Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định

NGUYỄN THẾ HOÀN - PHẠM PHU

Cơ SỞ
PHIÍƠNG T R ÌN H V I PH Â N
\J ầ

(Tái bản lần thứ sáu)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
VIỆT
NAM
■
■



LÒI NÓI ĐẰU
C ủ n g n h ư các m ò n khoa, h ọ c k h á c , p h ư ơ n g t r i n h vi

/h à n x u ã t h iện trên cơ sỏ p h á t triền cùa kh oa học, k i
tiu ặ t và n h ữ n g yêu cầu d ò i hỏi của thực tế. Dã cỏ
ì h ữ n g tà i liệ u , g i ả o t r i n h d'ê c ậ p đ ế n n h ữ n g b à i to á n
a học, v ậ t lý d ẫ n d ế n sự n g h i ê n c ứ u các p h ư ơ n g t r i n h

V p h à n tương ứng. Ỏ d â y c h ú n g tôi m u ố n giói thiệu
un b ạ n dọc m ộ t v í d ụ vẽ m ộ t ứ n g d ụ n g c ủ a p h ư ơ n g
tì n h vi p h ồ n

tr o n g s i n h hoe. G iả s ử ta c ò n n g h i ê n

ctu s ự p h á t tr iể n c ù a m ộ t q u ả n thề. Gọi x ít) lờ m ậ t
.
.
•
rìx
CƯ) của quán th ể ỏ thời d i e m t, x(t) = — là tốc d ộ
p i ả t tr iể n c ủ a q u â n th ể. Tọi m ỗ i th ờ i d i ể m t, tốc đ ộ

pi.át triển nói ch u n g ti lệ với s ố lượng của quàn th ề
tie ỉa với m ậ t d ộ cùa 11Ó : X = h(t)x (chằng hạn, s ố
h ọ n g c à n g n h i ề u c à n g l à m con). N h ư n g tạ i m ỗ i th ờ i
d ể m t m ộ t sô con v ậ t củ a q u à n t h ề c ũ n g c h ế t d i (do

btĩih tậ t hoặc bị các loài khác ăn thịt). Vờ s ố lượng

CƠI vật "chết di" này cũng ti lệ vói m ậ t độ của quần
tỉể. D o d ó tôc d ộ p h á t tr iể n c ủ a q u ầ n t h ề d ư ợ c v iế t
một cách c h í n h x á c h ơ n d ư ớ i d ạ n g
X = x(k(t) - h(t)x)

(*)

Đ ại lượng k(t) - huIX dược gọi là tốc d ộ p h á t triển
rung của q u ầ n thề. Nếu q u à n th ể p h á t triển chưa dén


, -mức tới hạn (chàng h ạ n m ô i t r ư ờ n g còn c u n g c á p d à y
d ủ th ứ c ă n c h o q u ầ n th ể ) t h ì tốc đ ộ p h á t t r i ể n r i ê n g
k ( t) - h (t)x > 0. N ế u q u ầ n t h ể p h á t tr iể n q u ả m ứ c tó i

h ạ n t h ì k ( t) -

h ( t) x <

0 (c h ả n g h ạ n d o m ô i tr ư ờ n g

k h ô n g t h ể c u n g cắ p d ầ y đ ủ t h ứ c ăn).
P h ư ơ n g t r ì n h (*) là m ộ t p h ư ơ n g t r ì n h v i p h ả n c á p
m ộ t v à t h ư ờ n g d ư ợ c g ọ i là p h ư ơ n g t r ì n h lo g i s t ic . V iệc
n g h i ê n c ứ u p h ư ơ n g t r ì n h (*) có m ộ t ý n g h í a q u a n tr ọ n g
t r o n g s i n h t h á i học.
T h ờ i g i a n q u a ở t r o n g n ư ớ c ta d ã x u á t h i ệ n m ộ t
s ố g iá o t r ì n h p h ư ơ n g t r ì n h vi p h ả n (xem [1], [2]). N h ư n g
các g i ả o t r ì n h n à y i n d ã lả u v à có h ạ n n ê n h i ệ n n a y
t r ê n t h ị t r ư ờ n g k h ô n g cò n n ữ a . Đ ề d á p ứ n g n h u c ầ u
b ạ n d ọ c , n h á t là d ố i v ó i t ầ n g lớ p s i n h v i ê n , c h ú n g tô i
v i ế t g i á o t r ì n h n à y n h à m c u n g cáp tư ơ n g d ố i d ầ y đ ủ
n h ữ n g k i ế n th ứ c cơ b ả n c ủ a l í t h u y ế t cơ sỏ p h ư ơ n g
t r ì n h v i p h ả n v à d i s â u h ơ n , n h ữ n g k i ế n t h ứ c cơ b ả n
của lí th u y ế t ổn d ịn h n g h iệ m p h ư ơ n g tr ìn h vi p h ả n .

Chư ơng I và chương II của p h ầ n m ộ t chủ y ế u tr ìn h
b à y các p h ư ơ n g p h á p g i ả i p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n c á p
m ộ t c ủ n g n h ư cách tìm n g h iệ m k ì d ị và q u ỹ d ạ o d à n g
g iá c . C h ư ơ n g I I I g i ó i th i ệ u m ộ t s ố p h ư ơ n g t r ì n h vi
p h â n cáp n có t h ể g i ả i đ ư ợ c h o ặ c h ạ t h á p c á p d ư ợ c.
C h ư ơ n g I V t r ì n h b à y l í t h u y ế t tổ n g q u á t c ủ a p h ư ơ n g
t r ì n h tu y ế n t í n h c á p n v à từ d ó s u y r a c á u t r ú c n g h i ệ m
t ổ n g q u á t c ủ a ló p p h ư ơ n g t r ì n h n à y .
Chương

V c h ỉ ra m ộ t số p h ư ơ n g

trìn h

vi p h ả n

t u y ế n tính, c á p n m à đ ố i vói c h ú n g , ta có t h ể x â y d ự n g

4


dược nghiệm tồng quát bàng một biểu thức tường minh.
Cũng ỏ chương này một ván d'ê nhỏ của lí thuyết dinh
tinh phương trình vi phân dược đ'ê cập đến. Đó Là
vấn đ'ê dao dộng nghiệm của phương trinh tuyến tính
thuần nhất cáp hai.
Phần dầu của chương Ví trinh bày phương pháp
giải hệ phương trinh vi phần và chứng m inh định lí
tôn tại, duy nhát nghiệm của bài toán Côsi. Nhờ sự
liên hệ giữa hệ n phương trinh vi phản cấp một với
một phương trình vi phản cấp n, từ dây suy ra định
Lý tòn tại và duy nhát nghiệm đối với phương trinh
vi phần cáp n dã phất biểu mà không chứng m inh ỏ
chương 111 . Phần tiếp theo của chương V I trinh bày
lí thuyết tổng quát vè hệ phương trinh vi phản tuyến
tính và từ đó suy ra cáu trúc nghiệm của chúng. Cuối
cũng , chi ra cách xây dựng nghiệm tồng quát dưới
biểu thức tường m inh của hệ phương trinh vi phàn
tuyến tính VỚI hệ số hằng.

Bắt dâu từ chương l phần h a i, chúng tôi muốn
giới thiệu dến bạn dọc một trong những phương hướng
cơ bàn cùa lí thuyết định tính phương trinh vi phân
có nhiêu ứng dụng trong thực tiễn. Đó là sự ổn định
của nghiệm, ơàn nói rang trong khuôn khổ một phần
của một cuốn sách chúng tôi không có tham vọng di
sâu và trinh bày đầy dừ lí thuyết ồn định mà chủ
yếu muốn giới thiệu vói bạn dọc những khái niệm cơ
bản nhát và một số kết quả kinh diền nhát của lí
thuyết này.


T r o n g lẩ n t ả i b ả n n à y ,

CUÔĨ I

sách đã được sử a chừa

k h á n h i ề u l ô i in á n v à m ộ t sô s a i s ó t v ề t í n h to á n .
C á c tá c g iá c h â n t h à n h c á m ơn T S . T r ị n h T u ả n A n h
và T h . s N g u y ễ n T r ọ n g H ả i đ ả có n h ữ n g n h ậ n x é t và
góp

ý

quý

báu

đ ể cu ô ìĩ

sách

hoàn

th iệ n

tố t hơn.

T u y n h iê n v ẫ n k h ô n g t h ể tr á n h k h ỏ i n h ữ n g sa i sót
t r o n g c á c h t r i n h b à y c u ô ìĩ s á c h . C h ú n g tô i r ấ t m o n g
n h ậ n được n h ữ n g góp ý x ả y d ự n g của b ạ n đọc g ầ n
xa. X i n c h â n t h à n h c ả m ơn tr ư ớ c .
T h ư t ừ x i n g ử i về đ ị a c h ỉ :
N h à x u ấ t b á n G iáo d ụ c V iệt N a m - 8 1 T r ầ n H ư n g Đ ạo H à N ội.

CÁC TÁC GIẢ

6


Plan một
Cơ s ỏ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

C hư ơng I

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂP MỘT

§1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẨU
l. Đ ị n h n g h ĩ a

P h ư ơ n g t r ì n h vi p h â n c ấ p m ộ t có d ạ n g t ổ n g quát. :

F(x, y, y’) = 0

(1.1)

tro ig đò hàm F xác định tro n g miền D c R 3.
N e u t r o n g m i ế n D, t ừ p h ư ơ n g t r ì n h ( 1 .1 ) t a có t h ể giải đ ư ợ c y ’ :

y ’ = f(x, y)

( 1 .2 )

t h ì t a đ ư ợ c p h ư ơ n g t r ì n h vi p h â n c ấ p m ộ t đ ã g iả i r a đ ạ o h à m .
tỉàni y =
đ ư - c gọi là
1) ( X,

( f i x ) x á c đ ị n h v à k h ả vi t r ê n

nghiệm

khoảng I =

c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (1.1) n ế u

’( x) ) E D

với

mọi

)) F ( x , f ( x ) ,
Ví dụ 1 P h ư ơ n g t r i n h

X

G I

(a,

b)


c ó n g h i ệ m l à h à m y = c e 2x x á c đ ị n h t r ê n k h o ả n g ( - 0° , +

00

) (c là

h ằ n g s ố t ù y ý).

V Í d ụ 2. P h ư ơ n g t r ì n h

y’ = 1 + y2

(1.3»

C ố t h ể k iể m t r a trự c tiếp h à m y =
c cố đ ị n h c ũ n g là n g h i ệ m

2 )'

^ — 7“ ,

CÓ n g h i ệ m l à h à m y = t g x x á c đ ị n h t r ê n k h o ả n g

t.g(x + c) v ớ i m ỗ i h ằ n g s ố

của phư ơng trìn h

(1.3) t r ê n

khoảng

xác định tư ơ n g ứng.

C h ú ý. N h i ề u k h i n g ư ờ i t a v i ế t p h ư ơ n g t r ì n h đ ã g i ả i r a đ ạ o
h à m dưới d ạ n g đối x ứ n g s a u

:

M (x, y )d x + N (x, y )d y

= 0

(1.4)

C h ú n g t a dễ d à n g t h ấ y sự t ư ơ n g đ ư ơ n g g iữ a c á c h v i ế t (1.2)
v à (1.4).

2.

Bài

to án

C ôsi.

Qua

ví d ụ

1 và

ví d ụ

2

ta

th ấy

c ấ p m ộ t là vô số. T ậ p

rằng

nghiệm

của phương trìn h

vi p h â n

hợp

nghiệm

của phương trìn h

vi p h â n c ấ p m ộ t p h ụ t h u ộ c v à o m ộ t

h ằ n g s ố t ù y ý c. T r o n g t h ự c t ế n g ư ờ i t a t h ư ờ n g q u a n t â m

đến

n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n c ấ p m ộ t t. h ỏ a m ã n n h ữ n g đ i é u
k iệ n n à o đấy. C h ẳ n g h ạ n t ì m n g h i ệ m y(x) c ủ a p h ư ơ n g t r i n h (1.1)
h ó ặ c (1.2) t h ỏ a m ã n đ iể u k iệ n

y<x o> -

yn

(1 5)

t r o n g đ ó x 0, y ) l à c á c s ố c h o t r ư ớ c .
Đ iề u k iệ n (1.5) đ ư ợ c gọi là đ ie u k iệ n b a n d ầ u . B à i t o á n t ì m
nghiệm

ban

đấu

của phương trìn h

(1.1) h o ặ c (1.2) t h ỏ a m ã n

kiện

( 1 . 5 ) đ ư ợ c g ọi l à b à i t o á n C ô si. S a u n à y c h ú n g t a s ẽ

t h ấ y với n h ữ n g đ i ể u k i ệ n n à o t h ì n g h i ệ m
tốn tại và duy n h ấ t.

8

điểu

của bài to án

c ỏ s i là


3.
hàm

Ý

n g h ía

h ìn h

h ọ c . Ta x é t p h ư ơ n g t r ì n h đ ã giải

(1.2). G iả s ử h à m f x á c đ ị n h

là n g h i ệ m c ủ a (1.2) x á c đ ị n h t r ê n
thị c ủ a


hàm

t r ê n m i ề n G c R 2, y =
khoảng I =

ra đạo

(f i x)

(a, b ) . K h i đ ố đổ

đường congtro n g G và

được

g ọi l à đ ư ờ n g c o n g t í c h p h â n .

G i ả s ử ( x 0, y 0) G G v à

y

=

y(x)

là

nghiệm

của

(1 .2 ) t h ỏ a m ã n đ i ể u k i ệ n
b a n đ ấ u y ( x Q) = y 0 . Với
n g h iệ m y(x) ta cò đ ư ờ n g
cong

tích

phân

tương

ứng.

H iển

nhiên

đường

c o n g n à y đi q u a đ i ể m (xơ y j .

Như

vậy,

bài

toán

Côsi

t ư ơ n g đ ư ơ n g với việc t ì m
đ ư ờ n g c o n g tích p h â n của
p h ư ơ n g t r ì n h ( 1 . 2 ) đi q u a
H ìn h ỉ

đ i ể m (x , y ) £ G c h o trư ớ c.
B â y giờ q u a m ỗi đ i ể m

(x, y) E G t a v ẽ m ộ t đ o ạ n t h ả n g cổ

h ệ s ô g ố c b ằ n g f(x, y ) . T ậ p h ợ p t ấ t c ả c á c đ o ạ n t h ẳ n g n h ư v ậ y
s ẽ l ậ p n ê n m ộ t t r ư ờ n g h ư ớ n g t r o n g G. T ừ ý n g h ĩ a h ỉ n h h ọ c c ủ a
đạo h à m

ta suy ra r ằ n g tại m ỗi đ iểm

c ủ a nó, đ ư ờ n g c o n g tích

p h â n c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (1.2) t iế p x ú c với đ o ạ n t h ẳ n g c ủ a t r ư ờ n g
hướng.

D o đ ố việc t ìm

nghiệm

c ủ a (1.2) t ư ơ n g đ ư ơ n g với việc

tìm t r o n g G m ộ t đ ư ờ n g c o n g sa o ch o tạ i m ỗ i đ iể m c ủ a nổ, đ ư ờ n g
c o n g t i ế p x ú c với đ o ạ n t h ẳ n g c ủ a t r ư ờ n g h ư ớ n g .

§2. S ự T Ồ N TẠI VÀ D U Y N H Ấ T N G H IỆ M
C Ủ A BÀI T O Á N C Ô SI
X ét p h ư ơ n g trìn h

y ’ = f(x, y)

(2.1
9


f xác định tro n g m iền G c R 2. Trong p h á n này t a sẽ chi ra các
điều kiện m à f th ỏ a m ã n đ ể bài to á n Côsi ứ ng với p h ư ơ n g t r ỉ n h
(2.1) cổ nghiệm duy nh ất.
1. Đ i ề u k i ệ n

L i p s i t . Ta n ó i r ằ n g , t r o n g m i ề n G h à m f(x, y)

thỏa m ãn d i ề u k i ệ n L i p s i t theo biến y nếu tổn tại h ằn g số L > 0
s a o c h o đối với h a i đ i ể m (x, ỹ) E G, (x, ỹ) E

G b ấ t kì, t a có

b ấ t đ ản g thứ c
|f(x, ỹ) -

f(x, ỹ ) |

<

L |ỹ - y |

(2.2)

N h ậ n xét. Điều kiện Lipsit sẽ được thỏa m ã n n ế u t r o n g mien G
hàm f

có đ ạ o h à m r i ê n g

t h e o y giớ i n ộ i :

|fy’(x > y)l

=5 M , V(x, y) e

G.

T h ậ t vậy, theo công th ứ c L a g ra n g e t a cò

|f(x, ỹ) - f(x, y ) I = |fy’(x, ỹ + ớ(ỹ - ỹ))(y - ỹ ) |

í

Ế

M |ỹ - ỹ|

với mọi (x, ỹ), (x, ỹ) e G. Điểu ngược lại, nói c h u n g khô ng đúng,
c h ả n g h ạ n h à m f(x, y) =

llyl
nhưng

|y |

-

t h ỏ a m ã n đ i ể u k i ệ n L i p s i t vì

|ỹ II « |y - ỹ|

n đ k h ô n g c d đ ạ o h à m t ạ i y = 0.

2 . D á y x ấ p xỉ P i c a r . B â y giờ t a g i á t h i ế t h à m

f(x, y) li ê n

tục tro n g m iền G ; (xQ, yQ) là điểm tro n g của G. Chọn các số
dương a, b sao cho hình chữ n h ậ t

X

- x0 | í

a

Q =
|y - y Ql « b
^ ì
ch ứ a tro n g G. Đ ặ t M = m a x | f ( x , y ) | . Kỉ hiệu h = m in Ir a , jjjj.
10


rI ầ x â y d ự n g d ã y n g h i ệ m x ấ p xỉ c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h ( 2 . 1 ) n h ư

sau :
y„(x) = y D>

yj(x) = y a + f ỉ(r, y0(T))dr, X G [x0 - h, xo + h]
X

o

X

y„<x > = y n + /
X

f (r > y n - i ( ĩ ) ) d r , X G

[xQ -

h, x o + h]

o

D ã y {yn(x)} x á c đ ị n h n h ư t r ê n đ ư ợ c gọi là d ã y x á p xi P ic a r.
T a c h ứ n g m i n h r ằ n g khi X biế n t h i ê n t r ê n [x Q - h, X

+ h] thì

(x, y n( x ) ) G Q v ớ i m ọ i n = 0, 1, 2, ... v à d o đ ố d ã y {yn (x)} đ ư ợ c
x á c đ ịn h . T h ậ t vậy, đ iề u n à y rõ r à n g đ ú n g với n

=

0. G i ả s ử

t a có (x, y n_ j ( x ) ) E G k h i X G [x0 - h, XQ + h]. K h i đ đ cổ t h ể
xây dự ng
X

y n(x )

=

y0 + /

f (r ’ y n - i ( r ) ) d r

x o

oI
X

- y Dl ^

I/

X

l f(r > y n - i W ) |d ^ l

* M |/d r|

Xo

= M x - X I ^ Mh
1
°'

Xo

b
^ M . — =
M

b

t ứ c là (x, y n(x)) E G khi X E [xo - h, XQ + h].

3. D ị n h lý C ô s i
Giả

- P i c a r (Định lí tổn tại và duy n h ấ t nghiệm).

sử h à m f th ỏ a

m ã n các điều kiện sau đây :

a) f l i ê n t ụ c t r o n g m i ề n G ;
b) f t h ỏ a m ã n đ i é u k i ệ n L i p s i t t h e o y t r o n g G .
11


K h i đ ó ứ n g v ớ i m ỗ i đ i ể m t r o n g ( x Q, y Q) E G t ồ n t ạ i d u y n h ấ t

m ộ t n g h iệ m y = y(x) c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1) t h ỏ a m ã n đ iề u kiện
b a n đ ẩ u y(x ) =
X

y Q. N g h i ệ m n à y x á c đ ị n h t r ê n

+ h], t r o n g đ đ

h được xác định

đ o ạ n [XQ -

h,

n h ư ở p h ầ n xây d ự n g dãy

x ấ p xỉ P ic a r.

C h ứ n g m i n h . T a x é t d ã y x ấ p xỉ P i c a r { y n, ( x ) } đ ã x â y d ự n g
ở t r ê n . Vì (x, y n ( x ) ) 6

G, n =

0, 1, 2, ... v à f l i ê n t ụ c n ê n c á c

h à m y n (x) l i ê n t ụ c v à k h ả vi t r ê n [xQ - h , XQ + h ] . D ễ d à n g t h ấ y
y n( x Q) = y Q, n =

1, 2 , ... B â y g i ờ t a c h ứ n g m i n h r ằ n g y n(x) h ộ i

t ụ đ ề u t r ê n [xQ - h, XQ + h]. T r ê n đ o ạ n [x Q - h, XQ + h ] t a có
X

|yj(x) - y Q(x) I = I f f(T, yG) d r I < M | x - XQ|,
X

o

X

|y2(x) - yj(x)| = I f [f(r, yj(T)) - f(r, y0(ĩ))]dr
X

o

X

*

I /
X

| f ( T> y i ( r ) ) -

f ( r > y 0( ^ ) I d r

o
X

< L I/

X

|yi(ĩ) - ya(ĩ) Idr I « L I / M |t - x j d r
ML .

2!

x_ — x l 2

1°

T a c h ứ n g m i n h r ằ n g , khi X E

[xQ - h, XQ + h] thì

MLn - 1
| y nw

- y n -!<*)

T h ậ t vậy, với n =
đ ú n g với n. K h i đ ổ

n!

1, 2 t a đ ã k i ể m

X — Xo n

(2.3)

t r a ở t r ê n . G i ả s ử (2.3)


*

x
L 1 1 lyn(r ) - y p - i W I d r | ^
x0

=

MLn x
1 lr - xo l n d r =
*0

M L " IY
, _ Y n +,„1 + 1
( n + 1)! 1
ol

t ứ c l à b ấ t đ ẳ n g t h ứ c ( 2 . 3 ) đ ú n g v ớ i n + 1. v ì ( 2 . 3 ) đ ú n g k h i
| x - x Q| ^

h n ê n t a đi đ ế n đ á n h g i á s a u đ â y :

| y n( x )

■ y n- i ( x ) l e

X e [ x 0 - h, XQ + h ] ,

MLn_ 1
“ Ị— h "
n = 1, 2,

(2.4)
...

X ét chuỗi h àm

y0(x) + (yi(x) - yQ(x)) + ... + (yn(x) - y n_!(x)) + ... (2.5)

Do (2.4) t a suy r a rằng, giá trị tu y ệ t đối của số h ạ n g tổ n g
quát của chuỗi (2.5) trên đoạn [xQ - h, XQ + h] không vượt quá
00 M L n ~ 1
sổ h ạ n g t ổ n g q u á t c ủ a c h u ỗ i d ư ơ n g hội t ụ ^ ------ j— h n.
n= 1

Bởi vậy, theo tiêu ch u ẩ n Vâyơstrass chuỗi (2.5) hội tụ đều
trên

[xQ -

h, XQ + h] đ ế n h à m y ( x ) . D ễ t h ấ y r ằ n g , t ổ n g r i ê n g

S n(x) c ủ a chuỗi (2.5) là yn(x) và do đđ t a đã c hứ n g m in h
y n(x) ^

y ( x ) t r ê n [x Q - h, XQ + h].

Vì
y n( x )

=

ya + f

f (T> y n - i W ) d r

<2 -6 )

x_o

và h à m f liên tục t r ê n G n ên t r o n g đ ẳ n g th ứ c (2.6) t a cđ t h ể
chuyển qua giới hạn khi n —* 00 dưới dấu tích phân. Kết quả ta được
X

y(*>

=

yQ + /
X

f (T’ y ( * ) ) d ĩ
o

( 2 -? )


Vì s ự hội t ụ c ủ a d ã y {yn(x)} là đ ể u t r ê n đ o ạ n [xQ - h, XQ + h]

nên hàm giới hạn y(x) liên tục trên đoạn [xQ - h, XQ + h]. Đẳng
th ứ c (2.7) v à sự liên tụ c c ủ a h à m f ch o t a k h ả n g đ ịn h đ ư ợ c r ằ n g
y(x) là h à m

k h ả vi t r ê n

[ x () - h ,

XQ

+ h]. L ấ y đ ạ o h à m

hai vế

c ủ a (2 .7 ) t a cổ

y ’(x) = f(x, y ( x ) ) , X G [x Q - h, XQ + h]
H i ể n n h i ê n y ( x Q) = y . V ậ y y ( x ) l à n g h i ệ m c ủ a b à i t o á n C ô s i

x á c đ ị n h t r ê n đ o ạ n [x() - h, x () + h].
B â y giờ t a c h ứ n g m i n h r à n g n g h i ệ m n à y là d u y n h ấ t . G iả s ử
c òn có n g h i ệ m ỹ(x) c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1) x á c đ ị n h t r ê n k h o ả n g

[xQ - h ’, XQ + h ’] t h ỏ a m ã n đ i ề u
ỹ ’(x) = f(x, ỹ (x ) )

k i ệ n b a n đ ẩ u ỹ ( x o) =

y C).K h i

đó

t r ê n [ x Q - h \ XQ + h ’]

T í c h p h â n đ ổ n g n h ấ t t h ứ c n à y với X E [ x o - h ’, XQ + h ’] t a có
X

ỹ (x)

= ya + I

X

Đ ặt ố

f ( T> ỹ ( r ) ) d r

( 2 -8 )

o

— m i n { h ’, h} v à x é t

đ o ạ n [x Q - ỗ, XQ + ỗ]. T r ừ (2 .8 )

các đ ẳ n g th ứ c

(2.6), (2 .8 ) t r ê n

cho (2.6) t a đ ư ợ c

X

ỹ (x ) -

y n( x ) =

/
X

[ f (r > ỹ ( r ) )

-

f (r > y n - i ( r ) ) l d r

o

Ta c h ứ n g m in h rằ n g
MLn

|y(x) - y n(x)l « (n + i j j ổn + 1

(2'9)

n = 0, 1, 2, ...

^ T h ậ t v ậ y , với n =

0 t a có
X

|ỹ (x )

-

y Q( x ) l

=

lỹ (x ) -

y Ql

=

I /
X

^ Mix -x„ I ^ Mỗ
14

f ( T> ỹ ( T) ) d r
o


Tương tự như trên ta chứng minh được rằng
|y(x) -

yj(x)|

ML
Sỉ ~ ỵ

xD 2

X -

MLn
lỹ(x) " y n(x)l

X

86 ( f r i j !

-

n + 1

XG

Do đ ó
X

|ỹ (x ) -

y n + 1( x ) |

=

I / [f(r, ỹ(T )) -

f(r, y n( r ) ) ] d r

X
o

M L n + 1 . xr ,
-----------í r - x
n + 1dr
( n + 1)! I J 1

ol

MLn + 1
= -----------(n + 2 )!

X_
o

*

MLn + l

,

§ T 2 j!

á

(210>

00
Ln
Vì c h u ỗ i M V - —
n = 0

+ 1 kội tụ

nên

số h ạ n g t ổ n g

quát

'

c ủ a n ó d ấ n tớ i 0 k h i n —» 00 . T ừ ( 2 . 1 0 ) t a s u y r a
l i m y n(x) = ỹ ( x ) ,

X

G [ x ơ - ổ,

XQ

+ ỗ]

n —» 00

D o t í n h d u y n h ấ t c ủ a g i ớ i h ạ n t a đi đ ế n k ế t l u ậ n

ỹ ( x ) = y(x).
Đ ị n h lý đ ã đ ư ợ c c h ứ n g m i n h .

Hệ

9f*

quả. G iả sử h à m f liê n t ụ c c ù n g với đ ạ o h à m r i ê n g —

3y

t r o n g m i ề n G . K h i đ ổ q u a m ỗ i đ i ể m t r o n g ( x 0 , y Q) E G c d m ộ t
v à c h ỉ m ộ t đ ư ờ n g c o n g tíc h p h â n c ủ a h ệ (2.1) đi q u a .

15


T h a t v â y , vì —

liê n tụ c n ê n giới n ộ i t r ê n h ì n h c h ữ n h ậ t Q

y

t â m t ạ i (x , y ). D o đ ó t h ỏ a m ã n đ i ề u k i ệ n L i p s i t t r ê n Q. Ấ p
d ụ n g đ ị n h lí t a s u y r a đ i ề u c á n c h ứ n g m i n h .
4.

S ự k é o d à i n g h i ệ m , ở t r ê n t a đ ã c h ứ n g m i n h r ằ n g , với

đ i ề u k i ệ n đ ã n ê u t r o n g đ ị n h lý, t ồ n t ạ i d u y n h ấ t n g h i ệ m y ( x )
c ủ a (2.1) t h ỏ a m ã n đ i ể u k i ệ n b a n đ ầ u y ( x Q) = y n . N g h i ệ m n à y
x á c đ ị n h t r ê n đ o ạ n [x0 - h, x 0 + h]. Đ ặ t x 0 + h = x^, y ( x t) + h ) =
= y ( x (1) = y 1. N ế u đ i ể m

( x 1, y 1) l à đ i ể m

tr o n g củ a m ie n G thỉ

t ổ n t ạ i h ì n h c h ữ n h ậ t Q 1 với t â m t ạ i (x^, y^) s a o c h o Q j c

G.

T h e o lỹ l u ậ n t r ê n , t ổ n t ạ i n g h i ệ m y j ( x ) c ủ a p h ư ơ n g t r ỉ n h (2 .1 )
x á c đ ị n h t r ê n đ o ạ n [x^ — h p
tín h

duy

nhất

n gh iệm

ta

suy

+ h j] s a o c h o y j( x ^ ) = y^. D o
ra

rằng

yj(x)

=

y(x)

trên

phần

g i a o c ủ a h a i đ o ạ n [xQ - h, x ơ + h] v à [x^ — h p Xq + hj]. K h o ả n g
( x (l , X 1 +

h

J] k h ô n g

thuộc

đ o ạ n [x Q

-

h,

XQ +

Do

h].

vậy

nghiệm

y j ( x ) t r ê n k h o ả n g n à y đ ư ợ c gọi l à p h ấ n k é o d à i ( t h á c t r i ể n ) c ủ a
nghiệm

y(x).

Tương

tự

nếu

đ iểm

(x^, y£)

= X(ị + h p

với

y 2 = y j ( x 2) l à đ i ể m t r o n g c ủ a m i ề n G t h ì t a c ó t h ể k é o d à i t i ế p
nghiệm

y(x)

lên

khoảng

(x^,

+ h 2] t h e o

cách

trên .

Cđ th ể

c h ứ n g m i n h r ằ n g q u á t r ì n h k é o d à i n h ư t r ê n có t h ể t i ế p t ụ c đ ế n
t ậ n b i ê n c ủ a m i ề n G. T h ậ t v ậ y , g i ả s ừ G j l à m i ề n đ ó n g g i ớ i n ộ i

b ấ t kì c h ứ a t r o n g G c ù n g với b i ê n c ủ a nó. Tầ c h ứ n g m i n h r ằ n g ,
tiến

hành

quá

trìn h

kéo dài ng h iệm

như trên

cố t h ể

kéo dài

n g h i ệ m đ ế n b i ê n c ủ a m i ề n G j . D o G j l à t ậ p đ đ n g v à k h ô n g có

đ i ể m c h ư n g với b i ê n c ủ a m i ề n G ( c ủ n g là t ậ p đ ó n g ) n ê n k h o ả n g
cách giữa hai tậ p

đ ó n g n à y là d

>

*
m iề n Gj ta kẻ h ìn h tr ò n b á n k ín h —

16

0. Tại m ỗ i đ i ể m
d
tâm tại đ iểm

c ủ a biên
đđ

Hợp


c ủ a Gj và t ấ t cả các h ì n h t r ò n đ ổ n g n à y lập n ê n m i ề n đ đ n g G 2
c h ứ a t r o n g G. D o c á c h x â y d ự n g G 2 n ê n m ỗ i h ì n h v u ô n g c ạ n h
dV2"
b ằ n g —— v à t â m
toàn

tạ i b ấ t kì đ i ể m

t r o n g G 2- H à m

n à o củ a Gj c ũ n g c h ứ a h o àn

f ( x , y ) l i ê n t ụ c t r ê n m i ề n đ ố n g G 2 n ê n bị

c h ặ n trên đđ :
|f(x, y) I ^
B â y giờ t ạ i m ọi đ i ể m

ch ứ n g m in h

trên,

V(x, y) G G 2

c ủ a G j t a cổ t h ể c h ọ n h ìn h c h ữ n h ậ t

Q là h in h v u ô n g c ạ n h a
theo

M2

=

dVĨ

dV2
—— , b =

đ ư ờ n g c o n g tích

( x Q, y o) b ấ t k ì c ủ a G j s ẽ x á c đ ị n h t r ê n
h 2) t r o n g đ ổ h 2 = m i n I

á ịỉ

dV2"

, M

-

phân qua

M 2. K h i đ ó
điểm

k h o ả n g (xQ -

h 2,

tro n g
XQ

+

J . Vỉ h 2 k h ô n g p h ụ t h u ộ c ( x Q,

y Q) v à k h o ả n g c á c h t ừ ( x Q, y Q) đ ế n b i ê n c ủ a G { l à h ữ u h ạ n n ê n
tiế n h à n h q u á trin h th á c t r i ể n n g h iệ m n h ư trê n , s a u m ộ t số h ữ u
h ạ n b ư ớ c c h ú n g t a s ẽ t ớ i b i ê n c ủ a m i ề n G j . Vì G j l à m i ề n đ ổ n g
b ấ t kì c h ứ a t r o n g G n ê n q u á t r ìn h t h á c t r i ể n n g h iệ m n h ư t r ê n
c d t h ể t i ế n h à n h đ ế n l â n c ậ n b é t ù y ý c ủ a b i ê n m i ề n G.

§3. CÁC LOẠI N G H IỆ M C Ủ A P H Ư Ơ N G T R Ì N H
VI P H Â N C Ấ P M ỘT
X ét p h ư ơ n g trìn h
y’ =

(3.1)

f(x , y )

f x á c đ i n h v à liên t u c t r ê n m i ề n G c

R 2.

Đ ịn h n g h ĩ a 1. Ta n đ i r ằ n g G l à m i ể n t ổ n t ạ i v à d u y n h ấ t
n g h iệ m đối với p h ư ơ n g t r ì n h

(3.1) n ế u q u a m ỗ i đ i ể m c ủ a m iề n

G cd m ộ t v à chỉ m ộ t d ư ờ n g c o n g tíc h p h â n c ủ a (3.1) đi q u a .
ĐAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘi
2-C S P TV P A

TRUNG TẦM THÒNG TIN THƯ VIỆN
N o .ỳ ..-..fi Í / B

l

u

17

T r o n g §2 t a đ ã b i ế t đ i ể u

kiện đ ủ đ ể

G là m ié n t ồ n

tại v à

d u y n h ấ t n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1).
T ro n g tiế t n à y ta sẽ lu ô n giả th iế t r ằ n g G là m iề n tổ n tại và
d u y n h ấ t n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1).

1.

N ghiệm tổ n g q u á t . T a n ó i r ằ n g , h à m
y = p ( x , C)

(3*2)

l à n g h i ệ m t ổ n g q u á t c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1) t r o n g m i ể n G n ế u
a) Từ hệ thứ c

= p (x o> C)

( 3 -3)

c = rp(xa, yQ)

(3.4)

t a cđ t h ể giải r a được

v ớ i m ỗ i ( x D, y Q) G G.
b) H ệ t h ứ c (3.2) là n g h i ệ m c ủ a (3 .1 ) với m ỗ i h ằ n g s ố c đ ư ợ c
x á c đ ị n h t ừ (3.4).
T ừ định nghĩa trê n ta suy ra cách tìm

nghiệm c ủ a bài to á n

C ô s i t ừ n g h i ệ m t ổ n g q u á t (3.2).

C h ú ý . N h ư v ậ y k h i t a n ò i m ộ t h ệ t h ứ c y = (p(x , C ) l à n g h i ệ m
t ổ n g q u á t c ủ a (3.1) là n g ầ m

h i ể u b i ể u t h ứ c đ đ là n g h i ệ m t ổ n g

q u á t t r o n g m i ề n G n à o đó.

v í dụ. X é t p h ư ơ n g tr ìn h

£

dx

= y-

<* *

X

0)

T a c h ứ n g m i n h r ằ n g , h ệ t h ứ c y = C x (x ^

0) l à n g h i ệ m t ổ n g

q u á t của phư ơng trìn h trê n tro n g m iền
G =

18

0 <

X

<

+00

— 00 <

y

<

+

co

2 -C S P T V P B


T h ậ t vậy,
fO» y ) = -

X

G là m i ể n

tổ n

tại

và duy

nhát

nghiệm

liên tụ c tr o n g G và cđ đạo h à m riê n g — =
dy

vỉ h à m
— củng
X

liêi t ụ c t r o n g G .
Với m ỗ i ( x Q, y Q) E

G hệ thức

y0 = Cxo
ch( t a g i ả i đ ư ợ c c

y0
= —
xo
¥

)ê

kiểm

tra

trực

tiếp

^

rằng

biểu

yQ

thứ c y

=

Cx

=

—

X

là

xo
n g l i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h t r ê n t r o n g m i ề n G.
!. T Í c h p h â n

t ổ n g q u á t . N h iể u khi giải p h ư ơ n g t r ì n h (3.1)

t a (i đ ế n hệ t h ứ c d ạ n g

ự'(x, y) = c
hay tổng q u á t hơn, d ạn g

(x, y, C) = 0
lệ

th ứ c (3.5)

(3.5)

đ ư ợ c gọi là tíc h p h â n

tổ n g q u át của p hư ơ ng

t r i m (3.1) t r o n g m i e n G n ế u t r o n g m i é n đ ổ (3 .5 ) x á c đ ị n h n g h i ệ m
tổ n ,' q u á t y =


V dụ. P h ư ơ n g trìn h
y’ =

-

-

(y *

0)

y

cổ tch p h â n t ổ n g q u á t là
x2 + y 2 = c

(C > 0)

vỉ ở t r o n g n ử a m ặ t p h ả n g p h í a t r ê n n ó x á c đ ị n h n g h i ệ m
quát
y

=

V c

-

X2

tổ n g


v à t r o n g n ử a m ặ t p h ả n g p h ía dưới n ó x á c đ ịn h n g h i ệ m t ổ n g
quát
y =

-

yfc - x z

Đ ôi k hi tíc h p h â n p h ư ơ n g t r ì n h (3.1) ( n g h ĩ a là g iả i (3 .1 )) t a
t h u đ ư ợ c họ c á c đ ư ờ n g c o n g tíc h p h â n p h ụ th u ộ c t h a m số C d ạ n g

x = ^ (t’
y = V’(t, C)

(Q

H ọ c á c đ ư ờ n g c o n g tíc h p h â n d ạ n g (3.6) đ ư ợ c gọi là n g h i ệ m
t ổ n g q u á t c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h ( 3 . 1 ) d ư ớ i d ạ n g t h a m số .

V í dụ. P h ư ơ n g tr ìn h

' -

-

ì

có n g h i ệ m t ổ n g q u á t d ư ớ i d ạ n g t h a m số
X

=

y =

c

COS t

c sin t

K h ử t t a đi đ ế n t í c h p h â n t ổ n g q u á t :
X2 +

3. N g h i ệ m

y 2

=

c.

r i ê n g . N g h i ệ m c ủ a (3.1) m à tạ i m ỗ i đ i ể m c ủ a n đ

t í n h d u y n h ấ t n g h i ệ m c ủ a b à i t o á n Côsi đ ư ợ c b à o đ ả m , đ ư ợ c gọi
là n g h i ệ m riêng. Đ iể u n à y cổ n g h ĩ a là tạ i m ỗi đ i ể m c ủ a đ ư ờ n g
c o n g t í c h p h â n ứ n g vớ i n g h i ệ m r i ê n g k h ô n g c ố m ộ t đ ư ờ n g c o n g
t í c h p h â n n à o k h á c n ổ đi q u a .
N h ư v ậ y , n g h i ệ m n h ậ n đ ư ợ c t ừ n g h i ệ m t ổ n g q u á t vớ i g i á t r ị
x á c đ ịn h c ủ a h ằ n g số c là n g h i ệ m
4. N g h i ệ m

riêng.

k ì d ị. N g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (3.1) m à t ạ i m ỗi

đ i ể m c ủ a n đ t í n h d u y n h ấ t n g h i ệ m c ủ a b à i t o á n C ô s i b ị p h á vờ,
đ ư ợ c gọ i l à n g h i ệ m k ì d ị . N h ư v ậ y , t ạ i m ỗ i đ i ể m c ủ a đ ư ờ n g c o n g
tíc h p h â n ứ n g với n g h i ệ m kì dị cđ ít n h ấ t m ộ t đ ư ờ n g c o n g tích
20


phân

k h á c nó đi q u a. T ro n g m iề n tổ n tại và du y n h ấ t n g h iệ m

k h ô n g t h ể có đ ư ờ n g c o n g t í c h p h â n ứ n g v ới n g h i ệ m

k ì dị. B ở i

v ậ y n g h i ệ m kì dị k h ô n g t h ể n h ậ n đ ư ợ c t ừ n g h i ệ m t ổ n g q u á t với

c

g iá tr ị x á c đ ịn h c ủ a h ằ n g số

b ấ t kì.

N g o à i ra, đối với p h ư ơ n g t r ìn h

( 3 . 1 ) có t h ể t ổ n t ạ i n g h i ệ m

k h ô n g p h ả i l à k ì dị v à c ũ n g k h ô n g p h ả i l à n g h i ệ m r i ê n g . C h ẳ n g
hạn

k h i t a "dán" m ộ t p h ẩ n

r i ê n g với n h a u . N g h iệ m

nghiệm

kì dị v à m ộ t p h ầ n n g h i ệ m

n h ư t h ế t a gọi là n g h i ệ m t r u n g g ia n .

Ví dụ. X ét phương trìn h

y’ = 2Vỹ (y ỉs 0)
G iả sử y í

(3.7)

0. C h i a 2 v ế c ủ a ( 3 . 7 ) c h ơ 2 ^ ỉ ỹ t a c ó

(Vỹ)’ = 1.
Do đó Vỹ = X + c.
ỏ

đây x > - C v ì x

+ C > 0 .

Do đd p h ư ơ n g trìn h

(3.7)

tro n g m iền
—

G
có n g h i ệ m

oo

<

X

0 < y <

+00

<
+ 0 0

t ổ n g q u á t là
y =

Đ â y là h ọ các n h á n h

(x + C ) 2,

X

> - c

(3.8)

b ê n p h ả i c ủ a c á c p a r a b o l m à t r ụ c đối

x ứ n g s o n g s o n g với t r ụ c O y, c ò n đ ỉ n h n ằ m t r ê n t r ụ c O x .
T h ậ t vậy, m iề n

G là m iề n tổ n tại v à d uy n h ấ t n g h iệ m

của

( 3 . 7 ) vì t r o n g G h à m f(x, y ) = 2 V ỹ l i ê n t ụ c v à c đ đ ạ o h à m r i ê n g

Ngoài ra thay (3.8) vào (3.7) ta cổ đổng nhất thức
2 ( x + C) = V(x + C ) 2
t ứ c là (3.8) t h ỏ a

(x >

-

C)

m ã n p h ư ơ n g t r ìn h (3.7).

H ìn h 2

Bởi v ậy (3.8) là n g h i ệ m

t ổ n g q u á t c ủ a (3.7) tro rig m iể n

H ọ các đ ư ờ n g co n g tích p h â n

được b iểu

diễn trê n

nhận

(3.7)

cổ

thấy

rằng

phương

trìn h

còn

G.

h ì n h 2. rTa

nghiệm

y(x)

=

0.

N g h i ệ m n à y l à n g h i ệ m k ì d ị c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h ( 3 . 1 ) vì q u a m ỗ i
đ iể m c ủ a đ ư ờ n g c o n g tíc h p h â n t ư ơ n g ứ n g với nổ là t r ụ c h o à n h
có ít n h ấ t 2 đ ư ờ n g c o n g tích
qua. N ghiệm y =
nghiệm
giá trị c

X2

0, c

=

của

(x > 0) h o ặ c y =

riêng. C h ú n g n h ậ n
=

phân

được

phương trìn h

(3.7) đi

( x -I- l ) 2 (x > - 1 ) l à c á c

từ n g h i ệ m t ổ n g q u á t bởi

các

1 tư ơ n g ứng.

N h ậ n xét. V i ệ c t ì m n g h i ệ m t ổ n g q u á t ( t í c h p h â n t ổ n g q u á t )

c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (3.1) n ó i c h u n g

là r ấ t k h ò . S a u đ â y t a sẽ

m ộ t lớp c á c p h ư ơ n g t r ì n h m à t a

có t h ể

q u á t hoặc tích

phân

đ ô i k h i đ ư ợ c gọi l à

tổ n g qu át.

Những

phương trìn h

cấu

xét

tìm được nghiệm tổ n g
phương trìn h

như

vậy

p h ư ơ n g đ ư ợ c . V iệc g iải

p h ư ơ n g t r ìn h , tứ c là tìm tích p h â n t ổ n g q u á t h o ặ c n g h iệ m t ổ n g
q u á t c ủ a n ổ cò n đ ư ợ c gọi là tíc h p h â n p h ư ơ n g t r ì n h .

22


§4. P H Ư Ơ N G T R ÌN H B I Ế N s ố
P H Â N LI VÀ P H Â N LI ĐƯỢC

1. P h ư ơn g trìn h b iế n số p h ân li
Đ ó là p h ư ơ n g t r ì n h d ạ n g
X (x )d x + Y (y)dy =
ở

đây hệ số củ a dx

là h à m

0

( 4 .1 )

c h ỉ p h ụ t h u ộ c b i ế n X, h ệ s ố c ủ a

d y l à h à m c h ỉ p h ụ t h u ộ c b i ế n y. T a s ẽ g i à t h i ế t r ằ n g c á c h à m
X, Y l i ê n t ụ c t r o n g m i ề n
trìn h

xác định của chúng. Khi đố ph ư ơ n g

(4.1) v iế t đ ư ợ c d ư ớ i d ạ n g
đ ự X (x ) d x + / Y(y)dy]

= 0.

Do đó
/ X (x)dx

+

f Y(y)đy = c

( 4 .2 )

B i ể u t h ứ c (4.2 ) c h o t a t í c h p h â n t ổ n g q u á t c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (4 .1 ).
N g h i ệ m b à i t o á n C ồ s i y ( x Q) = y ơ đ ư ợ c x á c đ ị n h t ừ h ệ t h ứ c

/

X (r)dr

*o

+

f Y(r)dT = 0

(4 .3 )

Vo

T h ậ t v ậ y , n ế u y = y ( x ) l à n g h i ệ m c ủ a b à i t o á n C ô si y ( x f ) =
xác đ ịn h tại lân c ậ n đ i ể m

x 0 th ì tích p h â n h a i v ế đ ồ n g n h ấ t th ứ c

X (x )d x + Y (y(x))dy(x) =

0

từ XQ đ ế n X và đổi biến lấy tích phân ta đi đến đ ẳng thức (4.3),

VÍ d ụ . P h ư ơ n g t r ì n h
dx +
1 + X2
cđ t í c h p h â n t ổ n g q u á t l à

dy = 0
1 + y2