Skkn giới thiệu một số ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận trong một số ngành học

Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

BÁO CÁO TÓM TẮT SÁNG KIẾN:
GIỚI THIỆU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MA TRẬN TRONG MỘT SỐ NGÀNH HỌC
1. Những yếu tố mới và sáng tạo của sáng kiến:
Sáng kiến hoàn toàn mới được áp dụng lần đầu tiên:
+ Giới thiệu các ứng dụng của Phươg trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học
là đề tài lần đầu tiên được áp dụng trong nội bộ trường cao đẳn KTKT Kiên Giang.
+ Tác giả đã kết hợp dạy lý thuyết và giới thiệu ứng dụng theo ngành ngay trên lớp.
+ Sáng kiến là một quyển tài liệu tham khảo hoàn toán mới trong trường.
2. Hiệu quả và phạm vi áp dụng của sáng kiến
- Sáng kiến đã đạt được những hiệu quả như sau:
+ Năm trước, tôi cũng có một đề tài nghiên cứu về ứng dụng của Phương trình vi phân
và Ma trận, nhưng không phải các ứng dụng trong các ngành nghề mà là trong đời
sống, hay nói cách khác, đó là những ứng dụng vui trong đời sống để tạo sự vui nhộn
và phấn khởi trong giờ dạy. Riêng đối với đề tài này, giới thiệu trực tiếp, chuyên sâu
vào trong các ngành nghề, điều này không những giúp tạo sự thú vị cho các em mà còn
góp phần làm cho các em tin và yêu môn học hơn, từ đó học tốt hơn.
+ Việc giới thiệu các ứng dụng rõ ràng là quá cần thiết và cấp bách. Thế nhưng chương
trình giáo dục đại học ở nước ta đã không chú trọng nhiều đến việc này. Riêng với
trường ta, tôi nghĩ, phải khác biệt, nghĩa là dạy lý thuyết phải kết hợp ngay với thực
hành, ứng dụng. Và điều này phải được thực hiện ở bất cứ môn học nào từ môn chung
đến môn chuyên ngành. Với ý nghĩ đó, tôi đã mạnh dạn tiên phong thực hiện đề tài này
cho môn Toán cao cấp A2, với 2 chương chính là Phương trình vi phân và Ma trận.
+ Ở thư viện trường ta, chỉ có các giáo trình toán cao cấp rất hàn lâm, ít hoặc không có
những giáo trình có ứng dụng. Trên internet cũng rất hiếm tài liệu tiếng Việt viết về
ứng dụng. Cho nên, sáng kiến này sẽ là một quyển tài liệu mới mẻ, bổ ích cho các anh
chị em đồng nghiệp trong và ngoài trường, cũng như là một quyển tài liệu hiếm hoi để
sinh viên tự tham khảo.
- Sáng kiến có thể áp dụng trong cơ quan, đơn vị và có thể nhân rộng ra ở một số đơn

vị trong tỉnh: làm tài liệu hổ trợ cho các đồng nghiệp trong và ngoài trường ; làm tài
liệu tham khảo cho sinh viên ở ngành điện, kinh tế, nông nghiệp.
1


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

NỘI DUNG SÁNG KIẾN

1. Dẫn nhập
- Để trả lời câu hỏi tại sao tôi lại chọn đề tài này, tôi sẽ kể một câu chuyện nhỏ: Trong
một buổi lên lớp ở lớp Điện tử truyền thông CĐ9, có một em đã hỏi tôi về ứng dụng
của phương trình vi phân. Hôm đó tôi dạy bài Phương trình biến số phân ly. Cuối buổi
học, tôi trả lời câu hỏi của em bằng việc nêu ra ứng dụng Xác định thời gian tử vong
của nạn nhân bằng phương trình làm lạnh của Newton ( đã được giới thiệu trong sáng
kiến năm trước ). Sau đó, em vẫn chưa thỏa mãn, em ấy bày tỏ rằng muốn biết những
ứng dụng trong ngành nghề của em hơn là những ứng dụng ngoài ngành như vậy, em
ấy nói rằng: “cái này có liên quan gì ngành nghề của em đâu!” Thế là tôi ấp úng và
chưa trả lời em trên lớp được. Điều ấy thúc đây tôi trở về bắt đầu nghiên cứu những
ứng dụng của Phương trình vi phân trong ngành điện.
- Thiết nghĩ, mong muốn biết được những ứng dụng của những điều mình học vào
ngành học của mình là một mong muốn của bất cứ ai. Và như vậy thì, sinh viên ở các
lớp khác cũng sẽ cần đến những ứng dụng của phương trình vi phân. Từ đó tôi tiếp tục
nghiên cứu những ứng dụng của phương trình vi phân vào các ngành học khác. Song
song với chương Phương trình vi phân, chương Ma trận cũng khá khó nhưng cũng có
rất nhiều ứng dụng bổ ích. Trên đà tìm những ứng dụng của Phương trình vi phân, tôi
nghiên cứu thêm những ứng dụng của Ma trận để góp phần hoàn thiện cho học phần
Toán cao cấp A2, một môn học được cho là khó khăn và là “sát thủ” của sinh viên.
- Thêm một động lực rất lớn để tôi thực hiện tiếp đề tài, đó là sắp tới đây, khoa Khoa
học cơ bản sẽ soạn lại giáo trình Toán cao cấp thành Toán ứng dụng cho tất cả các

ngành ( xin lưu ý, ý tưởng về đề tài xuất hiện trước khi có kế hoạch về giáo trình Toán
ứng dụng, và trong khoảng thời gian tác giả đang viết đề tài thì kế hoạch về giáo trình
Toán ứng dụng mới được đưa ra ). Do đó, tôi hi vọng việc nghiên cứu đề tài này sẽ
cống hiến được nhiều ứng dụng cho cuốn giáo trình Toán ứng dụng trong tương lai.
Như vậy, việc đi tìm những ứng dụng của các nội dung trong học phần Toán cao cấp
nói chung, Phương trình vi phân và Ma trận nói riêng, đang là vấn đề quan trọng và
cấp bách. Việc này, không những góp phần tạo sinh động cho từng bài học trên lớp với
những ứng dụng thú vị cho từng nội dung, làm sinh viên hứng thú với từng vấn đề mà
các em được học, mà còn góp phần làm thay đổi sắc diện của một môn học khô khó trở
thành một môn học gần gũi và đáng yêu hơn bao giờ hết trong một tương lai tươi sáng
không xa.
2. Những khó khăn
- Như trên, tôi đã nêu ra một số những vấn đề khó khăn thúc đẩy tôi viết đề tài này.
2


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

- Thêm nữa, trong quá trình tìm kiếm tài liệu phục vụ cho đề tài, tôi nhận thấy có ít tài
liệu tiếngViệt viết về ứng dụng của phương trình vi phân, nếu có cũng còn nhiều tài
liệu sơ xài. Do đó cần thiết phải có một tài liệu tham khảo tiếng Việt đầy đủ và chi tiết
hơn. Để trước hết là làm tài liệu hỗ trợ trong quá trình lên lớp của GV toán trong và
ngoài trường. Sau đó sẽ là tài liệu bổ ích cho sinh viên tự nghiên cứu.
- Bước đầu tiên trong kế hoạch viết sáng kiến của tôi là giao đề tài làm việc nhóm về
nhà cho sinh viên, với yêu cầu tìm các ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận
trong ngành nghề các em đang học. Sau đó trong buổi thảo luận đề tài trên lớp ( buổi
này là sắp xếp riêng với lớp, không có trong lịch trình ) sẽ chỉnh sữa và bổ sung cho
các em thêm các ứng dụng trong sáng kiến của tôi. Đồng thời có thể thu nạp thêm
những ứng dụng hay của sinh viên vào sáng kiến của mình. Tuy nhiên hầu hết các bài
làm của nhóm đều viết sơ xài và chưa chi tiết (chỉ đề cập đến những vấn đề chung

chung, được giới thiệu đôi nét trên trang wikipedia, xem hình bên dưới ). Một trong
những nguyên nhân chính các em cho biết là do không tìm được tài liệu thấu đáo để tự
nghiên cứu.

Nói tóm lại, với những lý do trên, tôi chọn đề tài “Giới thiệu một số ứng dụng của
Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học”. Với 3 mục tiêu: Thứ nhất,
bản thân có thể sử dụng các ứng dụng đã được trình bày trong sáng kiến để giới thiệu
cho sinh viên từng ngành trong quá trình lên lớp, góp phần tạo bài giảng sinh động
hơn, giúp các em yêu môn Toán A2 hơn, yêu ngành nghề của mình hơn. Thứ 2, hi vọng
sáng kiến có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích cho anh chị em đồng nghiệp trong và
3


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

ngoài trường. Thứ 3, đề tài sẽ góp phần vào công cuộc xây dựng giáo trình Toán ứng
dụng cho Khoa Khoa học cơ bản, trường cao đẳng kinh tế kỹ thuật Kiên Giang, mà
nếu thành công thì đối với tôi, tôi xem như đây là một cuốn giáo trình tuyệt vời nhất về
Toán cao cấp ở Việt Nam.
3. Những giải pháp khắc phục khó khăn
3.1. Các bước thực hiện: Để thực hiện đề tài này, các công đoạn tôi sẽ tiến hành như
sau:
+ Đầu tiên, tôi tìm kiếm tài liệu trên Internet, sách, báo và tham khảo ý kiến từ các
người thầy, là các tiến sĩ dạy cao học của tôi; đồng thời tham khảo một số kiến thức
chuyên môn của các giáo viên khác (tương ứng với từng ngành tôi nghiên cứu) ở trong
và ngoài trường.
+ Đọc và dịch những tài liệu đã thu thập được. Sau đó phân tích, tổng hợp và viết lại
cho hoàn chỉnh (gồm có hai file: file word cho sáng kiến và file trình chiếu powerpoint
dùng để giới thiệu cho sinh viên khi lên lớp).
+ Giao đề tài cho các nhóm về tự nghiên cứu và viết thành bài báo cáo.

+ Tổ chức một buổi để chỉnh sửa các bài làm của nhóm, đồng thời giới thiệu (bằng
việc trình chiếu và diễn giải) một số ứng dụng tiêu biểu của sáng kiến đến sinh viên.
3.2. Nội dung hoàn chỉnh của các ứng dụng:
I. Một số ứng dụng trong ngành Điện, Điện tử truyền thông:
1. Ứng dụng của phương trình vi phân
Phương trình vi phân được ứng dụng bên ngành điện trong việc giải mạch điện,
nghĩa là tìm các đại lượng dòng điện i và điện áp u trong một mạch. Với dòng điện và
điện áp là những hàm số biến thiên theo ẩn số thời gian t. Sau đây là một số bài toán
minh họa:
Bài toán 1: Cho mạch điện gồm điện trở R = 12  , cuộn cảm L = 4H, một nguồn điện
với hiệu điện thế E = 60V và một khóa K. Khóa K đóng khi t = 0, dòng điện trong
mạch bằng 0, nghĩa là i(0) = 0. Tìm:
L4

R 12

a) Hàm dòng điện theo thời gian i(t).
+

b) Dòng điện sau khi đóng mạch được 1s.
c) Giá trị giới hạn của dòng điện này.

E 60

4

K


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

d) Thay nguồn điện bằng máy phát điện với hiệu điện thế E  60 sin 30tV . Tìm i(t).
Giải:
a) Chọn chiều vòng là chiều cùng chiều kim đồng hồ.
Theo định luật Kirchhoff 2 ta có:
U L  U R  E  Li' Ri  E (*)
 4i '12i  60  i '3i  15 ( với i là hàm số theo t )

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ( cách giải phương trình này sinh viên
khối ngành kỹ thuật đã được học trong học phần Toán cao cấp A2). Bây giờ chúng ta
đi tìm nghiệm, nghĩa là tìm hàm i(t), cho phương trình vi phân này.
Ta biết, công thức nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 là:









 3dt
i  e  15e3t dt  C  e 3t 5e3t  C  5  Ce 3t

Vì i(0)  0 nên ta có: 0  5  Ce 0  C  5
Vậy: i(t )  5(1  e 3t )
b) Sau khi đóng mạch 1s thì dòng điện trong mạch là:
i(1)  5(1  e 3 )  4,75 A

c) Giới hạn của dòng điện là:

lim i(t )  lim 5(1  e 3t )  5 A

t 

t 

d) Khi E  60 sin 30t (V ) , ta có: (*)  4i'12i  60 sin 30t  i'3i  15sin 30t
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 này là:





 3dt
3dt
i  e   15 sin 30t.e  dt  C   e 3t 15 sin 30t.e 3t dt  C (1)



Ta giải tích phân J  15 sin 30t.e3t dt bằng phương pháp tích phân từng phần:
du  3e 3t dt
u  e 3t


Đặt 
1
dv  15 sin 30tdt v   cos 30t
2

1

2

3
2

1
2
5

Suy ra: J   cos 30t.e 3t   cos 30t.e 3t dt   cos 30t.e 3t  J 1 (2)


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

3
2

Tiếp tục từng phần một lần nữa cho tích phân J 1   cos 30t.e 3t dt
du1  3e 3t dt
u1  e 3t



Đặt 
1
3
dv1  cos30tdt v1  sin 30t
20
2




Suy ra J 1 

1
3
1
J
sin 30t.e 3t   sin 30te 3t dt  sin 30t.e 3t 
, thay vào (2), ta có:
20
20
20
100

1
1
J
J   cos 30t.e 3t  sin 30t.e 3t 
2
20
100
1
 1

100  cos 30t.e 3t  sin 30t.e 3t 
20
 2
   50 cos 30t.e 3t  5 sin 30t.e 3t
J

101
101
101

Thay J vào (1) ta được:
5
 50

i  e  3t  
cos 30t.e 3t 
sin 30t.e 3t  C 
101
 101

50
5

cos 30t 
sin 30t  Ce 3t
101
101
5
sin 30t  10 cos30t   Ce 3t

101

Vì i(0)  0 nên ta có: 0 
Vậy: i 

5

10
(sin 0  10 cos 0)  Ce 0  C 
101
101

5
sin 30t  10 cos30t   50 e 3t
101
101

Nguồn tham khảo:
1) Trang web:
khoacoban.tnut.edu.vn/download/.../Giai%20tich%202%202014%20Chuong%205.p...
2) Sách Engineering Differential Equations: Theory and applications của tác giả Bill
Good Wine, xuất bản ngày 19/3/2008
Bài toán 2: Cho mạch điện gồm một điện trở R = 40
 , cuộn cảm L = 1H, tụ điện C = 16.10-4 F, một
nguồn điện E = 100cos10t V, và một khóa K.

L

+

R

6

E

K

C


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

Ta biết điện dung và dòng điện trong mạch là những hàm số theo thời gian t, nghĩa là
i(t) và q(t). Trong đó, dòng điện i(t) là tốc độ thay đổi của q(t): i = q’.
Cho biết thêm, khi K đóng ( thời điểm t = 0 ) thì dòng điện và điện dung trong mạch
bằng 0, nghĩa là i(0) = 0 và q(0) = 0.
Hãy tìm các hàm số i(t) và q(t)?
Giải:
Chọn chiều vòng là chiều cùng chiều kim đồng hồ.
Theo định luật Kirchhoff 2 ta có:
U L  U R  U C  E  Li ' Ri 

q
E
C
1
C

Mà i = q’ nên ta có Lq" Rq' q  E  q"40q'625q  100 cos10t (*)
Phương trình (*) là phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất hệ số
không đổi ( cách giải phương trình này sinh viên khối ngành kỹ thuật đã được học
trong học phần Toán cao cấp A2 ). Giờ ta giải phương trình tìm nghiệm q(t).
r  20  15i
r  20  15i

Phương trình đặc trưng: r 2  40r  625  0  

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: q0  e 20t (C1 cos15t  C 2 sin 15t )
Giờ ta đi tìm nghiệm riêng Q của phương trình (*):
Do vế phải f(t) = 100cos10t và  15i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng của (*) có dạng: Q  Acos10t  B sin 10t
Suy ra Q'  10 Asin 10t  10B cos10t  Q" 100 Acos10t 100B sin 10t . Thay vào (*), ta
được:
 100 A cos10t  100 B sin 10t  40(10 A sin 10t  10 B cos10t )  625( A cos10t  B sin 10t )  100 cos10t
 (525 A  400 B) cos10t  (525B  400 A) sin 10t  100 cos10t
525 A  400 B  100
 A  84 / 697


525B  400 A  0
B  64 / 697
84
64
cos10t 
sin 10t
Suy ra: Q 
697
697

Vậy nghiệm tổng quát của (*):
7


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

q (t )  q0  Q  e  20 t (C1 cos15t  C 2 sin 15t ) 

84
64
cos10t 
sin 10t
697
697

Suy ra:
i(t )  q' (t )
e

 20 t

(2oC1  15C2 ) cos15t  (15C1  20C2 ) sin 15t   840 sin 10t  640 cos10t
697

Vì q(0) = 0 và i(0) = 0 nên ta tìm được C1  

697

84
464
; C2  
697
2091

Tóm lại ta tìm được:
q (t )  e  20 t (
20 t

i(t ) e

84
464
84
64
cos15t 
sin 15t ) 
cos10t 
sin 10t
697
2091
697
697

13060
640
 640
 840
cos15t 
sin 15t  
sin 10t 
cos10t

2091
697
 697
 697

Nguồn tham khảo:
1) Trang web:
khoacoban.tnut.edu.vn/download/.../Giai%20tich%202%202014%20Chuong%206.p...
2) Sách Engineering Differential Equations: Theory and applications của tác giả Bill
Good Wine, xuất bản ngày 19/3/2008
2. Ứng dụng của ma trận
Ma trận cũng được ứng dụng trong việc giải mạch điện, khi trong mạch có nhiều
phần tử. Khi đó ta cần tìm dòng điện đi qua nhiều nhánh. Ta xét các bài toán sau:
Bài toán 3: Xét mạch điện gồm hai nguồn E1 = 70V; E2= 45V và sáu điện trở
R1  10, R2  30, R3  15, R4  20,
R5  25, R6  35 .

i1

R1

i2

A

Cho chiều các dòng điện như hình vẽ.

R2

II

I

+

Hãy tìm i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ?

+

R3

i3
E2

E1

Giải:

R6

Trong mạch điện trên, ta thấy có 6 nhánh
(tương ứng cho 6 dòng điện i được kí hiệu
8

R5

C

B
III

i6

i4

R4

D

i5


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

trong hình); 4 nút được kí hiệu là A, B, C, D như hình.
Theo phương pháp dòng điện nhánh, ta có thể lập được 3 phương trình ( tại 3 nút nào
đó ) theo định luật Kirchhoff 1, và 3 phương trình ( cho 3 vòng nào đó ) theo Kirchhoff
2. Cụ thể:
Tại nút A: i1  i2  i3  0 (1)
Tại nút B: i3  i6  i5  0 (2)
Tại nút C:  i1  i4  i6  0  i1  i4  i6  0 (3)
Vòng I: u1  u3  u6  E1  R1i1  R3i3  R6i6  E1  10i1  15i3  35i6  70 (4)
Vòng II:  u 2  u3  u5  E2   R2i2  R3i3  R5i5  E2  30i2  15i3  25i5  45 (5)
Vòng III:  u 4  u5  u6  0   R4i4  R5i5  R6i6  0  20i4  25i5  35i6  0 (6)
Từ các phương trình (1), (2), (3), (4), (5), (6), ta có hệ phương trình tuyến tính:
i1  i2  i3  0
i  i  i  0
3 6 5
i1  i4  i6  0

10i1  15i3  35i6  70
 30i2  15i3  25i5  45

20i4  25i5  35i6  0

Để giải hệ phương trình này một cách hiệu quả, chúng ta sẽ sử dụng công cụ ma trận
và phương pháp khử Gauss ( cách giải này sinh viên các khối ngành kỹ thuật được học
trong học phần Toán cao cấp A2 ). Công việc được tiến hành như sau:
Ma trận bổ sung:
0
0
0
0
0
0
 1 1 1 0
 1 1 1 0




0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0

1
0
d1
0
0
1
0
1
0  dd34::dd34 10
1
1
1
0
1
0
d1

   



0
15
0
0
 35 70 
0
0
 35 70 
10

 0 10 25
 0  30 15
 0  30 15
0
 25
0
45 
0
 25
0
45 


0
0
0
0  20  25 35
0 
0
0  20  25 35
0 



9


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

0

0
0
 1 1 1 0
1



1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
d2
0
1
0
1
1
0  dd54::dd54 10
d2
2 d3
  30
d




0
0
 35 70 
 0 10 25
0
 0  30 15

0
0
 25
0
45 


0

0
0
0

20

25
35
0



0

0
0
 1 1 1 0
1



1
0
1
0
0 1 1
0
0 0 1
d 4 : d 4 15 d 3
0
1
1
0  dd56::dd56 32dd44  0
5 : d 5  45 d 3
   
d


 0 0 0  10  15  60 70 
0
0 0 0

0
30  70  15 45 



 0 0 0  20  25 35

0
0




1 1 0
0
0
0

1 1
1
0
1
0
0 1
0
1
1
0

0 15  10
0
 45 70 
0 45 30  25 30 45 

0 0  20  25 35
0 
1 1 0
0
0
0 

1 1
1
0
1
0 
0 1
0
1
1
0 

0 0  10  15  60
70 
0 0
0  115  195 255 
0 0
0
5
155  140 

0
0
0 

 1 1 1 0


1
0
1
0 
0 1 1
0 0 1
0
1
1
0 
d 6 : 23 d 6  d 5


  

70 
 0 0 0  10  15  60
0 0 0
0  115  195
255 

0 0 0
0
0
3370  2965 


Từ ma trận cuối cùng ta thu được hệ:
1769

i1  1348  1,31A
i1  i2  i3

i  i  i  i
i   395  0,3 A
3
4
6
i1  i2  i3  0
2
2
1348
i  i  i  i  0
i3  i5  i6

2 3 4 6

i3  541  1,61A

15
i

60
i

70
i3  i5  i6  0

5
6


337
 i4 


10
 10i4  15i5  60i6  70

i   853  0,63 A

195
i

255
6
 115i5  195i6  255
i 
4
1348
5



115
489
3370i6  2965


i5  
 0,73 A
593
674
i6  

674


593
 0,88 A
i6  
674


Nguồn thàm khảo: Giáo trình Mạch điện của Khoa điện, bộ môn cung cấp điện của
trường cao đẳng nghề Quy Nhơn.
Bài toán 4: Cho mạch điện gồm:
10


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học
R1  R2  8, R3  3,125

L 

i1

i2

A

1
 6
C

i3
R2

E1  50 2 sin(t  45 0 ), E 2  50 2 sin(t  135 0 )

R1

R3

Hãy tìm các dòng điện i1 , i2 , i3 ?
II

I

L

C

+

Chiều dòng điện trong các nhánh được chọn
như hình, và chiều vòng là chiều cùng chiều
kim đồng hồ. Đầu tiên ta biểu diễn nguồn và
các phần tử tải về dạng số phức, ta được:

+

Giải:
E2
E1

B

E1  35,4  35,4 j
E 2  35,4  35,4 j
Z1  R1  jL  8  6 j
1
86 j
C
Z 3  R3  3,125

Z 2  R2  j

Dễ thấy trong mạch có 2 nút và 3 nhánh. Theo phương pháp dòng điện nhánh ta sẽ lập
được 1 phương trình (tại 1 nút nào đó) theo định luật Kirchhoff 1, và 2 phương trình (
theo 2 vòng nào đó ) theo Kirchhoff 2. Cụ thể như sau:
Tại nút A: i1  i2  i3  0 (1)
Vòng I: i1Z 1i3 Z 3  E1  (8  6 j )i1  3,125i3  35,4  35,4 j (2)
Vòng II:
i2 Z 2i3 Z 3  E2  (8  6 j )i2  3,125i3  35,4  35,4 j  (8  6 j )i2  3,125i3  35,4  35,4 j (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
i1  i2  i3  0


(8  6 j )i1  3,125i3  35,4  35,4 j
(8  6 j )i  3,125i  35,4  35,4 j
2
3


Ta sẽ giải hệ phương trình bằng công cụ định thức của ma trận.

11


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học
1
1
1
  86 j
0
3,125  150
0
 8  6 j  3,125

Vì   0 nên hệ phương trình trên là hệ Cramer ( cách giải hệ này sinh viên khối ngành
kỹ thuật được học trong học phần Toán cao cấp A2 ). Để giải hệ này ta tính tiếp các
định thức còn lại:
0
1
1
1  34,5  34,5 j
0
3,125  716,8  292 j

34,5  34,5 j  8  6 j  3,125
1
0
1
 2  8  6 j 34,5  34,5 j 3,125  292  716,8 j
0
34,5  34,5 j  3,125
1
1
0
3  8  6 j
0
34,5  34,5 j  414  414 j
0
 8  6 j 34,5  34,5 j

Nghiệm của hệ là:
1 716,8  292 j

 4,78  1,95 j

150

 292  716,8 j
i2  2 
 1,95  4,78 j

150

414  414 j

i3  3 
 2,67  2,67 j

150

i1 

Suy ra:
i1  4,78 2  1,95 2  5,16 A
i2  (1,95) 2  (4,78) 2  5,16 A
i3  2,67 2  (2,67) 2  3,78 A

Nguồn tham khảo: Trang web:
www.hnue.edu.vn/.../a50457d5-8cad-49d3-9285-713b8b55fa97Bai-giang---Ky-thua...
II. Một số ứng dụng trong kinh tế
1. Bài toán tìm vốn tích trữ khi biết cường độ đầu tư:

12


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

Bài toán 5: Vào tháng 01/2016, ông A có đầu tư số vốn 10000 USD vào công ty X,
với cường độ đầu tư: i (t )  3 t . Hỏi đến tháng 03/2016, số vốn tích trữ của ông A trong
công ty X là bao nhiêu?
Số vốn tích trữ là hàm số theo thời gian t ( đơn vị là tháng ), gọi là k(t). Phương trình vi
phân biểu diễn mối quan hệ giữa vốn tích trữ và cường độ tích trữ là:
dk
dk
 i (t ) 

 3 t  dk  3 t dt   dk   3 t dt  k (t )  2t 3 / 2  C
dt
dt

Xem tháng 01/2016 là mốc thời gian t = 0, ta có:
k (0)  10000  C  10000

Vậy hàm vốn tích trữ: k (t )  2t 3 / 2  10000
Vào tháng 03/2016, nghĩa là t = 2, thì vốn tích trữ của ông A trong công ty X là:
k (2)  2.2 3 / 2  10000  10005.6 USD

2. Mô hình thị trường với kỳ vọng giá được báo trước
Bài toán 6: Xét mô hình thị trường về giá của một loại hàng hóa như sau:
Qd  40  2 P  2 P' P"

Qs  5  3P
Q  Q
s
 d

Với điều kiện ban đầu là P(0)  12, P' (0)  1 . Tìm hàm giá cả theo thời gian P(t) và cho
biết giá cân bằng P có ổn định động hay không?
Giải: Từ hệ phương trình mô hình ở trên, ta có:
40  2P  2P' P"  5  3P
 P"2P'5P  45

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất hệ số không đổi. Giờ
ta đi giải phương trình tìm nghiệm tổng quát P(t):
Phương trình đặc trưng:
r 2  2r  5  0  r  1  2i

13


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: P0  e t (C1 cos 2t  C 2 sin 2t )
Dễ thấy nghiệm riêng P của phương trình không thuần nhất là P = P  9
Suy ra: P(t )  P  P0  9  e t (C1 cos 2t  C 2 sin 2t )
Suy ra: P'  e t (C1 cos 2t  C2 sin 2t )  e t (2C1 sin 2t  2C2 cos 2t )
C  3
P(0)  12 9  C1  12

 1
P' (0)  1
 C1  2C2  1 C2  6

Cho điều kiện ban đầu: 

Vậy cuối cùng ta có hàm: P(t )  9  e t (3 cos 2t  6 sin 2t )
P(t )  lim [9  e t (3 cos 2t  6 sin 2t )]  9  P
Ta có: tlim

t 

Cho nên giá cân bằng P có tính ổn định động.
Nguồn tham khảo: Giáo trình Các phương pháp toán kinh tế, của TS Nguyễn Hải
Thanh, trường đại học nông nghiệp hà nội, 2008.
3. Bài toán tính lãi suất ngân hàng
Bài toán 7: Một người gửi 1000 USD trong tài khoản tiết kiệm với lãi xuất 1,1% mỗi
năm. Giả sử cứ mỗi tuần người đó được gửi tự động vào tài khoản tiết kiệm 20$. Tính

tổng số tiền gửi sau 5 năm.
Giải:
a) Giả sử một năm có 52 tuần và số tiền gởi là liên tục, khi đó ta có phương trình vi
phân biểu diễn hàm tiền gởi theo thời gian t năm:
dP
 0,011P  1040  P '0,011P  1040
dt

Với 1040 là số tiền được cộng vào tài khoản mỗi năm.
Ta thấy phương trình vi phân trên là phương trình tuyến tính cấp 1.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là :



 ( 0, 011) dt 
 ( 0,011) dt dt  C   e 0,011t 1040.e 0,011t dt  C
P(t )  e 
 1040.e





1040000
 1040000 0,011t

 e 0,011t  
e
C  
 Ce 0,011t

11
11


14




Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

Vì ban đầu ( t = 0 ) tài khoản là 1000$, nghĩa là P(0) = 1000


1040000
1040000 1051000
 Ce 0  1000  C  1000 

 95545,45455
11
11
11

Vậy : P(t )  

1040000
 95545,45455.e 0, 011t
11

Để tìm tổng số tiền gửi sau 5 năm, ta tính giá trị của P(5) và nhận được:

P (5)  

1040000
 95545,45455.e 0, 011.5  6402,2 USD
11

Nguồn tham khảo: Trang 125 trong sách Differential Equation – Blanchard-DevaneyHall
4. Mô hình input – output mở Leontief:
Ma trận được ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, nó được xem như một công cụ để lưu
giữ các số liệu một cách gọn nhẹ, hơn nữa, bằng việc ứng dụng nó để giải các hệ
phương trình trong kinh tế, sẽ làm cho các bài toán trong kinh tế trở nên dễ dàng hơn.
Sau đây ta xét một bài toán mô hình input – out put mở Leontief:

Bài toán 8: Cho biết ma trận vào ra của 3 ngành kinh tế:
 0,3 0,1 0,1 


A   0,1 0,2 0,3 
 0,2 0,3 0,2 



a) Nói ý nghĩa kinh tế của phần tử a 23 trong ma trận A? Ý nghĩa kinh tế của cột đầu tiên
của ma trận A?
b) Tìm giá trị sản lượng của 3 ngành, nếu ngành mở yêu cầu 3 ngành trên phải cung
cấp cho nó những lượng sản phẩm tương ứng 70, 100, 30?
Giải:
a) a23  0,3 . Con số này có nghĩa là ngành 2 cần cung cấp 0,3 đơn vị nguyên liệu để sản
xuất được 1 đơn vị sản phẩm cho ngành 3.
15

Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

Cột đầu tiên của ma trận A là a11  0,3; a21  0,1; a31  0,2 . Cột này có nghĩa là để sản xuất
1 đơn vị sản phẩm cho ngành 1 thì cần 0,3 đơn vị nguyên liệu của ngành 1; 0,1 đơn vị
nguyên liệu của ngành 2; 0,2 đơn vị nguyên liệu của ngành 3.
 70 
 x1 

 

b) Ma trận cầu B  100  ; ma trận sản xuất X   x2 
 30 
x 

 3


Ta có hệ phương trình dạng ma trận: X  ( I  A) 1 .B
Do các ma trận này là các ma trận vuông có cấp là 3, nên ta có thể sử dụng máy tính
 89,75 


casio để tìm mà trận X. Kết quả là: X   92,95  . Nghĩa là cần sản xuất 89,75 đơn vị sản
 77,3 



phẩm ngành 1; 92,95 đơn vị sản phẩm ngành 2; 77,3 đơn vị sản phẩm cho ngành 3.

Nguồn tham khảo: Trang web:
1) />2) />III. Một số ứng dụng trong ngành nông nghiệp
1. Mô hình toán học cho việc quản lý nguồn cá hiệu quả:
Trong những năm gần đây, vì rất khó tìm được nguồn thủy sản nên chi phí đánh bắt
cá ngày càng tốn kém hơn. Và tất nhiên điều này là do đánh bắt quá mức và việc nuôi
trồng thủy sản không đủ đáp ứng nhu cầu. Cá là một trong những nguồn protein tốt
nhất mà chúng ta có được từ thiên nhiên và omega 3 có thể cải thiện được lượng
cholesterol trong cơ thể con người.
Chúng ta có thể tiến đến một ngành công nghiệp đánh bắt thủy sản bền vững với kế
hoạch thích hợp và hạn ngạch được thực hiện nghiêm túc. Một cách để đat được kế
hoạch tốt là đưa ra mô hình quản lý gồm các yếu tố đầu vào ( thực phẩm có sẵn, tỷ lệ
con giống, nhiệt độ nước, chất gây ô nhiễm, thời tiết,…) và các kết quả đầu ra ( hao
hụt tự nhiên, đánh bắt cá thương mại, ô nhiễm công nghiệp…). Mô hình này có thể
thực hiện được bằng các phương trình vi phân. Phương trình vi phân này liên quan đến
tỷ lệ thời gian tức thời việc thay đổi thời hạn khai thác, trong đó x là trữ lượng cá ở
biển, và t là thời gian ( theo tháng hoặc năm ). Được xây dựng trong mỗi phương trình
nguồn cá là thành phần dương ( tăng trưởng ) (phụ thuộc vào nguồn cung cấp thực
16


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

phẩm, tỷ lệ chăn nuôi,…), và một thành phần âm (ức chế) ( do giới hạn về thực phẩm
sẵn có,…). Dưới đây là một ví dụ rất đơn giản của một mô hình cho số lượng cá dự
kiến trong một khu vực cụ thể giới hạn bởi một số ranh giới địa lý cố định ( như một
vịnh, cửa biển,…)
dx
 x(1  kx)
dt

Bài toán 9: Một cửa vịnh có nguồn cá trữ lượng ban đầu là 0,5 ( đơn vị là 100000 tấn
), sau một năm người ta có số liệu là 1,268.
a) Viết và giải phương trình vi phân mô phỏng.
b) Dự báo trữ lượng cá vào năm thứ 4. Khi nào thì nguồn thủy sản tại khu vực này bảo
hòa.
Giải:
a) Từ phương trình:
dx
dx
dx
 x(1  kx) 
 dt  
 dt
dt
x(1  kx)
x(1  kx) 
1
 x 
 ln 
  t  C  x(t ) 
k  Ce t
 kx  1 

Với t  0; x(0)  0,5  0,5 

1
k C

Với t  1; x(1)  01,268  1,268 

1
k  Ce 1

 k  0,8366228569; C  1,916337714

Khi đó: x(t ) 

1
12

t
0,8366228569  1,916337714e
1  23e t

b) dự báo trữ lượng cá vào năm thứ 4: Thay t = 4 vào x(t), tìm được x(4)  8,443
(100000 tấn)
Để tìm thời điểm khu vực này bảo hòa nguồn trữ lượng thủy sản dựa vào đồ thị x(t) ta
tính giới hạn:
17


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

lim x(t )  lim
t t 0

t t 0

12
 12

1  23e t

Vậy thời điểm bảo hòa khoảng t = 10 đến t = 11 (năm).
Nguồn tham khảo: Trang 549 – 8.STEWART Calculus Concepts and Contexts
2. Bài toán dự báo phát triển dịch bệnh
Phương trình vi phân có thể dùng để dự báo sự phát triển của vật nuôi, vi khuẩn
đang chịu tác động bởi các yếu tố khách quan. Hàm số logistic mô tả một thành phần
tác động và một thành phần ngăn cản, có thể dùng để dự báo tốc độ sự phát triển của
dịch bệnh.
Gọi N = N(t) là số vật nuôi bị nhiễm bệnh tại thời điể t, P là tổng vật nuôi ( hằng số
); c là hằng số phát triển.
Ta có phương trình vi phân mô phỏng sau:
dN
 cPN  cN 2
dt

Bài toán 10: Giả sử một trang trại chăn nuôi gà có 50000 con đang nhiễm H5N1.
Virus do 100 con nhiễm bệnh lây lan lúc ban đầu và thống kê cho thấy có 1000 con
mắc bệnh sau 10 tuần.
a) Viết phương trình vi phân mô tả và giải phương trình này.
b) Dự báo xem bao lâu thì nửa số gà trong trang trại sẽ mắc phải H5N1.
Giải:
a) Phương trình vi phân mô tả:
dN
dN
dN
 50000 PN  cN 2 
 dt  
 dt
2

dt
50000cN  cN
50000cN  cN 2 


ln N  ln | 50000  N |
tK
50000c

Hay N (t ) 

50000
1  50000 Ke 50000 ct
18


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

Thay t  0, N (0)  100 , ta có phương trình: 100 
Suy ra N (t ) 

50000
499
K
1  50000C
50000

50000
50000


499 50000 ct 1  499e 50000 ct
1  50000
e
50000

Thay t  10, N (10)  1000 , ta có phương trình:
1000 

50000
1
c
 0,46416e 5
50000 .10 c
500000 ln( 49 / 499)
1  499e

Vậy N (t ) 

50000
1  499e 0, 232080 t

b) Dựa vào hàm N(t), giải phương trình N(t) = 25000 tìm t:
25000 

50000
1
 e 0, 232080 t 
 t  26,76924  27 tuần
 0 , 232080 t
499

1  499e

Nguồn tham khảo:
Trang 559 - STERWART “calculus Concepts and Contexts” - 17. One model for the
spread of an epidemic.
4. Kết quả thực hiện
- Đề tài đã giới thiệu được 10 bài toán ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận
trong 3 ngành nghề điện, điện tử truyền thông (tác giả gọp 2 ngành này lại thành 1
ngành vì chúng giống nhau về các ứng dụng được trình bày), kinh tế, và nông nghiệp.
Những ứng dụng được trình kỹ các bước làm cụ thể để người đọc thuận tiện trong quá
trình tham khảo sáng kiến.
- Các bài toán được đưa ra có mức độ vừa sức với sinh viên ngành cao đẳng. Hơn thế
các bài toán đều đưa đến việc giải một vấn đề (có thể là một phương trình vi phân cấp
1 hoặc cấp 2, có thể là giải một hệ phương trình, có thể là nhân hai ma trận), mà tất cả
đều đã được học trong môn Toán cao cấp A2. Do đó, có thể đan xen chúng làm ngay
phần ví dụ, phần bài tập trong từng nội dung cụ thể trong từng buổi lên lớp.
- Sau khi giới thiệu một số ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận cho các em
sinh viên (học kỳ này tôi chỉ tiến hành ở lớp ĐTTT cao đẳng 9). Các em đã có phản
19


Giới thiệu một số ứng dụng của Phương trình vi phân và Ma trận trong một số ngành học

hồi rất tốt. Các em tập trung theo dõi, đặt ra nhiều câu hỏi, thể hiện sự quan tâm của
các em về nội dung mình đang học hơn.
5. Kết luận
- Trên đây, tôi đã trình bày những khó khăn, cấp bách thúc đẩy tôi lựa chọn đề tài “
Giới thiệu một số ứng dụng của phương trình vi phân và ma trận trong một số ngành
học” cho sáng kiến kinh nghiệm của mình; quá trình tôi viết sáng kiến và những kết
quả đạt được sau sáng kiến được hoàn thành. Tôi cũng đã áp dụng với lớp ĐTTT-CĐ9

(giới thiệu các ứng dụng cho lớp), và thu được sự quan tâm khá sâu sắc của sinh viên
về Phương trình vi phân và ma trận, 2 nội dung mà các em dường như bàng quang và
sợ hải rất nhiều trước đó. Từ đó, tôi có thể rút ra kết luận rằng, một khi giáo viên giới
thiệu được các ứng dụng chuyên ngành vào từng bài dạy, sinh viên sẽ cảm thấy hứng
thú hơn và từ đó sẽ học tốt hơn.
- Bên cạnh những kết quả đạt được, đề tài cũng còn một số hạn chế: chưa giới thiệu
được các ứng dụng trong nhiều ngành còn lại. Đồng thời, trong cách triển khai các ứng
dụng đến sinh viên, cũng có một số mặt hạn chế: chưa đan xen được từng ứng dụng
vào từng bài học, từng nội dung cụ thể, điều này là do đề tài chỉ mới thực hiện rất gấp
rút và mới hoàn thành trong học kỳ này, nên chưa kịp giới thiệu theo cách như vậy đến
sinh viên, mà như đã nói, chỉ tổ chức một buổi riêng và giới thiệu toàn bộ các ứng
dụng trong chỉ một buổi đó. Điều này sẽ được giải quyết dễ dàng vì sẽ được giới thiệu
đan xen vào các buổi học ở những học kỳ sau và có thể đưa vào giáo trình Toán ứng
dụng theo cách như vậy, nghĩa là các ứng dụng sẽ được giới thiệu ngay trong phần nội
dung bài học trên lớp. Một hạn chế nữa là chỉ mới giới thiệu đến một lớp, đó là lớp
ĐTTT-CĐ9 cũng do quá gấp rút và tác giả sẽ triển khai rộng ở các lớp còn lại trong
các học kỳ sau.

20