CHỦ đề 8 ước và bội

BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

CHỦ ĐỀ 8: ƯỚC VÀ BỘI
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Nhắc lại về quan hệ chia hết:
Nếu a = b.q ( b ≠ 0 ) thì ta nói a M
b
2. Định nghĩa Ước và Bội :
Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b thì :
a là bội của b và b là ước của a
Tức là : a Mb ⇒ a là bội của b ⇒ b là ước của a
3. Cách tìm ước và bội:
* Tập hợp ước của a – kí hiệu là Ư(a) . Tập hợp bội của b – Kí hiệu là B(b).
* Qui tắc tìm bội của b: Muốn tìm bội của b ta nhân b lần lượt với các số 0 ; 1 ; 2 ;
3 ; 4 …..Tích tìm được là bội của b.
Ví dụ : Tìm các bội của 6 mà nhỏ hơn 40
Ta nhân 6 lần lượt với các số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ta được các bội nhỏ hơn 40 của
6 là : 0 ; 6 ;12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36.
* Qui tắc tìm ước của a: Ta có thể tìm ước của a bằng cách chia lần lượt a cho các
số từ 1 đến a . Khi a chia hết cho số nào thì số đó là ước của a .
Ví dụ: Viết tập hợp Ư(28)
Ư(28) = {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14; 28}
B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: DẠNG TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN.
Bài 1: Tìm tất cả các số có hai chữ số là:
a) Bội của 32

b) Bội của 41

Hướng dẫn
a) Nhân 32 lần lượt với các số tự nhiên 1, 2, 3, ….
=> Nhận được các B(32) có 2 chữ số là {32, 64, 96}
b) Nhân 41 lần lượt với các số tự nhiên 1, 2, 3, ….
=> Nhận được các B(41) có 2 chữ số là {41, 82}


BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

Bài 2: Tìm tất cả các số có hai chữ số là ước của :
a) 50

b) 45

Hướng dẫn
a) Ư(50) có hai chữ số là {50 ; 25 ; 10}
b) Ư(45) có hai chữ số là {45 ; 15}
Bài 3: Viết các tập hợp sau.
a) Ư(6); Ư(9); Ư(12)

d) B(23); B(10); B(8)

b) Ư(7); Ư(18); Ư(10)

e) B(3); B(12); B(9)

c) Ư(15); Ư(16); Ư(250)

g) B(18); B(20); B(14)

Hướng dẫn
a)
Ư(6) = {1, 2, 3, 6}
Ư(9) = {1, 3, 9}
Ư(12) = {1, 2, 3, ,4 ,6 , 12}
b)
Ư(7) = {1, 7}
Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Ư(10) = {1, 2, 5, 10}
c)
Ư(15) = {1, 3, 5, 15}
Ư(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
Ư(250) = {1, 5, 10, 25, 50, 250}
d)
Nhân 23 lần lượt với các số tưh nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được:
B(23) = {0, 23, 46, 69,….}
Nhân 10 lần lượt với các số tưh nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được:
B(10) = {0, 10, 20, 30,….}
Nhân 8 lần lượt với các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được:
B(10) = {0, 8, 16, 24,….}


BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

e)
Nhân 3 lần lượt với các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được:

B(3) = {0, 3, 6, 9,….}
Nhân 12 lần lượt với các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được:
B(12) = {0, 12, 24, 36,….}
Nhân 9 lần lượt với các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, ….ta được:
B(9) = {0, 9, 18, 27,….}
DẠNG 2: TÌM TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ QUAN HỆ CHIA HẾT.
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho
a) x M15 và 45 < x < 136

b) 18 Mx và x > 7

Hướng dẫn
a) x là B(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, …..}
Vì 45 < x < 136 => x ∈ {60, 75, 90, 105, 120, 135}
b) x là Ư(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Vì x > 7 => x ∈ {9, 18}
Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho
a) 6M( x − 1)

b) 14M(2 x + 3)

Hướng dẫn
a) x – 1 ∈ Ư(6) = {1, 2, 3, 6}
x – 1 = 1 => x = 2
x – 1 = 2 => x = 5
x – 1 = 3 => x = 4
x – 1 = 6 => x = 7
b) 2x + 3 ∈ Ư(14) . Với x ∈ N nhỏ nhất bằng 0 => 2x + 3 nhỏ nhất bằng 3
=> 2x + 3 ∈ {7, 14}
2x + 3 = 7 => 2x = 4 => x = 2

2x + 3 = 14 => 2x = 11 => không có x vì 11 không chia hết cho 2
Vậy x = 2
Bài 3: Tìm các số tự nhiên a biết :


BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

a) (a + 11) M( a + 3 )

b) ( a – 3 ) M( a – 14)

c) ( 2a + 27 ) M( 2a + 1)

d) ( 5a + 28) M( a + 2)

e) ( 3a + 15 ) M( 3a – 1)

Hướng dẫn
a) Ta có a + 11 = (a + 3) + 8 => (a + 11) M(a + 3)  8 M(a + 3)
 a + 3 ∈ Ư(8)
Với a ∈ N => a nhỏ nhất bằng 0 sẽ cho a + 3 nhỏ nhất bằng 3
=> a + 3 ∈ Ư(8) = {4, 8}
a + 3 = 4 => a = 1
a + 3 = 8 => a = 5
b) Ta có a - 3 = (a - 14) + 11 => (a – 3) M(a – 14)  11 M(a - 14)
 a -14 ∈ Ư(11) = {1 , 11}
a - 14 = 1 => a = 15
a - 14 = 11 => a = 25

c) Ta có 2a + 27 = (2a + 1) + 26 => (2a + 27 ) M(2a + 1)  26 M(2a + 1)
 2a + 1 ∈ Ư(26) = {1 , 2, 13, 26}
2a + 1 = 1 => 2a = 0 => a = 0
2a + 1 = 2 => 2a = 1 => Không có a vì 1 không chia hết cho 2
2a + 1 = 13 => 2a = 12 => a = 6
2a + 1 = 26 => 2a = 25 => Không có a vì 25 không chia hết cho 2
Bài 4: Tìm các cặp số tự nhiên x ; y biết :
a) ( 3x − 2 ) . ( 2 y − 3) = 1

b) (2x +1) (y – 3) = 10

c) 2 xy − x + 2 y = 13

d) 6 xy − 9 x − 4 y + 5 = 0

e) 2 xy − 6 x + y = 13

f) 2 xy − 5 x + 2 y = 148

Hướng dẫn
a) Ta có x , y là các số tự nhiên nên chỉ có thể ( 3x − 2 ) . ( 2 y − 3) là tích của hai số tư nhiên
của vế phải
( 3x − 2 ) = 1
x = 1
=> 
=> 
( 2 y − 3) = 1  y = 2


BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

b) Ta có x , y là các số tự nhiên nên chỉ có thể (2x + 1)(y – 3) là tích của hai số tư nhiên
của vế phải
(2x + 1)(y – 3) = 10 = 2. 5
2 x + 1 = 2
2 x + 1 = 5
Hoặc 
y −3 = 5
y −3 = 2

=> 

2 x = 1
không tìm được x vì 1 không chia hết 2
y = 8

Với 

2 x = 4
x = 2
=> 
y = 5
y = 5

Với 

c) 2xy – x + 2y = 13  (2xy + 2y) – x = 13  2y.(x + 1) – x = 13
=> 2y(x + 1) = 13 + x => 2y(x + 1) = 12 + (x + 1)

=> 2y(x + 1) – (x + 1) = 12 => (x + 1).(2y – 1) = 12 = 2.6 = 3.4
x + 1 = 2
x = 1
=> 
Không có y ∈ N vì 7 không chia hết cho 2
 2y − 1 = 6
2y = 7

Trường hợp 1: 

x + 1 = 6
x = 5
=> 
Không có y ∈ N vì 3 không chia hết cho 2
 2y − 1 = 2
2y = 3

Trường hợp 2: 

x + 1 = 3
x = 2
=> 
Không có y ∈ N vì 5 không chia hết cho 2
 2y − 1 = 4
2y = 5

Trường hợp 3: 

x + 1 = 4
x = 3

x = 3
=> 
=> 
 2y − 1 = 3
2y = 4
y = 2

Trường hợp 4: 

* Các ý d), e), f) làm tương tự ý c)
Bài 5: Năm nay Bình học lớp 6. Tuổi của mẹ Bình là bội số tuổi của Bình và là số chia hết cho
4. Mẹ hơn Bình 24 tuổi. Tìm tuổi của Bình và mẹ Bình.
Hướng dẫn
Tuổi của mẹ Bình là x (x ∈ N và x > 24)
Mẹ hơn Bình 24 tuổi => Tuổi của Bình là x – 24 (tuổi)
Tuổi của mẹ Bình là bội số tuổi của Bình nên x M(x – 24)
Ta có x = (x – 24) + 24 => 24 M(x – 24)
=> x – 24 ∈ Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Tức là Số tuổi của Bình là Ư(24)
Vì Bình học lớp 6 nên chỉ có thể tuổi của Bình là x – 24 = 12


BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

 Tuổi của mẹ Bình là x = 12 + 24 = 36 (thỏa mãn là bội của 4)
Bài 6:
a) Tìm số chia và thương của một phép chia biết số bị chia bằng 145 , số dư bằng 12 và
thương khác 1.

b) Tìm số chia và thương của một phép chia biết số bị chia bằng 155 , số dư bằng 12.
c) Tìm số chia của một phép chia biết số bị chia bằng 236 , số dư bằng 15 và số chia là số
có hai chữ số.
Hướng dẫn
a) Ta có 145 = (Số chia)* Thương + 12
=> (Số chia)* Thương = 133 = 1. 133 = 7.19
Vì thương khác 1 và Số chia > 12 => Số chia = 19 và Thương = 7
b) Ta có 155 = (Số chia)* Thương + 12
=> (Số chia)* Thương = 143 = 1. 143
Số chia > 12 => Số chia = 143 và Thương = 1
b) Ta có 236 = (Số chia)* Thương + 15
=> (Số chia)* Thương = 221 = 1.221 = 17. 13
Số chia > 15 và số chia có hai chữ số => Số chia = 17 và Thương = 13
Bài 7: Tìm hai số tự nhiên đều là bội của 9 biết :
a) Tổng hai số bằng *657 và hiệu hai số bằng 5 * 91
b) Tổng hai số bằng 513* và số lớn gấp đôi số nhỏ.
Hướng dẫn
a) Gọi hai số tự nhiên là a và b. Vì a M9 và b M9
Ta có: a + b = *657 M9 => * + 6 + 5 + 7 M9 => * + 18 M9 => * = 9 (vì * ∈ {1, 2, 3, …, 9}
Do đó : a + b = 9657 => a = 9657 – b

(1)

Ta có: a - b = 5 * 91 M9 => 5 + * + 9 + 1 M9 => * + 15 M9 => * = 3 (vì * ∈ {1, 2, 3, …, 9}
Do đó : a - b = 5391 => a = 5391 + b

(2)

Từu (1) và (2) => 9657 – b = 5391 + b => 9657 – 5391 = 2b => b = 2133
=> a = 9657 – 2133 = 7524

b) Gọi số bé là a => số lớn là 2a. Ta có 2a + a = 513* => 3a = 513*


BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

mà a M9 => 513* M9 => 5 + 1 + 3 + * M9 => 9 + * M9 => * = 9 (vì * ∈ {1, 2, 3, …, 9}
Do đó 3a = 5139 => a = 1713
Vậy hai số cần tìm là 1713 và 3426
Bài 8: Tìm các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho cả 5 và 9 , biết rằng chữ số hàng chục bẳng
trung bình cộng của hai chữ số còn lại.
Hướng dẫn
Số có TN 3 chữ số abc = 100a + 10b + c
Vì abc M5 => c ∈ {0, 5}
Với c = 0 , có số: ab0
Biết ab0 M9 => 100a + 10b M9
Mà b = ( a + 0 ) : 2 = a : 2 hay a = 2b mà a , b ∈ {1, 2, 3, …, 9} nên b < 5
=> 100.2b + 10b M9 => 210b M9 => b M9 => b = 3 => a = 6
=> Ta có số 630
Với c = 5 , có số: ab5
Biết ab5 M9 => 100a + 10b + 5 M9
Mà b = ( a + 5) : 2 hay a + 5 = 2b hay a = 2b – 5 mà a , b ∈ {1, 2, 3, …, 9} nên b < 8
=> 100.(2b – 5) + 10b M9 => 210b – 500 M9

(1)

Thay b ∈ {1 2, 3, 4, 5, 6, 7} thì không có giá trị b thỏa mãn (1)
Vậy ta chỉ có số 630 thỏa mãn bài toán
Bài 9: Tìm các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho cả 5 và 9 biết rằng hiệu số đó với số viết

theo thứ tự ngược lại bằng 297.
Hướng dẫn
Số có TN 3 chữ số abc = 100a + 10b + c
Số TN viết theo thứ tự ngược lại là cba = 100c + 10b + a
Bài cho: abc - cba = 297 => 99a – 99c = 297 => a – c = 3

(1)

Ta có abc ⋮ 5 => c = 5 (Vì có số cba nên c ≠ 0) => Có số ab5
Vì ab5 ⋮ 9 => a + b + 5 ⋮ 9 (2)
Từ (1) ta chọn c ∈ {1, 2, 3, ….,9} sao cho a < 10
+ Với c = 1 => a = 4 thay vào (2) được b + 9 ⋮ 9 => b = 9 => Có số 491


BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

+ Với c = 2 => a = 5 thay vào (2) được b + 10 ⋮ 9 => b = 8 => Có số 582
+ Với c = 3 => a = 6 thay vào (2) được b + 11 ⋮ 9 => b = 7 => Có số 673
+ Với c = 4 => a = 7 thay vào (2) được b + 12 ⋮ 9 => b = 6 => Có số 764
+ Với c = 5 => a = 8 thay vào (2) được b + 13 ⋮ 9 => b = 5 => Có số 855
+ Với c = 6 => a = 9 thay vào (2) được b + 14 ⋮ 9 => b = 4 => Có số 946
Bài 10: Tìm số tự nhiên n để

3n + 6
là số tự nhiên.
n +1

Hướng dẫn

Ta có 3n + 6 = 3.(n + 1) + 3
Vì 3.(n + 1) ⋮ (n + 1) => Để

3n + 6
là số TN thì 3 ⋮ (n + 1) hay n + 1 ∈ Ư(3) = {1, 3}
n +1

Với n + 1 = 1 => n = 0
Với n + 1 = 3 => n = 2
DẠNG 3: CHỨNG MINH QUAN HỆ CHIA HẾT:
Bài 1: Cho n là số tự nhiên . Chứng tỏ :
a) (n + 10) (n + 15) là bội của 2.
b) n (n + 1) (n + 2) là bội của 2 và 3
c) n( n+1) (2n + 1) là bội của 2 là 3
Hướng dẫn
a) Ta có (n + 10) (n + 15) = (n + 10).[(n + 10) + 5]

(1)

Với n ∈ N và coi n + 10 là một số thì (1) là tích của hai số tự nhiên cách nhau 5 đơn vị.
Do đó trong hai số nay luôn có 1 số chẵn
=> Tích đã cho là bội của 2
b) n ( n + 1) (n + 2) với ∈ N luôn là tích của ba số Tự nhiên liên tiếp. Trong tích này luôn
có ít nhất một số chẵn và một số là bội của 3
=> Tích này là bội của 2 và 3
Bài 2: Chứng tỏ rằng một số có ba chữ số mà chữ số hàng chục , hàng đơn vị bằng nhau và tổng
ba chữ số của số đó chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
Hướng dẫn
Gọi số TN này là abb = 100a + 10b + b = 100a + 11b = 98a + (2a + 4b) + 7b

BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

Ta có a + b + b ⋮ 7 hay a + 2b ⋮ 7 => 2(a + 2b)⋮ 7 hay 2a + 4b ⋮ 7
Mà 98 ⋮ 7 và 7b ⋮ 7
=> abb ⋮ 7
Bài 3: Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng tỏ rằng :
a) Nếu a + 4b chia hết cho 13 thì 10a + b cũng chia hết cho 13 và ngược lại.
b) Nếu 3a + 2b chia hết cho 17 thì 10a + b cũng chia hết cho 17 và ngược lại.
Hướng dẫn
a) Xét tổng 3.(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b ⋮13
Ta có a + 4b ⋮13  3(a + 4b) ⋮13
=> 10a + b ⋮ 13 (Tính chất chia hết của một tổng)
Ngược lại 10a + b ⋮ 13
=> 3.(a + 4b) ⋮ 13 (Tính chất chia hết của một tổng)
=> a + 4b ⋮ 13
b) Xét tổng 5.(3a + 2b) + 7.(10a + b) = 85a + 17b ⋮17
Ta có 3a + 2b ⋮17 => 15a + 10b ⋮17
=> 7.(10a + b) ⋮ 17 (Tính chất chia hết của một tổng)
=> 10a + b ⋮ 17
Ngược lại 10a + b ⋮ 17
=> 5.(3a + 2b) ⋮ 17 (Tính chất chia hết của một tổng)
=> 3a + 2b
Bài 4:
a) Cho hai số abc và def , giả sử abc < def và mỗi số đều không chia hết cho 37 nhưng
tổng hai số đó chia hết cho 37. Chứng tỏ rằng abcdef chia hết cho 37.
b) Cho hai số abc và def chia cho 7 có cùng số dư. Chứng tỏ rằng abcdef chia hết cho 7.
Hướng dẫn

a) Xét abcdef = 1000 abc + def = ( abc + def ) + 999 abc
Vì abc + def ⋮ 37 (Bài cho) và 999 ⋮ 37
=> abcdef ⋮ 37


BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 6 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

b) Xét abcdef = 1000 abc + def
Bài cho abc và def chia cho 7 có cùng số dư là k nên:
abc = 7.x + k

và

def = 7.y + k

(x và y là các thương số)
=> abcdef = 1000(7.x + k) + 7.y + k = 7.(1000x + y) + 1001.k
Vì 7.(1000x + y) ⋮ 7 và 1001 ⋮ 7
=> abcdef ⋮ 7