SKKN phát triển năng lực tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy phương trình và bất phương trình ở trường trung học phổ thông

MỤC LỤC

Trang

1. MỞ
ĐẦU...........................................................................................................1
1.1 Lý do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2 Mục đích nghiên cứu......................................................................................2
1.3 Đối tượng nghiên cứu......................................................................................3
1.4 Phương pháp nghiên cứu.................................................................................3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM..................................................3
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................3
2.2 Thực trạng về việc phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học
giải phương trình, bất phương trình ở trường trung học phổ thông.....................4
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề..............................................5
Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng hiểu và vận dụng đúng bài
toán cần và đủ ......................................................................................................5
Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh biết lật ngược vấn đề, giải bài toán
trên cơ sở xem xét bài toán ngược........................................................................9
Giải pháp 3: Biết linh hoạt thay đổi vai trò giữa ẩn số và tham số và
ngược lại.............................................................................................................14
Giải pháp 4: Luyện tập cho học sinh biết chuyển đổi ngôn ngữ của bài
toán để tạo ra một bài toán mới, giải quyết đơn giản hơn...................................15
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.............................................................17
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ..................................................................................19
3.1 Kết luận.........................................................................................................19
3.2 Kiến nghị......................................................................................................19

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Trong các công trình nghiên cứu về tư duy, cụm từ “tư duy thuận nghịch”
còn ít người biết đến vì chưa có một định nghĩa nào bàn về tư duy thuận nghịch
một cách tường minh với đầy đủ nội hàm và ngoại diên của nó. Tuy nhiên năng
lực về tư duy thuận nghịch đã được thực hiện phổ biến trong quá trình dạy học
cho học sinh, không chỉ ở bậc trung học phổ thông mà còn ở ngay cả bậc tiểu
học và trung học cơ sở. Ví dụ như khi học sinh giải sai một bài toán, người giáo
viên có năng lực sẽ là người không vội vàng bày cho các em cách làm đúng
hoặc lập tức giải lại, mà phải đóng vai trò người phản biện, trong đó có thể đi
ngược lại từ đáp án để chỉ ra sự vô lí, từ đó giúp học sinh lần ra được những chỗ
sai của mình để có thể tự khắc phục.
Trong cuộc sống thường ngày, người ta nhắc nhở nhau : “ Nghĩ đi thì phải
nghĩ lại”, nghĩa là cần phải suy đi xét lại một cách thấu đáo, nắm bắt thông tin từ
nhiều phía để có cái nhìn khách quan, đúng đắn về một sự việc đã và đang xảy
ra, chứ không nên suy nghĩ một chiều chỉ cốt để có lợi cho bản thân hay một cá
nhân nào đó.
Trong thực tiễn dạy học toán ở trường phổ thông, ta thường xuyên bắt gặp
những tình huống biểu thị mối liên hệ hai chiều mà tạm xem một chiều là thuận
và một chiều là ngược. Chẳng hạn như các hoạt động tư duy phân tích và tổng
hợp, khái quát hóa và đặc biệt hóa, suy ngược và suy xuôi, nhận dạng và thể
hiện, lật ngược vấn đề ... Tất cả những điều trên đã cho chúng ta gợi ý: Phải
chăng có thể nghiên cứu về một loại hình tư duy có tên gọi “ tư duy thuận
nghịch”?.
Như thế, có nghĩa “tư duy thuận nghịch” là một loại hình tư duy không xa
lạ trong toán học và giáo dục toán học, liên quan đến việc nhận thức, xem xét sự
vật và hiện tượng theo các chiều hướng ngược nhau, tựa hồ như những hành
động phổ biến diễn ra trong cuộc sống hàng ngày.
Trước những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi hỏi
nhà trường phải đào tạo ra những con người có năng lực phát hiện và giải quyết

1


vấn đề trong học tập cũng như trong thực tiễn cuộc sống. Hình thành và bồi
dưỡng năng lực giải quyết vấn đề sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả các
quốc gia, các doanh nghiệp, đặc biệt là trong trường học. Tư duy thuận nghịch là
một trong những biểu hiện của năng lực giải quyết vấn đề.
Phương trình, bất phương trình , hệ phương trình là những nội dung cốt
lõi của bộ môn Toán, xuyên suốt trong tất cả các năm học của chương trình
THPT, bao gồm phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, vô tỷ,
mũ, lôgarit, lượng giác ...Các dạng toán giải, giải và biện luận phương trình, bất
phương trình luôn có mặt trong các đề thi đại học, cao đẳng cũng như thi học
sinh giỏi hàng năm. Trong quá trình giải toán, học sinh thường đi từ giả thiết
với những suy luận logic, lập luận chặt chẽ để đi đến kết luận. Thế nhưng, trong
giải phương trình, bất phương trình không phải bài nào cũng có thể giải quyết
theo chiều hướng đó và nếu có giải theo chiều hướng đó đi chăng nữa thì kết quả
chưa chắc đã thực sự chính xác, đặc biệt khi đứng trước những phương trình, bất
phương trình chứa tham số hoặc được giải bằng cách đặt ẩn phụ. Do vậy, nhiều
khi ta cần đặt vấn đề ngược lại, phải đi từ kết luận của bài toán từ đó phân tích,
tổng hợp... để tìm lời giải. Có nhiều khi cần đi từ kết quả sai của lời giải để
phân tích nguyên nhân, vị trí sai lầm ở đâu nhằm lần ra hướng giải quyết đúng
đắn. Cũng có một số bài toán giải và biện luận từ việc dùng phương pháp phản
chứng hoặc thực hiện ngược lại với yêu cầu, ...
Tất cả những điều trên cho chúng ta thấy được dấu hiệu của một hình thức
tư duy đó chính là “ tư duy thuận nghịch”( TDTN ).
Đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu trong và ngoài nước đề cập
đến các loại hình tư duy trong giảng dạy toán học. Tuy nhiên, chưa có công trình
nào nghiên cứu một cách đầy đủ, có hệ thống về biểu hiện của năng lực tư duy
thuận nghịch của học sinh trong chuyên đề phương trình, hệ phương trình và bất
phương trình.

Từ những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình
là: “ Phát triển năng lực tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy
phương trình và bất phương trình ở trường Trung học phổ thông”.
2


1.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là mô tả một số biểu hiện của năng lực tư duy thuận
nghịch của học sinh trong giải, biện luận phương trình, bất phương trình, trên cơ
sở đó đề xuất một số biện pháp phù hợp để có thể phát triển năng lực tư duy này
cho học sinh trong quá trình dạy học chủ đề phương trình, bất phương trình ở
bậc trung học phổ thông nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Quá trình phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học nội dung
phương trình, bất phương trình
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề có
liên quan đến đề tài.
Phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, quan sát và lập phiếu điều tra thực
trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học phương
trình, bất phương trình ở trường Trung học phổ thông.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để
đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong thực tiễn cuộc sống, có rất nhiều cái mà ta chưa biết, chưa hiểu. Để
làm chủ được thực tiễn, con người cần phải hiểu thấu đáo những cái chưa biết
đó, phải vạch ra cái bản chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của chúng.
Quá trình đó gọi là tư duy.
Trước hết chúng ta xét một số bài toán ví dụ thể hiện các hoạt động tư duy

của học sinh để làm căn cứ khi đưa ra khái niệm tư duy thuận nghịch:
Ví dụ 1.1: Đối với học sinh lớp 2, sau khi học về mối quan hệ hơn kém
giữa các đối tượng A và B, giáo viên rèn luyện kĩ năng của học sinh bằng 2 bài
tập:
Bài 1. An có 5 cái kẹo, Bình có nhiều hơn An 3 cái. Hỏi Bình có mấy cái kẹo?

3


Bài 2. Lớp A có 30 học sinh , lớp A nhiều hơn lớp B 5 học sinh. Hỏi lớp B có
bao nhiêu học sinh?
Ở bài 1, chắc chắn nhiều em làm được, vì các em đã có quy tắc mà giáo
viên trang bị cho là : “ Hơn thì cộng”, nên số kẹo của Bình là: 5 + 3 = 8 cái.
Tuy nhiên, cũng với quy tắc đó thì cũng không ít em có đáp án của bài 2
là :
30 + 5 = 35. Tất nhiên đây là một kết quả sai, vì sự rập khuôn của học sinh khi
tiếp thu bài dạy của giáo viên. Những học sinh có tư duy tốt sẽ hiểu ngược lại:
Lớp B ít hơn lớp A 5 học sinh, như vậy các em đã biết cách tìm sự liên hệ giữa
cái chưa biết so với cái đã biết!
Ví dụ 1.2: Đối với học sinh THCS thường cho rằng: x2 > 9 suy ra x > 3,
vì tương tự như việc x > 3 suy ra được x2 > 9.
Ta thấy được điều sai này khi kiểm tra với x = -4 . Việc lấy ví dụ phản biện giúp
học sinh có định hướng để giải đúng bất phương trình x 2 > 9. Đây chính là một
trong các dấu hiệu của năng lực tư duy thuận nghịch.
Ví dụ 1.3: Tìm điều kiện của tham số a để bất phương trình sau có
nghiệm:
(a-1)x2 + ( 2a + 1 )x – 3 ≥ 0

(1) .

Giải trực tiếp bài toán này HS thường gặp những khó khăn, sai lầm, đó là
sai lầm trong việc phân chia trường hợp đối với hệ số a và biệt số ∆ .
Thay vì giải trực tiếp bài toán (1), HS tìm cách giải bài toán ngược của nó,
đó là: Tìm a để bất phương trình

f(x) = (a-1)x2 + ( 2a + 1 )x – 3 ≥ 0

vô nghiệm, hay tìm a để bất phương trình f(x) = (a-1)x2 + ( 2a + 1 )x – 3 < 0
nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực R (2). Từ kết quả của bài (2) sẽ tìm
được kết quả của bài (1) bằng việc lấy giá trị a ngược lại.
Những ví dụ trên đây minh hoạ cho năng lực tư duy thuận nghịch trong
khi giải quyết vấn đề, đó là sự chặt chẽ trong lập luận, kiểm soát được các trường
hợp có thể xảy ra và đặc biệt là biết lật ngược vấn đề, khả năng tự phản biện. Đó
là cơ sở để chúng ta có thể tạm đưa phát biểu định nghĩa sau: Tư duy thuận
nghịch là cách suy nghĩ theo hai chiều ngược nhau nhưng hỗ trợ lẫn nhau giúp
4


con người nhận thức và giải quyết vấn đề sâu sắc hơn, toàn diện hơn, đầy đủ
hơn.
2.2 Thực trạng về việc bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh
trong dạy học giải phương trình, bất phương trình ở trường trung học phổ
thông
Qua tham khảo các tài liệu về thực trạng phương pháp dạy học toán ở
trường phổ thông, qua kết quả trả lời phiếu hỏi, qua kết quả giải toán của HS,
qua dạy học một số giờ tôi nhận thấy: Nhìn chung năng lực TDTN của HS chưa
tốt. Một số HS đã có suy nghĩ theo kiểu thuận nghịch trong quá trình học tập
môn Toán ở trường THPT. Tuy nhiên, số đó không nhiều và khả năng TDTN
chưa thực sự tốt. Vẫn còn nhiều HS chưa linh hoạt thay đổi thói quen suy nghĩ
khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, HS không có thói quen chuyển hướng

quá trình tư duy ngay cả trong trường hợp với kinh nghiệm, kiến thức tại thời
điểm đó không thể giải quyết được.
Thực trạng trên sẽ là cơ sở thực tiễn quan trọng giúp cho tôi xây dựng
các biện pháp sư phạm để bồi dưỡng TDTN cho HS trong dạy học môn Toán
ở trường THPT.
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Giải pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng hiểu và vận dụng đúng
bài toán cần và đủ
1a) Hiểu và vận dụng đúng điều kiện cần và đủ trong việc biến đổi tương
đương PT, BPT.
Trong môn Toán, HS thường xuyên sử dụng các phép toán lôgic, điều
kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ của một mệnh đề. Việc HS không
hiểu rõ đâu là điều kiện cần, điều kiện đủ cũng như việc nhận diện được bài toán
có dạng cần và đủ, khai thác mối quan hệ tương hỗ giữa chúng sẽ dẫn tới sự
thiếu chính xác, khó khăn trong giải toán.
Ví dụ 2.1: Giải bất phương trình:

x2 + x − 6 < x −1

( SGK Đại số 10, phần bài tập)

5


Với bài toán này, học sinh giải bằng cách biến đổi tương đương đưa về bất
 x2 + x − 6 ≥ 0

phương trình bậc hai, với điều kiện cần và đủ là:  x − 1 > 0
 x 2 + x − 6 < ( x − 1) 2


(1)
(2)
(3)

Ở điều kiện (1) và (3) thì đa số học sinh có được, nhưng với điều kiện (2) không
phải em nào cũng biết. Người giáo viên cần phải có phương pháp sư phạm
hướng dẫn các em lí giải nó khoa học để các em ghi nhận theo sự hiểu biết thấu
đáo mà không phải nhớ máy móc dạng học thuộc lòng. Để làm được điều này, ta
sử dụng lối tư duy đảo ngược rằng giả sử x - 1 < 0 ( hoặc x - 1 = 0) thì dẫn tới
BPT vô nghiệm mà không cần giải. Thế nhưng nếu ta không biện luận trường
hợp này mà tiến hành bình phương hai vế thì kể cả khi nghiệm thu được làm cho
x – 1 < 0 ta cũng không biết. Giáo viên có thể lấy ví dụ :

3 < −4 là sai nhưng

( 3) 2 < (−4) 2 lại đúng !

GV kiểm tra khả năng tiếp thu của HS bằng bài tương tự:
Giải bất phương trình:

x 2 + x − 6 ≤ x − 1 ( thêm dấu “ =” )

Ví dụ 2.2: Giải bất phương trình:

x 2 − 5 x − 14 > 2 x − 1

( SGK Đại số 10, phần bài tập )
Cách giải bài này là ta chia hai trường hợp
2 x − 1 < 0

+TH1):  x 2 − 5 x − 14 ≥ 0

2 x − 1 ≥ 0

+TH2):  x 2 − 5 x − 14 > (2 x − 1) 2

Kết quả nghiệm của bất phương trình là hợp của hai tập nghiệm của hai hệ trên.
Đây là một cách giải đúng và được hầu hết các giáo viên áp dụng giảng
dạy cho học sinh như là một quy tắc giải bất phương trình dạng này. Tuy nhiên
không phải học sinh lại dễ nhớ và nhớ được lâu khi các em không hiểu nguyên
do từ đâu lại có được như vậy?.
6


Một thói quen của học sinh khi đứng trước BPT là đặt điều kiện để bình
phương hai vế nhằm khử căn, đưa về bất phương trình bậc hai quen thuộc.
Nhưng khi các em có được thói quen “ tư duy thuận nghịch” thì sẽ đặt được câu
hỏi ngược lại là: Tại sao 2x– 1 phải dương ?? Nếu 2x – 1 âm thì sao? Khi đó
việc phân chia hai trường hợp để giải như trên mới thấy được sự có lí của nó.
Chính vì vậy mà sách giáo khoa Đại số 10 không đưa ra phương pháp
giải các dạng bất phương trình như ở ví dụ 2.1 và 2.2 ở trong phần lí thuyết mà
chỉ đưa ra dưới dạng bài tập, còn việc nhìn nhận để đưa ra cách giải như thế nào
thì cần phải có tư duy phù hợp.
Với cách suy luận đảo ngược vấn đề như vậy sẽ cho học sinh hiểu thấu
đáo hơn và linh hoạt trong các bất phương trình khác chứ không phải học theo
kiểu thuộc lòng tất cả các dạng .
Việc biện luận thường được hiểu là thực hiện đối với các phương trình,
bất phương trình chứa tham số, tuy nhiên có nhiều bài toán giải đối với bất
phương trình có hệ số bằng số thì việc biện luận vẫn rất quan trọng, nếu không
có tư duy này sẽ dẫn tới những sai sót.

Ví dụ 2.3: Giải bất phương trình ( x −1) 2 x 2 − x − 3 ≥ 0
Nhiều học sinh giải bài này như sau:
 x ≤ −1
Điều kiện: 2 x − x − 3 ≥ 0 ⇔ 
3
x≥

2
2

Khi đó bất phương trình tương đương với: x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
Kết hợp với điều kiện, được nghiệm x ≥

3
.
2

Điều này xem qua thì thấy có lí, vì đã có 2 x 2 − x − 3 ≥ 0 , nên chỉ cần x −1 ≥ 0 thì
sẽ thỏa mãn bất phương trình đã cho. Khi trực tiếp dạy các học sinh lớp 10, tôi
đã yêu cầu học sinh thực hiện bài này, đa số các em giải như trên, và không có
hướng khắc phục khi giáo viên chưa gợi ý.
7


Rõ ràng, nếu xảy ra 2 x 2 − x − 3 = 0 , thì không cần đến điều kiện của x -1
nữa
( bất phương trình có kèm theo dấu “ = ”. Đó chính là chỗ sai của bài giải. Vấn
đề này được chỉ ra khi có sự biện luận và phản biện.
Lời giải đúng là:
 x = −1

+) TH1: 2 x − x − 3 = 0 ⇔ 
3
x=

2
2

 x < −1

2 x − x − 3 > 0
3

3
⇔
+) TH2: 
 x > ⇔ x >
2
2
 x −1 ≥ 0


x ≥ 1
2

3
2

Kết hợp TH1 và TH2, bất phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x ≥ .
1b) Hiểu đúng điều kiện cần và đủ trong việc giải, giải và biện luận số
nghiệm của phương trình, hệ phương trình chứa tham số được giải bằng

phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 2.4: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
4 x − 2(m − 1)2 x + m 2 − 4 = 0

(1)

Với bài này, ta đặt 2x = t đưa về phương trình: t 2 − 2(m − 1) t + m2 − 4 = 0
(1’). Nhiều học sinh cho rằng chỉ cần điều kiện PT(1’) có ∆ > 0 là được vì mỗi
nghiệm của (1’) cho một nghiệm của (1). Tuy nhiên đây mới chỉ là điều kiện
cần, nếu(1’) có nghiệm âm sẽ không có nghiệm nào của (1). Giáo viên thay thế
giá trị m thỏa mãn kết quả học sinh đưa ra nhưng lại cho ra nghiệm âm, dẫn tới
phương trình (1) không có hai nghiệm phân biệt như yêu cầu. Từ lập luận và ví
dụ phản biện đó sẽ giúp học sinh hiểu ra vấn đề, biết cần bổ sung thêm điều kiện
đủ cho bài toán. Việc đặt điều kiện đúng cho ẩn phụ t coi như là một bài toán
trung gian: Tìm tập giá trị của hàm số t = u(x) , với đk của x.
Nhờ có sự phản biện trong lập luận sẽ giúp học sinh đưa ra được điều kiện
chặt chẽ và chính xác trong bài toán sau đây:
Ví dụ 2.5: Tìm các giá trị của m để hệ sau có nghiệm (x; y)
8


với x ≥ 0, y ≥ 0
x + 2 y = 3
 x y
x + y −1
+m
4 + 4 = 4

Bài giải đúng.

Ta có:
2 y = 3 − x
2 y = 3 − x
2 y = 3 − x



⇔  2x
⇔  2x 8
hệ ⇔  2 x 2 y 1 2 x 2 y
(1)
1 2 x 3− x
3− x
x
2 + 2 = 4 2 .2 + m
2 + 2 = 4 2 .2 + m
2 + 2 x = 2.2 + m

8
t

2
* Đặt 2 x = t, phương trình (1) trở thành: t + − 2t = m

(2)

Do y ≥ 0 nên 3-x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 từ đó 0 ≤ x ≤ 3 ⇒ 1 ≤ t ≤ 8
* Hệ có nghiệm (x; y) với x ≥ 0, y ≥ 0 ⇔ PT (2) có nghiệm t ∈ [1;8]
8
⇔ đường thẳng y = m cắt (P): y = f(t) = t 2 + − 2t

t

trong đoạn

[1;8]

2t 3 − 2t 2 − 8 2(t − 2)(t 2 + t + 2)
=
Ta có f'(t) =
, f'(t) = 0 ⇔ t = 2.
t2
t2

BBT

t

1

2

f'(t)
f(t)

8

- 0

+

7

49
4

Nhìn vào BBT ta có đường thẳng y = m cắt (P) khi và chỉ khi 4 ≤ m ≤ 49
Vậy PT có nghiệm (x; y) với x ≥ 0, y ≥ 0 khi và chỉ khi 4 ≤ m ≤ 49
Nhận xét: Sai lầm thường gặp của học sinh ở chỗ: Đặt 2 x = t, do x ≥ 0 nên
t ≥ 1 mà quên liên hệ với điều kiện y ≥ 0 để dẫn tới 3 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 , cho nên
thiếu mất điều kiện t ≤ 8 dẫn tới đáp số sai.
Giải pháp 2: Rèn luyện cho học sinh biết lật ngược vấn đề, giải bài
toán trên cơ sở xem xét bài toán ngược.
Trước hết, có thể đưa ra quan niệm bài toán ngược như sau:
Có những bài yêu cầu tìm các giá trị của tham số để phương trình có
nghiệm thỏa mãn một điều kiện nào đó mà việc giải trực tiếp gặp nhiều khó
khăn hoặc cần đến nhiều trường hợp phức tạp thì ta có thể làm bài toán theo yêu
cầu ngược lại , sau đó kết luận ngược trở lại với đáp án giải được của bài toán
9


ngược lại đó. Cách làm này còn gọi là cách làm gián tiếp, được áp dụng trong
nhiều lĩnh vực không chỉ là giải phương trình , bất phương trình như: toán xác
suất, hình học không gian, biện luận dấu tam thức bậc hai, ứng dụng tích phân
tính diện tích của hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay...đây là một biểu hiện
điển hình của phương pháp tư duy thuận nghịch.
Chẳng hạn, với bài toán tìm m để phương trình có nghiệm thì ta đi tìm m
để phương trình vô nghiệm, với bài toán tìm m để bất phương trình f(x) > 0 có
nghiệm thì có khi ta lại đi làm bài toán ngược là: tìm m để BPT f(x) ≤ 0 nghiệm
đúng với mọi x thuộc R. Hoặc như với bài toán tính xác suất để lấy được ít nhất
một viên bi màu vàng thì ta lại làm ngược lại là tính xác suất để lấy ra mà không

có viên bi nào màu vàng cả, hay như bài toán tính diện tích của hình phẳng này
thì ta lại đi tính diện tích của hình phẳng khác mà bù với hình cần tính ...
Thực hiện biện pháp này sẽ giúp HS biết cách tạo bài toán đảo, bài toán
ngược từ một bài toán đã cho. HS biết được không phải định lý nào cũng có định
lý đảo. HS có thể tự tạo một số bài toán đảo từ một bài toán và điều này phụ
thuộc vào việc thay đổi cấu trúc của bài toán ban đầu. HS sẽ có ý thức trong việc
khai thác bài toán ngược để tìm cách giải bài toán thuận, khai thác cách giải của
một bài toán để có thể tìm cách giải của các bài toán còn lại trong hệ thống bài
toán thuận - đảo, qua đó góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS.
Thực tiễn dạy học giải bài tập cho thấy khi đứng trước một bài toán, HS
có xu hướng cố gắng tìm cách giải trực tiếp bài toán, kể cả khi việc giải đó có
thể đi đến bế tắc hoặc cồng kềnh vì phải xét nhiều trường hợp. Các em chưa
thực sự linh hoạt trong việc xem xét bài toán trong mối quan hệ với những bài
toán khác có khả năng hỗ trợ cho cách giải bài toán của mình. Chúng tôi đã tiến
hành điều tra HS về bài toán: “Tìm m để bất phương trình mx 2 + (2m + 1) x − 7 ≥ 0
(1) có nghiệm”. Kết quả nhận được như sau:
- Đa số HS tìm cách giải trực tiếp bài toán, bằng cách phân chia cho các
trường hợp m = 0, m ≠ 0. Trong trường hợp m ≠ 0, một số em đã xem điều kiện
có nghiệm của bất phương trình bậc hai tương tự như phương trình bậc hai, từ
đó tìm m từ điều kiện ∆ ≥ 0 ; một số HS khác tiếp tục chia cho trường hợp m > 0,
10


m < 0 và trong mỗi trường hợp đó xét theo điều kiện ∆ > 0, ∆ ≤ 0 , dẫn đến việc
tính toán rất cồng kềnh, phức tạp, không đi đến kết quả đúng.
- Một số HS đã có ý thức tìm bài toán hỗ trợ nhưng còn sai. Cụ thể HS
diễn đạt như sau: Xét m ≠ 0, bpt (1) có nghiệm ⇔ mx 2 + (2m + 1) x − 7 < 0 vô
nghiệm; hoặc để bất phương trình mx 2 + (2m + 1) x − 7 ≥ 0 (1) có nghiệm hay bpt
mx 2 + (2m + 1) x − 7 < 0 (2) vô nghiệm ∀ x ∈ R .

- Có rất ít em xét bài toán trong mối quan hệ với bài toán ngược: Tìm m
để bất phương trình mx 2 + ( 2m + 1) x − 7 ≥ 0 vô nghiệm.
- Có một số em trong trường hợp m ≠ 0 đã tìm m từ việc giải bất phương
−8−3 7 −8+3 7
trình mx 2 + (2m + 1) x − 7 < 0 , với ∀ x ∈ R (3) ( m ∈ (
;
) ), từ đó kết
2



luận m ∈  − ∞;


2


− 8 − 3 7  − 8 + 3 7
;+∞  ∪ { 0} là các giá trị thỏa mãn bài toán
∪
2
2
 


(trường hợp m = 0 HS xét trực tiếp và thỏa mãn). Mặc dù kết quả bài toán là
đúng, tuy nhiên HS đã không có sự giải thích tại sao phải xét bất phương trình
(3), mối quan hệ của (1) và (3) như thế nào.
Như vậy, HS vẫn có xu hướng suy nghĩ theo “lối mòn”, không linh hoạt
thay đổi hướng suy nghĩ ngay cả khi gặp khó khăn, thậm chí khi không thể giải

được bài toán nếu sử dụng phương pháp cũ, kinh nghiệm cũ.
Cách thức thực hiện giải pháp
*) Để tạo cho HS thói quen xem xét bài toán trong mối liên hệ với bài
toán ngược cần:
+) Khai thác triệt để các bài toán cụ thể, các dạng toán khi giải có thể hoặc
cần dựa vào mối liên hệ với bài toán ngược;
+) Đứng trước mỗi bài toán trên, yêu cầu HS giải bằng cách liên hệ với
bài toán ngược;
+) Sau khi HS giải xong một bài toán có khai thác mối liên hệ với bài toán
ngược, thầy giáo nên nhấn mạnh hiệu quả của bài toán ngược đối với việc giải
bài toán đã cho.
11


Ví dụ 2.6: Cho phương trình (m +2 )x2 – 2mx –1 = 0

(1)

Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ hơn 1.
Giải:
Nếu giải theo yêu cầu của bài toán thì ta làm như sau:
Xét hai trường hợp:
TH1: Với m + 2 = 0 ⇔ m = –2, ta được:
(1) ⇔ 4 x − 1 = 0 ⇔ x =

1 , thỏa mãn yêu cầu đề bài.
4

 x1 < 1 = x2


TH 2: với m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ –2, các trường hợp xảy ra là:  x1 < 1 < x2
 x1 ≤ x2 < 1

Nhận xét: Đây là một cách làm đúng, đầy đủ và chặt chẽ. Tuy nhiên rất
khó đối với đa số học sinh, hầu hết các em xét thiếu trường hợp. Giáo viên gợi ý
cho học sinh xét yêu cầu ngược lại của bài toán thì bài toán trở nên dễ dàng hơn.
1
4

Cụ thể là: Với m = –2 , phương trình có nghiệm x = thỏa mãn yêu cầu
bài toán.
Với m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ –2, ta thấy ∆ ' = m 2 + m + 2 > 0∀m nên phương trình
luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bây giờ đặt bài toán ngược lại:Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều
lớn hơn hoặc bằng 1, nghĩa là 1 ≤ x1 < x2 , liệu có dễ hơn không?
Câu trả lời dĩ nhiên là có.
Ví dụ 2.7: Tìm m để phương trình x 2 − ( m + 1) x + 2 m − 1 = 0

có nghiệm không

âm?
Nếu làm trực tiếp thì HS phải xét ba trường hợp:
Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm không âm;
Trường hợp 2: Phương trình có một nghiệm dương, một nghiệm âm;
Trường hợp 3: Phương trình có một nghiệm bằng 0, một nghiệm âm.

12


Thực tiễn dạy học cho thấy có nhiều HS chỉ xét trường hợp 1, bỏ sót hai

trường hợp còn lại.
Nếu HS có thói quen xem xét cách giải quyết theo chiều ngược lại, thì có
thể nghĩ đến giải quyết bằng phương pháp gián tiếp. Để làm được điều này, HS
phải biết phát biểu bài toán ngược phù hợp với bài toán đã cho. Đó là:
“ Tìm m để phương trình x 2 − ( m + 1) x + 2m − 1 = 0 không có nghiệm không âm”,
điều đó có nghĩa là hoặc phương trình không có nghiệm hoặc phương trình có
nghiệm thì chúng phải là các nghiệm âm. Từ đó HS xét hai trường hợp:
Trường hợp1: Phương trình vô nghiệm;
Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm âm.
Để đưa được bài toán ngược đúng trong trường hợp này, HS phải nắm
vững cách phủ định của một mệnh đề. Đối với mệnh đề có dạng “ có nghiệm có
tính chất a” thì mệnh đề phủ định là “ không có nghiệm có tính chất a”. Vì vậy:
Nếu HS phát biểu bài toán ngược là: “ tìm m để phương trình
2
x − ( m + 1) x + 2m − 1 = 0 có nghiệm âm”, thì khi HS chỉ xét trường hợp 2, như vậy

đã bỏ sót trường hợp 1 ( PT vô nghiệm ).
Ví dụ 2.8: Tìm điều kiện của tham số a để bất phương trình sau có
nghiệm:
ax2 + ( 2a + 1 )x – 7 ≥ 0 (1) .
Giải trực tiếp bài toán này HS thường gặp những khó khăn, sai lầm sau
đây:
HS nhầm lẫn về điều kiện có nghiệm của bất phương trình bậc hai tương
tự như điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Đây là một sự “ngộ nhận”
tai hại mà nguyên nhân có thể là HS đã gặp bài toán mà tình cờ điều kiện có
nghiệm của bất phương trình bậc hai trùng với điều kiện có nghiệm của phương
13


trình bậc hai. Từ đó, trong suy nghĩ của HS chỉ cần tìm a để ∆ ≥ 0 . Trong trường

hợp này GV cần chấn chỉnh ngay để các em không mắc sai lầm, có thể bằng
cách nêu ra một phản ví dụ, chẳng hạn bất phương trình 2 x 2 + x + 1 ≥ 0 có biệt
thức ∆ = −7 < 0 nhưng bất phương trình có nghiệm với mọi x. GV cần thông qua
các ví dụ cụ thể để nhấn mạnh với HS điều kiện

∆≥0

chỉ là điều kiện đủ chứ

không phải là điều kiện cần để bất phương trình đã cho có nghiệm.
Trên cơ sở định lý về dấu của tam thức bậc hai, HS đã có một quy trình
tổng quát về tuần tự các bước giải bất phương trình bậc hai. Các em sẽ không
quá khó khăn trong việc vận dụng định lý đó vào giải bất phương trình bậc hai
có hệ số bằng số. Riêng đối với bất phương trình bậc hai có chứa tham số a, các
em nhận thấy phải xét các trường hợp của biệt thức ∆ ( ∆ > 0; ∆ = 0; ∆ < 0 ), và
tương ứng với mỗi trường hợp của ∆ phải tìm a để f ( x) ≥ 0 . Mặc dù đã có quy
trình chặt chẽ, nhưng phải chia nhiều trường hợp phức tạp, việc phân chia đầy
đủ các trường hợp và tính toán đúng cũng không phải là dễ dàng.
Thay vì giải trực tiếp bài toán (1), HS tìm cách giải bài toán ngược của nó,
đó là: Tìm a để bất phương trình f(x) = ax2 + ( 2a + 1 )x – 7 ≥ 0 (2) vô nghiệm.
Từ kết quả của bài (2) sẽ tìm được kết quả của bài (1).
Bằng cách phát biểu bài toán (2) theo hình thức khác: f ( x) ≥ 0 vô nghiệm
có nghĩa là không tồn tại x để f ( x) ≥ 0 , hay f ( x) < 0 với ∀x ∈ R . Cách phát biểu
trên đã đưa (2) về bài toán không khó đối với HS lớp 10.
Ví dụ 2.9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1
2 1
2( x +
) + (2m + 3)( x + ) + 6 = 0
2

x
x

(1)

Điều kiện: x ≠ 0
* Đặt t = x +

1
điều kiện của t là t ∈ ( −∞; −2] ∪ [2; +∞ )
x

2
2
* Ta có: t = x +

1
1
+ 2 ⇒ x2 + 2 = t 2 − 2
2
x
x

Khi đó phương trình (1) trở thành: 2t 2 + (2m + 3)t + 2 = 0

(2)

14

* Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm thỏa
mãn: t ∈ ( −∞; −2] ∪ [2; +∞) . Đến đây, nếu ta giải quyết theo chiều thuận thì phải
phân chia thành rất nhiều trường hợp, mà sự thiếu sót rất khó tránh khỏi. Do vậy,
sau khi chốt điều kiện để phương trình có nghiệm ( điều kiện cần), giáo viên gợi
ý học sinh thực hiện giải bài toán đảo lại là : Tìm m để phương trình có cả hai
nghiệm đều thuộc khoảng (-2; 2), sau đó lấy kết quả ngược lại thì bài toán trở
nên đơn giản hơn nhiều. Cụ thể như sau:

7
m ≤ − 2
* Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là: ∆ ≥ 0 ⇔ 
m ≥ 1

2

(1)

* Bài toán ngược lại: Tìm m để PT(2) có cả hai nghiệm thuộc (-2; 2),

tức là: -2 < t1 < t2 <2 . Điều này tương đương với:


 f (−2) > 0

 f (2) > 0

S
−2 < < 2

2

⇔ ... ⇔ - 4 < m < 1

( Hệ điều kiện này được đưa ra dựa vào việc minh họa bằng hình dạng của đồ
thị hàm số bậc hai, mà khồng cần phải học định lí đảo về dấu tam thức bậc hai )
 m ≤ −4

Khi đó kết quả ngược lại là: 
m ≥ 1

 m ≤ −4

Kết hợp với điều kiện (1) ta được đáp số: 
m ≥ 1

Giải pháp 3: Biết linh hoạt thay đổi vai trò giữa ẩn số và tham số và
ngược lại.
Trong học tập môn Toán, đặc biệt là lĩnh vực hoạt động giải toán, nếu
chúng ta luôn luôn “bó buộc” vai trò của đối tượng nhận thức như nó vốn phải
có, phải tìm, thì trong một số trường hợp chính sự cứng nhắc suy nghĩ như vậy
vô hình dung tạo thành sự khó khăn, đôi khi không thể vượt qua để giải bài toán.

15


Việc thay đổi vai trò giữa ẩn số và tham số ta có thể bắt gặp trong bài toán
giải phương trình. Đôi khi, với ẩn đã cho việc giải gặp khó khăn ta có thể hoán
vị vai trò ẩn và tham số cho nhau rồi giải phương trình với “ ẩn mới” là tham số.
Thường thì ta thu được phương trình bậc hai với ẩn mới và biệt thức ∆ thu được
thường là một bình phương đúng.

Ví dụ 2.10: Giải phương trình: x 4 − 2mx 2 + x + m 2 − m = 0 (m là tham số)
Để giải phương trình này, nếu theo cách nghĩ thông thường (tính x theo m)
thì gặp khó khăn vì đây là phương trình bậc 4 ẩn x không có dạng đặc biệt, cũng
không nhẩm được nghiệm. Như vậy, chính việc “bó buộc” vai trò của đối tượng
nhận thức như vốn nó phải có, phải tìm đã tạo thành sự khó khăn, đôi khi không
thể vượt qua để giải bài toán. Quan sát phương trình nhận thấy bậc của x khá lớn
mà bậc của m chỉ là 2, nếu linh hoạt đổi vai trò của đối tượng nhận thức, tạm
xem phương trình đã cho như là phương trình bậc hai đối với ẩn m đã có cách giải, x
là tham số. Từ đó, ta tính được m = x 2 + x , hoặc m = x 2 − x − 1 . Đây là những
phương trình bậc hai ẩn x chứa tham số m mà HS đã có phương pháp giải. Tuy
nhiên, việc làm này có thể làm cho HS khó chấp nhận, HS vẫn phân vân với
kiểu trao đổi vai trò của ẩn và tham số cho nhau, nhưng GV cũng cần quan tâm
để rèn luyện tính linh hoạt, tính sáng tạo cho HS.
Ví dụ 2.11: Tìm x để BPT sau đúng với
(1)

∀m > 1 :

2
mx + 2( m − 1) x − 5 > 0

Nếu không đọc kĩ đề bài, học sinh sẽ nghĩ rằng đây là bất phương trình

bậc hai ẩn x, do đó các em sẽ nhầm lẫn với bài toán tìm m để BPT đúng với mọi
x > 1. Cách giải bài này là chúng ta phải chuyển về BPT bậc nhất ẩn m, x là
tham số. Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì tập nghiệm của nó phải chứa khoảng (
1; +∞). Cụ thể như sau:
BPT ⇔ ( x 2 + 2 x )m > 2 x + 5
 x2 + 2x > 0
x ≤ − 5


⇔
⇔


2x + 5
(1) đúng với mọi m > 1
≤1
 x ≥ 5
 2
 x + 2x
16


Giải pháp 4: Luyện tập cho HS biết chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán
để tạo ra một bài toán mới, giải quyết đơn giản hơn.
HS nhận thấy mối quan hệ hai chiều giữa số nghiệm của phương trình
f ( x) = g ( x) với số giao điểm của hai đồ thị hàm số y= f (x ) và y = g (x ) : Số giao

điểm của hai đồ thị hàm số y= f (x) và y = g (x) chính là số nghiệm của phương
trình f ( x) = g ( x) và ngược lại; Đồ thị các hàm số y= f (x) và y = g (x) cắt nhau tại
điểm có hoành độ thuộc D tương đương phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm x ∈
D và biết khai thác mối quan hệ này trong hoạt động giải toán rất có hiệu quả.
Ví dụ 2.12: Chuyển sang bài toán hình học tọa độ dưới góc nhìn giao của
hai đường cong hoặc giao giữa đường thẳng và đường cong .
Bài toán: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
1 − x 2 = x − m (1)

Giải: Đặt y = 1 − x 2 , đk y ≥ 0 . Khi đó PT được
 x 2 + y 2 = 1 (2)


chuyển thành hệ:  x − y = m (3)
y ≥ 0


PT (2) là PT đường tròn đơn vị (C) có tâm O(0;0),
bán kính R = 1
PT(3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác
góc phần tư thứ nhất x – y = 0. Ta đi tìm vị trí tới hạn cho (d) là:
+ A(1; 0) ∈ (d ) ⇔ m = 1 và A(-1; 0) ∈ (d ) ⇔ m = -1
+ (d) tiếp xúc với nửa trên của đường tròn (C)
⇒ d(O,(d)) = R ⇔

 m = − 2
=1⇔ 
2
 m = 2 (1)

−m

Vậy ta thấy:
- Với m < − 2 hoặc m > 1 thì (C ) ∩ (d ) = ∅ ⇔ (1) vô nghiệm.
- Với m = − 2 hoặc -1 < m < 1 thì (C ) ∩ (d ) = {A} ⇔ (1) có nghiệm duy
nhất.
17


- Với − 2 < m ≤ −1 thì (C ) ∩ (d ) = {A, B} ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2.13: Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm: 4 x3 − 3x = 1 − x 2
Điều kiện: 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 .

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số , ta có đồ thị
như hình bên. Do đó số nghiệm của
phương trình là số giao điểm của đồ thị
hàm số y = 4 x3 − 3x và đồ thị hàm số
y = 1 − x2 .

Từ đó ta suy ra phương trình có ba nghiệm
phân biệt.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm giả
thuyết khoa học của đề tài sáng kiến kinh nghiệm qua thực tiễn dạy học; kiểm
nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã được đề xuất.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành trong hai đợt:
* Đợt 1: Được tiến hành trong khoảng thời gian từ cuối tháng 9 năm 2018
đến tháng 11 năm 2018, cho khối 11.
- Lớp thực nghiệm là lớp 11B1
- Lớp đối chứng là lớp 11B2
* Đợt 2: Được tiến hành trong khoảng thời gian từ đầu tháng 12 năm
2018 đến tháng 3 năm 2019, cho khối 10
- Lớp thực nghiệm là lớp 10C1
- Lớp đối chứng là lớp 10C2
Việc lựa chọn cặp lớp thực nghiệm – đối chứng ở đợt thực nghiệm thứ
nhất thực hiện, cụ thể: Được sự đồng ý của Ban Giám hiệu nhà trường, chúng tôi
đã tìm hiểu kết quả học tập các lớp khối 10, khối 11 của trường và nhận thấy
rằng: trình độ chung về môn Toán của 10C1 và 10C2; 11B1 và 11B2 là tương

18


đương. HS ở các lớp thực nghiệm và đối chứng đều học theo Sách giáo khoa

môn Toán cơ bản.
Qua quan sát hoạt động dạy, học ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, tôi
thấy:

- Ở lớp thực nghiệm, học sinh tích cực hoạt động, chịu khó suy nghĩ,

tìm tòi và phát huy tư duy độc lập, sáng tạo hơn ở lớp đối chứng. Hơn nữa, tâm
lý học sinh ở lớp thực nghiệm thoải mái, tạo mối quan hệ thân thiết, cởi mở giữa
thầy và trò.
- Khả năng tiếp thu kiến thức mới, giải các bài tập toán cao hơn so với bài
đối chứng. Các em có thể vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo
trong giải bài toán. Các em biết huy động kiến thức cơ bản, các tri thức liên
quan để giải các bài tập toán, kỹ năng lựa chọn của học sinh cao hơn, trình bày
lời giải bài toán một cách chặt chẽ, ngắn gọn và rõ ràng hơn.
Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp
đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua bảng thống kê sau đây:
Kết quả Bài kiểm tra thực nghiệm đợt 1 của lớp thực nghiệm (11B1 –
40HS) và lớp đối chứng (11B2 – 39HS)

Lớp

Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng

Số
HS

Điểm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TB

11B1

39

0

0

2

4

8

11

8

6

0

0

6.0

11B2

40

0

0

0

1

3

5

10

11

8

2

7.5

Kết quả Bài kiểm tra thực nghiệm đợt 2 của lớp thực nghiệm (10 C1 – 40HS)
và lớp đối chứng ( 10C2 – 42HS)
Lớp

Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng

Số
HS

Điểm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TB

10C1

42

0

0

1

4

9

13

8

6

1

0

6.1

10C2

40

0

0

0

1

4

6

10

9

8

2

7.3

19


Từ các kết quả trên ta có nhận xét sau:
− Điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng ở cả
hai lần kiểm tra.
− Số HS có điểm dưới 5 ở lớp thực nghiệm thấp hơn và số HS có điểm khá,
giỏi từ 7 điểm trở lên ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng.
Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho
thấy: mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của
các quan điểm đã được khẳng định. Thực hiện các biện pháp đó sẽ góp phần
phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư duy thuận nghịch trong dạy học
phương trình và bất phương trình đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng
cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Qua việc nghiên cứu để viết sáng kiến kinh nghiệm này và áp dụng nó
vào dạy học cho học sinh ở trường THPT Thạch Thành 2, tôi rút ra một số kinh
nghiêm trong dạy học môn Toán.
- Dạy học môn Toán cần đề cao phát triển tư duy cho học sinh.
- Với thực trạng học sinh trường THPT Thạch Thành 2 còn yếu về tư duy
đặc biệt là tư duy môn Toán thì việc phát triển về TDTN giúp cho HS đỡ sai lầm
hơn trong giải Toán và tạo được hứng thú học môn Toán.

SKKN nếu mở rộng thêm các bài toán khó hơn để bồi dưỡng cho HS giỏi
thì kết quả đạt được sẽ rất khả quan.
Nếu đề tài được chấp nhận và có ích cho các giáo viên trong việc
bồi dưỡng tư duy giải toán cho học sinh, đặc biệt là tư duy thuận nghịch, rèn
luyện cho học sinh tính sáng tạo, linh hoạt, sự chặt chẽ trong giải toán thì hi
vọng trong thời gian tới chúng ta sẽ tiếp tục mở rộng, phát triển đề tài này trong
tất cả các nội dung kiến thức của chương trình toán học ( đại số, giải tích và hình
học ) từ lớp 10 đến lớp 12 của trường trung học phổ thông.
3.2 Kiến nghị

20


Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ hơn nữa về trang thiết bị
hỗ trợ dạy và học .Tạo điều kiện để giáo viên có thể nghiên cứu sâu hơn nữa để
bồi dưỡng và phát triển tư duy cho HS thông qua dạy học môn Toán.
Nhà trường cần tăng cường các buổi ngoại khóa về môn Toán để qua đó
học sinh vừa học lại vừa chơi để HS được nâng cao hơn nữa về tư duy môn Toán
và áp dụng tư duy thuận nghịch vào cuộc sống.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng SKKN còn nhiều thiếu sót , mong được sự
góp ý của đồng nghiệp và BGH. Tôi xin chân thành cảm ơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày.... tháng ... năm...
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Giáo viên

Đinh Thị Hương Giang

21


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đinh Thị Hương Giang
Chức vụ và đơn vị công tác:Giáo viên trường THPT Thạch Thành 2
Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)
Tỉnh

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Một số sai lầm khi ứng dụng

2.

đạo hàm để giải Toán.

Định hướng cho học sinh giải Tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)
C

2011-2012

C

2012-2013

Năm học
đánh giá
xếp loại

hệ phương trình không mẫu
mực.
3.
4.
5.

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phan Dũng (2010), Các thủ thuật (nguyên tắc) sáng tạo cơ bản, NXB Trẻ,

TP. Hồ Chí Minh.
2. Nguyễn Thị Mỹ Hằng – Phạm Xuân Chung – Trương Thị Dung ( 2016 ),
Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường
trung học phổ thông, NXB ĐHSP.
3. Nguyễn Thái Hoè (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán, NXB
Giáo dục, Hà Nội.
4. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Vũ Dương Thụy (2001), Phương pháp dạy học
môn toán, NXB Giáo dục, Hà Nội.
5. Thái Thị Hồng Lam (2014), Bồi dưỡng năng lực tư duy thuận nghịch cho
học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THPT, Luận án Tiến sĩ Khoa học
giáo dục.
6. Đào Tam (chủ biên), Những phương pháp dạy học không truyền thống.

23