Chuyên đề cấp số cộng cấp số nhân 6 trang đề

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019
(Sản phẩm của tập thể thầy cô Tổ 8-STRONG TEAM)

Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.

VẤN ĐỀ 1. BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH , ĐỊNH LƯỢNG TRONG CẤP SỐ CỘNG
Mục đích :
- Ôn tập các bài toán định tính : chỉ dùng định nghĩa , khái niệm , định lí , tính chất suy luận
ra đáp án đúng , đáp án sai.
- Ôn tập Bài toán định lượng : thiên về tính toán , sử dụng nhiều phép biến đổi.
u 
Cho cấp số cộng n có u1  2 và công sai d  7 .Công thức của số hạng tổng quát là
u  2.7 n 1

A. n
.
B. un  2  7 n .
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng ?
A. 1; 2;3; 4;5 .
B. 1; 2; 4;8;16 .

C.

un  2  7.  n  1

C.1;  1;1;  1;1 .

. D.

un  7  2  n  1

.

D. 1;  3;9;  27;81 .

u 
Cho dãy số vô hạn n là cấp số cộng có công sai d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định
sai?
u u
u5  1 9
2 .
A.
B. un  un 1  d , n �2 .
13

S12   2u1  11d 
*
2
C.
.
D. un  u1  ( n  1).d , n �� .
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng ?
u1  1
u1  3
�
�
 un  : �
 un  : �
un 1  un  2, n �1
un 1  2un  1, n �1
�
�
A.
.
B.
.
u  :
u  :
C. n 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; K .
D. n 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; K .
u1  u5  6
�
�
u u  8
Cho cấp số cộng (u n ) biết : �10 2

. Tính
u1.u2  u2 .u3  u3 .u4  ...  u2018 .u2019  u2019 .u2020
S
2019
4080499
4078380
4082420
4088483
S
.
S
.
S
.
S
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
.
u

u

u


6
�3 5 6
�
u  u  52
(un )
Cho cấp số cộng
biết : �8 4
. Tính S  u2  u4  u6  ...  u2020
A. S  5105110.
B. S  5101510.
C. S  5105010 .
D. S  5105101 .
u2  u3  u5  10
�
.
�
un 
u4  u6  26

�
Cho cấp số cộng
thỏa
Tính S  u1  u4  u7  ...  u2020.
A. S  2041881.
B. S  2041882.
C. S  2041883.
D. S  2041884.
 a  : a1  4; a2  7;...;a100 và  bn  : b1  1; b2  6;...;b100. Hỏi có bao
Cho hai cấp số cộng n
nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên.

A.32.
B.20.
C.33.
D. 53.
Cho khai triển

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 1 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

P  x    1  x   1  2 x   1  3x  ...  1  2017 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a2017 x 2017
Tính

T  a2 

.

1 2
1  2 2  ...  2017 2 

2
.
2

�2016.2017 �
�

�
�.
A. � 2

2

�2017.2018 �
�
�
�.
B. � 2

2

1 �2016.2017 �
�
�
�.
C. 2 � 2

2

1 �2017.2018 �
�
�
�.
D. 2 � 2

a3
với a1 �0 . Biết S6  S9 , tỉ số a5

a 
Câu 10. Gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng n
bằng:
9
5
5
3
A. 5 .
B. 9 .
C. 3 .
D. 5 .
 0; 2018 sao cho ba số
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn
a
x 1
1 x
5  5 ; 2 ; 25x  25 x ,
theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?
A. 2008 .
B. 2006 .
C. 2018 .
D. 2007 .
Câu 12. Cho một cấp số cộng (un ) có u1  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 .
1
1
1
S

 ... 

u1 u2 u2u3
u49u50
Tính
A. S  123 .

B.

S

4
23 .

C.

S

9
246 .

D.

S

49
246 .

u 
Câu 13. Cho cấp số cộng n có các số hạng đều dương, số hạng đầu u1  1 và tổng của 100 số hạng
đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng
1

1
1
S

 ... 
u2 u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3
u2019 u2018  u2018 u2019
.
1�
1 �
1
1
1
�
�
6055 .
A. 3 � 6055 �.
B.
C. 2019.
D.1.
u 
Câu 14. Cho cấp số cộng n có số hạng đầu u1  2 và tổng của 100 số hạng đầu bằng 15050 . Tính
1
1
1

 ... 
u1.u2 u2 .u3
u2018 .u2019 .
giá trị của tổng

1009
1008
2018
A. 6056 .
B. 6056 .
C. 2019 .
u1  2
�
�
�
u  un  3n  2  n ��* 
u 
Câu 15. Cho dãy số n xác định bởi �n 1
. Tính u101 .
A. u101  15002 .
B. u101  14952 .
C. u101  14902 .
S

1
D. 2019 .

D. u101  15052 .
3
3
 0; 2018  .
Câu 16. Tính tổng các nghiệm của phương trình cos x  sin x  sin 2 x  sin x  cos x trong
A. 8144648 .
B. 4036 .
C. 814666 .

D. 4037 ..
VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH – ĐỊNH LƯỢNG TRONG CẤP SỐ NHÂN
Mục đích :
- Ôn tập các bài toán định tính : chỉ dùng định nghĩa , khái niệm , định lí , tính chất suy luận
ra đáp án đúng , đáp án sai.
- Ôn tập Bài toán định lượng : thiên về tính toán , sử dụng nhiều phép biến đổi.
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 2 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

Câu 17. Cho cấp số nhân u1,u2,u3,...,un với công bội q (q ≠ 1). Đặt: Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó ta có:
u1 qn  1
u1 qn1  1
Sn 
Sn 
q 1 .
q 1 .
A.
B.
u1 qn1  1
u1 qn  1
Sn 
Sn 
q

1

q 1 .
C.
.
D.
Câu 18. Trong các số sau, dãy số nào là một cấp số nhân:
A. 1, -3 , 9 , -27 , 81.
B. 1 , -3 , -6 , -9 , -12.
C. 1 , -2 , -4 , -8 , -16.
D. 0 , 3 , 9 , 27 , 81.
Câu 19. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. 1; 2; 3; 4; 5 .
B. 1; 2; 4; 8; 16 .
C. 1;  1; 1;  1; 1 .
D. 1;  2; 4;  8; 16 .

















Câu 20. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
un   1 n
n

A.

un  n 2

un 

un  2 n

n
3n .

.
B.
.
C.
.
D.
x
,
y
,
z
Câu 21. Cho các số
theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1; đồng thời theo thứ
tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Biết tổng

148
x yz 
,
9 giá trị biểu thức T  x  y  z bằng
20
52
20
52
.
.
.
.
3
3
9
9
B.
C.
D.
A.
Câu 22. Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành một cấp số nhân theo thứ tự đó và các số đều khác 0 ,
1 1 1 1 1
     10
S
biết a b c d e
và tổng của chúng bằng 40 . Tính giá trị
với S  abcde .
A.

S  42

B.

S  62

2
99
Câu 23. Tính tổng S  1  2.2  3.2  ...  100.2 .
100
A. S  99.2  1 .

S  32

C.

D.

S  52

100
B. S  99.2  1 .
99
D. S  100.2  1 .

100
C. S  100.2  1 .
Câu 24. Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1 . Biết tổng ba
148
số hạng đầu bằng 9 , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và
thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T  a  b  c  d .

101
100
100
101
T
T
T 
T 
27 .
27 .
27 .
27 .
A.
B.
C.
D.

2

2

2

� 1� � 1�
�20 1 �
S �
2  � �
4  � ...  �
2  20 �
2 �

� 2� � 4�
�
Câu 25. Tính tổng
420  1  421  1
420  1  421  1


S
 40
S
 40
3.420
3.220
A.
.
B.
.
20
21
20
21
 4  1  4  1  40
 4  1  4  1
S
S

3.420
3.420
C.
.

D.
.
u
u u
1
n 1
u1 
un 1 
un
S  u1  2  3  ...  10
un 

3 và
3n
2 3
10 .
Câu 26. Cho dãy số
xác định bởi
. Tính tổng
1
3280
29524
25942
S
S
S
S
243 .
6561 .
59049 .

59049 .
A.
B.
C.
D.
VẤN ĐỀ 3. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN TRONG ĐẠI SỐ
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 3 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

Mục đích : Ôn tập các bài toán đại số , số học ẩn chứa cấp số cộng , cấp số nhân vào trong đó.
2
Câu 27. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x - 4 x + a = 0 , x3 và x4 là hai nghiệm của
2
phương trình x - x + b = 0 . Biết rằng x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

Câu 28.
Câu 29.

Câu 30.

Câu 31.

Câu 32.

có công bội dương. Tính giá trị biểu thức P = ab .

16384
64
64
P=
P=
P=
81 .
9 .
81 .
A. P = 64 .
B.
C.
D.
Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp ba biết rằng sau 4 phút người ta đếm được có
121500 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 3280500 con.
A. 10.
B. 9.
C. 8.
D. 7.
Đầu mùa thu hoạch cam, bác nông dân đã bán cho người thứ nhất nửa số cam thu hoạch được
và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số cam còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số
cam còn lại và nửa quả,….Đến người thứ bảy, bác cũng bán nửa số cam còn lại và nửa quả thì
hết số cam thu hoạch được. Hỏi vào đầu mùa thu hoạch, bác nông dân đã thu hoạch được bao
nhiêu quả cam?
A. 128 .
B. 126 .
C. 129 .
D. 127 .
(Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 ) Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm.
An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày

01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày
sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền ? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01
tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 ).
A. 738.100 đồng.
B. 726.000 đồng.
C. 714.000 đồng.
D. 750.300 đồng.
(Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018
. Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính
mình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các
ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của
mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 )?
A. 4095000 đồng.
B. 89000 đồng.
C. 4005000 đồng.
D. 3960000 đồng.
(Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như
sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp
tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là
A. 77 .
B. 79 .
C. 76 .
D. 78 .

VẤN ĐỀ 4. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN TRONG HÌNH HỌC
Mục đích : Ôn tập những bài toán hình học ẩn chứa cấp số cộng , cấp số nhân vào trong đó.
Câu 33. Cho một hình tròn tâm O bán kính là R  60m . Dựng tam giác
đều A1 B1C1 nội tiếp đường tròn, sau đó lấy đường tròn nội tiếp
tam giác A1 B1C1 . Cứ tiếp tục làm quá trình như trên. Diện tích
của tam giác A9 B9C9 là

2
A. 0, 285m .
2
B. 1,14m .
2
C. 0,071m .
2
D. 145,92m .

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 4 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

Câu 34. Cho hình vuông A1 B1C1 D1 có diện tích S1 . Gọi
An , Bn , Cn , Dn  n  �, n 2 
lần lượt là trung điểm của
An 1 Bn 1 , Bn 1Cn 1 , Cn 1 Dn 1 , Dn 1 An 1 . Hình vuông An BnCn Dn
có diện tích S n . Tính giới hạn tổng diện tích n hình vuông
đầu tiên.
A. S1 .
B. 2S1 .
S1
C. 2 .
D.

S12

.

Câu 35. Cho tam giác ABC cân tại A , có các cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự
đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó.
1
1
2 1
2 2 1
2 2 1
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D. 2  1 .









Câu 36. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh bên AB
2

theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q . Giá trị của q bằng
2 2
2 .
A.

2 1
2 .

2 1
2 2
2 .
B.
C. 2
D.
Câu 37. Cho tam giác A1 A2 A3 vuông cân tại A3 có cạnh A1 A3  1 và có diện tích S1 . Lấy A4 là trung
điểm của A1 A2 , gọi S2 là diện tích tam giác A2 A3 A4 . Lấy A5 là trung điểm của A2 A3 , gọi S3 là
diện tích tam giác A3 A4 A5 . Tổng quát, lấy An 3 là trung điểm cạnh An An 1 và gọi S n là diện
tích tam giác An An 1 An  2 . Tính tổng S  S1  S2  S3  ...  S2019 .
22019  1
22020  1
22020  1
22018  1
S  2019
S
S  2020
S  2018
2
2020 .
2
2

A.
.
B.
.
C.
.
D.
50
S
A B C D
Câu 38. Một hình vuông ABCD có cạnh AB  2 , diện tích 1 . Nối 4 trung điểm 1 , 1 , 1 , 1 theo

ABC D
S
thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là 1 1 1 1 có diện tích 2 .
Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba

S , S ,...

A2 B2C2 D2

S  S  S  S  ...  S

có diện tích

1
2
3
100 .
được diện tích 4 5 Tính

101
101
100
A. S  2  2 .
B. S  2  2 .
C. S  2  2 .
Câu 39. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2017-2018) Cho
C 
hình vuông 1 có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh
của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm
C 
chia một cách thích hợp để có hình vuông 2 .
C 
Từ hình vuông 2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận được
dãy các hình vuông C1 , C2 , C3 ,., Cn ... Gọi Si là diện tích

của hình vuông

Ci  i � 1, 2,3,..... 

S3

và cứ tiếp tục như thế, ta
101
D. S  2  2

. Đặt

T  S1  S2  S3  ...  S n  ... . Biết

T

32
3 , tính a ?

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 5 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

5
A. 2
B. 2
C. 2
D. 2 2
Câu 40. [SGD SOC TRANG_2018] Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể
hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

Câu 41.

Câu 42.

Câu 43.

Câu 44.

Câu 45.

A. 210 .
B. 39 .
C. 100 .
D. 270 .
(Sở GD &Cần Thơ-2018) Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau:
hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục
trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là
A. 77 .
B. 79 .
C. 76 .
D. 78 .
(THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018) Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10 m theo
phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng
3
4 độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.
A. 40 m.
B. 70 m.
C. 50 m.
D. 80 m.
(Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 ) Có hai cơ sở khoan giếng A và B . Cơ sở A giá mét
khoan đầu tiên là 8000 và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 so với
giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B : Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 và kể từ mét
khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Một
công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20 và 25 để phục vụ
sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công tý ấy
nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhât?
A. luôn chọn A .
B. luôn chọn B .
C. giếng 20 chọn A còn giếng 25 chọn B .

D. giếng 20 chọn B còn giếng 25 chọn A .
(THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 ) Trong thời gian liên tục 25 năm,
một người lao động luôn gửi đúng 4.000.000 đồng vào một ngày cố định của tháng ở ngân
hàng M với lại suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền là 0, 6% tháng. Gọi A đồng
là số tiền người đó có được sau 25 năm. Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. 3.500.000.000  A  3.550.000.000 .
B. 3.400.000.000  A  3.450.000.000 .
C. 3.350.000.000  A  3.400.000.000 .
D. 3.450.000.000  A  3.500.000.000 .
(Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Cho ba số thực dương a, b, c là ba số hạng liên tiếp

a 2b 2 c 2
4
3
3
3
của một cấp số nhân đồng thời thỏa mãn điều kiện a  b  c
. Tính giá trị của biểu thức
1 1 1
P 3  3  3
a b c ?
1
1
P
P
2
4
A. P  4
B. P  2
C.

D.
Câu 46. (THPT Sơn Tây - Hà Nội - 2018 ) Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê
một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan
thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 6 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng
đó?
A. 4.000.000 đồng
B. 10.125.000 đồng C. 52.500.000 đồng D. 52.500.000 đồng
VẤN ĐỀ 5. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN TRONG GIẢI TÍCH
Mục đích : Ôn tập những bài toán giải tích ẩn chứa cấp số cộng , cấp số nhân vào trong đó.

(u )
Câu 47. Cho cấp số cộng n có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn
u1 + u2 + ... + u2018 = 4( u1 + u2 + ... + u1009 )
.
P = log 32 u2 + log 32 u5 + log 32 u14
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng
3
A. .
B. 1 .
C. 2 .

D. 4 .
u 
Câu 48. Cho dãy số n thỏa mãn u1  1; un 1  5.un , n �1 và
 log u1  1 2 log u3  log u1  5  3 2log u3  log u1  5  log u1  6  0
. Tổng của bao nhiêu số
hạng đầu của dãy số bằng 4882,81 .



A. 12 số hạng.

B. 11 số hạng.



C. 9 số hạng.

D. 10 số hạng.

 un  thỏa mãn log22 ( 5u1) + log22 ( 7u1) = log22 5+ log22 7. Biết số hạng đầu u1 �1 và
Câu 49. Cho dãy số
un 1  7un , n ��*
. Giá trị nhỏ nhất của n để un > 2019
A. 8.
B. 7.
C. 9.
D. 6.
3
2
 C  . Đường thẳng d cắt

Câu 50. Cho đường thẳng d : y  ax  b và hàm số y  x  3 x  9 x  1 đồ thị
 C  tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng?
đồ thị
A. a  b  10 và b  2 .
B. a  b  10 và b �� .
C. a  b  10 và b  2 .
D. a  b  10 và b �3 .
4
2
C 
C 
Câu 51. Cho hàm số y  x  2mx  m  4 có đồ thị là m . Biết m0 là giá trị của m để đồ thị m cắt
trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Khi đó m0 thuộc khoảng
nào trong các khoảng sau
A.

1.C
11.D
21.D
31.C
41.A
51.C

 1;0  .

2.A
12.D
22.C
32.A
42.B

B.

3.C
13.A
23.A
33.A
43.D

4.A
14.A
24.C
34.B
44.C

 1; 4  .

C.

 4;10  .

BẢNG ĐÁP ÁN
5.C
6.B
7.C
15.B
16.C
17.D
25.A
26.B

27.D
35.C
36.B
37.A
45.D
46.B
47.C

D.

8.B
18.A
28.D
38.A
48.C

 10; � .

9.D
19.A
29.D
39.A
49.B

10.C
20.C
30.A
40.A
50.A

LỜI GIẢI
CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN
VẤN ĐỀ 1. BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH , ĐỊNH LƯỢNG TRONG CẤP SỐ CỘNG
Câu 1.

Cho cấp số cộng

 un 

có u1  2 và công sai d  7 .Công thức của số hạng tổng quát là

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 7 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

A.

un  2.7 n 1

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

B. un  2  7 n .

.

un  2  7.  n  1

C.

. D.

un  7  2  n  1

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen
Chọn C
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
Câu 2.

un  u1.   n  1 .d  2   n  1 .7

.

Dãy số nào sau đây là cấp số cộng ?
A. 1; 2;3; 4;5 .

B. 1; 2; 4;8;16 .

C.1;  1;1;  1;1 .

D. 1;  3;9;  27;81 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen
Chọn A
Câu 3.

Cho dãy số vô hạn
sai?

 un 

là cấp số cộng có công sai d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định

u1  u9
2 .
A.
13
S12   2u1  11d 
2
C.
.
u5 

B. un  un 1  d , n �2 .
*
D. un  u1  ( n  1).d , n �� .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Nhung; Fb: Nguyễn Nhung
Chọn C
Ta có công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
Suy ra

S12  12u1 

S n  nu1 

n  n  1 d
2

12.11.d
n
�
 6  2u1  11d  2  2u1  11d 
2
.

.
Câu 4.

Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng ?

A.
C.

u1  1
�
un 1  un  2, n �1
�

 un  : �

 un  : 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; K

.

B.

.

D.

u1  3
�
un 1  2un  1, n �1
�

 un  : �

 un  :

.

1 ; 1 ;  1 ; 1 ; 1 ; K .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Nhung; Fb: Nguyễn Nhung
Chọn A
Dãy số ở đáp án A thỏa un 1  un  2 với mọi n �1 nên là cấp số cộng.
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 8 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Câu 5.

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

u1  u5  6
�
�
u10  u2  8
�

Cho cấp số cộng (u n ) biết :
. Tính
u .u  u2 .u3  u3 .u4  ...  u2018 .u2019  u2019 .u2020
S 1 2
2019
A.

S

4080499
.
3

B.

S

4078380
.
3

C.
Lời giải

S

4082420
.
3

D.

S

4088483
3
.

Tác giả: Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó
Chọn C

u1  u5  6
u  2d  3 �
u 1
�
�2u  4d  6
�
�� 1
� �1
� �1

�
u u  8 �
u1  9d  (u1  d )  8 �d  1
�d  1 .
Ta có: �10 2
S

u1.u2  u2 .u3  u3 .u4  ...  u2018 .u2019  u2019 .u2020
2019

� 2019.S  u1.u2  u2 .u3  u3 .u4  ...  u2019 .u2020

� 2019.S  1.2  2.3  3.4  ...  2019.2020
� 3.2019.S  1.2.3  2.3.3  3.4.3  ...  2019.2020.3
� 3.2019.S  1.2.3  2.3.(4  1)  3.4.(5  2)  ...  2019.2020.(2021  2018)

� 3.2019.S  1.2.3  2.3.4  1.2.3  3.4.5  2.3.4  ...  2019.2020.2021  2018.2019.2020
� 3.2019.S  2019.2020.2021
�S

Câu 6.

4082420
.
3

Cho cấp số cộng
A. S  5105110.

(un )

biết :

u3  u5  u6  6
�
�
u8  u4  52
�

B. S  5101510.

. Tính S  u2  u4  u6  ...  u2020

C. S  5105010 .
Lời giải

D. S  5105101 .

Tác giả: Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó
Chọn B

u3  u5  u6  6
u1  2d  u1  4d  u1  5d  6
u1  d  6
u 1
�
�
�
�
��

��
� �1
�
u  u  52
u1  7d  u1  3d  52
2u1  10d  52
d 5
�
�
�
Ta có: �8 4
.
Ta có: Dãy số u2  6, u4  16, u6  26, u8  36,..., u2020  10096 là một cấp số cộng với số hạng
đầu
v1  u2  6, d  10, v1010  u2020  10096 .
S  u2  u4  u6  ...  u2020 

1010
 2.6  (1010  1).10  5101510
2
.

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 9 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Câu 7.

Cho cấp số cộng

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

 un 

A. S  2041881.

u2  u3  u5  10
�
.
�
u4  u6  26
�
thỏa
Tính S  u1  u4  u7  ...  u2020.
B. S  2041882.

C. S  2041883.

D. S  2041884.

Lời giải
Tác giả:Bích Phượng; Fb: Bích Phượng
Chọn C
�
u2  u3  u5  10 �
u  d  u1  2d  u1  4d  10 �u1  3d  10
u 1
�

�
�
� �1
��
� �1 .
�
2u1  8d  26 �d  3
�
� u4  u6  26
� u1  3d  u1  5d  26
u4  10,u7  19,u10  28,...

Ta có u1,u4,u7,u10,...,u2020 là cấp số cộng có
Do đó
Câu 8.

S

�u1  1
�
�d  9
�
n  674
�

674
 2.1 673.9  2041883.
2

 a  : a1  4; a2  7;...;a100 và  bn  : b1  1; b2  6;...;b100. Hỏi có bao

Cho hai cấp số cộng n
nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên.
A.32.

B.20.

C.33.

D. 53.

Lời giải
Tác giả:Bích Phượng; Fb: Bích Phượng
Chọn B
Cấp số cộng

 an  :

a1  4; a2  7;...;a100

có số hạng tổng quát

an  4   n  1 .3  3n  1.

Cấp số cộng

 bn  :

b1  1; b2  6;...;b100

có số hạng tổng quát

bm  1  m 1 .5  5m 4.

Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ
�
3n  1 5m 4
�
n �
100
� 1���
� 1�m�100
�
Vì

3n  5 m 1

Ta lại có

�
3n  5 m 1
�
�1 n 100 .
�1�m�100
�
nên nM5 và m 1M3 với m 1 0

n  100
���
 �3n 300

5 m 1

300

*
m 61
Có m 1M3� m 3t  1, t �� . Vì 1��

Vì

m 61.
1 �
3t 1 61
� 0 t 20.

t ��* � t   1;2;3;...;20 .

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 10 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên.
Câu 9.

Cho khai triển

P  x    1  x   1  2 x   1  3 x  ...  1  2017 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a2017 x 2017
Tính

T  a2 

.

1 2
1  2 2  ...  2017 2 

2
.
2

�2016.2017 �
�
�
�.
A. � 2

2

�2017.2018 �
�
�
�.
B. � 2

2

1 �2016.2017 �
�
�
�.
C. 2 � 2

2

1 �2017.2018 �
�
�
�.
D. 2 � 2

Lời giải
Tác giả:Phương Thúy ; Fb: Phương Thúy
Chọn D
Ta có
a2  1.  1  2  3  ...  2017   2.  3  4  ...  2017   ...  2015.(2016  2017)  2016.2017
 1.0  2.1  3.  1  2   ....  2016.  1  2  ...  2015   2017.  1  2  ...  2016 

� 2a2  1.  1  2  ...  2017   2.  1  2  ...  2017   ...

...  2017.(1  2  ...  2017)   12  22  ...  2017 2 

Khi đó, ta có

2a2   12  22  ...  2017 2 
1 2
2

2
T  a2   1  2  ...  2017  
2
2
1
 �
�
1.  1  2  ...  2017   2.  1  2  ...  2017   ...  2017.  1  2  ...  2017  �
�
2 �
2

1 2017.2018 2017.2018 1 �2017.2018 �
 �
�
 �
�
2
2
2
2� 2
�

a 
Câu 10. Gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng n
bằng:
9
A. 5 .

5

B. 9 .

5
C. 3 .

a3
với a1 �0 . Biết S6  S9 , tỉ số a5

3
D. 5 .

Lời giải
Tác giả: Phương Thúy ; Fb: Phương Thúy
Chọn C
Ta có

S 6  S9 �

6  2a1  5d  9  2a1  8d 

� 24a1  60d  36a1  144d � 12a1  84d � a1  7 d
2
2

a3 a1  2 d 7d  2d 5


 .
a5 a1  4d 7 d  4d 3

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 11 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

 0; 2018 sao cho ba số
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn
5

x 1

1 x

5

a
x
x
; 2 ; 25  25 ,

theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?
A. 2008 .

B. 2006 .

C. 2018 .

D. 2007 .

Lời giải
Tác giả: Diệp Tuân ; Fb: Tuân Diệp
Chọn D.
Ba số 5

x 1

1 x

5

a
x
x
; 2 ; 25  25 , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
a   5 x 1  51 x    25 x  25 x  �2 5 x 1 �
51 x  2 25 x �
25 x  12 .

�
5x 1  51 x
�
� x0
� x
25  25 x
�
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.

Như vậy nếu xét

a � 0; 2018

thì ta nhận

a � 12; 2018

. Có 2007 số a thoả đề

Câu 12. Cho một cấp số cộng (un ) có u1  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 .
S

Tính

1
1
1

 ... 
u1 u2 u2u3
u49u50

A. S  123 .

B.

S

4
23 .

C.

S

9
246 .

D.

S

49
246 .

Lời giải
Tác giả: Diệp Tuân ; Fb: Tuân Diệp
Chọn D
Ta có S100  24850
Vậy u100  u1  99d
S

�

n
 u1  un   24850 � u  496
100
2

.

�d

u100  u1
99 � d  5 .

1
1
1
1
1
1
1

 ... 



 ... 
u1 u2 u2u3
u49u50 1.6 6.11 11.16
241.246 .

� 5S 

5
5
5
5

1 1 1 1
1
1


 ... 
     ... 

1.6 6.11 11.16
241.246 1 6 6 11
241 246

1 1
245
49
 

�S 
1 246 246
246 .
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 12 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Câu 13. Cho cấp số cộng

 un 

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

có các số hạng đều dương, số hạng đầu u1  1 và tổng của 100 số hạng

đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng
S

1
1
1

 ... 
u1  u1 u2 u3 u2  u2 u3
u2019 u2018  u2018 u2019

u2

1�
1 �
1
�
�
A. 3 � 6055 �.

B.

1

1
6055 .

C. 2019.

.

D.1.

Lời giải
Tác giả: Đỗ Thị Hường; Fb:dohuong1988
Chọn A
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó:
S100  100u1 

100.99
d � 100  4950d  14950 � d  3
2
.

Do đó u2019  u1  2018d  6055 .

Ta có:

uk 1

1
1
1 u  uk 1 � 1
1

 . k 1

 .� 
d
d �
uk  uk uk 1
uk . uk 1
uk 1
uk . uk 1 . uk  uk 1
� uk





�
�
�
�
.

Do đó:
S

1 �1
1 � 1 �1
1 �
1 � 1
1
.� 

� ...  . �

� . � 
�
d �
d �
u2 �
u3 �
u2019
� u1
� d � u2
�
� u2018

� 1 �1
1
� . � 
� d �u
u2019
� � 1

�
�
�
�

1�
1 �
 �
1
3 � 6055 �
�.

Câu 14. Cho cấp số cộng

 un 

S

giá trị của tổng
1009
A. 6056 .

có số hạng đầu u1  2 và tổng của 100 số hạng đầu bằng 15050 . Tính

1
1
1

 ... 
u1.u2 u2 .u3
u2018 .u2019 .

1008
B. 6056 .

2018
C. 2019 .

1
D. 2019 .

Lời giải

Tác giả: Đỗ Thị Hường; Fb:dohuong1988
Chọn A
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó:
S100  100u1 

100.99
d � 200  4950d  15050 � d  3
2
.

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 13 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

Do đó u2019  u1  2018d  6056 .

1
1 u u
1 �1
1 �
 . k 1 k  . � 
�
u .u
d uk .uk 1
d �uk uk 1 �
Ta có: k k 1

.
Do đó:

S

1 �1 1 � 1 �1 1 �
1 �1
1 � 1 �1
1 � 1 �1
1 � 1009
. �  � . �  � ...  .�

.
� . � 
� . � 
�
d �u1 u2 � d �u2 u3 �
d �u2018 u2019 � d �u1 u2019 � 3 �2 6056 � 6056

Câu 15. Cho dãy số

 un 

u1  2
�
�
�
u  un  3n  2  n ��* 
xác định bởi �n 1
. Tính u101 .

A. u101  15002 .

B. u101  14952 .

C. u101  14902 .

D. u101  15052 .

Lời giải
Tác giả:Lưu Anh Bảo ;Fb: Luu Anh Bao
Chọn B
Theo công thức truy hồi của dãy số

 un 

ta có un 1  un  3n  2 .

Đặt vn  un 1  un � vn  3n  2 .
�
3  n  1  2 �
�  3n  2   3 , n ��* nên  vn  là một cấp số cộng có số hạng
Ta có vn 1  vn �
đầu v1  3.1  2  1 và công sai d  3 .

Ta lại có:

un   un  un 1    un 1  un  2   ...   u2  u1   u1  vn 1  vn 2  ...  v1  2

Mà vn 1  vn 2  ...  v1  S n 1

Vậy

un 



2  3 n  2 �
�
 n  1  n  1  3n  4 
n 1
�
�

�
2
v

n

2
d
�



1
�
2 �
2

2

 n  1  3n  4   2 � u
2

.

101



100.299
 2  14952
2
.

3
3
 0; 2018  .
Câu 16. Tính tổng các nghiệm của phương trình cos x  sin x  sin 2 x  sin x  cos x trong

A. 8144648 .

B. 4036 .

C. 814666 .

D. 4037 ..

Lời giải

Tác giả:Lưu Anh Bảo ;Fb: Luu Anh Bao
Chọn C
3
3
Ta có cos x  sin x  sin 2 x  sin x  cos x

�  sin x  cos x   1  sin x.cos x   2 sin x cos x  sin x  cos x
�  sin x  cos x   1  sin x.cos x  1  2sin x cos x �  sin x  cos x    sin x.cos x   2sin x cos x
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 14 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

sin x.cos x  0
�
��
sin x  cos x  2  vn 
� sin x.cos x  2  sin x  cos x   0
�

� sin 2 x  0 � 2 x  k � x 
k
0 ���
�
 2018
2
Có

0 k

k
 k ��
2
.

4036

, suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trong

d

0;
2018


 tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1  0 , công sai
2 và có 4037 số
hạng.

Vậy tổng cần tìm là

S

4037 �
�
2.0  4036 � 8146666
�

2 �
2�
.

VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH – ĐỊNH LƯỢNG TRONG CẤP SỐ NHÂN
Mục đích :
-

Ôn tập các bài toán định tính : chỉ dùng định nghĩa , khái niệm , định lí , tính chất suy luận
ra đáp án đúng , đáp án sai.

-

Ôn tập Bài toán định lượng : thiên về tính toán , sử dụng nhiều phép biến đổi.

Câu 17. Cho cấp số nhân u1,u2,u3,...,un với công bội q (q ≠ 1). Đặt: Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó ta có:

A.

C.





u1 qn  1

Sn 

q 1

.





B.

u1 qn1  1

Sn 

q 1

.

D.

Sn 

Sn 





u1 qn1  1
q 1



.



u1 qn  1
q 1

.

Lời giải
Tác giả: Khánh Hoa ; Fb: Bảo Hoa Thư
Chọn D
Sn 





u1 qn  1
q1

 q �1

.

Câu 18. Trong các số sau, dãy số nào là một cấp số nhân:
A. 1, -3 , 9 , -27 , 81.

B. 1 , -3 , -6 , -9 , -12.

C. 1 , -2 , -4 , -8 , -16.

D. 0 , 3 , 9 , 27 , 81.
Lời giải
Tác giả: Khánh Hoa ; Fb: Bảo Hoa Thư

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 15 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

Chọn A
Dãy 1, -3 , 9 , -27 , 81 là cấp số nhân với công bội q = -3.

3 6
�
Dãy 1 , -3 , -6 , -9 , -12 không phải là cấp số nhân vì 1 2 .
2 4
�
Dãy 1 , -2 , -4 , -8 , -16 không phải là cấp số nhân vì 1 2 .
Dãy 0 , 3 , 9 , 27 , 81 không phải là cấp số nhân vì u1 = 0 , u 2 �0 .
Câu 19. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. 1; 2; 3; 4; 5 .

C. 1;  1; 1;  1; 1 .

B. 1; 2; 4; 8; 16 .

D. 1;  2; 4;  8; 16 .

Lời giải
Tác giả: Trần Tiến Đạt; FB: Tien Dat Tran
Chọn A
Dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q  2 .
Dãy 1;  1; 1;  1; 1 là cấp số nhân với công bội q  1 .

Dãy 1;  2; 4;  8; 16 là cấp số nhân với công bội q  2 .
Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là không là cấp số nhân.
Câu 20. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
un   1 n
n

A.

.

B.

un  n 2

.

C.

un  2 n

.

D.

un 

n
3n .

Lời giải
Tác giả: Trần Tiến Đạt; FB: Tien Dat Tran
Chọn C
un 1
Lập tỉ số un

un 1  1 .  n  1
n 1


n
un
n �  un 
 1 .n
n 1

A:

không phải cấp số nhân.

un 1  n  1

n 2 �  un  không phải là cấp số nhân.
B: un
2

un 1 2n 1
 n  2 � un 1  2un
�  un 
2
C: un
là cấp số nhân có công bội bằng 2 .
un 1 n  1

u
3n �  un  không phải là cấp số nhân.
n
D:

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 16 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

Câu 21. Cho các số x, y , z theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1; đồng thời theo thứ
tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Biết tổng
x yz 

A.

148
,
9 giá trị biểu thức T  x  y  z bằng

20
.
3

52
.
B. 3

20
.
C. 9

52
.
D. 9

Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng.
Chọn D
Gọi d là công sai, khi đó theo giả thiết ta có b  a  3m và c  a  7 m.
Suy ra

a  b  c  3a  10m 

148
.
9  1
b 2  ac �  a  3m   a  a  7m  � m  a  9m   0.
2

Theo tính chất cấp số nhân, ta có

• m  0 : suy ra a  b  c : không thỏa mãn (do cấp số nhân với công bội khác 1 ).
a4
�
16
64
52
�
��
�T  .
� 4 �b  ; c 
3
9
9
m
 1 , ta được �
� 9
• a  9m  0 : kết hớp với

Câu 22. Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành một cấp số nhân theo thứ tự đó và các số đều khác 0 ,
1 1 1 1 1
     10

S
biết a b c d e
và tổng của chúng bằng 40 . Tính giá trị
với S  abcde .
A.

S  42

B.

S  62

C.

S  32

D.

S  52

Lời giải
Tác giả:Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng.
Chọn C
1 1 1 1 1
Gọi q
là công bội của cấp số nhân a , b , c , d , e . Khi đó a , b , c , d , e là cấp số
1
nhân có công bội q .

 q �0 

Theo đề bài ta có

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 17 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

� 1  q5
a.
 40
�
1

q
�
5
� 1  q5
�
�
�
1
a.
 40
� � 1
�
�

�
1

q
�
a  b  c  d  e  40
q
�
�1
. � �  10 � �
�
�
1 q5  1
�1 1 1 1 1
a 1 1
�
. 4
 10
�
     10
�
�
a
q
q

1


q

� a 2q 4  4 .
�a b c d e
�
�
2
3
4
5 10
Ta có S  abcde  a.aq.aq .aq .aq  a q .

S 2   a 5 q10    a 2 q 4   45
2

Nên

Suy ra

S  45  32

5

.

.

2
99
Câu 23. Tính tổng S  1  2.2  3.2  ...  100.2 .
100
A. S  99.2  1 .

100
B. S  99.2  1 .

100
C. S  100.2  1 .

99
D. S  100.2  1 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Nhiên ; Fb: Phạm int ineq
Chọn A
Ta có
P  1  2.2  3.22  4.23...  100.299  1  (1  1).2  (1  2).22  (1  3).23  ...  (1  99).299

� P   1  2  22  ...  299    2  2.22  3.23  ...  99.299 

2100  1
 2  1  2.2  3.22  ...  99.298  100.299   100.2100
2 1
100
� P  2  1  2 P  100.2100
� P  1.

� P  99.2100  1
Câu 24. Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1 . Biết tổng ba
148
số hạng đầu bằng 9 , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và
thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T  a  b  c  d .

A.

T

101
27 .

B.

T

100
27 .

C.

T 

100
27 .

D.

T 

101
27 .

Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn
Chọn C

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 18 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

�
�ac  b 2
�
bd  c 2
�
�
�a  b  c  148
9
Ta có �

 1
 2
 3

.

Và cấp số cộng có u1  a , u4  b , u8  c . Gọi x là công sai của cấp số cộng. Vì cấp số nhân
có công bội khác 1 nên x �0 .
b  a  3x

�
�
c  a  7 x  4 .
Ta có : �
Từ

 1

và

 4

a  a  7 x    a  3x  � ax  9 x 2  0
.
2

ta được :

Do x �0 nên a  9 x .

 3
Từ

 4  , suy ra 3a  10 x 
và

148
9 .

� 16

b
�
3
�
64
�
��
c
a4
�
� 9
�
� 256
� 4
d
x
�
�
27 .
9
�
�
Do đó :
Vậy

T  abcd 

100
27 .

2

2

2

� 1� � 1�
�20 1 �
S �
2  � �
4  � ...  �
2  20 �
2
4
2 �
�
�
�
�
�
Câu 25. Tính tổng

A.

C.

4
S
4
S

20

 1  421  1
3.420

20

 1  421  1
3.420

 40

 40

.

B.

.

D.

4
S

20

4
S

 1  421  1
3.220

20

 40

.

 1  421  1
3.420

.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thanh Nhã ; Fb: Thanh Nha Nguyen.
Chọn A
2

2

2

� 1� � 1�
�20 1 �
S �
2  � �4  � ...  �
2  20 �
2 �

� 2� � 4�
�

1��
1 �
1 �
�
�
S  �4  2  � �42  2  2 � ...  �420  2  20 �
4��
4 �
4 �
�
�
1 �
�1 1
S   4  42  ...  4 20   2.20  �  2  ...  20 �
4 �
�4 4
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 19 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

1
20
21

1
4 1
1 420
420  1
1 420  1  4  1  4  1
S  4.
 40 
 4.
 40  . 20 
 40
4 1
4 1 1
4 1
3 4
3.420
4
20

Câu 26.

u 
Cho dãy số n
A.

S

3280
6561 .

xác định bởi

B.

u1 

S

u
1
n 1
u u
un 1 
un
S  u1  2  3  ...  10
3 và
3n
2 3
10 .
. Tính tổng

29524
59049 .

C.

S

25942
59049 .

D.

1
243 .

S

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thanh Nhã ; Fb: Thanh Nha Nguyen.
Chọn B
Ta có

un 1 

u
n 1
1 un
u1 1
un � n 1 

3n
n  1 3 n , trong đó 1 3

�un �
u1 1
1

q
� �
3 .

Suy ra dãy số �n �là một cấp số nhân có số hạng đầu 1 3 , công bội
1
1  10
10
u 2 u3
u10
1 q
1
1 310  1 29524
S  u1    ... 
 u1.
 . 3  . 10 
2 3
10
1 q 3 1 1
2 3
59049
3
.

VẤN ĐỀ 3. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN TRONG ĐẠI SỐ
Mục đích : Ôn tập các bài toán đại số , số học ẩn chứa cấp số cộng , cấp số nhân vào trong đó.
2
Câu 27. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x - 4 x + a = 0 , x3 và x4 là hai nghiệm của
2
phương trình x - x + b = 0 . Biết rằng x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

có công bội dương. Tính giá trị biểu thức P = ab .
A. P = 64 .

B.

P=

16384
81 .

C.

P=

64
9 .

D.

P=

64
81 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Vân ; Fb: Nguyễn Thị Vân
Chọn D
Gọi

q , ( q > 0)

2
3

là công bội của cấp số nhân, ta có x2 = x1q , x3 = x1q , x4 = x1q .

Áp dụng định lí Viet ta có

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 20 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

�x1 ( 1 + q ) = 4
�x1 + x2 = 4 �x1 + x1q = 4
�
� 1
�
�
�
�
1
�
�
�
q=
2
2
2
�
�

�
�x1.x2 = a
�
x1 .q = a
q =
x1 .q = a
�
�
� 2
�
�
�
�
4
�� 2
�� 2
��
��
�
3
�
�
�
�
� 8
x
+
x
=
1

x
.
q
+
x
.
q
=
1
x
.
q
1
+
q
=
1
(
)
3
4
1
1
�
�
�
�
1
x1 ( 1 + q ) = 4 �
x =

�
�
�
�
�
�
2
5
�
�
�
�1 3
2
5
�
x
.
x
=
b
�
�
�
x
.
q
=
b
�3 4
�1

�x1 .q = b
.
8
1
32
2
x1 = , q = � a = , b =
3
2
9
9.
Với
Vậy

P = ab =

32 2 64
. =
9 9 81

Câu 28. Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp ba biết rằng sau 4 phút người ta đếm được có
121500 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 3280500 con.
A. 10.

B. 9.

C. 8.

D. 7.

Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Nhiên ; Fb: Phạm int ineq
Chọn D
Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân

 un 

có công bội q  3 .

u .q 4  121500 � 34 u1  121500 � u1  1500
Theo đề u5  121500 . Suy ra 1
.
Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un 1 . Theo đề un 1  3280500 hay
u1.3n  3280500 � 1500.3n  3280500 � n  7
.
Câu 29. Đầu mùa thu hoạch cam, bác nông dân đã bán cho người thứ nhất nửa số cam thu hoạch được
và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số cam còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số
cam còn lại và nửa quả,….Đến người thứ bảy, bác cũng bán nửa số cam còn lại và nửa quả thì
hết số cam thu hoạch được. Hỏi vào đầu mùa thu hoạch, bác nông dân đã thu hoạch được bao
nhiêu quả cam?
A. 128 .

B. 126 .

C. 129 .

D. 127 .

Lời giải
Tác giả: Đinh Thị Duy Phương; Fb: Đinh Thị Duy Phương

Chọn D
Gọi

x  x ��* 

là số quả cam mà bác nông dân thu hoạch được vào đầu mùa.

x 1 x 1
 
2 quả,
Người thứ nhất đã mua: 2 2
1 � x 1� 1 x 1
�x 
�  2
2
2
2 quả,
�
�2
Người thứ hai đã mua:
1 � x 1 x 1 � 1 x 1
 2 �  3
�x 
2
2 �2
2 quả,
Người thứ ba đã mua: 2 �
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 21 

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

…………………..
x 1
7
Người thứ bảy đã mua: 2 quả.
Sau khi người thứ bảy mua thì hết số cam thu hoạch được nên ta có phương trình:
x 1 x 1 x 1
x 1
1 �
�1 1 1
 2  3  ...  7  x �  x  1 �  2  3  ...  7 � x
2
2
2
2
2 �
�2 2 2

 *

7

�1 �
1 � �
7
1 1 1

1 1
2�
�1 � 127
�
   ...  7  .
 1  � �
2 2 2 23
2
2 1 1
�2 � 128
2
Lại có
.
Do đó

 * �  x  1

127
 x � x  127
128
.

Vậy vào đầu mùa, bác nông dân thu hoạch được 127 quả cam.
Câu 30. (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 ) Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm.
An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày
01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày
sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền ? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01
tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 ).
A. 738.100 đồng.

B. 726.000 đồng.

C. 714.000 đồng.

D. 750.300 đồng.

Lời giải
Chọn A
Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến
ngày 30 tháng 4 năm 2016 ) là 31  29  31  30  121 ngày.
Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: u1  100 .
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u2  100  1.100 .
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u3  100  2.100 .
…

u  u1   n  1 d  100   n  1 100  100n
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: n
.
Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u121  100.121  12100 .
Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số
hạng đầu u1  100 , công sai d  100 .
Vậy số tiền An tích lũy được là

S121 

121
121
 u1  u121    100  12100 
 738100 đồng.
2

2

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 22 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

Câu 31. (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018
. Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính
mình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các
ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của
mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 )?
A. 4095000 đồng.

B. 89000 đồng.

C. 4005000 đồng.

D. 3960000 đồng.

Lời giải
Chọn C
* Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1  1000 công sai

d  1000 .
* Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là:
S n  u1  u2  ...  un 

2u1   n  1 d �
n  u1  un  n �
�
 �
2
2

* Tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 (tính đến ngày thứ 89 ) tổng số tiền bỏ heo là:
S89 

89 �
2.1000   89  1 .1000 �
�
� 45.89.1000  4005000
2
đồng.

Câu 32. (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như
sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp
tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là
A. 77 .

B. 79 .

C. 76 .

D. 78 .

Lời giải

Chọn A
Gọi số cây ở hàng thứ n là un .
Ta có: u1  1 , u2  2 , u3  3 , … và S  u1  u2  u3  ...  un  3003 .
Nhận xét dãy số

 un 

là cấp số cộng có u1  1 , công sai d  1 .

n�
2u1   n  1 d �
�
S �
 3003 .
2
Khi đó

n  77
�
n�
2.1   n  1 1�
�
� 3003
��
� n  n  1  6006 � n 2  n  6006  0
n  78 � n  77
�
2
Suy ra
(vì n ��).

Vậy số hàng cây được trồng là 77 .

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 23 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

VẤN ĐỀ 4. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN TRONG HÌNH HỌC
Mục đích : Ôn tập những bài toán hình học ẩn chứa cấp số cộng , cấp số nhân vào trong đó.
Câu 33. Cho một hình tròn tâm O bán kính là R  60m . Dựng tam giác đều A1 B1C1 nội tiếp đường
tròn, sau đó lấy đường tròn nội tiếp tam giác A1 B1C1 . Cứ tiếp tục làm quá trình như trên. Diện
tích của tam giác A9 B9C9 là

2
A. 0, 285m .

2

2
C. 0, 071m .

B. 1,14m .

2

D. 145,92m .

Lời giải
Tác giả: Đỗ Văn Cường ; Fb: Cường Đỗ Văn
Chọn A
A B 2  2OA12  2OA21.cos1200
Ta có R  60m  OA1 , Suy ra trong tam giác A1OB1 ta có 1 1
1
� A1 B12  2.602  2.602.  10800m 2
2
Mà các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 ,… có độ dài các cạnh là cấp số nhân với công bội
Nên diện tích các tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 ,… là cấp số nhân với công bội
S1  S A1B1C1 

qS 

qc 

1
2

1
4

A1 B12 . 3 10800 3

 2700 3m 2
4
4

8

�1 �
S9  S1. � � 0, 285m 2
�4 �

A , B , C , D  n  �, n 2 
Câu 34. Cho hình vuông A1B1C1 D1 có diện tích S1 . Gọi n n n n
lần lượt là trung
điểm của An 1 Bn 1 , Bn 1Cn 1 , Cn 1 Dn 1 , Dn 1 An 1 . Hình vuông An Bn Cn Dn có diện tích Sn . Tính giới
hạn tổng diện tích n hình vuông đầu tiên.

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 24 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN – TỔ 8 – 2018-2019

A. S1 .

S1
C. 2 .

B. 2S1 .

D.

S12

.

Lời giải
Tác giả: Đinh Thị Duy Phương; Fb: Đinh Thị Duy Phương
Chọn B
Đặt

A1 B1  a � S1  a 2

.

Ta có
a 2
a2 1
A2 B2 
� S2 
 S1
2
2 2

a2 1
 S2
4 2

A3 B3 

a
2

A4 B4 

a 2
a2 1
� S4 
 S3
4
8 2

� S3 

………..
Suy ra dãy số S1 , S 2 , S3 ,..., S n ,... là cấp số nhân có công bội

q

1
2 nên

n

�1 �
1 � �
n
n
� �1 �
�
1 q
2�
�
S n  S1.
 S1.

 2 S1 �
1  � ��
1
1 q
� �2 ��
1
2
n
� � �1 �
�
�
lim S n  lim �S1 �
1  � ��
� 2S1
� � �2 ��
�
�
�
Do đó
.

Câu 35. Cho tam giác ABC cân tại A , có các cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự
đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó.

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 25 