 2 − x + 1

cắt trục

hoành tại đúng một điểm?
A.

B.

9

C.

8

D.

11

10

Đáp án D
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm

dạng

a = f ( x) ,

y = f ( x)

x + ( a + 10 ) x − x + 1 = 0,
3

2

phương trình có nghiệm duy nhất

⇔

cô lập a, đư phương trình về

đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số

tại một điểm duy nhất, lập BBT và kết luận.

Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của

Dễ thấy

x=0

( C)

và OX là

x 3 + ( a + 10 ) x 2 − x + 1 = 0

không là nghiệm của phương trình (*). Khi đó

( *) ⇔ −a − 10 =

( *)

x3 − x + 1
.
x2

Xét hàm số

Tính

x − x +1
1 1
f ( x) =
=x− + 2 ,
2
x
x x
3

có

x3 + x − 2
f '( x ) =
= 0 ⇔ x =1
x3

lim f ( x ) = +∞; lim f ( x ) = +∞; lim− f ( x ) = −∞; lim+ f ( x ) = +∞;f ( 1) = 1.

x →−∞

BBT:
x

x →+∞

x →0

−∞

x →0

0

y'

-

0

-

+∞

+∞

1

+

+∞

+∞

y
−∞

Dựa

vào

bảng

biến

1

thiên,

ta

thấy

f ( x ) = −a − 10

có

nghiệm

duy

nhất

⇔ −a − 10 < 1 ⇔ a > −11

Câu 65: (Chuyên Đại Học Vinh)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của

biến trên khoảng

A.

15

( 1; +∞ )

m ∈ ( −10;10 )

để hàm số

y = m 2 x 4 − 2 ( 4m − 1) x 2 + 1

đồng

?

B.

7

C.

D.

16

6

Đáp án C
Phương pháp:
Để hàm số đồng biến trên

( 1; +∞ )

( 1; +∞ ) ⇒ y ' ≥ 0∀x ∈ ( 1; +∞ )

và

y' = 0

tại hữu hạn điểm thuộc


( 1; +∞ )
Cách giải:
Ta có

y ' = 4m 2 x 3 − 4 ( 4m − 1) x = 4x ( m 2 x 2 − 4m + 1)

Để

hàm

số

đồng

biến

( 1; +∞ ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ m 2 x 2 − 4m + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ )
Rõ ràng
Với

m=0

m≠0

trên

( 1)

thỏa mãn (1).

thì

m ≠ 0
m
≠
0


4m − 1
4m − 1
⇔ m ≥ 2 + 3
( 1) ⇔ x 2 ≥ 2 ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ 2 ≤ 1 ⇔  2
m
m

 m − 4m + 1 ≥ 0  
  m ≤ 2 − 3
Kết hợp với

m ∈ ( −10;10 )
⇒ m ∈ { 4;5;6;7;8;9; −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1} .

m ∈ ¢

Vậy có 16 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 66:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x 3 − 3x 2 + 2

A. 0.
B. 2.
C. 1.
Đáp án B
Câu 67:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
hàm số

A.

x +1
y=
x −1

D. 4.

y = −2x + m

tiếp xúc với đồ thị

là

m ∈ { 7; −1} .

Đáp án A.

đến trục tung bằng

B.

m = 6.

C.

m ∈ { 6; −1} .

D.

m = −1.


Ta có:
y' =

( x − 1)

Để đường thẳng

⇔

−2

( x 0 − 1)

Với
Với

Gọi

−2

2

2

.

A ( x 0 , y0 )

y = −2x + m

là tiếp điểm, trong đó
x 0 ≠ 1, y0 =

tiếp xúc với đồ thị hàm số

x +1
y=
x −1

thì

x0 + 1
x0 −1

y ' ( x 0 ) = −2

= −2 ⇔ ( x − 1) 2 = 1 ⇔  x 0 = 2
0
x = 0
 0

x 0 = 2 ⇒ x 0 = 3 ⇒ 3 = −2.2 + m ⇒ m = 7
x 0 = 0 ⇒ y0 = −1 ⇒ −1 = −2.0 + m ⇒ m = −1.

Câu 68: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Điểm thuộc đường thẳng
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
A.

( −1; 2 ) .

B.

y = x 3 − 3x 2 + 2

cách đều

là

C.

( 0; −1) .

d : x − y −1 = 0

D.

( 1;0 ) .

( 2;1) .

Đáp án C.
Ta có:

x = 0
y ' = 3x 2 − 6x = 3x ( x − 2 ) ⇒ y ' = 0 ⇔ 
.
x = 2

Suy ra tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là
AB.
PT đường trung thực của AB là d’:
Điểm cần tìm là

A ( 0; 2 ) , B ( 2; −2 ) ⇒ I ( 1;0 )

là trung điểm

( x − 1) − 2y = 0 ⇔ x − 2y − 1 = 0.

M ( 1;0 ) = d ∩ d '.

Câu 69: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số

y = x + 3 3ax
3

có cực đại, cực tiểu và đường

thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ


A.

B.

a < 0.

a < −1.

C.

−1 < a < 0.

D.

a > 0.

Đáp án A.
Ta có

y ' = 3x 2 + 3 3a.

Hàm số có cực trị

⇔ y' = 0

có 2 nghiệm phân biệt

⇔ a < 0.

Hàm số là hàm lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ, do đó đường thẳng nối
cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
Câu 70: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
5 + x −1
y= 2
x + 4x
A.
C.

B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

x = 0.

D.

x = −4.

x = 0, x = −4.

Đáp án A.
Ta có

x = 0
x 2 + 4x = 0 ⇔ 
.
 x = −4

Mặt khác
lim y = lim
x →0

Suy ra

x=0

x →0

5 + x −1
5 + x −1
1
= ∞, lim y = lim 2
=− .
2

x →−4
x →−4 x + 4x
x + 4x
8

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 71: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại các điểm có tung độ bằng 5 là
y = x 4 − 3x 2 + 1
A.
C.

y = 20x − 35.
y = −20x − 35.

Đáp án D.

B.
D.

y = −20 − 35; y = 20x + 35.
y = 20x − 35; y = −20x − 35.


Ta có

Có

x = 2

y = 5 ⇔ x 4 − 3x 2 + 1 = 5 ⇔ 
.
 x = −2

 y ' ( 2 ) = 20
y ' = 4x 3 − 6x ⇒ 
.
 y ' ( −2 ) = −20

Suy ra PTTT thỏa mãn đề bài là

 y = 20 ( x − 2 ) + 5
 y = 20x − 35
⇔
.

 y = −20x − 35
 y = −20 ( x + 2 ) + 5

Câu 72:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm của hai
đường tiệm cận của đồ thị hàm số
bằng
2x + 1
y=
x +1
A.

B.

C. 5.

D.

5.

2.

3.

Đáp án B.
Đồ thị hàm số

2x + 1
y=
x +1

có tâm đối xứng là

I ( −1; 2 ) ⇒ OI =

Câu 73:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
A.

B.
10 6
.
3

( −1)

y = x 3 − 2x + 1

C.

10
.
3

2

+ 22 = 5.

bằng
D.

10 3
.
3

10 6
.
9

Đáp án D.
Ta có

Suy ra
6
y ' = 3x 2 − 2; y ' = 0 ⇔ x = ±

.
3

 6 9−4 6  
6 9+4 6 
A 
;
;
B
−
÷

÷  3 ; 9 ÷
÷
3
6

 


Với A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Vậy
AB =

10 6
.
9


Câu 74: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Gọi A,B,C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

y = x 4 − 2x 2 + 4.
A.

B. 1.

C.

2.

D.

2 − 1.

2 + 1.

Đáp án C.
Ta có

x = 0
y ' = 4x 3 − 4x ⇒ y ' = 0 ⇔ 
.
 x = ±1

Suy ra tọa độ ba điểm cực trị là

2
2
 AC = BC = 2
A ( −1;3) , B ( 1;3) , C ( 0; 4 ) ⇒  2
⇒ ∆ABC

 AB = 4

vuông cân tại C.
Suy ra
S 1
  2+ 2+2
r = =
2 2 ÷: 
÷
÷ = 2 − 1.
P 2
2
 

Câu 75: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Phương trình tiếp tuyến của đường cong
tại điểm có hoành độ

y = x 3 + 3x 2 − 2
A.

B.

y = 9x − 7

x0 = 1

y = 9x + 7

là

C.

D.

y = −9x − 7

y = −9x + 7

Đáp án A
Ta có

y ' = 3x 2 + 6x ⇒ y ' ( 1) = 9, y ( 1) = 2

Suy ra PTTT là

y = 9 ( x − 1) + 2 ⇔ y = 9x − 7

Câu 76:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Cho hàm số

f ' ( x ) = ( x + 1)

4

( x − 2 ) ( x + 3)
5

3

Số điểm cực trị của hàm số
.

f( x)

là

f ( x)

có đạo hàm


A.

B.

5

3

C.

D.

1

2

Đáp án B
Ta có:

 f ( u )  ' = f ' ( u ) .u ' ( x ) ⇒ f ( x )  ' = f ' ( x ) . x ' = ( x + 1)

Chú ý:

( x )'=(

Do đó hàm số

)

x2 ' =

f( x)

4

( x − 2 ) ( x + 3)
5

3

.

x
x

2x
2x

có 3 điểm cực trị là

x = ±2, x = 0

Câu 77:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Đồ thị ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào
sau đây?

A.

B.

C.

D.

y = − x 3 + 6x 2 − 9x + 2

y = x 3 − 6x 2 + 9x − 2

y = − x 3 + 6x 2 + 9x − 2

y = x 3 − 3x 2 − 2

Đáp án B


Câu 78:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Số điểm cực trị của hàm số

A.

B.

0

C.

3

D.

1

1
y=
x

là

2

Đáp án A
Hàm số có tập xác định

Có

D = ¡ \ { 0}

1
y ' = − 2 < 0, ∀x ∈ D ⇒
x

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định, suy ra hàm số

Câu 79: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trục đối xứng của đồ thị hàm số

y = − x 4 + 4x 2 − 3

là

A. Đường thẳng

x=2

B. Đường thẳng

x = −1

C. Trục hoành

D. Trục tung

Đáp án D
Hàm số chẵn có trục đối xứng của đồ thị hàm số là trục tung.
Câu 80: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
x

−∞

−1

y'
y

-

0

0
0

+

+∞

-

0

y = x 4 − 2x 2 − 3

+∞
−4

D.

y = x 4 + 2x 2 + 3

Đáp án C
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

lim y = +∞ ⇒ a > 0

x →+∞

A.

+

−3
−4

C.

+∞

1

(loại B)

B.

y = x 4 + 2x 2 − 3

y = − x 4 + 2x 2 − 3


Đồ thị hàm số đi qua điểm

( 0; −3)

(loại D) và đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại A).

Câu 81: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Tìm giới hạn

A.

B.

2
3

2
−
3

C.

2x − 3
lim
x →+∞ 1 − 3x

:

D.

3
−
2

2

Đáp án B

2x − 3
2
=−
x →+∞ 1 − 3x
3
lim

Câu 82:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Hàm số nào sau đây đồng biến trên
A.

y = x +1
2

B.

x
y=
x +1

C.

D.

y = x +1

¡

?

y = x4 +1

Đáp án C
Ta có

y = x +1 ⇒ y ' > 0

suy ra

y = x +1

là hàm số đồng biến trên

¡

.

Câu 83: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Biết đồ thị hàm số

2x − n ) x 2 + mx + 1
(
y=
x 2 + mx + n − 6

(m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính
A.

6

B.

−6

C.

D.

8

Đáp án D
Ta có

m 1
2m − n + + 2
x x = 2m − n ⇒ y = 2m − n
lim y = lim
x ⇒∞
x ⇒∞
m n−6
1+ + 2
x
x

là TCN

m+n
9


Mà

Và

y=0

x=0

Vậy

là tiệm cận ngang của ĐTHS

là TCĐ của ĐTHS

⇒x=0

⇒ y = 0 ⇒ 2m − n = 0

là nghiệm của phương trình

x 2 + mx + n − 6 = 0

 2m − n = 0 m = 3
⇒
→m+n =9

n = 6
n = 6

Câu 84: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Xét hàm số

tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên

được, tính
A.

[ −1;3] .

f ( x ) = x + ax + b ,
2

với a, b là

Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể

a + 2b.
B.

3

4

C.

−4

D.

2

Đáp án C
Ta có

M ≥ f ( −1) = b − a + 1 ; M ≥ f ( 3 ) = b + 3a + 9

M ≥ f ( 1) = b + a + 1 ⇒ 2M ≥ −2b − 2a − 2

Từ (1) và (2), kết hợp với

x + y + z ≥ x+ y+z ,

( 1)
( 2)

ta được

4M ≥ b − a + 1 + b + 3a + 9 + −2b − 2a − 2 ≥ b − a + 1 + b + 3a + 9 − 2b − 2c − 2 = 8 ⇒ M ≥ 2
Vậy

M ≥ 2.

Dấu bằng xảy ra khi

 b − a +1 = 2

 b + 3a + 9 = 2 và b − a + 1.b + 3a + 9, −2b − 2a − 2

 b + a +1 = 2

cùng dấu

Do đó

 a = −2
→ a + 2b = −4

 b = −1

Phương pháp: Tên

[ α; β]

tùy ý thì ta chọn 3 giá trị
α, β,

α+β
2

Câu 85( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam): Tính giới hạn
lim

x →−2−

A.

B. 2.

−∞.

C.

3 + 2x
.
x+2

+∞.

D.

3
.
2

Đáp án C.
Ta có

3 + 2. ( −2 ) −1
3 + 2x
= lim−
=
= +∞.
−
2 x+2
x →−2
( −2 ) + 2 0−

lim−

x→

Câu 46: Cho hàm số

y = f ( x)

 f ( 1 + 2x )  = x − f ( 1 − x )  .
2

3

xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

điểm có hoành độ bằng 1.
A.
B.
1
6
1
8
y=− x− .
y= x− .
7
7
7
7

C.

1
8
y=− x+ .

7
7

D.

y = f ( x)

tại

6
y = −x + .
7

Đáp án A.
Đặt

f ( 1) = a
,

f ' ( 1) = b '

thay

x=0

Đạo hàm 2 vế biểu thức

vào giả thiết, ta được

a = 0

f 2 ( 1) = −f 3 ( 0 ) ⇔ a 3 + a 2 = 0 ⇔ 
.
a = −1

f 2 ( 1 + 2x ) = x − f 3 ( 1 − x ) ,

4f ' ( 1 + 2x ) .f ( 1 + 2x ) = 1 + 3f ' ( 1 − x ) .f 2 ( 1 − x )

ta được


4f ' ( 1 + 2x ) .f ( 1 + 2x ) = 1 + 3f ' ( 1 − x ) .f ( 1 − x )
2

Thay

x=0

TH1: Với
TH2: Với

vào biểu thức (1), ta có

a = 0,

4f ' ( 1) .f ( 1) = 1 + 3f ' ( 1) .f 2 ( 1) ⇔ 4ab = 1 + 3a 2b

thay vào (2), ta được

a = −1,

(1).

0 =1

(vô lý).

thay vào (2), ta được
−4b = 1 + 3b ⇔ b = −

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

(2).

1
1
⇒ f ' ( 1) = − .
7
7

1
6
y − f ( 1) = f ' ( 1) ( x − 1) ⇒ y = − x − .
7
7

Câu 86: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)
Cho hàm số
xác định trên R và có đạo hàm
thỏa mãn

y = f ( x)
y = f '( x)

f ' ( x ) = ( 1 − x ) ( x + 2 ) .g ( x ) + 2018
y = f ( 1 − x ) + 2018x + 2019
A.

( 1; +∞ ) .

B.

trong đó

g ( x ) < 0, ∀x ∈ ¡ .

Hàm số

nghịch biến trên khoảng nào?

( 0;3) .

C.

( −∞;3) .

D.

( 1; +∞ ) .

Đáp án D.

Ta có

y ' =  f ( 1 − x ) + 2018x + 2019  ' = ( 1 − x ) '.f ' ( 1 − x ) + 2018 = −f ' ( 1 − x ) + 2018

= − x ( 3 − x ) .g ( 1 − x ) − 2018 + 2018 = − x ( 3 − x ) .g ( 1 − x )
Nên

mà

g ( 1 − x ) < 0; ∀x ∈ ¡

x > 3
y ' < 0 ⇔ − x ( 3 − x ) .g ( 1 − x ) < 0 ⇔ x ( 3 − x ) .g ( 1 − x ) > 0 ⇔ x ( 3 − x ) < 0 ⇔ 
.x < 0

Khi đó, hàm số

y = f ( 1 − x ) + 2018x + 2019

Câu 87: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)

nghịch biến trên khoảng

( 3; +∞ ) .