Các phép biến hình trong bài toán hàm số

1

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP NGÀNH
Chúng tôi ghi tên dưới đây:

TT

Họ và tên

Ngày tháng

Nơi

năm sinh

công tác

Chức vụ

Trình độ

Tỷ lệ (%)

chuyên môn

đóng góp
vào việc tạo

ra sáng kiến

1

Đinh Hồng Chinh

11/03/1986

Trường THPT

Giáo viên

Đại học

60%

Giáo viên

Đại học

40%

Bình Minh
2

Dương Xuân Lợi

28/06/1982

Trường THPT

Ngô Thì Nhậm

I. Tên sáng kiến
“Các phép biến hình trong bài toán hàm số”
Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán.

II. Nội dung sáng kiến
1. Giải pháp cũ thường làm
Kiểm tra đánh giá là khâu không thể thiếu trong quá trình dạy học. Hoạt động này
không chỉ nhằm ghi nhận kết quả đạt được của học sinh mà còn hướng vào việc đề xuất
những phương hướng đổi mới, cải thiện thực trạng, điều chỉnh và nâng cao chất lượng, hiệu
quả giáo dục.
Trước những yêu cầu của xã hội đối với sản phẩm của giáo dục, kiểm tra đánh giá trong
dạy học môn Toán cần có những thay đổi. Nếu như trước đây, trong quá trình kiểm tra
đánh giá định kỳ cũng như trong các kì thi tuyển sinh đại học hoặc thi THPT Quốc gia


2
đề thi môn Toán đều thi theo hình thức tự luận, đây là một hình thức thi truyền thống đã
được thực hiện nhiều năm nay, tuy nhiên hình thức này có nhiều điểm hạn chế. Vì vậy, từ kì
thi THPT Quốc Gia năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chuyển sang hình thức thi trắc
nghiệm. Việc thay đổi này ít nhiều cũng gây khó khăn và cả sự bỡ ngỡ cho giáo viên cũng
như học sinh. Cái thay đổi nhiều nhất với giáo viên đó là vấn đề ra đề thi và kiểm tra, còn
với học sinh đó là vấn đề học đều toàn bộ chương trình không còn tình trạng học tủ, cần
phải chú ý đến cả những nội dung mà trước đây hầu như không xuất hiện trong đề thi.
Cũng vì những thay đổi đó mà rất nhiều các nội dung trước đây không hề hoặc rất ít
xuất hiện trong đề thi, mà điểm hình là các phép biến hình. Học sinh cũng như giáo viên
khi nghiên cứu nội dung này thường là các bài toán hình học thuần túy như việc tìm ảnh
của: điểm, đường thẳng, đường tròn, elip. Khi gặp các dạng toán khác liên quan đến phép
biến hình thì học sinh rất lúng túng trong việc tìm ra cơ sở lý luận để giải quyết bài toán.

Ngay cả giáo viên khi giảng cho học sinh về nội dung này cũng khó khăn.
Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy, với mong muốn xây dựng một tài liệu với đầy đủ cơ
sở lý thuyết và các dạng bài tập nhằm hỗ trợ cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng
dạy và học tập nội dung này, chúng tôi đã viết sáng kiến “Các phép biến hình trong bài
toán hàm số và đồ thị”.
Mục đích chính của Sáng kiến này là đưa cái nhìn của các phép biến hình vào các bài
toán hàm số. Nhằm có một tài liệu ôn luyện chất lượng cho giáo viên và học sinh. Cũng góp
phần giúp cho giáo viên và học sinh việc áp dụng một nội dung vào giải quyết các nội dung
khác trong chương trình.

2. Giải pháp cải tiến
2.1 Cơ sở lý luận
Được trình bày trong chương I. Trong nội dung này tác giả trình bày sơ lược về phép
biến hình như:
2.1.1 Lịch sử hình thành
2.1.2 Kiến thức cơ bản
Trình bày các định nghĩ, tính chất, biểu thức tọa độ của các phép biến hình.
2.1.3 Tổng quan về ứng dụng của các phép biến hình


3

2.2 Giải pháp mới
Trong phần giải pháp mới cũng là nội dung chính của sáng kiến được tác giả trình bày
trong bốn chương:
Chương II: Phép tịnh tiến
Chương III: Phép đối xứng
Chương IV: Phép quay
Chương V: Phép vị tự
Trong từng chương tác giả trình bày các lý thuyết quan trọng phục vụ cho qua trình giải

toán cũng như là cơ sở lý thuyết để tìm ra lời giải cho bài toán.
Trong các chương đều được phân dạng bài tập rõ ràng. Mỗi dạng bài tập đều có phương
pháp, các phân tích giúp cho việc tiếp cận lời giải một cách tốt nhất.
Các dạng bài tập mà tác giả phân chia và đưa ra đều là các nội dung rất mới, hầu như
chưa bắt gặp trong bất cứ tài liệu nào trước đây. Ví dụ như việc tìm ảnh, tìm vật, tìm phép
tịnh tiến trong các bài toán hàm số, đồ thị. Các bài toán đơn điệu, cực trị, tương giao,. . .
của các hàm số qua phép biến hình.

III. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được
1. Hiệu quả kinh tế:
Các nội dung viết trong sáng kiến này là một tài liệu tham khảo cho giáo viên và học
sinh. Học sinh có thể dùng tài liệu này để tham khảo về các vấn đề liên quan đến các phép
biến hình, hàm số và đồ thị. Giáo viên có thể dùng tài liệu này phục vụ công tác giảng dạy
và ra đề kiểm tra cũng như đề thi thử. Nội dung sáng kiến cũng là một tài liệu tham khảo
giá trị khoảng 40.000đ (phô tô), phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
Tại THPT Bình Minh và THPT Ngô Thì Nhậm, tài liệu đã được sử dụng để giảng dạy
và học tập cho toàn bộ giáo viên Toán – Tin trong nhà trường. Và toàn bộ học sinh khối
11 và 12 với khoảng 1000 học sinh. Không riêng gì áp dụng cho năm học 2018 – 2019, Sáng
kiến này sẽ tiếp tục được chỉnh sửa và bổ sung để áp dụng vào những năm học tiếp theo.
Nếu được áp dụng và nhân rộng trên toàn tỉnh với số luợng 27 trường THPT sẽ tiết kiệm
được số tiền rất lớn và là sản phẩm tri thức có giá trị.


4

2. Hiệu quả xã hội:
- Đối với học sinh, phụ huynh và xã hội: Tạo được tâm lí tự tin cho phụ huynh và học
sinh trước mỗi kì thi quan trọng. Học sinh có thể giải được các bài tập trắc nghiệm liên
quan đến hàm số sử dụng phép biến hình trong các đề thi và đề kiểm tra.
- Đối với nhà trường THPT Bình Minh và THPT Ngô Thì Nhậm: Sau khi áp dụng sáng

kiến này tại nhà trường thu được kết quả tốt, tạo được sự tin tưởng chuyên môn của nhóm
toán nhà trường. Đồng thời khích lệ phong trào viết sáng kiến, cải tiến phương pháp dạy
học đạt hiệu quả cao. Đóng góp vào nâng cao chất lượng giảng dạy của nhà trường. Trong
những năm gần đây trường THPT Bình Minh, THPT Ngô Thì Nhậm đã có những tiến bộ
vượt bậc về kết quả thi Học sinh giỏi và thi THPT Quốc Gia.
- Đối với việc giảng dạy: Sáng kiến này tiếp tục đóng góp vào việc giáo viên tích cực đổi
mới phương pháp giảng dạy, đặc biệt là trong bộ môn toán trường THPT Bình Minh và
THPT Ngô Thì Nhậm. Nội dung Sáng kiến này là tài liệu tham khảo có thể áp dụng cho
tất cả các trường THPT trong toàn tỉnh (27 trường THPT). Đặc biệt là cho các đối tượng
học sinh ôn thi HSG, THPT Quốc gia. Là một chuyên đề giảng dạy hiệu quả cho giáo viên.

IV. Điều kiện và khả năng áp dụng
1. Khả năng áp dụng sáng kiến trong thực tiễn:
Rộng rãi đối với tất cả các trường trung học phổ thông.
Hiện nay, tại hầu hết các trường THPT đều coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia
cho học sinh, mà môn Toán là môn thi nằm trong nhiều khối thi của học sinh. Vì vậy vấn
đề dạy ôn thi THPT Quốc gia môn Toán càng được các nhà trường quan tâm nhiều hơn
nữa. Mà nội dung chuyên đề phép biến hình cũng như các bài toán đồ thị hàm số liên quan
đến phép biến hình là một dung trước đây ít được chú ý và khan hiếm tài liệu. Chính vì thế
nhiều học sinh cảm thấy khó khăn khi tiếp cận để giải quyết nội dung này. Và khó khăn với
giáo viên trong công việc soạn đề kiểm tra và đề thi. Do đó, việc áp dụng sáng kiến này vào
trong thực tiễn giảng dạy là hết sức khả quan. Vấn đề không chỉ còn nằm ở khả năng truyền
đạt của thầy cô giáo mà cần có sự cố gắng của cả nhà trường, giáo viên và học sinh.

2. Điều kiện áp dụng sáng kiến:
Để áp dụng sáng kiến này sao cho đạt được hiệu quả tốt nhất chúng ta cần:


5
+ Đưa ra thảo luận, trao đổi, thống nhất ý kiến với các thầy cô giáo trong tổ chuyên

môn về các vấn đề liên quan đến sáng kiến từ đó rút kinh nghiệm.
+ Tùy theo từng đối tượng học sinh ở từng lớp mà đưa ra các mức độ ví dụ trong sáng
kiến cho phù hợp.
+ Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh về nội dung sáng kiến qua việc làm và giải quyết
các bài tập về nhà. Cũng như các bài kiểm tra 15 phút, 45 phút.
+ Thường xuyên cập nhật đề thi THPT Quốc gia và thi thử các trường để bổ sung vào
sáng kiến góp phần làm phong phú hơn kho bài tập.


6
Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và
hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.

Bình Minh, ngày 21 tháng 4 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ

Người nộp đơn
(Ký và ghi rõ họ tên)

Đinh Hồng Chinh

Dương Xuân Lợi


Chương 1
SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
1

Lịch sử hình thành

Hình 1.1: Euclide

Hình 1.2: Bellavitis (1803-1880)

Từ thế kỉ III TCN đến thế kỉ XVIII, với hàng loạt các công trình nghiên cứu của các nhà
toán học như: Euclide (sống khoảng 330-275 trước Công nguyên), Desargues (1591-1661),
Pascal (1623-1662), De La Hir (1640-1718), Newtơn (1642-1737)...phép biến hình vẫn chỉ
xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn đề chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình
này sang hình kia, được sử dụng để giải một số bài toán. Phép biến hình chỉ được sử dụng
như một thuật ngữ mô tả chứ không phải là một đối tượng nghiên cứu toán học.
Vào cuối thế kỉ XVIII, phép biến hình đã trở thành một đối tượng nghiên cứu của toán
học. Nghiên cứu một cách hệ thống về đối tượng “phép biến hình” được Bellavitis (18031880) trình bày trong lý thuyết về các hình của ông và sau đó được một số nhà toán học
khác bổ sung thêm. Ở giai đoạn này gắn liền quan niệm xem hình là một tập hợp điểm mà
hình học giải tích đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành quan niệm đó. Có thể nói
các phương pháp do các nhà toán học phát minh đã đem lại một sự thay đổi rất quan trọng
về hình, nó cho phép chuyển từ cách nhìn các hình trong tổng thể vào cách nhìn theo từng
điểm.
Đến cuối thể kỉ XIX, phép biến hình không chỉ được sử dụng như công cụ để dựng hình
hay tính chất của hình nữa. Khái niệm nhóm các phép biến hình ra đời từ vấn dề sắp xếp
7


CHƯƠNG 1. SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

8

các tính chất bất biến của các phép biến hình. Và những khái niệm tính chất đó đã được
đưa vào chương trình THPT.

2

Kiến thức cơ bản

2.1

Phép biến hình

Định nghĩa 1. Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định
được một điểm duy nhất M của mặt phẳng, điểm M gọi là ảnh của điểm M qua phép biến
hình đó.
Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F thì
• M = f (M ).
• Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f (M ), với M ∈ H tạo thành
hình H , ta viết H = f (H).

2.2

Phép dời hình

Định nghĩa 2. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai
điểm bất kì.
Định lí 1. Phép dời hình biến:
• Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng thành ba
điểm không thẳng hàng
• Đường thẳng thành đường thẳng
• Tia thành tia
• Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
• Tam giác thành tam giác bằng nó.
• Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
• Góc thành góc bằng nó.

2.3

Phép đồng dạng

Định nghĩa 3. Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm
M và N bất kì và ảnh M và N của chúng, ta luôn có M N = kM N .


CHƯƠNG 1. SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

9

Định lí 2. Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k > 0) đều là hợp thành của phép vị tự V tỉ số
k và một phép dời hình D.
Hệ quả. Phép đồng dạng tỉ số k biến:
• Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm
thẳng hàng đó.
• Đường thẳng thành đường thẳng.
• Tia thành tia.
• Đoạn thẳng thành đoạn thẳng và độ dài được nhân lên với k.
• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k.
• Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.
• Biến góc thành góc bằng nó.
Định nghĩa 4. Hai hình đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành
hình kia.

3

Tổng quan về ứng dụng

Phép biến hình có rất nhiều ứng dụng trong giải toán và trong thực tiễn cuộc sống.

3.1

Trong giải toán

Phép biến hình là một công cụ để giải toán hình học như trong các bài toán:
• Giải một số bài toán dựng hình.
• Giải một số bài toán về tìm tập hợp điểm.
• Vẽ đồ thị hàm số.

3.2

Trong thực tiễn

Ngoài những ứng dụng trong giải toán, các phép biến hình còn rất nhiều ứng dụng quan
trọng trong đời sống thực tiễn. Đó là:
• Các công trình xây dựng bản vẽ thiết kế cầu, đường, nhà, đài phun nước khuân viên
trường học, cơ quan...


CHƯƠNG 1. SƠ LƯỢC VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

10

• Dựa vào tính chất của phép biến hình để thiết kế họa tiết trên nền gạch hoa, họa tiết
quần áo,...
• Ứng dụng trong hội họa, mỹ thuật( hình vẽ hoa văn có tâm đối xứng).
• Chế tạo ra sản phẩm mỹ nghệ như: bình gốm, thổ cẩm,...

• Tạo ra đồ dùng: Đèn trần, chén đĩa, mâm tròn,...
• Chế tạo các chi tiết máy (bánh răng, bánh xe,...).
• Để phóng to nhỏ các đồ vật.


Chương 2
PHÉP TỊNH TIẾN
1

Lý thuyết quan trọng

1.1

Định nghĩa

# »
Trong mặt phẳng cho véc-tơ #»
v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M sao cho M M = #»
v
được gọi là phép tịnh tiến theo véc-tơ #»
v.
Ký hiệu: T #»v .

1.2

Tính chất

Định lí 3. Nếu phép tịnh tiến biến 2 điểm M và N thành 2 điểm M và N thì M N = M N .
Ý nghĩa của định lý 1: “Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách 2 điểm bất kì”.
Định lí 4. Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn vị

trí của 3 điểm đó.

1.3

Hệ quả

Phép tịnh tiến
• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã
cho.
• Biến tia thành tia.
• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.
• Biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
11


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

12

• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
• Biến góc thành góc bằng nó.

1.4

Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm (x; y); #»
v = (a; b).
#»

Gọi M (x
 ; y ) = T v (M ).

x = x + a
Khi đó 
y = y + b.

1.5

Phép tịnh tiến đồ thị

Ta biết rằng đồ thị của một hàm số bao giờ cũng gắn với một hệ toạ độ nhất định. Ví dụ,
đồ thị của hàm số y = xlà đường phân giác(d )của góc phần tư thứ I và III trong hệ toạ độ
Oxy. Ta hãy xét một hệ toạ độ mới O XY , trong đó gốc O của nó, đối với hệ toạ độ Oxy,
có toạ độ (x0 ; y0 ); các trục X X và Y Y song song cùng hướng và cùng đơn vị theo thứ tự
với trục x x và y y. Câu hỏi đặt ra là trong hệ toạ độ mới ấy, liệu (d) có còn là đồ thị của
hàm số Y = X nữa hay không? Nếu không thì nó sẽ là đồ thị của hàm số nào?
Có thể thấy rằng: Nếu O ∈
/ (d ), có nghĩa là (d) không đi qua góc toạ độ mới thì (d)
không thể là đồ thị của hàm số Y = X. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, muốn biết
(d) là đồ thị của hàm số nào, ta cần tìm hiểu mối quan hệ giữa các toạ độ cũ và mới của
mỗi điểm trong mặt phẳng.
Gọi M là một điểm tuỳ ý, đối với hệ toạ độ Oxy, M có toạ độ là (x; y). Đối với hệ toạ
độ O XY , toạ độ của M là (X; Y ). Ta cần tìm mối quan hệ giữa (X; Y ) và (x; y). Để ý
# » # » # »
OM = OO + O M .
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), p, q > 0.
-Tịnh tiến (C) lên trên theo phương trục Oy, q đơn vị ta được đồ thị hàm số (C ) : y =
f (x) − q. Hay ảnh của (C) qua T #»v với #»
v = (0; q) là (C ) : y = f (x) − q.

-Tịnh tiến lên trên q đơn vị: y = f (x) + q.
-Tịnh tiến xuống dưới q đơn vị: y = f (x) − q.
-Tịnh tiến sang trái p đơn vị: y = f (x + p).
-Tịnh tiến sang phải p đơn vị: y = f (x − p).
Tịnh tiến theo véc-tơ #»
v = (a; b): y = f (x − a) + b.


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

2

13

Bài tập minh họa

2.1

Tìm ảnh của hàm số

Bài toán 1. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C). Phép tịnh tiến theo #»
v = (a; b) biến (C)
thành (C ). Tìm phương trình của (C ).
Phương pháp
Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇔ y = f (x). 
(1)

x

Gọi M = T #»v (M ) ⇒ 

=x+a


x

⇒

=x −a

y = y − b.
=y+b
Thay vào (1), ta có y − b = f (x − a). (C )
y

Do đó: phương trình của (C ) : y = f (x − a) + b.
Ví dụ tập áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số y =

2x + 1
có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T #»v ,
x−2

biết
a) #»
v = (0; 1).

b) #»
v = (0; −2).

c) #»
v = (1; 0).

d) #»
v = (−3; 0).

e) #»
v = (−1; −2).

Lời giải.
2x + 1
. (1)
 x−2

x = x + a

Giả sử: M (x; y) ∈ (C) ⇒ y =
Gọi M (x ; y ) = T #»v (M ) ⇒ 

y

= y + b.

Áp dụng vào các trường hợp của đề bài ta có:
a) #»
v =
 (0; 1).

x

⇒

=x



x

⇒

=x

= y − 1.
2x + 1
2x + 1 + x − 2
3x − 1
Thay vào (1), ta có y =
+1⇔y =
⇔y =
.
x −2
x −2
x −2
3x − 1
Do đó y =
là phương trình hàm số ảnh (C ).
x−2
Thực hiện tương tự ý a) ta có:
y

=y+1

y

b) #»
v = (0; −2).
5
y=
là phương trình hàm số ảnh (C ).
x−2
c) #»
v = (1; 0).
2x − 1
y=
là phương trình hàm số ảnh (C ).
x−3


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

14

d) #»
v = (−3; 0).
2x + 7
y=
là phương trình hàm số ảnh (C ).
x+1
e) #»
v = (−1; −2).

5
là phương trình hàm số ảnh (C ).
y=
x+1
Nhận xét 1. Ta thấy với các véc-tơ ở các ý trên, đó là những véc-tơ thể hiện phép tịnh
tiến song song với các hệ trục toạ độ như: tịnh tiến lên trên, xuống dưới, sang phải, sang
trái p hoặc q đơn vị. Nhưng ta có thể nhận thấy rằng với phương pháp giải ở trên, ta có thể
xử lí với bất kì véc-tơ nào. Giúp cho các bạn chỉ cần nhớ một phương pháp chung mà có thể
giải với mọi bài tập có liên quan đến tìm ảnh của hàm số mà không cần phải nhớ đến nhiều
dạng bài tập và cách giải khác nhau. Tiếp tục, chúng tôi sẽ giải thử với một số hàm số để
chúng minh sức đột phá của phương pháp này.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = 2x − 3 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến T #»v ,
biết
a) #»
v = (0; −1).

b) #»
v = (0; 1).

c) #»
v = (2; 0).

d) #»
v = (−3; 0).

Lời giải.
Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ y = 2x − 3. (2)
Gọi

T #»v (M )


x

=M ⇒


a) #»
v =
 (0; −1).

x

⇒

=x

=x+a

y = y + b.


x

⇔

=x

y = y + 1.

=y−1
Thay vào (2) ta có: y + 1 = 2x − 3 ⇔ y = 2x − 4.
y

Do đó y = 2x − 4 là phương trình hàm số ảnh (C ).
Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có:
b) #»
v = (0; 1).
y = 2x − 2 là phương trình hàm số ảnh (C ).
c) #»
v = (2; 0).
y = 2x − 7 là phương trình hàm số ảnh (C ).
d) #»
v = (−3; 0).
y = 2x + 3 là phương trình hàm số ảnh (C ).

e) #»
v = (1; 2).


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

15

e) #»
v = (1; 2).
y = 2x − 3 là phương trình hàm số ảnh (C ).

Ví dụ 3. Cho hàm số y = x2 − 2x + 1 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến
T #»v , biết

a) #»
v = (0; 1).

b) #»
v = (0; −1).

c) #»
v = (1; 0).

d) #»
v = (−1; 0).

e) #»
v = (1; 2).

Lời giải.
Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ y = x2 − 2x + 1. (3)
Gọi

T #»v (M )


x

=M ⇒


y = y + b.

a) #»

v =
 (0; 1).

x

=x

⇒

=x+a



x

⇔

=x

y = y − 1.
=y+1
Thay vào (3) ta có: y − 1 = x 2 − 2x + 1 ⇔ y = x 2 − 2x + 2.
y

Do đó y = x2 − 2x + 2 là phương trình hàm số ảnh (C ).
Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có:
b) #»
v = (0; −1).
y = x2 − 2x là phương trình hàm số ảnh (C ).
c) #»

v = (1; 0).
y = x2 − 4x + 4 là phương trình hàm số ảnh (C ).
d) #»
v = (−1; 0).
y = x2 là phương trình hàm số ảnh (C ).
e) #»
v = (1; 2).
y = x2 − 4x + 6 là phương trình hàm số ảnh (C ).

Ví dụ 4. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 1 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh
tiến T #»v , biết
a) #»
v = (0; 2).

b) #»
v = (0; −2).

c) #»
v = (1; 0).

Lời giải.
Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ y = x3 + 3x2 + 3x + 1. (4)
Gọi

T #»v (M )


x

=M ⇒



=x+a

y = y + b.

d) #»
v = (−1; 0).

e) #»
v = (−1; 2).


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN
a) #»
v =
 (0; 2).

x

⇒

=x



x

⇒

16

=x

y = y − 2.
=y+2
Thay vào (4) ta có: y − 2 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ⇔ y = x 3 + 3x 2 + 3x + 3.
y

Do đó y = x3 + 3x2 + 3x + 3 là phương trình hàm số ảnh (C ).
Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có:
b) #»
v = (0; −2).
y = x3 + 3x2 + 3x − 1 là phương trình hàm số ảnh (C ).
c) #»
v = (1; 0).
y = x3 là phương trình hàm số ảnh (C ).
d) #»
v = (−1; 0).
y = x3 + 6x2 + 12x + 5 là phương trình hàm số ảnh (C ).
e) #»
v = (−1; 2).
y = x3 + 6x2 + 12x + 7 là phương trình hàm số ảnh (C ).

Ví dụ 5. Cho hàm số y = x4 − 3x2 + 2 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến
T #»v , biết
a) #»
v = (0; 1).

b) #»

v = (0; −2).

c) #»
v = (−1; 0).

d) #»
v = (3; 0).

e) #»
v = (1; −3).

Lời giải.
Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ y = x4 − 3x2 + 2. (5)
Gọi

T #»v (M )


x

=M ⇒


a) #»
v =
 (0; 1).

x

⇒

=x

=x+a

y = y + b.


x

⇒

=x

y = y − 1.
=y+1
Thay vào (5) ta có: y − 1 = x 4 − 3x 2 − 3x + 2 ⇔ y = x 4 − 3x 2 + 3.
y

Do đó y = x4 − 3x2 + 3 là phương trình hàm số ảnh (C ).
Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có:
b) #»
v = (0; −2).
y = x4 − 3x2 là phương trình hàm số ảnh (C ).
c) #»
v = (−1; 0).
y = x4 + 4x3 − 3x2 − 2x là phương trình hàm số ảnh (C ).


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

17

d) #»
v = (3; 0).
y = x4 − 12x3 + 51x2 − 90x + 56 là phương trình hàm số ảnh (C ).
e) #»
v = (1; −3).
y = x4 − 4x3 + 3x2 + 2x − 3 là phương trình hàm số ảnh (C ).

Ví dụ 6. Cho hàm số x2 + y 2 − 2x + 4y − 4 = 0 có đồ thị (C). Tìm ảnh của (C) qua phép
tịnh tiến T #»v , biết
a) #»
v = (0; 2).

b) #»
v = (0; −3).

c) #»
v = (3; 0).

d) #»
v = (−2; 0).

e) #»
v = (−2; −3).

Lời giải.
Giả sử: M (x; y) ∈ (C)⇒ x2 + y 2 − 2x + 4y − 4 = 0. (6)
Gọi

T #»v (M )


x

=M ⇒


a) #»
v =
 (0; 2).

x

⇒

=x

=x+a

y = y + b.


x

⇒

=x

y = y − 2.
=y+2
Thay vào (6) ta có: x 2 + (y − 2)2 − 2x + 4(y − 2) − 4 = 0 ⇔ (x − 1)2 + y 2 = 9.
y

Do đó (x − 1)2 + y 2 = 9 là phương trình hàm số ảnh (C ).
b) #»
v = (0; −3).
(x − 1)2 + (y + 5)2 = 9 là phương trình hàm số ảnh (C ).
c) #»
v = (3; 0).
(x − 4)2 + (y + 2)2 = 9 là phương trình hàm số ảnh (C ).
d) #»
v = (−2; 0).
(x + 1)2 + (y + 2)2 = 9 là phương trình hàm số ảnh (C ).
e) #»
v = (−2; −3).
x2 + y 2 + 2x − 2y − 7 = 0 là phương trình hàm số ảnh (C ).

Các hàm số mà tác giả sử dụng trong các ví dụ là một số hàm số thường gặp trong chương
trình phổ thông như:
ax + b
.
y = ax + b; y = ax2 + bx + c; y = ax3 + bx2 + cx + d; y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e; y =
cx + d
Bài toán 2. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C ). Phép tịnh tiến theo véc-tơ #»
v = (a; b) biến
(C) thành (C ). Tìm phương trình của (C).

CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

18
Phương pháp

Ta có − #»
v = (−a; −b).
Mà : T #»v [(C)] = (C ) ⇒ T− #»v [(C )] = (C).
Giả sử: M (x ; y ) ∈ (C ) ⇒ y = f (x ). (∗)


x

= x + (−a)

y

= y + (−b)

M (x; y) là ảnh của M qua véc-tơ − #»
v ⇒ M ∈ (C) ⇒ 



x

=x+a

y

= y + b.

⇒

Thay vào (∗), có: y + b = f (x + a).
Vậy phương trình đồ thị hàm số cần tìm là y = f (x + a) − b.
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số ảnh y =

−3x − 7
có đồ thị (C ). Tìm hàm số vật (C) qua phép tịnh
2x + 3

tiến T #»v .
a) #»
v = (0; 1).

b) #»
v = (0; −3).

c) #»
v = (2; 0).

d) #»
v = (−1; 0).

e) #»
v = (1; −2).

Lời giải.

a) #»
v = (0; 1).
Ta có: − #»
v = (0; −1).
Mà: T #»v (C) → (C ) ⇒ T #»v (C ) → (C).
−3x − 7
Giả sử: M (x ; y ) ∈ (C ) ⇒ y =
. (1)
2x + 3
M (x; y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc-tơ − #»
v nên


x

= x + (−a)

y

= y + (−b)

M ∈ (C) ⇒ 



x

=x

y

= y + 1.

⇒

−3x − 7
−3x − 7
−5x − 10
Thay vào (1), ta có y + 1 =
⇔y=
−1⇔y =
.
2x + 3
2x + 3
2x + 3
−5x − 10
Do đó y =
là phương trình hàm số vật của (C ).
2x + 3
Thực hiện tương tự tiến trình của ý a) ta có:
b) #»
v = (0; −3).
3x + 2
y=
là phương trình hàm số vật của (C ).
2x + 3
c) #»
v = (2; 0).
−3x − 13
y=

là phương trình hàm số vật của (C ).
2x + 7
d) #»
v = (−1; 0).
−3x − 4
y=
là phương trình hàm số vật của (C ).
2x + 1
e) #»
v = (1; −2).
x
là phương trình hàm số vật của (C ).
y=
2x + 5


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

19

Ví dụ 2. Cho hàm số ảnh y = 2x − 3 có đồ thị (C ). Tìm hàm số vật (C) qua phép tịnh
tiến T #»v .
a) #»
v = (0; 2).

b) #»
v = (0; −1).

c) #»
v = (3; 0).

d) #»
v = (−2; 0).

e) #»
v = (4; 1).

Lời giải.
a) #»
v = (0; 2).
Ta có: − #»
v = (0; −2).
Mà: T #»v (C) → (C ) ⇒ T #»v (C ) → (C).
Giả sử: M (x ; y ) ∈ (C ) ⇒ y = 2x − 3. (2)
M (x; y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc-tơ − #»
v , nên


x

= x + (−a)

y

= y + (−b)

M ∈ (C) ⇒ 




x

=x

y

= y + 2.

⇒

Thay vào (2) ⇒ y + 2 = 2x − 3 ⇔ y = 2x − 5.
Do đó y = 2x − 5 là phương trình hàm số vật của (C ).
Thực hiện tương tự tiến trình của ý a, ta có:
b) #»
v = (0; −1).
y = 2x − 2 là phương trình hàm số vật của (C ).
c) #»
v = (3; 0).
y = 2x + 3 là phương trình hàm số vật của (C ).
d) #»
v = (−2; 0).
y = 2x − 7 là phương trình hàm số vật của (C ).
e) #»
v = (4; 1).
y = 2x + 4 là phương trình hàm số vật của (C ).

Ví dụ 3. Cho hàm số ảnh y = x 2 − 4x + 6 có đồ thị (C ). Tìm hàm số vật (C) qua phép
tịnh tiến T #»v .
a) #»
v = (0; 1).

Lời giải.

b) #»
v = (0; −2).

c) #»
v = (2; 0).

d) #»
v = (−1; 0).

e) #»
v = (1; 2).


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

20

a) #»
v = (0; 1).
Ta có: − #»
v = (0; −1).
Mà: T #»v (C) → (C ) ⇒ T #»v (C ) → (C).
Giả sử: M (x ; y ) ∈ (C ) ⇒ y = x 2 − 4x + 6. (3)
M (x; y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc-tơ − #»
v , nên


x

= x + (−a)

y

= y + (−b)

M ∈ (C) ⇒ 



x

=x

y

= y + 1.

⇒

Thay vào (3), ta có ⇒ y + 1 = x2 − 4x + 6 ⇔ y = x2 − 4x + 5.
Do đó y = x2 − 4x + 5 là phương trình hàm số vật của (C ).
Thực hiện tương tự tiến trình của ý a, ta có:
b) #»
v = (0; −2).
y = x2 − 4x + 8 là phương trình hàm số vật của (C ).
c) #»
v = (2; 0).
y = x2 + 10 là phương trình hàm số vật của (C ).

d) #»
v = (−1; 0).
y = x2 − 6x + 7 là phương trình hàm số vật của (C ).
e) #»
v = (1; 2).
y = x2 − 2x + 1 là phương trình hàm số vật của (C ).

Ví dụ 4. Cho hàm số ảnh y = x 3 + 6x 2 + 12x + 7 có đồ thị (C ). Tìm hàm số vật (C) qua
phép tịnh tiến T #»v .
a) #»
v = (0; 1).

b) #»
v = (0; −1).

c) #»
v = (2; 0).

d) #»
v = (−2; 0).

Lời giải.
a) #»
v = (0; 1).
Ta có: − #»
v = (0; −1).
Mà: T #»v (C) → (C ) ⇒ T #»v (C ) → (C).
Giả sử: M (x ; y ) ∈ (C ) ⇒ y = x 3 + 6x 2 + 12x + 7. (4)
M (x; y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc-tơ − #»
v , nên



x

=x
⇒
y = y + (−b)
y = y + 1.

M ∈ (C) ⇒ 

= x + (−a)



x

e) #»
v = (−1; 2).


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

21

Thay vào (4), ta có ⇒ y + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 7 ⇔ y = x3 + 6x2 + 12x + 6.
Do đó y = x3 + 6x2 + 12x + 6 là phương trình hàm số vật của (C ).
Thực hiện tương tự tiến trình của ý a, ta có:
b) #»
v = (0; −1).

y = x3 + 6x2 + 12x + 8 là phương trình hàm số vật của (C ).
c) #»
v = (2; 0).
y = x3 + 12x2 + 48x + 63 là phương trình hàm số vật của (C ).
d) #»
v = (−2; 0).
y = x3 − 1 là phương trình hàm số vật của (C ).
e) #»
v = (−1; 2).
y = x3 + 3x2 + 3x + 1 là phương trình hàm số vật của (C ).

Ví dụ 5. Cho hàm số ảnh y = x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2x − 3 có đồ thị (C ). Tìm hàm số vật
(C) qua phép tịnh tiến T #»v .
a) #»
v = (0; 2).

b) #»
v = (0; −1).

c) #»
v = (3; 0).

d) #»
v = (−2; 0).

e) #»
v = (1; −3).

Lời giải.
a) #»

v = (0; 2).
Ta có: − #»
v = (0; −2).
Mà: T #»v (C) → (C ) ⇒ T #»v (C ) → (C).
Giả sử: M (x ; y ) ∈ (C ) ⇒ y = x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2x − 3. (3)
M (x; y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc-tơ − #»
v , nên


x

= x + (−a)

y

= y + (−b)

M ∈ (C) ⇒ 



x

=x

y

= y + 2.

⇒

Thay vào (3) ⇒ y + 2 = x4 − 4x3 + 3x2 + 2x − 3 ⇔ y = x4 − 4x3 + 3x2 + 2x − 5.
Do đó y = x4 − 4x3 + 3x2 + 2x − 5 là phương trình hàm số vật của (C ).
Thực hiện tương tự tiến trình của ý a, ta có:
b) #»
v = (0; −1).
y = x4 − 4x3 + 3x2 + 2x − 2 là phương trình hàm số vật của (C ).
c) #»
v = (3; 0).
y = x4 + 8x3 + 21x2 + 20x − 3 là phương trình hàm số vật của (C ).


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

22

d) #»
v = (−2; 0).
y = x4 − 4x3 + 3x2 + 2x − 2 là phương trình hàm số vật của (C ).
e) #»
v = (1; −3).
y = x4 − 3x2 là phương trình hàm số vật của (C ).

Bài toán 3. Cho hàm số vật y = f (x) có đồ thị (C) và hàm số ảnh y = g(x) có đồ thị (C ).
Tìm véc-tơ tịnh tiến.
Phương pháp
Giả sử (C) : y = f (x); (C ) : y = g(x).
#»
#»
#»

Gọi véc-tơ
 v = (a; b) là véc-tơ tịnh tiến ⇒ T v (C) → (C ) Chọn M (x; y) ∈ (C) ⇒ T v (M ) =

x

=x+a
(M ) ⇒ 
⇒ M (x + a; y + b) ∈ (C) (1)
y = y + b


x

= x1 + a

y

= y1 + b

Chọn N (x1 ; y1 ) ∈ (C) ⇒ T #»v (N ) = (N ) ⇒ 


a

Từ (1) và (2), ta có ⇒ 


⇒ N (x1 + a; y1 + b) ∈ (C ). (2)

=

b=.
#»
Do đó v = (a; b) là véc-tơ tịnh tiến.
Bài tập áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số y =

2x + 1
5
có đồ thị (C) và hàm số ảnh y =
có đồ thị (C ).
x−2
x−1

Tìm véc-tơ tịnh tiến.
Lời giải.
Gọi véc-tơ #»
v = (a; b) là véc-tơ tịnh tiến T #»v (C) → (C ).
#»
Chọn
 M (1; 3) ∈ (C). Ta có T v (M ) = M


x

⇒

=1+a

⇒ M (1 + a; b − 3) ∈ (C ) ⇒

5
5 + 3a
=b−3⇔
= b. (1)
1+a−1
a

= −3 + b
å
Ç
5
−1
1
a+9
Chọn N 0;
∈ (C). Ta có T #»v (N ) = N ⇒
=b− ⇔
= b. (2)
2
a−1
2
2(a − 1)


5 + 3a



=b


a=2
a
Từ (1) và (2), ta có  a + 9
⇒



a = −1.
=b

2(a − 1)
Thử lại ta thấy a = 2 không thỏa mãn a = −1 ⇒ b = −2.
Do đó #»
v = (−1; −2) là véc-tơ tịnh tiến.
y

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x2 − 2x + 1 có đồ thị (C) và hàm số ảnh y = x2 − 4x + 6 có đồ
thị (C ). Tìm véc-tơ tịnh tiến.


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

23

Lời giải.
Gọi véc-tơ #»
v = (a; b) là véc-tơ tịnh tiến T #»v (C)
 → (C ).


x

Chọn M (1; 0) ∈ (C). Ta có T #»v (M ) = M ⇒ 


=1+a

. Mà

y =b

M (1 + a; b) ∈ (C ) ⇔ b = (1 + a)2 − 4(1 + a) + 6 ⇔ b = a2 − 2a + 3. (1)
Chọn N (0; 1) ∈ (C). Ta có T #»v (N ) = N , suy ra


x

=a


y

=1+b

⇒ N (a; 1 + b) ∈ (C ) ⇔ b = a2 − 4a + 5. (2)

Từ (1) và (2), ta có ⇒ a = 1 ⇔ b = 2.
Do đó #»
v = (1; 2) là véc-tơ tịnh tiến.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = x3 +3x2 +3x+1 có đồ thị (C) và hàm số ảnh y = x3 +6x2 +12x+7

có đồ thị (C ). Tìm véc-tơ tịnh tiến.
Lời giải.
Gọi véc-tơ #»
v = (a; b) là véc-tơ tịnh tiến T #»v (C)→ (C ).

x

Chọn M (−1; 0) ∈ (C). Ta có T #»v (M ) = M ⇒ 


=a−1

. Mà

y =b

⇒ M (a − 1; b) ∈ (C ) ⇔ b = (a − 1)3 + 6(a − 1)2 + 12(a − 1) + 7 ⇔ b = a2 + 3a2 + 3a. (1)


x

=a
, suy ra
Chọn N (0; 1) ∈ (C). Ta có T #»v (N ) = N ⇒ 
y = 1 + b
1 + b = a3 + 6a2 + 12a + 7 ⇔ b = a3 + 6a2 + 12a + 6. (2)


a

Từ (1) và (2), ta có 


= −1 ⇔ b = 2

a = −2 ⇔ b = −2.
Thử lại ta thấy a = −2 không thỏa mãn. Do đó #»
v = (−1; 2) là véc-tơ tịnh tiến.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = x4 −3x2 +2 có đồ thị (C) và hàm số ảnh y = x4 −4x3 +12x2 +2x−3
có đồ thị (C ). Tìm véc-tơ tịnh tiến.
Lời giải.
Gọi véc-tơ #»
v = (a; b) là véc-tơ tịnh tiến T #»v (C)
 → (C ).
Chọn M (0; 2) ∈ (C). Ta có

T #»v (M )


x

=a
=M ⇒
. Mà
y = b + 2

⇒ M (a; b + 2) ∈ (C ) ⇔ 2 + b = a4 − 4a3 + 3a2 + 2a − 3 ⇔ b = a4 − 4a3 + 3a2 + 2a − 5. (1)


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

24

Chọn N (1; 0) ∈ (C). Ta có T #»v (N ) = N , suy ra


x

=a+1


y

=b

⇔ b = (1 + a)4 − 4(a + 1)3 + 3(a + 1)2 + 2(a + 1) − 3 ⇔ b = a4 − 3a2 − 1. (2)



Từ (1) và (2), ta có

a


a



=1
= −0,78

a = 1,28.
Thử lại ta thấy a = 1 thỏa mãn. Do đó #»
v = (1; −3) là véc-tơ tịnh tiến.

2.2

Các bài toán về đồ thị

Để giải quyết các bài toán về đồ thị sử dụng phép tịnh tiến ta sẽ áp dụng các nhận xét sau:
• Tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số: y = f (x) + q.
• Tịnh tiến (C) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số: y = f (x) − q.
• Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số: y = f (x + p).
• Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số: y = f (x − p).
• Tịnh tiến (C) theo vectơ #»
v = (a; b) ta được đồ thị hàm số: y = f (x − a) + b.
Bài toán 1. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C) tìm đồ thị (C ) là ảnh của (C) qua phép
tịnh tiến theo #»
v biết
a) #»
v = (a; 0).

b) #»
v = (0; b).

c) #»
v = (a; b).

Phương pháp
a) #»

v = (a; 0).
+) a > 0 tịnh tiến (C) sang phải a đơn vị ta được đồ thị (C ).
+) a < 0 tịnh tiến (C) sang trái |a| đơn vị ta được đồ thị (C ).
b) #»
v = (0; b).
+) b > 0 tịnh tiến (C) lên trên b đơn vị ta được đồ thị (C ).
+) b < 0 tịnh tiến (C) xuống dưới |b| đơn vị ta được đồ thị (C ).
c) #»
v = (a; b).
Ta tịnh tiến (C) liên tiếp theo hai véc tơ v#»1 = (a; 0) và v#»2 = (0; b) ta được đồ thị (C ).
Bài tập áp dụng


CHƯƠNG 2. PHÉP TỊNH TIẾN

25

Ví dụ 1.
y

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) như hình vẽ. Tìm ảnh của
(C) qua phép tịnh tiến T #»v .
a) #»
v = (0; 1).

b) #»
v = (0; −2).

d) #»
v = (−3; 0).

e) #»
v = (−1; −2).

c) #»
v = (1; 0).

2
O

2
x

Lời giải.
(Ta qui ước đồ thị (C ) là đường có nét liền trong các đáp án sau)
a) #»
v = (0; 1).
y

Tịnh tiến (C) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị (C ).

3
2
O

2
x

b) #»
v = (0; −2).

Tịnh tiến (C) xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị (C ).

y

2
O

2
x

c) #»
v = (1; 0).
Tịnh tiến (C) sang phải 1 đơn vị, ta được đồ thị (C ).

y

2
O

2
x

d) #»
v = (−3; 0).