Chuyên đề môn Toán: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT ………..

Chuyên đề môn Toán
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Giáo viên thực hiện: …………..
Tổ Toán – Tin - trường THPT ………..
Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi THPT Quốc Gia
Số tiết dự kiến:10T trên lớp + 10T tự học

……

1


MỤC LỤC
A.Đặt vấn đề
B.Nội dung
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Khái niệm về sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
y = f(x) biết tiếp điểm là M0(x0 , y0).
Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
y = f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đó thỏa mãn
điều kiện K .
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đó đi qua
điểm M1(x1, y1).

Dạng 5: Một số dạng toán khác.
Dựa vào đặc điểm riêng của bài toán và các kiến thức liên quan đến tiếp tuyến để
đưa ra lời giải.
C. KẾT LUẬN
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

2


A.

ĐẶT VẤN ĐỀ
Nhằm giúp các em học sinh trang bị kiến thức để giải bài toán liên quan đến
khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong đề thi Trung học phổ thông Quốc
Gia được tốt hơn, tôi xin giới thiệu chuyên đề “Tiếp tuyến của đồ thị hàm số”.
Chuyên đề giới thiệu với các em các dạng toán về viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị hàm số và một số bài toán liên quan.
Chuyên đề được soạn theo hướng:
- Cơ sở lí thuyết
- Phân loại dạng toán.
- Phương pháp giải.
- Ví dụ minh hoạ.
- Bài tập tương tự.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong khi biên soạn, nhưng thiếu sót là điều

không thể tránh khỏi. Do đó tôi chân thành đón nhận sự đóng góp ý kiến của các bạn
đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề được tốt hơn, hoàn thiện hơn.
B.

NỘI DUNG

I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1:

M1
•

Cho đường cong (C): y = f(x). Tiếp tuyến

•
MO

với đồ thị (C) tại M0 là vị trí giới hạn của cát
tuyến M0M1 khi M1 dịch chuyển trên (C) dần tới M0.
y

Định nghĩa 2 :
M1
•

Hai đồ thị (C): y= f(x) và (C'): y= g(x)
được gọi là tiếp xúc nhau tại M 0 nếu
O

•

(C')
MO •

(C)
x

3


M0 là điểm chung của hai đồ thị và tiếp tuyến
với hai đồ thị tại M0 trùng nhau.

Từ định nghĩa trên ta có kết quả sau :
Đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi hệ sau
 f ( x ) = ax + b
có nghiệm.

 f '( x) = a
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x0 thuộc khoảng
(a; b). Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó. Khi đó
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại
M(x0; f(x0)).
Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có kết quả sau:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; f(x0)) có dạng
y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0 (trong đó y0 = f ( x0 ) )
II. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp điểm là
M0(x0 ; y0).
Cách giải:
Tính f /( x0 )
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = f /( x0 )(x - x0) + y0

Chú ý:
4


* Thuật ngữ thường dùng trong bài toán là từ “tại điểm M0(x0; y0)”, khi đó điểm
M0(x0; y0) phải thuộc đồ thị y = f(x), y0 = f(x0) và M0(x0 ; y0) chính là tiếp điểm.
* Trong một số bài toán chỉ cho biết một tọa độ của tiếp điểm ( hoành độ hoặc tung
độ ) khi đó ta cần tìm tọa độ điểm M từ phương trình y0 = f(x0)
Ví dụ 1 Cho hàm số y = − x3 + 3x2 − 2
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(-1;2)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 0.
Bài giải:
Ta có y' = −3x2 + 6x

( )

a) Do y' −1 = −9
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(-1;2) là
y = y'(−1)(x+ 1) + 2⇔ y = −9x − 7
b) Ta có y0 = y(2) = 2; y’(2) = 0
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 2 là
y = y'(2)(x− 2) + 2 ⇔ y = 2
c) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số
3
2
3
2

Ta có y(x0) = 2 ⇔ − x0 + 3x0 − 2 = −2 ⇔ − x0 + 3x0 = 0⇔ x0 = 0∨ x0 = 3

•

Với x0 = 0. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y = y'(0)(x− 0) − 2 ⇔ y = −2

•

Với x0 = 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y = y'(3)(x− 3) − 2⇔ y = −9x + 25

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = -2; y = -9x + 25.
5


x + 1 (C)
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
x− 1
giao điểm của (C) và trục Ox.
Ví dụ 2 Cho hàm số y =

Bài giải:
Tọa độ giao điểm của ( C) và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình

 x+1
 x=−1
 y=
⇔
x

−
1


 y= 0
 y= 0

Tọa độ giao điểm của (C) và trục Ox là M (-1; 0).
Ta có y =

−2 ,∀x ≠ 1⇒ y'(−1) = − 1
(x − 1)2
2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(-1;0) là
1
1
y = y'(−1)(x+ 1) + 0 ⇔ y = − x−
2
2
Bài tập tự luyện:
< 1 > Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a) Tại giao điểm của đồ thi hàm số với trục tung.
b) Tại điểm có tung độ y = - 1
< 2 > Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1

a) y=− x3 + 2x2 −3x tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y”(x) = 6

3

1
3
5
b) y=− x4 + x2 − tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
4
2
4

6


c)

y= 3x+ 1 biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
x− 3

( 7x− 11) .y'(x) = 10
Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc của
tiếp tuyến là k.
Cách giải:
( C1 ) Đưa về bài toán tìm tiếp điểm:
Gọi M0 (x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số
Từ phương trình f ’(x0) = k ta tìm được x0, tính y0 = f(x0)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = k(x - x0) + y0
( C2 ) Sử dụng điều kiện tiếp xúc của đạo hàm:
Đường thẳng (d) có hệ số góc k có dạng: y = kx + b ( b ∈R) (* ).
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) thì

ìï f ( x)=kx +b

hệ : ïí
có nghiệm . Từ đó => b
ïïî f '( x)=k
Thay b vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý: Hệ số góc k cũng có khi cho dưới dạng gián tiếp như:
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b ( => k = a )
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b ( => k = -

1
)
a

- Tiếp tuyến tạo với chiều dương của 0x 1 góc α ( => k = tanα )
- Tiếp tuyến tạo với 0x 1 góc α ( => k = tanα )
7


- Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b một góc α ( sử dụng công thức
góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc k 1 , k 2 : tanα =

k2 − k1
=> hệ số góc của
1+ k2.k1

tiếp tuyến )
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x − 2 biết
hệ số góc của tiếp tuyến là 9.
( Khối D năm 2014 )
Bài giải:
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc 9 có dạng (t) y = 9x+b.

3
 x − 3x − 2 = 9x + b (1)
- Để (t) là tiếp tuyến của (C) thì hệ  2
có nghiệm.
3 x − 3 = 9 (2)

Giải (2) được x = ±2 .
Với x = 2 thì b = -18. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x - 18.
Với x = −2 thì b = 14. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - 9x + 14.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) = − x 4 − x 2 + 6 biết
1
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x − 1.
6
( Khối D năm 2010 )
Bài giải:
Vì tiếp tuyến của cần tìm vuông góc với đường thẳng y =

1
x − 1 nên hệ số góc của
6

tiếp tuyến bằng - 6.
Phương trình đường thẳng (t) có hệ số góc - 6 có dạng y = - 6x + b.
4
2
− x − x + 6 = −6x + b (1)
Để (t) là tiếp tuyến của (C) thì hệ 
có nghiệm.
3
−4 x − 2 x = −6 (2)

8


Giải (2) được x = 1 .
Với x = 1 thì b = 10 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −6 x + 10
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

3x − 2
biết tiếp tuyến
x −1

tạo với trục hoành một góc 450.
Bài giải:
Gọi hệ số góc của tiếp tuyến là k, tiếp tuyến tạo với Ox một góc 450 nên có
k = tan 450 = 1 ⇒ k = ±1 .
Do y ' =

−1
< 0, ∀x ⇒ k = −1 .
( x − 1) 2

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
y '(x) = −1 ⇔

 x = 2 ⇒ y (2) = 4
−1
=
−
1

⇒
 x = 0 ⇒ y (0) = 2
( x − 1) 2


Phương trình tiếp tuyến tại x = 2 là y = −1( x − 2 ) + 4 hay y = − x + 6.
Phương trình tiếp tuyến tại x = 0 là y = −1( x − 0 ) + 2 hay y = − x + 2 .

x+2
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm
2x + 3
số biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB cân đỉnh O.
Ví dụ 4: Cho hàm số y =

(Khối A năm 2009)
Bài giải:
Tam giác OAB cân đỉnh O suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là ±1 .

x +2 
3
Nếu M  x0 ; 0
÷, (x0 ≠ − ) là tiếp điểm thì hệ số góc của tiếp tuyến là
2x + 3


y '(x 0 ) = −

0



2

1
. Do y '(x 0 ) < 0 ⇒ y '(x 0 ) = − 1 .
(2 x 0 + 3) 2

9


⇔−

1
= −1 ⇔
(2 x 0 + 3) 2

 2 x0 + 3 = 1
 2 x + 3 = −1 ⇔
 0

 x0 = −1
 x = −2
 0

• Với x 0 = − 1 ⇒ y(x 0 ) = 1. Phương trình tiếp tuyến có dạng y = − x ( loại ).
• Với x 0 = − 2 ⇒ y(x 0 ) = 0. Phương trình tiếp tuyến có dạng y = − x − 2 .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = − x − 2 .
Bài tập tương tự:
< 1 > Cho hàm số y = x 3 - 3x2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 5y - 3x + 4 = 0.

< 2 > Cho đồ thị (C): y = x 3 - 3x2 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng: y =
< 3 > Cho hàm số y =

1
x.
3

x −3
(C), giả sử (C) cắt Ox, Oy tại A và B. Hãy viết phương
2x − 1

trình tiếp tuyến với (C) sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng AB.
< 4 > Cho hàm số

y=

x +1
(C) . Tìm
x- 3

tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến của đồ thị

hàm số ( C ) với trục hoành , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường y = x + 2001
< 5 > Cho hàm số y = x3 - 3x2 +1 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y = 9x + 2001
x+3
biết tiếp tuyến cắt
2x + 2
Ox, Oy tại A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ.

< 6 > Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đó thỏa
mãn điều kiện K .

10


Cách giải : Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì phương trình tiếp tuyến tại
điểm M(x0; f(x0)) là: y – y0 = f ’( x0 )(x - x0).
Dựa vào điều kiện bài toán ta tìm được hoành độ tiếp điểm x 0. Từ đó suy ra tiếp
tuyến cần tìm.
x +1
( C ) , biết rằng
x+2
tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt tại A, B
sao cho tam giác IAB cân, với I là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Bài giải:

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y =

Ta có y ' =

1
> 0, ∀ x ≠ − 2.
( x + 2) 2


x +1 
Nếu M  x0 ; 0 ÷ , (x0 ≠ −2) là tiếp điểm thì phương trình tiếp tuyến cần tìm có

x +2


dạng: y =

0



x +1
1
x − x0 ) + 0
(d )
2 (
x
+
2
x
+
2
0
( 0 )

Tiệm cận đứng của ( C ) là đường thẳng x = -2.
Tiệm cận ngang của ( C ) là đường thẳng y = 1.
Giao hai đường tiệm cận là I( - 2; 1 ).
Tọa độ giao của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng của (C) là nghiệm của hệ

x0 + 1 
1


x
y
=
x
−
x
+
(
)
y= 0

0
x 
2


x0 + 2 ⇒ 
x0 + 2 ⇒ A  − 2; 0 ÷
( x0 + 2)

x0 + 2 


 x = −2
x
=
−
2



Tọa độ giao của tiếp tuyến (d) và tiệm cận ngang của (C) là nghiệm của hệ

11


x0 + 1
1

y
=
x
−
x
+
(
)
0
2

x0 + 2 ⇒  y = 1
⇒ B ( 2 x0 + 2;1)
( x0 + 2)

 x = 2 x0 + 2

y =1
Do tam giác IAB cân tại định I nên có IA = IB
2

 x

⇔  0 − 1÷ =
 x0 + 2 

( 2 x0 + 4 )

2

⇔

4

( x0 + 2 )

2

 x0 + 2 = 1
2
= 4 ( x0 + 2 ) ⇔ 
⇔
x
+
2
=
−
1
 0

 x0 = − 1


 x0 = − 3

Với x0 = - 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = x + 1
Với x0 = - 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = x + 5.
Ví dụ 2: Cho hàm số y =

1− x
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ
2x + 1

3
 1 1
thị (C) biết tiếp tuyến cách điểm I  − ; − ÷ một khoảng là
.
10
 2 2

Bài giải:
Ta có y ' = −

3
1
,∀x ≠ − .
2
(2 x + 1)
2


1 − x0 

1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M  x0 ;
÷, (x0 ≠ − ) có dạng:
2x + 1


y=−

3

( x − x0 ) +

0

2



1 − x0
2 x0 + 1

( 2 x0 + 1)
2
⇔ 3x + ( 2 x0 + 1) y + 2 x02 − 4 x0 − 1 = 0 (∆ )
2

Khoảng cách từ I đến (∆ ) là d ( I , ∆ ) =

3 2 x0 + 1
9 + ( 2 x0 + 1)

4

. Ta có

12


d ( I,∆) =

3 2 x0 + 1
3
3
⇔
=
4
10
10
9 + ( 2 x0 + 1)

⇔ ( 2 x0 + 1) − 10 ( 2 x0 + 1) + 9 = 0
4

2

 x0 = 0
 ( 2 x0 + 1) = 1  x = − 1
0
⇔
⇔

2
 ( 2 x + 1) = 9  x0 = 1
 0

 x0 = − 2
2

Với x0 = 0. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − 3x + 1.
Với x0 = -1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − 3x − 5.

1

1
3

Với x0 = 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − x + .
3

1

5
3

Với x0 = -2. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − x − .
3

Ví dụ 3:

2x −1
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)

x −1
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B sao cho OA = 4OB.
Bài giải:

Cho hàm số y =

Ta có y ' = −

1
> 0, ∀ x ≠ 1.
( x − 1)2


2 x −1 
Nếu M  x0 ; 0 ÷, (x0 ≠ 1) là tiếp điểm thì phương trình tiếp tuyến cần tìm có
x0 − 1 


dạng:

y=−

2x − 1
1
x − x0 ) + 0
(d )
2 (
x
−
1

x
−
1
0
( 0 )

2
Tọa độ giao của tiếp tuyến ( d) với Ox là A ( 2 x0 − 2 x0 + 1;0 )

13




Tọa độ giao của tiếp tuyến ( d) với Oy là B  0;


2 x0 2 − 2 x0 + 1 
÷
2
x
−
1
( 0 ) ÷

OA = 4OB
⇔

( 2x

0

2

− 2 x0 + 1) = 4
2

( 2x

2

0

− 2 x0 + 1)

( x0 − 1)

4

2

 x0 − 1 = 2
⇔
⇔
x
−
1
=
−
2

 0

 x0 = 3

 x0 = − 1

1

5
4

Với x0 = - 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = − x + .
4

1

Với x0 = 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = − x +
4

13
.
4

Nhận xét:
• Bài toán trên còn có thể cho dưới dạng tìm tọa độ điểm M trên (C) sao
cho tiếp tuyến tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho OA = 4OB
Với câu hỏi trên sau khi tìm được x0 thay vào tọa độ M sẽ ra kết quả bài toán.
• Cách làm trên còn có thể áp dụng cho các bài toán tìm tọa độ điểm M
trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M thỏa mãn điều kiện cho
trước.

Ví dụ 4: Cho hàm số y =

2x
. Tìm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị (C)
x +1

tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là

1
.
4

(Khối D năm 2007)
Bài giải:
2

Ta có y ' = ( x + 1)2 , ∀x ≠ −1.

14


2 x0

Giả sử M(x0; x + 1) ∈ (C ), x0 ≠ −1
0
Tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng
y=

2

( x0 + 1)

2

( x − x0 ) +

2
2 x0
. Khi đó A(− x0 2 ;0); B  0; 2 x0 ÷
2
x0 + 1
 ( x0 + 1) 

Từ giả thiết tam giác OAB có diện tích là

1
ta có
4

1

 2 x0 2 + x0 + 1 = 0
x0 = −
2 x0 2
1
1
2

− x0
= ⇔ 2

⇔
2

2
( x0 + 1) 2 4
 2 x0 − x0 − 1 = 0
 x0 = 1


Có hai điểm phải tìm là M  − ; −2 ÷ và M(1;1).
 2

1

Ví dụ 5: Cho hàm số y =

2x − 3
có đồ thị (C). Tìm các điểm M trên (C) để TT với
x−2

(C) tại M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại A, B sao cho tròn
ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, ở đó I là giao của hai tiệm cận.
Bài giải:
1

Ta có y ' = − ( x − 2)2 , ∀x ≠ 2.
2x − 3

0
Giả sử M ( x0 ; x − 2 ) ∈ (C ), x0 ≠ 2

0

Tiếp tuyến với (C) tại M có dạng
y=−

1

( x0 − 2 )

2

( x − x0 ) +

2 x0 − 3
2x − 3
. Khi đó A(2; 0
); B(2 x0 − 2; 2)
x0 − 2
x0 − 2

Nhận thấy M là trung điểm của AB, giao của hai tiệm cận là I(2; 2).
Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích là
15


S = π.IM 2 = π[( x0 − 2) 2 + (

2 x0 − 3
1
− 2) 2 ] = π[( x0 − 2) 2 +

] ≥ 2π
x0 − 2
( x0 − 2) 2
1

2
Đẳng thức xảy ra khi ( x0 − 2) = ( x − 2) 2 ⇔ x0 = 1 ∨ x0 = 3
0

Có hai điểm phải tìm là M(1;1) và M(3;3).
Bài tập tương tự:
< 1 > Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C). Tìm trên (C) điểm N sao cho tiếp tuyến tại
x +1

N và đường thẳng đi qua N và giao điểm của hai tiệm cận có tích hệ số góc bằng -9.
< 2 > Cho hàm số y =

2− x
có đồ thị (C). Tìm trên (C) điểm M sao cho tiếp tuyến
x −1

tại M và đường thẳng đi qua M và giao điểm của hai tiệm cận vuông góc với nhau.
1
< 3 > Cho hàm số y = x3 − x + 1. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thi hãy tìm tiếp
3
tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
< 4 > Tìm phương trình của tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm

số y = ( x 2 − 1)2 tại đúng hai điểm phân biệt.
( Đề thi HSG lớp 12 năm học 2011- 2012 – Vĩnh Phúc)
< 5 > Cho hàm số y =

2x −1
có đồ thị (C) . Tìm các điểm M trên (C) để TT với
x −1

(C) tại M vuông góc với đường thẳng IM với I là giao điểm của hai đường tiệm cận.
< 6 > Cho hàm số y =

3 − 2x
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết
x +1

tiếp tuyến đó cách đều hai điểm A(-7;6), B(-3;10).
< 8 > Cho hàm số y =

2x +1
có đồ thị (C). Tìm các điểm M trên (C) sao cho khoảng
x −1

cách từ I(1;2) tới tiếp tuyến của (C) tại M đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến đó đi qua
điểm M1(x1; y1).

16


Chú ý: * Nhận dạng bài toán: Thuật ngữ thường dùng trong bài toán này là từ " đi

qua...'', " kẻ từ...''( khác với bài toán 1 dùng từ "tại ... '' )
* Điểm M1(x1; y1) có thể thuộc hoặc không thuộc đồ thị y = f(x).
Cách giải: Có 2 cách giải như bài toán 2
Cách 1: Đưa về bài toán 1 tìm tiếp điểm: Gọi M0 (x0, y0) là tiếp điểm thì :
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y - f(x0) = f /(x0)(x - x0)

(D)

- Vì (D) đi qua điểm M1(x1 ; y1) nên toạ độ M1 thoả mãn phương trình của (D):
y1 - f(x0) = f ’(x0)(x1 - x0) ( *) Đây là phương trình ẩn x0
- Giải ( *) tìm được x0
- Thay vào (1) được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2 : Sử dụng điều kiện tiếp xúc bằng đạo hàm:
- Đường thẳng (T) đi qua điểm M 1(x1 ; y1) nên phương trình tiếp tuyến có
dạng: y = k(x - x1) + y1
- Đường thẳng (T) là tiếp tuyến của đồ thị y = f(x)

⇔ hệ

f(x) = k(x-x1) + y1
có nghiệm.

 f '( x) = k

Từ việc đặt điều kiện hệ có nghiệm => k.
- Thay vào (* ) ta có phương trình tiếp tuyến phải tìm.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = (2 - x 2)2 biết
rằng tiếp tuyến đó đi qua A(0; 4).
Lời giải:

Cách 1: Ta có: y = (2 - x2)2 = x4 - 4x2 + 4
y’ = 4x3 - 8x
Gọi Mo (x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến và (C) thì: y0 = x04 - 4 x02 + 4
và tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: y = y’(x0)(x - x0) + y0
⇔ y = (4 x03 - 8 x0)(x - x0) + x04 - 4 x02 + 4 (*).
17


Do tiếp tuyến lại đi qua A(0; 4) ⇒ 4 = - 3 x0 4 + 4 x02 + 4
⇔ x02(4 - 3 x02) = 0

 x0 = 0
2
⇔
x0 = ±
3

Khi x0 = 0 thay vào (*) có phương trình tiếp tuyến thứ nhất là: ( t1 ): y = 4
Khi x0 =

2
−16 3
thay vào (*) có phương trình tiếp tuyến thứ hai là: ( t2 ): y =
x+4
3
2

Khi x0 =

−2

16 3
x+4
thay vào (*) có phương trình tiếp tuyến thứ ba là:( t3 ): y =
3
2

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) = x 3 − x − 6 biết
tiếp tuyến qua điểm M(2;0).
Lời giải:
Đường thẳng qua M(2;0) có dạng : (t) y = k ( x − 2)
 x3 − x − 6 = k (x-2)
(t) là TT của (C ) nên hệ  2
có nghiệm.
3 x − 1 = k
Giải hệ trên ta tìm được k = 11. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 11x - 22.
Bài tập tương tự:
1 4 1 2
x − x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
2
2
thị (C) biết tiếp tuyến đi qua O(0; ).
1
3
< 2 >. Cho đồ thị (C): y = f ( x ) = x 4 − 3x 2 + . Viết phương trình tiếp của đồ thị
2
2
< 1 > Cho đồ thị (C): y = f ( x ) =

3
2

(C) biết tuyến đi qua A(0; ).
Dạng 5: Một số dạng toán khác.
Dựa vào đặc điểm riêng của bài toán và các kiến thức liên quan đến tiếp tuyến để
đưa ra lời giải.

18


Ví dụ 1: Cho hàm số y =

1− x
có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi m đường
2x −1

thẳng y = x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B. Gọi k 1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp
tuyến tại A và B. Tìm m để k1 + k2 lớn nhất.
(Khối A 2011)

Bài gi¶i:

Hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = x + m là nghiệm của phương
1− x
= x+m
2x −1

trình

⇔ 1 − x = ( x + m)(2 x − 1) ( do x =

1
không là nghiệm)
2

⇔ 2 x 2 + 2mx − m − 1 = 0(*)
Phương trình (*) có ∆ = m2 + 2m + 2 > 0, ∀m suy ra đường thẳng y = x + m luôn cắt
đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt.
Gọi x1, x2 là nghiệm của (*), theo viét ta có x1 + x2 = −m; x1.x2 = −m − 1 nên
k1 + k2 = −

1
1
4(x1 + x 2 ) 2 − 8 x1x 2 − 4(x1 + x 2 ) + 2
−
=
−
(2 x1 − 1) 2 (2 x 2 − 1) 2
(4 x1x 2 − 2(x1 + x 2 ) + 1) 2

= −4m 2 − 8m − 6 = −4(m + 1) 2 − 2 ≤ −2

Vậy k1 + k2 lớn nhất là – 2 khi và chỉ khi m = - 1.
Ví dụ 2: Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (C) của hàm số
y=

x +1
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song
x −1

với nhau.

Bài gi¶i:
Đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt A, B khi
x+ 1
= m+ 2x có 2 nghiệm phân biệt.
phương trình
x− 1
⇔ 2x2 + (m− 3)x − m− 1= 0 có 2 nghiêm phân biệt khác 1.
19


−2 ≠ 0
⇔
⇔ ∀m
2
∆
=
m
+
2
m
+
17
>
0


Vậy ∀mthì đt y = m + 2x luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm A(x1; 2x1 +m);
B(x2; 2x2 + m)
2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là y'(x1) = − (x − 1)2

1

2
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là y'(x2 ) = − (x − 1)2
2
2
2
Để tiếp tuyến tại A, và B song song thì − (x − 1)2 = − (x − 1)2
1
2
⇔ (x1 − 1)2 = (x2 − 1)2 ⇔ x1 + x2 = 0 (do x1 ≠ x2 )
⇔ m= 3
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3- 3x + 2 có đồ thị là (C). Tìm trên đường thẳng y = 4 các
điểm sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).
Bài gi¶i:
Gọi M(a ; 4) là điểm bất kì trên thẳng y = 4 ⇒ Phương trình đường thẳng (d)
qua M có hệ số góc k là: y = k(x – a) + 4.
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ:
 x 3 − 3 x + 2 = k ( x − a ) + 4 (1)
 2
có nghiệm
3 x − 3 = k (2)
 x 3 − 3 x − 2 = (3 x 2 − 3)( x − a ) (1')
⇔ 2
có ngiệm
3x − 3 = k (2 ')

Xét phương trình ( 1’): x3 − 3x − 2 = (3x 2 − 3)( x − a)
⇔ ( x − 1) ( x + 2) = (3x 2 − 3)( x − a )
2

⇔ ( x − 1)  −2 x 2 + ( 3a − 2 ) x + 3a − 2  = 0 (3')

Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (C) thì hệ (I) có 3 nghiệm phân
biệt ⇔ Phương trình (1’) có 3 nghiệm phân biệt.
20


⇔ Phương trình −2 x 2 + ( 3a − 2 ) x + 3a − 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
2

∆ = ( 3a − 2 ) 2 + 8 ( 3a − 2 ) > 0
 a < −2 ∨ a >
⇔
⇔
3
6a − 6 ≠ 0
 a ≠ 1
 a < −2
Vậy  2
là giá trị cần tìm.
a > ;a ≠1
3


Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + mx +1 (Cm ) . Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng
y=1 tại 3 điểm C(0;1), D, E. Tìm m để tiếp tuyến tại D, E vuông góc với nhau.
Bài gi¶i:
Để đường thẳng y = 1 cắt (Cm) tại 3 điểm khác nhau thì phương trình
x 3 + 3x 2 + mx +1 = 1có 3 nghiệm phân biệt.

Û x( x 2 + 3x + m) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
ïì 9- 4m > 0
Û
Û x + 3x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 Û ïí
ïïî m ¹ 0
2

ìï 9
ïï > m
( *) .
í4
ïï
ïî m ¹ 0

ìïï x1 + x2 =- 3
x
,
x
Gọi 1 2 là hoành độ của D, E khi đó ta có íï
ïî x1.x2 = m

Tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi
y '( x1). y '( x2 ) =- 1Û ( 3x12 + 6x1) ( 3x22 + 6x2 + m) =- 1
2
Û x12.x22 - m é
+ m2 =- 1
(ëx1 + x2 ) -2x1x2 ù
ê
ú
û

Û 4m2 - 9m +1= 0

Û m=

9± 65
8

Kết hợp điều kiện (*) ta có giá trị của m cần tìm là m =

9± 65
.
8

21


Ví dụ 5: Cho hàm số y =

2x +1
(C)
x- 1

a) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều lập với hai tiệm cận một
tam giác có diện tích không đổi.
b) Tìm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận một tam
giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài gi¶i:
- 3

Ta có y ' = ( x - 1)2 , " x ¹ 1

Tiệm cận đứng của (C): x =1
Tiệm cận ngang của (C): y = 2 ; Giao điểm I(1; 2) của hai tiệm cận
- 3

2a +1

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(a; y(a)) : y = (a - 1)2 ( x - a ) + a - 1 ( a ¹ 1)
Giao của tiếp tuyến với tiệm cận là A(1;

6
2a + 4
; IB = 2 a - 1 ;
); B (2a - 1; 2) ; IA =
a- 1
a- 1

1

1 6

a) Diện tích của tam giác IAB là S IAB = 2 IA.IB = 2 a - 1 2 a - 1 = 6 (đpcm).
b) Ta có AB 2 = IB 2 + IA2 ³ 2IA.IB = 12 Þ AB ³ 2 3
IB + IA ³ 4 3

Chu vi tam giác IAB là CIAB = AB + IA + IB ³ 2 3+ 4 3 = 6 3
Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất khi IA = IB hay a = 1± 3 , Vậy có hai điểm
M (1-

3; 2-

3); M (1+ 3; 2+ 3).

22


Ví dụ 6: Cho hàm số: y = x3 + ( 1 − 2m ) x 2 − mx + m . Tìm m để f(x) tiếp xúc với trục
hoành.
Bài giải:
Để f(x) tiếp xúc với trục hoành thì hệ
 x3 + ( 1 − 2m ) x 2 − mx + m = 0

có nghiệm
 3
2
 x + ( 1 − 2m ) x − mx + m ' = 0

(

)

(

)

ìï ( x + 1) x2 - 2mx + m = 0
ïï
     ïí
có nghiệm
/
ïï é

2
ù
   
x
+
1
x
2
mx
+
m
=
0
         
)
ïï ê(
ú
û
î ë

(

)

ìï ( x + 1) ( x 2 - 2mx + m) = 0
Û ïí 2
ïï x - 2mx + m + ( x + 1) ( 2x - 2m) = 0   có nghiệm
ïî
éìï x + 1 = 0
êïí

êï x 2 - 2mx + m = 0
êïî
Û ê 2
Û
êìï x - 2mx + m = 0
êïí
êï ( x +1) ( 2x - 2m) = 0
ê
ëïî

éìï x =- 1
êïï
êí
êïï m =- 1
êïî
3
ê
êìï 2
êï x - 2mx + m = 0
êíï
ê
ëïî x = - 1Ú x = m

é
1
êx = - 1; m =ê
3
ê
Û êx = m = 0
ê

êx = m =1
ê
ê
ë

Vậy m = 0; m = 1; m = −

1
thì f(x) tiếp xúc với Ox.
3

Ví dụ 7: Tìm m để đường thẳng ∆ : y = −49 x + 98 tiếp xúc với đồ thị (Cm):
y = x3 − ( m + 1) x 2 − ( 2m 2 − 3m + 2 ) x + 2m(2m − 1).
23


Bài giải:
Đường thẳng ∆ : y = −49 x + 98 tiếp xúc với đồ thị (Cm) khi hệ
 x3 − ( m + 1) x 2 − ( 2m 2 − 3m + 2 ) x + 2m ( 2m − 1) = −49 x + 98 ( 1)

(I)  3
có nghiệm
2
2
  x − ( m + 1) x − ( 2m − 3m + 2 ) x + 2m ( 2m − 1)  ' = ( −49 x + 98 ) ' ( 2 )

Nhận xét nếu cứ lấy đạo hàm ở (2) bình thường thì việc đặt điều kiện để hệ (I) có
nghiệm là rất khó khăn.Ta thấy:

( 1) ⇔ ( x − 2 )  x 2 − ( m −1) x − m ( 2m −1) x  = −49 ( x − 2 )

⇔ ( x − 2 )  x 2 − ( m −1) x − m ( 2m −1) x + 49 = 0

Chính vì vậy ta có:

[

]

( x − 2) x 2 − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49 = 0
Hệ (I) ⇔ 
/
 ( x − 2) x 2 − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49 = 0

(

[

[

])

]

( x − 2 ) x 2 − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49 = 0
⇔ 2
[ x − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49] + ( x − 2) [ 2 x − ( m − 1) ] = 0

⇔

  x − 2 = 0

 2
  x − ( m − 1) x − m ( 2m −1) + 49 = 0

  x 2 − ( m − 1) x − m ( 2m −1) + 49 = 0

 ( x − 2 )  2 x − ( m − 1)  = 0


( A)
( B)

Gọi g(x) = x 2 − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49 thì:
Hệ (I) có nghiệm ⇔ hệ (A) có nghiệm hoặc hệ( B) có nghiệm
⇔ g(x) có nghiệm x = 2 hoặc g(x) có nghiệm x=

m −1
2

24


 g ( 2) = 0
m = 5; m = − 11
2m 2 + m − 55 = 0
2

⇔  m − 1
⇔ 2
⇔
g

 = 0 3m − 2m − 65 = 0 m = 5; m = − 13
3

  2 
Vậy m = 5; m = − 11 2 ; m = − 13 3 là các gá trị cần tìm
Bài tập tương tự
< 1 > Cho hàm số y = x3 − mx − m + 1,(Cm). Tìm m sao cho tiếp tuyến tại giao điểm
của (Cm)với Oy chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích là 8.
< 2 > Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x 2 + x + 2m + 1, m là số thực,có đồ thị (C). Tìm m để
đường thẳng (d): y = x + m + 1 cắt đồ thị ( C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho
tổng hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng 12.
( Đề thi HSG lớp 12 Vĩnh Phúc năm học 2012-2013)
< 3 > Cho hàm y = x3 − 3 x + 1 có đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = mx + m + 3 . Tìm m
để d cắt (C) tại M(-1;3), N, P sao cho tiếp tuyến với (C) tại N, P vuông góc.
< 4 > Cho hàm số y =

3x + 1
có đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = (n + 1) x + n − 2 . Tìm
x −1

n để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho
a) Diện tích ∆ OMN là

3
2

b) MN nhỏ nhất.
c) MN = 10.
< 5 > Cho hàm số y = x3 - 3x (C). Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó
kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C).

< 6 > Cho hàm số y = - x3+ 3x + 2 (C). Tìm trên 0x những điểm mà từ đó kẻ được 3
tiếp tuyến tới (C).
< 7 > Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 - 5 (C). CMR từ A(1; - 4) có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
tới (C).
< 8 > Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x - 1 (C). Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng
x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới (C)
25