SKKN rèn luyện kỹ năng tìm số hạng tổng quát của dãy số cho các em học sinh THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
CỦA DÃY SỐ CHO CÁC EM HỌC SINH THPT

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Tới
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2018



MỤC LỤC


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên là một nhiệm vụ quan
trọng trong các nhà trường nói chung và các trường THPT nói riêng. Trường THPT
Như Thanh thường xuyên phát động phong trào viết chuyên đề, sáng kiến kinh
nghiệm giảng dạy, nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng, …
Môn toán có nhiều đơn vị kiến thức quan trọng mà các em học sinh cần được
trang bị chắc chắn để vượt qua các kỳ thi THPT quốc gia và thi HSG cấp tỉnh.
Trong đó các bài toán về dãy số cũng là một trong những đơn vị kiến thức nói trên.
Từ những lý do trên và từ thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi
đại học cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, đúc rút
thành chuyên đề: ‘‘Rèn luyện kỷ năng tìm số hạng tổng quát của dãy số cho các

em học sinh THPT”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu và hình thành một hệ thống các bài toán về tìm số hạng tổng quát của
dãy số, từ đó tổng hợp được kỹ năng cho các em học sinh trong việc giải các bài
toán về dãy số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu về các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Tự đọc tài liệu nghiên cứu.
Tổng hợp, thống kê, phân loại.


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận của sang kiến kinh nghiệm:
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên hầu hết chúng ta
đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực
tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất
định nào đó.
Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện qua
phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình... Trong môn toán
ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những yếu tố đặc
thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán, kỹ năng giải phương
trình, bất phương trình …..
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sang kiến kinh nghiệm :
Khuyến khích học sinh vận dụng kiến thức từ thực tiễn trong học tập. Làm cho
kiến thức toán học thêm phong phú, đa dạng, tăng thêm sự đam mê, hứng thú và sinh
động đối với học sinh, nhằm phát triển, năng lực và phẩm chất học sinh.
Khuyến khích sự tìm tòi, sáng tạo của giáo viên và học sinh trong đổi mới
phương pháp giảng dạy, học tập góp phần nâng cao kết quả trong dạy và học. Qua đó,
kiến thức học sinh thu nhận được sâu sắc hơn.

Học sinh thấy được chủ đề “ Dãy số ” có vai trò quan trọng trong việc giáo dục
kĩ năng giải toán, giúp học sinh đạt được kết quả cao hơn trong kỳ thi THPT và kỳ thi
học sinh giỏi cấp tỉnh.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :
Giáo viên đưa ra hệ thống các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số phù
hợp và giúp học sinh tư duy định hướng dẫn đến giải các bài toán một cách phù hợp.
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán trước hết giáo viên cần
yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về dãy số từ đó có thể tự suy ra các biểu thức
thường gặp. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng.
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài tập về tìm số hạng tổng quát của dãy
số.
2.3.1. kiến thức liên quan
* Định nghĩa 1: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N * được gọi là
dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u : N* → R
n a u ( n)

Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
u1 , u2 ,..., un ,...,


Trong đó un = u (n) hoặc viết tắt là (un ) , và u1 được gọi là số hạng đầu, un được gọi là
số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
* Định nghĩa về dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập
M = { 1, 2,3,..., m} , m ∈ N * được gọi là dãy số hữu hạn.

* Cách cho dãy số.
+) Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát;
+) Dãy số cho bằng công thức mô tả;
+) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.

* Định nghĩa 2:
Dãy số (un ) được gọi là dãy tăng nếu ta có un +1 > un , ∀n ∈ N * .
Dãy số (un ) được gọi là dãy giảm nếu ta có un +1 < un , ∀n ∈ N * .
Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
un ≤ M , ∀n ∈ N * .

Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
un ≥ M , ∀n ∈ N * .

Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là
tồn tại các số m, M sao cho un ≤ M , ∀n ∈ N * .
*Cấp số cộng.
+) Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số(hữu hạn hặc vô hạn), trong đó kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số
không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
+) Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số
hạng tổng quát được xác định như sau:
un = u1 + ( n − 1)d

+) Tính chất: Trong cấp số cộng, trừ số hạng đứng đầu và số hạng đứng cuối, số hạng
đứng giữa bằng trung bình cộng hai số hạng liền kề
un =

un −1 + un+1
2

+) Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng , sn = u1 + u2 + ... + un , ta có
Sn =

* Cấp số nhân.

n
n
(u1 + un ) = [ 2u1 + (n − 1)d ]
2
2


+) Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số(hữu hạn hặc vô hạn), trong đó kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số
không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
+) Số hạng tổng quát: Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số
hạng tổng quát được xác định như sau:
un = u1.q n −1

+) Tính chất: Trong cấp số nhân, trừ số hạng đứng đầu và số hạng đứng cuối, trị tuyệt
số hạng đứng giữa bằng trung bình nhân hai số hạng liền kề
un = un −1un

+) Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân , sn = u1 + u2 + ... + un , ta có
S n = u1

qn −1
q −1

2.3.2. Một số bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số
2.3.2.1. Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp
Bài toán 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số, biết

u1 = 1

un , ∀n = 1, 2,3,...

un +1 = 1 + u
n

1
2

1
3

Ta tìm một số các số hạng đầu : u1 = 1; u2 = ; u3 = ;...
1
n

Ta dự đoán un = , ∀n ≥ 1 (1).
Sử dụng phương pháp quyu nạp, ta chứng minh công thức (1) đúng.
+) Với n=1, công thức (1) đúng
1
k

+) Giả sử công thức (1) đúng đến n = k , (k ≥ 1) , nghĩa là ta đã có uk = .
+) Ta cần chứng minh (1) vẫn đúng đến n = k + 1, (k ≥ 1) , nghĩa là cần chứng minh
uk +1 =

1
. Thật vậy
k +1

uk +1 =

⇔

u
1
1
⇔ k =
k + 1 1 + uk k + 1

1
k

1
+1
k

=

1
1
1
⇔
=
k +1
k +1 k +1
1
n

Đẳng thức trên hiển nhiên đúng, do đó un = , ∀n ≥ 1 .

Bài toán 2.Tìm số hạng tổng quát của dãy số, biết
1

u1 = 2
, ∀n = 1, 2,3,...

u = 2u 1 − u 2
n
 n +1
1
2

Ta tìm một số các số hạng đầu : u1 = ; u2 =
Ta dự đoán

un =

3
3
3
; u3 =
; u5 =
;...
2
2
2

3

, ∀n ≥ 1
2

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được un =

3
, ∀n ≥ 1 .
2

Bài toán 3.Tìm số hạng tổng quát của dãy số, biết
u1 = 2
, ∀n = 1, 2,3,...

un +1 = 2 + un

π
4

Ta tìm một số các số hạng đầu : u1 = 2 = 2 cos ; u2 = 2 + 2 = 2 cos
Ta dự đoán

un = 2 cos

π
8

π
, ∀n ≥ 1
2n +1

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được un = 2 cos

π
, ∀n ≥ 1 .
2n +1

Bài toán 4.Tìm số hạng tổng quát của dãy số, biết
1

u1 =
, ∀n = 1, 2,3,...
2

u = 2u 2 − 1
n
 n +1

Ta dự đoán và chứng minh được un = tan

nπ
, ∀n ≥ 1.
12

2.3.2. 2. Áp dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy
số
Đưa dãy số về công thức của cấp số cộng hoặc cấp số nhân, và tìm ra số hạng
tổng quát.
Bài toán1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1 = 1
, ∀n = 2,3,...


un = un −1 − 2

Ta có un = un−1 − 2 là cấp số cộng có u1 = 1; d = −2 . Vậy số hạng tổng quát là
un = 3 − 2n

Bài toán 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1 = −2
, ∀n = 2,3,...

un = 3un −1 − 1


Ta có

un −

1
3
= 3un −1 −
2
2

5

1
v1 = −
2 , ∀n = 2,3,...
Đặt un − = vn , ta thu được cấp số nhân 
2

vn = 3vn −1
5
2

Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân (vn ) là vn = − .3n −1 .
5
2

Theo cách đặt ta có un = − .3n −1 +

1
2

Bài toán 3. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1 = 2
, ∀n = 2,3,...

un = 2un −1 + 3n − 1
v1 = 4
, ∀n = 2,3,...
vn = 2vn −1

Đặt un + 3n − 1 = vn ,ta thu được cấp số nhân 

Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân (vn ) là vn = 5.3n −1 .
Theo cách đặt ta có un = 5.3n −1 − 2n +1 .
u1 = α
, ∀n = 2,3,...
un = aun −1 + b

Tổng quát: Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết 
Ta thu được un = u1 + (n − 1)b nếu a = 1 ;
un = u1.a n −1 + b

a n −1 − 1
nếu a ≠ 1 .
a −1

Bài toán 4. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1 = 1
, ∀n = 2,3,...

n
un = 3un −1 + 2

Ta có

un + 2n +1 = 3(un −1 + 2n ) .
v1 = 5
, ∀n = 2,3,...
v
=
3
v
n
n
−
1


Đặt vn = un + 2n +1 ,ta thu được cấp số nhân 

Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân (vn ) là vn = 5.3n −1 .
Theo cách đặt ta có un = 5.3n −1 − 2n +1
Bài toán 5. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1 = 1
, ∀n = 2,3,...

n
un = 2un −1 + 3 − n

Ta có

un − 3n +1 − n − 2 = 2(un −1 − 3n − (n − 1) − 2) .
v1 = −11
, ∀n = 2,3,...
vn = 2vn −1

Đặt vn = un − 3n +1 − n − 2 ,ta thu được cấp số nhân 


Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân (vn ) là vn = −11.2n −1 .
Theo cách đặt ta có un = 3n +1 + n + 2 − 11.2n −1 .
Trên đây ta xết dãy số cho dưới dạng hàm đa thức, đối với một số dãy cho dưới
dạng hàm phân thức ta vẫn có thể áp dụng được nếu ta biết cách đặt phù hợp
Bài 5. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1 = 1

2un −1 , ∀n = 2,3,...


u
=
n

3un −1 + 4

1

3

2

1

3

1

3

Ta phân tích u = 2 + u ⇔ u + 2 = 2( u + 2 )
n
n −1
n
n −1
1 3
Đặt u + 2 = vv ,ta thu được cấp số nhân
n

5


v1 =
, ∀n = 2,3,...
2

vn = 2vn −1

Bài toán 6. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1 = 2

−9un −1 − 24 , ∀n = 2,3,...

un = 5u + 13
n −1


Ta đặt un −1 = xn −1 + t thay vào công thức trên ta được
xn + t =

−9( xn −1 + t ) − 24
−9 xn −1 − 9t − 24
⇔ xn =
5( xn −1 + t ) + 13
5 xn −1 + 5t + 13

⇔ xn =

xn −1 (−5t − 9) − 5t 2 − 22t − 24
5 xn −1 + 5t + 13

Ta chọn t sao cho 5t 2 + 22t + 24 = 0
 x1 = 4
 x1 = 4


Ta chọn t = −2 , khi này thu được  x = xn −1 ⇔  1 = 3 + 5
 n 5x + 3
x
n −1
 n xn −1


2.3.2.3. Xác định số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sử dụng
phương trình đặc trưng
Dãy số (u n ) được cho theo công thức truy hồi biết u 0 và u1 ; un = a.un −1 + b.un −2
Ta xết phương trình đặc trưng : x 2 − a.x − b = 0 (1)
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi này số hạng tổng quát của
dãy số là

un = α .x1n + β .x2 n , kết hợp với giả thiết đã biết u 0 và u1 ta tìm được α , β .

Bài toán 1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u0 = −1; u1 = 3
, ∀n = 2,3,...

un = 5un −1 − 6un − 2


x = 2
x = 3

2
Xét phương trình đặc trưng x − 5 x + 6 = 0 ⇔ 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số có dạng un = α .2n + β .3n
u0 = −1
α + β = −1
α = −6
⇔
nên ta có 
 2α + 3β = 3  β = 5
u1 = 3

Do 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un = 5.2n − 6.3n
Bài toán 2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u0 = 1; u1 = 2
, ∀n = 1, 2,3,...

un +1 = 4un + un −1
x = 2 + 5

2
Xét phương trình đặc trưng x − 4 x − 1 = 0 ⇔ 

 x = 2 − 5

Số hạng tổng quát của dãy số có dạng un = α .(2 + 5) n + β (2 − 5) n
1


α=

α
+
β
=
1

u0 = 1


2
⇔
Do 
nên ta có 
(2 + 5)α + (2 − 5) β = 2
u1 = 2
β = 1

2
1
2

1
2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un = (2 + 5) n + (2 − 5) n .
Bài toán 3. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u0 = 1; u1 = 3

, ∀n = 2,3,...

un − 4un −1 + 4un − 2 = 0

Xét phương trình đặc trưng x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 2
Số hạng tổng quát của dãy số có dạng un = (k .n + l ).2n −1
u0 = 11
Do 
nên ta có
u1 = 3

1
l = 2
 l =1
⇔
2
 k + l = 3  k = 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un = (n + 2).2n −1
Chú ý: 1) Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép x = x0 (có 1
nghiệm), số hạng tổng quát của dãy số có dạng un = (k .n + l ).x 0 n −1 .
2) Ta có thể dùng phương trình đặc trưng bậc 3 đối với những dãy số cho biết
sự liên hệ bậc nhất giữa 4 số hạng.
Bài toán 4. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được cho bởi
u1 = 0; u2 = 1; u 3 = 3
, ∀n = 4,5,...

un = 7un −1 − 11un − 2 + 5un −3 = 0

 x1,2 = 1

3
2
Xét phương trình đặc trưng x − 7 x + 11x − 5 = 0 ⇔ 

 x3 = 5

Số hạng tổng quát của dãy số có dạng un = α + β n + γ .5n
13

α = − 16
u1 = 0
α + β + 5γ = 0

3



Do u2 = 1 nên ta có α + 2β + 25γ = 1 ⇔  β =
4
u = 3
α + 3β + 125γ = 3 

 3
1

γ 80


Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un = −

13 3
5n
+ n+
16 4
80

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Đối với học sinh:
∗ Chọn lớp đối chứng gồm 15 học sinh lớp 11C1, chọn lớp thử nghiệm gồm 15 học
sinh khác (lớp 11C1 là lớp chọn khối A) của trường THPT Như Thanh.
∗ Chọn các bài tập đã xây dựng ở trên và những bài tập khác trong các đề thi thử
THPT Quốc Gia những năm gần đây. Tiến hành hướng dẫn học sinh giải quyết các
bài tập đã chọn.
∗ Tiến hành hướng dẫn học sinh nghiên cứu chủ đề ‘‘Rèn luyện kỷ năng tìm số
hạng tổng quát của dãy số cho các em học sinh THPT”
Yêu cầu học sinh viết thành đề tài, nạp cho giáo viên (chỉ chọn những học sinh giỏi).
∗ Tiến hành kiểm tra đánh giá bằng một bài 45 phút cho cả các lớp nói trên.
∗ Kết quả kiểm tra: Đối với nhóm học sinh giỏi kết quả bài kiểm tra là rất tốt, điểm
của học sinh đều đạt từ loại khá trở lên, đối với lớp khác kết quả đạt được từ loại
trung bình trở lên.
∗ Đối với chủ đề nghiên cứu của lớp học sinh giỏi, các em đã thực hiện tốt. Được rèn
luyện kỹ năng giải bài toán dãy số . Đội tuyển học sinh giỏi nhà trường gồm 5 em
tham dự kì thi cấp tỉnh đạt ba giải Ba, hai giải khuyến khích.
∗ Dạng bài tập và phương pháp này chỉ có hiệu quả cao với học sinh khá, giỏi.
2.4.2. Đối với bản thân và đồng nghiệp:
∗ Đề tài này có thể dùng làm tài liệu cho học sinh và giáo viên trong quá trình dạy
học môn toán, ôn thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi.
∗ Từ đề tài này có thể mở rộng và ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán khó

về dãy số.
2.4.3. Đối với nhà trường:
∗ Đề tài đã và đang được áp dụng trong hoạt động giảng dạy góp phần nâng cao chất
lượng giáo dục môn Toán, nâng cao kết quả thi học sinh giỏi, kết quả thi THPT Quốc
gia của học sinh trường THPT Như Thanh.


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:
∗ Trong đề tài đã nghiên cứu về kỹ năng giải một số các bài tập tìm số hạng
tổng quát của dãy số
∗ Xây dựng được một hệ thống các bài tập về tìm số hạng tổng quát của dãy số
Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng dạy học nói chung và các kỹ năng cơ bản dạy
học môn toán nói riêng.
3.2. Kiến nghị
Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:
∗ Giáo viên nên thay đổi phương pháp dạy học của mình để phù hợp với từng đối
tượng, từng nội dung bài học. Giáo viên hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu, để
tạo ra những sản phẩm hữu ích giúp các em có một lượng kiến thức và kỹ năng tốt để
chuẩn bị cho các kỳ thi.
∗ Nhà trường, các tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu,
hợp tác nhóm của học sinh theo sự hướng dẫn của giáo viên, từ đó tạo điều kiện cho
giáo viên và học sinh hợp tác làm việc nhằm cải thiện chất lượng học tập giúp các em
có một nền tảng kiến thức thật sự vững chắc.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình

viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Nguyễn Hữu Tới


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1] . Sách giáo khoa đại số & giải tích 11; NXB Giáo dục 2008
[ 2] . Tạp chí Toán học tuổi trẻ NXB Giáo dục
[ 3] . Các đề thi đại học môn toán từ năm 2002-2017
[ 4] . Nguồn internet: