SKKN một số KINH NGHIỆM QUẢN lý học SINH lớp CHỦ NHIỆM ở TTGDNN GDTX THIỆU hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRUNG TÂM GDNN – GDTX THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

MỘT SỐ KINH NGHIỆM QUẢN LÝ HỌC SINH LỚP
CHỦ NHIỆM Ở TTGDNN- GDTX THIỆU HÓA

Người thực hiện: Bùi Thị Duyên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn : Giáo Dục Công Dân

THANH HOÁ NĂM 2019


MỤC LỤC
Trang
1: Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
………………………………………………………..1
1.2. Mục đích nghiên cứu
…………………………………………………….2
1.3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………........2
1.4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………...2
1.5. Những điểm mới của SKKN …………………………………………….2
2: Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm ……………………………….2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….3

2.3. Giải pháp thực hiện ……………………………………………………...4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến …………………………………………………19
3. Kết luận, kiến nghị ……………………………………………………….19
3.1. Kết luận ………………………………………………………………...20
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………..20


1: Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Hiện nay, trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng
dạy cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển.
Cụ thể là phương pháp kiểm tra đánh giá bằng phương tiện trắc nghiệm khách
quan. Trắc nghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong
kiểm tra đánh giá chất lượng dạy và học trong nhà trường THPT. Điểm đáng
lưu ý là nội dung kiến thức kiểm tra tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải
họckĩ, nắm vững toàn bộ kiến thức của chương trình, tránh học tủ, học lệch và
để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển học sinh không những
phải nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có phản ứng nhanh đối
với các dạng toán, đặc biệt các dạng toán mang tính chất khảo sát mà các em
thường gặp.
Đối với môn vật lý cũng là môn thi trắc nghiệm. Trong thi trung học
phổ thông quốc gia : số lượng câu tương đối lớn, lượng kiến thức giàn chải
cả chương trình, số câu tính toán chiếm hơn 2/3 tổng số câu. Mà thời gian làm
bài tương đối ít, mỗi câu chỉ dành thời gian 1,5 phút. Vì vậy đòi hỏi học sinh
phải nắm vững các phương pháp giải toán cho từng dạng, biết được phương
pháp giải nhanh cho từng dạng bài tập đặc biệt .
Trong các bài toán về tổng hợp hai dao động điều hòa với những bài
toán đơn giản học sinh có thể nhớ công thức để áp dụng. Bên cạnh đó có một
số bài chỉ “biến tướng” đi một chút như: khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất
giữa hai vật dao động điều hòa tìm vận tốc, li độ dao động và thời điểm khi

hai vật gặp nhau lần thứ N, bài toán về hai dao động khác tần số, bài toán cho
hệ thức liên hệ như x1 + x 2 = x 3 ... Ngoài ra còn mở rộng các bài toán liên
v1

v2

v3

quan về điện tích và cường độ dòng điện trong mạch dao động LC , các bài
toán về giao thoa sóng, sóng dừng, bài toán điện xoay chiều. Với loại bài toán
1


khác nhau có phương pháp giải riêng do đó tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “
Hướng dẫn giải các bài tập tổng hợp hai dao động điều hòa cùng
phương,cùng tần số”. Trong sáng kiến của mình tôi cố gắng phân loại từ dễ
đến khó, từ dạng cùng tần số tới dạng không cùng tần số và đưa ra phương
pháp giải cho từng loại bài toán cụ thể và mỗi loại có ví dụ và bài tập vận
dụng để học sinh có thể hiểu rõ phương pháp và vận dụng để có kĩ năng, kĩ
xão giải nhanh mỗi dạng.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp các em học sinh có thể nắm chắc kiến thức về tổng hợp hai dao động
điều hòa cùng phương, cùng tần số,giải thông thạo về tổng hợp hai dao động
điều hòa và có những kỹ năng tốt trong việc làm bài tập trắc nghiệm về tổng
hợp hai dao động điều hòa.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Tổng hợp cơ sở lí thuyết và các dạng bài tập về hợp các dao động điều hòa
cùng phương, cùng tần số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Để hoàn thành đề tài này tôi chọn những phương pháp sau:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Đọc các sách giáo khoa phổ thông, các
sách tham khảo và internet.
- Phương pháp thống kê: Chọn các hiện tượng có trong chương trình phổ
thông và gần gũi với đời sống hàng ngày.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy
và thực tế đời sống.
1.5. Những điểm mới của SKKN
Giáo viên nêu vấn đề, chia nhóm học sinh nghiên cứu, thảo luận cử đại
diện học sinh trình bày kết quả. Giáo viên kết luận học sinh ghi kết quả.

2: Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2


2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
1.1. Loại 1: Các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Đối với bài toán này chia làm rất nhiều dạng từ cơ bản đến nâng cao tôi chia
làm các dạng sau:
Dạng 1: Tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số.
Đây là bài toán đơn giản nhất trong loại bài toán về dao động điều hòa cùng
phương cùng tần số, học sinh có thể sử dụng máy tính để tổng hợp hai, ba,
bốn dao động cùng phương cùng tần số. Và dựa vào dao động tổng hợp có
tính toán tiếp như cơ năng của vật dao động, vận tốc, lực hồi phục ...
Dạng 2: Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp
Đây là bài toán đòi hỏi sự vận dụng cao hơn loại một, hay nói cách khác đó là
một bài toán ngược bài toán trên. Trong dạng này ngoài bài đơn thuần là cho
dao động tổng hợp và một dao động thành phần tìm dao động còn lại, còn có
các bài toán tìm dao động thành phần khi có giới hạn về pha dao động thành
phần, hoặc bài toán cho năng lượng dao động tổng hợp tìm dao động thành
phần ...

Dạng 3: Bài toán tìm biên độ thành phần hoặc biên độ tổng hợp cực đại, cực
tiểu khi có điều kiện ràng buộc.
Với bài toán này có nhiều cách giải khác nhau song vẫn dựa vào phương pháp
cơ bản để biến đổi .
Dạng 4: Bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng
phương cùng tần số
Đây là dạng bài toán vận dụng kiến thức của tổng hợp hai dao động điều hòa
cùng phương cùng tần số . Dạng này có rất nhiều dạng và đơn giản nhất
khoảng cách cực đại, cực tiểu, khoảng cách hai dao động ở thời điểm đã cho,
tìm thời điểm để khoảng cách của hai vật cách nhau một khoảng cho trước,
hoặc gặp nhau. Hoặc cho khoảng cách cực đại giữa hai dao động cùng pha

3


tìm tỉ số động năng ,thế năng ở thời điểm cho trước. Ngoài vận dụng kiến
thức tổng hợp hai dao động còn có các kiến thức trước đó về dao động điều
hòa để làm.
Dạng 5: Bài toán liên quan đến hệ thức li độ, vận tốc của hai dao động hoặc li
độ của các dao động.
Loại bài toán này khá phức tạp và đòi hỏi các kiến thức đạo của toán học, các
biến đổi nhanh nhạy linh hoạt thì học sinh mới giải quyết được, nếu chưa gặp
lần nào thì học sinh cảm thấy rất khó khăn và mất rất nhiều thời gian để giải
quyết.
Dạng 6: Đồ thị hai dao động điều hòa
Dạng này dễ song học sinh thường ngại làm, và kêu khó.
1.2. Loại 2: Hai dao động điều hòa cùng phương khác tần số
Dạng 1: Hai dao động điều hòa cùng phương, khác tần số cùng biên độ gặp
nhau và tỉ số vận tốc giữa hai dao động khi chúng gặp nhau.
Dạng 2: Thời gian gặp nhau của hai con lắc trùng phùng

Dạng 3: Cho hệ thức liên hệ giữa li độ và vận tốc của các dao động tìm li độ
dao động hoặc tốc độ khi biết li độ hoặc tốc độ của dao động khác
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.
Qua khảo sát thực tế tiết dạy tôi nhận thấy đây là một chuyên đề hay nhưng
để truyền được sự hứng thú cho học sinh là điều không dễ nên việc giảng dạy
của giáo viên cũng như cách tiếp nhận của học sinh vẫn còn những tồn tại
sau:
- Về phía giáo viên: Còn nặng về tính thuyết giảng khả năng gợi mở chưa
tốt nên chưa tạo được không khí học tập tích cực để giúp các em chủ động
khám phá, phát huy năng lực tiếp nhận chuyên đề này.
- Về phía học sinh: Tiếp nhận một cách miễn cưỡng nên chưa hiểu rõ hiểu
đúng về các dao động. Một số học sinh chưa tự giác trong việc học.

4


2.3. Các giải pháp thực hiện.
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT[1]
Để giải quyết hai loại bài toán trên ta dùng các phương pháp “chuyên biệt”
cho từng dạng dựa trên cơ sở lý thuyết sau
2.3.1. Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số
3.1. Dao động điều hòa , biểu diễn dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động mà li độ dao động được biểu diễn dưới dạng
sin hoặc cosin theo thời gian x = Acos(ωt + ϕ) với A, ω, φ là hằng số
Trong đó :
A>0 là biên độ dao động
ω là tần số góc mà ω= 2πf=2π/T hoặc đối với con lắc lò xo ω=
con lắc đơn ω=

k

,
m

g
với f là tần số dao động, T là chu kì dao động.
l

ωt+φ là pha ban dao động, φ là pha ban đầu
uuuuu
r
-Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay OMucó:
uuuu
r
+ Gốc: tại O.
+ Độ dài OM = A.
+ (OM,Ox) = ϕ
M

+

ϕ
O

x

(Chọn chiều dương là chiều dương của đường tròn lượng giác).
3.2. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số[1]
Xét vật thực hiện đồng thời hai DĐĐH cùng phương cùng tần số
y
x1 = A1cos(ωt+ϕ1) và x2 = A2cos(ωt+ϕ2)

khi đó dao động tổng hợp của vật là : x = x1 + x2
3.2.1. Phương pháp giản đồ Fre-nen[1]
uuuuu
r uuuuu
r
M1
y1
Biểu diễn x1, x2 bằng các vecto quay OM1 , OM 2
A1
trên
trụcrOxy,
hợp với Ox góc tương ứng là φ1, φ2
uuuu
r uuuuu
uuuuu
r

M

A

y

2
OM=OM1 +OM 2
uuuu
r
Vectơ OM là một vectơ quay với tốc độ góc ω quanh O.
uuuu
r

→ OM biểu diễn phương trình dao động điều hoà tổng hợp:
O

x = Acos(ωt + ϕ)
Từ giản đồ Fre-nen ta chiếu lên hai trục tọa độ
A cosφ=A1 cosφ1+ A2 cosφ2
A sin φ= A1 sin φ1 + A2 sin φ2
(2.1)

5

ϕ1
ϕ2

x1

ϕ

M2

A2
x2

x


Từ đó tính ra

A sinϕ1+A 2sinϕ2
tanϕ = 1

A 1cosϕ1+A 2cosϕ 2

(2.2)
Dựa vào định lý hàm số cos trong tam giác ta có biên độ dao động
A 2 =A 12 +A 22 +2A 1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1)
(2.3)
Ảnh hưởng của độ lệch pha
TH1: Nếu các dao động thành phần cùng pha
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 = 2nπ
(n = 0, ± 1, ± 2, …) Suy ra
A = A1
+ A2
TH2: Nếu các dao động thành phần ngược pha
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 = (2n + 1)π
(n = 0, ± 1, ± 2, …) Suy ra
A = |A1
- A2|
TH3: Nếu các dao động thành phần vuông pha
∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 = (2n + 1)π/2
Suy ra
A = A12 + A22
Từ đó suy ra : Amin ≤ A ≤ Amax
⇔ |A1 - A2| ≤ A ≤ A1 + A2
Ngoài cách tổng hợp dao động điều hòa theo giản đồ Fre-nen ta có thể sử
dụng số phức
3.2.2 Phương pháp số phức
Ta đã biết một đại lượng biến thiên điều hòa theo thời gian x = A cos ( ωt + ϕ ) có
thể biểu diễn dưới dạng số phức .
Số phức x = a + bi với a là phần thực; b là phần ảo và i là dơn vị ảo i 2 = −1
Biểu diễn số phức x = a + bi trên mặt phẳng phức:

b
mođun của số phức r = a 2 + b2 ; acgumen số phức là ϕ với tan ϕ =
a

Dạng lượng giác của số phức
x = a + bi = r ( cos ϕ + isinϕ ) với a = r cos ϕvà b = r sin ϕ
Theo công thức ole ta có x = a + bi = r ( cos ϕ + isinϕ ) = reiϕ = A∠ϕ
Biểu diễn dao động điều hòa bằng số phức

y
b

r
O
r  A = OA = A
ur
Hàm dao động điều hòa x = A cos ( ωt + ϕ ) khi t = 0 thì A = 
 Ox, A = ϕ
x
Ta thấy a = A cos ϕ và b = A sin ϕ

(

)

r

ϕ
a

x

=> tại t = 0 biểu diễn x bằng số phức x = a + bi = A ( cos ϕ + isinϕ ) = Aeiϕ = A∠ϕ
Vậy một hàm dao động diều hòa (xét tại t = 0) có thể viết dưới dạng số phức
như sau:
6


x = A cos ( ωt + ϕ ) => tại t = 0 : x = a + bi = A ( cos ϕ + isinϕ ) = Aeiϕ = A∠ϕ
b
Với a = A cos ϕvà b = A sin ϕ ; A = a 2 + b 2 ; tan ϕ =
a

Để tổng hợp các dao động điều hòa
x= x1 +x2+x3... suy ra
Acos(ωt+ϕ)= A1cos(ωt+ϕ1)+ A2cos(ωt+ϕ2) + A3cos(ωt+ϕ3) ...
Áp dụng số phức ta có
x=x1 +x 2 +x 3 ...= a+b.i với a=a1+a2+a3 ... và b=b1+b2+b3 ...
x=A1eiφ1 +A 2 .eiφ2 +A 3eiφ3 ...=Aeiφ

Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad
(R)
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ
Rad (R)
(fx 570 MS)
nhập A1 shift ∠ϕ1 +A2 shift ∠ϕ2 +...
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A và ϕ
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A còn Shift = thì ra φ
2.3.3 Mở rộng

2.3.3.1 Phương pháp giản đồ Fren-nen [1]
+ Tổng hợp nhiều dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
từ hệ thức (2.1)
A cosφ=A1 cosφ1+ A2 cosφ2+ A3 cosφ3+...
A sin φ= A1 sin φ1 + A2 sin
(2.4)
Từ

đó

ta

φ2

+

A3

sin

φ3

+...

A sinϕ1+A 2sinϕ 2 + A3 sinϕ 3 + ...
tanϕ = 1
A 1cosϕ1+A 2cosϕ2 + A3 cosϕ3 + ...

tính

(2.5)
Tính được φ thay vào một trong hai phương trình của (2.4) tính được A
+ Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp
Giả sử biết được dao động x1= A1 cos(ωt+φ1) và x= A cos (ωt+φ) tìm dao
động thành phần thứ 2
Từ (2.1)
A2 cosφ2 = A cosφ - A1 cosφ1
A2 sin φ2 =A sin φ- A1 sin φ1
(2.6)
từ

đó

ta

tính

Asinϕ − A 2sinϕ1
tanϕ2 =
Acosϕ − A 2cosϕ1

được

(2.7)

7


Tính A2 theo biểu thức (2.5) hoặc đựa vào định lý hàm số cosin cho tam giác
A 22 =A 2 +A12 -2A.A1cos(φ-φ1 )

OMM1 ta có
(2.8)
+ Tìm khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
x1 = A1cos(ωt+ϕ1) và x2 = A2cos(ωt+ϕ2)
Đặt khoảng cách giữa hai dao động là x = x1 -x 2 vì đây là hiệu của hai dao
động điều hòa cùng phương cùng tần số do đó là một dao động điều hòa cùng
x = Acos(ωt+φ)
tần
số
với
dao
động
trên
nên
(2.9)
áp dụng các kiến thức trên ta dễ dàng suy ra A 2 =A 22 +A12 -2A 2 .A1cos(φ2 -φ1 )
(2.10)
Asinϕ2 − A 2sinϕ1
tanϕ =
Acosϕ2 − A 2cosϕ1

độ lêch pha
(2.11)

từ biểu thức (2.9) ta tìm ra được khoảng cách min, max,khoảng cách giữa hai
dao động bất kì chú ý ở đây là ta vẫn biểu diễn nó giống dao động điều hòa
rồi lấy trị tuyệt đối.
2.3.3.2 Phương pháp số phức
Tìm dao động thành phần khi biết dao động tổng hợp và các dao động
thành phần khác

Ví dụ: Một vật thực hiện ba dao động điều hòa tìm dao động điều hòa thứ hai
biết dao động tổng hợp và hai dao động thành phần là
x1 = A1 cos ( ωt + ϕ1 ) , x3 = A3 cos ( ωt + ϕ3 ) x = A cos ( ωt + ϕ )

Dựa vào phương pháp số phức ta có
x2 = x − x1 − x3 = A2 cos ( ωt + ϕ 2 )

Thao tác máy tính
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad
(R)
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ
Rad (R)
(fx 570 MS)
nhập A,shift ∠ φ - A1 shift ∠ϕ1 -A3 shift ∠ϕ3
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A2 và ϕ2
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A2 còn Shift = thì ra φ2
2.1. Dao động điều hòa cùng phương khác tần số
2.2.Bài toán hai dao động điều hòa cùng phương cùng biên độ gặp nhau
8


Dạng 1 : Giả sử cho hai dao động điều hòa cùng phương
x1 = Acos(ω1 t+ϕ1) và x2 = A cos(ω2 t+ϕ2)
Khi hai dao động gặp nhau thì x1=x2
v1

x'1

Tỉ số vận tốc của các dao động v = x'

2
2
Dạng 2 : Bài toán hai con lắc trùng phùng là bài toán mở rộng trường hợp
trên khi hai con lắc đơn ở thời điểm ban đầu đều cùng ở vị trí cân bằng và
chuyển động cùng chiều sau thời gian Δt thì hai con lắc lại gặp nhau.
Khi đó Δt=n1.T1=n2.T2 với T1 và T2 là chu kì dao động của hai dao động
Dạng 3 : Thông thường ta có hệ thức liên hệ sau
x1 x 2 x 3
+ =
hoặc x1v 2 v3 +x 2 v1v3 =x 3 v1v 2
v1 v 2 v3

đối với những bài toán này ta sẽ đạo hàm hai vế và tìm ra hệ thức cuối cùng.
B. Phương pháp giải
Dựa trên cơ sở lý thuyết trên tôi đưa ra phương pháp giải cho từng bài
toán sao cho giải quyết bài toán đơn giản nhất và công thức ngắn gọn dễ nhớ
nhất, để khi gặp học sinh giải quyết bài toán trắc nghiệm không đầy 30s.
3.1 Phương pháp giải loại 1 hai dao động điều hòa cùng phương, cùng
tần số
3.1.1 Dạng 1 : Tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần
số
Giả sử cho bài toán : Một vật thực hiện đồng thời các dao động điều hòa sau :
x1 = A1cos(ωt+ϕ1), x2 = A2cos(ωt+ϕ2), x3 = A3cos(ωt+ϕ3), x4 = A4cos(ωt+ϕ4)...
Hãy viết phương trình dao động tổng hợp
Để giải quyết bài toán này cách đơn giản nhất là dùng phương pháp số
phức
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad
(R)
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ

Rad (R)
(fx 570 MS)
nhập A1 shift ∠ϕ1 +A2 shift ∠ϕ2 +...
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A và ϕ
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A còn Shift = thì ra φ
VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1 Tổng hợp hai dao động cùng phương ,cùng tần số sau [2]
a. x1=3.cos(5t+ π /2) cm ,
x2=3.cos5.t
cm
b. x1=5.cos( π .t − π / 6) cm ,
x2=5.sin( π .t − π / 3) cm
Giải
Đối với những bài toán này ta nên dùng máy tính là nhanh nhất tức sử dụng
cách 2
9


π
π
+3shift ∠0 =3 2 ∠
2
4
Phương trình dao động tổng hợp là x = 3 2 cos(5t + π / 4)
5π
b. Đổi x2 sang hàm số cos ta có x2=5 cos(π.t)
6
π
5π
5shift ∠ − +5shift ∠ −

=5 ∠-π/2
6
6
Phương trình dao động tổng hợp là x = 5cos(π t − π / 2)

a. 3shift ∠

VD 2 : Tổng hợp 3 dao động sau [4]
a. x1=8 cos3.t cm, x2=4 2 cos(3.t+3 π / 4) cm và
cm
b. x1=1,5 cos( 100π t )
3 cos(100π t +

cm ,

x2=

5.π
) cm
6

x3=3. 2. cos(3.t+ π / 4)

3
cos(100π t + π / 2)
2

cm

và

x 3=

Dùng máy tính ta có

3π
+3 2 shift ∠π / 4 =7 2 ∠π/4
4
Phương trình dao động tổng hợp là x = 7 2 cos(3t + π / 4)
π
b. 1,5shift ∠0 +0,5 3 shift ∠ + 3 shift ∠5π / 6 = 3 ∠π/2
2
Phương trình dao động tổng hợp là x = 3 cos(100π t + π / 2)

a. 8shift ∠0 +4 2 shift ∠

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa với phương trình:
x1 = 10 cos(2π t − 2π / 3)cm ; x2 = 10cos(2π t − π / 3)cm . Phương trinh dao động tổng
hợp là: [2]
A. x = 10 2cos(2π t − π / 2)cm .
B. x = 10 3cos(2π t − π / 2)cm .
C. x = 10 3cos(2π t + π / 2)cm .
D. x = 10 2cos(2π t + 2π / 3)cm .
Câu 2. Một vật tham gia đồng thời vào hai dao động điều hoà có phương
trình: x 1 = 4 3 cos10πt (cm) và x 1 = 4 sin 10πt (cm) . Vận tốc của vật khi t = 2s là
bao nhiêu? [2]
A. 125cm/s
B. 120,5 cm/s
C. -125 cm/s

D. 125,7 cm/s
3.1.2 Dạng 2 : Tìm dao động thành phần
* Giả sử cho bài toán : Cho phương trình dao động tổng hợp của hai dao
động là x= Acos(ω.t+φ) và phương trình dao động thành phần x 1= A1
cos(ω.t+φ1) và x3= A3 cos(ω.t+φ3) tìm dao động thứ 2
Phương pháp giải dùng máy tính
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm SHIFT MODE 4 để hệ Rad
(R)
(fx 500ES)
Bấm máy tính MODE 2 để ra CMPLX và bấm MODE 4 lần rồi nhấn 2 để hệ
Rad (R)
10


(fx 570 MS)
nhập A,shift ∠ φ - A1 shift ∠ϕ1 -A3 shift ∠ϕ3
Đối với fx 500 ES bấm Shift 2 và 3 ta hiện ra A2 và ϕ2
Đối với fx 570 MS bấm Shift + thì ra A2 còn Shift = thì ra φ2
* Giả sử cho bài toán Cho vật thực hiện hai dao động điều hòa, cho biết các
thông số thành phần còn thông số A 2 chưa biết. Song có các giá trị cơ năng,
hoặc vận tốc cực đại ... của vật dao động để tìm ra biên độ tổng hợp từ đó tìm
biên độ A2.
Định hướng cách giải :
- Dựa vào giữ liệu ban đầu ta tính được A
- Để làm bài toán này ta không thể dùng số phức ta dùng giản đồ Frennen
A 2 =A 12 +A 22 +2A 1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1)

*Giả sử cho bài toán Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương
cùng tần số có phương trình x1 = A1cos(ωt+ϕ1) , x2 = A2cos(ωt+ϕ2) và phương
trình tổng hợp

x= Acos(ω.t+φ) với A1, ω, A2 , A,φ đã biết góc giớ hạn của hai dao động là
Sử dụng phương pháp giản đồ Fren-nen ta có
A sinϕ1+A 2sinϕ2
tanϕ = 1
A 1cosϕ1+A 2cosϕ2

A 2 =A 12 +A 22 +2A 1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1)

VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu
π

x = 5 3cos  6 πt + ÷cm . Dao động thứ nhất có biểu thức là
2

π

x1 = 5cos  6πt + ÷cm .
3


thức

Tìm biểu thức của dao động thứ hai. [2]
Giải
Để giải bài toán này ta dùng phương pháp số phức hay máy tính
π
2

π

3

nhập 5 3 shift ∠ ( ) - 5 shift ∠( ) =5 ∠

2π
3

Phương trình dao động thứ hai là x2=5 cos(6π.t+π/3) cm
VD2: Một vật thực hiện đồng thời được hai dao động điều hoà cùng phương
cùng tần số là : x1=A1cos(20.t+ π / 6) và x2=3cos(20t+

5.π
) cm. Biết vận tốc
6

cực đại của vật là 140cm/ s .Tìm A1. [2]
Định hướng cách giải
- Tìm A theo công thức vận tốc cực đại
- Sử dụng công thức tính biên độ tổng hợp để tính A1
Giải
Ta có vmax=Aω suy ra A=7 (cm)
11


5π π
áp dụng A 2 =A12 +A 22+2A1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1) thay vào ta được 72 =A12 +32 +2A13cos( - )
6 6

giải ra ta có A1= 8 và A1= -5 ta lấy kết quả A1= 8 cm
BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1 (ĐH 2010) Dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng
phương ,cùng tần số có phương trình li độ x=3cos( π .t −

5.π
) cm.Biết dao động
6

thứ nhất có phương trình li độ x 1=5.cos( π .t + π / 6) cm.Dao động thứ hai có
phương trình li độ là [4]
π
6
cos(
π
.
t
−
5
π
/ 6) cm
C: x2=2

B: x2= 2.cos( π .t + π / 6) cm

A: x2=8.cos( πt + ) cm

D: x2=8 cos(π .t − 5π / 6) cm
Câu 2: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động trên trục Ox có
phương trình x1 = A1cos10t; x2 = A2cos(10t +ϕ2). Phương trình dao động tổng
ϕ
π

hợp x = A1 3 cos(10t +ϕ), trong đó có ϕ2 - ϕ = 6 . Tỉ số ϕ bằng [4]
2

A: ½ hoặc ¾
B: 1/3 hoặc 2/3
C: ¾ hoặc
2/5
D: 2/5
hoặc 4/3
3.1.3 Tìm biên độ dao động thành phần, tổng hợp cực đại hoặc cực tiểu
- Đối với bài toán này dựa vào công thức A 2 =A12 +A 22 +2A 1A 2cos(ϕ 2 -ϕ1) nếu đề
bài cho rõ hai góc pha ban đầu
2
2
2
- Áp dụng công thức A 2 =A +A1 -2A.A1cos(φ-φ1 ) nếu cho biết pha thành phần và

tổng hợp.Từ đó ta đánh giá theo hàm bậc 2 để đưa ra
VÍ DỤ MINH HỌA
VD: Một vật có khối lượng không đổi, thực hiện đồng thời hai dao động điều
x 2 = 10 cos ( 2πt + ϕ ) cm ;
hòa có phương trình dao động lần lượt là
π
π


x1 = A1 cos  2πt − ÷cm thì dao động tổng hợp là x = A cos  2πt − ÷cm . Khi năng
2
3




lượng dao động của vật cực đại thì biên độ dao động A 1 có giá trị là bao
nhiêu? [2]
Định hướng giải:
- Để năng lượng dao động của vật cực đại thì biên độ tổng hợp phải cực
đại
- Xem bài toán cho biết góc nào ?
- Viết biểu thức biên độ theo các góc đã cho
- Biện luận theo Δ
Giải
Bài cho φ và φ1 do đó ta viết biểu thức tính A2
π π
A 22 =A 2 +A12 -2A.A1cos(φ-φ1 ) suy ra 102 =A 2 +A12 -2AA1cos(- - )
3 2

12


π π
3 2

ta coi hàm bậc 2 của A1 ta viết lại như sau A12 -2AA1cos(- - )-102 +A 2 = 0
Tính ∆ ' = A2 .cos 2 (−5π / 6) − (A 2 − 100) ≥ 0
−

2

suy

ra

2

A
A
+ 100 ≥ 0 ⇒
≤ 100 ⇒ A ≤ 20
4
4

khi đó Amax= 20 cm khi đó Δ’=0 nên A1=- −

b ' A cos(5π / 6)
=
=10 3 (cm)
a
1

BÀI TẬP VẬN DỤNG
π

x1 = A1cos  ωt − ÷cm và
6

x 2 = A 2 cos ( ωt − π ) cm có phương trình dao động tổng hợp là x = 9 cos ( ωt + ϕ ) .

Câu1: Hai dao động điều hòa cùng tần số

Biết biên độ A2 có giá trị cực đại tìm giá trị của A1.[1]

A: 9 3 (cm)
B: 9 (cm)
C: 18 (cm)
D: 9 (cm)
Câu 2: Một chất điểm thực hiện đồng thời 2 dao đông điều hoà cùng
phương:
π
π


x1 = A1cos 10πt + ÷cm ; x 2 = A 2 cos 10πt − ÷cm Phương trình dao động tổng
3
2


hợp là x = 5cos ( 10πt + ϕ ) cm .Biết biên độ dao động A2 có giá trị lớn nhất [1]

A: 5cm

B: 6 cm

C: 2,5 5 cm

D: 2,5 3 cm

3.1.4: Khoảng cách giữa hai dao động điều hòa
Tìm khoảng cách giữa hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
x1 = A1cos(ωt+ϕ1) và x2 = A2cos(ωt+ϕ2)
Đặt khoảng cách giữa hai dao động là d= x = x1 -x 2 vì đây là hiệu của hai dao
động điều hòa cùng phương cùng tần số do đó là một dao động điều hòa cùng

tần số với dao động trên nên x = Acos(ωt+φ)
Từ biểu thức (2.9) ta coi khoảng cách của hai dao động điều hòa là một hàm
biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kì T’=π/ω.
Dựa vào tính chất trên ta đưa ra khoảng cách lớn nhất d max= A, khoảng cách
nhỏ nhất dmin=0.
Để lập được biểu thức (2.9)ta dùng hai cách, giản đồ Fren-nen hoặc máy tính,
xong để giải nhanh ta dùng máy tính
A shiftφ
∠ -A shift φ
∠ =A φ
∠
2
2 1
1

VÍ DỤ MINH HỌA
VD1: Hai chất điểm dao động điều hòa trên cùng một trục Ox theo phương
trình:
x1 = 4 cos( 4t + π/ 3) cm và x 2 = 4 2 cos( 4t + π /12) cm. Coi rằng trong quá
trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Hỏi trong quá trình
13


dao động khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai chất điểm là bao nhiêu ?
[4]
Giải
Khoảng cách giữa hai vật là d = x = A cos(4t + ϕ )
Bấm máy tính

π

π

4 2shift∠( )-4shift∠( )=4∠− 0,5236
12
3

Phương trình khoảng cách là

d = x = 4 cos(4t − 0,5235)

Suy ra khoảng cách lớn nhất giữa hai vật là 4cm, khoảng cách nhỏ nhất là 0
cm
VD 2 : Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng
nằm ngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với
trục Ox. Biên độ của con lắc một là A 1 = 4cm, của con lắc hai là A 2 = 4 3 cm,
con lắc hai dao động sớm pha hơn con lắc một. Trong quá trình dao động
khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là 4 cm. Khi động năng
của con lắc một cực đại là W thì động năng của con lắc hai là bao nhiêu W?
[4]
Giải
Khoảng cách giữa hai vật là d = x = A cos(ωt + ϕ )
Khi đó khoảng cách lớn nhất của hai vật là dmax= A= 4cm
A 2 =A 22 +A12 -2A 2 .A1cos(φ2 -φ1 ) thay vào ta có φ2-φ1=±π/6
Ta coi φ1=0 thì φ2=±π/6 phương trình dao động của hai vật có dạng là
x1= 4 cos(ω.t) và x2= 4 3 cos(ω.t± π/6)
Khi con lắc 1 có động năng cực đại tức x1=0 khi đó x2=±2 3 cm .
Tại đó động năng của vật 1 là W1 = W =

mω 2 2 mω 2

mω 2
A1 =
(0, 04) 2 =
.16.10−4
2
2
2

Động năng của vật 2 lúc đó là
mω 2 2 mω 2 2 mω 2
mω 2
2
2
Wd 2 =
A2 −
x2 =
(0, 04 .3 − 0, 02 .3) =
.36.10 −4 . Từ đó Wd2 =2,25W
2
2
2
2

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề
nhau và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong
quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng
qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai vật
lần lượt là x1 = 4 cos ( 4π t + π 3) cm và x2 = 4 2 cos ( 4π t + π 12 ) cm . Tính từ thời
điểm t1 = 1 24 s đến thời điểm t2 = 1 3 s thì thời gian mà khoảng cách giữa hai

vật theo phương Ox không nhỏ hơn 2 3 cm là bao nhiêu ? [2] A. 1 3 s B.
C. 1 6 s
D. 1 12 s
18s

14


Câu 2: Hai chất điểm M và N cùng dao động điều hòa trên cùng một trục tọa
độ Ox
( O là vị trí cân bằng của chúng ), coi trong quá trình dao động hai chất điểm
không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của chúng lần lượt là
x1 = 10Cos( 4πt +π/3) và x2 = 10 2 Cos( 4πt +π/12)cm. Hai chất điểm cách
nhau 5cm ở thời điểm đầu tiên kể từ lúc t = 0 là [3] A. 1 8 s B. 1 9 s C.
D. 11 24 s

5 24 s

3.1.5 Dạng các dao động điều hòa có biểu thức liên hệ giữa các li độ, hoặc
li độ vận tốc
Vì đây là dạng toán đặc biệt nên tôi trình bày cách giải dựa trên bài tập
cụ thể để hs dễ hiểu có thể nắm bắt được phương pháp làm
VD 1: Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có
phương trình dao động lần lượt là: x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) ; x 2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 ) Cho
biết:
4 x12 + x 22 = 13(cm2) . Khi chất điểm thứ nhất có li độ x 1 =1 cm thì tốc độ của nó
bằng 6 cm/s. Khi đó tốc độ của chất điểm thứ hai là bao nhiêu ? [2]
Giải
2
2

2
Từ 4 x1 + x 2 = 13(cm ) . Đạo hàm hai vế theo thời gian ta có ( v 1 = x’1 ; v2 =
x’2)
4 x1v1

8x1v1 + 2x2v2 = 0 -------> v2 = - x
2
Khi x1 = 1 cm thì x2 = ± 3 cm. ------> v2 = ± 8 cm/s. .
Tốc độ của chất điểm thứ hai là 8 cm/s.
Đối với các bài toán này chú ý : ta đạo hàm theo thời gian của tọa độ và vận
tốc
x’=v ; v’=a =-ω2x
VD 2: Hai vật dao động điều hòa có cùng tần số góc là ω (rad/s). Tổng biên
độ dao động của hai vật là 10 cm. Trong quá trình dao động vật một có biên
độ A1 qua vị trí x1 ( cm ) với vận tốc v1 ( cm/s ), vật hai có biên độ A2 qua vị trí
x2 ( cm ) với vận tốc v 2 ( cm/s ). x1v2 + x2v1 = - 9 (cm2/s). Giá trị nhỏ nhất của
ω là bao nhiêu?[2]
Giải
Giả sử x1 = A1cosωt. ( cm)---> v1 = - ωA1sinωt ( cm/s)
x2 = A2cos(ωt + φ) ( cm); ------> v2 = - ωA2sin(ωt + φ) (cm/s)
Khi đó x1v2 + x2v1 = - ωA1A2 [ cosωt. sin(ωt + φ) + ( sinωt. cos(ωt + φ)]
= - ωA1A2 sin(2ωt + φ) = - 9
9

9

----> ω = A A sin(2ωt + ϕ ) ≥ A A (*)
1 2
1 2

15


A2 + A2
( A2 + A2 ) 2
A
A
A1 + A2 = 10 = hằng số thì
≥ 1 2 -------> A1 A2 ≤
= 25
2
4

(**)
Từ (*) và (**) ta thấy ω ≥

9
= 0,36rad .
25

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng
π
6

tần số có phương trình là x1, x2, x3. Biết x12 = 6cos( πt + )cm ;
x 23 = 6cos( πt +

2π
5π

)cm ; x13 = 6 2 cos( πt + )cm . Tính x biết x 2 = x12 + x 32
[2]
3
12
B. 12cm
C. 24cm
D. 6 3 cm

A. 6 2 cm
Câu 2 :Hai vật dao động điều hòa dọc theo các trục song song với nhau.
Phương trình dao động của các vật lần lượt là x = Acosωt (cm) và x = Asinωt
(cm). Biết
16x + 9x = 24 (cm). Tốc độ cực đại của vật thứ nhất là 12 cm/s. Tốc độ cực
đại của vật thứ hai là: [2]
A: 20 cm/s
B: 16 cm/s
C: 9 cm/s
D: 15 cm/s
3.1.6. Dạng đồ thị dao động
Đối với dạng đồ thị của dao động điều hòa, đầu tiên các học sinh phải đọc
được đồ thị, viết được phương trình dao động của từng đồ thị mới có thể tổng
hợp hai dao động
VÍ DỤ MINH HỌA
x(
VD1 : Giả sử cho hai dao động điều hòa cùng 4 c
phương
m)
x1
2
x1 = A1 cos(ω t+ϕ1) và x2 = A2 cos(ω t+ϕ2) có đồ

thị biến thiên như hình vẽ . Một vật dao động điều
0
hòa thực hiện hai dao động trên [4]
0,
1,
X2
a. Tính độ lệch pha của hai dao động
25
25
-2
b. Tìm phương trình dao động tổng hợp
Giải
-4
Trước tiên ta lập phương trình dao động của mỗi
dao động
x1=2cos(2πt+π/2) cm
x2=4 cos(2πt-π/2) cm
a. Độ lệch pha của hai dao động là Δφ=φ2-φ1=-π
b. Phương trình dao động của hai vật : nhận thấy hai dao động ngược pha
nên x=x1+x2= 2cos(2πt-π/2) (cm)
Nhận xét : Dựa vào tính tuần hoàn của hàm sin ta đưa ra được chu kì của
vật
16

t(s
)


Dựa vào thời điểm ban đầu để đưa
ra pha ban đầu của mỗi dao động, nếu hai

dao động xuất phát cùng một li độ ở thời điểm
ban đầu thì có pha cùng độ lớn
VD2 : Cho hai dao động điều hòa x 1 và x2 dao
động cùng phương
có đồ thị như hình vẽ.
Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng một
thời điểm có giá trị lớn nhất là bao nhiêu[3]

x(c
8 m)
6

x1

x2
t(s
)

0
-6
-8

0,0
5

0,1

Giải
Tương tự như VD1 ta lập phương trình của mỗi dao động
x1=8cos(20πt-π/2) cm

x2=6 cos(20πt+π) cm
Vì bài cho tổng tốc độ của hai dao động chứ không phải tốc độ tổng hợp của
hai dao động
x(c
m)

Từ đó suy ra phương trình vận tốc của hai dao động
v=v1+v2 với v1 và v2 là phương trình vận tốc của từng

3
2

x
1

2
dao động
1
3
v1=-160π sin( 20πt-π/2) =160π cos(20πt-π/2)
cm/s
0
v2=-120π sin(20πt+π) =120π cos(20πt+π)
cm/s
–
Dùng máy tính tổng hợp ta được v=200π cos(20πt-3π/2) 2–
3
cm/s
Tốc độ tổng cộng lớn nhất là vmax= 200π (cm/s)
Nhận xét : Bài toán này có bẫy, là tổng tốc độ lớn nhất tại một thời điểm chứ

không phải tốc độ lớn nhất của dao động tổng hợp

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Đồ thị của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số được vẽ
như sau:Phương trình nào sau đây là phương trình dao động tổng hợp của
chúng: [4]
π
2
π

C. x = 5cos t + π  (cm)
2


A. x = 5cos t (cm)

π
π
B. x = cos t −  (cm)

2
2
π

D. x = cos t − π  (cm)
2


3.2. Loại hai dao động điều hòa khác tần số
3.2.1. Hai dao động điều hòa cùng phương cùng biên độ khác tần số gặp

nhau
Giả sử cho hai dao động điều hòa cùng phương
17

x
2

4 t(
s)


x1 = Acos(ω1 t+ϕ1) và x2 = A cos(ω2 t+ϕ2)
(2.12)
Khi hai dao động gặp nhau thì x1=x2
(2.13)
ta thay hệ (2.12) vào (2.13) và giải lượng giác ta được hệ hai tập nghiệm
(ω1. t+φ1 )+(ω2 .t+φ 2 )=2.k.π
(ω1.t+φ1 )-(ω1.t+φ 2 )=2.l.π

(2.14)
Dựa vào (2.15) ta sẽ đưa được lần đầu tiên hai vật gặp nhau, lần thứ N hai vật
gặp nhau để tìm ra thời điểm t
Tỉ số vận tốc của các dao động
v1 x1' -Aω1sin(ω1 t+φ1 ) ω1sin(ω1 t+φ1 )
=
=
=
v 2 x '2 -Aω2 sin(ω2 t+φ2 ) ω2 sin(ω2 t+φ2 )

(2.15)

ta thay t tìm được vào (2.15) sẽ được tỉ số vận tốc cần tìm
VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1: Hai vật dao động điều hoà cùng biên độ , cùng phương với các tần số
góc lần lượt là: ω1 =

π
π
(rad/s); ω2 = (rad/s). Chọn gốc thời gian lúc hai vật
6
3

đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Thời gian ngắn nhất mà hai vật gặp
nhau là bao nhiêu? [4]
Giải
Phương trình dao động của hai vât:
Acos(ω2t -

π
).
2

Từ (2.13) ta có (ω1t -

x1 = Acos(ω1t -

π
).
2

x2 =

π
π
). = - (ω2t - )
2
2

(ω1 + ω2 ).t = π ---- t = π/( ω1 + ω2 ). = 2s.
VD 2: Hai vật dao động điều hoà cùng pha ban đầu, cùng phương và cùng
thời điểm với các tần số góc lần lượt là: ω1 =

π
π
(rad/s); ω2 = (rad/s). Chọn
6
3

gốc thời gian lúc hai vật đi qua vị trí cân bằng. Thời gian ngắn nhất mà hai vật
gặp nhau là bao nhiêu?[2]
Giải
TH1: Hai dao động xuất phát ở VTCB cùng chiều dương chính là VD1 ta có
thời gian
ngắn nhất gặp nhau là 2s
TH2: Hai vật dao động xuất phát ở VTCB theo hai chiều ngược nhau
Phương trình của vật 1: x1 = Acos(ω1t -

18

π
). VTCB theo chiều dương

2


π
). VTCB theo chiều âm
2
π
π
(ω1. t- )+(ω2 .t+ )=2.k.π
2
2
Khi hai vật gặp nhau x1=x2 suy ra
π
π
(ω1.t- )-(ω2 .t+ )=2.l.π
2
2

Phương trình của vật 1: x2 = Acos(ω1t +

Thời gian ngắn nhất trong từng trường hợp
k=1 thì t=4s
l=-1 thì t=6s
Vậy dựa vào hai trường hợp ta thấy thời gian ngắn nhất để hai vật gặp nhau là
t=2s
Nhận xét: Khi hai dao động điều hòa cùng biên độ khác tần số cùng vị trí
ban đầu , thì thời điểm ngắn nhất hai vật gặp nhau được xác định
-1 
(ω1 + ω2 ).t = 2φ0 với φ0 =cos 

x0 
÷
A

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Có hai vật dao động điều hòa trên hai đoạn thẳng song song và gần
nhau với cùng biên độ A, tần số 3 Hz và 6 Hz. Lúc đầu hai vật xuất phát từ vị
trí có li độ
A.

1
s
4

A
. Khoảng thời gian ngắn nhất để hai vật có cùng li độ là? [1]
2
1
1
1
s
s
B. s
C.
D.
18
26
27

Câu 2: Hai chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox theo các phương trình

lần lượt là
x1= Acos(πt+π/2) cm và x2= A cos(πt+π/6) cm. Thời điểm lần thứ 2013 hai
chất điểm đó gặp nhau và tính tỉ số vận tốc của vật 1 và của vật 2 khi đó là [4]
A: t=0,3s và v1/v2= 2
B: t=2/3 s và v1/v2= -1
C: t=0,4s và v1/v2=-1
D: t=2/3 s và v1/v2= -2
3.2.2: Dạng bài toán hai con lắc trùng phùng
Bài toán hai con lắc trùng phùng là bài toán mở rộng trường hợp trên khi hai
con lắc đơn ở thời điểm ban đầu đều cùng ở vị trí cân bằng và chuyển động
cùng chiều sau thời gian Δt thì hai con lắc lại gặp nhau tại vị trí cân bằng và
theo cùng một chiều.
Khi đó Δt=n1.T1=n2.T2 với T1 và T2 là chu kì dao động của hai dao động
T1

n1

a

từ đó T = n = b với a/b là phân số tối giản
2
2
suy ra n1=a.n và n2=b.n do đó Δt=a.n.T1=b.n.T2
Δtmin khi n=1
*Đối với hai con lắc có chu kì gần bằng nhau thì chúng hơn kém nhau 1 dao
T.T'

động trong khoảng thời gian Δt, do đó chu kì trùng phùng là Δt= T-T'
VÍ DỤ MINH HỌA
19

VD : Cho một con lắc đồng hồ có chu kì T 0 = 2s và một con lắc đơn dài 1m
và có chu kì T chưa biết. Con lắc đơn dao động nhanh hơn đồng hồ một chút.
Dùng phương pháp trùng phùng thì người ta thấy rằng thời gian giữa hai lần
trùng phùng liên tiếp bằng 8 phút 20s. Hãy tính chu kì T ? [2]
Giải
Vì khi đưa lên cao chu kì con lắc đơn tăng do đó T>T 0. Thời gian giữa hai lần
T.T

0
trùng phùng liên tiếp Δt= T-T từ đó suy ra T= 2,008 s
0
BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1: Hai con lắc đơn treo cạnh nhau có chu kì là T 1=4s và T2=4,8 s kéo hai
con lắc lệch nhau một góc nhỏ dồng thời buông nhẹ .Thời gian ngắn nhất để
hai con lắc lại trở về vị trí này là [2]
A: 24 s

B: 12s

C: 6s

D: 3s

3.2.3 Dạng biểu thức của li độ và vận tốc của các dao động
Đối với dạng toán này tôi thấy có các bài tập điển hình , tôi đưa ra cách
giải cụ thể để rút ra được hệ thức đáng nhớ cho học sinh
VD 1: Cho ba vât dao động điều hòa cùng biên độ A = 10cm nhưng khác tần

số. Biết rằng tại mọi thời điểm, li độ và vận tốc của các vật liên hệ với nhau
x1

x2

x3

bởi biểu thức v + v = v . Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cân bằng của
1
2
3
chúng lần lượt là 6cm, 8cm và x3. Khi đó li độ dao động của vật thứ 3 là bao
nhiêu? [3]
Giải
Từ biểu thức ta đạo hàm hai vế ta có

x1'.v1 -x1.v1' x 2 '.v 2 -x 2 .v 2' x 3'.v3 -x 3 .v3'
+
=
v12
v 22
v32
2

Theo tính chất của dao động điều hòa x’=v, v’=a=-ω .x vì ba tỉ số giống nhau
do đó tôi chỉ biến đổi 1 biểu thức suy ra tương tự
x1'.v1 -x1.v1' v12 +ω12 x12
ω12 A 2 cos 2 (ω1t+φ1 )
1
=

=1+
=
2
2
2 2
2
2
v1
vω
sin
(ω
1 A sin (ω1 t+φ )
1
1 t+φ )
1
A 32
A12
A 22
+
=
Tương tự ta có biểu thức A 2 -x 2 A 2 -x 2 A 2 -x 2
1
1
2
2
3
3

=
1

1
A12
2
x
1- 12 = A12 -x12
A1

thay x1=6 cm và x2= 8cm ta

tính được x3=8,7 cm
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Cho ba vât dao động điều hòa cùng biên độ A = 5cm nhưng khác tần
số. Biết rằng tại mọi thời điểm, li độ và vận tốc của các vật liên hệ với nhau

20


bởi biểu thức x1v 2 v3 +x 2 v1v3 =x 3 v1v 2 . Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cân
bằng của chúng lần lượt là 3 cm, 4cm và x3. Giá trị của x3 gần bằng là [4]
A: 4 cm
B: 4,38 cm
C: 5cm
D: 0 cm
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
- Sau khi tiến hành nghiên cứu trên lớp 12C1 còn lớp 12C2 để đối chứng,
khi kiểm tra kết thúc phần tổng hợp dao động cơ tôi đã thu được kết quả sau:
Số
Số
Trung

Giỏi
Khá
Yếu
Kém
liệu bài
bình
Lớp kiểm
SL %
SL %
SL %
SL %
SL %
tra
12C1 39
0
14
%
36% 23
59% 2
5% 0
0%
12C2 32
0
7
%
22% 20
62% 5
16% 0
0%
Dựa vào kết quả thu được ta thấy số lượng học sinh giỏi tăng lên, học

sinh yếu, kém giảm đi rõ rệt.
Học sinh phản ứng nhanh được các bài toán từ cơ bản đến nâng cao các
bài toán biến tướng, giải nhanh và chính xác đáp ứng nhu cầu làm bài tập trắc
nghiệm.
3. KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trong các bài tổng hợp hai dao động cùng phương cùng tần số ta luôn sử
dụng hai phương pháp chủ đạo là dùng giản đồ Fren-nen hoặc số phức tùy
từng bài toán ta áp dụng phương pháp thích hợp để giải nhanh nhất. Đến hai
dao động điều hòa cùng phương khác tần số cần kiến thức toán rộng hơn giải
lượng giác, đạo hàm xong tôi luôn có kết luận cuối cùng để HS có thể vận
dụng nhanh nhất làm trắc nghiệm.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
Do khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm tôi không trình bày phần
mở rộng của bài tập dao động điện từ, sóng cơ, điện xoay chiều liên quan đến
phần tổng hợp hai dao động. Nhưng khi tôi dạy các phần dao động điện từ,
sóng cơ, điện xoay chiều mà có kiến thức liên quan đến tổng hợp dao động
học sinh luôn nhận xét và đưa ra được phương pháp giải đúng nhanh và chính
xác nhất.
Trên đây là một vài suy nghĩ và những việc tôi đã và đang làm khi tôi
giảng dạy phần tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương của môn Vật lý
tại Trung tâm GDNN – GDTX Thiệu Hóa. Có lẽ cũng chẳng mới lạ gì đối với
những việc làm của đồng nghiệp. Song với sự cố gắng luôn tìm tòi học hỏi từ
sách vở, từ đồng nghiệp, bạn bè, từ thầy cô tôi mong muốn được đóng góp
một phần nhỏ khi giải quyết các bài tập tổng hợp hai dao động điều hòa từ bài
cơ bản đến các bài toán nâng cao của nó. Có lẽ cách phân loại bài tập và
hướng dẫn giải của tôi chưa hoàn hảo còn nhiều thiếu sót tôi mong được sự
góp ý của thầy cô , đồng nghiệp, của đồng chí lãnh đạo để đề tài của tôi được

21

hoàn chỉnh và là một tài liệu hay cho thầy cô giáo và học sinh tham khảo vận
dụng.
Tôi xin chân thành cảm ơn
X
ÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thiệu Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan SKKN là do tôi
viết không sao chép của người khác

Trịnh Đình Chung
Nguyễn Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Sách giáo khoa vật lý 12, tổng chủ biên Lương Duyên Bình
2. Sách Bài tập vật lý lớp 12 , chủ biên Vũ Quang
3.Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý THPT,
PGS.TS Vũ Thanh Khiết-Vũ Đình Túy
22


4. www.thuvienvatly.com.vn
trên internet

23