SKKN các phép biến hình trong bài toán hàm số

1

CáNG H`A X

HáI CHế NGH A VI T NAM

c lp - Tỹ do - Hnh phúc

Knh gòi: HáI NG S NG KI N C P NG NH Chúng tổi
ghi tản dữợi Ơy:

TT

H

1

inh

2

Dữỡn

I. Tản sĂng kin
CĂc php bin hnh trong b i toĂn h m s
Lắnh vỹc Ăp dửng: Phữỡng phĂp dy hồc mổn ToĂn.

II. Ni dung sĂng kin
1. GiÊi phĂp cụ thữớng l m
Kim tra Ănh giĂ l khƠu khổng th thiu trong quĂ trnh dy hồc. Hot ng n y khổng
ch nhm ghi nhn kt quÊ t ữổc ca hồc sinh m cặn hữợng v o viằc xuĐt nhng

phữỡng hữợng i mợi, cÊi thiằn thỹc trng, iu chnh v nƠng cao chĐt lữổng, hiằu quÊ
giĂo dửc.
Trữợc nhng yảu cu ca x hi i vợi sÊn ph'm ca giĂo dửc, kim tra Ănh giĂ trong dy
hồc mổn ToĂn cn cõ nhng thay i. Nu nhữ trữợc Ơy, trong quĂ trnh kim tra Ănh
giĂ nh ký cụng nhữ trong cĂc k thi tuyn sinh i hồc hoc thi THPT Quc gia


2

thi mổn ToĂn u thi theo hnh thức tỹ lun, Ơy l mt hnh thức thi truyn thng Â
ữổc thỹc hiằn nhiu nôm nay, tuy nhiản hnh thức n y cõ nhiu im hn ch. V vy, t
k thi THPT Quc Gia nôm 2017 B GiĂo dửc v o to  chuyn sang hnh thức thi trc
nghiằm. Viằc thay i n y t nhiu cụng gƠy khõ khôn v cÊ sỹ bù ngù cho giĂo viản cụng
nhữ hồc sinh. CĂi thay i nhiu nhĐt vợi giĂo viản õ l vĐn ra thi v kim tra, cặn vợi hồc
sinh õ l vĐn hồc u to n b chữỡng trnh khổng cặn tnh trng hồc t, cn phÊi chú ỵ
n cÊ nhng ni dung m trữợc Ơy hu nhữ khổng xuĐt hiằn trong thi.
Cụng v nhng thay i õ m rĐt nhiu cĂc ni dung trữợc Ơy khổng h hoc rĐt t
xuĐt hiằn trong thi, m im hnh l cĂc php bin hnh. Hồc sinh cụng nhữ giĂo viản khi
nghiản cứu ni dung n y thữớng l cĂc b i toĂn hnh hồc thun túy nhữ viằc tm Ênh ca:
im, ữớng thflng, ữớng trặn, elip. Khi gp cĂc dng toĂn khĂc liản quan n php bin hnh
th hồc sinh rĐt lúng túng trong viằc tm ra cỡ s lỵ lun giÊi quyt b i toĂn. Ngay cÊ
giĂo viản khi giÊng cho hồc sinh v ni dung n y cụng khõ khôn.
Qua nghiản cứu v thỹc t giÊng dy, vợi mong mun xƠy dỹng mt t i liằu vợi y cỡ s
lỵ thuyt v cĂc dng b i tp nhm hỉ trổ cho giĂo viản v hồc sinh trong quĂ trnh giÊng dy
v hồc tp ni dung n y, chúng tổi  vit sĂng kin CĂc php bin hnh trong b i toĂn h m s
v ỗ th .
Mửc ch chnh ca SĂng kin n y l ữa cĂi nhn ca cĂc php bin hnh v o cĂc b i
toĂn h m s. Nhm cõ mt t i liằu ổn luyằn chĐt lữổng cho giĂo viản v hồc sinh. Cụng
gõp phn giúp cho giĂo viản v hồc sinh viằc Ăp dửng mt ni dung v o giÊi quyt cĂc ni
dung khĂc trong chữỡng trnh.

2. GiÊi phĂp cÊi tin
2.1 Cỡ s lỵ lun
ữổc trnh b y trong chữỡng I. Trong ni dung n y tĂc giÊ trnh b y sỡ lữổc v php
bin hnh nhữ:
2.1.1 Lch sò hnh th nh
2.1.2 Kin thức cỡ bÊn
Trnh b y cĂc nh nghắ, tnh chĐt, biu thức tồa ca cĂc php bin h
nh. 2.1.3 Tng quan v ứng dửng ca cĂc php bin hnh


3

2.2 GiÊi phĂp mợi
Trong phn giÊi phĂp mợi cụng l ni dung chnh ca sĂng kin ữổc tĂc giÊ trnh b y
trong bn chữỡng:
Chữỡng II: Php tnh tin
Chữỡng III: Php

i xứng

Chữỡng IV: Php quay
Chữỡng V: Php v tỹ
Trong tng chữỡng tĂc giÊ trnh b y cĂc lỵ thuyt quan trồng phửc vử cho qua trnh giÊi
toĂn cụng nhữ l cỡ s lỵ thuyt tm ra lới giÊi cho b i toĂn.
Trong cĂc chữỡng u ữổc phƠn dng b i tp rê r ng. Mỉi dng b i tp u cõ phữỡng phĂp,
cĂc phƠn tch giúp cho viằc tip cn lới giÊi mt cĂch tt nhĐt.
CĂc dng b i tp m tĂc giÊ phƠn chia v ữa ra u l cĂc ni dung rĐt mợi, hu nhữ chữa bt
gp trong bĐt cứ t i liằu n o trữợc Ơy. V dử nhữ viằc tm Ênh, tm vt, tm php tnh
tin trong cĂc b i toĂn h m s, ỗ th. CĂc b i toĂn ỡn iằu, cỹc tr, tữỡng giao,. . . ca cĂc h m

s qua php bin hnh.

III. Hiằu quÊ kinh t v x hi dỹ kin

t

ữổc

1. Hiằu quÊ kinh t:
CĂc ni dung vit trong sĂng kin n y l mt t i liằu tham khÊo cho giĂo viản v hồc sinh.
Hồc sinh cõ th dũng t i liằu n y tham khÊo v cĂc vĐn liản quan n cĂc php bin h
nh, h m s v ỗ th. GiĂo viản cõ th dũng t i liằu n y phửc vử cổng tĂc giÊng dy
v ra kim tra cụng nhữ thi thò. Ni dung sĂng kin cụng l mt t i liằu tham khÊo giĂ tr
khoÊng 40.000 (phổ tổ), phũ hổp vợi nhiu i tữổng hồc sinh.
Ti THPT Bnh Minh v THPT Ngổ Th Nhm, t i liằu  ữổc sò dửng giÊng dy
vhồc tp cho to n b giĂo viản ToĂn Tin trong nh trữớng. V to n b hồc sinh khi
11 v 12 vợi khoÊng 1000 hồc sinh. Khổng riảng g Ăp dửng cho nôm hồc 2018 2019, SĂng
kin n y s tip tửc ữổc chnh sòa v b sung Ăp dửng v o nhng nôm hồc tip theo. Nu
ữổc Ăp dửng v nhƠn rng trản to n tnh vợi s luổng 27 trữớng THPT s tit kiằm

ữổc s tin rĐt lợn v l sÊn ph'm tri thức cõ giĂ tr.


4

2.
-

Hiằu quÊ x hi:

i vợi hồc sinh, phử huynh v x hi: To ữổc tƠm l tỹ tin cho phử huynh v hồc

sinh trữợc mỉi k thi quan trồng. Hồc sinh cõ th giÊi ữổc cĂc b i tp trc nghiằm liản
quan n h m s sò dửng php bin hnh trong cĂc thi v kim tra.
-

i vợi nh trữớng THPT Bnh Minh v THPT Ngổ Th Nhm: Sau khi Ăp dửng sĂng

kin n y ti nh trữớng thu ữổc kt quÊ tt, to ữổc sỹ tin tững chuyản mổn ca nhõm toĂn
nh trữớng. ỗng thới khch lằ phong tr o vit sĂng kin, cÊi tin phữỡng phĂp dy hồc t hiằu
quÊ cao. õng gõp v o nƠng cao chĐt lữổng giÊng dy ca nh trữớng. Trong nhng nôm
gn Ơy trữớng THPT Bnh Minh, THPT Ngổ Th Nhm  cõ nhng tin b vữổt bc v
kt quÊ thi Hồc sinh giọi v thi THPT Quc Gia.
-

i vợi viằc giÊng dy: SĂng kin n y tip tửc õng gõp v o viằc giĂo viản tch cỹc i

mợi phữỡng phĂp giÊng dy, c biằt l trong b mổn toĂn trữớng THPT Bnh Minh v THPT
Ngổ Th Nhm. Ni dung SĂng kin n y l t i liằu tham khÊo cõ th Ăp dửng cho tĐt cÊ cĂc
trữớng THPT trong to n tnh (27 trữớng THPT). c biằt l cho cĂc i tữổng hồc sinh ổn thi
HSG, THPT Quc gia. L mt chuyản giÊng dy hiằu quÊ cho giĂo viản.

IV.

iu kiằn v khÊ nông Ăp dửng

1. KhÊ nông Ăp dửng sĂng kin trong thỹc tin:
Rng rÂi i vợi tĐt cÊ cĂc trữớng trung hồc ph thổng.
Hiằn nay, ti hu ht cĂc trữớng THPT u coi trồng vĐn dy ổn thi THPT Quc gia cho
hồc sinh, m mổn ToĂn l mổn thi nm trong nhiu khi thi ca hồc sinh. V vy vĐn dy

ổn thi THPT Quc gia mổn ToĂn c ng ữổc cĂc nh trữớng quan tƠm nhiu hỡn na. M ni
dung chuyản php bin hnh cụng nhữ cĂc b i toĂn ỗ th h m s liản quan n php bin
hnh l mt dung trữợc Ơy t ữổc chú ỵ v khan him t i liằu. Chnh v th nhiu hồc
sinh cÊm thĐy khõ khôn khi tip cn giÊi quyt ni dung n y. V khõ khôn vợi giĂo viản
trong cổng viằc son kim tra v thi. Do õ, viằc Ăp dửng sĂng kin n y v o trong thỹc tin
giÊng dy l ht sức khÊ quan. VĐn khổng ch cặn nm khÊ nông truyn t ca thy cổ
giĂo m cn cõ sỹ c gng ca cÊ nh trữớng, giĂo viản v hồc sinh.

2.

iu kiằn Ăp dửng sĂng kin:

Ăp dửng sĂng kin n y sao cho

t

ữổc hiằu quÊ tt nhĐt chúng ta cn:


5

+

÷a ra th£o lu“n, trao Œi, thŁng nh§t þ ki‚n vîi c¡c thƒy cæ gi¡o trong tŒ chuy¶n

mæn v• c¡c v§n • li¶n quan ‚n s¡ng ki‚n tł â rót kinh nghi»m.
+

Tòy theo tłng Łi t÷æng håc sinh ð tłng lîp m ÷a ra c¡c møc º v‰ dö trong s¡ng ki‚n

cho phò hæp.
+

Ki”m tra sü ti‚p thu cıa håc sinh v• nºi dung s¡ng ki‚n qua vi»c l m v gi£i quy‚t c¡c b i

t“p v• nh . Công nh÷ c¡c b i ki”m tra 15 phót, 45 phót.
+

Th÷íng xuy¶n c“p nh“t • thi THPT QuŁc gia v thi thß c¡c tr÷íng ” bŒ sung v o s¡ng

ki‚n gâp phƒn l m phong phó hìn kho b i t“p.


N CếA L NH

6
Chúng tổi xin cam oan mồi thổng tin nảu trong ỡn l trung thỹc, úng sỹ tht v ho n to
n chu trĂch nhiằm trữợc phĂp lut.
Bnh Minh, ng y 21 thĂng 4 nôm 2019

O èN V Ngữới np ỡn (Kỵ v ghi rê hồ tản)

inh Hỗng Chinh

Dữỡng XuƠn Lổi


Chữỡng 1
SèLìẹCV
1

PH PBI NHNH

Lch sò hnh th nh

Hnh 1.1: Euclide

Hnh 1.2: Bellavitis (1803-1880)

T th k III TCN n th k XVIII, vợi h ng lot cĂc cổng trnh nghiản cứu ca cĂc nh
toĂn hồc nhữ: Euclide (sng khoÊng 330-275 trữợc Cổng nguyản), Desargues (1591-1661),
Pascal (1623-1662), De La Hir (1640-1718), Newtỡn (1642-1737)...php bin hnh vÔn ch

xuĐt hiằn nhữ mt cổng cử ngm 'n

chuyn cĂc tnh chĐt hnh hồc (bĐt bin) t hnh

n y sang hnh kia, ữổc sò dửng giÊi mt s b i toĂn. Php bin hnh ch ữổc sò
dửng nhữ mt thut ng mổ tÊ chứ khổng phÊi l mt i tữổng nghiản cứu toĂn hồc.
V o cui th k XVIII, php bin hnh  tr th nh mt i tữổng nghiản cứu ca toĂn hồc.
Nghiản cứu mt cĂch hằ thng v i tữổng php bin hnh ữổc Bellavitis (1803-1880) tr
nh b y trong lỵ thuyt v cĂc hnh ca ổng v sau õ ữổc mt s nh toĂn hồc khĂc b sung
thảm. giai on n y gn lin quan niằm xem hnh l mt tp hổp im m hnh hồc giÊi tch
õng vai trặ quan trồng trong viằc hnh th nh quan niằm õ. Cõ th nõi cĂc phữỡng phĂp do
cĂc nh toĂn hồc phĂt minh  em li mt sỹ thay i rĐt quan trồng v hnh, nõ cho php
chuyn t cĂch nhn cĂc hnh trong tng th v o cĂch nhn theo tng

im.
n cui th k XIX, php bin hnh khổng ch ữổc sò dửng nhữ cổng cử dỹng hnh
hay tnh chĐt ca hnh na. KhĂi niằm nhõm cĂc php bin hnh ra ới t vĐn d sp xp

7


CHìèNG 1. Sè LìẹC V PH P BI N H NH
cĂc tnh chĐt bĐt bin ca cĂc php bin hnh. V nhng khĂi niằm tnh chĐt õ Â ữổc
ữa v o chữỡng trnh THPT.

2
2.1

Kin thức cỡ bÊn

Php bin hnh

nh nghắa 1. Php bin hnh l mt quy tc vợi mỉi im M ca mt phflng xĂc nh ữổc
0

0

mt im duy nhĐt M ca mt phflng, im M gồi l Ênh ca im M qua php bin hnh õ.
Nu ta k hiằu mt php bin hnh n o õ l F th
0

M = f(M).
0

Nu H l mt hnh n o õ th tp hổp cĂc im M = f(M), vợi M 2 H to th nh hnh
0

0

H , ta vit H = f(H).

2.2

Php dới hnh

nh nghắa 2. Php dới hnh l php bin hnh khổng l m thay i khoÊng cĂch gia
hai im bĐt k.
nh l 1. Php dới hnh bin:
Ba im thflng h ng th nh ba im thflng h ng, ba im khổng thflng h ng th nh ba im
khổng thflng h ng
ữớng thflng th nh ữớng thflng
Tia th nh tia
on thflng th nh on thflng bng nõ.
Tam giĂc th nh tam giĂc bng nõ.
ữớng trặn th nh ữớng trặn cõ cũng bĂn k
nh. Gõc th nh gõc bng nõ.

2.3

Php

ỗng dng

nh nghắa 3. Php bin hnh F gồi l php ỗng dng t s k (k > 0) nu vợi hai im M v
0

0

0 0

N bĐt k v Ênh M v N ca chúng, ta luổn cõ M N = kM N.


CHìèNG 1. Sè LìẹC V PH P BI N H NH
nh l 2. Mồi php ỗng dng F t s k (k > 0) u l
k v mt php dới hnh D.
Hằ quÊ. Php ỗng dng t s k bin:
Ba im thflng h ng th nh ba im thflng h ng v khổng l m thay i thứ tỹ ba im thflng
h ng õ.
ữớng thflng th nh ữớng thflng.
Tia th nh tia.
on thflng th nh on thflng v d i ữổc nhƠn lản vợi k. Bin
tam giĂc th nh tam giĂc ỗng dng vợi t s k.
Bin ữớng trặn cõ bĂn knh R th nh ữớng trặn cõ bĂn knh jkj:R.
Bin gõc th nh gõc bng nõ.
nh nghắa 4. Hai hnh ỗng dng vợi nhau nu cõ php ỗng dng bin hnh n y th nh
hnh kia.

3

Tng quan v ứng dửng

Php bin hnh cõ rĐt nhiu ứng dửng trong giÊi toĂn v trong thỹc tin cuc sng.

3.1

Trong giÊi toĂn

Php bin hnh l mt cổng cử giÊi toĂn hnh hồc nhữ trong cĂc b i toĂn:
GiÊi mt s b i toĂn dỹng hnh.
GiÊi mt s b i toĂn v tm tp hổp im.
V ỗ th h m s.

3.2

Trong thỹc tin

Ngo i nhng ứng dửng trong giÊi toĂn, cĂc php bin hnh cặn rĐt nhiu ứng dửng
quan trồng trong ới sng thỹc tin. õ l :
CĂc cổng trnh xƠy dỹng bÊn v thit k cu, ữớng, nh , i phun nữợc khuƠn viản
trữớng hồc, cỡ quan...


CHìèNG 1. Sè LìẹC V PH P BI N H NH
Dỹa v o tnh chĐt ca php bin hnh thit k hồa tit trản nn gch hoa, hồa tit
qun Ăo,...
ng dửng trong hi hồa, m thut( hnh v hoa vôn cõ tƠm i
xứng). Ch to ra sÊn ph'm m nghằ nhữ: bnh gm, th c'm,...
To ra ỗ dũng: n trn, chn ắa, mƠm trặn,...
Ch to cĂc chi tit mĂy (bĂnh rông, bĂnh xe,...).
phõng to nhọ cĂc ỗ vt.


Ch֓ng 2
PH P TÀNH TI N
1
1.1

Lþ thuy‚t quan trång
ành ngh¾a

#
0
0
Trong m°t phflng cho v†c-tì v . Ph†p bi‚n h…nh bi‚n mØi i”m M th nh M sao cho M M
#

÷æc gåi l ph†p tành ti‚n theo v†c-tì v .

Kþ hi»u: T# v.

1.2

T‰nh ch§t
0

0

0 0

ành l‰ 3. N‚u ph†p tành ti‚n bi‚n 2 i”m M v N th nh 2 i”m M v N th… M N = M N.
Þ ngh¾a cıa ành lþ 1: Ph†p tành ti‚n khæng l m thay Œi kho£ng c¡ch 2 i”m b§t k… .
ành l‰ 4. Ph†p tành ti‚n bi‚n 3 i”m thflng h ng th nh 3 i”m thflng h ng v b£o to n và tr‰
cıa 3 i”m â.

1.3

H» qu£

Ph†p tành ti‚n
B£o to n kho£ng c¡ch giœa hai i”m b§t ký.
Bi‚n mºt ÷íng thflng th nh ÷íng thflng song song ho°c tròng vîi ÷íng thflng ¢ cho.

Bi‚n tia th nh tia.
Bi‚n o⁄n thflng th nh o⁄n thflng b‹ng o⁄n thflng ¢ cho. Bi‚n
tam gi¡c th nh tam gi¡c b‹ng tam gi¡c ¢ cho.
11


CHìèNG 2. PH P TNH TI N
Bin ữớng trặn th nh ữớng trặn cõ cũng bĂn knh.
Bin gõc th nh gõc bng nõ.

1.4

Biu thức tồa



#
Trong mt phflng Oxy cho im (x; y); v = (a; b).
0

0

Gồi M(x ; y ) = T# v(M).
8

0

>x = x + a
<

Khi õ

0

>y = y + b:

:

1.5

Php tnh tin

ỗ th

Ta bit rng ỗ th ca mt h m s bao giớ cụng gn vợi mt hằ to nhĐt nh. V dử, ỗ th
0

ca h m s y = xl ữớng phƠn giĂc(d )ca gõc phn tữ thứ I v III trong hằ to Oxy. Ta hÂy
0

0

xt mt hằ to mợi O XY , trong õ gc O ca nõ, i vợi hằ to Oxy, cõ to (x 0; y0); cĂc
0

0

0

0

trửc X X v Y Y song song cũng hữợng v cũng ỡn v theo thứ tỹ vợi trửc x x v y y. CƠu họi
t ra l trong hằ to mợi Đy, liằu (d) cõ cặn l ỗ th ca
h m s Y = X na hay khổng? Nu khổng th nõ s l
ỗ th ca h m s n o?
2

khổng th l ỗ th ca h m s Y = X. Tuy nhiản, trong trữớng hổp tng quĂt, mun bit
(d) l ỗ th ca h m s n o, ta cn tm hiu mi quan hằ gia cĂc to cụ v mợi ca
Gồi M l mt im tuý ỵ, i vợi hằ to Oxy, M cõ to l (x; y). i vợi hằ to
0

O XY , to
#

OM = OO

ca M l

(X; Y ). Ta cn tm mi quan hằ gia (X; Y ) v (x; y).

ỵ

0

-Tnh tin (C) lản trản theo phữỡng trửc Oy, q
#

ỡn v ta
0

f(x) q. Hay Ênh ca (C) qua T# v vợi v = (0; q) l (C ) : y = f(x) q.
-Tnh tin lản trản q ỡn v: y = f(x) + q.
-Tnh tin xung dữợi q ỡn v: y = f(x)
-Tnh tin sang trĂi p ỡn v: y = f (x + p).
-Tnh tin sang phÊi p ỡn v: y = f (x
#
Tnh tin theo vc-tỡ v = (a; b): y = f(x

0

ữổc ỗ th h m s (C ) : y =


CH×ÌNG 2. PH P TÀNH TI N

2
2.1

B i t“p minh håa

T…m £nh cıa h m sŁ
#
v = (a; b) bi‚n (C)

B i to¡n 1. Cho h m sŁ y = f(x) câ ç thà (C). Ph†p tành ti‚n theo th
0

0

nh (C ). T…m ph÷ìng tr…nh cıa (C ).
Ph÷ìng ph¡p
Gi£ sß: M(x; y) 2 (C) , y = f(x):
0
Gåi M = T# v

a
b:

Thay v o (1), ta câ y

0
0

Do â: ph÷ìng tr…nh cıa (C ) : y = f(x

V‰ dö 1. Cho h m sŁ y =
bi‚t
#
v = (0; 1).

a)
Líi gi£i.
Gi£ sß: M(x; y) 2 (C) ) y =
0

0

0

Gåi M (x ; y ) = T# v(M)

p döng v o c¡c tr÷íng
a)

#
v = (0; 1).

8x
)

0

>

>

:

Thay v o (1), ta câ y

0

Do â y =

Thüc hi»n t÷ìng tü þ a) ta câ:
b)

#
v = (0;

=x
=y+1


c)

y=
#

x

v = (1; 0).

y=

2x
x


CHìèNG 2. PH P TNH TI N
d)

#
v = ( 3; 0).

2x + 7

y=
e)

x+1

#
v = ( 1;

5

x+1

y=
Nhn xt 1. Ta thĐy vợi cĂc vc-tỡ cĂc ỵ trản, õ l

tin song song vợi cĂc hằ trửc to nhữ: tnh tin lản trản, xung dữợi, sang phÊi, sang trĂi p
hoc q ỡn v. Những ta cõ th nhn thĐy rng vợi phữỡng phĂp giÊi trản, ta cõ th xò l
vợi bĐt k vc-tỡ n o. Giúp cho cĂc bn ch cn nhợ mt phữỡng phĂp chung m cõ th giÊi
vợi mồi b i tp cõ liản quan n tm Ênh ca h m s m khổng cn phÊi nhợ n nhiu dng b i
tp v cĂch giÊi khĂc nhau. Tip tửc, chúng tổi s giÊi thò vợi mt s h m s chúng minh
sức t phĂ ca phữỡng phĂp n y.

V dử 2. Cho h m s y = 2x 3 cõ ỗ th (C). Tm Ênh ca (C) qua php tnh tin T # v, bit
#
a) v = (0;

1).

#
c) v = (2; 0).

#
b) v = (0; 1).

#
d) v = ( 3; 0).

Lới giÊi.
GiÊ sò: M(x; y) 2 (C) ) y = 2x
8

0

<

Gồi T# v(M) = M )

#
a) v = (0;

3: (2)

0

>x = x + a
0

>y = y + b:

:

1).

8x0
<

>

)

,

0

y =y 1
>

Thay v o (2) ta cõ: y + 1 = 2x
Do õ y = 2x
Thỹc hiằn tữỡng tỹ tin trnh ca ỵ a) ta cõ:
y = 2x + 3 l

:

#
e) v = (1; 2).

0

ph÷ìng tr…nh h m sŁ £nh (C ).
ph÷ìng tr…nh h m
0
sŁ £nh (C ).

0

ph÷ìng tr…nh h m sŁ £nh (C ).


CH×ÌNG 2.

PH

#
e) v = (1; 2).

3

y = 2x
2

V‰ dö 3. Cho h m sŁ y = x 2x + 1 câ ç thà (C). T…m £nh cıa (C) qua ph†p tành ti‚n T #
v, bi‚t
#
a) v = (0; 1).

#
b) v = (0;

1).

#
c) v = (1; 0).

#
d) v = ( 1; 0).

#
e) v = (1; 2).

Líi gi£i.
2
Gi£ sß: M(x; y) 2 (C) ) y = x
0
Gåi T# v(M) = M

#
a) v = (0; 1).

8

x0 = x

>

<

)

,
0

y =y+1
>
:

Thay v o (3) ta câ: y
2

Do â y = x
Thüc hi»n t÷ìng tü ti‚n tr…nh cıa þ a) ta câ:
#
b) v = (0;
2

y=x
#
c) v = (1; 0).
2

y=x
#
d) v = ( 1; 0).
2

y=x l

#
e) v = (1; 2).
y=x
3

2

2

V‰ dö 4. Cho h m sŁ y = x + 3x + 3x + 1 câ ç thà (C). T…m £nh cıa (C) qua ph†p
tành ti‚n T# v, bi‚t
#
a) v = (0; 2).

#
b) v = (0;

2).

#
c) v = (1; 0).

>x

#
d)
v
= ( 1;
Gåi T# v(M) = M )
>y 0).

+
0

x
<

: e)

Líi gi£i.
3

2

Gi£ sß: M(x; y) 2 (C) ) y = x + 3x + 3x + 1:
8

(4)


#

v = ( 1; 2).


#

a)

v = (0; 2).

8x
)

>

0

:

Thay v o (4) ta câ: y
3

0

>

2

Do â y = x + 3x + 3x + 3 l
Thüc hi»n t÷ìng tü ti‚n tr…nh cıa þ a) ta câ:
#
b) v = (0; 2).
3

2

y = x + 3x + 3x
#
c) v = (1; 0).

3

0

y = x l ph÷ìng tr…nh h m sŁ £nh (C ).
#
d) v = (
3

2

3

2

y = x + 6x + 12x + 5 l
#
e) v = (
y = x + 6x + 12x + 7 l

4

2

V‰ dö 5. Cho h m sŁ y = x 3x + 2 câ ç thà (C). T…m £nh cıa (C) qua ph†p tành ti‚n T #
v, bi‚t
#
a) v = (0; 1).

#

b) v = (0;

2).

#
c) v = ( 1; 0).

#
d) v = (3; 0).

#
e) v = (1;

3).

Líi gi£i.
4
Gi£ sß: M(x; y) 2 (C) ) y = x
0
Gåi T# v(M) = M

a)

#
v = (0; 1).

8x
)

>

>

Thay v o (5) ta câ: y 1 = x
4

4

:

Do â y = x
Thüc hi»n t÷ìng tü ti‚n tr…nh cıa þ a) ta câ:
#
b) v = (0; 2).
y=x
#
c) v = (

4

0

0


4

y = x + 4x

3


CH×ÌNG 2. PH P TÀNH TI N
d)

#
v = (3; 0).

e)

y=x
#
v = (1;

4

y=x

2

V‰ dö 6. Cho h m sŁ x + y

4

2

tành ti‚n T# v, bi‚t
#
v = (0; 2).

a)
Líi gi£i.
2
2
Gi£ sß: M(x; y) 2 (C) ) x + y
0
Gåi T# v(M) = M

#

a)

v = (0; 2).

8

)

x0 = x

>

<

y0 = y + 2

Tha y v o (6) ta câ : x

>

:

b)

Do â (x
#
v = (0;
1) + (y + 5) = 9 l

c)

(x
#
v = (3; 0).

4) + (y + 2) = 9 l

d)

(x
#
v = ( 2; 0).

e)

(x + 1) + (y + 2) = 9 l
#
v = ( 2; 3).

2

2

2

2

2

2

2

2

x + y + 2x

C¡c h m sŁ m
tr…nh phŒ thæng nh÷:
2

3

2

4

3

2

y = ax + b; y = ax + bx + c; y = ax + bx + cx + d; y = ax + bx + cx + dx + e; y =
0

ax
+ b
cx + d .
#

B i to¡n 2. Cho h m sŁ y = f(x) câ ç thà (C ). Ph†p tành ti‚n theo v†c-tì v = (a; b) bi‚n (C)
0

th nh (C ). T…m ph÷ìng tr…nh cıa (C).


CH×ÌNG 2. PH P TÀNH TI N
Ph÷ìng ph¡p
#
v = ( a;

Ta câ

b).
0

0

M : T# v [(C)] = (C ) ) T # v [(C )] = (C).
0

0

0

0

0

0

Gi£ sß: M (x ; y ) 2 (C ) ) y = f(x ):

()

8

8

0

>x = x + ( a)

M(x; y) l £nh cıa M

<

0

0

>x = x + a

)

0

>y = y + ( b)

<

0

>y = y + b:

:

:

Thay v o ( ), câ: y + b = f(x + a).
V“y ph÷ìng tr…nh ç thà h m sŁ cƒn t…m l

0

V‰ dö 1. Cho h m sŁ £nh y =
ti‚n T# v.

#
a) v = (0; 1).

#
b) v = (0;

#
c) v = (2; 0).

3).

#
d) v = ( 1; 0).

#

e) v = (1;

2).

Líi gi£i.
#
a) v = (0; 1).
Ta câ:

#

v = (0;

1).
0

0

M : T# v(C) 7!(C ) ) T# v(C ) 7!(C).
Gi£ sß: M(x

0

M(x; y) l

Thay v o (1), ta câ y + 1 =
Do â y =
Thüc hi»n t÷ìng tü ti‚n tr…nh cıa þ a) ta câ:
b)

#
v = (0; 3).

3x + 2

y=
c)

2x + 3

#
v = (2; 0).

y=
#

3x

2x + 7


d)

v = ( 1; 0).

y=
e)

#
v = (1; 2).

y=

3x
2x + 1
x
2x + 5


CH×ÌNG 2. PH P TÀNH TI N

19

0

V‰ dö 2. Cho h m sŁ £nh y = 2x

0

3 câ ç thà (C0). T…m h m sŁ v“t (C) qua ph†p tành

ti‚n T# v.
#
v = (0; 2).

a)
Líi gi£i.

#
v = (0; 2).

a)

#

Ta câ: v = (0;
0
0
M : T# v(C) 7!(C ) ) T# v(C ) 7!(C).
0

0

0

0

Gi£ sß: M(x ; y ) 2 (C ) ) y = 2x

M(x; y) l £nh cıa M

0

3: (2)

0
8
0
>x = x + (

M2(C))

<

0

>y = y + (

:

a)

b)

8
0
>x = x

)

<

0

>y = y + 2:

:

Thay v o (2) ) y + 2 = 2x 3 , y = 2x 5.
Do â y = 2x
Thüc hi»n t÷ìng tü ti‚n tr…nh cıa þ a, ta câ:
#
b) v = (0;
y = 2x
#
c) v = (3; 0).
y = 2x + 3 l
#
d) v = (
y = 2x
#
e) v = (4; 1).
y = 2x + 4 l

0

02

0

0

V‰ dö 3. Cho h m sŁ £nh y = x 4x + 6 câ ç thà (C ). T…m h m sŁ v“t (C) qua ph†p
tành ti‚n T# v.
#
#
#
#
#
d) v = ( 1; 0).
e) v = (1; 2).
b) v = (0; 2). c) v = (2; 0).
a) v = (0; 1).
Líi gi£i.


CH×ÌNG 2.

PH

#
a) v = (0; 1).
#

Ta câ:
0
0
M : T# v(C) 7!(C ) ) T# v(C ) 7!(C).
0

0

0

0

Gi£ sß: M(x ; y ) 2 (C ) ) y = x
M(x; y) l £nh cıa M

02

v

0

4x + 6: (3)

0
8
0
>x = x + ( a)

8
0
>x = x

<

M2(C))

<

)

0

>y = y + ( b)

0

>y = y + 1:

:

:

Thay v o (3), ta câ ) y + 1 = x

2

4x + 6 , y = x

2

4x + 5.

2

Do â y = x

Thüc hi»n t÷ìng tü ti‚n tr…nh cıa þ a, ta câ:
#
b) v = (0;
2

y=x
#
c) v = (2; 0).
2

y = x + 10 l
#
d) v = (
2

y=x
#
e) v = (1; 2).
y=x

0

V‰ dö 4. Cho h m sŁ £nh y = x
qua ph†p tành ti‚n T# v.
#
a) v = (0; 1).

#
b) v = (0;

2

03

+ 6x

02

0

0

+ 12x + 7 câ ç thà (C ). T…m h m sŁ v“t (C)

#
c) v = (2; 0).

1).

#
d) v = ( 2; 0).

#
e) v = ( 1; 2).

Líi gi£i.
#
a) v = (0; 1).
Ta câ:

#

v = (0;

1).
0

0

M : T# v(C) 7!(C ) ) T# v(C ) 7!(C).
0

0

0

0

Gi£ sß: M(x ; y ) 2 (C ) ) y = x

03

+ 6x

0

02

0

+ 12x + 7:

M(x; y) l £nh cıa M qua ph†p tành ti‚n theo v†c-tì
8

(4)
#

v , n¶n
0

>x = x

+ ( a)