Chuyên đề VDC tích phân hàm ẩn

CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể các tác giả!
1

Câu 1.

1 
a 2 ln 2 − bc ln 3 + c

∫ x ln( x + 2) + x + 2 dx =
4
Cho 0 
,với a, b, c ∈ ¥ . Tính T
A.

T = 13 .

B.

T = 15 .

C.

T = 17 .

= a+ b+ c.

D.

T = 11 .

Lời giải
Chọn A
Phân tích:
Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích
phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng
phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản.
1

1

1

1 
x

I = ∫ x ln( x + 2) +
dx = ∫ x ln( x + 2) dx + ∫
dx = I1 + I 2

x
+
2
x
+
2
Ta có:



0
0
0
1

*Tính

I1 = ∫ x ln( x + 2)dx
0

dx

du =

u = ln( x + 2) 
x+2
⇒

2
 dv = xdx
 v= x
Đặt

2
Khi đó :

I1 =

1
1 1 1 x2
x2
1
1 x2 − 4 + 4
ln( x + 2) − ∫
dx = ln 3 − ∫
dx
0 2 0 x+2
2
2
2 0 x+2

1
1
1
1
4
1
1 x2
= ln 3 − ∫ ( x − 2 +
)dx = ln 3 − ( − 2 x + 4ln x + 2 )
0
2
20
x+2
2
2 2

1

1 1
3
3
= ln 3 − ( − 2 + 4ln 3) + 2ln 2 = − ln 3 + 2ln 2 +
2
2 2
2
4
1

*Tính
1

I2 = ∫
0

x
dx
x+ 2
0

I2 = ∫

1
1
1
x
x + 2− 2
2
dx = ∫

dx = ∫ (1 −
)dx = ( x − 2 ln x + 2 )
0
x+ 2
x+ 2
x+ 2
0
0

= 1 − 2ln 3 + 2ln 2

7
7 42 ln 2 − 2.7 ln 3 + 7
I = I1 + I 2 = 4ln 2 − ln 3 + =
2
4
4

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 1 Mã đề


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

Ta có

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

a = 4, b = 2, c = 7 . Vậy T = a + b + c = 4 + 2 + 7 = 13 .
3

Câu 2.

1 
abc ln 2 − b ln 5 − c

I = ∫ x  ln ( x + 1) − 2 ÷dx =
x + 1
4
Cho
, với a, b, c ∈ ¥ . Tính T
0 
A.

T = 13 .

B.

T = 15 .

C.

T = 10 .

D.

= a+ b+ c.

T = 11 .

Lời giải
Chọn C
3

3

I = ∫ x ln ( x + 1) dx − ∫

Ta có

0

0

x
dx = I1 − I 2
x +1
.
2

3

* Tính

I1 = ∫ x ln ( x + 1) dx
0

.

dx

d
u
=
u = ln ( x + 1) 
x +1
⇒

2
 dv = xdx
v = x
Đặt
.

2
3

3

3

x2
1 x2
9
1 
1 
I1 = ln ( x + 1) − ∫
dx = ln 4 − ∫  x − 1 +

÷dx
2
2
x
+
1
2
2
x
+
1


Khi đó :
0
0
0
3


9
1  x2
= ln 4 −  − x + ln x + 1 ÷ = 9 ln 4 − 1  9 − 3 + ln 4 ÷ = 4ln 4 − 3
2
2 2
0 2
2 2
4.

3

* Tính
Đặt

x
dx
2
x
+
1
.
0

I2 = ∫

u = x 2 + 1 ⇒ du = 2 xdx

x = 0 ⇒ u = 1; x = 3 ⇒ u = 10

Đổi cận:

10

10

1 1
1
1
I 2 = ∫ du = ln u = ln10
21u

2
2
Khi đó :
.
1
3

3

0

0

I = ∫ x ln ( x + 1) dx − ∫
Suy ra

Ta có

a = 5, b = 2, c = 3

. Vậy

x
dx = I1 − I 2 = 4ln 4 − 3 − 1 ln10 = 5.2.3ln 2 − 2ln 5 − 3
2
x +1
4 2
4

T = a + b + c = 10 .

1

Câu 3.

1 
ab ln 2 + bc ln 3 − c

I = ∫ x ln ( x + 2 ) − 2  dx =
x + 1
4
Cho
, với a, b, c∈¢ . Tính T =
0 

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

abc .

Trang 2 Mã đề


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

A.

T = − 18 .

B.

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

T = 16 .

C.

T = 18 .

D.

T = − 16 .

Lời giải
Chọn A
1

1

1 
x 


I = ∫ x  ln ( x + 2 ) − 2  dx = ∫  x ln ( x + 2 ) − 2 dx
x + 1
x + 1
- Ta có
0 
0
1

1

x
dx
x
+
1
0

= ∫ x ln ( x + 2 ) dx − ∫
0

2

1

- Đặt

I1 = ∫ x ln ( x + 2 ) dx
0

1

và

x
dx
x
+

1
.
0

I2 = ∫

2

1

du
=
dx
u = ln ( x + 2 ) 
x
+
2
1
⇒

2
 dv = xdx
I1 = ∫ x ln ( x + 2 ) dx
 v= x
+ Tính
. Ta đặt
, khi đó ta có:

0
2

1

1

x2
1 x2
I1 = ln ( x + 2 ) − ∫ ×
dx
2
2
x
+
2
0
0
1

1
1 
4 
= ln 3 − ∫  x − 2 +
÷dx
2
2 0
x+2
1


1
1  x2

= ln 3 −  − 2 x + 4ln x + 2 ÷
2
2 2
0

1
1  1


= ln 3 −  − 2 + 4ln 3 ÷− 4ln 2 
2
2  2



3
3
= 2ln 2 − ln 3 +
2
4
2
1
1 d ( x + 1) 1
x
1
1
2
I 2 = ∫ 2 dx = ∫ × 2
=
ln

x
+
1
=
ln 2
x +1
2 x +1
+ Tính
.
0
0
0
2
2
1

3
3 1
I = I1 − I 2 = 2ln 2 − ln 3 + − ln 2
- Khi đó
2
4 2
3
3
3
= ln 2 − ln 3 +
2
2
4
=

3.2.ln 2 − 3.2.ln 3 + 3
4

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 3 Mã đề


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

=

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

3.2.ln 2 + 2. ( − 3) .ln 3 − ( − 3)
.
4

 a=3

b=2

Ta suy ra:  c = − 3 . Vậy T = a.b.c = 3.2. ( −3 ) = −18 .
Câu 4.

f ( x)

Cho

a > 0.

là hàm liên tục và

Giả sử rằng với mọi

x ∈ [ 0; a ] ,

ta có

f ( x) > 0

và

a

f ( x ) f ( a − x ) = 1 . Tính
a
A. 3 .

1
dx
1
+
f
x
(
)
.

0

I=∫
B.

2a .

C.

a ln ( 1 + a ) .

a
D. 2 .

Lời giải
Chọn D
a

a

1
I=∫
dx
1+ f ( x)
Ta có
0
Đặt

a− x = t

thì

=∫
0

1
1
1+
f ( a − x)

dx

a

=∫
0

f ( a − x)
dx
f ( a − x) + 1 .

dx = − dt . Với x = a ⇒ t = 0 ; x = 0 ⇒ t = a .

a
f ( t)
f ( x)
I = −∫
dt = ∫
dx
f ( t) +1

f ( x) + 1
a
0
0

Ta được

a

Do đó, ta có

Câu 5.

f ( x)

Cho

2I = ∫
0

a
a
f ( x)
1
a
a
dx + ∫
dx = ∫ dx = x 0 = a
I
=

f ( x) + 1
f ( x) + 1
. Vậy
0
0
2.

là hàm liên tục trên

[ 0;1] . Giả sử rằng với mọi

x∈ [ 0;1] ,

ta có

f ( x ) > 0 và

1

dx
f ( x ) . f ( 1 − x ) = 4 . Tính ∫0 2 + f ( x ) .
A. 1 .

B.

2.

1
C. 2 .

1
D. 4 .

Lời giải
Chọn D
1
f ( 1− x)
dx
I=∫
=∫
dx .
2
+
f
x
2
2
+
f
1
−
x
(
)
(
)
(
)
Ta có
0

0
1

Đặt

t = 1 − x ⇒ dt = − dx , đổi cận : x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1⇒ t = 0 .

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 4 Mã đề


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

f ( t)

0

I = −∫

f ( x)

1

dt = ∫

1 2( 2 + f ( t ) )

0 2( 2 + f ( x) )

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

dx
.

1
f ( x)
dx
1
1
⇒ 2I = ∫
+∫
dx = ⇒ I =
2 + f ( x) 0 2( 2 + f ( x) )
2
4.
0
1

π
4

Câu 6.

Cho hàm số

A.

1−

π
2

f ( x)

liên tục trên

.

B.

¡

và

∫ f ( x ) dx

3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = tan x . Tính − π4
2

π
−1
2 .

C.

1+

π

4.

D.

.

2−

π
2.

Lời giải
Chọn D

3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = tan 2 x ( 1)

Theo đề bài, ta có

2
2
x bởi − x ta được: 3 f ( x ) − 2 f ( − x ) = tan ( − x ) = tan x ( 2 )

Thay
Từ

( 1) và ( 2)

suy ra:

π

4

π
4

π
4

−

∫ f ( x ) dx = ∫ tan

I=

−

f ( x ) = tan 2 x .
2

π
4

π
4

xdx = 2 ∫ tan xdx
0

2

π
4

π
4

 1

= 2 ∫  ( 1 + tan 2 x ) − 1dx = 2 ∫  2 − 1 ÷dx
cos x 
0
0

π
π
= 2 ( tan x − x ) 4 = 2 −
2
0
.
1

æ
ö
px3 + 2 x + e.x3 .2 x
1
1
ççp + e ÷
dx
=
+

.ln
÷
ò p + e.2x
ø . Với
m e ln n çè e + p ÷
Câu 7. Biết 0
Tính tổng
A. 7.

m, n, p

là các số nguyên dương .

S = m +n + p
B. 6.

C. 8.

D. 5.

Lời giải
Chọn A
1
1
x
4
æ3
ö
d ( p + e.2 x )
px3 + 2 x + e.x3 .2 x

2
x
1
÷
÷dx =
dx = òççx +
+
x
x÷
ò
çè
÷
p
+
e
.2
p
+
e
.2
4
eln 2 ò
p + e.2 x
ø
Ta có: 0
0
0
0
1

1

1
æ e ÷
ö
1
1
1
1
p + 2e 1
1
= +
ln p + e.2 x = +
.ln
= +
.ln çç1 +
.
÷
0
ø
4 e ln 2
4 e ln 2 p + e 4 e ln 2 çè p + e ÷

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 5 Mã đề


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

ìï m = 4
ïï
í n = 2 Þ m +n + p = 7
ïï
Vậy ïïî p = 1
.
1

Câu 8.

Cho hàm số

f ( x)

liên tục và có đạo hàm cấp hai trên

[ 0;1]

ò x . f ¢¢( x) dx =12
2

thỏa

0

và

1

2 f ( 1) - f ¢( 1) =- 2 . Tính
A. 10 .

ò f ( x) dx
0

B. 14 .

C.

8.

5.

D.

Lời giải
Chọn D

ìï u = x 2
ï
Þ
í
Đặt ïïî dv = f ¢¢( x) dx

ìï du = 2 xdx
1
ïí

I = x 2 . f ¢( x ) 0
ï
¢
îï v = f ( x ) . Khi đó

ìï u = 2 x
ïí
Þ
ï
¢
dv
=
f
x
dx
(
)
Đặt îï

ìï du = 2dx
ïí
ïï v = f ( x ) . Suy ra
î
1

ò 2 x. f ¢( x) dx .
0

1

1

ò 2 x. f ¢( x) dx = 2 x. f ( x) - ò 2 f ( x) dx
0

0

0

1

12 = f ¢( 1) - 2 f ( 1) + 2 ò f ( x) dx Û

Câu 9.

1

1

Do đó
0
Cho hàm số thỏa mãn và Tính
A. 1.
B. 11.

ò f ( x) dx = 5
0

C. .

D. .

Lời giải
Chọn A
Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần.
Từ giả thiết đề cho, Đặt
Khi đó:
Suy ra
Câu 10. Cho hàm số

I=

f ( x)

liên tục trên

¡

và thỏa mãn

f ( − x ) + 2018 f ( x ) = x sin x.

π
2

∫ f ( x ) dx

−π
2

2
A. 2019 .

1
B. 2019 .

1
C. 1009 .

1
D. 2018 .

Lời giải
Chọn A
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 6 Mã đề

Tính


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

Đặt

t = − x ⇒ dt = − dx

−π
2

π
2

π
2

−π
2

I = − ∫ f ( − t ) dt =

2019.I =
Suy ra

⇒I=

⇒ x=

−π
π
⇒t=
2
2;

⇒ x=

π
−π
⇒t=

2
2

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

∫ f ( − x ) dx

π
2

π
2

π
2

−π
2

−π
2

−π
2

∫ f ( − x ) dx + 2018. ∫ f ( x ) dx = ∫ x sin xdx = 2

2
2019

Câu 11. Cho hàm số

f ( x)

xác định trên khoảng

( 0; +∞ ) \ { e}

thỏa mãn

f ′ ( x) =

1
x ( ln x − 1) ,

1
 1
2
f  2 ÷ = ln 6
f
+ f ( e3 )

÷
f
e
=
3
và
. Giá trị của biểu thức  e 
bằng

e 

( )

A.

3 ( ln 2 + 1) .

B.

2ln 2 .

C.

3ln 2 + 1 .

D.

ln 2 + 3 .

Lời giải
Chọn A

Ta có:
•

f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫

Trường hợp 1:

d ( ln x − 1)
1
dx = ∫
= ln ln x − 1 + C
x ( ln x − 1)
ln x − 1
với x ∈ ( 0; +∞ ) \ { e} .

ln x − 1 > 0 ⇔ ln x > 1 ⇔ x > e

⇒ f ( x ) = ln ( ln x − 1) + C1 , f ( e2 ) = 3 ⇔ C1 = 3 ⇒ f ( x ) = ln ( ln x − 1) + 3 .
f ( e3 ) = ln ( ln e3 − 1) + 3 = 3 + ln 2 .
•

Trường hợp 2:

ln x − 1 < 0 ⇔ ln x < 1 ⇔ 0 < x < e

1
f  2 ÷ = ln 6 ⇔ ln 3 + C2 = ln 6 ⇔ C2 = ln 6 − ln 3 = ln 2
⇒ f ( x ) = ln ( 1 − ln x ) + C2 ,  e 
.

⇒ f ( x ) = ln ( 1 − ln x ) + ln 2

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 7 Mã đề

CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

1
 1

f  ÷ = ln  1 − ln ÷ + ln 2 = 2 ln 2
.
e
 e

 1
f  ÷ + f ( e2 ) = 2ln 2 + 3 + ln 2 = 3 ( ln 2 + 1)
Vậy  e 
.
Câu 12. Cho hàm số

y = f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên.

( )

Biết rằng đồ thị hàm số y = f x tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ
thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là

A.

−4.

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D.

4.

Chọn A
Ta có

f ′ ( x ) = ax ( x + 2 )

mà

f ′ ( − 1) = − 3 ⇒ a = 3 ⇒ f ′ ( x ) = 3x 2 + 6 x ⇒ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = x3 + 3x 2 + C .
 f ( x0 ) = 0
 x = −2
⇔ 0
⇒ f ( x ) = x3 + 3x2 − 4

C = −4
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 < 0 ) suy ra  f ′ ( x0 ) = 0
.
Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là
Câu 13 Cho

y = f ( x)

là hàm số chẵn, liên tục trên
1
2

I = 10 .

¡

. Biết đồ thị hàm số

y = f ( x ) đi

qua điểm

0

 1 
M  − ;4 ÷ ∫ f ( t ) dt = 3
. Tính
 2  và 0
A.

−4.

B.

∫ sin 2 x. f ′ ( sin x ) dx

−

π
6

I = −2 .

C.

I = 1.

D.

I = − 1.

Lời giải
Chọn B

Đặt

sin x = t ; đổi cận

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

x= −

π
1
⇒ t = − ;x = 0⇒ t = 0

6
2
Trang 8 Mã đề


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

I=

0

0

π
6

−

∫ sin 2 x. f ′ ( sin x ) dx = ∫ 2t. f ′ ( t ) dt

−

 2t = u
⇔

Đặt  f ′ ( t ) dt = dv

1
2

.
0

 2dt = du I = ( 2t. f ( t ) ) |0 1 − 2 f ( t ) dt
∫1
−

2
f
t
=
v
−
 ( )
2
1
2

0

y = f ( x)

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

là hàm số chẵn:

∫ 2 f ( t ) dt = ∫ 2 f ( t ) dt = 2.3 = 6
1
2

−

0

 1   1
M  − ;4 ÷ f  − ÷ = 4
Đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm
 2  :  2
1
2

 −1  −1  
I = ( 2t. f ( t ) ) |0 1 − ∫ 2 f ( t ) dt = ( 2t. f ( t ) ) |0 1 − 3 = 2.0. f ( 0 ) −  2. . f  ÷÷ − 6 = 4 − 6 = − 2
−
−
 2  2 
2
2
0
2

Câu 14. Cho hàm số
bằng
A.

f ( x)

thỏa mãn

f ( 2) = 2 .

B.

∫ f ′ ( x ) .ln  f ( x )  dx = 1 và f ( 1) = 1 , f ( 2) > 1 . Giá trị của f ( 2)
1

f ( 2) = 3 .

f ( 2) = e .

C.

D.

f ( 2 ) = e2 .

Lời giải
Chọn C


f ′ ( x)
du =
dx

u = ln  f ( x )  ⇒ 
f ( x)

v = f x
( )
Đặt  dv = f ′ ( x ) dx

.

2

Khi đó,

2

2

∫ f ′ ( x ) .ln  f ( x )  dx = f ( x ) .ln  f ( x )  − ∫ f ′ ( x ) dx
1

1

1

⇔ 1 = f ( 2 ) .ln  f ( 2 )  − f ( 1) .ln  f ( 1)  −  f ( 2 ) − f ( 1) 
f ( 1) = 1

⇒ f ( 2 ) .ln  f ( 2 )  = f ( 2 )

f ( 2) > 1

⇒ ln  f ( 2 )  = 1 ⇔ f ( 2 ) = e .

Câu 15. Cho hàm số
A.

f ( x)

2

4

0

0

f ( x ) dx = 3
f ′ ( x ) dx
∫
∫
f
2
=
2
(
)
thỏa mãn
và
. Tính

I =2.

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

B.

I =3 .

C.

I =5 .

D.

I =1 .
Trang 9 Mã đề


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

Lời giải
Chọn A
4

∫ f ′ ( x ) dx .

Xét tích phân
Đặt

0

x = t ⇔ x = t 2 ⇒ dx = 2tdt .

Đổi cận: Khi

x = 4 ⇒ t = 2 ; Khi x = 0

4

Khi đó

I = ∫ f′
0

thì

t = 0.

2

( x ) dx = ∫ 2tf ′ ( t ) dt .

 u = 2t
⇒

Đặt  f ′ ( t ) dt=dv

0

4
 du = 2dt
I = ∫ f′

 f ( t ) = v . Ta có

0

2

( x ) dx = ∫ 2tf ′ ( t ) dt = 2tf ( t )
0

2
0

2

− 2 ∫ f ( t ) dt
0

2

= 4 f ( 2) - 2ò f ( x ) dx = 4.2 - 2.3 = 2
0

.
3

Câu 16. Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên

¡

và thỏa

f ( 4 − x ) = f ( x ) . Biết

∫ xf ( x ) dx = 5 .
1

3

Tính

∫ f ( x ) dx .
1

5
A. 2 .

7
B. 2 .

9
C. 2 .

11
D. 2 .

Lời giải
Chọn A

Ta có

3

3

1

1

5 = ∫ xf ( x ) dx = ∫ xf ( 4 − x ) dx.

ïìï x = 4 - t
ïï
dx =- dt
t = 4 - x Þ ïí
ïï x = 1; t = 3
ïï
Đặt
ïî x = 3; t =1 .
3

1

3

3

3

1

3

1

1

1

xf ( 4 − x ) dx = − ∫ ( 4 − t ) f ( t ) dx = ∫ ( 4 − t ) f ( t ) dx = ∫ 4 f ( t ) dt − ∫ tf ( t ) dt
∫
Do đó
3

3

3

3

5
5
5 = ∫ 4 f ( t ) dt − 5 ⇒ 4 ∫ f ( t ) dt = 10 ⇒ ∫ f ( t ) dt =
f
x
d
x
=
(

)
2 hay ∫1
2.
Suy ra
1
1
1

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 10 Mã đề


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG
1

Câu 17. Cho hàm số

f ( x)

x  f ′ ( x ) − 2  dx = f ( 1)
∫
và thỏa mãn
. Giá

có đạo hàm và liên tục trên [ 0;1]

0

1

trị của

I = ∫ f ( x ) dx
0

bằng

A. 1 .

B.

2.

C.

− 1.

D.

−2.

Lời giải
Chọn C

 u = x


Đặt  dv =  f ′ ( x ) − 2  dx ta có

 du = dx

 v = f ( x ) − 2 x .

1

1

f ( 1) = ∫ x  f ′ ( x ) − 2  dx = x  f ( x ) − 2 x  − ∫  f ( x ) − 2 x  dx = f ( 1) − 2 − I + 1
0

Khi đó
Suy ra

1

0

0

.

I = − 1.
1

Câu 18. Cho hàm số

f ( x)

có đạo hàm và liên tục trên

[ 0;1] thỏa mãn

ò x ( f ¢( x) - 4)dx = f ( 1) . Giá trị
0

1

của

I = ò f ( x)dx
0

bằng

A. 0.

B.

- 2.

C.

- 1.

D. 2.

Lời giải

Chọn B

ìï u = x
ïí
Þ
ï
(
)
¢
(
)
d
v
=
f
x
4
d
x
Đặt ïî

ïìï du = dx
í
îïï v = f ( x) - 4 x

1

Khi đó
Suy ra

1

1

f ( 1) = ∫ x  f ′ ( x ) − 4 dx = x  f ( x ) − 4 x  − ∫  f ( x ) − 4 x  dx = f ( 1) − 4 − I + 2
0
0

0

.

I =- 2 .
1

Câu 19. Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

¡

thỏa

ò( x +1) f ¢( x) dx =10và
0

2 f( 1) -

( 0) = 2 . Tính

1

I = ò f ( x) dx
0

A. I

.

=- 12 .

B. I

= 8.

C. I

= 12.

D. I

=- 8 .

Lời giải
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 11 Mã đề

CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

Chọn D

ìï u = x +1
ïí
Þ
Đặt ïïî dv = f ¢( x) dx

ìï du = dx
ïí
ïïî v = f ( x) .

1

Khi đó

ò( x +1) f ¢( x) dx =10 Û ( x +1) f ( x)

Suy ra

I =- 8 .

1

1

-

0

0

ò f ( x) dx =10 Û 2 f( 1) - ( 0) 0

2

Câu 20. Biết rằng hàm số y =
A. I

f ( x)

= 13 .

liên tục trên

B. I

¡

thỏa

f ( 2 ) = 16; ∫ f ( x ) dx = 4.

= 12 .

0

C. I

= 20 .

I = 10 .

1

Tính

D. I

I = ∫ xf ′ ( 2 x ) dx
0

=7.

Lời giải
Chọn D

 u = x
⇒

dv = f ′ ( 2 x ) dx


Đặt

 du = dx

 1
 v = 2 f ( 2 x )
1

1

1

1

1
1
1
A = ∫ f ( 2 x ) dx
I = ∫ xf ′ ( 2 x ) dx = xf ( 2 x ) − ∫ f ( 2 x ) dx = 8 − A
2
2
2
Ta có:
với
.
0
0
0
0
1

2

2

1
1
t = 2 x ⇒ dt = 2dx ⇒ A = ∫ f ( 2 x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx =2.
20
20
Đặt
0

1
I = 8 − A = 7.
Vậy
2
Câu 21. Cho

hàm

số

f ( x)

liên

tục

trên

đoạn

[ 0;1]

thỏa

mãn

điều

1

f ( x ) + 2 f ( 1 − x ) = 3x − 6 x, ∀ x ∈ [ 0;1] . Tính
2

A.

I=

4
15 .

B.

I = 1.

I = ∫ f ( 1 − x 2 ) dx
0

C.

I=−

2
15 .

D.

I=

2
15 .

Lời giải
Chọn C
Đặt

t = 1 − x, ∀ x ∈ [ 0;1] ⇒ t ∈ [ 0;1]

Ta có

.

f ( x ) + 2 f ( 1 − x ) = 3x 2 − 6 x ⇔ f ( x ) + 2 f ( 1 − x ) = 3 ( 1 − x ) − 3

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

2

Trang 12 Mã đề

kiện


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).

Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

⇔ f ( 1 − t ) + 2 f ( t ) = 3t 2 − 3 ⇔ 2 f ( x ) + f ( 1 − x ) = 3x 2 − 3
Ta có hệ phương trình

 f ( x ) + 2 f ( 1 − x ) = 3 x 2 − 6 x  f ( x ) + 2 f ( 1 − x ) = 3x 2 − 6 x
⇔

2
2
2 f ( x ) + f ( 1 − x ) = 3x − 3
4 f ( x ) + 2 f ( 1 − x ) = 6 x − 6
⇔ 3 f ( x ) = 3x2 + 6 x − 6 ⇔ f ( x ) = x 2 + 2 x − 2

f ( 1 − x2 ) = ( 1 − x2 ) + 2 ( 1 − x 2 ) − 2 = x 4 − 4 x 2 + 1
2

Khi đó

1

1

I = ∫ f ( 1 − x ) dx = ∫ ( x 4 − 4 x 2 + 1) dx = −

2

Suy ra

0

0

y = f ( x)

Câu 22. Cho hàm số

I=

liên tục với mọi

2
15 .

x≠1

 x + 1
f
÷ = x + 3, x ≠ 1 . Tính
thỏa mãn
 x −1

e +1

∫ f ( x ) dx .

2

A.

I = 4e − 1 .

B.

I = e+ 2.

C.

I = 4e − 2 .

D.

I = e+ 3.

Lời giải
Chọn C

Đặt

t=

Ta có

x+1
t+1
t +1

2
2
⇔ xt − t = x + 1 ⇒ x =
f ( t) =
+ 3= 4+
f ( x) = 4 +
x−1
t − 1 , suy ra
t −1
t − 1 hay
x−1

I=

e +1



2 

∫  4 + x − 1 ÷ dx = ( 4 x + 2ln x − 1 )
2

e +1
2

= 4e − 2

.

 1
f ( x ) + 2 f  ÷ = 3 x, x ≠ 0
Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục với mọi x ≠ 0 thỏa mãn
. Tính
 x
I=

2

∫

1
2

A.

f ( x)
dx
x

I=

.

3
2.

B.

I=

9
2.

C.

I=

1
2.

D.

I=

4
3.

Lời giải
Chọn A

 1
f ( x ) + 2 f  ÷ = 3x, x ≠ 0 ( 1)
.
 x
3
 1
f  ÷ + 2 f ( x ) = , x ≠ 0 ( 2)
Nên  x 
.

x
Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 13 Mã đề


CHUYÊN ĐỀ- TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TÀI LIỆU SƯU TẦM).



Dùng tham kh ảo ôn thi THPTQG

1  3
÷ =
 x  x

( 1) , ( 2 ) ⇒ 3  f ( x ) + f 


1
 1
⇒ f ( x ) + f  ÷ = x + ( 3)
.
x
 x

( 2 ) , ( 3) ⇒ f ( x ) = − x +
⇒I=

2

∫

1
2

2
x.

2
2
2
3


dx = ∫  − 1 + 2 ÷dx =  − x − ÷ 1 =
x
x
2
x 

1
2

f ( x)

2

2

Chịu trách nhiệm : Quý Bắc Ninh !
TPHA

Trang 14 Mã đề