SKKN rèn LUYỆN kĩ NĂNG cơ bản về PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN CHO học SINH TRUNG BÌNH, yếu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH
TRUNG BÌNH, YẾU.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Huê
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn):: Toán

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
Nội dung
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Nhắc lại các kiến thức liên quan
2.3.2. Mô tả các giải pháp sau khi có sáng kiến kinh nghiệm
2.4. Hiệu quả của sáng kiến

3. Kết luận, kiến nghị.

Trang
1
2
2
2
2
2
2
3
4
4
6
14
15


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Như chúng ta đã biết hiện nay công nghệ thông tin đang phát triển mạnh
mẽ và có những bước tiên nhảy vọt. Khoảng cách giữa các phát minh khoa học
- công nghệ và áp dụng vào thực tiễn ngày càng thu hẹp lại. Kho tàng tri thức
nhân loại ngày càng phong phú, đa dạng và tăng nhanh. Xu thế toàn cầu hóa và
hội nhập kinh tế ngày càng mở rộng.Để đáp ứng được những xu thế trên đòi hỏi
ngành Giáo dục cần đổi mới phương pháp dạy học nhằm đào tạo nên những con
người không những giỏi về tri thức mà còn cần có kĩ năng sống tốt, kĩ năng giải
quyết công việc nhanh nhẹn và hiệu quả...
Do vậy môn Toán nói chung và môn toán THPT nói riêng đứng trước một
yêu cầu cấp bách là đổi mới về nội dung, mục tiêu và phương pháp dạy học.

Trong Toán học thì bài tập đóng vai trò quan trọng. Thông qua việc giải các
bài toán cụ thể, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả
nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp, những hoạt
động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động
ngôn ngữ. Vì vậy trong dạy học Toán, việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học
sinh là một vấn đề quan trọng, là một trong những mục tiêu dạy học Toán cần
phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ và liên
tục.Thông qua việc rèn luyện kĩ năng, học sinh biết vận dụng những kiến thức
được học vào luyện tập, qua đó giúp học sinh hiểu sâu, nắm vững kiến thức,
đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ, những kĩ năng cần thiết cho cuộc
sống.
Trong chương trình toán THPT, phương pháp tọa độ trong không gian nói
chung, phương trình đường thẳng nói riêng là một trong những nội dung quan
trọng. Để làm tốt được nội dung này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến
thức về hình học không gian, quan hệ giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng và
măt cầu. Đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong kì thi THPT quốc gia,
do đó yêu cầu học sinh làm tốt các bài toán liên quan là hết sức cần thiết.
Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 qua các năm học, tôi thấy
kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian của học sinh
còn yếu. Học sinh còn gặp khó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải toán. Đa số học
sinh đều cho rằng hình học là một môn khó, chiếm tỉ lệ điểm thấp trong môn
Toán nên một số em không chú ý học dẫn đến các kiến thức cơ bản liên quan
đều không nắm vững. Hơn thế nữa từ năm 2017 trở lại đây, môn Toán lại thi
theo hình thức trắc nghiệm nên một số bộ phận học sinh không chú ý học phần
này mà các em có tư tưởng khoan bừa hoặc dùng máy tính để bấm xác suất chọn
phương án trả lời cho câu hỏi liên quan.Vì vậy việc hệ thống hóa và phân dạng
bài tập cơ bản cho số đông học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình, yếu có thể
tiếp thu tốt và viết được phương trình đường thẳng trong không gian là việc làm
cần thiết.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi xin mạnh dạn đưa ra một kinh nghiệm

nhỏ“ Rèn luyện kĩ năng cơ bản về phương trình đường thẳng trong không

1


gian cho học sinh trung bình, yếu” nhằm rèn luyện cho các học sinh có kĩ năng
xác định được phương trình đường thẳng và các bài toán liên quan một cách
nhanh nhất.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Thông qua đề tài này để xây dựng hệ thống bài toán và đưa ra một số biện
pháp nhằm rèn luyện kĩ năng, giúp học sinh phát huy được khả năng tìm lời giải
nhanh gọn nhất của những bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng
trong không gian, từ đó hình thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo và linh hoạt khi giải quyết công việc.
Giúp học sinh thấy được toán học có nhiều ứng dụng trong thực tế, qua đó
kích thích đam mê, hứng thú học tập môn toán nói chung và phân môn hình học,
nhất là hình học không gian nói riêng ở học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
+) Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian.
+) Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
+ Phương pháp nghiên cứu điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
+ Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo cũng đã khẳng định: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương
pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt

một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích
tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát
triển năng lực…”
Trong học tập môn Toán, tư duy giải bài tập là hoạt động chủ đạo và thường
xuyên, thông qua đó rèn luyện kĩ năng, phát triển trí tuệ và nâng cao tính tích
cực, chủ động của học sinh.
Thực tế giảng dạy các tiết tại Trường THPT Triệu Sơn 4 qua những năm đảm
nhiệm dạy lớp 12 tôi thấy kĩ năng viết phương trình đường thẳng trong không
gian của học sinh còn yếu. Các em gặp khó khăn và dễ nhầm lẫn khi giải bài
toán dạng này với bài toán viết phương trình mặt phẳng, nhầm lẫn với phương
trình đường thẳng trong mặt phẳng. Hơn nữa trong sách giáo khoa Hình học lớp
12 chỉ đưa ra cách viết phương trình đường thẳng trong không gian một cách
chung chung chưa phân dạng cụ thể, khi gặp một bài toán liên quan học sinh
chưa định hướng được nên thực hiện như thế nào. Vì vậy việc hệ thống hóa và
phân các dạng bài tập cơ bản để cho học sinh có học lực trung bình, yếu có thể
tiếp thu và vận dụng được là việc làm cần thiết.
Các dạng viết phương trình đường thẳng trong không gian ở các tài liệu
tham khảo thì có rất nhiều. Tuy nhiên đối với đa số học sinh, khi kiến thức cơ

2


bản còn chưa nắm vững thì khi đọc những nội dung kiến thức này lại càng làm
cho các em không thích môn hình học, dẫn đến việc chọn bừa một đáp án theo
suy đoán của các em là “Số đẹp”.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong chương III hình học 12 nội dung sách giáo khoa có đề cập đến hai
dạng phương trình của đường thẳng: Phương trình tham số và phương trình
chính tắc.
Để viết được một trong hai dạng phương trình nói trên hoặc cần xác định một

vài yếu tố theo yêu cầu bài toán thì học sinh cần phải xác định được:
+) Một điểm mà đường thẳng đi qua.
+) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
Năm học tôi được phân công giảng dạy lớp và à hai lớp có chất lượng tương
đương nhau. Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi đã tiến hành cho các
em làm bài kiểm tra với nội dung kiến thức và kĩ năng cơ bản cần
phải nắm được sau khi học xong bài “Phương trình đường thẳng trong không
gian”.Kết quả đạt được như sau:
Lớp

Số
HS

Giỏi
SL Tỉ lệ
%
0
0

Khá
TB
Yếu, kém
SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
%
%
%
12B3
37

7
18,9
13
35,1
17
45,94
2
4
12B8
41
0
0
6
14,6
12
29,2
23
56,1
3
7
Kết quả đạt được quá thấp, tôi đã tiến hành kiểm tra nhanh kiến thức của học
sinh bằng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm dạng nhận biết và thông hiểu và thấy đa
số học sinh ngộ nhận và mắc phải những sai lầm như:
+ Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì học sinh cũng thừa nhận
luôn vuông góc tức là cắt nhau.
+ Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì
song song với nhau.
+ Hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc thì vuông góc với nhau.
+ Goc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véc tơ chỉ phương tương ứng
của hai đường thẳng đó.

Về phía bản thân khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, mặc dù tôi đã cố
gắng tìm hiểu nắm vững chuẩn kiến thức, kĩ năng về phương trình đường thẳng
trong không gian và truyền đạt cho học sinh theo đúng chuẩn kiến thức, kĩ năng
nhưng:
+ Để đảm bảo về thời gian theo phân phối chương trình(3 tiết) thì có nhiều kĩ
năng giáo viên chưa thể rèn luyện và khắc sâu được cho học sinh, đặc biệt là đối
với các kĩ năng có liên quan đến kiến thức đã học từ trước.
+ Sau khi dạy xong lí thuyết giáo viên hướng dẫn và giao bài tập cho học sinh
trong sách giáo khoa( các bài 1(a, c, d);3a, 4, 6,9)…nhưng chưa tổng quát thành

3


các dạng toán liên quan một cách hệ thống, bài tập chưa sắp xếp khoa học từ dễ
đến khó cũng như chưa có điểm nhấn về kiến thức và phương pháp cần chú ý.
+ Một số dạng toán không được đề cập cụ thể trong sách giáo khoa nên chỉ
được giáo viên hướng dẫn sơ sơ, chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cũng
như chưa đưa ra được hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng giải các phương trình
dạng này.
Hạn chế: Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động, chưa có phương pháp học tập
tích cực, hạn chế phương pháp tự học, kĩ năng giải bài tập còn yếu, thường chỉ
làm được một số dạng bài tập ngay sau khi có sự hướng dẫn của giáo viên mà
chưa có cái nhìn tổng quan về một số dạng toán viết phương trình đường thẳng
trong không gian. Khi gặp một dạng toán mới thường hay lúng túng, chưa định
hướng được cách giải. Một số học sinh đề cao tầm quan trọng của máy tính cầm
tay và cho rằng chỉ cần có máy tính là làm hết được các câu trắc nghiệm đề ra
dẫn đến kết quả các bài kiểm tra cò thấp.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản.
2.3.1.1. Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:

* và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng thì là vectơ chỉ
phương của đường thẳng
* là chỉ phương của thì cũng là chỉ phương của
2.3.1.2. Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng:
* và có giá vuông góc với mặt phẳng thì là VTPT của .
* là VTPT của thì cũng là VTPT của
2.3.1.3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
* Phương trình tổng quát của có dạng :
với
* Nếu có phương trình:
thì VTPT của là
* Nếu đi qua điểm và nhận làm VTPT thì phương trình của là :
.
, với
* Nếu chứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phương
với thì VTPT của là
.
*Nếu cắt các trục lần lượt tại thì có phương trình là : (điều kiện )
( phương trình trên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
2.3.1.4. Phương trình của đường thẳng :
Nếu điểm và VTCP của là thì :
* Phương trình tham số của đường thẳng là: .
* Phương trình chính tắc của là : với
2.3.1.5. Các kiến thức khác:
* Cho và điểm , ta có:
+) Vectơ .

4

+) Toạ độ trung điểm của là: .
* Tích có hướng của và là một vectơ ký hiệu là .
Nếu
thì
Chú ý:
+) , +)
+) và cùng phương
2.3.1.6. Cách sử dụng máy tính Casio fx570 hoặc máy tính Vinacall:
a) Tính tích vô hướng của hai véc tơ.
Bước 1: Nhấn mode 8: nhấn 1 , nhấn 1 sau đó Nhập véc tơ .
Bước 2: Nhấn Shift 5 nhấn 1, nhấn 2, nhấn 1 nhập véc tơ .
Bước 3: Nhấn , nhấn shift, nhấn 5, nhấn 3 đề chọn vec tơ .
Nhấn shift 5, nhấn 7(dot). Tiếp tục nhấn shift 5, nhấn 4 để chọn véc tơ
Nhấn “=” cho ta kết quả.
b) Tính tích có hướng của hai véc tơ.
Bước 1: Nhấn mode 8: nhấn 1 , nhấn 1 sau đó Nhập véc tơ A.
Bước 2: Nhấn Shift, 5 bấm 1, bấm 2, bấm 1 nhập véc tơ B.
Bước 3: Nhấn AC, nhấn shift, nhấn 5, nhấn 3 đề chọn vec tơ A.
Tiếp tục nhấn shift 5, nhấn 4 để chọn véc tơ B.
Nhấn “=” cho ta kết quả.
2.3.1.7. Cách sử dụng máy tính Casio fx580 VNX :
a) Tính tích vô hướng của hai véc tơ.
Bước 1: Nhấn 5 chọn 1, ấn 3 rồi nhập véc tơ
Nhấn OPTN nhấn 1, nhấn 2, nhấn 3 rồi nhập véc tơ .
Bước 2: Nhấn OPTN, bấm 3
Nhấn OPTN, bấm 3 để chọn véc tơ .
Nhấn OPTN, bấm phím xuống, chọn 2.
Nhấn OPTN bấm 4 chọn véc tơ B.
Nhấn “ = ” cho ta kết quả.
b) Tính tích có hướng của hai véc tơ.

Bước 1: Menu 5 chọn 1, nhấn 3 rồi nhập véc tơ A.
Nhấn OPTN nhấn 2, nhấn 1, chọn 3 rồi nhập véc tơ B.
Bước 2: Nhấn OPTN, bấm 3
Nhấn OPTN, bấm 3 để chọn véc tơ A.
Nhấn OPTN bấm 4 chọn véc tơ B.
Bấm “ = ” cho ta kết quả.
2.3.2. Mô tả các giải pháp sau khi có sáng kiến kinh nghiệm.
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày
trong sách giáo khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong
không gian lớp 11. Nhằm khắc phục những thiếu sót và sai lầm trên, tôi thực
hiện theo các giải pháp sau:
Giải pháp 1:

5


Bước 1: Hệ thống hóa các dạng phương trình đường thẳng, sắp xếp một
cách có hệ thống theo hướng từ dễ đến khó,trong đó có đưa ra những kiến thức
và phương pháp giải phù hợp để học sinh có thể nắm được bản chất, tính chất
hình học bằng cách kết hợp giữa đại số và hình học trong giải toán.
Bước 2: Nội dung được xây dựng và sắp xếp cơ bản theo thứ tự: Kiến thức
cơ bản, ví dụ minh họa, phương pháp giải, bài tập tương tự rèn luyện cho từng
dạng cụ thể.
Giải pháp 2:
Xây dựng một số biện pháp rèn luyện cho học sinh những kĩ năng cơ bản để
giải quyết lớp bài toán về phương trình đường thẳng trong không gian.
Về phương pháp dạy học: Phân tích các bài toán mẫu để hình thành thuật giải,
luyện tập các bài toán cùng dạng, lồng ghép củng cố các kiến thức cơ bản là
cách thức rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh được đề xuất và minh họa,
xây dựng trong sáng kiến nhằm giúp học sinh nhận dạng bài tập và xác định

phương pháp giải dễ dàng.
Dựa trên các giải pháp trên cùng với việc tìm hiểu và khai thác các kiến thức
liên quan qua đồng nghiệp và các tài liệu trên mạng internet, tôi xin trình bày
nội dung đề tài của minh thông qua các dạng toán sau:
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng biết một điểm mà nó đi qua và biết
phương của đường thẳng.
Phương pháp giải: Nếu đường thẳng đi qua điểm và có véc tơ chỉ
phương là thì :
* Phương trình tham số của đường thẳng d là : :
* Phương trình chính tắc của d là : với
Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ
phương là:

A.

�x  4  3t
�
�y  5  t
�z  7  2t
�

�x  4  3t
�
�y  5  t
�z  7  2t
�

�x  3  4t
�
�y  1  5t

�z  2  7t
�

�x  3  4t
�
�y  1  5t
�z  2  7t
�

.
B.
.
C.
.
D.
.
( Đề thi KSCL lần 1 Sở GD&ĐT Quảng Nam năm học 2017 – 2018) .
Lời giải
Theo đề bài ra các em chọn ngay được đáp án .
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của là:
A..
B. . C.. D.
(Đề thi KSCL Sở GD&ĐT Nam Định năm học 2017 – 2018).
Hướng dẫn giải:
Vì đường thẳng có VTCP nên nó cũng nhận véc tơ
(với ) làm VTCP.
Do đó phương trình tham số của đường thẳng là:

6

Ví dụ 3: Trong không gian cho điểm . Đường thẳng nào sau đây đi qua ?
A.
B.
C. .
D. .
Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên giáo viên cần khắc sâu cho học sinh:
+ Mỗi đường thẳng không phải chỉ có một phương trình tham số, chỉ cần chỉ
rõ điểm mà nó đi qua và một véc tơ chỉ phương sẽ cho ta một phương trình tham
số của đường thẳng miễn là các véc tơ chỉ phương đó cùng phương, để khắc sâu
kiến thức “Mỗi đường thẳng có vô số các véc tơ chỉ phương và các véc tơ đó
cùng phương với nhau”.
+ Kì thi THPT quốc gia, các bài toán cho dưới hình thức trắc nghiệm nên
không phải câu hỏi nào cũng yêu cầu viết phương trình đường thẳng mà có thể
xác định yếu tố liên quan đến PT đường thẳng. Chẳng hạn:
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng có phương trình
tham số: . Phương trình chính tắc của đường thẳng là?
A.
B. .
C. .
D. .
Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz cho véctơ , đường thẳng nào dưới đây nhận là
véctơ chỉ phương?
A. .
B. .
C. . D. .
(SGD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)
Dạng 2:Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều
kiện cho trước.

Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
Bước 2: Viết PT đường thẳng theo phương trình (1) hoặc phương trình (2).
Tuy nhiên ở mỗi bài toán cụ thể thì việc tìm véc tơ chỉ phương lại khác nhau
tùy theo dữ liệu bài cho. Cụ thể ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và mặt phẳng . Viết phương
trình đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng ?
A.
B.
C. D.
Hướng dẫn giải: Chọn
Cách 1: Ta có: .
Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên song song hoặc trùng với giá
của véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vậy nhận làm véctơ chỉ phương
Phương trình dạng tham số của là:
Cách 2: Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên là tập hợp các điểm
sao cho:
Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng .

7


Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho . Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
A. .

B. .

C. .

D. .

Hướng dẫn giải : Chọn A
Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến .
Học sinh có thể giải theo một trong hai cách trên và chỉ ra được véc tơ chỉ
phương của cần tìm là
Nhận xét: + Thông qua các ví dụ trên cần nhấn mạnh cho học sinh nắm vững
kiến thức: “Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó nhận véc
tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó làm véc tơ chỉ phương”.
+ Mặt phẳng và có các véc tơ pháp tuyến lần lượt là (là các véc tơ đơn vị
của các trục tọa độ Do đó khi viết phương trình đường thẳng vuông góc với các
mặt phẳng tọa độ thì chỉ viết được phương trình tham số mà không viết được
dạng chính tắc, để học sinh không mắc phải sai lầm khi gặp bài toán dạng này.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng Phương trình chính
tắc của đường thẳng đi qua điểm và song song với là:
A.

x3

2
x2

3

y  1 z 1

.
1
2
y 1 z  2


.
1
1

B.
D.

C.

x 3

2
x2

3

y 1 z  1

.
1
2
y 1 z  2

.
1
1

Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có: .

Vì nên đường thẳng nhận véc tơ chỉ phương của làm véc tơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của là:
Cách 2: Vì đường thẳng song song với đường thẳng nên là tập hợp các
điểm sao cho:
.
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ . Phương trình tham số của đường
thẳng đi qua điểm và song song với trục hoành là.
�x  1  t
�
�y  3 .
�y  4
�

�x  1
�
�y  3  t .
�y  4
�

�x  1
�
�y  3 .
�y  4  t
�

�x  1
�
�y  3 .
�y  4  t
�

A.
B.
C.
D.
Giáo viên định hướng học sinh cách giải quyết bài toán bằng hệ thống câu hỏi
liên quan,để học sinh phát hiện được véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần lập
là véc tơ đơn vị ( hoặc cùng phương với ) và chọn đáp án A.
Nhận xét:
+ Hai đường thẳng song song thì có cùng véc tơ chỉ phương.
+ Trong trường hợp đặc biệt:

8


 Nếu song song hoặc trùng với trục thì có vectơ chỉ phương
là
 Nếu song song hoặc trùng với trục thì có vectơ chỉ phương
là
 Nếu song song hoặc trùng bới trục thì có vectơ chỉ
phương là
Đối với trường hợp đặc biệt này ta chỉ viết được phương trình tham số
của đường thẳng.
Ví dụ 11:Trong không gian với hệ tọa độ cho hai mặt phẳng:
và Phương trình đường thẳng đi qua điểm , song song với hai mặt phẳng là:
�x  1  14t
�
�y  3  8t .
�
A. �z  1  t

�x  1  14t
�
�y  3  8t .
�
B. �z  1  t

�x  1  t
�
�y  3  8t .
�
C. �z  1  t

�x  1  t
�
�y  3  t .
�
D. �z  1  t

Cách giải: Chọn A
Ta có: ,
Do và nên đường thẳng d có một chỉ phương
�x  1  14t
�
�y  3  8t .
�
Phương trình tham số của d là: �z  1  t

( t là tham số).
Qua ví dụ 11 ta thấy nếu một đường thẳng song song với hai mặt phẳng cắt

nhau thì nó nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương. Tuy nhiên với mỗi bài toán cụ
thể nêu cho trước phương trình của hai mặt phẳng học sinh nên nhận dạng vị trí
tương đối của hai mặt phẳng trước khi thực hiện giải toán.
Ví dụ 11’: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

   : 2 x  y  2 z  3  0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A  2; 3; 1
 , Oyz 
, song song với hai mặt phẳng   
là.
�x  2  t
�
�y  3 .
�
A. �z  1  t

�x  2
�
�y  3  2t .
�
B. �z  1  t

�x  2
�
�y  3  2t .
�
C. �z  1  t

�x  2t
�

�y  2  3 t.
�
D. �z  1  t

Ví dụ 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M  1;  3; 4  , đường

x2 y 5 z 2


5
1 và mặt phẳng  P  : 2 x  z  2  0 . Viết phương trình
thẳng d : 3
 P
d

M

đường thẳng

qua

vuông góc với

và song song với

.

9

x 1 y  3 z  4


1
2 .
A.  : 1
x 1 y  3 z  4


1
2 .
C.  : 1

x 1

B.  : 1
x 1

D.  : 1

y 3 z4

1
2 .
y3 z4

1
2 .

(THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018).

Lời giải
Chọn C
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .
Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến .

Đường thẳng  qua M vuông góc với d và song song với  P  nên có vectơ chỉ
phương hay .
x 1 y  3 z  4


1
2 .
Vậy phương trình đường thẳng  là: 1

Bài tập tương tự: (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
 P : x  y  z 1  0
và mặt phẳng
A  1;1;  2 

x 1

A. 1
x 1

C. 8

x 1 y 1 z  2



2
1
3

. Viết pt đường thẳng    đi qua điểm

, biết    //  P  và    cắt d .

y 1 z  2

1
1 .
y 1 z  2

3
5 .

 d :

x 1 y 1 z  2


1
3 .
B. 2
x 1 y  1 z  2


1
1 .

D. 2

A 1;0;2 
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 
và đường
d:

x 1 y z 1
 
1
1
2 . Đường thẳng  đi qua A, vuông góc và cắt d có

thẳng
phương trình là:

x  2 y 1 z 1


1
1
1 .
A.
x  2 y 1 z 1
:


2
2
1 .

C.
:

x 1

1
B.
x 1
:

1
D.
:

y z 2

1
1 .
y z2

3
1 .

(Đề KSCL Lớp 12 THPT năm học 2018 – 2019 SỞ GD&ĐT THANH HÓA)
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đường thẳng có véc tơ chỉ phương .
Gọi là giao điểm của và
Ta có: .
Vì .
Đường thẳng cần lập nhận làm véc tơ chỉ phương nên đối chiếu các đáp án

trên ta chọn A.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.

10


Phương pháp: Để viết được phương trình (1) hoặc phương trình (2) ở trên
thì ở dạng toán này cần dựa vào những yếu tố đề cho đễ:
+ Xác định một điểm mà đường thẳng đi qua.
+ Xác định một véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
Bài toán 1: Trong không gian với hệ tọa độ gọi d là giao tuyến của hai mặt
 : x  3y  z  0
 :x yz400
phẳng  
và  
.Viết phương trình của đường
thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Cho . Thay vào PT của và tìm được
Khi đó  đi qua điểm
mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến .
mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến .
Đường thẳng  có véc tơ chỉ phương (2;2;4)
Phương trình tham số của đường thẳng là:
Cách 2: Đường thẳng cần lập là tập hợp các điểm là nghiệm của hệ:
Nhận xét: Mỗi bài toán có cách giải khác nhau,tùy từng bài cụ thể mà ta lưa
chọn cách giải phù hợp.Đối với cách thức tổ chức kì thi như hiện nay, thì giáo
viên nên hướng cho học sinh thực hiện các bài toán dạng này theo cách 2 để tiết
kiệm thời gian hơn.
Bài tập áp dụng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  là giao tuyến của hai
 : 2 x  2 y  3z  4  0
 : x  2y  z 1  0
mặt phẳng  
và  
. Phương trình đường
M
(1;

1;0)
thẳng d đi qua điểm
và song song với đường thẳng  là
x 1 y 1 z

 .
1
6
B. 8
x  8 y 1 z

 .
1
1
6
D.

x 1 y 1 z

 .
1

6
A. 8
x 1 y  1 z

 .
8
1
6

C.
Hướng dẫn giải

   có vec tơ pháp tuyến
(  ) có vec tơ pháp tuyến

uu
r
n   1; 2; 1
uur
n   2; 2; 3

d đi qua điểm M (1; 1;0) và có vectơ chỉ phương là
x 1 y 1 z


d là 8
1
6

uur uur uur

ad  �
n , n �
�
�  8;1;6 

Vậy phương trình của

11


Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x  12 y  9 z  1
d:


,
4
3
1 và mặt thẳng  P  : 3x  5 y  z  2  0 . Gọi d ' là hình chiếu

P .
của d lên   Phương trình tham số của d ' là
�x  62t
�
�y  25t .
�z  2  61t
A. �

�x  62t
�

�y  25t .
�
B. �z  2  61t

�x  62t
�
�y  25t .
�
C. �z  2  61t

�x  62t
�
�y  25t .
�
D. �z  2  61t

Hướng dẫn giải
Cách 1:

 
Gọi
A �d � A  12  4a;9  3a;1  a 
Ad � P

A � P  � a  3 � A  0;0; 2 

d

đi qua điểm

B  12;9;1

 
Gọi H là hình chiếu của uBur lên
 P  có vectơ pháp tuyến nP   3;5; 1
P

BH đi qua

B  12;9;1

và có vectơ chỉ phương

uuur uur
a BH  nP   3;5; 1

�x  12  3t
�
BH : �y  9  5t
�z  1  t
�

H �BH � H  12  3t;9  5t;1  t 
H � P  � t  

78
186 15 113 �
�
� H � ; ;
�

35
7 35 �
�35

uuur �
186 15 183 �
AH  � ;  ;
�
7 35 �
�35
uur
A
0;0;

2
a
  62; 25;61


d ' đi qua
và có vectơ chỉ phương d '

Vậy phương trình tham số của d '
Cách 2:

�x  62t
�
�y  25t
�z  2  61t
là �

 Q  qua và vuông góc với  P 
d đi qua điểm B  12;9;1 và có vectơ chỉ phương

 Gọi

uu
r
ad   4;3;1

12


 P

có vectơ pháp tuyến

uur
nP   3;5; 1

 Q  qua B  12;9;1 có vectơ pháp tuyến

uur uur uur
nQ  �
ad , nP �
�
�  8;7;11

 Q  : 8x  7 y  11z  22  0

d ' là giao tuyến của  Q  và  P 



y0
Tìm một điểm thuộc d ' , bằng cách cho
Ta có hệ

3x  z  2
�
�x  0
��
� M  0;0; 2  �d '
�
8
x

11
z

22
y


2
�
�

d ' đi qua điểm

M  0;0; 2 

uu
r
uur uur
�
ad  �
n
�P ; nQ �  62; 25;61

và có vectơ chỉ phương

d'
Vậy phương trình tham số của
Bài tập tự luyện

�x  62t
�
�y  25t
�
là �z  2  61t

�x  1  2t
�
d : �y  1  t
�z  2  t
�

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng có phương trình là.

�x  1  2t
�
�y  1  t .
�
A. �z  0
�x  0
�
�y  1  t .
�z  0
�

�x  1  2t
�
�y  1  t .
�
B. �z  0

�x  1  2t
�
�y  1  t .
�
C. �z  0

.

D.

�x  1  2t
�
d : �y  2  3t

�z  3  t
�

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng có phương trình là.
�x  1  2t
�
.
�y  0
�z  3  t
A. �

�x  0
�
�y  0 .
�
B. �z  3  t

�x  1  2t
�
�y  0 .
�
C. �z  3  t

.

�x  1  2t
�
.
�y  0

�z  3  t
D. �

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

13


Trong quá trình thực hiện sáng kiến này , tôi đã tiến hành thực nghiệm tại
lớp 12B3 và lớp đối chứng là lớp 12B8(thực hiện theo cách truyền thống), tôi
nhận thấy ở lớp 12B3:
- Các em học sinh chăm chú nghe giảng, tìm hiểu bài toán và giải bài tập,
bước đầu hình thành nên lối tư duy khoa học hơn, sâu sắc hơn.
- Các bài toán được các em tích cực tìm cách giải toán hơn, không còn chọn
đáp án đúng theo dự đoán cuả bản thân nên số các phương án trả lời đúng tăng
lên đáng kể.
- Một số học sinh khá còn sáng tạo thêm các bài tập dựa vào bài toán gốc cho
cả lớp cùng làm, phong trào thi đua học tập của lớp ngày một nâng cao.
Kết quả đó còn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra khi tôi tiến hành
dạy đề tài ở lớp 12B3. So sánh giữa lớp chưa học (12B8 )với lớp đã được học
đề tài (12B3), cho thấy hiệu quả của đề tài và tính thiết thực trong việc đổi mới
phương pháp dạy học.
Sau khi thực hiện quá trình hướng dẫn học sinh tìm lời giải và cho các em
tự luyện tập ở nhà tôi tiến hành cho học sinh 2 lớp làm bài kiểm tra 45 phút
(với mức độ đề tương đương ).
Kết quả làm bài của học sinh được thống kê ở bảng sau.
Lớp

Số

HS

12B3

37

12B8

41

Giỏi
SL Tỉ lệ
%
3
8,12
0

0

Khá
SL Tỉ lệ
%
15
40,5
4
9
21,9
5

TB

SL Tỉ lệ
%
17
45,9
5
12
29,2
7

Yếu, kém
SL
Tỉ lệ
%
2
5,39
20

48,78

Bản thân tôi và đồng nghiệp nhận thấy khi áp dụng sáng kiến dạy học bài tập
hiệu quả giảng dạy giảng dạy của giáo viên được nâng lên từ đó góp phần vào
việc nâng cao chất lượng giáo dục của các lớp mà mình phụ trách nói riêng và
của nhà trường nói chung.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Kết luận
Bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là bài toán mà
học sinh hay gặp trong kì thi THPT . Việc phân loại bài toán theo mức độ từ dễ
đến khó đã giảm bớt được sự khó khăn của học sinh khi gặp các bài toán này.
Tuy nhiên trong khuôn khổ của chuyên đề này, tôi chưa trình bày được hết các
bài toán về viết phương trình đường thẳng mà mới chỉ dừng lại ở những bài toán

hay gặp nhất. Các bài toán ở mức độ khó hơn, hoặc các cách giải khác vẫn chưa
được đề cập tới do học sinh lớp tôi trực tiếp giảng dạy các em mới ở mức trung
bình khá. Hy vọng rằng với sự góp ý của các bạn đồng nghiệp thì đề tài này sẽ
được nghiên cứu và khai thác sâu hơn.
- Kiến nghị

14


Việc viết và báo cáo SKKN trong quá trình dạy học sẽ tạo điều kiện để giáo
viên được trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm để có giải pháp tốt hơn trong
quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy, giáo dục. Đây thực sự là việc làm bổ
ích đối với mỗi giáo viên. Do vậy trong những năm học tiếp theo, mặc dù
không phải là nhiệm vụ bắt buộc nhưng các trường THPT và Sở GD&ĐT
Thanh Hóa vẫn nên tiếp tục triển khai và khuyến khích giáo viên viết sáng kiến
kinh nghiệm để chia sẻ những kinh nghiệm bổ ích trong mà mình đã tích lũy
được với đồng nghiệp cùng nhau thực hiện tốt công việc của mình từ đó nâng
cao chất lượng giáo dục.
Đề tài được tích luỹ nhiều năm trực tiếp giảng dạy tại các lớp12 của
trường THPT Triệu Sơn 4, các ví dụ được chọn lọc, tham khảo từ nhiều nguồn
tài liệu khác nhau trong một số đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường
THPT, tạp chí Toán học tuổi trẻ, các diễn đàn dạy học toán trên mạng internet...
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn đề tài không tránh khỏi
những hạn chế. Rất mong được sự đóng góp quý báu của bạn đọc, đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Nguyễn Thị Huê

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 12 – NXB GIÁO DỤC.
2. Sách giáo viên hình học 12 - NXB GIÁO DỤC.
3. Đề thi thử khảo sát chất lượng lớp 12 của một số trường THPT trong tỉnh
Thanh Hóa – nhóm TOÁN THPT THANH HÓA.
4. Đề thi thử khảo sât chất lượng của một số trường THPT trên cả nước năm
2018 được tổng hợp trong file “SẢN PHẨM HOÀN CHỈNH”.
5. Một số đề thi thử THPT Quốc Gia các năm trên trang “DIỄN ĐÀN GIÁO
VIÊN TOÁN”.
6. Đề thi thử THPT Quốc gia trên trang web: “ Toanmath.com”.