các đề toán lớp 8 dành cho hoc sinh mức cao

Cỏc bi tõp tng hp v nõng cao hc kỡ 1 lp 8
Bài 7: Cho một góc nhọn xOy và một đờng thẳng d cắt Ox tại I, cắt Oy tại J; A và B là hai điểm thuộc đoạn thẳng IJ.
Tìm một điểm M trên Ox và một điểm N trên Oy sao cho tổng MA + MN + NB nhỏ nhất.
Bài 8: Chứng minh rằng giao điểm của các đờng trung trực của các đoạn thẳng MA, MB nằm trên một đờng thẳng cố
định không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên d.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A. Kẻ đờng cao AH, D và E theo thứ tự là hình đói xứng của H qua các
đơng thẳng AB, AC. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Tứ giác BCED là hình thang vuông.
c) DHE = 90
0
.
d) DE = 2AH.
(Để học tốt hình học 8)
V. Các bài toán về hình bình hành - đối xứng tâm
Bài toán 1: (Bài toán cơ bản)
Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm F,E lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho
AE = CF. Chứng minh rằng: AF = CE.
Nhận xét 1: Chúng ta dễ dàng nhận thấy tứ giác EBFD là hình bình hành. Khi đó ta có bài toán sau:
Bài 1.1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh
rằng: DE = BF.
Nhận xét 2: Và nếu gọi M, N lần lợt là giao điểm của
CE, AF với BD ta cũng nhận đợc tứ giác AMCN là hình
bình hành. Do vậy nếu gọi O là giao điểm của AC và BD,
chúng ta sẽ có O là trung điểm cuae EF và MN.
Từ đó ta có các bài toán sau:
Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh
rằng: AE = CF.
Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh
rằng các đờng thẳng AC, BD, EF đồng quy.
Bài 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt

Trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. AF và CE cắt BD lần
Lợt tại N, M. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN và BD
cắt nhau tại trung điểm chung.
Nhận xét 3: Ta cũng nhận ra rằng đã có MB = DN, do vậy nếu muốn có MB = MN = DN thì E, F trở thành
trung điểm của các cạnh AB, DC. Khi đó ta có bài toán sau:
Bài 1.5: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, DC. AF và CE cắt BD lần
lợt tại N, M. Chứng minh rằng: MB = MN = DN.(Bài 78 - SBT)
Nhận xét 4: Trở lại bài toán 1.3, nếu gọi I là giao điểm của AM và BC, K là giao điểm của CN và AD, ta nhận đ ợc
tứ giác AICK là hình bình hành. Từ đó ta có bài toán sau:

A
D
B
CE
F
A
D
B
CE
F
N
M
A
D
B
CE
F
N
M
A

D
B
C
E
F
Bài 1.6: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. AF và CE
cắt BD lần lợt tại N, M. AM cắt BC tại I, CN cắt AD tại K. Chứng minh rằng các đờng thẳng AC, BD, EF, IK đồng
qui.
(Bài 84 - SBT)
Bài toán 2(Bài toán cơ bản):
Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có
một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ
từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng BB' + DD' = CC'
(Bài 85 - SBT)
Nhận xét 1: Chúng ta cũng nhận ra rằng O
'
là trung điểm của AC
'
và B'D'. Suy ra AD
'
= B
'
C
'
. Từ đó ta có bài
toán sau:
Bài 1.1 : Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB',
CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng AD
'
= B

'
C
'
.
Nhận xét 2: Ta cũng nhận ra rằng CC'

AC. Giúp ta đến với các bài toán hay và khó sau:
Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB',
CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng BB' + CC
'
+ DD'

2AC.
Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD. Đờng thẳng xy quay quanh A và chỉ có một điểm chung A với hình bình hành.
Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Xác định vị trí của đờng thẳng xy để tổng
BB' + CC
'
+ DD' đạt giá trị lớn nhất.
Nhận xét 3: Thử vẽ trờng hợp đờng thẳng xy qua A và cắt đoạn thẳng OB ta nhận ra rằng DD' - BB' = CC
'
=
2OO
'
. Do vậy giúp ta đến với các bài toán hay và khó sau:
Bài 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng
thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành.
Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D
đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng
'
BB' = DD' CC=

.
Nhận xét 4: Di chuyển đờng thẳng xy để đờng thẳng xy
Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA
'
, BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đờng
thẳng xy, chắc hẳn chúng ta cũng nhận ra rằng ta có AA
'
+ CC' = BB' + DD'. Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 1.5: Cho hình bình hành ABCD và đờng thẳng xy Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA
'
, BB', CC', DD' là
các đờng vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đờng thẳng xy. Tìm mối liên hệ giữa AA
'
, BB', CC', DD'.
1. Chuyên đề : Đa thức
Bi 1: Tinh gi tri cua biờu thc
a. A =
4 3 2
17 17 17 20x x x x + +
tại x = 16.
b. B =
5 4 3 2
15 16 29 13x x x x x + +
tại x = 14.
c. C =
14 13 12 11 2
10 10 10 ... 10 10 10x x x x x x + + + +
tại x = 9
d. D =
15 14 13 12 2

8 8 8 ... 8 8 5x x x x x x + + +
tại x = 7.
Bi 2: Tinh gi tri cua biờu thc:
a. M =
1 1 1 650 4 4
2 . .3
315 651 105 651 315.651 105
+


2
N
O
M
A
D
B
CE
F
I
K
y
O
A
C
D
B
x
D'
C'

B'
O'
C'
O
A
C
D
B
x
y
D'
B'
O'
O
A
C
D
B
x
y
A'
B'
C'
D'
O'
b. N =
1 3 546 1 4
2 . .
547 211 547 211 547.211

Bi 3: Tinh gi tri cua biờu thc:
a. A =
( ) ( )
3 2 2 2 3 3
x x y y x y +
v i x = 2;
1y =
.
b. M.N vii
2x =
. Bit rằng :M =
2
2 3 5x x + +
; N =
2
3x x +
.
Bi 4: Tinh gi tri cua biờu thc, biờt x = y + 5:
a.
( ) ( )
2 2 2 65x x y y xy+ + +
b.
( )
2
2 75x y y x+ +
Bi 5: Tinh gi tri cua biờu thc:

( ) ( )
2
1 1x y y xy x y+

biờt x+ y = -p, xy = q
B i 6: tính giá trị của biểu thức:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a ab bc ca x + + = + +
; biờt rng 2x = a + b + c
b.
( )
2 2 2
2 4bc b c a p p a+ + =
; biết rằng a + b + c = 2p
bài 7:
a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. chứng minh rằng ab 2 chia hết cho 3.
b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. hỏi tích ab có chia hết cho 3 không?
Vì sao?
Baứi 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:

( ) ( )
M a a b a c= + +
;
( ) ( )
N b b c b a= + +
;
( ) ( )
P c c a c b= + +
Baứi 9: Cho biểu thức: M =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a x + + +

. Tính M theo a, b, c, biết rằng
1 1 1
2 2 2
x a b c= + +
.
Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x 23y ; B = 2x + 3y . chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết
cho13 tòi B chia hết cho 13. Ngợc lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.
Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y
a. Rút gọn biểu thức 7A 2B.
b. Chứng minh rằng: nếu các số nguyên x, y thoả mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho
17.
Baứi 12: Chứng minh rằng:
a.
7 9 13
81 27 9
chia hết cho 405.
b.
2 1 2
12 11
n n+ +
+
chia hết cho 133.
Baứi 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15, ,
( )
1
2
n n +
,
Chứng minh rằng tổng của hai số liên tiếp trong dãy số bao giờ cũng là một số nguyên.
2. Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên

I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
1. (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
;
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca ;
2
1 2 n
(a a ... a )+ + + =
=

+ + + + + + + + + + + +
2 2 2
1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n
a a ... a 2(a a a a ... a a a a ... a a ... a a )
;
2. (a b)
3
= a

3
3a
2
b + 3ab
2
b
3
= a
3
b
3
3ab(a b);
(a b)
4
= a
4
4a
3
b + 6a
2
b
2
4ab
3
+ b
4
;
3. a
2
b

2
= (a b)(a + b) ;
a
3
b
3
= (a b)(a
2
+ ab + b
2
) ;
a
n
b
n
= (a b)(a
n 1
+ a
n 2
b + a
n 3
b
2
+ + ab
n 2
+ b
n 1
) ;
4. a
3

+ b
3
= (a + b)(a
2
ab + b
2
)
a
5
+ b
5
= (a + b)(a
4
a
3
b + a
2
b
2
ab
3
+ b
5
) ;


3
a
2k + 1
+ b

2k + 1
= (a + b)(a
2k
a
2k 1
b + a
2k 2
b
2
+ a
2
b
2k 2
ab
2k 1
+ b
2k
) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
Tam giác Pascal
Đỉnh 1
Dòng 1 (n = 1) 1 1
Dòng 2 (n = 2) 1 2 1
Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1
Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1
Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2
ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x +
y)

n
thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Ngời ta gọi bảng trên là tam
giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì :
(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
và với n = 5 thì :
(a + b)
5
= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2
+ 10a
2

b
3
+ 10ab
4
+ b
5
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)
3
(x + y z)
3
(y + z x)
3
(z + x y)
3
.
Lời giải
A = [(x + y) + z]
3
[(x + y) z]
3
[z (x y)]
3
[z + (x y)]
3
= [(x + y)
3
+ 3(x + y)
2

z + 3(x + y)z
2
+ z
3
] [(x + y)
3
3(x + y)
2
z + 3(x + y)z
2
z
3
] [z
3
3z
2
(x y) +
3z(x y)
2
(x y)
3
] [z
3
+ 3z
2
(x y) + 3z(x y)
2
+ (x y)
3
] = 6(x + y)

2
z 6z(x y)
2
= 24xyz
Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a
2
4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
2
+ y
2
; b) x
3
+ y
3
; c) x
4
+ y
4
; d) x
5
+ y
5
Lời giải
a) x
2
+ y
2
= (x + y)
2

2xy = a
2
2b
b) x
3
+ y
3
= (x + y)
3
3xy(x + y) = a
3
3ab
c) x
4
+ y
4
= (x
2
+ y
2
)
2
2x
2
y
2
= (a
2
2b)
2

2b
2
= a
4
4a
2
b + 2b
2
d) (x
2
+ y
2
)(x
3
+ y
3
) = x
5
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
+ y
5
= (x
5

+ y
5
) + x
2
y
2
(x + y)
Hay : (a
2
2b)(a
3
3ab) = (x
5
+ y
5
) + ab
2
x
5
+ y
5
= a
5
5a
3
b + 5ab
2
Chú ý : a
6
+ b

6
= (a
2
)
3
+ (b
2
)
3
= (a
3
)
2
+ (b
3
)
2
a
7
+ b
7
= (a
3
+ b
3
)(a
4
+ b
4
) a

3
b
3
(a + b)
= (a
2
+ b
2
)(a
5
+ b
5
) a
2
b
2
(a
3
+ b
3
)
Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) a
3
+ b
3
+ c
3
3abc = (a + b + c)(a
2

+ b
2
+ c
2
ab bc ca) ;
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a) a
3
+ b
3
+ c
3
3abc = (a + b)
3
+ c
3
3abc 3a
2
b 3ab
2
= (a + b + c)[(a + b)

2
(a + b)c + c
2
] 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)
2
(a + b)c + c
2
3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca)
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= [(a + b + c)
3
a
3
] (b
3

+ c
3
)
= (b + c)[(a + b + c)
2
+ (a + b + c)a + a
2
] (b + c)(b
2
bc + c
2
)
= (b + c)(3a
2
+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Ví dụ 4. Cho x + y + z = 0.
Chứng minh rằng : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)

Lời giải
Vì x + y + z = 0 nên x + y = z (x + y)
3
= z
3
Hay x
3
+ y
3
+ 3xy(x + y) = z
3
3xyz = x
3
+ y
3
+ z
3
Do đó : 3xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (x
3
+ y
3
+ z
3
)(x

2
+ y
2
+ z
2
)
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(y
2
+ z
2
) + y
3
(z
2
+ x
2
) + z
3
(x
2
+ y
2

)


4
Mà x
2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy = z
2
2xy (vì x + y = z). Tơng tự :
y
2
+ z
2
= x
2
2yz ; z
2
+ x
2
= y
2
2zx.
Vì vậy : 3xyz(x
2
+ y
2

+ z
2
) = x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(x
2
2yz) + y
3
(y
2
2zx) + z
3
(z
3
2xy) = 2(x
5
+ y
5
+ z
5
)
2xyz(x
2
+ y

2
+ z
2
)
Suy ra : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) (đpcm)
Bài tập:
1. Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14.
Tính giá trị của biểu thức : A = a
4
+ b
4
+ c

4
.
2. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
.
3. Cho a
2
b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a 5b)
2
.
4. Chứng minh rằng nếu:
5. (x y)
2
+ (y z)
2
+ (z x)
2
= (x + y 2z)
2
+ (y + z 2x)
2

+ (z + x 2y)
2

thì x = y = z.
6. a) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
và x, y khác 0 thì
a b
x y
=
.
b) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z

2
) = (ax + by + cz)
2

và x, y, z khác 0 thì
a b c
x y z
= =
.
7. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
a) 5(x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 6(x
5
+ y
5
+ z
5
) ;
b) x

7
+ y
7
+ z
7
= 7xyz(x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
) ;
c) 10(x
7
+ y
7
+ z
7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
2

)(x
5
+ y
5
+ z
5
).
8. Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
;
b) x
4
+ y
4
+ (x + y)
4
= 2(x

2
+ xy + y
2
)
2
.
9. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a
2
+ b
2
+ (a + b)
2
= c
2
+ d
2
+ (c + d)
2
.
Chứng minh rằng : a
4
+ b
4
+ (a + b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c + d)

4
10. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1.
Tính giá trị của biểu thức : C = a
2
+ b
9
+ c
1945
.
11. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :
a
3
3a
2
+ 5a 17 = 0 và b
3
3b
2

+ 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b.
12. Cho a
3
3ab
2
= 19 và b
3
3a
2
b = 98. Hãy tính : E = a
2
+ b
2
.
13. Cho x + y = a + b và x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
3
+ y
3
; b) x
4
+ y

4
; c) x
5
+ y
5
; d) x
6
+ y
6
;
e) x
7
+ y
7
; f) x
8
+ y
8
; g) x
2008
+ y
2008
.
3. Chuyên đề:
Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2

2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
+ +
+ +
+ +
+ + +



5
II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1 :
2) Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phơng:
A
2
B
2
= (A B)(A + B)
III- Phơng pháp đổi biến
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng

Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để
xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x bởi y thì P =
2 2
( ) ( ) 0y y z y z y + =
Nh vậy P chứa thừa số x y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi
các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x y thì cũng chúa thừa số y z, z x. Vậy P phải có dạng
P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z
còn tích (x y)(y z)(z x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0
ta đợc k = -1
Vậy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
= + + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + + , với 2m = a+ b + c.
B i 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .

) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b
g G a b a b
= + + + +
= + +
= + + +
= + + + + +
= + + +
= + +
=
2 2 2 2
4 4 4
) ( ) ( ).
) ( ) ( ) ( ).
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
+ +
= + +
V-Phong pháp hệ số bất định
B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
4 3 2

4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= + +
= + + + +
= + + + + +
= + +
= +


6
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + +
+ + + + + + +

2 2 2
2 2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
+ +
+ + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x
+ + =
Bài tập:
Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x
3
3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
)
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab, thì a
2
+ b
2
=

2
S 2P-
; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP-
. Vì vậy :
A = x
3
3(
2
S 2P-
)x + 2(
3
S 3SP-
) =
3 3 2 3
(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + -
=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a + b)

2
+ 6ab]
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a
2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
3
+ 4x
2
29x + 24 ;
b) x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1 ;
c) (x
2
x + 2)
2
+ (x 2)
2
;
d) 6x
5
+ 15x

4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
e) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
f) x
8
+ x
4
+ 1;
g) x
10
+ x
5
+ 1 ;
h) x
12
+ 1 ;

i) (x + y + z)
3
x
3
y
3
z
3
;
k) (x + y + z)
5
x
5
y
5
z
5
.
I- Rỳt gn biu thỳc v tớnh gia str nu cú
Câu 1. 4
n+1
-3.4
n
= ?
Câu 2.
( )
2 8 8 5 5
6 .3 .2 6 6 1- -
=?
Câu 3. Đa thức

2
9
3 4 ?
4
x x+ + =

Câu 4. 6x
3
-9x
2
Câu 5. 3xy
2
+6xyz=?
Câu 6. 4x
2
-1 =?
Câu 7. a
4
-16=?
Câu 8. Giá trị của biểu thức x
3
-3x
2
+3x-1 tại x=10001
Câu 9. 3.4
n
-4
n+1
= ?
Câu 10.

( )
6 4 4 3 7
6 .3 .2 6 6 1- -
=?
Câu 11. Đa thức
2
6 9 ?x x+ + =

Câu 12. 6x
3
+9x
2
=?
Câu 13. 3xy
2
-9xyz=?
Câu 14. 4x
2
-9 =?
bi toỏn
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức . P=
5 4 3 2 3
(x 2x y x y ) : x- +
tại x=9876 ; y=9866.
Bài 2: Tìm m để đa thức 2
3 2
x x 2x m+ + +
chia hết cho đa thức x+1.
Bài 3: Tìm x biết: x(2x+1) + (2x+1) = 0
Bài 4: Chứng minh rằng 4x

2
+4y
2
+4xy+
2
> 0 với mọi x; y.
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức . P=x
2
(2x
3
+1)-2xy-(2x
5
-y
2
) tại x=9876 ; y=9866.
Bài 6: Tìm m để đa thức
3 2
x 3x x m- + -
chia hết cho đa thức x+2
Bài 7: Tìm x biết: x(2x+1) - (2x+1) = 0
Bài 8: Cmr 4x-x
2
- 6 < 0 với mọi x.
4. Chuyên đề
: Xác định đa thức
* Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng:
1) Định lí BêZu:


7

D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của f(x) tại x = a):
)()()()( afxqaxxf
+=
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.
áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện nh sau:
Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của f(x) không.
Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có:
)()()( xpaxxf
=
Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a.
Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc. Sau đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí.
Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng ,
thực hiện phép chia đa thức.
*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số phải có hệ
số bằng nhau.
Ví dụ:
32)(
2
+=
bxaxxP
;
pxxxQ
=
4)(
2
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có: a = 1(hệ số của lũy thừa 2)
2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)
- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)

*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)
Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có:
)()().()( xNxMxQxP
+=
(Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì :

=
x
(

là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức
( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d).
Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)
Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:
)().1(263
232
xQxaxaxxa
+=+
.
Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc:



=
=
=++=++
3
2

060263
22
a
a
aaaaa
Vi a = -2 thỡ
4104)(,4664
223
+=+=
xxxQxxxA
Vi a = 3 thỡ
69)(,6699
223
=+=
xxQxxxA
*Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK)
Bài tập áp dụng
B i 1: Cho a thc
2 3 2
( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= +
. Xác nh a sao cho A(x) chia ht cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức
4 3
( ) 2 4P x x x x=
thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:
2
2x dx+ +
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức :
bxaxx
+++

2
23
chia hết cho đa thức:
1
2
++
xx
. Hãy giải bài toán trên
bằng nhiều cách khác nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức:
kxxxxxf
+++=
234
219)(
chia hết cho đa thức:
2)(
2
=
xxxg
.
Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc:
152)(
23
++=
kkkf
chia ht cho nh thc:
3)(
+=
kkg
.

Bi 6: Vi giỏ tr no ca a v b thỡ a thc:
baxxxxxf
+++=
234
33)(
chia ht cho a thc:
43)(
2
+=
xxxg
.
Bi 7: a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b v c a thc:
cbxaxxxP
+++=
24
)(
Chia ht cho
3
)3(

x
.
b) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b a thc:
2376)(
234
+++=
xaxxxxQ
chia ht cho a thc
bxxxM
+=

2
)(
.
c) Xỏc nh a, b
axxxxP
++=
85)(
23
chia ht cho
bxxxM
++=
2
)(
.
Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc:
( hc tt i s 8)
Bi 9: Xỏc nh hng s a sao cho:
a)
axx
+
710
2
chia ht cho
32

x
.
b)
12
2

++
axx
chia cho
3

x
d 4.
c)
95
45
+
xax
chia ht cho
1

x
.


8
))()((
23
cxbxaxcbxaxx
=+
Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho:
a)
baxx
++
24
chia hết cho

1
2
+−
xx
.
b)
505
23
−++ xbxax
chia hết cho
103
2
++
xx
.
c)
1
24
++
bxax
chia hết cho
2
)1(
−
x
.
d)
4
4
+

x
chia hết cho
baxx ++
2
.
Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho
baxx
++
3
chia cho
1
+
x
thì dư 7, chia cho
3
−
x
thì dư -5.
Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho
cbxax
++
23
chia hết cho
2
+
x
, chia cho
1
2
−

x
thì dư
5
+
x
.
(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)
Bài 13: Cho đa thức:
baxxxxxP
++−+=
234
)(
và
2)(
2
−+=
xxxQ
. Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức
1)(
34
++=
bxaxxP
chia hết cho đa thức
2
)1()(
−=
xxQ
Bài 15: Cho các đa thức
237)(

234
+++−=
xaxxxxP
và
bxxxQ
+−=
2
)(
. Xác định a và b để P(x) chia hết cho
Q(x).
(23 chuyên đề toán sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm
1321
,,,,
+
n
CCCC 
ta có thể
biểu diễn P(x) dưới dạng:
)())(())(()()(
21212110 nn
CxCxCxbCxCxbCxbbxP
−−−++−−+−+=

Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị
1321
,,,,
+

n
CCCC 
vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được
các hệ số
n
bbbb ,,,,
210

.
Bµi tËp ¸p dông
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết:
9)2(,7)1(,25)0(
−===
PPP
.
Giải
Đặt
)1()(
210
−++=
xxbxbbxP
(1)
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được:
11.2.2.18259
18257
25
22
11
0
=⇔+−=−

−=⇔+=
=
bb
bb
b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
2519)()1(1825)(
2
+−=⇔−+−=
xxxPxxxxP
.
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết:
1)3(,4)2(,12)1(,10)0(
====
PPPP
Hướng dẫn: Đặt
)2)(1()1()(
3210
−−+−++=
xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho
)3(),2(),1(
−−−
xxx
đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: Đặt
)3)(2)(1()2)(1()1()(
3210
−−−+−−+−+=

xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:
)1(),12)(1()1()(
0)1(
++=−−
=−
xxxxPxP
P
a) Xác định P(x).
b) Suy ra giá trị của tổng
)(),12)(1(5.3.23.2.1
*
NnnnnS
∈+++++=

.
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

36)2(5.3.2)1()2(
6)1(3.2.1)0()1(
0)0(0)1()0(
,0)2(0)2()1(
=⇔=−
=⇔=−
=⇔=−−
=−⇔=−−−
PPP
PPP
PPP

PPP

Đặt
)2)(1()1()1()1()1()1()(
43210
−−++−++++++=
xxxxbxxxbxxbxbbxP
(2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:


9

2
1
)4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30
31.2.3.2.3.336
,31.2.6
,00
0
44
33
22
11
0
=++=
=+=
==
==
=

bb
bb
bb
bb
b
Vy, a thc cn tỡm cú dng:

)2()1(
2
1
)2)(1()1(
2
1
)1()1(3)1(3)(
2
++=+++++=
xxxxxxxxxxxxxP
(Tuyn chn bi thi HSG Toỏn THCS)
Bi 5: cho a thc
)0,,(,)(
2
++=
cbacbxaxxP
. Cho bit
0632
=++
cba
1) Tớnh a, b, c theo
)1(,
2

1
),0( PPP






.
2) Chng minh rng:
)1(,
2
1
),0( PPP






khụng th cựng õm hoc cựng dng.
Bi 6: Tỡm mt a thc bc hai, cho bit:
1985)2(
85)1(
19)0(
=
=
=
P
P

P
5. Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 1.
a) Chứng minh rằng phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản nN ;
b) Cho phân số
2
n 4
A
n 5
+
=
+
(nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A cha tối giản.
Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) d hay 1 d d = 1.
Vậy phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n 5

n 5
= - +
+
. Để A cha tối giản thì phân số
29
n 5+
phải cha tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết
cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29
n + 5 =29k (k N) hay n=29k 5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009
1 k 69 hay k{1; 2; ; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài.
Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690.
Ví dụ 2. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Lời giải

10
Ta có :
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +

1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +

a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +

c(a b c) ab
(a b). 0
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +


(a + b)(b + c)(c + a) = 0 đpcm.
Từ đó suy ra :

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1 1 1 1
a b c a ( c) c a
+ + = + + =
-

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1
a b c a ( c) c a
= =
+ + + - +

2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức :
A=








+++

++








+
+++
babababababa
11
(
1113111
))()(
5224333
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= (a + b)

2
2ab =
2
S 2P-
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
3ab(a + b) =
3
S 3SP-
.
Do đó :
1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = =

2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 a b S 2P
;
a b a b P
+ -
+ = =

3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 a b S 3SP
.
a b a b P
+ -
+ = =
Ta có : A =
3 2
3 3 4 2 5
1 S 3SP 3 S 2P 6 S
. . .
S P S P S P
- -
+ +
=
2 2 4 2 2 2 2 4
2 3 4 2 4 4 3 4 3
S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = =
Hay A =
3 3 3
1 1
.
P a b
=
Ví dụ 4 . Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)

S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - - - -
= + +
- - - - - -
.
Lời giải
Cách 1

2 2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - - - -
= Ax
2
Bx + C
với :
1 1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
;


11
a+b=0

b+c=0
c+a=0
a=-b
b=- c
c=-a

a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - - - -
;

ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
Ta có :
b a c b a c
A 0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B

(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + + -
=
- - -
2 2 2 2 2 2
b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - + -
= =
- - - - - -


(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -
.
Vậy S(x) = 1x (đpcm).
Cách 2

Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm.
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x.
Suy ra S(x) = 1 x đpcm.
Ví dụ 9. Cho
1
x 3
x
+ =
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2
2
1
A x
x
= +
; b)
3
3
1
B x
x
= +
; c)
4
4
1
C x
x

= +
; d)
5
5
1
D x
x
= +
.
Lời giải

a)
b)
c)
d) A.B=
123318.73
11
)
1
).(
1
(
5
5
3
3
2
2
==+=+++=++
DDx

x
x
x
x
x
x
x
Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho :
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
= +
+ - + -
.
Lời giải
Ta có :
2 2
2 2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - + -
+ = =
+ - + - + -


12
A=
x
2

+
2
1
)
1
(
2
2
=
+
x
x
x
=9-
2=7
B=
x
3
+
18927)
1
(3
1
)
1
(
3
3
==+=
+

x
x
x
x
x
C=
x
4
+
472492
2
2
1
)
1
(
2
4
===
+
x
x
x
Đồng nhất phân thức trên với phân thức
2
2
(x 1)(x 1)+ -
, ta đợc :

a c 0 a 1

b a 0 b 1
c b 2 c 1
ỡ ỡ
+ = =-
ù ù
ù ù
ù ù
ù ù
- = =-
ớ ớ
ù ù
ù ù
- = =
ù ù
ù ù
ợ ợ
. Vậy
2 2
2 x 1 1
(x 1)(x 1) x 1 x 1
- -
= +
+ - + -
.
6. Chuyên đề: Giải phơng trình
I/Phng trỡnh ax+b=0 (1) v phng trỡnh a v dng (1)
*Cỏch gii: (Bin i v a ht v mt v sau ú rỳt gn thnh dng ax+b=0)
TH1:a=0 nu b

0 thỡ phng trỡnh (1)vụ nghim

nu b=0 thỡ phng trỡnh (1) vụ s nghim
TH2:a

0 thỡ phng trỡnh (1) cú nghim duy nht x=
b
a

*Vớ d: a)3x+1=7x-11
b1: 3x+1-7x+11=0 (bin i v chuyn v mt v)
b2: -4x+12=0 (rỳt gn v dng ax+b=0)
b3: x=
12
3
4

=

b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)

1,2-x+0,8+1,8+2x=0

x+3,8=0

x= -3,8
*Cỏc bi tp tng t:
a)7x+21=0 b)12-6x=0
c)5x-2=0 d)-2x+14=0
e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0
g)
4 5 1

3 6 2
x =
h)
5 2
1 10
9 3
x x

+ =
i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7
l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0
n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x)
p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q)
3 1 2
6
5 3
x x
=
v)
3 13
2 5
5 5
x x

+ = +
ữ ữ

w)
3 2 3 2( 7)
5

6 4
x x +
=
s)
7 20 1,5
5( 9)
8 6
x x
x
+
=
y)
5( 1) 2 7 1 2(2 1)
5
6 4 7
x x x + +
=
II/Phng trỡnh tớch:
*Cỏch gii: Pt:A.B=0

0
0
A
B
=


=

(A=0 (1) B=0 (2) )

Ta cú pt (1),(2) l phng trỡnh bc nht cỏch gii tng t phn trờn
(Chỳ ý cỏc phng trỡnh cha cú dng A.B=0 ta a v dng A.B=0 bng cỏch phõn tớch thnh nhõn t )
*Vớ d:
a)(4x-10)(24+5x)=0


4 10 0 (1)
24 5 0 (2)
x
x
=


+ =


T (1) x=
10 5
4 2
=
(2)

x=
24
5



13
Vy phng trỡnh cú 2 nghim x=

10 5
4 2
=
hoc x=
24
5

b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)

(x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0

(x-1)(2x+11)=0

1 0 1
11
2 11 0
2
x x
x x
= =




+ = =

*Cỏc bi tp tng t:
a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2)
2( 3) 4 3
0

7 5
x x+

=
ữ

c)(3,3-11x)
7 2 2(1 3 )
0
5 3
x x+

+ =
ữ

d)
( 3 5)(2 2 1) 0x x + =
e)
(2 7)( 10 3) 0x x + =
f)
(2 3 5)(2,5 2) 0x x + =
g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)
i)(2x
2
+1)(4x-3)=(2x
2
+1)(x-12) k)(2x-1)
2
+(2-x)(2x-1)=0
l)(x+2)(3-4x)=x

2
+4x+4 m)(x-1)(x
2
+5x-2)-(x
2
-1)=0
n)x
3
+1=x(x+1) 0)x
2
+(x=2) (11x-7)=4
p)x
3
+x
2
+x+1=0 q)x
2
-3x+2=0
r)4x
2
-12x+5=0 s)-x
2
+5x-6=0
t)2x
2
+5x+3=0 y)
( )
2
2 3( 2) 0x
x

+ =

Các bài toán tổng hợp chơng I( toán 8)
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của A qua D.
a/ C/m ACE là tam giác vuông cân.
b/ Từ A hạ AH vuông góc với BE, gọi M, N lần lợt là trung điểm của AH, HE. Chứng minh. BMNC là hbh.
c/ C/m M là trực tâm của tam giác ANB
d/ C/m góc ANC bằng 90
0
Bài 2: Cho hbh ABCD có góc A bằng 60
0
, AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Từ C
kẻ đờng thẳng vuông góc với MN ở E cắt ở F. C/m
a/ MNCD là hình thoi
b/ E là trung điểm của CF
c/ MCF là tam giác đều
d/ Ba điểm F, N, D thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác đều ABC, đờng cao AD, H là trực tâm của tam giác. M là một điểm bất kì trên cạnh BC, gọi E, F
lần lợt là hình chiếu của M lên AB, AC, gọi I là trung điểm của AM. a/ Tứ giác DEIF là hình gì? vì sao?
b/ C/m MH, ID, EF đồng qui
c/ Xác định vị trí của điểm M trên BC để EF có độ dài nhỏ nhất.
Bài 4: Cho hbh ABCD. gọi I là trung điểm của CD. Đờng thẳng AI cắt BD tại M, cắt BC tại N. a/ C/m MN =
2AM
b/ Cho AB cố định, CD chuyển động trên một đờng thẳng song song với AB. Chứng tỏ rằng điểm N chuyển
đông trên một đờng thẳng cố định. (Ôn tập: 54 - 55)
Bài 5: Cho tứ giác ABCD biết số đo các góc A, B, C, D tỉ lệ thuận với 5, 8, 13, 10.
a/ Tính sđ các góc của tứ giác ABCD.
b/ Kéo dài hai cạnh AB và DC cắt nhau ở E, kéo dài hai cạnh AD và BC cắt nhau ở F. Hai tia phân giác của các góc
AED và AFB cắt nhau ở O. PHân giác của góc AFB cắt các cạnh CD và AB tại M, N. Chứng minh O là trung điểm
của MN.

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD)
a/ C/m rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD
bằng tổng hai đáy.
b/ Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt nhau tại trung điểm của cạnh
bên BC.


14
Bài 7: Cho hbh ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O. Trên đờng chéo BD lấy các điểm M và N sao cho BM = MN =
ND. Các tia AM và AN cắt BC và CD ở P và Q. C/m O là trọng tâm của tam giác APQ.
Bài 8: Cho hcn ABCD. Kẻ AH vuông góc với BD. Trung điểm của DH là I, nối AI và kẻ đờng vuông góc với AI tại I
cắt cạnh BC tại K. C/m K là trung điểm của cạnh BC.
Bài 9: Cho hcn ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O. Trên đờng chéo BD lấy điểm M sao cho BM =
4
1
BO. Đờng
thẳng vuông góc với AM tại M cắt cạnh CD tại N. Biết
AM =
2
1
AN. C/m N là trung đỉêm của cạnh CD.
Bài 10: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm E, F là các trung điểm của hai đáy AB và CD (AB<CD), biết
rằng EF =
2
1
(CD - AB)
a/ C/m hai góc C và D phụ nhau.
b/ Kéo dài hai cạnh bên của hình thang cắt nhau tại M. C/m ba điểm M, E, F thẳng hàng.
Bài 11: Cho tứ giác ABCD có AD = BC và AB < CD. Trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA lần lợt là M, N, P,
Q. Nối AN, BP, CQ, DM chúng cắt nhau tại E, F, G, H.

a/ C/m MPNQ là hình thoi
b/ Hai cạnh DA và CB kéo dài cắt nhau tại G, kẻ tia phân giác Gx của góc AGB. C/m Gx//MN
c/ Tứ giác ABCD cần thêm đ/k gì để MPNQ là hình vuông? C/m.
Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC. Kẻ đờng phân giác AD của góc A. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AB =
CN. Các điểm F, G, H lần lợt là trung điểm của BN, BC và CA. Từ G kẻ đờng thẳng song song với AD cắt AC tại E.
C/ M rằng EFGH là hình thoi.
Bài 13: Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P, N, Q lần lợt là trung
điểm của BD, BC, CA. Từ N kẻ đờng vuông góc với PQ tại O và cắt AC tại M. C/m rằng M là trung điểm của AD.
(500 - 42 - 43)
*Bài 14: CHo tam giác ABC (Góc A < 90
0
). Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông ABDE, ACFG. Gọi
M là trung điểm của DF. C/m tam giác MBC vuông cân. (YTP76)
Bài 15: Cho hình vuôngABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, AB sao cho AE = AF. Gọi H là
hình chiếu của A trên BE. Tính góc CHF.
Bài 16: CHo điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD. Tia phân giác của góc ABM cắt AD ở I. C/m rằng BI


2MI
Bài 17: Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFG có tâm theo thức tự là M, N.
Gọi I, K lần lợt là trung điểm của EG, BC.
a/ C/m KMIN là hình vuông
b/ Nếu tam giác ABC có BC côc định và đờng cao tơng ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đờng nào.
(NCVPT 98)
Bài toán 3(Bài toán cơ bản): Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm trên cạnh BC. Vẽ
DE // AC, DF // AB. Chứng minh rằng: DE = AF; AE = DF.
Nhận xét 1: Nh vậy nếu gọi O là trung điểm của AD, ta sẽ có
O là trung điểm của EF, suy ra E, O, F thẳng hàng. Từ đó ta có
bài toán sau:
Bài 1.1: Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm trên cạnh BC.

Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh rằng: E, O, F thẳng hàng.
Nhận xét 2: Hơn nữa ta còn có tam giác EBD cân tại E, tam giác FDC câc tại F nên AE + AF = AE + DE = AE
+ BE = AB. Giúp ta có các bài toán sau:
Bài 1.2: Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm trên cạnh BC. Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh rằng chu vi tứ
giác AEDF bằng 2AB.
Bài 1.3: Cho tam giác ABC cân tại A. D là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ DE // AC, DF // AB. Chứng minh
rằng chu vi tứ giác AEDF không đổi.
Nhận xét 3: Và nếu gọi G là điểm trên tia đối của tia CA sao cho CG = BE. Ta có, tứ giác DECG là hình bình
hành nên DC đi qua trung điểm của EG. Giúp ta có bài toán sau:
Bài 1.4: Cho tam giác ABC cân tại A


15
A
B
C
E
F
Huyện quế võ bninh
Nm 2007 2008
(120 phỳt)
Bi 1 (4):
1/ Phõn tớch a thc thnh nhõn t: x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4.
2/ a,b,c l 3 cch ca tam giỏc. Chng minh rng:
4a
2

b
2
> (a
2
+ b
2
c
2
)
2
Bi 2 (3):
Chng minh rng nu x + y = 1 v xy 0 thỡ :

1
3

x
y

1
3

y
x
=
3
)(2
22
+

yx
yx
Bi 3 (5):
Gii phng trỡnh:
1,
2001
24
2

x
+
2003
22
2

x
=
2005
20
2

x
+
2007
18
2

x
2, (2x 1)
3

+ (x + 2)
3
= (3x + 1)
3
Bi 4 (6):
Cho ABC vuụng ti A. V v phớa ngoi ú ABD vuụng cõn ti B v ACE vuụng cõn
ti C. Gi H l giao im ca AB v CD, K l giao im ca AC v BE. Chng minh rng:
1, AH = AK
2, AH
2
= BH.CK
Bi 5 (2):
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
A = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
đề thi học sinh giỏi thị xã BN
Năm học: 2004 2005
Thời gian 150 phút
Bài 1:
1) Rút gọn biểu thức:
A =
2
1
6 5
5
n n
x x
x x
+
+

với /x/ = 1
2) Cho x, y thỏa mãn: x
2
+ 2y
2
+ 2xy 4y + 4 = 0
Tính giá trị biểu thức:
B =
2
7 52
( )
x xy
x y
x y
+


Bài 2:
1) Giải phơng trình:
(x 2).(x + 2).(x
2
10) = 72
2) Tìm x để biểu thức:
A = ( x 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
Bài 3:
1) Tìm số tự nhiên x sao cho: x
2
+ 21 là số chính phơng ?
2) Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phơng lẻ liên tiếp thì:
(m 1).(n 1)

M
192


16