SKKN phát triển tư duy phân tích và tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 – THPT thông qua việc giải một số bài toán xác định tọa độ

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Một nền kinh tế và xã hội càng phát triển thì lại càng cần nhiều những bộ óc biết
giải quyết vấn đề. Xã hội không chỉ cần những bộ óc giải quyết được vấn đề mà
người khác đặt ra cho mình. Xã hội còn rất cần những người tự vạch ra các mục
tiêu và tự đặt ra các vấn đề cần giải quyết.
Để tạo ra một lớp người chủ giỏi trong tương lai, ngay từ bây giờ chúng ta cần
chú trọng dạy cho học sinh THPT tư duy phân tích và tư duy sáng tạo. Đây cũng
là chất liệu thiết yếu giúp các em tự tìm thấy lòng say mê trong học tập.
Đối với người đi học, niềm hạnh phúc đến từ tiến trình gồm ba bước: khám phá
kiến thức mới – làm chủ kiến thức – vận dụng để sáng tạo ra thành quả được
người khác công nhận. Tư duy phân tích và tư duy sáng tạo là chất liệu không
thể thiếu cho người học xuyên suốt tiến trình ba bước này.
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học
sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động. Muốn vậy giáo viên
cần chỉ cho học sinh cách học, biết cách suy luận để tìm lời giải, biết tìm tòi và
phát hiện kiến thức mới. Học sinh cần được phát triển các thao tác tư duy như tư
duy phân tích, tư duy sáng tạo,…
Chương trình hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của hình học phổ
thông đó là phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, đây là một nội dung tương đối
khó và thường xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh.Trong đó bài tập về
tìm tọa độ điểm có vai trò quan trọng trong giải các bài toán tọa độ hình học
phẳng lớp 10. Với học sinh việc giải bài tập về xác định tọa độ điểm vốn đã mất
nhiều thời gian và là một vấn đề khó vì sự kết hợp giữa các tính chất hình học
phẳng và sử dụng tọa độ. Khi giải các bài toán hình học tọa độ học sinh thường
không chú trọng đến các tính chất hình học của bài toán ấy, do tâm lí chung là
các em ngại học hình, là phần kiến thức mới đối với các em khi mới vào lớp 10.
Hơn thế là do phân phối chương trình còn ít tiết và lượng bài tập trong sách giáo
khoa chưa nhiều nên chưa đáp ứng được nhu cầu của học sinh khá, giỏi. Do đó
hiệu quả giải toán không cao và sự phân loại dạng toán, phương pháp giải toán
cũng chưa tốt.

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy phân tích và tư
duy sáng tạo cho học sinh lớp 10 – THPT thông qua việc giải một số bài toán
xác định tọa độ điểm bằng phương pháp khai thác tính chất hình học”.
1.2 Mục đích nghiên cứu.

1


Xây dựng, sắp xếp các bài tập tìm tọa độ điểm có tính hệ thống, thông qua
đó để phát triển tư duy phân tích và tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
+ Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy phân tích, tư duy sáng tạo.

+ Tìm hiểu khái niệm, kiến thức có liên quan đến tọa độ điểm.
+ Xây dựng và phân tích định hướng khai thác hệ thống bài tập tìm tọa độ
điểm trong chương trình hình học lớp 10.
+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề
tài, tôi chọn 2 lớp theo Trường THPT Lê Lợi năm học 2017-2018, cụ thể: lớp
đối chứng: 10A8, lớp thực nghiệm:10A6.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận;
+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, điều tra khảo sát thực tế,
thu thập thông tin;
+ PP thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1.1 Tư duy phân tích là gì ?
Theo tâm lý, phân tích là chia nhỏ thông tin, khái niệm thành những phần nhỏ
và chỉ ra mối liên hệ của chúng với tổng thể. Nói một cách khác, phân tích là
đào sâu suy nghĩ để hiểu biết. Đặc trưng của phân tích là chia nhỏ các thông tin,

khái niệm để hiểu kĩ hơn.
Người dạy giúp học sinh có thể chia ra các bậc thang hợp lý kết nối các tầng
kiến thức lại với nhau. Bậc thang lớn quá thì một học sinh năng lực trung bình
không thể bước nổi. Bậc thang ngắn quá thì học sinh khá giỏi thấy nhàm chán,
lười động não. Vậy nên, nhiệm vụ của một người thầy giỏi là giúp học sinh tự
mình khám phá để đi từ một tầng kiến thức thấp tới một tầng kiến thức cao hơn.
Bản thân người học mỗi khi khám phá ra được một cầu nối mới thì đã bắt đầu có
thể cảm thấy được niềm hạnh phúc của việc sáng tạo.
Đối với môn hình, phân tích đề bài là đọc kĩ đề bài, nắm vững giả thiết và kết
luận của bài toán, vẽ hình biểu diễn, liên hệ, xâu chuỗi các kiến thức đã cho với
yêu cầu của bài toán để tìm ra lời giải của một bài tập hình học phẳng nói chung
và tìm tọa độ điểm nói riêng, từ đó giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài tập hình
học phẳng lớp 10, từ đó rèn luyện kỹ năng phân tích, đồng thời tạo điều kiện
thuận lợi để phát huy trí tưởng tượng, tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em.

2.1.2 Tư duy sáng tạo là gì ?

2


Sáng tạo được hiểu theo từ điển Việt Nam là làm ra cái mới chưa ai làm hoặc là
tìm tòi làm tốt hơn một việc gì đó mà không bị gò bó.
Tư duy sáng tạo là quá trình tìm cách nhận thức, phát hiện ra quy luật của sự
vật, có ý thức luôn tìm ra cái mới để hiểu hơn bản chất của sự vật hiện tượng
cũng như tìm ra nguyên nhân, ngăn chặn, loại bỏ những cái xấu và phát triển cái
tốt.
Như vậy tư duy sáng tạo là thuộc tính bản chất của con người để tồn tại và
phát triển những điều tốt đẹp, trong các loại hình tư duy nhằm phản ánh hiện
thực thì tư duy sáng tạo là loại hình tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo
và hiệu quả, phát hiện ra nội dung mới, tìm ra hướng đi mới đồng thời tạo ra kết

quả mới.
Người học giỏi phải là người làm chủ được tri thức, biết định dạng, phân loại, để
từ đó sáng tạo và nhận thức ra tri thức mới hữu ích cho mình. Việc giải bài tập
chỉ mới là bước căn bản để học sinh hiểu bài chứ chưa hẳn đã tạo ra thử thách
khả năng sáng tạo. Còn khi người học biết kết nối thông tin để hình thành nhận
thức mới mẻ cho bản thân mình, thì đó chính là sự sáng tạo. Cũng chỉ thông qua
đó thông tin mới thực sự sống động và thôi thúc lòng ham hiểu biết.
2.1.3 Mối quan hệ giữa tư duy tích phân tích và tư duy sáng tạo.
Khi tự mình phân tích và sáng tạo thì người học làm chủ được môi trường của
mình. Việc phân tích và sáng tạo thành công tạo ra ấn tượng khám phá mới mẻ,
đồng thời cho người học cảm giác được lao động, vượt qua chướng ngại để đem
về thành quả sáng tạo.
2.2 THỰC TRẠNG
Qua khảo sát chất lượng đầu năm, đối với lớp 10A6, 10A8, hai lớp ngang nhau
(60% từ khá trở lên), chất lượng bộ môn đạt 50% từ trung bình trở lên trong đó
có 15% học sinh có điểm hình giỏi.
Thực tế khi đứng trước một bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng học
sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán
từ đâu ?”. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội
làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải
toán như thế là không cao. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn
trong quá trình giải toán tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng, người giáo viên cần
tạo cho học sinh thói quen đọc kĩ đề bài, xem xét bài toán dưới nhiều góc độ,
khai thác giả thiết của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học
sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải
nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng
và giải toán. Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được
một lời giải cho bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng thường không
3

suy nghĩ, đào sâu thêm. Học sinh không chú ý đến bản chất của bài toán nên
mặc dù làm rất nhiều bài toán nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ
bản cũng như bản chất của bài toán.
Với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải
đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản. Còn khi đưa ra bài toán phức tạp hơn
thì học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài
toán. Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều. Trước thực
trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen
phân tích đề bài để tìm điểm mấu chốt cho bài toán xác định tọa độ điểm trong
mặt phẳng.
2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐÊ
Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết):
- Buổi học thứ nhất: Tổ chức thực hiện ôn tập kiến thức cơ bản và hình
thành kỹ năng giải toán thông qua một số ví dụ có sự hướng dẫn của
giáo viên.
- Buổi học thứ hai: Tổ chức cho học sinh thực hành giải các bài toán
tương tự thông qua đó phát triển tư duy phân tích và tư duy sáng tạo
cho học sinh.
- Buổi học thứ ba: Tổ chức kiểm tra để lấy kết quả nội dung triển khai
và kỹ năng mà học sinh đạt được.
2.3.1 Kiến thức cơ bản
Tổ chức cho học sinh ôn tập củng cố lại một số kiến thức cơ bản.
Trước khi hướng dẫn học sinh khai thác các tính chất hình học phẳng để
giải bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cần tổ chức cho học sinh ôn
tập lại một số tính chất hình học cơ bản mà các em đã được học ở trung học cơ
sở. Cụ thể là tính chất về các đường trong tam giác, các tính chất của đường tròn
tứ giác nội tiếp, tính chất của hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình
thoi, hình vuông; các tính chất cơ bản của phần véc tơ trong mặt phẳng và phần
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Tiếp theo, hướng dẫn học sinh tìm hiểu một số tính chất hình học thuần
túy thường được khai thác trong các bài toán phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng nhằm mục đích củng cố, khắc sâu thêm kĩ năng chứng minh quan hệ
vuông góc, quan hệ song song, sự bằng nhau của các đoạn thẳng, các góc... đồng
thời cũng để các em có cơ sở để tư duy, phát hiện các tính chất hình học ẩn chứa
trong mỗi bài toán và vận dụng chúng trong quá trình tìm giải. Cụ thể là một số
tính chất sau:
Gọi I ; G; H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm,
tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có các tính chất sau:
- Tính chất 1:
4


Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C), A' là điểm đối xứng của A qua I,
H’ là giao điểm thứ hai của AH với (C). Khi đó ta có các kết quả sau:
1. Tứ giác BHCA’ là hình bình hành.
uuur
uuur
2. Gọi M là trung điểm của BC, ta có AH  2 IM
uuu
r uur
3. Ba điểm I, G, H thẳng hàng và IH  3IG (định lí Ơle )
4. H’ đối xứng với H qua BC

- Tính chất 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Khi đó nếu MA  MC thì MB  MD .

- Tính chất 3: Cho hình vuông ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, AD. Khi đó DM  CN .

2.3.2 Xây dựng các ví dụ minh họa

Chính là lớp các bài toán cụ thể với giả thiết luôn thay đổi theo từng đặc trưng
của mỗi bài. Việc áp dụng các cách giải khác nhau giúp cho học sinh phát triển
tư duy sáng tạo, linh hoạt trong từng tình huống cụ thể; tập luyện cho học sinh
5


khả năng ứng biến và vận dụng khéo léo các tính chất hình học phẳng vào để
giải quyết các bài toán tìm tọa độ điểm.
Phương pháp tiến hành của tôi rất đơn giản. Cấp tối giản nhất trong phương
pháp giúp học sinh phát triển tư duy phân tích và tư duy sáng tạo chỉ gói gọn
trong hai câu hỏi với từng bài toán. Thứ nhất, bài toán này có liên quan ra sao tới
các kiến thức đã học ? Thứ hai, bài toán này có thể phát triển tạo ra nền tảng gì
và vẫn còn lại khoảng trống nào ?
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã xây dựng hệ thống các ví dụ theo từng
dạng, với mỗi bài toán tôi sẽ chỉ ra cách phân tích, lập sơ đồ tổng quát các bước
giải, và cuối cùng là lời giải chi tiết.
Thực hành giải toán:
Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán. Trên cơ sở giả thiết và yêu cầu bài
toán phân tích tìm cách giải bài toán.
Phân tích bài toán, tìm lời giải:
Quan sát hình vẽ, xác định giả thiết và yêu cầu của bài toán; Trên cơ sở các
dữ kiện của bài toán phân tích các yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán.
- Sắp xếp các điểm chưa biết tọa độ, các đường cần tìm theo thứ tự từ nhiều giả
thiết đến ít giả thiết. Xác định xem nên ưu tiên tìm điểm nào? Đường nào trước?
- Phân tích các điểm, các đường trên hình vẽ: Liên hệ các điểm, các đường đã
biết với nhau; liên hệ các điểm, các đường cần tìm với các điểm đã biết tọa độ
hoặc tìm được ngay tọa độ với các điểm khác, với các đường mà giả thiết cho,
với tính chất các đường, các góc trong tam giác, trong đường tròn, trong tứ giác
(thường là tứ giác nội tiếp, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình
vuông)…để dự đoán tính chất hình học ẩn chứa trong bài toán, tiến hành chứng

minh tính chất đã phát hiện rồi dựa vào tính chất đó để giải quyết bài toán.
Bước 2: Lập sơ đồ các bước giải bài toán.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ ở bước 2.

VÍ DỤ MINH HỌA
DẠNG 1: XÉT TRONG TAM GIÁC
Ví dụ 1. ( Đề thi THPT quốc gia năm 2015)
6


Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu
của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu của vuông góc
C trên đường thẳng AD. Giả sử H (-5;-5), K (9;-3) và trung điểm của cạnh AC thuộc
đường thẳng : x - y + 10 = 0 . Tìm tọa độ điểm A
1.Phân tích Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán:

Giả thiết cho xoay quanh điểm H, K và đường thẳng AC, vẽ hình ta cũng dự
đoán được AK vuông góc với HM.
Gọi M là trung điểm của AC.
Ta có tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn tâm M, suy ra MH = MK. Chứng tỏ M
nằm trên đường trung trực của HK .
MA = MK, và tam giác AHK cân tại H , suy ra HA = HK. Vậy điểm A đối xứng
với điểm K qua đường thẳng HM.
Như vậy điểm mấu chốt của bài toán là chứng minh được A đối xứng với K
qua đường thẳng HM.
2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán
+ Viết phương trình đường trung trực d của HK
+ M  d � , trong đó  : x – y + 10 = 0, suy ra tọa độ điểm M
+ HM là đường trung trực của AK. Viết phương trình đường thẳng HM, viết
phương trình đường thẳng AK: đi qua K và vuông góc với HM.

+ Tìm được tọa độ giao điểm I của HM và AK.
+ A đối xứng với K qua HM. Suy ra I là trung
điểm của AK.
+ Suy ra tọa độ điểm A
3. Trình bày lời giải bài toán
Ta có tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn tâm M,
7


suy ra MH = MK. Chứng tỏ M nằm trên đường trung trực của HK .
Đường trung trực d của HK có phương trình y = -7x + 10
Điểm M là giao của đường thẳng d và  : x – y + 10 = 0
�y  7 x  10

�x  0

��
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ �
�x  y  10  0
�y  10

Suy ra điểm M (0; 10).
�  HCA
�  HAB
�  HAD
�  HAK
�
�  HAK
� .Suy ra ∆HAK cân tại H,
� HKA

Ta có HKA
mà MH = MK nên điểm A chính là điểm đối xứng của K qua MH.
uuuur
Ta có MH  (5;15) , đường thẳng MH đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến
r
n  (3; 1) nên có phương trình 3x –y +10 = 0.

Đường thẳng AK đi qua K và vuông góc với HM nên có phương trình: x+3y =0.
Gọi I là giao của AK và HM. Ta có tọa độ điểm I là nghiệm của hệ
3x  y  10  0
�
�x  3
��
. vậy I ( 3;1) . I là trung điểm của AK, suy ra tọa độ
�
�x  3 y  0
�y  1

điểm A (-15; 5).Vậy tọa độ điểm A (-15; 5).
Nhận xét: Những dự đoán liên hệ những yếu đã cho và những yếu tố chưa
biết thường xảy ra là quan hệ vuông góc, song song, độ dài đoạn thẳng, hoặc
số đo góc…
Ví dụ 2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có tâm
I (1; 2) và có trực tâm H thuộc đường thẳng d : x  4 y  5  0 . Biết đường thẳng AB
có phương trình 2 x  y  14  0 và khoảng cách từ C đến AB bằng 3 5 . Tìm tọa độ
điểm C, biết hoành độ điểm C nhỏ hơn 2.
1. Phân tích

8

* Do H thuộc d nên H(4t + 5;
t). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
uuur

uur

4t  7 t  4 �
;
�
3 �
� 3

�
Ta có: IH  3IG � G �

�t  1
| 3t  8 |
� � 13
* Măt khác, ta có: d (C; AB)  3(G; AB) � 3 5  3.
�
t
5
� 3

* Gọi M là trung điểm AB, suy ra tọa độ M là hình chiếu của I trên AB nên
M(5; 4)
11 5

uuuu
r

uuuu
r

�
�
* Với t = 1 ta có G � ; �Từ MC  3MG � C (1; 3)
�5 3 �
Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là C (1; 3)
Nhận xét:Trong tam giác ABC nếu H, G, I lần lượt là trực tâm, trọng tâm và
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì ta luôn có:
uuu
r uur
+ IH  3IG ,
+ CH cắt đường tròn ngọi tiếp thì tại H’ thì H và H’ đối xứng nhau qua AB.

DẠNG 2: XÉT TRONG HÌNH VUÔNG
Ví dụ 3.
Cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC,
biết CM cắt DN tại I (

22 11
; ) . Gọi H là trung điểm DI, biết đường thẳng AH cắt
5 5

7
CD tại P( ;1) . Biết xA  4 , tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông.
2

9


1.Phân tích Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán:
Ta có MBC  NCD � CM  DN
Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của DM) suy ra
ED = EI, mà H là trung điểm của DI � EH  DI � AH  DN ,
mà CM  DN suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hình
bình hành, do đó P là trung điểm DC � tứ giác AMPD là hình chữ nhật
� IE 

1
1
DM  AP � AIP vuông tại I
2
2

Ta có ADI cân tại A � AI  AD  DC  2 IP ( do tam giác DIC vuông tại I)
� AI  2 IP

Như vậy mấu chốt của bài toán là phát hiện được AI vuông góc với IP và
AI=2IP.
2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán
+) Chứng minh tam giác AIP vuông tại I
+) Viết phương trình đường thẳng AI: đi qua I và vuông góc với PI
+) Chứng minh AI = 2 IP, A �AI biểu thị tọa độ điểm A theo tham số t. AI =
2IP suy ra tọa độ điểm A, rồi viết phương trình AP.
+) Viết phương trình DN: qua I và vuông góc với AP, suy ra toạ độ điểm
H  AP �DN , H là trung điểm ID suy ra toạ độ điểm D

10


+) Viết phương trình DC: qua D và vuông góc với AD, suy ra tọa độ điểm
P  AH �DC , P là trung điểm DC suy ra toạ độ điểm C
uuu
r uuur

+) AB  DC suy ra toạ độ điểm B
3. Trình bày lời giải bài toán
MBC  NCD � CM  DN

Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra
ED = EI, mà H là trung điểm của DI � EH  DI � AH  DN ,
mà CM  DN suy ra CM // AH, mặt khác AM // CP nên tứ giác AMCP là hình
bình hành, do đó P là trung điểm DC � tứ giác AMPD là hình chữ nhật
� IE 

1
1
DM  AP � AIP vuông tại I
2
2

Ta có ADI cân tại A � AI  AD  DC  2 IP ( do tam giác DIC vuông tại I)
� AI  2 IP

Đường thẳng AI qua I và vuông góc với PI nên có phương trình
t0

�
2
2
� 12 � � 9 �
�
3 x  4 y  22  0 . A �AI � A(2  4t ; 4  3t ) � �
4 t  � �
3t  � 9 �
6
�
t
� 5 � � 5�
� 5

Do xA  4 nên A(2; 4) suy ra pt(AP): 2 x  y  8  0
DN  AP suy ra pt(DN): x – 2y = 0
16 8 �
�
H  DN �AP � H � ; �� D(2;1), C(5;1), B(5; 4)
�5 5 �

Vậy A(2; 4), D(2;1),C(5;1), B(5; 4)
Nhận xét: Trong hình vuông ta luôn có CM vuông góc với DN.
DẠNG 3: XÉT TRONG HÌNH CHỮ NHẬT
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB,
gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BC. Trên đường thẳng MN lấy
điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,
C, D biết K (5; 1) , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC : 2 x  y  3  0 và
điểm A có tung độ dương.
1.Phân tích Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán:

11


Bài toán cho xoay quanh điểm K và đường thẳng AC, nhận xét đầu tiên sau khi
dựng hình xong đó là phát hiện KD  AC.
�  MKD
� (2 góc này bằng nhau do 2 tam giác MKD  ACD ) ,
Ta có DAC
�  KDC
� � DAC
�  KDC
� .Ta đã có DAC
� �
� �
MKD
ACD  90 nên KDC
ACD  90

� �
Vậy KDC
ACD  90 ( tổng 2 góc trong một tam giác bằng 90)
�  90  KD  AC.
suy ra góc DHC

Điểm mấu chốt của bài toán là phát hiện KD  AC.
2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán.
+ Viết phương trình KD  H = KD  AC  tọa độ H.
+ Tham số hóa điểm A theo đường AC  1 ẩn nên cần một phương trình
 Tính độ dài AK = ? theo tham số

+ Dựa vào định lý thuận Thales ta tính
được độ dài AK.
+ Có tọa độ điểm A
uuur 2 uuu
r
CD  KI
3

����
� tọa

uuuu
r 4 uuur
AH  AC

5
����
�

tọa độ C  tọa độ trung điểm I của AC

độ D  tọa độ B.

3. Trình bày lời giải bài toán
Gọi H = AC  KD. Do KD đi qua điểm K(5 ;-1) và KD  AC: 2x + y - 3 = 0
 KD: x - 2y - 7 = 0.

12

� 13
x
�
2
x

y

3

0
�
13 11 �
�
�
5
Tọa độ H là nghiệm của hê: �x  2 y  7  0 � � 11 � H � ;
�
�5 5 �
�
�y 
�
5

Ta có A  AC: 2x + y - 3 = 0  A(a; 3 - 2a).
Do A có tung độ dương nên 3 - 2a > 0  a 
Mặt khác

AK  KD 

3
2

uuur

và KA  (a  5; 4  2a)

5
KH  2 5
3

�a  1(n)
3
a  . Vậy A(1;1) .
21
Suy ra AK  20 � (a  5)  (4  2a)  20 � �
�
2
a  (l )
� 5
2

2

2

Gọi I là trung điểm của AC.
Ta

IH

HD IK
3



có
HC HK CD 2



AC 3IC
AC 3 AC


AH AI  IH
5  2
10  4

 2
AC
AC
AC
AC
5

�
5�
13 �
xC  1  �  1�
�

uuur 5 uuur
4 �5
�
� �xC  3
��
� C (3; 3)
Suy ra AC  AH � �
y


3
4
5

11
�
�
C
�
�y  1 
C
�  1�
�
4 �5
�
�

I là tâm hình chữ nhật ABCD  I là trung điểm AC và BD và I(2;-1)
Ta có

uuur 2 uur
IK
3
I (2; 1)
 � CD  IK � D(1; 3) ���
� B (3;1)
CD 2
3

Nhận xét: Có thể thấy bài toán đã vận dụng linh hoạt rất nhiều kỹ thuật, phương
pháp để giải quyết các đối tượng cần tìm. Về phần chứng minh vuông góc, có
nhiều phương án tiếp cận khác nhau nên chúng ta có nhiều cách chứng minh khác
nhau. Ví dụ chúng ta có thể mở rộng hình chữ nhật ABCD thành hình vuông
ADEF và ta sẽ dễ dàng chứng minh được I là trực tâm của tam giác AKD, suy ra
AC  KD). Khai thác tính chất trực tâm để chứng minh hai đường thẳng vuông
góc được sử dụng rất nhiều trong các bài toán thi ĐH cũng như học sinh giỏi. Và
sau khi đã chứng minh được AC  KD thì ta thấy được sự vận dụng “định lý
Thales” tìm tỉ lệ các đoạn thẳng và “chuyển từ đẳng thức độ dài về đẳng thức
véctơ” để bài toán đơn giản hơn và không xuất hiện thêm nghiệm ngoại lai.
DẠNG 4: XÉT TRONG HÌNH BÌNH HÀNH
Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD có BD 

10
AC . Gọi hình chiếu vuông góc
5

của điểm D lên AB, BC lần lượt là M(-2; -1), N(2; -1). Biết AC nằm trên đường
thẳng có phương trình x  7 y  0 . Tìm toạ độ A và C.
13

1. Phân tíchVẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán:
Gọi I là trung điểm của BD IM  IN 

BD
� I thuộc trung trực của MN
2

2. Lập sơ đồ các bước giải bài toán
+) Chứng minh I thuộc trung trực của MN
+) Viết phương trình đường trung trực của MN, suy ra toạ độ điểm I, suy ra độ
dài IM, BD, AC
+) Viết phương trình đường tròn đường kính AC, suy ra toạ độ A, C là giao điểm
của AC và đường tròn đường kính AC
3. Trình bày lời giải bài toán
BD
� I thuộc trung trực của MN. Trung
2
trực của MN có phương trình x = 0 � I (0;0) � IM  5 .

Gọi I là trung điểm của BD IM  IN 

Do IM 

BD
5 2
� BD  2 5 � AC  5 2 � IA  IC 
2
2

Phương trình đường tròn đường kính AC là x 2  y 2 

25
.
2

� 7
� 7
x
x
�x  7 y  0
�
�
�
� 2
� 2
Toạ độ A, C là nghiệm của hệ �2 2 25 � �
hoặc �
1
x y 
�
�
�y  1
y
�
2
� 2
� 2
7

1

7 1

�
� � �
Do đó A � ;  �, C � ; �
� 2 2 � �2 2 �

DẠNG 5: XÉT TRONG HÌNH THANG
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD đáy lớn CD. Các
đường thẳng AC, BD lần lượt có phương trinh 2 x  y  1  0 và x  2 y  1  0 . Gọi M là
trung điểm của AB. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết đường DM có
phương trinh 3x  8 y  11  0 và B có hoành độ âm.
1.Phân tích Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán:

14


+ Dễ dàng tìm được tọa độ D do D  DB �DM và đồng thời điểm mới I với
I  AC �BD .
+ Do tính chất của hình thang cân nên AC = BD nên IA = IB suy ra tam giác IAB
cân tại I. Vì vậy MI vuông góc AB.
Điểm mấu chốt của bài toán là phát hiện MI vuông góc với AB.
2. Lập sơ đồ các bước giải
+ Viết phương trình đường thẳng AB
+Ta có thể tham số A theo AC, B theo BD (2 ẩn nên cần 2 phương trình) và biểu
diễn tọa độ M theo tọa độ A và B. Do M thuộc DM nên ta được pt (1). Mặt khác
MI vuông AB (pt (2)). Từ đây giải (1) và (2) ta tìm được tọa độ A và B.
+Khi đó ta chỉ cần lập phương trình đường thẳng CD qua D và CD // AB nên

C  CD �AC

3. Trình bày lời giải :
�x  2 y  1  0

�x  7

��
� D(7;4)
Ta có tọa độ D thỏa mãn hệ �
3 x  8 y  11  0
�
�y  4
� 1
x
�
x

2
y

1

0
�
� 3
�1 1 �
Và tọa độ I thỏa mãn hệ �2 x  y  1  0 � � 1 � I � ; �
�3 3 �
�

�y 
� 3

�A �AC �A(a;1  2a )
��
. Ta lại có M là trung điểm AB nên
�B �BD �B (1  2b; b)

Ta có �

�a  2b  1 2a  b  1 �
M�
;
�
2
� 2
�

15


13a  2b  11
�
�
��a  b  0
�IM  AB
��
2 � �a  1
�
�

Mặt khác, �M �DM ��
suy ra A(1;3), B(3; 1)
a b 
b  1
3
�
�
��
� 1
b
�
� 2
uuu
r
Phương trình CD qua D và nhận IM làm vectơ pháp tuyến và C là giao điểm

giữa AC và CD nên ta có tọa độ

C ( 4; 7)

Vậy tọa độ các điểm thỏa yêu cầu bài toán là:

A(1;3), B (3; 1), C (4; 7), D (7; 4)

2.3.3 MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H. Biết đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x 2  y 2  3x  5 y  6  0 , H thuộc đường thẳng d: 3x –
y – 4 = 0, tọa độ trung điểm AB là M(2;3). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác
biết hoành độ của A lớn hơn 1.
�A(3; 2), B(1; 4), C (1;1)

ĐÁP SỐ: �
A(3; 2), B(1; 4), C (2; 4)
�
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi N là
trung điểm của AB. Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các định B, C
11 13 �
� và
�5 5 �

�
của tam giác ABC. Tìm tọa độ A biết tọa độ các điểm E (7;1), F � ;

phương trình đường thẳng CN là 2x + y -13 = 0.
ĐÁP SỐ:

A(7;9)

Bài 3. Cho tam giác ABC có góc C nhọn, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là
�IB  900 . Chân đường cao kẻ từ A đến BC là D(-1; -1),
I(-2; 1) và thoả mãn A
đường thẳng AC đi qua điểm M(-1; 4). Tìm tọa độ A, B biết đỉnh A có hoành độ
dương
ĐÁP SỐ: A(1;5), B(2; -2)
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có D(4; 5), M là trung điểm đoạn AD, đường
thẳng CM có phương trình x  8 y  10  0 . Điểm B nằm trên đường thẳng
d1 : 2 x  y  1  0, yC  2 . Tìm toạ độ A, B, C
ĐÁP SỐ: A(8; 1), B(2; 5), C( 2;1)
Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ A
và đường thẳng BC lần lượt có phương trình 3x  5 y  8  0 , x  y  4  0 . Đường

16


thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC tại điểm thứ hai là D(4; -2). Tìm tọa độ A, B, C biết xB �3 .
ĐÁP SỐ: A(1 ;1) , B(2; -2), C(5; 1)

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
2.4. 1 Tổ chức thực nghiệm.
Tổ chức thực nghiệm tại trường THPT Lê Lợi, huyện Thọ Xuân gồm:
 Lớp thực nghiệm 10A6
 Lớp đối chứng 10A8
Trình độ hai lớp tương đương nhau, lớp 10A6 có 42 học sinh, lớp 10A8 có
44 học sinh.
Qua thời gian thực tế dạy học, tôi nhận thấy khi chưa đưa đề tài này vào
quá trình giảng dạy, học sinh chỉ có thể giải quyết được các bài tập đơn giản.
Không biết phân tích bài toán, lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, xử lí các giả
thiết đã cho như thế nào, dẫn đến không làm được bài.
Sau khi học đề tài học sinh đã có thể làm tốt các bài tập khó, các em hứng thú
và say mê hơn trong học tập, có cách nhìn nhận vấn đề tốt hơn, tư duy, tiếp cận
tìm ra lời giải nhanh, một số em có hướng tư duy độc đáo.
2.4.2 Kết quả thực nghiệm
Kết quả đó còn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra khi tôi
tiến hành dạy đề tài ở lớp 10A6 Trường THPT Lê Lợi năm học 2017-2018. So
sánh giữa các lớp chưa học và các lớp đã được học đề tài, cho thấy hiệu quả
của đề tài và tính thiết thực trong việc đổi mới phương pháp dạy học.
Sau khi thực hiện quá trình hướng dẫn học sinh tìm lời giải và cho các em tự
luyện tập ở nhà tôi tiến hành cho học sinh lớp 10A6 làm bài kiểm tra 45’ (với

mức độ đề tương đương với đề đã cho lớp 10A8 năm học 2017- 2018). Nội dung
đề kiểm tra như sau:
Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB  2 AD. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BD; E và F lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng CD và BH. Biết A(1;1) , phương trình đường thẳng EF là
3x  y  10  0 và E có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B,C và D của hình chữ
nhật ABCD.

17


Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, phân giác trong góc A
của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D.Tìm toạ độ
đỉnh B biết A(1;0), C (1  2; 2  2), D (3; 2)

Kết quả làm bài của học sinh được thống kê ở bảng sau.

Kết quả kiểm tra
Điểm

Số
bài

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TN(10A6)

42

0

0

1

3

7

6

8

8

6

3

ĐC(108)

44

0

6

4

5

14

5

7

2

1

0

Lớp

2.4.3 Kết quả:
Kết quả lớp thực nghiệm có 38/42 (chiếm 90,48%) đạt trung bình trở lên,
trong đó có 27/42 (chiếm 64,29%) đạt khá giỏi.
Lớp đối chứng có 29/44 (chiếm 65,9%) đạt trung bình trở lên, trong đó có
15/44 (chiếm 34,1%) đạt khá giỏi.
- Học sinh có hứng thú hơn trong học tập, đã nắm được phương pháp giải các
bài toán hình phẳng về tìm tọa độ điểm.
- Xây dựng được hệ thống bài tập về tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng một cách
khoa học, lôgic.
- Rèn luyện các thao tác vẽ hình biểu diễn, trí tưởng tượng, mở đầu cho các ý
tưởng vẽ thêm các đường, chọn điểm.
- Rèn luyện tư duy phân tích, độc lâp, tính linh hoạt và phê phán trong tư duy

18


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 KẾT LUẬN
Trong đề tài SKKN này tôi đã đề cập được các vấn đề sau:
1. Khái niệm tư duy, các tính chất hình học có liên quan đến tọa độ trong
mặt phẳng.
2. Đặc điểm bài tìm tọa độ trong hình học phẳng và những khó khăn mà học
sinh thường gặp khi giải các bài toán về chúng.
3. Xây dựng các bài tập tìm tọa độ điểm có tính hệ thống để rèn luyện kỹ
năng phân tích cho học sinh.
4. Qua đề tài này tôi thấy học sinh đã biết cách phân tích để tìm lời giải cho

bài toán tìm tạo độ trong hình phẳng và tạo được hứng thú cho học sinh
trong quá trình học tập.
3.2 KIẾN NGHỊ
Đề tài được tích luỹ nhiều năm trực tiếp giảng dạy tại các lớp của trường THPT
Lê Lợi, các ví dụ được chọn lọc, tham khảo từ nhiều nguồn tài liệu trong đó có
đề thi Đại học – Cao đẳng của Bộ giáo dục, đề thi thử của một số trường THPT,
tạp chí Toán học tuổi trẻ... Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn
đề tài không tránh khỏi những hạn chế. Rất mong được sự đóng góp quý báu của
Ban giám hiệu, đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm
2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
19


người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Mạnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa Hình học lớp 10- Nhà XB Giáo Dục – tháng 6 năm 2010.
- Báo toán học tuổi trẻ các số tháng 4 năm 2010; tháng 8 năm 2011; tháng 11
năm 2012.

- Đề thi đại học và trung học phổ thông quốc gia các năm 2013; 2014; 2015.
- Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa trong các năm học
2014-2015; 2015- 2016.
- Đề thi thử đại học của một số trường THPT trong các năm gần đây; các trang
mạng liên quan đến dạy học toán như www. Moon.Vn; Thư viện trực tuyến
Violet;
www.diendantoanhoc.net.
- Những điểm mới trong mục tiêu đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục phổ
thông – thuvienphapluat.VN.
- Tư liệu ghi chép của cá nhân - đồng nghiệp.
- Bài viết của Giáo sư Phan Đình Diệu đăng trên Tia Sáng số 17

20


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

1. MỞ ĐẦU……………………………………………………………1
1.1 Lí do chọn đề tài…………………………………………………1
1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….2
1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………2
1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………..2
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………………………………...2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………………………2
2.1.1 Tư duy phân tích là gì ?...........................................................2
2.1.2 Tư duy sáng tạo là gì ?...............................................................3
2.1.3 Mối quan hệ giữa tư duy tích phân tích và tư duy sáng tạo…..3

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh ghiệm…..3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………..4
2.3.1 Kiến thức cơ bản……………………………………………..4
2.3.2 Các ví dụ minh họa…………………………………………..6
2.3.3 Một số bài tập tham khảo……………………………………16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường…………………………..17
3. Kết luận, kiến nghị ……………………………………………….19
3.1 Kết luận……………………………………………………….19
3.2 Kiến nghị……………………………………………………..19
Tài liệu tham khảo...……………………………………………………………20

21


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Mạnh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên, Trường THPT Lê Lợi.

Cấp đánh giá
xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Tên sáng kiến được xếp
loại: Hướng dẫn học sinh
giải phương trình mũ.

Sở GD-ĐT
Thanh Hóa

2.

Tên sáng kiến được xếp
loại: Hướng dẫn học sinh
tính thể tích khối đa diện.

Sở GD-ĐT
Thanh Hóa

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)
C

C

Năm học

đánh giá
xếp loại
Quyết định
số: 59/QĐ –
SGDĐT
ngày
24/02/2006.
Quyết định
số: 743/QĐ
– SGD và
ĐT ngày
04/11/2013

----------------------------------------------------

22


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH, TƯ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH LỚP 10 –THPT THÔNG QUA VIỆC GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP
KHAI THÁC CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC.

Người thực hiện: Lê Thị Mạnh
Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2018
23


24