Một số phương pháp giúp học sinh phát triển năng lực tự học thông qua việc giải toán

1. PHẦN MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng của
cải cách giáo dục . Việc học sinh tự học được coi là cốt lõi của hoạt động học tập,
ai cũng có khả năng tự học nhưng không phải bất kỳ người học nào cũng biết cách
tự học hiệu quả. Tự học có ý nghĩa và vai trò rất quan trọng trong việc nâng cao
chất lượng dạy học hiện nay, do đó việc quản lý hoạt động tự học của học sinh
cũng đang là vấn đề mà nhiều nhà giáo dục quan tâm. Tầm quan trọng của việc tự
học đã được Nghị quyết Hội nghị TW8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục và đào tạo chỉ rõ: “Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo
cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”.
Tự học nhằm thực hiện thành công việc chuyển từ phương pháp dạy học
theo lối "truyền thụ một chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn
luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất của người lao động mới.
Qua thực tế nghiên cứu cho thấy các em học sinh phổ thông cần dành nhiều
thời gian để tự học, tự nghiên cứu nhằm nâng cao kiến thức nhưng lại gặp rất nhiều
khó khăn trong việc lựa chọn, phân loại sách để học và nghiên cứu trước nguồn tài
liệu quá phong phú. Nhiều học sinh không biết phải tự học như thế nào để đạt được
hiệu quả học tập cao. Vì vậy tăng cường năng lực tự học cho học sinh là một yếu tố
quan trọng góp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục.
Bản thân tôi là một giáo viên dạy toán nên tôi chọn đề tài “Một số phương pháp
giúp học sinh phát triển năng lực tự học thông qua việc giải toán”.
1.2. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
Xây dựng và nghiên cứu phương pháp tự học là đề tài không mới, đã có
nhiều thầy cô giáo và các nhà nghiên cứu viết về đề tài này.
Điểm mới trong đề tài này là giúp học sinh có một cách nhìn tổng thể, bao
quát của việc tự học, chiếm lĩnh tri thức. Từ đó học sinh không còn có cảm giác sợ
sệt, chán nản môn toán, khơi gợi trong tình yêu học sinh đối với môn học, đồng
1

thời đem đến cho các em cách nhìn mới, cách tư duy mới đối với môn toán. Thông
qua nhiều hình thức khác nhau, học sinh rèn luyện các phương pháp học tập
chung và các phương pháp học tập trong bộ môn.
Được chuyển giao nhiệm vụ học tập rỏ ràng và phù hợp với khả năng của học sinh,
với hình thức giao nhiệm vụ sinh động, kích thích được hứng thú nhận thức của
học sinh; đảm bảo cho tất cả học sinh tiếp nhận và sẵn sàng thực hiện nhiệm vụ.
Giáo viên tìm được hướng giảng dạy tốt phù hợp cho từng đối tượng học sinh, rèn
luyện kĩ năng giải toán và có thể bao quát toàn bộ chương trình của cấp học và tìm
ra cho mình một phương pháp dạy học tốt hơn, hiệu quả hơn.
1.3. Phạm vi nghiên cứu
Với tính khả thi đã đạt được của đề tài qua quá trình áp dụng một số tiết học
của học sinh lớp 9 trong năm học, trong những năm học sắp tới tôi sẽ thực hiện phổ
biến trong môn toán các lớp thuộc trung học cơ sở.
2. NỘI DUNG
II.1.

Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu:

Việc hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu bài học, tìm ra cách giải toán có thực
hiện trong quá trình giảng dạy tuy nhiên chưa mang tính thường xuyên, chưa trau
dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập sáng tạo của tư duy khi giải toán.
Học sinh không được khuyến khích tự học, chưa được học cách học nhất là các
học sinh có học lực trung bình và yếu.
Công tác hướng dẫn và quản lí hoạt động tự học của học sinh còn những hạn
chế nhất định. Một bộ phận giáo viên chưa hướng dẫn học sinh lập thời gian biểu
cho việc tự học.
Một bộ phận học sinh chưa có kế hoạch tự học rõ ràng mà mang tính cảm hứng
hoặc khi các em có thời gian rảnh rỗi.
Việc kiểm tra vấn đề tự học chủ yếu do những người thân trong gia đình học
sinh như bố mẹ, anh chị... theo dõi, kiểm tra.

Điều kiện tự học của các em cũng chưa được nhà trường cũng như gia đình
2


chú ý quan tâm tạo điều kiện để các em tự học có hiệu quả cao.
Kết quả khảo sát chất lượng đầu năm của lớp 9 tôi đang dạy.
TSHS
31

TB trở lên
TS
Tỉ lệ %
15
48.4

Dưới trung bình
TS
Tỉ lệ %
16
51.6

II.2.

Giải pháp.

II.2.1.

Bồi dưỡng năng lực giải toán theo 4 bước.

Chi chú

II.2.1.1. Bước 1- Tìm hiểu đề toán:
Để giải được một bài toán, trước hết phải tìm hiểu đề bài và ham thích giải
bài toán đó. Để hiểu rõ đề toán, trước hết phải đọc kĩ đề bài toán sao cho thấy được
toàn bộ bài toán càng rõ ràng, càng sáng sủa càng tốt, tránh vội vã đi vào các chi
tiết. Bắt đầu đi sâu nghiên cứu đề toán; trước hết phân tích bài toán, tách ra những
yếu tố chính của bài toán, xem xét các yếu tố chính nhiều lần, ở nhiều mặt. Nếu là
bài toán chứng minh thì yếu tố chính là giả thiết và kết luận. Nếu là bài toán về tìm
tòi thì yếu tố chính là ẩn (cái cần tìm, cái chưa biết), là dự kiện (những cái đã biết)
và điều kiện (mối liên quan giữa các cái cần tìm và đã cho) của bài toán.
Có những bài toán liên quan tới một hình vẽ, thì phải vẽ hình. Có những bài
toán lại cần đưa vào các kí hiệu. Điều này cũng có ý nghĩa giúp ta hiểu bài toán.
2.2.1.1.1 Các bài toán hình học có hình vẽ:
Đối với bài toán hình học. Nói chung phải vẽ hình. Hình vẽ làm hiện lên các
yếu tố cũng như các chi tiết cùng mối liên hệ giữa các chi tiết đã cho trong đề bài.
Vì thế, thường sau khi vẽ hình đúng, đề toán được hiểu rõ ràng, cụ thể hơn.
Khi vẽ hình cần chú ý:
Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp đặc
biệt vì như thế dễ gây nên ngộ nhận. Chẳng hạn, đối với các đoạn thẳng, không
nên vẽ bằng nhau. Đối với các đường thẳng, không nên vẽ vuông góc với nhau, đối
với tam giác không nên vẽ cân hay vuông..nếu như bài toán không đòi hỏi.

3


Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn thấy những quan hệ (song song, cắt
nhau, vuông góc..) và tính chất (đường trung trực, phân giác, tam gíac cân, tam
giác vuông..) mà bài toán đã cho. Có những trường hợp còn phải khéo léo lựa chọn
trình tự vẽ các phần tử hình trong bài.
Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác nhau của các đường, các hình, trong

hình vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt, hoặc dùng màu khác
nhau.
Đối với những bài toán không phải là hình học, ta cũng có thể dùng một biểu
diễn hình học để diễn tả đề toán, chẳn hạn sơ đồ đoạn thẳng. Cảm nhận trực giác
trên biểu diễn hình học này có thể giúp ta đẽ nắm bắt được nội dung cơ bản của đề
toán như Pôlya đã nêu: “ Tìm một biểu diễn hình học rõ ràng, sáng sủa cho những
bài toán không phải là bài toán hình có thể cho phép tiến một bước rõ rệt tới cách
giải”.
2.2.1.1.2

Sử dụng kí hiệu trong giải toán:

Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp phải chọn kí hiệu và đưa kí hiệu
vào một cách thích hợp. Dùng các kí hiệu toán học có thể ghi lại các đối tượng và
mối liên quan giữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát.
Cách kí hiệu thích hợp có thể nhanh chóng giúp ta hiểu được đề toán.
“Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ được trả công rất hậu bởi thời gian tiết
kiệm được nhiều, tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn” (Pôlya).
Khi chọn các kí hiệu cần chú ý:
Một kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nước đôi.
Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng đến thứ tự và
quan hệ giữa các đaị lượng tương ứng.
Không dùng một kí hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau. Các kí hiệu cùng loại để
chỉ các đối tượng cùng loại. Chẳng hạn, với tam giác ABC: Trong đó A, B, C chỉ
các đỉnh; còn a, b, c chỉ độ dài các cạnh tương ứng đối diện với nhau qua các đỉnh
A, B, C;

4

II.2.1.2. Bước 2 - Xây dựng chương trình giải:
Tìm tòi lời giải là một bước quan trọng trong hoạt động giải toán. Nó quyết
định sự thành công hay không thành công, đi đến sự thành công nhanh hay chậm
của việc giải toán. Điều cơ bản ở bước này là biết định hướng đúng để tìm ra được
đường đi đúng. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán
cả, sau đây là những lời khuyên của những người có kinh nghiệm giải toán.
2.2.1.2.1.Sử dụng các bài toán đã giải.
Việc tìm ra con đường đi đúng trong việc giải một bài toán nhiều khi quá
thuận lợi nếu ta nhớ lại được đã từng tìm ra con đường đi đến cách giải một bài
toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải. Thực tế cho thấy người ra đề
khó mà đặt ra một bài toán hoàn toàn mới, không giống hay liên quan một chút nào
với các bài toán đã có. Mặt khác cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến bài
toán đang phải giải. Cần phải chọn lựa được một hay một số bài trong đó mà thực
sự có lợi: Hãy xét cho kĩ cái chưa biết và thường nghĩ tới một bài toán quen thuộc
cũng chưa cái biết đó hay một cái chưa biết tương tự. Nhớ lại một bài toán đã được
giải gần giống với bài toán đang xét. Cần phải lợi dụng bài toán đã giải này về
phương pháp giải, về kết quả, về kinh nghiệm.
2.2.1.2.2.Biến đổi bài toán.
Để đi đến cách giải một bài toán cần phải huy động và tổ chức những kiến
thức học từ trước. Cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt những yếu tố cần thiết
cho việc giải toán. Việc biến đổi bài toán tạo ra những liên hệ mới, những khả năng
mới gợi lại trong trí nhớ những gì liên quan đến bài toán đang xét.
Chẳng hạn, phải chứng minh a3- a chia hết cho 6 với mọi số nguyên a. Ta thử
biến đổi bài toán bằng cách phân tích biểu thức thành nhân tử:
a3 - a = a(a2 - 1) = a(a - 1)(a + 1)
Đến đây, trên kí hiệu ta nhớ lại rằng a-1, a và a+1 chính là 3 số nguyên liên
tiếp. Với ba số nguyên liên tiếp ta lại nhớ lại rằng: cứ 3 số nguyên liên tiếp có một
số chẵn, (tức là chia hết cho 2) và một số chia hết cho 3. Từ đó việc chứng minh
không còn gì khó nữa.
5

2.2.1.2.3.Phân tích bài toán thành những bài toán đơn giản hơn.
Một bài toán, đặc biệt là bài toán khó thường tạo ra từ sự kết hợp những bài
toán đơn giản hơn. Người giải toán có kinh nghiệm thường phải biết phân tích bài
toán đang xét thành những bài toán nhỏ để giải, sau đó lại kết hợp chúng để có
được lời giải của bài toán ban đầu. Ví dụ, để giải bài toán: Chứng minh p 4 - 1 chia
hết cho 240 với p là số nguyên tố lớn hơn 5. Từ nhận xét 240 = 3.5.16, với ba thừa
số này thì đôi một nguyên tố cùng nhau, ta có thể đưa bài toán về 3 bài toán đơn
giản hơn: Chứng minh p4 - 1 chia hết cho 3, Chứng minh p4 - 1 chia hết cho 5 và
Chứng minh p4 - 1 chia hết cho 16 với p là số nguyên tố lớn hơn 5.
2.2.1.2.4.Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử một số trường hợp có thể
xảy ra.
Trường hợp đặc biệt, trường hợp tổng quát. Hãy xem một số trường hợp
riêng, kết quả của nó đôi khi khá đơn giản, sẽ là những gợi ý quý báu để đi đến lời
giải bài toán.
Chẳng hạn, cho bài toán: “Qua điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC, hãy
dựng một đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau”
Trước hết ta sẽ xét một số trường hợp đặc biệt:

Nếu M là trung điểm của BC thì đường thẳng cần dựng là trung tuyến AM.
Nếu M trùng với B hoặc C thì đường thẳng phải dựng là trung tuyến BI.
Trong trường hợp tổng quát, nếu ta đưa bài toán về một trong hai trường hợp
đặc biệt trên thì xem như đã tìm ra lời giải.
Chẳng hạn đưa về trường hợp thứ hai: Giả sử BM < CM. Ta phải dựng một
tam giác có đỉnh là M và có diện tích bằng diện tích tam giác ABC bằng cách kẻ
6


BD//AM thì SMCD = SABC. Khi đó trung tuyến MI của tam giác MCD chính là đường

thẳng cần dựng.
2.2.1.2.5.Một số gợi ý khi xây dựng chương trình giải.
Xét kĩ cái chưa biết (ẩn số) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn số
hay có ẩn số tương tự.
Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở dạng khác ?
Bạn có biết bài toán nào có liên quan không ? Một định lí có thể dùng được
không ?
Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng được
không ? Có thể sử dụng kết quả của nó không ? Hay sử dụng phương pháp ? có cần
phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không ?
Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ? Một cách khác nữa? Quay về
các định nghĩa.
Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên
quan mà dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trường hợp riêng ? Một
bài toán tương tự ? Bạn có thể giải một phần bài toán được không ? Hãy giữ lại
một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó, ẩn số được xác định đến một chừng
mực nào đó, nó biến đổi như thế nào ? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố
có ích không ? Bạn có thể nghĩ ra những dự kiện khác có thể giúp bạn xác định
được ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn số, hay dữ kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao
cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau hơn.
Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện chưa ? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện chưa ? Đã để
ý hết mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa ?
2.2.1.3.Bước 3 - Thực hiện chương trình giải.
Sau khi tìm được cách giải rồi thì tiến hành thực hiện chương trình giải. Việc
tiến hành thực hiện này là công việc chủ yếu, là kết quả đánh giá hoạt động giải
toán. Khi đã tìm thấy cách giải rồi thì việc thực hiện giải không có gì khó khăn
nữa, nhưng tính chất công việc có khác nhau.

7

Khi đang tìm kiếm lời giải thì có thể tự do mò mẫm, dự đoán và không ngại
gì mà không dùng một cách lập luận tạm thời. Nhưng khi thực hiện giải thì phải
thay đổi quan niệm đó và chỉ thừa nhận những lí lẽ chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại
từng chi tiết. Một điều quan trọng trong việc trình bày lời giải là trình tự các chi
tiết, nhất là đối với các bài toán phức tạp. Phải trình bày sao cho tường minh sự liên
hệ giữa mỗi chi tiết, cũng như sự liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời
giải và trong toàn bộ lời giải ấy. Trình tự mà ta trình bày trong lời giải có thể rất
khác với trình tự mà ta đã theo để tìm kiếm lời giải ấy. Trình tự trình bày các chi
tiết trong lời giải cần phải gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa.
2.2.1.4.Bước 4 - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Đây là một bước cần thiết và bổ ích mà trên thực tế ít người giải toán thực
hiện nó. Trong khi thực hiện chương trình giải, rất có thể ta đã mắc phải thiếu sót,
lầm lẫn ở chỗ nào đó. Việc kiểm tra lại lời giải sẽ giúp chúng ta sửa chữa sai sót
đáng tiết đó. Mỗi sai lầm đều cho ta một kinh nghiệm quý báu trong giải toán. Mặc
khác việc nhìn nhận, xem xét, phân tích lại con đường đã đi cùng phương pháp tiến
hành còn có thể giúp ta tìm thấy một cách giải khác tốt hơn hoặc phát hiện ra
những sự kiện mới bổ ích giúp ta khai thác hoặc sáng tạo ra những bài toán mới.
Khai thác một bài toán sau khi giải thường được tiến hành theo các hướng: Thay
đổi một phần hoặc tất cả giả thiết hoặc kết luận. Phải kiên nhẫn và chịu khó nghiên
cứu lời giải tìm được để có thể hoàn thiện cách giải và bao giờ cũng giúp ta hiểu
cách giải sâu sắc hơn. Chính điều đó sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm giải toán,
củng cố và phát triển năng lực giải toán.
Trong thực tế giải những bài toán không quá phức tạp người ta thường ghép
bước 1 và bước 2 thành bước phân tích và tìm lời giải.
2.2.2.Một số phương pháp rèn kĩ năng suy luận trong giải toán.
2.2.2.1.Phương pháp phân tích và tổng hợp.
Theo môn tâm lí học, việc phân tích và tổng hợp những hai thao tác tư duy
cơ bản. Vì vậy, để phát triển trí tuệ cho học sinh cần coi trọng việc rèn luyện cho
học sinh năng lực phân tích và tổng hợp.

8


Phân tích là dùng trí óc để chia tách cái toàn thể ra từng phần, hoặc tách từng
thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó. Ngược lại, tổng hợp
là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc hợp lại những thuộc tính hay
khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể. Tuy là những thao tác trái ngược nhau
nhưng phân tích và tổng hợp liên hệ chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình
thống nhất.
Trong hoạt động giải toán, trước tiên phải nhìn nhận bao quát đề toán một
cách tổng hợp, xem bài toán đó thuộc loại gì, phân tích bài toán thành cái đã cho
và cái phải tìm, tìm ra mối liên hệ giữa chúng. Việc giải bài toán đòi hỏi học sinh
phải biết phân tích bài toán thành nhiều bài toán khác đơn giản hơn, chia ra các
trường hợp khác nhau, giải chúng rồi tổng hợp lại.
Để tìm kiếm lời giải cho một bài toán, ta cũng có những phương pháp suy
nghĩ theo hai hướng ngược nhau là phân tích và tổng hợp. Có thể nói phân tích là
đi từ cái chưa biết, cái phải tìm đến cái đã cho, cái đã biết. Ngược lại, phương pháp
tổng hợp là đi từ cái đã biết, cái đã cho đến cái phải tìm, cái chưa biết.
Người ta thường kết hợp cả hai phương pháp này trong giải toán: Dùng
phương pháp phân tích để tìm lời giải, sau đó trình bày lời giải theo phương pháp
tổng hợp.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x2 – x + 1 > 0, với mọi x.
Bằng phương pháp phân tích ta trình bày như sau:
1
2

1
2

x2 – x + 1 >0 ⇐ x2 - 2. x + 1 >0 ⇐ x2 -2. x +

1
3
1
3
+ >0 ⇐ (x - )2 + > 0,
4
4
2
4

điều này đúng với mọi x.
Bằng phương pháp tổng hợp ta trình bày lời giải như sau:
Ta có: (x -

1 2 3
) + >0, ∀ x
2
4
1
2

Từ đó suy ra: x2 - 2. x +

1
3
+ >0
4
4

1
2

Hay: x2 - 2. x + 1 >0
Do đó: x2 – x + 1 >0.
9


2.2.2.2.Phương pháp quy nạp.
Nếu các khẳng định trên một số trường hợp riêng ta rút ra kết luận chung cho
tất cả các trường hợp. Suy luận đó gọi là quy nạp.
Người ta chia quy nạp thành hai loại: quy nạp hoàn toàn và quy nạp không
hoàn toàn.
Quy nạp là quy nạp mà kết luận chung được khẳng định cho tất cả các
trường hợp được xét (số trường hợp là hữu hạn).
Quy nạp là quy nạp mà kết luận chung được khẳng định từ một số trường
hợp cụ thể. Do đó kết luận có thể không chính xác hoặc có thể sai lầm. Vì vậy kết
luận trong trường hợp này có thể xem là một dự đoán, một giả thuyết. Tuy nhiên,
những kết luận như thể cũng có ý nghĩa to lớn trong sự phát triển toán học qua việc
tìm cách chứng minh hay bác bỏ một giả thuyết.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a3 - a 3, với ∀ a∈ Z.
Với a = 3k (k ∈ Z); Ta có: a3 - a = 3(9k3- k) 3
Với a = 3k + 1 (k ∈ Z); Ta có: a3 - a = 3(9k3 + 9k2 + 2k) 3
Với a = 3k + 2 (k ∈ Z); Ta có: a3 - a = 3(9k3 + 18k2 + 4k + 2) 3
Kết luận: a3 -a  3, với ∀ a∈ Z.
2.2.2.3. Phương pháp tương tự.
Từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu ta rút ra kết luận rằng hai đối
tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác thì suy luận ấy gọi là tương tự.
Chẳng hạn, hai đối tượng X, Y cùng có tính chất a, và X có tính chất b thì ta
kết luận Y cũng có tính chất b.

Như vậy, cũng như quy nạp không hoàn toàn, kết luận của suy luận tương tự
chỉ là một dự đoán, giả thuyết góp phần thúc đẩy toán học phát triển. Trong giải
toán, phương pháp này giúp ta liên hệ giữa bài toán cần giải với bài toán đã giải có
thể giúp ta nhanh chóng tìm ra lời giải.
Ví dụ 3: Tương tự bài toán chia một tam giác thành hai tam giác có diện tích
bằng nhau (Kẻ đường trung tuyến). Ta giải được bài toán chia một tam giác thành
ba tam giác có diện tích bằng nhau.
10


2.2.2.4.Phương pháp đặc biệt hoá.
Đặc biệt hoá là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng sang
một tập hợp đối tượng nhỏ hơn nằm trong tập hợp ban đầu.
Đặc biệt hoá có tác dụng kiểm tra kết quả lời giải trong các trường hợp riêng.
Nói chung sử dụng phương pháp đặc biệt hoá trong giải toán giúp ta tìm thấy cách
giải hoặc phương hướng giải.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm
trong tam giác đều cho trước (M có thể nằm trên cạnh của tam giác) đến ba cạnh
của tam giác luôn không đổi.
Ta xét một số trường hợp đặc biệt:

(a)

(b)

(c)

(a) M trùng một đỉnh của tam giác, khi đó tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh
của tam giác bằng chiều cao của tam giác đều.
(b) M nằm trên một cạnh của tam giác, bằng cách kẻ đường phụ ta cũng chứng

minh được tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác bằng chiều cao của
tam giác đều.
(c) Từ những trường hợp đặc biệt trên thì việc tìm lời giải đã được định hướng
rõ rệt: Tổng khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam
giác đều (không đổi).
2.2.2.5.Phương pháp tổng quát hoá.
Tổng quát hoá là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng
sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu.
Tổng quát hoá có ý nghĩa rất lớn trong toán học cũng như mọi lĩnh vực khoa
học khác. Trong giải toán, việc tổng quát hoá có thể cho ta bài toán rộng hơn, có
tính khái quát hơn có khi lại giúp ta dễ dàng tìm được lời giải.
11


Ví dụ 5: Từ ví dụ 4 ta có thể tổng quát thành bài toán: Chứng minh rằng tổng
khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm trong đa giác giác đều cho trước (M có thể
nằm trên cạnh của đa giác) đến tất cả các cạnh của đa giác luôn không đổi. Việc tìm
lời giải cho ví dụ này tương tự ví dụ 4 bằng cách xét các trường hợp đặc biệt.
2.2.3.Một số bài toán minh họa.
f(x) - f(x-1) = x2

Bài 1.Tìm đa thức bậc ba sao cho:

a) Từ kết quả đó hãy tính tổng: T= 12 + 22 + ...+ n2
Bước 1. Phân tích, tìm cách giải:
Hoạt động giáo viên
Hoạt động của học sinh
3
a) Đa thức cần tìm có bậc 3 nên nó có f(x) = ax + bx2 + cx +d
dạng nào?

a, b, c, d

Như vậy bài toán yêu cầu ta phải tìm f(x) - f(x-1)
gì ?

=(ax3+bx2 +cx+d)-[a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)

Theo điều kiện bài toán ta có điều gì ?

+d] = x2

Để tìm đa thức f(x) ta có thể sử dụng Phương pháp hệ số bất định
phương pháp nào ?

3ax2 + (2b - 3a) x + (a-b+c) = x2

Khai triển và rút gọn vế trái ta có:

3a=1; 2b-3a=0; a-b+c=0

Từ đó ta có những đẳng thức nào ?

1
3

1
2

1

3

1 2
1
x + x +d (d tuỳ ý)
2
6

Suy ra: a= ; b= ; c=
Vậy f(x)= x3 +

1
6

b) Với đa thức tìm được và đặc biệt là Cho x lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3…n và
tính chất x2=f(x) - f(x-1), ta cho x lần thay vào T ta được:
lượt nhận các giá trị 1, 2, 3…n và thay
vào T sẽ được điều gì ?

T= 12 + 22 + ...+ n2
= f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+…+f(n)-f(n-1)
=f(n)-f(0)
1
3

= n3 +
=
Bước 2. Trình bày lời giải:
12

1 2
1
n + n
2
6

n ( n + 1)(2n + 1)
6


Hoạt động giáo viên
Hoạt động của học sinh
Cho học sinh trình a) Đa thức cần tìm có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx +d
bày lời giải.

Theo bài ra ta có:
f(x)-f(x-1)=(ax3+bx2+cx+d)-[a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d]
x2
⇔ 3ax2 + (2b - 3a) x + (a-b+c) = x2

Do đó

3a=1
⇔

2b-3a=0
a-b+c=0
1
3

1
2

b)
T=f(x)=
12 + 2x2 3++...+xn2 2 +
Vậy

a=

1
3

b=

1
2

c=

1
6

1
x +d (d tuỳ ý)
6

= f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+…+f(n)-f(n-1)
=f(n)-f(0)
1

3

= n3 +

n ( n + 1)(2n + 1)
1 2
1
n + n =
2
6
6

Bước 3. Khai thác bài toán:
Hoạt động giáo viên
Bằng phương pháp tương Bài 1.1

Hoạt động của học sinh

tự ta có thể sáng tạo các a)Tìm đa thức bậc bốn sao cho: f(x) - f(x-1) = x3
bài toán mới từ bài toán đã b)Từ kết quả đó hãy tính tổng: T= 13 + 23 + ...+ n3
cho hay không ?

Bài 1.2
a)Tìm đa thức bậc năm sao cho: f(x) - f(x-1) = x4
b)Từ kết quả đó hãy tính tổng: T= 14 + 24 + ...+ n4
Bài 1.3
a)Tìm đa thức bậc sáu sao cho: f(x) - f(x-1) = x5
b)Từ kết quả đó hãy tính tổng: T= 15 + 25 + ...+ n5

13

=


Bài toán 2. (Bài tập 7 trang 134-SGK hình học lớp 9-NXB Giáo dục
2005).
Cho ∆ABC đều cạnh a, gọi O là trung điểm của BC. Trên cạnh AB, AC theo
thứ tự lấy M, N sao cho ∠ MON = 600.
2

2.1. Chứng minh BM.CN = a ;
4

2.2. Gọi I là giao điểm của BN và OM. Chứng minh BM.IN = BI.MN;
2.3. C/ minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

A

Bước 1. Phân tích, tìm cách giải đối với câu 2.1
N
M
I
B
O
C
Ở câu 2.1 là một dạng toán chứng minh hệ thức, chính vì vậy việc hướng dẫn học

sinh tìm lời giải bài toán hết sức quan trọng nhằm phát triển tư duy hình học ở học
sinh.
Chúng ta có thể dùng phương pháp phân tích đi lên để tìm lời giải bài toán.

Với sơ đồ như sau:
a2
BM.CN =
4
⇑

a a
BM.CN = .
2 2
⇑

BM.CN = BO.CO
⇑

BM CO
=
BO CN

Bước 2. Trình bày lời giải câu 2.1
ˆ = 1800
ˆ +M
ˆ +O
Ta có ∆BMO: B
∠ BMO+ ∠ MON+ ∠ NOC = 1800
( ∠ BOC = 1800)
⇒ ∠ BMO = ∠ CON;
ˆ = 60 0 (vì ∆ABCđều)
ˆ =C
Mà B
⇒ ∆BMO đồng dạng ∆CON (g.g),

BM CO
=
Suy ra
Hay BM.CN = BO.CO
BO CN
BC a
=
Mà BO = CO =
2
2
a2
Do đó
BM.CN =
(đpcm)
4

14


⇑

∆BMO đồng dạng ∆CON
⇑

ˆ = 60 0 (GT)
ˆ =C
B
∠ BMO = ∠ CON
⇑
∠ B+ ∠ BMO+ ∠ BOM = ∠ BMO+ ∠ MON+ ∠ C (= 1800).

Phân tích, tìm lời giải câu 2.2
Cũng tương tự như vậy ở câu 2.2, giáo viên cũng giúp học sinh phát triển tư
duy lôgic, thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, đặc biệt là tư duy phân tích đi lênmột thao tác tư duy đặc trưng của môn hình học. Với sự phân tích như vậy học sinh
sẽ thấy đó chính là sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác BMN. Nghĩa là
học sinh cần chỉ ra MI là tia phân giác của ∠ BMN.
Trình bày lời giải câu 2.2
Theo câu 2.1, ∆BMO đồng dạng ∆CON
Suy ra

BM MO
BM MO
=
hay
=
CO ON
BO ON

Mà ∠ B = ∠ MON (=600) ⇒ ∆BMO đồng dạng ∆OMN (c.g.c).
Từ đó suy ra góc BMO = ∠ OMN
Do đó MO là tia phân giác của ∠ BMN
Hay MI là tia phân giác ∠ BMN.
Xét ∆BMN có MI là tia phân giác của ∠ BMN, áp dụng tính chất đường
phân giác trong tam giác ta có

MB IB
=
MN IN

hay

BM.IN = BI..MN (đpcm).

Phân tích, tìm lời giải câu 2.2
Đây là một dạng toán liên quan giữa tính bất biến (cố định) và tính thay đổi:
Ứng với mỗi điểm M, N thì ta có vị trí của đoạn thẳng MN thay đổi theo (chuyển
15


động) nhưng lại luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định (bất biến). Vậy trước khi
tìm lời giải của bài toán giáo viên cần cho học sinh chỉ ra yếu tố cố định, yếu tố nào
thay đổi.
A

M
H

N

K
I

B

O

C

Trình bày lời giải câu 2.2
Từ O kẻ OH, OK theo tứ tự vuông góc với AB và MN.

Do O, AB cố định nên OH cố định Vậy đường tròn (O;OH) là đường tròn cố
định.
Vì MO là tia phân giác của ∠ BMN nên OK = OH (t/c đường phân giác).
Suy ra: K ∈ (O;OH)

(1)

Mặt khác: OK ⊥ MN (cách dựng)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn (O;OH).
Vậy MN luôn tiếp xúc với một đường tròn (O;OH) cố định.
Bước 3. Khai thác bài toán:
Ở câu 2.1 của bài toán ta thấy tích BM.CN không đổi, nếu sử dụng BĐT
Côsi ta có thêm câu hỏi sau:
2.4. Tìm vị trí của M, N trên AB, AC để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm là BM, CN,
Ta có BM + CN ≥ 2 BM.CN
Dấu "=" xảy ra ⇔ BM = CN.
16


Theo câu 2.1, ta có: BM.CN =

a2
4

a2

Do đó BM + CN ≥ 2
= a (không đổi).
4
Vậy GTNN của BM+CN = a ⇔ BM = CN =

a
2

⇔ M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.

Tiếp tục suy nghĩ, nếu tam giác ABC là tam giác cân thì bài toán còn đúng
không ? và giả thiết như thế nào ? từ đó ta có bài toán sau:
2.5. Cho tam giác ABC cân ở A, O là trung điểm BC. Trên cạnh AB, AC theo
thứ tự lấy các điểm M, N sao cho ∠ BMO = ∠ CON.

A

Chứng minh rằng:
BC 2
a) BM.CN =
;
4
b) BN ∩ MO = { I} , Chứng minh

N
M

cá
BI.MN = IN.BM;
c

h
c) 3.
KhiKẾT
M, NLUẬN.
thay đổi trên AB, AC thì MN luôn
c C
B
O
tiếp xúc
một đường
tròn
h
3.1.với
Ý nghĩa
của đề
tài:cố định.
ứ
2.2.4. Kết quả:
n
Kết quả so sánh về các số liệu với thời điểm bắt đầu nghiên cứu và g
thực hiện
m
đối với học sinh lớp 9 trường tôi đang dạy cho đến nay.
in
h
TSHS
TB trở lên
Dưới trung bình
Chi chúh
TS

Tỉ lệ %
TS
Tỉ lệ %
o
31
27
87.1
4
12.9
à
n
Kết quả trên cho thấy việc vận dụng phương pháp tự học vào giảngto
dạy toán
à
giúp học sinh có kết quả cao trong học tập.
n
tư giải
Thông qua phương pháp tự học, học sinh đã xác định được đúng hướng
ơ
một bài toán, nhiều dạng toán và khả năng tự học ở nhà của học sinh tăng
n lên rõ
g
tự
,
17
ta
c
h
I

n
g
m
in
h
rệt. Hơn nữa, nữa đầu HKII chất lượng đạt được hơn 86% trên trung bình, đã tạo
đ
cho học sinh sự hứng thú và say mê với bộ môn Toán.
ư
ợc
3. KẾT LUẬN
g
3.1. Ý nghĩa của đề tài:
óc
B trong
Để rèn luyện kỹ năng tự học cho học sinh, giáo viên cần phải mẫu mực
=
hai bước đầu. Để phát huy tính sáng tạo, phát triển tư duy hình học củaghọc sinh
óc ba.
nhất là những học sinh khá giỏi thì giáo viên phải đặc biệt coi trọng bước thứ
M
Hơn nữa tư duy toán học thể hiện nhiều ở quá trình tìm cách giải và
O nghiên
cứu sâu lời giải thông qua các hoạt động trí tuệ chủ yếu: khái quát hoá,N.đặc biệt
hoá, tương tự,… Cũng theo như Pôlya khẳng định: "Đặc biệt hoá, khái quát hoá,
tương tự là nguồn gốc vĩ đại của phát minh".
Để có năng lực tự học, HS cần xác định đựợc nhiệm vụ học tập một cách tự
giác, chủ động; tự đặt được mục tiêu học tập để đòi hỏi sự nỗ lực phẩn đấu thực
hiện; Lập và thực hiện kế hoạch học tập nghiêm túc, nề nếp; thực hiện các cách

học; Hình thành cách ghi nhớ của bản thân; phân tích nhiệm vụ học tập để lựa chọn
được các nguồn tài liệu đọc phù hợp; các đề mục, các đoạn bài ở sách giáo khoa,
sách tham khảo, internet; lưu giữ thông tin có chọn lọc bằng ghi tóm tắt với đề
cương chi tiết, bằng bản đồ khái niệm, bảng, các từ khoá; ghi chú bài giảng của
giáo viên theo các ý chính; tra cứu tài liệu ở thư viện nhà trường theo yêu cầu của
nhiệm vụ học tập; Nhận ra và điều chỉnh những sai sót, hạn chế của bản thân khi
thực hiện các nhiệm vụ học tập thông qua lời góp ý của giáo viên, bạn bè; chủ động
tìm kiếm sự hỗ trợ cảa người khác khi gặp khó khăn trong học tập.
Để hình thành năng lực tự học cho học sinh, giáo viên cần đổi mới phương
pháp giảng dạy, không chỉ dạy kiến thức mà tập trung dạy cách học, phương pháp
học tập, phương pháp tự học. Học sinh phải được học thông qua hoạt động, vui
chơi và tăng cường học từ thực tế, từ thực tiễn, tập làm các nhà khoa học nhỏ...
Khuyến khích và khơi gợi học sinh tự tìm hiểu, tự khám phá kiến thức thông qua
các phương pháp dạy học tích cực như học theo dự án, nêu vấn đề, theo tình
huống...
18


3.2.

Kiến nghị, đề xuất đối với các cấp quản lý giáo dục.

Đối với giáo viên cần có kế hoạch hướng dẫn học sinh phương pháp tự học ngoài
những giờ lên lớp.
Tổ chuyên môn tổ chức chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học theo hướng
bồi dưỡng phát triển năng lực tự học của học sinh để rút kinh nghiệm trong giảng
dạy.
Nhà trường tổ chức hội giảng với các bài tập dạy áp dụng phương pháp dạy
học tích cực theo hướng tự học, tự nghiên cứu để học sinh tự học lẫn nhau và sớm
làm quen với phương pháp mới.

Trong quá trình nghiên cứu và trình bày, sáng kiến kinh nghiệm này không
tránh khỏi một số sơ suất hạn chế, mong hội đồng khoa học nhà trường đóng góp
thêm để sáng kiến được áp dụng vào thực tế giảng dạy.

19