SKKN một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh cách giải các dạng toán tìm chữ số tận cùng

MỤC LỤC
I. Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3.1. Một số định nghĩa, định lý liên quan đến phương pháp giải bài
toán tìm chữ số tận cùng, chia hết ....
3.2. Một số nhận xét quan trọng trong việc giải các dạng toán này.
4. Các biện pháp tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề.
4.1. Phương pháp giải các bài toán tìm chữ số tận cùng.
4.1.1. Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số:
4.1.2. Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.
4.1.3. Phương pháp 3: Dùng đồng dư.
4.2. Dựa vào bài toán tìm chữ số tận cùng để giải các bài toán khác có
liên quan khác.
4.3. Bài tập vận dụng:
5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
III. Kết luận, kiến nghị
1. Kết luận
2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN đã được hội đồng đánh giá xếp loại
cấp phòng GD&ĐT, cấp sở GD&ĐT và các cấp cao hơn xếp loại từ C
trở lên

Trang
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
6
6
6
7
12
14
18
18
19
19
20
21
22

1


I. MỞ ĐẦU:

1. Lý do chon đề tài:
Trong chương trình toán học phổ thông có nhiều dạng toán khó, để giúp
học sinh tiếp thu được kiến thức và vân dụng trong giải toán đòi hỏi người giáo
viên không ngừng tìm tòi, nghiên cứu. Việc tìm hiểu và giải quyết được những
dạng toán khó giúp giáo viên nâng cao năng lực chuyên môn. Trong nhiều dạng
toán, có dạng toán tìm số tận cùng là dạng bài toán khó, bất quy tắc và khi giải
bài tập có các dạng toán khác nhau. Khi làm bài đòi hỏi học sinh phải linh hoạt
và biết phân biệt dạng để đưa về bài toán quen thuộc để thực hiện bài giải đơn
giản hơn thì mới thực hiện được.
Việc giải quyết được dạng toán này không chỉ bồi dưỡng thêm khiên thức
cho hoc sinh mà còn rèn cho các em được phương pháp tư duy phân tích tổng
hợp và có được sự linh hoạt về tư duy để giải các bài toán khác nhau có liên
quan như chứng minh chia hết, chứng minh một số là số chính phương… Giúp
các em có trí tưởng tượng cao phát huy tích cực chủ động trong tư duy, có tính
sáng tạo trong khi giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong môn học khác
và trong thực tiễn cuộc sống.
Chính vì thế, tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh
nghiệm hướng dẫn học sinh cách giải dạng toán tìm chữ số tận cùng” với
mục đích giúp các em nắm vững các phương pháp giải và từ đó phát hiện
phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể.
2. Mục đích nghiên cứu:
Với đề tài sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn:
- Chia xẻ các kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong công tác giảng dạy.
- Giúp học sinh biết cách định hướng và lời giải một cách ngắn gọn nhất.
- Phát huy trí lực, rèn luyện khả năng phân tích đanh giá tổng hợp và có được sự
linh hoạt về tư duy giải các bài toán khác nhau có liên quan cho học sinh.
- Giúp học sinh tự tin khi giải toán hoặc trong thi cử.
- Nâng cao chất lượng môn Toán đặc biệt là chất lượng mũi nhọn.
- Việc nghiên cứu về dạng toán tìm chữ số tận cùng để giúp tôi nâng cao năng
lực chuyên môn và làm tư liệu dạy học sinh giỏi.

3. Đối tượng nghiên cứu:
Các phương pháp giải toán về tìm chữ số tận cùng, các bài toán liên quan
đến việc tìm chữ số tận cùng. Đặc biệt là dạy các chuyên đề trong trường học
hoặc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi
vào các lớp chọn, lớp chuyên THPT.
Đây cũng là tài liệu tham khảo cho các đông nghiệp trong công tác giảng
dạy môn Toán ở trường trung học cơ sở.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp đọc và nghiên cứu tài liệu.
2


- Phương pháp so sánh đối chứng.
- Phương pháp thông kê.
- Phương pháp thực nghiệm qua giảng dạy.
- Phương pháp điều tra phân tích, tổng hợp.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
- Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khi giáo viên được nghiên cứu sâu về các
dạng toán. Cụ thể là với dạng toán tìm chữ số tận cùng này, sẽ giúp giáo viên
nâng cao tư duy và năng lực chuyên môn. Để từ đó truyền đạt cho các em những
bài toán được dễ dàng và giúp các em dễ hiểu và tiếp thu bài tốt.
- Khi học sinh chưa được phân dạng về các bài toán tìm chữ số tận cùng thì các
em thường lúng túng, hay tìm mò hoặc khó tìm ra các lời giải nhanh và đúng.
Nhìn chung, tôi thấy các em rất ngại với những bài toán có số mũ lớn và số mũ
là tham số.
- Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi về các dạng toán tìm chữ số tận cùng, tôi
đã phân rõ các phương pháp giải bài toán khác nhau để các em nắm được cách
phân dạng toán, từ đó các em đưa ra các cách làm cho phù hợp với mỗi bài để có

cách giải nhanh nhất và các em sẽ có được phương pháp phân tích tư duy tổng
hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vượt khó để giải bài
toán.
- Với những giáo viên chưa được nghiên cứu về dạng Toán tìm chữ số tận cùng
này, nếu nắm được các phương pháp tìm chữ số tận cùng thì sẽ nâng cao được
năng lực tư duy và năng lực chuyên môn của mình.
- Dạng toán “Tìm chữ số tận cùng” thực tế là ứng dụng của phép luỹ thừa, từ các
đặc điểm của một số luỹ thừa đặc biệt 1; 2; 3 hoặc 4 chữ số tận cùng của một luỹ
thừa bởi trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần
biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn khi so xổ số muốn biết
có trúng những giải cuối hay không người ta chỉ cần so hai chữ số cuối cùng.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn bế tắc,
lúng túng trong cách xác định dạng toán tìm chữ số tận cùng, chứng minh chia
hết và tìm số dư trong một phép chia, phương hướng giải và chưa có nhiều
phương pháp giải hay. Lý do chủ yếu của các vấn đề trên là các em chưa có hệ
thống phương pháp giải dạng toán, phân dạng toán để tìm lời giải cho bài toán…
Đứng trước thực trạng ấy, đòi hỏi giáo viên phải giúp các em tháo gỡ khó
khăn, tạo hứng thú cho học sinh khi học tập và làm bài. Muốn vậy giáo viên phải
sớm hình thành phương pháp giải từng dạng toán, cần giúp học sinh biết định
hướng phân dạng toán để tìm lời giải theo các phương pháp hợp lí, phù hợp cho
bài toán đó.
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng cho học sinh, trước khi đưa vào
giảng dạy các phương pháp tìm chữ số tận cùng. T ôi đã ra một đề kiểm tra
cho 10 em học sinh khá giỏi của trường như sau:
3


Bài 1: (5 điểm)
4

a. Tìm chữ số tận cùng của 23
b. Tìm hai chữ số tận cùng của 2100.
Bài 2: (2 điểm) Chứng tỏ rằng hiệu sau không chia hết cho 10.
A = 98. 96. 94 – 91. 93. 95. 97
Bài 3: (3 điểm) Chứng minh rằng:
a. M = 8102 – 2102 chia hết cho 10.
b. 74n – 1 M5
Qua kiểm tra khảo sát chất lượng của một lớp bồi dưỡng học sinh thì
kết quả thu được như sau:
SL
0

Giỏi
%
0

SL
2

Khá
%
20

Trung bình
SL
%
4
40

SL

4

Yếu
%
40

Từ thực trạng trên tôi thấy học sinh chưa biết cách phân ra từng dạng toán,
chưa có biện pháp giải đạt hiệu quả. Lời giải thường dài dòng, không chính xác,
đôi khi còn ngộ nhận.Vậy để giúp học sinh nắm vững phương pháp, phân loại
được từng dạng toán, biết vận dụng linh hoạt và tư duy tốt để trình bày một lời
giải đúng, chặt chẽ thì cần phải có những biện pháp thực hiện mới , mang lại
hiệu quả cao.
Chính vì vậy tôi đã tìm hiểu các tài liệu để phân dạng giúp cho học sinh các
phương pháp làm dễ hơn. Mỗi dạng tôi đưa ra cơ sở lý thuyết và một số bài tập
cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng toán và các phương pháp làm đối với
những dạng Toán đó. Kết quả thu được qua khảo sát học sinh cuối năm học đã
nâng cao rõ rệt hơn so với trước đó. Sau đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã áp
dụng thành công khi dạy chuyên này.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1. Một số định nghĩa, định lý liên quan đến phương pháp giải bài toán tìm
chữ số tận cùng, chia hết ....
a. Định nghĩa: an = a.a.a…a
(n ≠ 0)
n thừa số

a: cơ số, n: số mũ.
b. Tính chất:
- Các tính chất về lũy thừa.
am.an = am + n
am : an = am – n (a ≠ 0, m ≥ n)

( am )

n

= a m.n

( a.b )

n

= a n .b n

n

n

a
a
(b ≠ 0)
 ÷ = n
b
b
 
- Các tính chất khác về tìm chữ số tận cùng, chia hết, số chính phương,…

4


Tính chất 1: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc

N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Tính chất 2: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc
4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ
số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 2.
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc
4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
Tính chất 3: Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1M25.
Tính chất 4: Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125.
Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu :
+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8.
+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ.
+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2.
+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.
3.2. Một số nhận xét quan trọng trong việc giải các dạng toán này.
Trong toán học khi xét một số chia hết cho 2, 4, 8 hoặc chia hết cho 5, 25,
125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó. Việc tìm 1, 2, 3
chữ số tận cùng của một số ta chỉ có thể căn cứ vào:
a.- Tích các số lẻ là một số lẻ.
- Tích một số có tận cùng là 5 với bất kì số nhiên lẻ nào cũng có tận cùng là 5.
- Tích một số chẵn với bất kì số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
- Tích một số có chữ số tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có tận cùng
là 0.
b. - Các số tự nhiên có tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì nào
(khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.
- Các chữ số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3, 7, 9 nâng lên luỹ
thừa 4n (n khác 0) nào cũng có tận cùng là 1.

…34n = …1; …74n = …1; …94n = …1
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng những chữ số 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4n (n
khác 0) đều có tận cùng là 6.
…24n = …6; …44n = …6; …84n = ...6
- Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 nâng lên luỹ thừa lẻ có tận cùng bằng
chính nó, nâng lên luỹ thừa chẵn có số tận cùng lần lượt là 6; 1.
- Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng có tận
cùng bằng 01, 26, 76.
- Các số 320, 815, 74, 512, 992 có tận cùng bằng 01.
- Các số 220, 65, 184, 242, 684, 742, có tận cùng bằng 76.
- Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76.
5


- Các số có tận cùng bằng 001, 376, 626 nâng lên luỹ thừa (khác 0)nào cũng có
tận cùng bằng 001, 376, 625.
- Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cúng có tận cùng
bằng 0625.
c. - Số chính phương không tận cùng bởi các chữ số 2, 3, 7, 8.
- Một số chính phương có nhữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.
d. Để tìm hai chữ số tận cùng chúng ta dùng nhận xét sau:
Nhận xét: Nếu x ∈ N và x = 100k + y, trong đó k ; y ∈ N thì hai chữ số
tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự
nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ hơn).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự
nhiên x = am như sau :
Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = amM2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1M25.
Viết m = pn + q (p ; q ∈ N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq M4 ta có:

x = am = aq(apn - 1) + aq.
Vì an - 1 M25 => apn - 1 M25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) M100.
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp
theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq.
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 M100.
Viết m = un + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < n) ta có :
x = am = av(aun - 1) + av.
Vì an - 1 M100 => aun - 1 M100.
Vậy hai chữ số tận cùng của a m cũng chính là hai chữ số tận cùng của a v. Tiếp
theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av.
Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta
phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng
tìm hai chữ số tận cùng của aq và av.
e. Để tìm ba chữ số tận cùng chúng ta dùng nhận xét sau:
Nhận xét : Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba
chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x cho
1000.
Nếu x = 1000k + y, trong đó k ; y ∈ N thì ba chữ số tận cùng của x cũng chính là
ba chữ số tận cùng của y (y ≤ x).
Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số
tận cùng của số tự nhiên x = am như sau :
Trường hợp 1 : Nếu a chẵn thì x = am chia hết cho 2m. Gọi n là số tự nhiên
sao cho an - 1 chia hết cho 125.
Viết m = pn + q (p ; q ∈ N), trong đó q là số nhỏ nhất để aq chia hết cho 8 ta có :
x = am = aq(apn - 1) + aq.
6


Vì an - 1 chia hết cho 125 => apn - 1 chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) = 1
nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000.

Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của a q. Tiếp
theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của aq.
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho a n - 1 chia hết cho
1000.
Viết m = un + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < n) ta có :
x = am = av(aun - 1) + av.
Vì an - 1 chia hết cho 1000 => aun - 1 chia hết cho 1000.
Vậy ba chữ số tận cùng của am cũng chính là ba chữ số tận cùng của a v. Tiếp
theo, ta tìm ba chữ số tận cùng của av.
- Ta có tính chất: Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1 chia hết cho 125.
Chứng minh : Do a20 - 1 chia hết cho 25 nên a 20, a40, a60, a80 khi chia cho
25 có cùng số dư là 1
=> a20 + a40 + a60 + a80 + 1 chia hết cho 5. Vậy a 100 - 1 = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 +
a20 + 1) chia hết cho 125.
4. Các biện pháp tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề.
4.1. Phương pháp giải các bài toán tìm chữ số tận cùng.
4.1.1. Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số:
a. Cơ sở lý thuyết: Xem số tự nhiên: A = nk với n, k ∈ N.
*. Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dưới dạng:
A = 10a + b = ab ⇒ b là chữ số cuối cùng của A.
Ta viết:
A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r ∈ N; 0 ≤ r ≤ 9
Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk
- Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A.
- Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A.
…………………
- Nếu A = 10m.am + am −1...a0 = am ...a1a0 thì am −1...a0 là m chữ số cuối cùng của A.

*. Vận dụng nghị thức Newtơn:
(a + b)n = cn0 .a + c1n .a n −1b +…. cnn −1.a.b n −1 + cnn .b n

b. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số: A = 9 9
Giải:
Xem số M = 9k; k∈ N
- Nếu k chẵn ⇔ k = 2m ta có:
M
= 92m = 81m = (80 + 1)m
=(10q + 1)m = 10 t + 1 (với m, q, t ∈ N)
Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn.
- Nếu k lẻ ⇔ k = 2m + 1 ta có:
M
= 92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9
9

7


= 10q + 9 (với m, t, q ∈ N)
Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 99 là một số lẻ.
Do đó: A = 9 9 có chữ số cuối cùng là 9.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của số: B = 2 3
Giải:
B
= 2 3 = 2 81 = (25)16.2 = 3216.2
= (30 + 2)16. 2 = 10q + 217
= 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 . 22
= 10t + 25 = 10t + 2
Vậy B có chữ số cuối cùng là 2.
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C = 2999
Giải:

Ta có : 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025  25 suy ra 210 – 1  25
Ta lại có 21000 – 1 = ( 220)50 – 1  220 – 1 suy ra 21000 - 1 25
Do đó 21000 chữ số tận cùng là 26 ; 51 ; 76
nhưng 21000  4
suy ra 21000 tận cùng là 76 ⇒ 2999 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 2999  4
⇒ 2999 tận cùng là 88
Vậy C = 2999 có hai chữ số tận cùng là 88.
Bài4: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D=3999
Giải
Ta có: 92m tận cùng là 1 ;
92m + 1 tận cùng là 9
Ta hãy tìm số dư của phép chia 95 + 1 cho 100
Ta có : 95 + 1 = 10( 94 – 93 + 92 – 9 +1 )
Số : 94 + 92 +1 tận cùng là 3
93 + 9 tận cùng là 8
suy ra ( 94 – 93 + 92 – 9 +1) tận cùng là 5 ⇒ 94 – 93 + 92 – 9 +1 = 10q + 5
⇒ 95 + 1 =100q + 50 ⇒ 910 – 1 = ( 95 +1 )( 95 – 1 ) = 100t
Ta lại có :31000 – 1 = 9500 – 1 = (910)50 – 1 suy ra 31000 – 1  100
⇒ 31000 tận cùng là 01 . Mặt khác 31000  3
Suy ra chữ số hàng trăm của 31000 phải là 2 ( để 201 chia hết cho 3 )
⇒ 31000 chữ số tận cùng là 201
Do đó 3999 tận cùng là 67.
9
Bài 5 : Tìm hai chữ số tận cùng của số A = 99
Giải
9

4

4

A=

9

9
9
n
9
99 = (10 − 1) có dạng: ( 10 – 1) với n = 9 ta lại có

A = C 0n . 10n - C 1n .10n-1 + ……+ C nn −1 .10 - C nn
Suy ra A có hai chữ số cuối cùng
Với a = C nn −1 .10 - C nn = 10n – 1 Số n = 99 tận cùng là 9
Suy ra 10n tận cùng là 90 ⇒ a = 10n – 1 tận cùng là 89
9
Vậy số A = 99 có hai chữ số cuối cùng là 89.
4.1.2. Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.
8


a. Cơ sở lý thuyết: Nhận xét: Ta có an là một lũy thừa.
Các trường hợp đặc biệt của lũy thừa như sau:
- Các số có dạng tìm một chữ số tận cùng:
+ Các số có dạng ( a0 )n tận cùng bằng 0.
+ Các số có dạng (a1 )n; ( a5 )n; ( a6 )n tận cùng lần lượt là 1; 5; 6.
+ Các số có dạng ( a3 )4n ; ( b7 )4n; ( b9 )4n tận cùng bằng 1.
+ Các số có dạng ( a 2 )4n; ( a 4 )4n; ( a8 )4n tận cùng bằng 6.
+ Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 nâng lên luỹ thừa lẻ có tận cùng bằng
chính nó, nâng lên luỹ thừa chẵn có số tận cùng lần lượt là 6; 1.

- Các số có dạng tìm hai chữ số tận cùng.
+ Các số 320, 815, 74, 512, 992 tận cùng 01
+ Các số 220, 65, 184, 242, 684, 742, có tận cùng bằng 76.
+ Số 26n (n > 1) có tận cùng bằng 76.
+ Các số có dạng ( a01 )n; ( a 25 )n, ( a76 )n có 2 chữ số tận cùng lần lượt là: 01, 25,
76.
- Các số có dạng tìm ba, bốn chữ số tận cùng:
+ Các số có tận cùng bằng 001, 376, 626 nâng lên luỹ thừa (khác 0)nào cũng có
tận cùng bằng 001, 376, 625.
+ Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cúng có tận cùng
bằng 0625.
b. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số: A = 9 9
Giải: Ta có:
92m tận cùng là 1
92m+1 tận cùng là 9
Suy ra: 99 tận cùng là 9, (9 là số lẻ.)
Vậy A = 9 9 tận cùng là 9.
- Ở những bài tập này ta đã vận dụng các nhận xét về các số tận cùng là
2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4n có chữ số tận cùng là 6.
Số có tận cùng là 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n có tận cùng bằng 1.
- Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 nâng lên luỹ thừa lẻ có tận cùng
bằng chính nó, nâng lên luỹ thừa chẵn có số tận cùng lần lượt là 6; 1.
7
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số: 7430, 4931, 8732, 5833, 2335, 24456
9

9

5

, 57967 .
Giải:
30
* 74 = 742. 7428 = 742.744.7 = 742.(744)7 = A6.B6 = C6 .
Vậy 7430 có tận cùng là 6.
* 4931 = 49.4930 = 493.4928 = 493. (494)7 = A9.B1 = C9 .
Vậy 4931 có tận cùng là 9.

( )

8

* 8732 = (874)8 = A1 = B1 .
Vậy 8732 có tận cùng bằng 1.
* 5833 = 58.5832 = 58.(584)8 = 58.A6 = B8 .
9


Vậy 5833 có tận cùng bằng 8.

( )

8

* 2335 = 233.2332 = (234)8.233 = A1 .B7 = C7
Vậy 2335 có tận cùng là 7.
7
* 244 có tận cùng là 4 nâng lên luỹ thừa bậc lẻ vẫn có tận cùng là 4, vậy 24456
có tận cùng là 4.

75

75

75

* 57967 = 579(2.3) = 579 2 .5793 = (...1). ( ...9 ) = ...9 .
5

5

Vậy 57967 có tận cùng là 9.
- Ta sử dụng tính chất 1: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa
bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của các số : 799 ; 4567
Giải :
* Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4 :
99 - 1 = (9 - 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia hết cho 4
=> 99 = 4k + 1 (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 7.
* Ta có 567 - 1 chia hết cho 4 => 567 = 4k + 1 (k thuộc N)
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có
chữ số tận cùng là 4.
- Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách
tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009.
Giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các
lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận

cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng :
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9
= 9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
- Trong giải toán này chúng ta cần lưu ý tính chất 2:
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ
số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 3.
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ
số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ
có chữ số tận cùng là 2.
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc
4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011.
Giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các
lũy thừa đều có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
10


Theo tính chất trên thì 23 có chữ số tận cùng là 8 ; 37 có chữ số tận cùng là 7; 411
có chữ số tận cùng là 4 ; …
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng : (8 + 7 + 4 +
5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 =
200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.
Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C = 2999, D = 3999
Giải:
* Ta có: 220 có 2 chữ số tận cùng là 76.
Suy ra: C = 2999 = (220)49 .219 = ( y 76 ). n88 = q88 (với y,n,q ∈ N)

Vậy C = 2999 có 2 chữ số tận cùng là 88
* Ta có: 3D = 31000 = (320)50 = ( k 01 )50 = z 01 .
Nên 3D tận cùng là 01 , mà 3.3999  3 ⇒ Chữ số hàng trăm của 31000 là 2
⇒ 31000 tận cùng là 201
Vậy 3999 có hai chữ số tận cùng là 67
Bài 7: Tìm hai chữ số tận cùng của số
a, M = 78966; b, N = 247561;
c, Q = 81 6251 ; d, Z = 26854 ; e, C = 68 194
Giải:
a, Ta có 74 có hai chữ số tận cùng là 01
Suy ra M = 78966 = (74)2241.72 = ( a01 )2241.49 = c01 .49 = n49
(với a,c,n ∈ N)
Suy ra M = 78966 có hai chữ số tận cùng là 49
b,Ta có 242 tận cùng là 76
Suy ra N = 247561 = (242)3765.24 = ( m76 )3765.24 = k 76 .24 = n24
(với m,k,n ∈ N)
Vậy N = 247561 có hai chữ số tận cùng là 24.
c, ta có 815 có hai chữ số tận cùng là 01
Nên Q = 816251 = (815)1250.81 = ( k 01 )1250.81 = t 01 .81 = m81
(với k, t, m ∈ N )
Vậy Q = 816251 có hai chữ số tận cùng là 81.
d, Ta có 264 có hai chữ số tận cùng là 76
⇒ Z = 26854 = (264)213.262 = ( n76 )213.676 = k 76 .676 = c 76
( Với n, k, c ∈ N )
Vậy Z = 26854 có hai chữ số tận cùng là 76
e, Ta có 684 có hai chữ số tận cùng là 76
Suy ra C = 68194 = (684)48.682 = ( n76 )48.4624 = k 76 .4624 = t 24
( Với n, k, t ∈ N )
Vậy C = 68194 có hai chữ số tận cùng là 24.
- Để tìm hai chữ số tận cùng chúng ta dùng nhận xét được nêu trong mục

3.2 trang 5.
Bài 8: Tìm hai chữ số tận cùng của các số : 22003 ; 799
Giải: * Do 22003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ
nhất sao cho 2n - 1 M25.
11


Ta có 210 = 1024 => 210 + 1 = 1025 M25 => 220 - 1 = (210 + 1)(210 - 1) M25 =>
23(220 - 1) M100. Mặt khác :
22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + 8 (k ∈ N).
Vậy hai chữ số tận cùng của 22003 là 08.
* Do 799 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho
7n - 1 M100.
Ta có 74 = 2401 => 74 - 1 M100.
Mặt khác : 99 - 1 M4 => 99 = 4k + 1 (k ∈ N)
Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + 7 = 100q + 7 (q ∈ N) tận cùng bởi hai chữ số 07.
Bài 9: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5946
Giải:
Ta có 53 có ba chữ số tận cùng là 125
Suy ra T = 5946 = (53)315 . 5 = ( n125 )315.5 = m125 .5 = t 625
( Với n, m, t ∈ N )
Vậy T = 5946 có ba chữ số tận cùng là 125.
- Ngoài ra để tìm ba chữ số tận cùng chúng ta dùng nhận xét được nêu
trong mục 3.2 trang và Sử dụng tính chất 4: Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thì a100 - 1
chia hết cho 125.
Bài 10: Tìm ba chữ số tận cùng của 123101.
Giải: Theo tính chất trên, do(123, 5) = 1 =>123100 - 1 chia hết cho =125(1).
Mặt khác : 123100 - 1 = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - 1 chia hết
cho 8 (2).
Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 123100 - 1 chi hết cho 1000

=> 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N).
Vậy 123101 có ba chữ số tận cùng là 123.
Bài 11: Tìm ba chữ số tận cùng của 3399...98.
Giải : Theo tính chất 6, do (9, 5) = 1 => 9100 - 1 chi hết cho 125 (1).
Tương tự bài 11, ta có 9100 - 1 chia hết cho 8 (2).
Vì (8, 125) = 1, từ (1) và (2) suy ra : 9 100 - 1 chia hết cho 1000 => 3 399...98 = 9199...9
= 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q ∈ N).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 999.
Lại vì 9100 - 1 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 9 100 là 001 mà 999 =
9100 : 9 => ba chữ số tận cùng của 9 99 là 889 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 9 99
là 9, sau đó dựa vào phép nhân ??.9 = ...001 để xác định ??.9 = 889 ).
Vậy ba chữ số tận cùng của 3399...98 là 889.
- Nếu số đã cho chia hết cho 8 thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng
một cách gián tiếp theo các bước : Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó
suy ra các khả năng của ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia
hết cho 8 để chọn giá trị đúng.
Bài 12: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004200.
Giải : Do (2004, 5) = 1 (tính chất trên)
=> 2004100 chia cho 125 dư 1
=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư 1
12


=> 2004200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004 200
chia hết cho 8 nên chỉ có thể tận cùng là 376.
- Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có
thể mở rộng để tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên.
Bài 13: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P = 51992
Giải:
* Ta có 51992 = (54)498 = 0626498 = …0625 ⇒ P = 51992 có bốn nhữ số tận cùng là

0625.
4.1.3. Phương pháp 3: Dùng đồng dư.
a. Cơ sở lý thuyết:
- Định nghĩa:
Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùng số dư ta nói
a đồng dư với 6 theo mô đun m và viết a ≡ b (mod m).
- Định lý:
Ba mệnh đề sau tương đương với nhau:
+) a đồng dư với b theo mô đun m
+) a – b chia hết cho m
+) có một số nguyên t sao cho a = b+m.t
- Tính chất:
1. a ≡ a (mod m)
2. a ≡ b (mod m); b ≡ c (mod m) Suy ra: a ≡ c (mod m)

{

a ≡ b (mod m )

a ± ≡ b ± d (, mod m )

3. c ≡ d (mod m )
suy ra: ac ≡ bd (mod m )
Hệ quả:
a+c ≡ b (mod m) ⇒ a ≡ b − c (mod m)
a ≡ b (mod m) ⇒ a m ≡ b n (mod m)
4. Nếu a ≡ b (mod m); k ∈ ƯC (a,b), (k,m) = 1 thì
5.

{

a ≡ b (mod m )
k ∈Z , k > 0

a b
= (mod m)
k k

suy ra ka ≡ kb (mod m).

a b
m
=
(mod )
d d
d
7. Nếu a ≡ b (mod m1) và a ≡ b (mod m2) suy ra a ≡ b (mod m)

6. d ∈ ƯC (a,b,m) thì: a ≡ b (mod m) suy ra

m = BCNN (m1, m2)
Hệ quả: (m1, m2, …, mn) =1 và ng tố từng đôi
Suy ra:
a ≡ b (mod m1), a ≡ b (mod m2) …… a ≡ b (mod mn)
a ≡ b (mod m1 . m2 …. Mn).
b. Các ví dụ:
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6195 và 21000
Giải:
Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải tìm số
dư trong phép chia số N cho 10, tức là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 10 đồng dư với

N theo mod 10
13


* Ta có: 62 = 36 ≡ 6 mod 10 suy ra 6n ≡ 6 mod 10
Với N là số tự nhiên khác o
Suy ra: 6195 ≡ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6195 là 6.
* Ta có: 21000 = 24 . 250 = (2n)250
Vì 2n ≡ 16 ≡ 6 (mod 10)
Suy ra: (2n)250 ≡ 16250 ≡ 6250 ≡ 6 (mod 10)
Do đó: 21000 ≡ 6250 ≡ 6 (mod 10)
Nghĩa là chữ số tận cùng của 21000 là 6.
Như vậy ta vận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm chữ
số tận cùng của số N với:
Một chữ số tận cùng là N ≡ a (mod 10) suy ra tận cùng là a < 10
Hai chữ số tận cùng là N ≡ b (mod 100) suy ra tận cùng là b <100
Ba chữ số tận cùng là N ≡ c (mod 1000) suy ra tận cùng là c <1000
…………………..
m chữ số tận cùng là N ≡ k (mod 10…0) suy ra tận cùng là k <10…0
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của
A = 2999; B = 3999
Giải:
*. Ta có: 2999 = 21000 : 2
Ta có: 220 = 1048576 ≡ 1 (mod 25)
Suy ra:
(220)50 ≡ 150 (mod 25)
21000 ≡ 1 (mod 25)
21000 chia cho 25 dư 1
21000 có hai chữ số tận cùng là 1; 26; 51; 76 nhưng 21000 4 suy ra
A = 2999 hai chữ số tận cùng của nó là 88.

*. Ta có: 34 ≡ 19 (mod 100) suy ra 38 ≡ 192 ≡ 6 (mod 100)
310 ≡ 61.9 ≡ 49 (mod 100) suy ra 3100 ≡ 492 ≡ 1 (mod 100)
Suy ra: 31000 ≡ 01 (mod 100)
Nghĩa là hai chữ số tận cùng của 31000 là 01
Số 31000  3 nên chữ số hàng trăm của nó khi chia cho 3 phải dư 2 (chia tiếp thì
số 201  3 nếu số dư là 0,1 thì 001; 101 không chia hết cho 3)
Vậy B = 3999 = 31000 3 có hai chữ số tận cùng là 76.
9
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D = 99
Giải
Ta có: 92 = 81 ≡ 1 (mod 10) suy ra 98 ≡ (92)n ≡ 1 (mod 10)
Suy ra 99 ≡ 1.9 ≡ 9 (mod 10) suy ra 99 ≡ 10k + 9 (k ∈ N)
94 = 6561 ≡ 61 (mod 100)
98 ≡ 612 ≡ 21 (mod 100)
9100 ≡ 2k81 ≡ 01 (mod 100)
910k ≡ 1 (mod 100)
9
Suy ra: 99 = 910k+9 = (910)k.99 ≡ 1. 99 (mod 100)
Ta lại có: 93 = 729 ≡ 29 (mod 100)
99 = 293 ≡ 89 (mod 100)
14


Vậy

9

99 có hai chữ số cuối cùng là 89

Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của số 19911997; 19971996

Giải
a. Ta có: 1991 ≡ 1 (mod 10) suy ra 19911997 ≡ 1 (mod 10)
Vậy 19911997 có chữ số tận cùng là 1
b. Ta có: 1997 ≡ 7 (mod 10) suy ra 19972 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10)
suy ra 19974 ≡ 1 (mod 10) suy ra (19974)409 ≡ 1 (mod 10)
suy ra 19971996 ≡ 1 (mod 10)
Vậy 19971996 có chữ số tận cùng là 1
Bài 5: Tìm ba chữ số tận cùng của 213
Giải:
Ta có 210 = 1024; 210 = 24 (mod 1000)
Có 23 ≡ 8 (mod 1000); 213 ≡ 192 (mod 100)
Vậy ba chữ số cuối cùng của 213 là 192.
4.2. Dựa vào bài toán tìm chữ số tận cùng để giải các bài toán khác có liên
quan khác.
Như chúng ta đã biết, trong toán học khi xét một số chia hết cho 2, 4, 8
hoặc chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng
của số đó. Do đó thể dùng bài toán tìm chữ số tận cùng để chứng minh chia
hết, nhận xét số có phải là số chính phương hay không, tìm số dư trong phép
chia.
- Các ví dụ:
Bài 1: Cho A = 51n + 47102 (n ∈ N). Chứng tỏ A M10.
Giải:
Ta có: 51n = A1
47102 = 47100.472 = 4725.4.472 = B9.C1 = D9
Vậy 51n + 47102 = A1 + D9 = M0 M10.
Bài 2: Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10.
a/ A = 98. 96. 94 – 91. 93. 95. 97; b/ B = 405n + 2405 + m2 (m, n ∈ N, n ≠ 0)
Giải:
a/ 98. 96. 94 là tích các số chẵn ⇒ tích chẵn.
91. 93. 95. 97 là tích các số lẻ ⇒ tích lẻ.

Hiệu giữa một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ ⇒ A M10.
n
b/ 405 = A5 ; 2405 = 2404.2 = 24.101. 2 = B6.2 = C2
⇒ 405n + 2405 = D7
m2 không có tận cùng bằng 3 ⇒ B không có tận cùng bằng 0
⇒ BM
10.
Bài 3: Chứng tỏ rằng:
a/ M = 8102 – 2102 chia hết cho 10; b/ N = 175 + 244 – 1321 chia hết cho 10.
c/ P = 92n + 1 + 1 chia hết cho 10.
Giải:
a/ Ta có 8102 = (84)25. 82 = A6.64 = B4 .
15


2102 = (24)25. 22 = 1625. 22 = C6.4 = D4
Vậy M = 8102 – 2102 = B4 - D4 = E0 M10
Bài 4: Chứng minh rằng tồn tài n ∈ N / 3n tận cùng 000001
Giải
Ta chứng minh tồn tại n ∈ N để 3n – 1  106
6
Xét dãy gồm 1000000 số hạng 3; 32; 33; …; 310 (*)
Chia các số hạng của dãy (*) cho 106 số dư các phép chia là 1; 2; 3; …; 99999
có 1000000 phép chia nên ít nhất có 2 số cùng số dư cho 106
Gọi 2 số đó là 3i và 3j với i, j ∈ N, 1 ≤ i < j ≤ 106
suy ra:
3j – 3i  106
3i(3j-i – 1)  106 mà (3i,10) =1
(3i: 106) = 1 ⇒ 3j-i – 1  106
Vậy tồn tại n ∈ N cho 3n tận cùng bằng 000001.

Bài 5: Chứng minh rằng tồn tại m ∈ N / 3m tận cùng với 001
Giải
Chứng minh tương tự bài 1
Bài 6: Chứng minh rằng n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau
Giải
Để chứng minh n5 và n có cùng chữ số tận cùng là đi chứng minh n5 – n  10
Ta có: A
= n5 – n = n(n4-1) = n(n2 -1).(n2+1)
= (n-1).n(n+1).(n2+1)
Ta có 10 =2.5 và (2.5)=1
(n-1), n, n+1 là các số tự nhiên liên tiếp
Suy ra A  2
Chứng minh A  5 nếu n  5 thì A  5
Nếu n  5 dư 1 suy ra n-1  5 ⇒ A  5
n: 5 dư 2 suy ra n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+1 5 ⇒ A 5
n: 5 dư 3 suy ra n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+1 5 ⇒ A 5
n: 5 dư 4 suy ra n+1  5 ⇒ A 5
Vậy A 2 và ⇔ A  10
Vậy n5 và n có cùng chữ số tận cùng.
Bài 7: Chứng minh rằng 19911997-19971996 10
Giải
Là chứng minh 2 số có cùng chữ số tận cùng: Theo bài 4 phương pháp 3 ta có
19911997 và 19971996 cso cùng chữ số tận cùng là 1
Suy ra 19911997-19971996 : 10
Bài 8: Tích 1125! tận cùng là bao nhiêu chữ số 0
Giải
Ta thấy 2.5 =10 tận cùng là 1 chữ số 0
Suy ra có 1 thừa số 5 tận cùng là 1 số 0
Với 51 suy ra 1 ⇒ 1125 có
Với 52 suy ra

1125 − 5
+1 = 225 (chữ số 5)
5

1125 − 25
+1 =45 (số)
25

16


Với 53 suy ra

1125 − 125
+1=9 (số)
125

Với 54 có 625 có 1 (số)
Vậy có 225+45+9+1=280 số
Kết luận: Tận cùng có 280 chữ số 0
- Trong một số bài toán khác có liên quan, việc tìm chữ số tận cùng dẫn
đến lời giải khá độc đáo.
Bài 9: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho
19952000.
Giải : 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn
đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 không ?
Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng
của n2 + n chỉ có thể là 0 ; 2 ; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1 ; 3 ; 7 =>
n2 + n + 1 không chia hết cho 5.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000.
- Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ
số 0; 1; 4; 5; 6; 9”, ta có thể giải được bài toán sau :
Bài 10: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương :
a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)
b) N = 20042004k + 2003
- Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi
các chữ số 1; 3; 7; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán :
Bài 11: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng :
p8n +3.p4n - 4 chia hết cho 5.
HD: Phân tích p8n +3.p4n – 4 =( p4n + 4).( p4n – 1) rồi xét các trường hợp
tận cùng của p4n.
- Chúng ta dùng nhận xét sau để giải bài toán liên quan đến tìm hai
chữ số tận cùng:
Nếu x ∈ N và x = 100k + y, trong đó k ; y ∈ N thì hai chữ số tận cùng của
x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y.
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự
nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên y (nhỏ
hơn).
Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản
hơn.
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự
nhiên x = am như sau :
Trường hợp 1: Nếu a chẵn thì x = amM2m. Gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1M25.
Viết m = pn + q (p ; q ∈ N), trong đó q là số nhỏ nhất để aqM4 ta có :
x = am = aq(apn - 1) + aq.
Vì an - 1 M25 => apn - 1 M25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn - 1) M100.
Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếp
theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq.
Trường hợp 2 : Nếu a lẻ , gọi n là số tự nhiên sao cho an - 1 M100.

17


Viết m = un + v (u ; v ∈ N, 0 ≤ v < n) ta có :
x = am = av(aun - 1) + av.
Vì an - 1 M100 => aun - 1 M100.
Vậy hai chữ số tận cùng của a m cũng chính là hai chữ số tận cùng của a v. Tiếp
theo, ta tìm hai chữ số tận cùng của av.
Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta
phải tìm được số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dễ dàng
tìm hai chữ số tận cùng của aq và av.
Bài 12: Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25.
Giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 3 517. Do số này lẻ nên theo
trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho 3n - 1 M100.
Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + 1 M50 => 320 - 1 = (310 + 1) (310 - 1) M100.
Mặt khác : 516 - 1 M4 => 5(516 - 1) M20
=> 517 = 5(516 - 1) + 5 = 20k + 5 =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) +
243, có hai chữ số tận cùng là 43.
Vậy số dư của phép chia 3517 cho 25 là 18.
- Trong trường hợp số đã cho chia hết cho 4 thì ta có thể tìm theo cách
gián tiếp.
Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng
của hai chữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho 4 để chọn
giá trị đúng.
Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu a = 2 hoặc a = 3 thì n = 20 ; nếu a = 7 thì n
= 4.
- Một câu hỏi đặt ra là : Nếu a bất kì thì n nhỏ nhất là bao nhiêu ? Ta có tính
chất sau đây.
- Tính chất 3: Nếu a ∈ N và (a, 5) = 1 thì a20 - 1M25.
Bài 13: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :

2002
S = 1 + 22002 + 32002 + ... + 20042002
Giải :
Dễ thấy, nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4 ; nếu a lẻ thì a100 - 1 chia hết cho
4 ; nếu a chia hết cho 5 thì a2 chia hết cho 25.
Mặt khác, từ tính chất 4 ta suy ra với mọi a ∈ N và (a, 5) = 1 ta có a100 - 1M25.
Vậy với mọi a ∈ N ta có a2(a100 - 1) M100.
Do đó S = 12002 + 22(22000 - 1) + ... + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + ... + 20042.
Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng
12 + 22 + 32 + ... + 20042. áp dụng công thức :
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
=>12 + 22 + ... + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận cùng là 30.
Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S là 30.
- Ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tận cùng để nhận biết một
số không phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhận biết điều đó thông qua
việc tìm hai chữ số tận cùng. Ta có tính chất sau đây.
- Tính chất 5: Số tự nhiên A không phải là số chính phương nếu :
+ A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8.
18


+ A có chữ số tận cùng là 6 mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
+ A có chữ số hàng đơn vị khác 6 mà chữ số hàng chục là lẻ.
+ A có chữ số hàng đơn vị là 5 mà chữ số hàng chục khác 2.
+ A có hai chữ số tận cùng là lẻ.
Bài 14: Cho n ∈ N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7n + 2
không thể là số chính phương.
Giải : Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r ∈ {0, 2, 3}). Ta có
4
7 - 1 = 2400 ∶ 100. Ta viết 7n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k - 1) + 7r + 2.

Vậy hai chữ số tận cùng của 7n + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7r + 2
(r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7n + 2
không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4.
4.3. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Chứng tỏ rằng 175+244-1321 chia hết cho 10
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7430 ;4931 ;8732 ;5833 ;2335.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: (2345)42; (5796)35
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau:
a) 132001-82001;
b/12591+12692;
b) 116+126+136+146+156+166
Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của: 5151 ; (9999)99; 6666; 14101 .16101; 5n (n > 1).
Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của : S = 23 + 223 + ... + 240023
Bài 7: Tìm ba chữ số tận cùng của : S = 12004 + 22004 + ... + 20032004
Bài 8: Cho (a, 10) = 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của a101 cũng bằng
ba chữ số tận cùng của a.
Bài 9: Cho A là một số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm ba chữ số tận cùng
của A200.
Bài 10: Tìm ba chữ số tận cùng của số : 199319941995 ...2000
Bài 11: Tìm sáu chữ số tận cùng của 521.
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của X, Y :
X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010 ;
Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016
Bài 13: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau :
U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013 ;
V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015
Bài 14: Cho A =51n+47102 (n ∈ N). Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10
Bài 15: Chứng tỏ rằng với mọi n ∈ N* (n > 1) thì (22)n +1 có chữ số tận cùng
là 7.

Bài 16: Chứng tỏ rằng vói mọi số tự nhiên n:
a) 74n-1 chia hết cho 5; b) 34n+1 +2 chia hết cho 5;
c) 92n+1+1 chia hết cho 10
Bài 17: Tìm số dư của các phép chia :
a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho 5 ;
b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 5
Bài 19: Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 19x +
5y + 1980z = 1975430 + 2004.
5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
19


Như vậy, với cách hướng dẫn đưa ra phương pháp tìm chữ số tận cùng về
cơ sở lý thuyết và các bài tập minh họa. Tôi tôi nhận thấy các em học và tiếp thu
bài tốt hơn. Đa số các em học sinh đã định hướng đúng, đã có cách tư duy
đúng, biết cách phân dạng toán và trình bày lời giải chặt chẽ. Khả năng tư duy,
khả năng thực hành, khả năng phán đoán, kỹ năng giải toán và vận dụng
phương pháp thích hợp vào từng bài toán cụ thể thì đa số các em rất linh hoạt,
thực hiện tốt việc giải các bài toán. Tìm chữ số tận cùng để đưa ra cách giải hợp
lý và vận dụng vào các dạng toán khác.
Với sáng kiến kinh nghiệm này cũng là một tư liệu tốt để các đồng nghiệp
dùng bồi dưỡng học sinh khá giỏi, ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào lớp 10
chọn, lớp chuyên phổ thông trung học.
Sáng kiến kinh nghiệm này cũng là một trong những chuyên đề hay, bổ
ích. Chính vì vậy, nhà trường có thể dùng nó trong các buổi sinh hoạt chuyên đề.
Sau khi hướng dẫn, bồi dưỡng các em học theo định hướng này tôi kiểm
tra khảo sát chất lượng 10 em học sinh lớp bồi dưỡng theo các đợt khác nhau
dưới dạng phiếu học tập và đã thu được một kết quả khả quan như sau:
Đề bài: Bài 1: (5 điểm)

a. Tìm chữ số tận cùng của M = 7430
b. Tìm hai chữ số tận cùng của N = 78966
Bài 2: (2 điểm) Chứng tỏ rằng hiệu sau không chia hết cho 10.
A = 405n + 2405 + m2 (m, n ∈ N, n ≠ 0)
Bài 3: (3 điểm) Chứng minh rằng:
a. M = 51n+47102 (n ∈ N) chia hết cho 10.
b. 34n+1 +2 chia hết cho 5
Đối
tượng

Số
lượng

Học sinh
lớp 9

Thời điểm
áp dụng
Trước

10
Sau

Điểm
giỏi
SL %
0
0
SL %
6

60

Điểm
khá
SL %
2
20
SL %
2
20

Điểm TB

Điểm yếu

SL
4
SL
2

SL
4
SL
0

%
40
%
20

%
40
%
0

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận :
Trên đây tôi đã giới thiệu các phương pháp giải các dạng toán tìm chữ số
tận cùng và các bài toán liên quan trong chương trình toán THCS đây không chỉ
là hành trang ban đầu về kiến thức và kỹ năng thực hành cho học sinh mà còn là
hành trang cho các em trong những chương trình toán cao hơn. Đây là một cơ sở
để kích thích các em tăng tính ham mê, yêu thích học môn toán.
Như vậy việc lựa chọn các phương pháp giải toán như đã giới thiệu trên
đây bản thân tôi đã nhận thấy được các em đã vận dụng tương đối hiệu quả, dễ
dàng tìm cách giải và đạt kết quả cao trong quá trình học tập, bản thân đã từng
bước đưa các phương pháp này vào vận dụng giải toán và đã được kết quả tương
đối tốt. Ngay từ lúc này việc giải dạng toán tìm chữ số tận cùng và các bài toán
liên quan đối với các em học sinh không còn là một loại toán khó khăn như
20


trước nữa.
Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn khi giải một bài toán tìm
chữ số tận cùng và các bài toán liên quan khác thì ngay cả giáo viên và học sinh
trước hết cần phải đoán dạng, sau đó mới chọn lựa phương pháp để giải. Ngoài
ra cần phải nỗ lực hơn nữa, cần phải có sự phân tích từng dạng toán một cách
chính xác. Tôi tin rằng trong một thời gian không lâu các phương pháp giải này
sẽ trở thành một món ăn tinh thần cho những em học sinh yêu thích môn toán.
Trên đây là một sáng kiến kinh nghiệm nhỏ mà tôi rút ra được trong quá
trình giảng dạy bộ môn toán. Tôi nghĩ rằng tôi cần phải cố gắng đọc thêm tài

liệu, học bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài ngày càng phong phú
hơn.
Việc giải các dạng toán tìm chữ số tận cùng rất đa dạng và được ứng dụng
rộng rãi, phổ biến trong nhiều bài toán, dạng toán khác nhau và có thể còn nhiều
phương pháp để giải toán tìm chữ số tận cùng và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác.
Nhưng do kinh nghiệm bản thân có hạn nên trong khi trình bày sáng kiến này sẽ
không tránh khỏi những điểm thiếu sót và khiếm khuyết.
Rất mong được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp, hôi đồng khoa học ở
các cấp để đề tài này được hoàn thiện và áp dụng có hiệu quả hơn.
Tôi xin chân thành cám ơn!
2. Kiến nghị:
- Đối với ngành.
Tổ chức những buổi hội thảo chuyên đề về bộ môn Toán để nâng cao
trình độ chuyên môn nghiệp vụ và học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
Triển khai thực hiện các buổi thảo luận, hướng dẫn viết SKKN và giới
thiệu các sáng kiến kinh nghiêm có chất lượng cao và được ứng dụng rộng trong
thực tế giảng dạy.
- Đối với nhà trường.
Nhà trường cần có sự quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi hơn nữa về thời
gian cũng như tài liệu để giúp giáo viên giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thực
hiện được ngày một tốt hơn.
Cần trang bị thêm đồ dùng dạy học, tài liệu tham khảo để phục vụ tốt hơn
cho công tác giảng dạy, tự học, tự nghiên cứu của giáo viên cũng như đối với
học sinh.
- Đối với đồng nghiệp.
Cần chủ động, thường xuyên trao đổi kinh nghiêm, xây dựng ý kiến đóng
góp về phương pháp cũng như về chuyên môn nghiệp vụ để giúp đỡ nhau cùng
tham ra giảng dạy tốt hơn.
XÁC NHẬN CỦA BGH
Yên Định, ngày 16 tháng 4 năm 2018

(Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.)
Người viết:

21


Nguyễn Hữu Dũng

Tài liệu tham khảo
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Tên tài liệu
Toán phát triển đại số 6 (NXB Giáo dục)
500 bài toán chọn lọc 8 (NXB Đại học sư phạm)
Nâng cao và phát triển toán 6, 8 (NXB Giáo dục)
23 Chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp(NXB Giáo dục)
400 bài toán số học chọn lọc (NXB Giáo dục)
Tạp chí Toán học và tuổi trẻ (NXB Giáo dục)
Tạp chí Toán tuổi thơ 2 (NXB Giáo dục)

Chuyên đề bồi dưỡng số học
Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi về “Tìm chữ số
tận cùng”

Tác giả
Nguyễn Ngọc Đạm
Nguyễn Ngọc Đạm
Vũ Hữu Bình
Nguyễn Văn Vĩnh
Vũ Dương Thụy
Nguyễn Vũ Thanh
Tham khảo trên
mạng internet

22


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Hữu Dũng
Chức vụ và đơn vị công tác: THCS Yên Trung

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá

xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

(A, B, hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

1.

Một số kinh nghiệm dạy tiết
ôn tập chương I - số học 6

Cấp huyện

A

2009-2010

2.

Kinh nghiệm giải phương
trình, bất phương trình vô tỉ

Cấp huyện

A

2010-2011

3.

Kinh nghiệm vận dụng hằng
đẳng thức trong giải toán

Cấp huyện

A

2011-2012

4.

Kinh nghiệm giải phương
trình, bất phương trình vô tỉ

Cấp huyện

C

2014-2015

5.

Một số kinh nghiệm giải
phương trình nghiệm nguyên

Cấp huyện

B

2015-2016

23


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH

TRƯỜNG THCS YÊN TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁCH GIẢI CÁC DẠNG
TOÁN TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
*******************

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Dũng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Yên Trung
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

24

YÊN ĐỊNH, NĂM 2018