SKKN giúp học sinh nắm vững kiến thức chương i – giải tích 12 thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh

MỤC LỤC
1.

MỞ ĐẦU .............................................................................. Trang 01
1.1. Lí do chọn đề tài ........................................................

Trang 01

1.2. Mục đích nghiên cứu ………………………………. Trang 01
1.3. Đối tượng nghiên cứu ……………………………… Trang 01
1.4. Phương pháp nghiên cứu …………………………
2.

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ...................... Trang 02
2.1. Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm ................
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến
kinh nghiệm
................................................................
2.3. Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề ...............................................................
2.3.1. Một số bài toán về sự đồng biến, nghịch biến
của hàm số....................................................................
2.3.2. Mốt số bài toán về cực trị và giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số...........................................
2.3.3. Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị
hàm
số ..........................................................................
2.3.4. Một số bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm
số..................................................................................
2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà

trường .........................................................................

3.

Trang 01
Trang 02
Trang 02
Trang 03
Trang 03
Trang 11
Trang 15
Trang 17
Trang 19

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ .................................................. Trang 20
3.1. Kết luận ….………………………………………...

Trang 20

3.2. Kiến nghị …………………………………………...

Trang 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………..

Trang 21

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI ................. Trang 21

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan
trọng. Nó là môn học giúp chúng ta rèn luyện tư duy, phương pháp suy luận,
rèn luyện trí thông minh, sáng tạo. Nó còn giúp chúng ta rèn luyện tính cần
cù, nhẫn nại, ý chí vươn lên, ham chuộng chân lí, yêu thích chính xác. Trong
bất cứ công việc gì, kiến thức và phương pháp toán học cũng rất cần thiết đối
với mọi người.
Ở trường THPT, đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ
yếu của hoạt động toán học, là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy
học toán. Các bài toán ở trường THPT là một phương tiện rất có hiệu quả
trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng, ứng dụng
toán học vào cuộc sống. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có
vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán, nhằm rèn luyện cho học
sinh tư duy toán học cùng những phẩm chất quý báu của con người lao động.
Tuy nhiên qua giảng dạy, để tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán,
tôi nhận thấy cần phải giúp học sinh nhận thức được sai lầm, khắc phục sai
lầm và có sự phòng tránh sai lầm tiếp theo. Bởi bất kỳ một sai lầm nào cũng
có thể làm học sinh học kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới sai
lầm đó, không hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm.
Người học phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình.
Xuất phát từ điều đó, trong năm học 2017 – 2018, tôi có Sáng kiến kinh
nghiệm trong giảng dạy là: “Giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I
– Giải Tích 12 thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Sáng kiến kinh nghiệm này phục vụ cho quá trình giảng dạy của tôi
trong năm học 2017 – 2018, giúp học sinh lớp 12 THPT nắm vững kiến thức

Chương I - Giải Tích 12 và rèn luyện kỹ năng giải toán; phòng tránh sai lầm,
thiếu sót cho học sinh; đặc biệt là hiện nay đang thi theo hình thức trắc
nghiệm khách quan việc phòng tránh sai lầm, thiếu sót cho học sinh là vô
cùng quan trọng. Sáng kiến kinh nghiệm này còn nhằm trao đổi với với đồng
nghiệp về phương pháp dạy học, là một tài liệu tham khảo đối với học sinh để
góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THPT Như Xuân nói
riêng và các trường THPT nói chung.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là những sai lầm thường gặp của
học sinh trong giải toán về hàm số thuộc nội dung Chương I - Giải Tích 12
(Chương trình chuẩn) “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm
số”.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:

2


Trong quá trình thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng hai
phương pháp nghiên cứu chủ yếu là: Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở
lý thuyết và phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận:
Trong hệ thống các phương pháp giảng dạy toán, có những phương
pháp mà trong đó khẳng định cần phải có biện pháp nhằm dạy học môn toán
dựa trên các sai lầm, khi các sai lầm của học sinh xuất hiện. Chính những tình
huống mắc sai lầm của học sinh tạo điều kiện để phát huy ưu điểm của các
phương pháp này. Điển hình là phương pháp dạy học giải quyết vấn đề. Khi
học sinh mắc sai lầm ở lời giải là xuất hiện tình huống có vấn đề. Sai lầm của
học sinh tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn này chính là động lực thúc đẩy quá
trình nhận thức của học sinh. Sai lầm của học sinh còn làm nảy sinh nhu cầu

cho tư duy mà tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề.
Mặt khác, sai lầm của học sinh xuất hiện thì sẽ khêu gợi được hoạt
động học tập mà học sinh sẽ được hướng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm
và tìm lời giải đúng. Tìm ra cái sai của chính mình hay của bạn mình đều là
sự khám phá. Từ sự khám phá này, học sinh chiếm lĩnh được kiến thức một
cách trọn vẹn.
Bên cạnh đó, các biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải toán
phải tác động vào hoạt động của học sinh. Trước hết cần tạo ra động cơ học
tập sửa chữa các sai lầm và cần gây niềm tin cho học sinh là bản thân mình có
thể tìm ra được sai lầm trong một lời giải toán nào đó. Học sinh phải thấy việc
sửa chữa các sai lầm khi giải toán là một nhu cầu và cần phải tham gia như
một chủ thể một cách tự nguyện, say mê, hào hứng. Học sinh phải có được
động cơ hoàn thiện tri thức. Từ đó học sinh sẽ tự tin sửa chữa sai lầm, hình
thành năng lực tìm ra các sai lầm khi giải toán và sẽ tạo ra năng lực giải toán
cho bản thân.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm:
Qua nhiều năm giảng dạy Chương I - Giải Tích 12 “Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” tại trường THPT Như Xuân, tôi nhận thấy
học sinh rất hay mắc sai lầm trong các bài toán về hàm số. Mặc dù đây là nội
dung quan trọng của chương trình nên học sinh được ôn luyện nhiều. Sai lầm
xảy ra đối với cả học sinh khá, giỏi và từ những dạng toán cơ bản nhất.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm chủ yếu là do học sinh chưa nắm vững kiến
thức cơ bản, chưa có thói quen nghiên cứu kỹ lí thuyết, kiểm tra lại lời giải,
thiếu kỹ năng phát hiện và phòng tránh sai lầm. Bên cạnh đó, hiện nay có
không ít tài liệu tham khảo chạy theo thị trường, viết ẩu, tùy tiện, trình bày
nội dung kiến thức, lời giải toán không chính xác, mắc sai lầm. Khi học sinh
sử dụng các cuốn tài liệu này dễ bị mắc sai lầm theo do học sinh chưa có nền
tảng kiến thức rộng và sự bao quát vấn đề để nhận ra cái đúng, cái sai.
Thực trạng đó ảnh hưởng rất lớn đến kết quả học tập của học sinh. Nếu
không khắc phục thì sẽ dẫn đến học sinh không nắm vững kiến thức và những

kiến thức học sinh nắm được có thể chứa sai lầm, tạo nền tảng cho những sai
3


lầm nghiêm trọng hơn. Bên cạnh đó còn làm cho học sinh chưa có thói quen
đề phòng và phát hiện sai lầm; hạn chế khả năng phân biệt “đúng – sai”… Từ
đó dẫn đến những hậu quả nghiêm trọng không chỉ đối với việc học toán và
thi cử hiện nay của học sinh; mà còn đối với công việc và cuộc sống của học
sinh trong tương lai.
Hơn nữa, hiện nay chưa có nhiều tài liệu viết về vấn đề này hoặc chưa
tập trung khai thác vào nội dung kiến thức theo chương trình Sách giáo khoa
(SGK) hiện hành. Do đó nhu cầu nhận thức về sai lầm, tìm ra nguyên nhân sai
lầm và những biện pháp sửa chữa kịp thời những sai lầm cho học sinh trong
dạy học là quan trọng và cấp thiết, qua đó rèn luyện năng lực giải toán cho
học sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học toán trong nhà trường và khắc
phục những hậu quả nêu trên.
2.3. Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Để giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I – Giải Tích 12 thông
qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh, tôi đã tiến hành tìm hiểu về
các sai lầm mà học sinh thường gặp thông qua các đồng nghiệp, tài liệu, qua
kinh nghiệm của bản thân và đặc biệt là thông qua lời giải các bài toán của
học sinh. Từ đó giải pháp của tôi đưa ra trên tinh thần người học phải biết học
ở những sai lầm và thiếu sót của mình.
Cụ thể, để thực hiện theo giải pháp này người dạy luôn đặt học sinh
trong thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời
giải, những bài toán mà giáo viên đã đặt “bẫy” một cách có chủ định mang
tính tích cực trong giảng dạy. Tức là trong tiết dạy, giáo viên có sự cân nhắc
lựa chọn các bài toán mà khi học sinh làm dễ bị mắc sai lầm. Sau đó giáo viên
phân tích chỉ ra những sai lầm của học sinh, tìm nguyên nhân và biện pháp
khắc phục, trình bày lời giải đúng, đưa ra những chú ý, nhận xét quan trọng.

Qua đó tạo tình huống có vấn đề giúp học sinh ghi nhớ, nắm vững và khắc
sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng và phương pháp giải toán; đồng thời tạo cho
học sinh tính cẩn thận, thói quen kiểm tra kết quả, phòng và tránh sai lầm
trong giải toán cũng như trong cuộc sống.
Sau đây, trong khuôn khổ của Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi giới thiệu
một số bài toán học sinh dễ mắc sai lầm mà tôi đã sử dụng để giảng dạy nội
dung Chương I - Giải Tích 12 (Chương trình chuẩn) “Ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” theo giải pháp nêu trên, qua đó giúp học sinh
nắm vững kiến thức, khắc phục được những sai lầm trong giải toán.
2.3.1. Một số bài toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 1. Cho hàm số y = x −

1
(1). Trong các khẳng định sau, khẳng định
x

nào sai?
A. Hàm số (1) có tập xác định là D = R \ { 0} .
1
B. Hàm số (1) có đạo hàm y ' = 1 + 2 > 0, ∀x ∈ R \ {0} .
x
C. Hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
4


D. Hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (1; +∞) .
*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: D = R \ { 0} .
1
Ta có y ' = 1 + 2 > 0, ∀x ∈ R \ {0} nên hàm số (1) đồng biến trên tập xác định

x
của nó.
Vậy các khẳng định ở các phương án A, B, C đều đúng. Do đó chọn
phương án D (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm ở đây khi cho rằng khẳng định ở phương án C: “Hàm số (1)
đồng biến trên tập xác định của nó” là khẳng định đúng, thực chất khẳng định
này sai, vì:
Chẳng hạn, ta lấy -1 với 1 cùng thuộc tập xác định D = R \ { 0} và -1 < 1
nhưng y(-1) = 2 > y(1) = 0.
Do vậy đáp án của Bài 1 phải là phương án C.
*Kết luận đúng:
Để sửa thành khẳng định đúng phải kết luận là:
“Hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó”.
Hoặc: “Hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;0) và (0; +∞) ”.
(Trong các khẳng định trên, có thể thay từ “mỗi” thành từ “các”).
*Lưu ý với học sinh (HS):
Không được kết luận hàm số (1) đồng biến “trên tập xác định của nó”,
hay “trên tập R \ { 0} ”, hay “trên (−∞;0) ∪ (0; +∞) ”.
Hơn nữa, trong chương trình SGK hiện hành chỉ đưa ra khái niệm hàm
số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng nên
khi kết luận tính biến thiên của hàm số chỉ kết luận hàm số đồng biến, nghịch
biến trên mỗi khoảng, mỗi đoạn, mỗi nửa khoảng; không dùng dấu “ ∪ ” để
hợp các khoảng, các đoạn, các nửa khoảng “rời nhau” (tức là giao nhau
bằng ∅ ) thành một tập.
Ngoài ra, khẳng định ở phương án D là khẳng định đúng vì
(−∞; −1) ⊂ ( −∞;0) , (1; +∞) ⊂ (0; +∞) .
*Bình luận:
Câu kết luận đúng so với câu kết luận sai chỉ khác nhau giữa cụm từ
“trên mỗi khoảng xác định” với “trên tập xác định”, hay giữa từ “và” với

dấu “ ∪ ”. Nếu giáo viên không nhắc nhở thì học sinh khó phát hiện ra sai lầm
này.
mx − 2m − 3
Bài 2. Cho hàm số y =
với m là tham số. Gọi S là tập tất cả các
x−m
giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số
phần tử của S.
A. 5.
B. 4.
C. Vô số.
D.3
5


(Câu 31, mã đề 103, đề thi chính thức THPT Quốc gia năm 2017 [1]).
*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: D = R \ { m} .
− m 2 + 2m + 3
Ta có: y ' =
.
( x − m) 2
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi
− m 2 + 2m + 3
y' =
≥ 0, ∀x ≠ m ⇔ −m 2 + 2m + 3 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 .
2
( x − m)
Suy ra S = { −1;0;1;2;3} .
Vậy chọn phương án A (?).

*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm khi cho rằng: “Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho đồng
− m 2 + 2m + 3
≥ 0, ∀x ≠ m ”. Thực chất
biến trên các khoảng xác định là: y ' =
( x − m) 2
đây chỉ là điều kiện cần.
Từ đó đã dẫn đến chọn sai đáp án. Đáp án đúng của Bài 2 phải là D.
*Lời giải đúng:
Tập xác định: D = R \ { m} .
− m 2 + 2m + 3
, ∀x ≠ m .
Ta có: y ' =
( x − m) 2
Điều kiện cần để hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng xác định là
− m 2 + 2m + 3
y' =
≥ 0, ∀x ≠ m ⇔ −m 2 + 2m + 3 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 .
2
( x − m)
− m 2 + 2m + 3
> 0, ∀x ≠ m nên hàm số đã
- Với m ∈ (−1;3) ta thấy: y ' =
( x − m) 2
cho đồng biến trên các khoảng xác định.
- Với m = -1 hoặc m = 3 thì y ' = 0, ∀x ∈ D nên hàm số đã cho không
đổi trên D .
Vậy điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng
xác định là m ∈ (−1;3) .
Suy ra S = { 0;1;2} nên đáp án Bài 2 phải là phương án D.

*Lưu ý với HS:
-Lưu ý 1:
Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên (a; b) , khi đó:
1) f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) là điều kiện cần để hàm số y = f ( x ) đồng biến
trên (a; b) .
2) f '( x) > 0, ∀x ∈ (a; b) là điều kiện đủ để hàm số y = f ( x ) đồng biến
trên (a; b) .
6


3) f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) và f '( x) = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a; b)
là điều kiện đủ để hàm số y = f ( x ) đồng biến trên (a; b) .
4) f '( x) = 0, ∀x ∈ (a; b) là điều kiện cần và đủ để hàm số y = f ( x )
không đổi trên (a; b) .
(Phát biểu tương tự đối với trường hợp hàm số nghịch biến).
-Lưu ý 2:
Trong Sáng kiến kinh nghiệm này, nếu không nói gì thêm ta luôn giả sử
K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Từ lời giải Bài 2, có thể rút ra cách giải ngắn gọn dạng toán này đối với
ax + b
hàm số y =
(1) như sau:
cx + d
Hàm số (1) đồng biến trên K
ad − bc
> 0, ∀x ∈ K
⇔ Hàm số (1) xác định trên K và y ' =
(cx + d ) 2
⇔ Hàm số (1) xác định trên K và ad − bc > 0 .
(Phát biểu tương tự đối với trường hợp hàm số nghịch biến).

x −3
. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m để
x−m
hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) . Tìm số phần tử của S.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.
Bài 3. Cho hàm số y =

*Lời giải sai lầm:
3−m
Ta có: y ' =
.
( x − m) 2
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;1)
3− m
⇔ y' =
> 0, ∀x ∈ (−∞;1) ⇔ 3 − m > 0 ⇔ m < 3 .
( x − m) 2
Vậy chọn phương án D (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm xảy ra khi không đưa vào điều kiện để hàm số đã cho xác định
trên khoảng (−∞;1) .
*Lời giải đúng:
Sử dụng Lưu ý 2 (trang 6), ta có lời giải ngắn gọn như sau:
Tập xác định: D = R \ { m} .
3−m
, ∀x ∈ D .
Ta có: y ' =

( x − m) 2
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;1)
3− m
> 0, ∀x ∈ (−∞;1)
⇔ Hàm số xác định trên khoảng (−∞;1) và y ' =
( x − m) 2

7


m ∉ (−∞;1)
⇔
3 − m > 0
m ≥ 1
⇔
⇔ 1≤ m < 3.
m < 3
Suy ra S = { 1;2} nên đáp án Bài 3 phải là phương án B.
*Lưu ý với HS:
Để hàm số đồng biến, nghịch biến trên K thì trước hết hàm số đó phải
xác định trên K, do đó cần chú ý đặt điều kiện để hàm số xác định trên K.
Bài 4. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
y = (m 2 − 1) x 3 + (m − 1) x 2 − x + 4 nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) ?
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 3.
(Câu 41. Đề minh họa lần 3 - THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT [2]).

*Lời giải sai lầm:

Ta có: y ' = 3(m 2 − 1)x 2 + 2( m − 1) x − 1 .
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) khi và chỉ khi
 −1 < m < 1
m 2 − 1 < 0

1
y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
⇔ 1
⇔ − ≤ m < 1.
2
∆ ≤ 0
− 2 ≤ m ≤ 1
Vậy chọn phương án B (?).
*Sai lầm ở đâu?
Lời giải trên có hai sai lầm:
1) Sai lầm thứ nhất khi cho rằng: “Điều kiện cần và đủ để hàm số đã
cho nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) là: y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ”. Thực chất đây chỉ là
điều kiện cần.
2) Sai lầm thứ hai xảy ra khi chưa xét m 2 − 1 = 0 mà đã biến đổi:
m 2 − 1 < 0
y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
.
∆ ≤ 0
*Lời giải đúng:
Ta có: y ' = 3(m 2 − 1)x 2 + 2( m − 1) x − 1 .
Xét ba trường hợp:
- Trường hợp 1: Với m = 1 thì y’ = - 1 < 0, ∀x ∈ R nên hàm số đã cho nghịch
biến trên khoảng (−∞; +∞) .
- Trường hợp 2: Với m = −1 thì y ' = −4 x − 1 , nên hàm số đã cho không thể
1

nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) (vì y’ đổi dấu khi x đi qua điểm − ).
4
m
≠
±
1
- Trường hợp 3: Với
, khi đó hàm số đã cho là hàm số bậc 3 nên:
Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) là

8


 −1 < m < 1
m 2 − 1 < 0

1
y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
⇔ 1
⇔ − ≤ m < 1.
2
∆ ≤ 0
− 2 ≤ m ≤ 1
Từ các trường hợp trên suy ra điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho
 1 
nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) là m ∈  − ;1 .
 2 
Vậy đáp án đúng của Bài 4 phải là phương án A.
*Lưu ý với HS:
Đối với hàm số đa thức f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1x + a0 ( n ∈ N * ) (1).

-Lưu ý 1: Nếu an chứa tham số thì phải xét trường hợp an = 0.
-Lưu ý 2: Khi an ≠ 0 ,
1) Điều kiện cần và đủ để hàm số (1) đồng biến trên K là
f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K .
2) Điều kiện cần và đủ để hàm số (1) nghịch biến trên K là
f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ K .
(Giáo viên cần nhấn mạnh với học sinh: Lưu ý 2 chỉ áp dụng đối với
hàm số đa thức (1) và khi an ≠ 0 ).
Bài 5. Tìm m để hàm số y = mx − sinx đồng biến trên R.
A. m > 1 .
B. m ≥ 1 .
C. m < 1 .

D. m ≤ 1 .

*Lời giải sai lầm:
Ta có: y ' = m − cosx .
Điều kiện cần để hàm số đã cho đồng biến trên R là y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R
Ta có: y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R ⇔ cosx ≤ m,∀x ∈ R .
Vì giá trị lớn nhất của hàm số y = cosx trên R là 1 nên:
cosx ≤ m,∀x ∈ R ⇔ m ≥ 1 .
- Với m > 1 thì y ' = m − cosx > 0,∀x ∈ R nên hàm số đã cho đồng biến trên R.
- Với m = 1 thì y ' = 1 − cosx ≥ 0,∀x ∈ R và
π
y ' = 0 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z ) .
2
Như vậy, với m = 1 thì y’ = 0 tại vô số điểm trên R nên hàm số đã cho không
đồng biến trên R.
Vậy m cần tìm là m > 1, do đó chọn phương án A (?).
*Sai lầm ở đâu?

Sai lầm khi cho rằng:
“y’ = 0 tại vô số điểm trên R nên hàm số không đồng biến trên R”.
Như đã nói ở sai lầm Bài 2 (Lưu ý 1, trang 5), điều kiện: “
f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) và f '( x) = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) ” chỉ là
điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên (a; b) . Do đó, nếu một hàm số không
thỏa mãn điều kiện “ f '( x) = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) ” thì hàm
9


số đó vẫn có thể đồng biến trên khoảng (a; b) . Chẳng hạn, xem lời giải đúng
dưới đây ta thấy hàm số y = mx − sinx vẫn đồng biến trên R khi m = 1.
*Lời giải đúng:
Tập xác định: R.
y ' = m − cosx , ∀x ∈ R .
Điều kiện cần để hàm số đã cho đồng biến trên R là y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R .
Ta có: y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R ⇔ cosx ≤ m,∀x ∈ R ⇔ m ≥ 1 .
- Với m > 1 thì y ' = m − cosx > 0,∀x ∈ R nên hàm số đã cho đồng biến trên R.
- Với m = 1 thì hàm số là y = x − sinx và y ' = 1 − cosx ≥ 0,∀x ∈ R .
π
Ta có: y ' = 0 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z ) .
2
π
π

Xét hàm số trên mỗi đoạn  + m2π ; + (m + 1)2π  , ( m ∈ Z ) .
2
2

Ta thấy trên mỗi đoạn này thì y ' = 1 − cosx ≥ 0,∀x ∈ R và y’ = 0 chỉ tại hai
điểm đầu mút của mỗi đoạn nên hàm số y = x − sinx đồng biến trên mỗi đoạn

π
π

+
m
2
π
;
+
(
m
+
1)2
π
 2
 , ( m ∈ Z ) .
2
Từ đó suy ra hàm số y = x − sinx đồng biến trên R.
Suy ra m cần tìm là m ≥ 1 .
Vậy đáp án của Bài 5 phải là phương án B.
*Bình luận:
Qua Bài 5, để một lần nữa khẳng định:
Điều kiện: “ f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f '( x) = 0 tại hữu hạn điểm trên K”
chỉ là điều kiện đủ để hàm số y = f ( x ) đồng biến trên K.
(Phát biểu tương tự đối với trường hợp hàm số nghịch biến).
Bài 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
sin x − 2
π 
y=
đồng biến trên khoảng  ;π ÷.

sin x − m
2 
1 ≤ m < 2
A. m > 2 .
B. m ≥ 2 .
C. 
.
D. m < 2 .
m ≤ 0
*Lời giải sai lầm:

π 
Đặt t = sin x , với x ∈  ;π ÷ thì t ∈ ( 0;1) .
2 
t−2
Ta có: y =
.
t−m
Điều kiện: t ≠ m .
2−m
y' =
.
(t − m) 2
10


Hàm số y =

sin x − 2
π 

đồng biến trên khoảng  ;π ÷ khi và chỉ khi hàm số
sin x − m
2 

t−2
đồng biến trên khoảng (0;1) , điều này tương đương với hàm số
t−m
2−m
t−2
> 0, ∀x ∈ (0;1) , do đó ta
y=
xác định trên khoảng (0;1) và y ' =
( x − m) 2
t−m
m ∉ ( 0;1)
1 ≤ m < 2
⇔
có 
.
m ≤ 0
2 − m > 0
Vậy chọn phương án C (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm xảy ra khi cho rằng:
sin x − 2
π 
“ Hàm số y =
đồng biến trên khoảng  ;π ÷ khi và chỉ khi
sin x − m
2 

t−2
hàm số y =
đồng biến trên khoảng (0;1) ”.
t−m
sin x − 2
Không thể đồng nhất tính biến thiên của hàm số y =
(theo
sin x − m
t−2
biến x) với hàm số y =
(theo biến t) vì đây là hai hàm số hoàn toàn khác
t−m
nhau. Điều này sẽ thể hiện rõ qua lời giải đúng sau đây.
*Lời giải đúng:
Điều kiện xác định: sin x ≠ m .
π 
Đặt t = sin x , với x ∈  ;π ÷ thì t ∈ ( 0;1) .
2 
t−2
Suy ra y = g (t) =
.
t−m
Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp ta có:
2−m
y x' = gt' (t ).t x' =
.cosx .
(t − m) 2
π 
Điều kiện cần để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;π ÷ là
2 

2−m
π 
π 
'
.cos
x
≥
0,
∀
x
∈
nó phải xác định trên khoảng  ;π ÷ và y x =
 ; π ÷.
(t − m) 2
2 
2 
2−m
≤ 0, ∀t ∈ ( 0;1)
Điều này tương đương với m ∉ ( 0;1) và
(t − m) 2
π 
(Vì cosx < 0, ∀x ∈  ;π ÷).
2 
y=

11


m ∉ ( 0;1)
⇔ m ≥ 2.

Do đó ta có: 
2
−
m
≤
0

π 
'
- Với m > 2 thì y x > 0, ∀x ∈  ;π ÷ nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2 
π 
 ;π ÷.
2 
π 
'
- Với m = 2 thì y x = 0, ∀x ∈  ;π ÷ nên hàm số đã cho không đổi trên khoảng
2 
π 
 ;π ÷.
2 
Suy ra m cần tìm là m > 2.
Vậy đáp án của Bài 6 phải là phương án A.
*Lưu ý với HS:
Khi xét tính biến thiên của hàm số y = f ( x ) theo biến x thì phải xét đạo
hàm y ' = f '( x) theo biến x. Lưu ý này cũng tương tự như khi xét cực trị của
hàm số.
2.3.2. Mốt số bài toán về cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số
Bài 7. Hàm số f ( x) = x8 − 2 x 4 + 3 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.
B. 2.
C. 3.

D.4.

*Lời giải sai lầm:
f '( x ) = 8 x 7 − 8 x 3 ; f ''( x) = 8 x 2 (7 x 4 − 3) .
x = 0
f '( x) = 0 ⇔ 
.
 x = ±1
Ta có:
f ''(±1) = 32 > 0 ⇒ x = ±1 là hai điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
f ''(0) = 0 ⇒ Hàm số đã cho không đạt cực trị tại x = 0.
Vậy hàm số đã cho chỉ có hai điểm cực trị, do đó chọn phương án B (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm khi cho rằng:
 f '( x0 ) = 0
"Nếu 
thì hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm x0”.
 f ''( x0 ) = 0
 f '( x0 ) = 0
Điều này không đúng vì điều kiện: 
chỉ là điều kiện đủ để
 f ''( x0 ) ≠ 0
hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0.

12

*Lời giải đúng:
x = 0
f '( x ) = 8 x 7 − 8 x 3 ; f '( x) = 0 ⇔ 
.
 x = ±1
Bảng biến thiên:
−∞
x
-1
0
f’(x)
- 0
+
0

-

1
0

+∞
+

f(x)
Suy ra hàm số đã cho có ba điểm cực trị.
Vậy đáp án Bài 7 phải là phương án C.
*Lưu ý với HS:
 f '( x0 ) = 0
Nếu tại x0 mà 

thì chưa được kết luận hàm số đạt hay
f
''(
x
)
=
0
0

không đạt cực trị tại điểm x0. Muốn kết luận được ta phải lập bảng biến thiên.
Bài 8. Hàm số f ( x) = x 3 − 2 x 2 + x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 2.
C. 3.

D.4.

*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: [0; +∞) .
2
1
3 x − 4x + 1 = 0
f '( x) =
=0⇔ 3
⇔
x
=
.
2
3

2 x3 − 2 x 2 + x
 x − 2 x + x > 0
1
Ta thấy f '( x) đổi dấu khi x đi qua điểm x0 = nên hàm số f ( x) đạt cực trị
3
1
tại điểm x0 = .
3
Vậy chọn phương án A (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm khi cho rằng: “Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm x0 mà
f '( x0 ) = 0 ” nên chỉ xét dấu của f '( x) khi x đi qua điểm x0 . Lưu ý là: Hàm số
vẫn có thể đạt cực trị tại điểm thuộc tập xác định mà đạo hàm tại điểm đó
không tồn tại.
*Lời giải đúng:
Tập xác định: [0; +∞) .
3x 2 − 4x + 1
f '( x) =
.
2 x3 − 2 x 2 + x
Trên [0; +∞) , f '( x) không xác định tại x = 0 và x = 1.
2
1
3x − 4x + 1 = 0
f '( x) = 0 ⇔  3
⇔
x
=
.
2

3
 x − 2 x + x > 0

3x 2 − 4x + 1

13


Bảng xét dấu f '( x) :
x
f '( x)

0
+

1
3
0

−∞

1
-

+

1
, đạt cực tiểu tại x = 1.
3
Vậy đáp án của Bài 8 phải là phương án B.

*Lưu ý với HS:
Khi tìm cực trị của hàm số f(x) ta phải tìm tất cả các điểm thuộc tập
xác định của nó mà làm cho f '( x) bằng 0 hoặc không tồn tại; sau đó xét
dấu f '( x) khi x đi qua các điểm đó.
Suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại x =

Bài 9. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
f ( x) = mx 4 + (m − 1) x3 + (m 2 − m) x 2 + 1 đạt cực tiểu tại điểm x = 0.
m ≥ 1
m ≥ 1
m > 1
A. 
.
B. 
.
C. 0 < m ≤ 1 .
D. 
.
m ≤ 0
m < 0
m < 0
*Lời giải sai lầm:
f '( x) = 4mx 3 + 3(m − 1) x 2 + 2(m 2 − m) x .
f ''( x) = 12mx 2 + 6(m − 1) x + 2( m 2 − m) .
 f '(0) = 0
m > 1
⇔ m2 − m > 0 ⇔ 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ 
.
 f ''(0) > 0

m < 0
Vậy chọn phương án D (?).
*Sai lầm ở đâu?
 f '( x0 ) = 0
Sai lầm khi cho rằng: 
là điều kiện cần và đủ để hàm số
 f ''( x0 ) > 0
đạt cực tiểu tại điểm x0. Thực chất đây chỉ là điều kiện đủ.
*Lời giải đúng:
f '( x) = 4mx 3 + 3(m − 1) x 2 + 2(m 2 − m) x .
f ''( x) = 12mx 2 + 6(m − 1) x + 2( m 2 − m) .
Ta có: f '(0) = 0, ∀m ∈ R ; f ''(0) = 2(m 2 − m) ;
m < 0
f ''(0) > 0 ⇔ 
.
m > 1
Do đó ta xét các trường hợp sau:
m < 0
 f '(0) = 0
- Nếu 
thì 
nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = 0.
m > 1
 f ''(0) > 0
 f '(0) = 0
- Nếu 0 < m < 1 thì 
nên hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm x = 0.
 f ''(0) < 0
14

- Nếu m = 0 (thì f ''(0) = 0 nên chưa thể kết luận mà phải xét dấu f '( x) ).
Khi đó f '( x) = −3x 2 không bị đổi dấu khi x đi qua 0 nên hàm số không đạt
cực trị tại điểm x = 0.
- Nếu m = 1 (thì f ''(0) = 0 nên cũng chưa thể kết luận mà phải xét dấu f '( x) ).
Khi đó f '( x) = 4 x 3 bị đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0 nên hàm số đạt
cực tiểu tại điểm x = 0.
Từ các trường hợp trên, ta được tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt
cực tiểu tại điểm x = 0 là m ∈ (−∞;0) ∪ [1; +∞) .
Vậy đáp án của Bài 9 phải là phương án B.
*Lưu ý với HS:
1) f '( x0 ) = 0 hoặc không tồn tại là điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0.
 f '( x0 ) = 0
2) 
chỉ là điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại x0.
 f ''( x0 ) ≠ 0
 f '( x0 ) = 0
3) 
chỉ là điều kiện đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x0.
 f ''( x0 ) > 0
 f '( x0 ) = 0
4) 
chỉ là điều kiện đủ để hàm số đạt cực đại tại x0.
 f ''( x0 ) < 0
1
1

− 2  x + ÷+ 5 .
2
x

x

C. 3.
D. 11.

2
Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x +

A. 1.

B. 2.

*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: R \ { 0} .
1
1
2
2
Đặt t = x + thì x + 2 = t − 2 nên f ( x) trở thành
x
x
2
g (t ) = t − 2t + 3 = (t − 1) 2 + 2 ≥ 2, ∀t ∈ R ; g (t ) = 2 ⇔ t = 1 .
Suy ra min g (t ) = 2 hay min f ( x) = 2 . Do đó chọn phương án B (?).
t∈R

x∈R \{ 0}

*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm xảy ra khi chuyển bài toán đối với hàm số f ( x) về bài toán đối

với hàm số g (t ) không tương đương vì không tìm điều kiện cho t.
*Lời giải đúng:
Tập xác định: R \ { 0} .
1
1
2
2
Đặt t = x + thì x + 2 = t − 2 nên f ( x) trở thành g (t ) = t 2 − 2t + 3 .
x
x
1
1
- Xét hàm số t = x + trên R \ { 0} , ta có t ' = 1 − 2 = 0 ⇔ x = ±1 .
x
x
Bảng biến thiên:
−∞
+∞
x
-1
0
1
15


t’

+

t

0

-

+∞

-

0

+

+∞

−2

−∞
2
−∞
Từ bảng biến thiên suy ra t ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞) .
- Xét hàm số g (t ) = t 2 − 2t + 3 trên (−∞; −2] ∪ [2; +∞) , ta có g '(t ) = 2t − 2 .
Bảng biến thiên:
−∞
+∞
t
-2
2
g’(t)
+

+∞
+∞
g(t)
11
g (t ) = 3 khi t = 2 nên min f ( x) = 3 khi3 x + 1 = 2 hay x = 1 .
Suy ra min
t ≥2
x∈R \{ 0}
x
f ( x) = 3 khi x = 1 .
Vậy xmin
∈R \{ 0}

Do đó đáp án Bài 10 phải là phương án C.
*Lưu ý với HS:
Khi đặt t = u(x) với x ∈ D , thì cần phải tìm điều kiện của t, tức là tìm
tập giá trị của hàm số t = u(x) trên tập xác định D.
2.3.3. Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
x2 − 5 x + 4
Bài 11. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
.
x2 − 1
A. 3.
B. 1.
C. 0.
D. 2.
(Câu 15, mã đề 102, đề thi chính thức THPT Quốc gia năm 2017 [1]).
*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: R \ { −1;1} .
y sẽ là

Vì x = -1, x = 1 làm cho hàm số không xác định (mẫu bằng 0) nên xlim
→±1
+∞ hoặc −∞ . Do đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x = -1 và x = 1.
Vậy chọn phương án D (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm khi thấy x = -1, x = 1 làm cho hàm số không xác định (mẫu
y sẽ là +∞ hoặc −∞ .
bằng 0) đã vội vàng kết luận xlim
→±1
*Lời giải đúng:
Tập xác định: R \ { −1;1} .
Ta có:
16


x2 − 5x + 4
x−4
3
lim y = lim
= lim
=− ;
2
x →1
x →1
x →1 x + 1
x −1
2
2
x − 5x + 4
x−4

lim + y = lim +
= lim +
= −∞ .
2
x →( −1)
x →( −1)
x →( −1) x + 1
x −1
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận đứng là x = -1.
Vậy đáp án Bài 11 phải là phương án B.
3x6 + 1 − 2
Bài 12. Đồ thị hàm số f ( x) =
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x3 − x 2
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: R \ { 0;1} .
1) Tìm tiệm cận đứng:
3x 6 + 1 − 2
3x6 − 3
f ( x) = lim
= lim
Ta có: lim
x →1
x →1
x →1 2
x3 − x 2

x ( x − 1) 3x 6 + 1 + 2

(

= lim
x →1

3( x3 + 1)( x 2 + x + 1)
x2

(

3x 6 + 1 + 2

)

)

9
= ;
2

3x 6 + 1 − 2
lim f ( x) = lim
= +∞ .
x →0
x →0
x3 − x 2
Suy ra đồ thị hàm số f ( x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0.
2) Tìm tiệm cận ngang:

1
2
3+ 6 − 3
6
3x + 1 − 2
x
x = 3.
Ta có lim f ( x) = lim
= lim
3
2
x →±∞
x →±∞
x →±∞
1
x −x
1−
x
Suy đồ thị hàm số f ( x) có một tiệm cận ngang y = 3 .
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận, do đó chọn phương án B (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm khi cho rằng lim f ( x) = lim
x →±∞

x →±∞

3x 6 + 1 − 2
= 3
x3 − x 2

nên kết luận sai về tiệm cận ngang.
*Lời giải đúng:
Tập xác định: R \ { 0;1} .
1) Tìm tiệm cận đứng: (Như cách giải trên).
Đồ thị hàm số f ( x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0.
2) Tìm tiệm cận ngang:
17


1
−2
6
3x + 1 − 2
x
f ( x) = lim
= lim
Ta có: xlim
→+∞
x →+∞
x →+∞
x3 − x 2
 1
x 3 1 − ÷
 x
1
1
2
x3 3 + 6 − 2
3+ 6 − 3
x

x
x = 3
= lim
= lim
;
x →+∞
x
→+∞
1
1
3
1−
x 1 − ÷
x
 x
6

x3 3 +

1
1
2
−2
− 3+ 6 − 3
6
x
x
x =− 3.
lim f ( x) = lim
= lim

x →−∞
x →−∞
x →−∞
1
 1
x3 1 − ÷
1−
x
 x
Suy ra đồ thị hàm số f ( x) có hai đường tiệm cận ngang là y = 3 và
x3 3 +

y =− 3.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận, do đó đáp án Bài 12 phải là
phương án C.
(Lưu ý: Nếu theo chương trình nâng cao, còn phải đi tìm đường tiệm cận
xiên, nhưng điều này cũng không làm ảnh hưởng đến đáp án của bài toán do
f ( x)
= 0 ).
đồ thị hàm số f ( x) không có tiệm cận xiên, bởi xlim
→±∞
x
*Lưu ý với HS:
Khi tìm tiệm cận của đồ thị hàm số phải tính giới hạn một cách cẩn
thận, phòng tránh sai lầm.
2.3.4. Một số bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài 13. Cho hàm số f ( x) = x 3 − 3x + 1 có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M của đồ thị (C), biết M thuộc (C)
và có hoành độ bằng 3.
A. y = 24 x − 53 .

B. y = 24 x + 91 .
15
31
15
121
C. y = 24 x − 53 , y = x + .
D. y = 24 x + 91 , y = x +
.
4
4
4
4
*Lời giải sai lầm:
Ta có: f (3) = 19 nên M(3; 19); f '( x) = 3x 2 − 3 .
Vì M thuộc (C) nên M là tiếp điểm, do đó tiếp tuyến cần xác định là
y = f '(3)( x − 3) + 19 hay y = 24 x − 53 . Vậy chọn phương án A (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm khi cho rằng vì M thuộc (C) nên tiếp tuyến đi qua M chính là
tiếp tuyến tại M (nhận M làm tiếp điểm). Dĩ nhiên tiếp tuyến tại M là một tiếp
tuyến đi qua M, nhưng vẫn có thể còn tiếp tuyến đi qua M mà không nhận M
làm tiếp điểm.
18


*Lời giải đúng:
Ta có: f (3) = 19 nên M(3; 19); f '( x) = 3x 2 − 3 .
Gọi M0 (a; a 3 − 3a + 1) là tiếp điểm của tiếp tuyến d đi qua M của (C).
Phương trình của d có dạng y = f '(a)( x − 3) + 19 hay y = (3a 2 − 3)( x − 3) + 19 .
d đi qua tiếp điểm M0 nên ta có a 3 − 3a + 1 = (3a 2 − 3)( a − 3) + 19
a = 3

⇔ ( a − 3)(2a 2 − 3a − 9) = 0 ⇔ 
.
a = − 3

2
y
=
24(
x
−
3)
+
19
y
=
24
x
−
53
- Với a = 3, ta có tiếp tuyến:
hay
.
3
15
15
31
- Với a = − , ta có tiếp tuyến: y = ( x − 3) + 19 hay y = x + .
2
4
4

4
15
31
Suy ra có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = 24 x − 53 và y = x + .
4
4
Vậy đáp án Bài 13 phải là phương án C.
*Lưu ý với HS:
Khi giải bài toán tiếp tuyến đi qua điểm M, dù điểm M thuộc đồ thị
cũng không thể quy về bài toán tiếp tuyến tại điểm M.
Bài 14. Cho hàm số f ( x) = x 4 − 2x 2 + 3 có đồ thị (C).
Từ điểm A(0; 2) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)?
A. 0.
B. 1.
C. 2.

D. 3.

*Lời giải sai lầm:
Gọi M0 (a; a 4 − 2a 2 + 3) là tiếp điểm của tiếp tuyến d đi qua A(0; 2) của (C).
Phương trình của d có dạng y = f '(a)( x − 0) + 2 hay y = (4a 3 − 4a ) x + 2 .
d đi qua tiếp điểm M0 nên ta có a 4 − 2a 2 + 3 = (4a 3 − 4a) a + 2
a 2 = 1

⇔ 3a 4 − 2a 2 − 1 = 0 ⇔  2
1 ⇔ a = ±1 .
a =−

3
Suy ra có hai tiếp điểm M0 nên qua A kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C).

Vậy chọn phương án C (?).
*Sai lầm ở đâu?
Thoạt nhìn lời giải trên hoàn toàn hợp lí. Nhưng sai lầm của lời giải
trên xảy ra khi cho rằng số tiếp tuyến qua A bằng số tiếp điểm. Điều này
không đúng vì có thể một tiếp tuyến tiếp xúc với một đồ thị hàm số tại nhiều
tiếp điểm.
Chẳng hạn đối với hàm số đã cho, đường thẳng y = 2 là tiếp tuyến của
(C) và tiếp xúc với (C) tại hai tiếp điểm là M0(1; 2) và M0’(-1; 2).
*Lời giải đúng:
19


Để có lời giải đúng, ta bỏ hai câu cuối ở cách giải sai lầm trên và bổ
sung thêm là:
“Thay a = ±1 vào phương trình của d, ta có duy nhất một tiếp tuyến kẻ
từ A đến (C) là đường thẳng y = 2”.
Vậy đáp án của Bài 14 phải là phương án B.
*Lưu ý với HS:
Nói chung số tiếp điểm không bằng (mà lớn hơn hoặc bằng) số tiếp
tuyến tại các tiếp điểm đó. Do đó, khi giải bài toán liên quan đến số tiếp tuyến
không thể căn cứ vào số tiếp điểm mà phải căn cứ vào số phương trình tiếp
tuyến.
2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Tôi đã áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy tại lớp 12C3
trường THPT Như Xuân trong năm học 2017 – 2018. Qua đó, tôi nhận thấy
năng lực giải toán về hàm số của học sinh có tiến bộ hơn và tỉ lệ học sinh mắc
sai lầm giảm đi đáng kể so với học sinh khóa trước. Qua bài học, học sinh đã
nắm vững nội dung kiến thức Chương I – Giải Tích 12; hiểu rõ và nắm được
bản chất các định nghĩa, định lí, tính chất, quy tắc trong Chương I và biết vận

dụng. Trong tiết dạy, không khí học tập sôi nổi, học sinh hứng thú, tích cực;
học sinh đã mạnh dạn, chủ động nhận xét bài làm của bạn, tìm sai lầm và sửa
chữa để có lời giải đúng. Từ đó đã hình thành cho học sinh thói quen nghiên
cứu lời giải, kiểm tra lại kết quả để phòng tránh sai lầm, phát hiện và sửa chữa
sai lầm.
Bên cạnh đó học sinh đã sử dụng các thuật ngữ, kí hiệu toán học, quy
tắc suy luận… chính xác hơn và khả năng trình bày lời giải, diễn đạt bằng
ngôn ngữ nói, ngôn ngữ viết của học sinh cũng tiến bộ lên đáng kể.
Đặc biệt, khi giải toán trắc nghiệm, đa số học sinh đã tránh được những
sai sót để không chọn nhầm đáp án, tránh được những lỗi sai đáng tiếc, qua đó
kết quả học tập được nâng cao.
Đối với bản thân, khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thấy tiết
dạy hiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh, giúp học sinh nắm vững, khắc
sâu nội dung kiến thức và tránh được những sai sót; đáp ứng và phù hợp với
kỳ thi THPT Quốc gia khi thi bằng hình thức đề trắc nghiệm khách quan như
hiện nay.
Đối với đồng nghiệp và nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm
trao đổi về phương pháp, giải pháp giảng dạy những nội dung kiến thức và
một số dạng toán mà học sinh thường mắc sai lầm trong Chương I – Giải Tích
12. Nội dung Sáng kiến này cũng chính là một nội dung mà tôi đã trình bày
trong sinh hoạt chuyên môn định kỳ của tổ chuyên môn Toán. Qua đó để cùng
với các đồng nghiệp đi đến thống nhất về phương pháp, giải pháp giảng dạy
nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng giảng dạy nội dung Chương I – Giải Tích
12 nói riêng và môn Toán nói chung.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
20


3.1. Kết luận:
Việc sử dụng các bài toán học sinh dễ mắc sai lầm vào các tiết dạy nội

dung Chương I - Giải Tích 12 đã giúp học sinh ghi nhớ, nắm vững và khắc
sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng và phương pháp giải toán về hàm số; đồng
thời tạo tính cẩn thận, hình thành thói quen kiểm tra kết quả, phòng và tránh
sai lầm trong giải toán nói chung, qua đó nâng cao hiệu quả học tập.
Nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu để đồng
nghiệp và học sinh lớp 12 tham khảo trong quá trình dạy và học phần hàm số.
Sáng kiến kinh nghiệm này còn có thể phát triển theo các hướng:
- Bổ sung thêm các dạng toán mà học sinh thường gặp sai lầm, như:
Vận dụng tính biến thiên để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất, giải phương trình, hệ phương trình, tìm điều kiện để phương
trình, hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu cho trước; sử dụng đồ thị
biện luận số nghiệm của phương trình; bài toán về sự tương giao của hai đồ
thị; bổ sung thêm các bài toán về cực trị.
- Vận dụng cách làm và giải pháp mà Sáng kiến kinh nghiệm này đưa
ra để giảng dạy các nội dung kiến thức và các dạng toán khác trong chương
trình toán THPT, như: Những sai lầm của học sinh thường gặp trong giải
phương trình, bất phương trình mũ – lôgarit; trong nội dung kiến thức và giải
các dạng toán về đạo hàm, nguyên hàm, tích phân.
3.2. Kiến nghị:
1. Đối với đồng nghiệp: Với kết quả của Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi
mong các đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ, cùng trao đổi, ứng dụng vào giảng
dạy để không ngừng nâng cao hiệu quả tiết dạy và kết quả học tập của học
sinh.
2. Đối với tổ chuyên môn: Trong các cuộc sinh hoạt chuyên môn cần
tăng cường trao đổi về các sai lầm thường gặp của học sinh và biện pháp khắc
phục; bàn luận đi đến thống nhất về cách dạy những vấn đề khó, dễ sai lầm,
những vấn đề còn gây tranh cãi.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 4 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là Sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.

Lê Khắc Luyện

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đề thi THPT Quốc gia năm 2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2. Đề minh họa (lần 1, lần 2 và lần 3) thi THPT Quốc gia năm 2017, Bộ Giáo
dục và Đào tạo.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Khắc Luyện.
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán - Trường THPT Như Xuân.

TT

1

2

Tên đề tài SKKN
Vận dụng số phức vào giải

một số bài toán về số thực
Hướng dẫn học sinh lớp 12
vận dụng hiệu quả tính biến
thiên của hàm số vào giải
phương trình, bất phương
trình và hệ phương trình

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại
(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
Sở GD&ĐT
C
Thanh Hóa
Sở GD&ĐT
Thanh Hóa

C

Năm học
đánh giá
xếp loại
2008-2009

2013-2014

..................................................................

22