một số bài toán mở rộng về tính chia hết của học sinh lớp 6,7,8

MỤC LỤC

A – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI............................................................................2
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI...................................................................................3
I.CÁC BÀI TOÁN MỞ RỘNG LỚP 6, 7, 8.................................................3
II.MỘT SỐ CÂU HỎI PHỤ TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU
THỨC...............................................................................................................................14
DẠNG 1: Tính giá trị biểu thức. ....................................................................14
Dạng 2: Tìm x trong giải phương trình...........................................................21
Dạng 3: Tìm x trong giải bất phương trình.....................................................28
Dạng 4: Chứng minh, so sánh.........................................................................35
Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên. ........40
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. ...............................................45
C. KẾT LUẬN...............................................................................................49
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................50

1


A – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Để giúp học sinh có kiến thức cơ bản giải quyết các dạng toán sau khi rút
gọn biểu thức, tôi chú ý đến một số bài toán mở rộng ở các lớp 6, 7, 8. Đó là các
kiến thức rất cơ bản để sau này học sinh vận dụng vào các bài tập ở lớp 9 một
cách dễ dàng hơn. Và các dạng toán này cũng thường gặp trong các tài liệu
hướng dẫn của Sở Giáo dục Hà Nội hướng dẫn học sinh ôn tập hang năm thi
vào lớp 10.

2


B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I.

Các bài toán mở rộng ở lớp 6, 7, 8.

Bài 1: Cho biểu thức P =

Tìm giá trị nguyên của n để P có giá trị nguyên.

(Đề thi HK II toán 6 năm học 2006 – 2007, THCS Láng Thượng).
• Phương hướng:
- Biến đổi tử số về dạng tổng sao cho có hạng tử giống mẫu số
- Sử dụng tính chất chia hết của một tích, tính chất chia hết của 1 tổng để
giải bài toán
- Học sinh cần có kỹ năng về Ư và B của một số nguyên, kỹ năng cộng,
trừ, nhân, chia các số nguyên
• Lời giải:
Có
Vì

với mọi giá trị nguyên của n
(T/c chia hết của một tích)



Nên
Khi
Tức là

chia hết cho n+ 4
Ư(21).

Ta có bảng
n+4
-21
n
-25
Vậy

-7
-11

-3
-1
-7
-5
thì P =

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số

1
3
-3
-1
có giá trị nguyên.

7
3

21
17

có giá trị nguyên

(Đề thi HK II Toán 6 năm học 2010 – 2011, THCS Láng Thượng).
Giải: Phân số
có giá trị nguyên khi 3n – 1 Ư(12)
Ta có bảng:
3n- -12

-6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

6

12

3


1
3n
n

-11

-5

-3
-1

Vì n là số tự nhiên

-2

0
0

2

3
1

4

5

7

13

n = 0; n = 1 thỏa mãn

Vậy n = 0 hoặc n = 1 thì phân số
Bài 3: Cho A =

-1

có giá trị nguyên

.Tìm số nguyên n để A là số tự nhiên

(Đề thi Toán 6 HK II năm học 2012 – 2013, THCS Ba Đình).
• Phương hướng:
- Biến đổi tử số về dạng tổng sao cho có hạng tử giống mẫu số
- Sử dụng tính chất chia hết của một tích, tính chất chia hết của 1 tổng để
giải bài toán
- Học sinh cần có kỹ năng về Ư và B của một số nguyên, kỹ năng cộng,
trừ, nhân, chia các số nguyên
• Lời giải:
A=

là số tự nhiên khi

Có 4n + 3 = 4n – 2 + 5 = 4 (2n – 1) + 5
Vì

với mọi giá trị nguyên của n

với mọi giá trị nguyên của n.
Nên
khi
Tức là 2n -1 Ư(5)
Ta có bảng:
2n - 1
2n
n
• Với n = - 2

-5
-4
-2
A=

-1
1
0
2
0
1
A có giá trị là số tự nhiên.

5
6
3

4

•

Với n = 0
A không phải là số tự nhiên.

• Với n = 1

A=

A có giá trị là số tự nhiên.

• Với n = 3

A=

A có giá trị là số tự nhiên.

Vậy n

thì A =

Bài 4: Cho phân số A =

là số tự nhiên.

. Tìm số nguyên n để A có giá trị là số nguyên.

(Bồi dưỡng học sinh Giỏi Toán 6 năm học 2009 – 2010 THCS Láng

Thượng).
Giải: A =
có giá là số nguyên khi
Có 6n – 1 = 6n + 4 – 5 = 2 (3n +2) – 5
Vì
k với mọi giá trị nguyên của n
k với mọi giá trị nguyên của n



Tức là 3n + 2 Ư(5).
Ta có bảng:
3n+2
3n
N

-5
-7

Vì n là số nguyên

n = -1; n = 1 thỏa mãn.

-1
-3
-1

Vậy n = -1 hoặc n = 1 thì phân số A =

Bài 5: Cho biểu thức P =

1
-1

5
3
1

có giá trị là số nguyên.

. Tìm giá trị nguyên của n để P có giá trị

nguyên dương.
(Đề thi HK II Toán 7 năm học 2006 – 2007 trường THCS Láng Thượng)
5


Giải: P =

có giá trị nguyên dương khi (
và thương có giá trị là số dương.

Ta có: P =

=

3n – 9 = 3n + 12 – 21 = 3(n+4) – 21
Vì
với mọi giá trị nguyên của n.


với mọi giá trị nguyên của n.

khi
Tức là: n +4 Ư(21).
Ta có bảng:
n+4
-21
N
-25
-1

-7
-11
-3

-3
-7
-7

-1
-5
-21

1
-3
21

3
-1
7

•

là số nguyên dương.

•

là số nguyên dương.

•

là số nguyên dương.

•

là số nguyên dương.

•

7
3
3

21
17
1

không phải là số nguyên dương.

•

không phải là số nguyên dương.

•

không phải là số nguyên dương.

6


•

là số nguyên dương.

Vậy

là số nguyên dương.

thì P =

Bài 6: Cho B =

. Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.

(Đề thi HK II Toán 7 năm học 2010 – 2011 trường THCS Láng Thượng).
Giải: B =
có giá trị nguyên khi
Có: 2x – 5 = 2(x+2) – 9.
Vì

với mọi giá trị nguyên của x.
với mọi giá trị nguyên của x.



Nên
Tức là x + 2
Ta có bảng:
x+2
X
Vậy

khi
Ư(9).
-9
-11

-3
-5

-1
-3

1
-1

3
1
thì B =

9
7
có

giá trị nguyên.

Bài 7:
• Cho Q =

. Tìm số nguyên x để Q đạt GTLN.

(Đề thi HK II Toán 7 năm học 2013 – 2014 trường THCS Nguyễn Du – quận
Hoàn Kiếm – HN).
Giải: Để một phân số có GTLN ta cố định tử số khi đó mẫu số lấy GTNN lớn
hơn không.
Biến đổi Q =
=

7


Để Q có GTLN thì

có GTLN.

có GTNN.
x< 12.
x lớn nhất là 11.
GTLN của Q là 5.
Vậy x = 11 thì Q =

• Cho F =

có GTLN là bằng 5.

. Tìm số nguyên x để F đạt GTNN.

(Đề thi HK II Toán 7 năm học 2013 – 2014 trường THCS Nguyễn Du – Hoàn
Kiếm – HN).
Giải:Ta biến đổi:
F=
F đạt GTNN khi

nhận GTNN.

Khi đó x – 15 nhận GTLN nhỏ hơn 0.
x – 15 < 0.
x < 15.
x lớn nhất là 14.
Khi đó GTNN của F = -28.
Vậy x = 14 thì F =
có GTNN là bằng -28.
Bài 8:
• Với giá trị nào của số tự nhiên n thì phân số

có GTLN. Tính GTLN

đó.
(“140 bài toán về phân số” Nhà xuất bản Giáo dục – Nguyễn Danh Ninh –
Vũ Dương Thụy).

Giải:Ta biến đổi:

8


Để phân số

có GTLN thì phân số

có GTLN.

7(7n – 14) có GTNN và dương.
7n – 14 > 0.
7n > 14.
n > 2.
n bé nhất là 3.
Khi đó GTLN của phân số

có GTLN là bằng 2.

• Với giá trị nào của số tự nhiên a thì phân số

có GTLN. Tìm GTLN

đó.
(“140 bài toán về phân số”. Nhà xuất bản Giáo dục – Nguyễn Danh Vinh –
Vũ Dương Thụy).
Giải: Ta biến đổi:
Để phân số

có GTLN thì phân số

có GTLN.

8(8a – 18) có GTNN và dương.
8a – 18 > 0
8a >18

a>

a bé nhất là 3.
Khi đó GTLN của phân số
Vậy a = 3 thì phân số

là

.

có GTLN là

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n (n

.
0) sao cho

có giá trị là số tự

nhiên.
9

(“Toán nâng cao và các chuyên đề Số học” – Nhà xuất bản ĐHQGHN – 1999
– Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Việt Hải – Vũ Dương Thụy).
Giải: Vì n N, n # 0 nên 19n + 7 > 7n + 11
Có 3(7n + 11) = 21n + 33.
21n + 33 > 19n +7.
là số tự nhiên khi:
19n + 7 = 2(7n + 11)
19n + 7 = 14n + 22
5n = 15
n=3
Vậy n = 3 thì
là số tự nhiên.

Bài 10: Tìm số tự nhiên n sao cho: n2 + 5 chia hết cho n + 1
(“Bài tập chuyên toán số học 6” – Đinh Gia Phong – Vũ Quốc Lương –
Lê Thống Nhất – Nguyễn Hữu Thảo – Tôn Thân).
Giải: Biến đổi n2 + 5 = n(n+1) – (n+1) + 6
Vì n + 1
n + 1 với mọi số tự nhiên n.
n(n + 1)
n + 1 với mọi số tự nhiên n.
[n(n + 1)-(n-1)]

n + 1 với mọi số tự nhiên n.

Nên n2 + 5 chia hết cho n + 1.
Khi 6
n+1
Ta có bảng

n+1
N
Vậy n

n+1
Ư(6).
6
3
5
2
thì n2 + 5 chia hết cho n + 1

2
1

1
0

Bài 11: Cho biểu thức: A =
Tìm các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013-2014 trường THCS Thăng Long – Ba
Đình – Hà Nội).
Phương hướng:

10


- Để tìm được các số nguyên x làm cho biểu thức A có giá trị nguyên ta
phải dùng các phép biến đổi đồng nhất để biểu thức A có dạng đơn
giản nhất (Đó là rút gọn biểu thức A).

- Từ đó quay trở về bài toán tìm x
: biến đổi biểu thức A có dạng tổng
của một hằng số và một phân thức chỉ chưa biến ở mẫu.
Lời giải:
Ta có:
A=

(Đk: x # 0; x #

)

A=
A=
Vì -1

nên A
x+1

Ư(1)=

x
Kết hợp điều kiện: Vậy x

thì A có giá trị nguyên.

Bài 12: Cho biểu thức: P =
Tìm x

để biểu thức P có giá trị nguyên.

(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013 – 2014 trường THCS Láng Thượng).
Giải: Ta có:
P=
P=

(ĐK: x

1;3)

P=

11


Vì 1 Z nên P

Z
x- 3

Ư(3)

x–3
Kết hợp điều kiện:

thì biểu thức P có giá trị nguyên.

Bài 13:Cho biểu thức: P =
Tìm x Z để P

Z.

(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013 – 2014 trường THCS Láng Thượng).
Giải: Ta có:
P=
(Đk: x
2;3)
P=
P=
Vì 1

Z nên P

Z

Z
x–3
x

Ư(4) = {-4;-2;-1;1;2;4}

{-1;1;2;4;5;7}

Kết hợp điều kiện: x {-1;1;4;5;7} thì biểu thức P có giá trị nguyên.
Bài 14: Cho biểu thức:C =
Tìm x

để biểu thức C có giá trị nguyên.

(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013-2014 trường Lương Thế Vinh – Hà Nội)
Giải:

Có C
(ĐKXĐ:x≠0;2;-4)

12


C

C

C
Vì 1

nên C



x - 4 Ư(5).



Kết hợp điều kiện:
nguyên.

thì biểu thức C có giá trị

Bài 15: Cho biểu thức D =
Tìm x

để D

.

(Đề cương ôn tập HK II Toán 8 – 2013-2014 trường Lương Thế Vinh – Hà Nội)
Giải:
Có D =

D=

D=
(ĐKXĐ:x
D Z

)

Z  x-2

Ư(3)

13


x–2

Kết hợp điều kiện:

{-3;-1;1;3}

x

{-1;1;3;5}

x

{-1;1;5} thì D

Z

14


MỐT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI
7 n  41
Bài1: Với giá trị nào của số tự nhiên n thì phân số 6n  43 có GTLN? Tính

GTLN đó:
Bài 2: Cho biểu thức:
2
14 x  4  x ( x  1)
 3x

 2

:
x

2
x

2

x

4

 x2
A=

a) Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên.
b) Tìm x để A2 – A +1 đạt GTNN.
Bài 3: Cho biểu thức:
 x2
3
1   x 2  12 
 2



 1
x  4 2  x x  2   ( x  2) 2 

B=

a) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B  Z
b) Tìm x để B > 0.
Bài 4: Cho biểu thức:
C=

 x 1
x2  x
1

2  x2 


:


1  x x 2  x 
x 2  2 x  1  x

a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức C có giá trị nguyên.
b) Cho x > 1 tìm GTNN của biểu thức C
Bài 5: Cho biểu thức:
2
5 
x
 6


 2
:
D =  x  4 2 x x 2 x2

Tìm x nguyên để biểu thức D nhận giá trị tự nhiên.
Bài 6: Cho biểu thức:
 4x 2
x 2 x2 x 3
 2
:



x  4 x  2 2  x  x  2

E=

Tìm giá trị nguyên dương của x để E lớn hơn 2 và có giá trị là 1 số
nguyên.
15


Bài 7: Cho biểu thức:
 x
x3  8 x 2  2x  4 
4

 :
 3
.
2
M =  x  2 x 8 4  x  x  2

a) Tìm x  Z để M  Z.
b) Tìm x để A > -1.
Bài 8: Cho biểu thức:
 1  2a
2a 2
a  24  12a

.



2
4

2
a
3
a

6
12

3
a
 6  13a
P= 

Tìm a để M có giá trị nguyên.
Bài 9: Cho biểu thức:
 x2
x2 y

 2
x  y x2  y2
P= 


x
y 
1


  :
 2
2
x  xy   x  y
 xy  y

2
Tìm x, y  Z để P = 3 .

16


II.

Một số câu hỏi phụ trong bài toán rút gọn biểu thức
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

a. Các kiến thức học sinh cần nắm vững:
 Cách làm dạng 1:
- Bước 1: Biến đổi giá trị của biến cho đơn giản hơn hoặc có dạng bình
phương của một biểu thức.
- Bước 2: Kiểm tra giá trị của biến có thuộc tập xác định không.
- Bước 3: Thay giá trị của biến thuộc tập xác định vào biểu thức đã rút gọn.
- Bước 4: Trả lời.
 Các phép biến đổi đơn giản căn bậc hai.
- Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn.
- Đưa thừa số vào trong dấu căn.
- Khử mẫu của biểu thức lấy căn.
- Trục căn thức của mẫu
- Các phép cộng, trừ, nhân, chia trong tập hợp R.

 Chú ý: Khi thay giá trị của x vào biểu thức:
- Nếu biến x thuộc biểu thức dưới dấu căn thì thay giá trị của x viết dưới
dạng bình phương.
- Nếu biến x thuộc biểu thức không nằm dưới dấu căn thì thay giá trị của x
đã được viết dưới dạng đơn giản.
b. Các bài tập minh họa
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức (Không sử dụng máy tính bỏ túi)
a.

A

42 3
6 2

c. C  (2 4  6  2 5 )( 10  2)

B  (3 2  6) 6  3 3

b.
d. D 

5  3  29  12 5

17


E

e.

2 3  2 3
2 3  2 3



2 3  2 3
2 3  2 3

3
3
f. F  20  14 2  20  14 2

2
g. G  (1  2015) 2016  2 2015

Lời giải

a.

A

( 3  1) 2
42 3
3 1
2



2
6 2

2( 3  1)
2( 3  1)

B  (3 2  6) 6  3 3  (3  3) 2 6  3 3
B  (3  3) 12  6 3  (3  3) (3  3) 2

b. B  (3  3)(3  3)  9  3  6

C  (2 4  6  2 5 )( 10  2)
C  (2 4  5  1)( 10  2)  (2 3  5 ) 2( 5  1)
C  2 6  2 5 ( 5  1)  2( 5  1)( 5  1)
c. C  2(5  1)  8

d.

D

5  3  29  12 5 

D

5  3 2 5 3 

E

e.

2 3  2 3
2 3  2 3



5  3  (2 5  3) 2

5  ( 5  1) 2 

5  5 1  1  1

2 3  2 3
2 3  2 3

18


a  2 3
b  2 3
a b
a  b ( a  b ) 2  ( a  b ) 2 4 ab



ab
ab
a b
a b

E

Đặt

E

4 (2  3)(2  3)
2 3 2 3



4 43 2 3

3
2 3

3
3
f. F  20  14 2  20  14 2

a  20  14 2
b  20  14 2
3
3
3
3
Đặt F  a  b  3 ab ( a  b )

F 3  20  14 2  20  14 2  3 3 (20  14 2)(20  14 2)( 3 20  14 2  3 20  14 2 )
F 3  40  3 3 8.F  40  6 F
F 3  6 F  40  0 � ( F  4)( F 2  4 F  10)  0
VìF 3  4 F  10  ( F  2) 2  6  0(F ) � F  4  0 � F  4
G  (1  2015)2 2016  2 2015  1  2015

( 2015  1) 2

g. G  ( 2015  1)( 2015  1)  2015  1  2014
Bài 2. Cho biểu thức
A

4x2
x 3

ĐKXĐ: x 0; x 2; x 3

Tính giá trị của A biết |x-5| = 2
Lời giải:
 x  5 2


x

5


2

|x-5| = 2

 x 7  ĐKXĐ
 x 3  ĐKXĐ


Thay x = 7 vào biểu thức ta được

A

4.49
49
7 3

Vậy với x = 7 thì giá trị biểu thức A là 49

19


Bài 3. Cho biểu thức:
A

x4 x 4
x

ĐKXĐ : x  0; x 4

Tính giá trị của P biết x 4  2 3
Lời giải:





2

x 4  2 3 3  2 3  1  3  1  ĐKXĐ

Thay giá trị của x vào biểu thức ta được:
x

4  2 3  4 ( 3  1) 2  4





3 1

2



4 2 3 4 3  44 42 3

5  3 3
3 1
3 1

Vậy với x 4  2 3 thì giá trị của biểu thức là 5  3 3
Bài 4. Cho biểu thức:
P

a  a 1
a1

ĐKXĐ : a 0; a 1

Tính giá trị của P biết a 19  8 3
Lời giải:
a 19  8 3 16  2.4. 3  3  4 


2

3   ĐKXĐ


Thay giá trị của a vào biểu thức ta được:
19  8 3  4  3  1 24  9 3 15  3
P


2
4 3  1
3 3
15  3
2
Vậy với a 19  8 3 thì giá trị của biểu thức là

Bài 5 Cho biểu thức:
P  ab

ĐKXĐ : a 0; b 0; ab 1

Tính giá trị của P nếu a 2 

3 1

b
3,
1 3

Lời giải:

20






2

3 1
3 1
4 2 3
b


2 
3 1
2
1 3
a 2 

3  ĐKXĐ

3  ĐKXĐ

Thay giá trị của a, b vào biểu thức ta được:

2  3 2  3   2  3 

P 

2

 3 2

3 1
b
3;
1  3 thì giá trị của biểu thức P là

Vậy với a 2 

3 2

Bài 6. Cho biểu thức:
P x  2 x  1

ĐKXĐ: x>1
x

Tính giá trị của P nếu

53
9 2 7

Lời giải:
x

53
9 2 7





53(9  2 7 ) 53(9  2 7 )

9  2 7
81  28
53







2

 7  2 7  1  1  7  1  1  ĐKXĐ

Thay giá trị của x vào biểu thức ta được:
P 9  2 7  2

Vậy với

x





2

7  1  1  1 9  2 7  2 7  2 7

53
9  2 7 thì giá trị của biểu thức P là 7

Bài 7. Cho biểu thức :
P

2x 1
4 x

ĐKXĐ : x  0; x 1

Tính giá trị của biểu thức P khi

x

2

3

2

Lời giải:
x

2

3
2

2

4  2 3  3  1 


  ĐKXĐ
4
 2 

Thay giá trị của x vào biểu thức ta được:
3
21


Vậy với

x

2

3
thì giá trị của biểu thức P là 2

3
2

Bài 8. Cho biểu thức
P

4 x





x 1

2

ĐKXĐ: x ≥0; x≠1

Tính giá trị của biểu thức P khi

x

7 4 3
2

Lời giải:



2 3
7 4 3
x

2
2



2



2

3
2

2

4  2 3  3  1
  ĐKXĐ



4
2




Thay giá trị của x vào biểu thức ta được:
 3
4 
 2

P






 3

 2


Vậy với

1




x

1 



2

2



 1



4
2



31
2

 31 


 2  1



2



2 3 2
 3 1


 2 





2

4 3 4

2  3  12

3  20

7 4 3
2
thì giá trị của P là 12 3  20

Bài 9 Cho biểu thức
A

x 4
x 2

ĐKXĐ : x 2, x 3

Tính giá trị biểu thức A khi biết

x

2
2 3

Lời giải
x

2
4 2 3

 4 2 3 
4 3
2 3





2

3  1  3  1  ĐKXĐ

Thay giá trị của x vào biểu thức ta được:
A

3  1 4
3 5

3

2 
3
3  1 2
3 3

22


Vậy với

x

2
3
2
2  3 thì giá trị của biểu thức A là
3

Bài 10 Cho biểu thức:
x
A = x 3

ĐKXĐ : x  3, x 1 ;

Tính giá trị của A biết

x

8
5 3

Lời giải
x

8
8( 5  3)

 6 2 5 
5 9
5 3





2

5  1  5  1 ĐKXĐ

Thay giá trị của x vào biểu thức ta được:
A

Vậy

51
51

7  3 5

5  1 3
5 2
x

8
5  3 thì giá trị của biểu thức là: A 7  3 5

Bài 11 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT–Sở GD va ĐT Hà Nội–năm học
2012–2013)
Cho biểu thức:

A

x 4
x  2 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36

Thay x = 36 vào biểu thức A ta được

36  4 6  4 5


36  2 6  2 4

A

5
Vậy với x = 36 thì giá trị của biểu thức là 4

I.12 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT–Sở GD va ĐT Hà Nội–năm học
2013-2014)

Cho biểu thức

A

2 x
x

Tính giá trị của biểu thức A khi x =64

Thay x = 64 vào biểu thức A ta được

A

2  64
64



2 8 5

8
4

23


5
Vậy với x = 64 thì giá trị của biểu thức là 4

24

DẠNG 2: TÌM X TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
a. Các kiến thức học sinh cần nắm vững:
Cách làm dạng 2:
Bước 1: Cho biểu thức đã rút gọn thỏa mãn yêu cầu của đề bài -> lập nên
phương trình.
Bước 2: Giải phương trình vừa lập được.
Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời
* Chú ý:
- Tìm điều kiện mới phát sinh theo yêu cầu của đề bài.
- Giải phương trình vô tỷ có thể dùng phương pháp đặt ẩn.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Giải phương trình dạng tích.
+ Công thức nghiệm của phương trình bậc 2
+ Nhẩm nghiệm theo hệ thức vi-ét.
b. Các bài tập minh họa:
Bài 1 Cho biểu thức:
P

4x
x 3

ĐKXĐ x  0; x 4; x 9

Tìm các giá trị của x để P = -1
Lời giải:
P = -1



4x
 1
x 3

 4 x  x  3 0(*)

Đặt x t (t  0; t 2; t 3)

 4t 2  t  3 0

Ta có a-b+c 4-1-3=0
t1  1  0( KTM )

t 2  3  0(TM )

4

25