01 HKI TOAN 12 CHUYEN NN HN DE 1617 HDG

TRƯỜNG THPT
CHUYÊN NGOẠI NGỮ
NHÓM TOÁN 12

ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017
MÔN: TOÁN – KHỐI 12
Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1. [2D2-2] Tập xác định của hàm số y 



1; 2 .
A. �
�

B.  1; � .

x2  x  2
là
log 3  2  x 2 





C. 1; 2 .





D.  2; 2 \  1 .

Câu 2. [2D1-2] Phát biểu nào sau đây SAI?
4
2
A. Hàm số y  ax  bx  c  a �0  luôn có điểm cực trị.
ax  b
(với ad  bc �0 ) không có cực trị.
cx  d
3
2
C. Hàm số y  ax  bx  cx  d  a �0  luôn có điểm cực trị.
B. Hàm số y 

2
D. Hàm số y  ax  bx  c  a �0  luôn có một điểm cực trị duy nhất.

Câu 3. [2D1-2] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

(I): Tập xác định của f  x  là D  �\  1 . (II): Hàm số f  x  có đúng một điểm cực trị.
(III): min f  x   2 .

(IV): A  1;3 là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu ĐÚNG?
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .

D. 3 .

Câu 4. [2H1-2] Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng 45�
. Thể tích khối chóp S . ABC bằng bao nhiêu?
3
3
a
a3
3a 3
3a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
4
4
4
1
Câu 5. [2D1-2] Cho hàm số y  x 3  2 x 2  3x  1 có đồ thị  C  . Có bao nhiêu tiếp
3
tuyến của  C  song song với đường thẳng y  3x  1 ?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .

D. 0 .
Câu 6. [2H2-2] Cho ABC vuông tại A , AB  6 cm , AC  8 cm . Gọi V1 là thể tích khối
nón tạo thành khi quay ABC quanh AB và V2 là thể tích khối nón tạo thành
V1
khi quay ABC quanh AC . Tỉ số
bằng
V2
4
3
16
64
A. .
B. .
C.
.
D.
.
3
4
9
27
4 x
x 1
Câu 7. [2D2-2] Giá tị nhỏ nhất của hàm số y  2  .8 trên
3
nhiêu?

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

 1;0

bằng bao

Trang 1/25


A.

5
.
6

B.

2
.
3

C.

2 2
.
3

D.

50
.
81

��
0;
Câu 8. [2D1-2] GTNN của hàm số f  x   2sin 2 x  5 x  1 trên đoạn �
bằng bao
� 2�
�
nhiêu?
5
5
A. 0 .
B. 3 
.
C. 1 
.
D. 1.
4
2
Câu 9. [2D2-2] Cho ABC vuông tại A có AB  3log a 8 , AC  5log 25 36 . Biết độ dài BC  10
thì giá trị a bằng bao nhiêu?
1
A. 9 .
B. .
C. 3 .
D. 3 .
3
Câu 10.
[2D2-2] Phương trình 22 x
A. 2 .
B. 3 .
Câu 11.

2

5 x  2

 23 x

2

7 x  2

 1  25 x
C. 4 .

2

12 x  4

có bao nhiêu nghiệm?
D. 1.

[2D2-2] Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được
s  t   km  là hàm phụ thuộc theo biến t (giây), với phương trình
s  t   et

2

3

 2t.e3t 1 . Khi đó vận tốc của tên lửa sau 1 giây là

4
A. 5e  km/h  .

4
B. 3e  km/h  .

4
C. 9e  km/h  .

D. 10e

[2D2-2] Giới hạn lim

Câu 12.

x �0

A. 8 .
Câu 13.

B. 4 .

4

 km/h  .

e2 x  1
bằng
x4 2

C. 2 .

D. 1.

[2D1-2] Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên  0; � ?

A. y  sin 2 x .

B. y 

x
x 1
2

.

C. y 

x
2 x

D. y   x 2  1

2

B C có tam giác ABC vuông cân
Câu 14.
[2H2-2] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
tại B , AB  a 2 và cạch bên AA�
 a 6 . Khi đó diện tích xung quanh của hình

trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng đã cho là
A. 4 a 2 6 .
B.  a 2 6 .
C. 4 a 2 .
D. 2 a 2 6
Câu 15.
[2D1-2] Biết phương trình x 3  3x  m  0 có ba nghiệm phân biệt. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. m 2 �4 .
B. m 2  4 .
C. m 2  4 .
D. m 2 �4 .
[2D1-1] Cho hàm số f  x  xác định, liên tục trên
�, có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây
ĐÚNG?
A. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  2 .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3 .
C. Hàm số đồng biến trê khoảng  0; � .

Câu 16.

y
3
2
O

x
1

C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 2/25


Câu 17.
[2D2-1] Cho 0  a �1, 0  b �1, x  0, y  0 . Tìm công thức ĐÚNG trong các
công thức sau.
A. log a  x  y   log a x  log a y
B. log ab x  b.log a x .
�x � log a x
D. log a � �
.
�y � log a y

C. log b x  log b a.log a x .
Câu 18.

[2D1-2] Bảng biến thiên sau đây có thể là bảng biến thiên của hàm số
nào?

A. y   x 2  2 x  3 .

1 4
1 4
2
2
B. y   x  x  3 . C. y  x  x  3 .
4
2

1 4
2
D. y   x  2 x  3
2

Câu 19.
[2D1-2] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số y  x  1  7  x . Khi đó có bao nhiêu số nguyên nằm giữa m , M ?
A. 2 .
B. 1.
C. Vô số.
D. 0 .
Câu 20.

��
2  sin 2 x
0;
[2D2-2] Cho hàm số f  x   e
. Biết x0 ��
là giá trị thỏa mãn
� 2�
�
f�
 x0   0. Khi đó:

A. x0 
Câu 21.



.
2

B. x0 


.
3

C. x0  0

D. x0 


.
4

[2H1-1] Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a . Biết diện
tích mỗi mặt bên của lăng trụ là a 2 3 , khi đó thể tích khối lăng trụ bằng
3a 3 3
A.
.
4

a3 3
B.
.
4

a3

C.
.
4

3a 3
D.
.
4

x
[2D2-2] Cho hàm số y  x  ln  1  e  . Khẳng định nào dưới đây là ĐÚNG?

Câu 22.

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .
C. Hàm số đồng biến trên �.

B. Hàm số đạt cực đại tại x  0 .
D. Tập xác định của hàm số là D   0; � .

Câu 23.
[2H1-2] Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có độ dài tất cả các cạnh
đều bằng a . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng
a3
a3
a3
A. a 3 2 .
B.
.
C.

.
D.
.
2 3
3 2
4
Câu 24.

[2D1-3] Cho hàm số y  x 4  2mx 2  1 . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị A , B , C sao cho ABC có diện tích bằng 4 2 .
A. m  1 .
B. m   2 .
C. m  2 .
D. m  4 .
Câu 25.
A.

[2D2-2] Giá trị cực đại của hàm số y 
e
.
2

B.

1
.
2e

C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

ln x
bằng
x2

1
.
e

D.

1
.
2e 2
Trang 3/25


Câu 26.

[2D1-3] Biết phương trình 2 x  1  x x 2  2   x  1 x 2  2 x  3  0 có nghiệm
duy nhất là a . Khi đó
A. 0  a  1 .
B. 3  a  4 .
C. 1  a  2 .
D. 2  a  3 .
3x  1
có đồ thị  C  . Có bao nhiêu điểm trên  C 
x2

mà tổng khoảng cách từ đó đến hai đường tiệm cận của  C  bằng 6 .
A. 0 .
B. 1.
C. 4 .
D. 2 .

Câu 27.

Câu 28.

[2D1-2] Cho hàm số y 

[2D2-1] Cho đồ thị hàm số y  a x và y  log b x như hình vẽ bên. Khẳng
định nào dưới đây là ĐÚNG?
y

y  log b x

1

y  ax
x

O

B. a  1; b  1 .

A. 0  a  1  b .
Câu 29.

[2D1-1] Đồ thị hàm số y 

đứng?
A. 1.
Câu 30.

Câu 31.

1

C. 0  a  1, 0  b  1 . D. 0  b  1  a .
3x  1
có bao nhiêu đường tiệm cận
x  x2  5x  6 
2

B. 4 .

D. 3 .

C. 2 .

[2D1-1] Gọi x  a và x  b là các điểm cực trị của hàm số
y  2 x 3  3 x 2  18 x  1 . Khi đó A  a  b  2ab bằng
A. 5 .
B. 7 .
C. 5 .
D. 7 .
2
2

[2D2-3] Cho phương trình log 2  2 x   2 log 2  4 x   8  0

 1 . Khi đó phương

trình  1 tương đương với phương trình nào dưới đây:
A. x 2  3 x  2  0 .

B. 3x  5 x  6 x  2 .

C. 4 x 2  9 x  2  0 .

D. 42 x

2

x

 22 x

2

 x 1

3  0.

Câu 32.
[2D2-1] Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y  2 x ?
A.
B.
C.

D.
y
y
y
y
1
O

1

1
x

O

x

O

O

1

x

x

Câu 33.

[2H1-3] Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ,

SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa  SBC 
và mặt đáy bằng 60�. Tính thể tích S . ABCD bằng
2a 3 3
8a 3 3
4a 3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D. 2a 3 3 .
3
3
3

Câu 34.
[2H2-1] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 4/25


B. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Mọi hình hộp có một mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Mọi hình hộp đều có mặt cầu ngoại tiếp.
1
[2D1-2] Cho hàm số y  x3  2 x 2   m  1 x  5 . Tìm điều kiện của m để
3

hàm số đồng biến trên �.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
m �3
m �3
m �3
m �3

Câu 35.

Câu 36.

S . ABC
SA  3 ,
[2H1-3]
Cho khối chóp
có
�
�  CSA
�  60�Tính thể tích khối chóp S . ABC bằng
ASB  BSC

A. 5 2 .
Câu 37.

C. 10 .

B. 5 3 .

x
[2D2-2] Cho phương trình 2016

2

1

SB  4 ,

SC  5 ,

D. 15.

  x 2  1 .2017 x  1  1 . Khẳng định nào

dưới đây đúng?
A. Phương trình  1 có nghiệm duy nhất.
B. Phương trình  1 vô nghiệm.
C. Phương trình  1 có tổng các nghiệm bằng 0 .
D. Phương trình  1 có nhiều hơn hai nghiệm.
Câu 38.

[2H2-2] Một khối lập phương có thể tích 2 2 . Khi đó thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình lập phương đó bằng
A. 2 .

B. 6 .
C. 2 .
D. 6 .

Câu 39.

[2H1-3] Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành,

 P

là mặt

1
phẳng chứa AB cắt SC , SD tại M , N sao cho SM  SC . Gọi V1 , V2 lần lượt
3
V1
là thể tích khối chóp S . ABMN và khối đa diện ABCDNM . Khi đó tỉ số
bằng
V2
A.

1
.
2

B.

1
.
8

C.

2
.
9

D.

2
.
7

Câu 40.

[2H2-3] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 ,
cạnh bên SA   ABC  và SA  4 6. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S . ABC bằng
A. 108 .

Câu 41.

B. 48 .

C. 36 .

D. 144 .

[2H2-2] Cho hai khối cầu  S1  có bán kính R1 , thể tích V1 và  S 2  có bán

kính R2 , thể tích V2 . Biết V2  8V1 , khẳng định nào dưới đây là ĐÚNG?
A. R2  2 R1 .

B. R1  2 R2 .

C. R2  4 R1 .

D. R2  2 2 R1 .

[2D1-2] Gọi A , B là các giao điểm của đường thẳng y   x  m và đồ thị
x 1
hàm số y 
. Khi đó, tìm m để x A  xB  1 .
x
A. m  2 .
B. m  3 .
C. m  0 .
D. m  1 .

Câu 42.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 5/25


[2D1-1] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm

Câu 43.

2
x
số f  x    x  3 e trên đoạn  0; 2 . Giá trị của biểu thức A   m 2  4 M 

A. e 2016 .

B. 1.

2016

bằng

D. 0 .

C. 22016 .

[2D1-2] Phương trình 3 log 3 x  log 3  3 x   1 có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó,

Câu 44.

tích x1 x2 bằng
C. 243 .

B. 36 .

A. 1.

D. 81 .

Câu 45.

[1H3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 .
Biết SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với  ABCD  .
Khoảng cách giữa AB và SD bằng
a 42
a 42
A.
.
B.
.
7
14

Câu 46.

C.

a 3
.
2

D.

a 2
.
2

[1H3-3] Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a 3 . Tính

a3 6

khoảng cách từ điểm A đến  SBC  biết thể tích khối chóp S . ABC bằng
.
4
2a 3
a 2
A.
.
B. a 2 .
C. a .
D.
.
3
2
B C có đáy là tam giác vuông tại B ,
[1H3-3] Cho lăng trụ đứng ABC. A���
AB  a , BC  2a . Biết thể tích của khối lăng trụ ABC. A���
B C bằng 2a 3 2 . Gọi 
BC  với  ABC  . Tính cos  .
là góc giữa  A�

Câu 47.

A.

1
.
3

B.

3
.
3

C.

6
.
3

D.

2
.
3

Câu 48.

[2H2-3] Công ty A cần xây bể chưa hình hộp chữ nhật (không có nắp),
đáy là hình vuông cạnh bằng a  m  , chiều cao bằng h  m  . Biết thể tích bể
3
chứa cần xây là 62,5  m  , hỏi kích thước cạnh đáy và chiều cao phải bằng

bao nhiêu để tổng diện tích các mặt xung quanh và mặt đáy là nhỏ nhất?
A. a 

5 2
m, h  5 m .
2

B. a 

C. a  5 m, h  2,5 m .
Câu 49.

A. 3 .
Câu 50.

D. a  3m, h 

[2D1-1] Biết đồ thị  C  : y 
y  2 . Khi đó, tỷ số

5 10
m, h  4 m .
4

a
là
b
B. 2 .

5 30
m.
6

ax  1
,  b �0, a  b �0  có tiệm cận ngang là
bx  1

C. 1 .

D. 1.

[2D2-3] Biết phương trình 2 log 3  x  2   log3  x  4   0 có hai nghiệm x1 , x2
2

. Khi đó  x1  x2  bằng
2

A. 2 .

B. 4 .

C. 8 .
----------HẾT----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 9 .

Trang 6/25


BẢNG ĐÁP ÁN

1
C
26
A

2
C
27
C

3
C
28
A

4
B
29
D

5
B
30
D

6
A
31
C

7
B
32
C

8
C
33
B

9
C
34
B

10
B
35
B

11
D
36
A

12
A
37
C

13
B
38
B

14
D
39
D

15
B
40
D

16
A
41
A

17
C
42
A

18
B
43
D

19
B
44
C

20
D
45
A

21
C
46
B

22
C
47
A

23
D
48
C

24
C
49
B

25
B
50
A

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

[2D2-2] Tập xác định của hàm số y 



1; 2 .
A. �
�

B.  1; � .

x2  x  2
là
log 3  2  x 2 





C. 1; 2 .





D.  2; 2 \  1 .

Lời giải
Chọn C.
��
x 2
2
��
�x  x  2 �0
x 1
� ��
Đkxđ của hàm số: � 2
�1 x  2 .
2 x  0
�
�
�2  x   2
Câu 2.

[2D1-2] Phát biểu nào sau đây SAI?
4
2
A. Hàm số y  ax  bx  c  a �0  luôn có điểm cực trị.
ax  b
(với ad  bc �0 ) không có cực trị.
cx  d
3
2
C. Hàm số y  ax  bx  cx  d  a �0  luôn có điểm cực trị.
B. Hàm số y 

2

D. Hàm số y  ax  bx  c  a �0  luôn có một điểm cực trị duy nhất.

Lời giải
Chọn C.
3
2
 3ax 2  2bx  c nếu
Hàm số y  ax  bx  cx  d  a �0  là hàm bậc ba có y �

�
 b 2  3ac �0 thì y �không đổi dấu nên không có điểm cực trị.
Câu 3.

[2D1-2] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

(I): Tập xác định của f  x  là D  �\  1 . (II): Hàm số f  x  có đúng một điểm cực trị.
(III): min f  x   2 .

(IV): A  1;3 là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu ĐÚNG?
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C.
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có: (I), (II), (III) đều là các phát biểu sai. Chỉ có (IV) là phát
biểu đúng.Do đó số phát biểu đúng là 1.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/25


Câu 4.

[2H1-2] Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng 45�. Thể tích khối chóp S . ABC bằng bao nhiêu?
A.

3a 3 2
.
4

B.

a3
.
12

C.

a3
.
4

D.

3a 3

.
4

Lời giải
Chọn B.

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Khi đó: SH   ABC  và góc giữa cạnh bên SA và

 ABC 

là

� .
SAH
�  45�. Khi đó: tan 45� SH � SH  AH  a 3 .
Do đó: SAH
AH
3
2
1
1 a 3 a 3 a3
Thể tích khối chóp là VS . ABC  .SH .S ABC  .
.
 .
3
3 3
4
12
Câu 5.

1 3
2
[2D1-2] Cho hàm số y  x  2 x  3 x  1 có đồ thị  C  . Có bao nhiêu tiếp tuyến của  C 
3
song song với đường thẳng y  3 x  1 ?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B.
 x2  4x  3 .
Ta có: y �
x0
�
 3 � x2  4x  3  3 � �
Xét phương trình: y �
.
x4
�
Với x  0 , ta có tiếp điểm là M  0;1 và phương trình tiếp tuyến của  C  là
y  3  x  0   1  3 x  1 l  .
� 7�
4; �và phương trình tiếp tuyến của  C  là
Với x  4 , ta có tiếp điểm là M �
� 3�
7
29
y  3  x  4    3x 
.

3
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/25


Câu 6.

[2H2-2] Cho ABC vuông tại A , AB  6 cm , AC  8 cm . Gọi V1 là thể tích khối nón tạo
thành khi quay ABC quanh AB và V2 là thể tích khối nón tạo thành khi quay ABC quanh
AC . Tỉ số
A.

4
.
3

V1
bằng
V2
B.

3
.
4

16
.

9
Lời giải
C.

D.

64
.
27

Chọn A.
Khi quay ABC quanh AB , ta được khối nón có chiều cao h1  AB  6 cm , bán kính đáy
1
r1  AC  8 cm nên thể tích khối nón tạo thành là V1   .6.82  cm3  .
3
Khi quay ABC quanh AC , ta được khối nón có chiều cao h2  AC  8 cm , bán kính đáy
1
r2  AB  6 cm nên thể tích khối nón tạo thành là V2   .8.62  cm3  .
3
V1 4
 .
Ta có tỉ số:
V2 3
Câu 7.

4 x
x 1
[2D2-2] Giá tị nhỏ nhất của hàm số y  2  .8 trên  1;0 bằng bao nhiêu?
3
5

2
50
2 2
A. .
B. .
C.
.
D.
.
6
3
81
3
Lời giải
Chọn B.
4 x 3
1
x
Ta có: y  2.2  .  2  . Đặt t  2 x , với x � 1;0 � t 1 .
3
2
1 �
4 3
�
Khi đó xét: y   t  2t trên � ;1�.
2 �
3
�
� 1
t

�
2
2
0� �
 4t  2 , y �
Ta có: y �
.
1
�
t
 l
�
2
�
2
2
�1 � 5
�1 � 2 2
Xét y � � , y  1  , y � �
. Suy ra: GTNN của hàm số đã cho là .
3
3
�2 � 6
�2� 3

Câu 8.

��
0;
[2D1-2] GTNN của hàm số f  x   2sin 2 x  5 x  1 trên đoạn �

bằng bao nhiêu?
� 2�
�
5
5
A. 0 .
B. 3 
.
C. 1 
.
D. 1.
4
2
Lời giải
Chọn C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/25


��
 4 cos 2 x  5  0 x �R . Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn �
0;
Ta có: y �
. Suy ra:
� 2�
�
5
� �

GTNN của hàm số đã cho là f � � 1 
.
2
�2 �
Câu 9.

[2D2-2] Cho ABC vuông tại A có AB  3log a 8 , AC  5log 25 36 . Biết độ dài BC  10 thì giá trị
a bằng bao nhiêu?
1
A. 9 .
B. .
C. 3 .
D. 3 .
3
Lời giải
Chọn C.
Ta có: AC 2  AB 2  BC 2 � AC 2  36  100 � AC  8 � 3log a 8  8 . Do đó: 8loga 3  8
� log a 3  1 � a  3 .
2

Câu 10. [2D2-2] Phương trình 22 x 5 x  2  23 x
A. 2 .
B. 3 .

2

7 x2

2

 1  25 x 12 x  4 có bao nhiêu nghiệm?
C. 4 .
D. 1.
Lời giải

Chọn B.



2x
Phương trình � 2

2

5 x  2



 1 23 x

2

7 x2

�
2 x 2  5 x  2  0  1
1  0 � � 2
3x  7 x  2  0  2 
�



x2
x2
�
�
�
�
Xét  1 �
1 và  2  � � 1 .
�
x
x
� 2
� 3
Vậy phương trình bài ra có 3 nghiệm.
Câu 11.

[2D2-2] Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được s  t   km  là hàm phụ
thuộc theo biến t (giây), với phương trình s  t   et
1 giây là
4
A. 5e  km/h  .

4
B. 3e  km/h  .

2

3

 2t.e3t 1 . Khi đó vận tốc của tên lửa sau

4
C. 9e  km/h  .

D. 10e

4

 km/h  .

Lời giải
Chọn D.
Ta có v  t   s�
 t   2t.et

2

3

 2e3t 1  6t.e3t 1 .

4
Do đó v  1  10.e  km/h  .

Câu 12. [2D2-2] Giới hạn lim
x �0

A. 8 .

Chọn A.

e2 x  1
bằng
x4 2
B. 4 .



C. 2 .
Lời giải

D. 1.



2x
2  e2 x  1 x  4  2
e

1
Ta có: lim
 lim
8.
x �0
2x
x  4  2 x �0

Câu 13. [2D1-2] Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên  0; � ?

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/25


x

B. y 

A. y  sin 2 x .

x2  1

C. y 

.

x
2 x

D. y   x 2  1

2

Lời giải
Chọn B.
Xét hàm số y 

Ta có y �


x
x 1
2

x2  1 
x 1
2

x2
x2  1 

x

1

2

 1 x  1
2

 0; x �� nên hàm số đồng biến trên �.

B C có tam giác ABC vuông cân tại B , AB  a 2
Câu 14. [2H2-2] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���

và cạch bên AA�
 a 6 . Khi đó diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng
đã cho là
A. 4 a 2 6 .

B.  a 2 6 .
C. 4 a 2 .
D. 2 a 2 6
Lời giải
Chọn D.

Ta có: tam giác ABC vuông cân tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp đáy lăng trụ là trung điểm
của AC
AC
2 BA2
a 6

 a , chiều cao hình trụ h  AA�
2
2
Suy ra diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đứng đã cho là
Nên r 

S xq  2 .r.h  2 .a.a 6  2 a 2 6 .
Câu 15. [2D1-2] Biết phương trình x 3  3 x  m  0 có ba nghiệm phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m 2 �4 .
B. m 2  4 .
C. m 2  4 .
D. m 2 �4 .
Lời giải
Chọn B.
Số nghiệm của phương trình x 3  3x   m  0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y  x 3  3 x và đường thẳng y   m � Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt điều
kiện là hàm số có cực đại, cực tiểu và yCT   m  yCĐ .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/25


x  1 � yCT  2
�
 3x 2  3 � y�
0� �
Ta có: y �
x  1 � yCĐ  2
�
Để đường thẳng y   m cắt đồ thị hàm số y  x 3  3x tại ba điểm phân biệt điều kiện là
2  m  2 � 2  m  2 � m  2 � m 2  4 .
Câu 16. [2D1-1] Cho hàm số f  x  xác định, liên tục trên �, có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào
dưới đây ĐÚNG?

y
3
2
O

x
1

A. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  2 .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3 .
C. Hàm số đồng biến trê khoảng  0; � .
C. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.
Lời giải

Chọn A.
Từ đồ thị hàm số ta suy ra hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  2 .
Câu 17. [2D2-1] Cho 0  a �1, 0  b �1, x  0, y  0 . Tìm công thức ĐÚNG trong các công thức sau.
A. log a  x  y   log a x  log a y
C. log b x  log b a.log a x .

B. log ab x  b.log a x .
�x � log a x
D. log a � �
.
�y � log a y
Lời giải

Chọn C.
Theo công thức đổi cơ số log a x 

log b x
� logb x  logb a.log a x .
log b a

Câu 18. [2D1-2] Bảng biến thiên sau đây có thể là bảng biến thiên của hàm số nào?

A. y   x 2  2 x  3 .

1 4
1 4
2
2
B. y   x  x  3 . C. y  x  x  3 .
4

2
Lời giải

1 4
2
D. y   x  2 x  3
2

Chọn B.
x0
�
1 4
2
  x3  2 x � � 2
� x0
Ta có: y   x  x  3 � y�
4
x  2  0
�
1 4
2
Suy ra hàm số y   x  x  3 là hàm số có bảng biến thiên đã cho.
4
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/25


Câu 19. [2D1-2] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  1  7  x .
Khi đó có bao nhiêu số nguyên nằm giữa m , M ?

A. 2 .
B. 1.
C. Vô số.
D. 0 .
Lời giải
Chọn B.
Tập xác định: D   1;7  .
Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 0 �2

 x  1  7  x 

2
��
y�

6 2  x 1  7 x 

�x  1  7  x  6 .

6

y 2 12

6

y

2 3

Suy ra m  6; M  2 3 nên chỉ có 1 số nguyên nằm giữa m , M là số 3.

��
2  sin 2 x
0;
 x0   0. Khi đó:
Câu 20. [2D2-2] Cho hàm số f  x   e
. Biết x0 ��
là giá trị thỏa mãn f �
� 2�
�



A. x0  .
B. x0  .
C. x0  0
D. x0  .
2
3
4
Lời giải
Chọn D.

 x   e2sin 2 x .2 cos 2 x � f �
 x0   0 � cos 2 x0  0 � x0 
Ta có: f �

 �
�
��
do x0 ��

0; �
�
�.
4 �
� 2�
�

Câu 21. [2H1-1] Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a . Biết diện tích mỗi mặt bên của
lăng trụ là a 2 3 , khi đó thể tích khối lăng trụ bằng
A.

3a 3 3
.
4

B.

a3 3
.
4

C.

a3
.
4

D.

3a 3

.
4

Lời giải
Chọn C.

h

a

Gọi h là chiều cao của khối lăng trụ, ta có: a.h  a 2 3 � h  a 3 .
a2 3
Mặt đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích mặt đáy là S 
.
4
Vậy, thể tích khối lăng trụ đã cho là V  S .h 

a2 3
3a 3
.
.a 3 
4
4

x
Câu 22. [2D2-2] Cho hàm số y  x  ln  1  e  . Khẳng định nào dưới đây là ĐÚNG?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .
C. Hàm số đồng biến trên �.

B. Hàm số đạt cực đại tại x  0 .
D. Tập xác định của hàm số là D   0; � .
Lời giải

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/25


Chọn C.
Ta có y �
 1

ex
1

 0, x ��. Do đó hàm số đã cho đồng biến trên �.
x
1  e 1 ex

Câu 23. [2H1-2] Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích
khối chóp S . ABCD bằng
A. a

3

a3
C.
.
2 3

Lời giải

a3
B.
.
4

2.

a3
D.
.
3 2

Chọn D.
AC a 2
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD , khi đó SH   ABCD  , HA 
, nên:

2
2
2

�a 2 � a 2
a 2
SH  SA  HA  a  �
�2 �
� 2 � SH  2 .
�
�

2

2

2

2

1
1 a 2
a3

Thể tích khối chóp S . ABCD là V  S ABCD .SH  a 2 .
.
3
3
2
3 2
S

C

D
H
A

B

Câu 24. [2D1-3] Cho hàm số y  x 4  2mx 2  1 . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
A , B , C sao cho ABC có diện tích bằng 4 2 .

A. m  1 .
B. m   2 .
C. m  2 .
Lời giải
Chọn C.
x0
�
 4 x 3  4mx  4 x  x 2  m  ; y �
 0 � �2
Ta có: y �
.
x m
�

D. m  4 .

 0 có ba nghiệm phân biệt � m  0
Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y �
.
 0 có ba nghiệm là x  0 , x   m và x  m .
Khi đó y �





2
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A  0;1 , B  m ;1  m , C





m ;1  m2 . Ba

điểm cực trị A , B , C tạo thành ABC cân đỉnh A .

2
Gọi H là trung điểm BC thì H  0;1  m  . Từ đó BC  2 m , AH  m 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/25


1
1
BC. AH  .2 m .m 2  m 2 m .
2
2
Bởi vậy S  4 2 � m 2 m  4 2 � m  2 .
Diện tích ABC là S 

Câu 25. [2D2-2] Giá trị cực đại của hàm số y 
A.

e
.
2

B.

ln x
bằng
x2

1
.
2e

C.

1
.
e

D.

1
.
2e 2

Lời giải
Chọn B.
Tập xác định của hàm số: D   0; � .
1  2ln x
 0 � 1  2 ln x  0 � x  e .
x3
Ta có bảng biến thiên


Ta có: y�

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số y 

ln x
1
bằng
.
2
x
2e

Câu 26. [2D1-3] Biết phương trình 2 x  1  x x 2  2   x  1 x 2  2 x  3  0 có nghiệm duy nhất là a .
Khi đó
A. 0  a  1 .

B. 3  a  4 .

C. 1  a  2 .
Lời giải

D. 2  a  3 .

Chọn A.
Ta có:
2 x  1  x x 2  2   x  1 x 2  2 x  3  0
� x  x x2  2   1  x    1 x 

 x  1

2

2 0

 *

Xét hàm số: f  t   t  t t 2  2 với t ��.

 t   1 t  2 
Ta có f �
2

t2
t2  2

 0, t ��.

Do đó, hàm số f  t  đồng biến trên �. Bởi vậy:

 * � f  x   f  1  x  � x  1  x � x 

1
.
2

Như vậy, phương trình có nghiệm duy nhất a 
Câu 27. [2D1-2] Cho hàm số y 

1
� 0;1 .

2

3x  1
có đồ thị  C  . Có bao nhiêu điểm trên  C  mà tổng khoảng
x2

cách từ đó đến hai đường tiệm cận của  C  bằng 6 .
A. 0 .

B. 1.

C. 4 .
Lời giải

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 2 .

Trang 15/25


Chọn C.
Đồ thị  C  hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x  2 và tiệm cận ngang là đường thẳng
y  3.
� 3x  1 �
� C  , tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là
Gọi M �x;
�
� x2 �
3x  1

5
T  x2 
3  x2 
x2
x2
x 1
�
�
�x  2  1
x3
5
2
 6 �  x  2  6 x  2  5  0 � �
��
Nên T  6 � x  2 
.
�
x  3
x2
�x  2  5
�
x7
�
Như vậy, có 4 điểm trên  C  mà tổng khoảng cách từ đó đến hai đường tiệm cận của  C 
bằng 6 .
Câu 28. [2D2-1] Cho đồ thị hàm số y  a x và y  log b x như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây là
ĐÚNG?
y

y  log b x

1

y  ax
x

O

A. 0  a  1  b .

B. a  1; b  1 .

1

C. 0  a  1, 0  b  1 . D. 0  b  1  a .
Lời giải

Chọn A.
Từ đồ thị hàm số y  a x và y  log b x suy ra hàm số y  a x nghịch biến và y  log b x đồng
biến nên 0  a  1  b .
Câu 29. [2D1-1] Đồ thị hàm số y 
A. 1.

3x  1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
x  x2  5x  6 
2

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn D.
Hàm số đã cho có tập xác định D  �\  0; 2;3 .
y  �; lim y  � và lim y  �nên đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng.
Ta có lim
x �0
x �2
x �3
Câu 30. [2D1-1] Gọi x  a và x  b là các điểm cực trị của hàm số y  2 x 3  3 x 2  18 x  1 . Khi đó
A  a  b  2ab bằng
A. 5 .
B. 7 .
C. 5 .
D. 7 .
Lời giải
Chọn D.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/25


� 1  13
x
�
2

2
�
�
Ta có: y  6 x  6 x  18  0 �
.
� 1  13
x
�
�
2
Như vậy, hàm số đạt cực trị tại các điểm x 
b

1  13
1  13
1  13
và x 
. Hay a 
và
2
2
2

1  13
.
2

�
�
1  13 � �

1  13 � �
1  13 �
1  13 �


2
Từ đó A  a  b  2ab  �
�
�
�
�
�
�
� 2 �� 2 � � 2 �
� 2 �
� 7 .
�
��
� �
�
�
�
2
2
Câu 31. [2D2-3] Cho phương trình log 2  2 x   2 log 2  4 x   8  0  1 . Khi đó phương trình  1 tương

đương với phương trình nào dưới đây:
A. x 2  3 x  2  0 .
C. 4 x 2  9 x  2  0 .

B. 3x  5 x  6 x  2 .
D. 42 x
Lời giải

2

x

 22 x

2

 x 1

3  0.

Chọn C.
log 2 4  log 2 x 2 �
 1 � 4  log 2 2  log 2 x  2  2 �
�
� 8  0





� 4 log 22 x  2 log 2 x  1  4  4 log 2 x  8  0 � 4 log 22 x  4 log 2 x  8  0
� log 22 x  log 2 x  2  0
x2
�

log 2 x  1
�
��
� � 1 . Do đó  1 có tập nghiệm là S   2; 22  .
�
log 2 x  2
x
�
� 4
Phương trình x 2  3 x  2  0 và phương trình 3x  5 x  6 x  2 đều có x  1 là một nghiệm nên
 3  0 có x  0 là một nghiệm.
1
Phương trình 4 x 2  9 x  2  0 có hai nghiệm là x  2 và x  nên tương đương với phương
4
loại A và B. Phương trình 42 x

2

x

 22 x

2

 x 1

trình  1 .
Câu 32. [2D2-1] Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y  2 x ?
A.
B.

C.
y
y
y
1
O

1

1
x

O

D.

x

O

y

O

1

x

x

Lời giải
Chọn C.
Hàm số y  2 x là hàm đồng biến. Đồ thị hàm số y  2 x đi qua điểm  1; 2  , cắt trục tung tại

 0;1 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/25


Câu 33. [2H1-3] Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SAD cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa  SBC  và mặt đáy bằng 60�. Tính thể tích
S . ABCD bằng

A.

2a 3 3
.
3

B.

8a 3 3
.
3

C.

4a 3 3
.

3

D. 2a 3 3 .

Lời giải
Chọn B.
S

A
D

Gọi H là trung điểm

60�

H

B
M

C

�
 SAD    ABCD 
�
AD . Ta có:  SAD  � ABCD   AD �� SH   ABCD  .
SH  AD

�
�

ABCD là hình vuông cạnh 2a nên S ABCD  AB 2  4a 2 .

Tam giác SBC cân tại S nên SM  BC , mà HM  BC � góc giữa mặt phẳng  SBC  và
� . Theo bài ra
mặt phẳng  ABCD  là góc giữa hai đường thẳng HM , SM chính là góc SMH
�  60�� SH  2a.tan 60� 2a 3 .
có SMH
1
1
8a 3 3
Vậy thể tích S . ABCD là VSABCD  SH .S ABCD  .2 a 3.4a 2 
.
3
3
3
Câu 34. [2H2-1] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Mọi hình hộp có một mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Mọi hình hộp đều có mặt cầu ngoại tiếp.
Lời giải
Chọn B.
A., C., D. sai vì nếu đa giác ở đáy không phải là tứ giác nội tiếp một đường tròn thì không có
mặt cầu ngoại tiếp.
1 3
2
Câu 35. [2D1-2] Cho hàm số y  x  2 x   m  1 x  5 . Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến
3
trên �.

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
m �3
m �3
m �3
m �3
Lời giải
Chọn B.
1 3
2
 x 2  4 x  m  1 , �
 3  m . Để hàm số đồng biến
Ta có y  x  2 x   m  1 x  5 � y�
3
trên � thì �
 3  m �0 ۳ m 3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/25


�  CSA
�  60�Tính thể

Câu 36. [2H1-3] Cho khối chóp S . ABC có SA  3 , SB  4 , SC  5 , �
ASB  BSC
tích khối chóp S . ABC bằng
A. 5 2 .
B. 5 3 .
C. 10 .
D. 15.
Lời giải
Chọn A.
Áp dụng công thức nhanh cho tứ diện biết ba cạnh và ba góc cùng suất phát một đỉnh ta có.
1
�  cos 2 CSA
�  2cos �
� .cos CSA
� 5 2
VSABC  SA.SB.SC. 1  cos 2 �
ASB  cos 2 BSC
ASB.cos BSC
6
x
Câu 37. [2D2-2] Cho phương trình 2016

2

1

  x 2  1 .2017 x  1  1 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Phương trình  1 có nghiệm duy nhất.
B. Phương trình  1 vô nghiệm.

C. Phương trình  1 có tổng các nghiệm bằng 0 .
D. Phương trình  1 có nhiều hơn hai nghiệm.
Lời giải
Chọn C.
2

1

  x 2  1 .2017 x  1 .

2

1

  x 2  1 .2017 x  1 .

x 2  1  0 � 2016 x

2

1

 1 � 2016 x

x 2  1  0 � 2016 x

2

1

 1 � 2016 x

Vậy x 2  1  0 � x  �1.
Câu 38. [2H2-2] Một khối lập phương có thể tích 2 2 . Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập
phương đó bằng
A. 2 .

B.

C. 2 .
Lời giải

6 .

D. 6 .

Chọn B.
Giả sử khối lập phương có cạnh a � a 3  2 2 � a  2 .
Độ dài đường chéo của hình lập phương là

6.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là r 

6
.
2
3

4

4 �6�
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là V   r 3   �
�
� 6 .
3
3 �
�2 �
Câu 39. [2H1-3] Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành,  P  là mặt phẳng chứa AB cắt
1
SC , SD tại M , N sao cho SM  SC . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích khối chóp S . ABMN
3
và khối đa diện ABCDNM . Khi đó tỉ số
A.

1
.
2

B.

1
.
8

V1
bằng
V2
C.

2

.
9

D.

2
.
7

Lời giải
Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/25


S
N
M

A

D

B
C
SN 1

Ta có MN //AB � MN //CD �
SD 3

VSABM 1
V
V
1 V
SM SN SA 1
1
 � SABM  . SABN 
.
.
 � SABN  .
VSABC 3 VSABCD 6 VSABC SC SD SA 9 VSABCD 18
�

VSABMN VSABM  VSAMN 1 1 2 VABCDN
2 7
V 2

   �
 1  � 1  .
VSABCD
S S . ABCD
6 18 9
VSABCD
9 9 V2 7

Câu 40. [2H2-3] Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 , cạnh bên SA   ABC  và
SA  4 6. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC bằng
A. 108 .
B. 48 .
C. 36 .

Lời giải
Chọn D.

D. 144 .

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC .
Dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với  ABC  .
Trong  SAO  dựng đường trung trực của SA cắt SA tại M và cắt d tại I .
Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC và R  IA .
2
Ta có: AO  .3 3  2 3, AM  2 6
3
IA2  IM 2  MA2  36 � R  IA  6
Diện tích mặt cầu: S  4 R 2  4 .36  144 .
Câu 41. [2H2-2] Cho hai khối cầu  S1  có bán kính R1 , thể tích V1 và  S 2  có bán kính R2 , thể tích V2
. Biết V2  8V1 , khẳng định nào dưới đây là ĐÚNG?
A. R2  2 R1 .

B. R1  2 R2 .

C. R2  4 R1 .

D. R2  2 2 R1 .

Lời giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/25

Chọn A.
4
3
Từ công thức tính thể tích khối cầu V   R , ta có được biểu thức tỷ lệ
3
3

V
V2 R23 �R2 � R2
 3 2  3 8  2 � R2  2 R1
 3  � ��
V1
V1 R1 �R1 � R1
Câu 42. [2D1-2] Gọi A , B là các giao điểm của đường thẳng y   x  m và đồ thị hàm số y 
Khi đó, tìm m để x A  xB  1 .
A. m  2 .
B. m  3 .

C. m  0 .
Lời giải

x 1
.
x

D. m  1 .

Chọn A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng y   x  m và đồ thị hàm số y 

x 1
:
x

�x �0
x 1
.
��
2
f
x


x

m

1
x

1

0
1
x







�
Với A , B là các giao điểm thì x A , xB là các nghiệm (khác 0) của phương trình (1), ta cần điều
x  m 

2
�
1  0
�
�
 m  1  4  0
�
kiện: �
(luôn đúng với mọi m ).
�
�f  0  �0
1
�
0
�
Khi đó, theo Viet, ta có x A  xB  m  1 � 1  m  1 � m  2 .
2
x
Câu 43. [2D1-1] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số f  x    x  3 e

trên đoạn  0; 2 . Giá trị của biểu thức A   m 2  4 M 
A. e 2016 .

B. 1.

2016

bằng
D. 0 .

C. 22016 .
Lời giải

Chọn D.
 x    x 2  2 x  3 e x .
Ta có f �
�
x  1� 0; 2
 x   0 �  x 2  2 x  3 e x  0 � x 2  2 x  3  0 � �
Nên f �
x  3 � 0; 2
�
0
2
2
1
Khi đó, ta có f  0   3.e  2; f  2    4  3 .e  e ; f  1   1  3 .e  2e .

Nên ta có m  2e , M  e 2 . Vậy A   m 2  4M 

2016

  4e 2  4e 2 

2016

0.

Câu 44. [2D1-2] Phương trình 3 log 3 x  log 3  3 x   1 có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó, tích x1 x2 bằng
A. 1.

B. 36 .

C. 243 .
Lời giải

D. 81.

Chọn C.
Với điều kiện x  1 , phương trình tương đương với 3 log3 x  log 3 x  1  1
� log 3 x  1
x3
log 3 x  1
�
�
��
�� 4.
�  log 3 x  3 log3 x  2  0 � �
log 3 x  4
x3
�
�
�
� log 3 x  2
4

5
Khi đó, ta có x1 x2  3.3  3  243 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/25


Câu 45. [1H3-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 . Biết SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với  ABCD  . Khoảng cách giữa AB và SD bằng
A.

a 42
.
7

B.

a 42
.
14

C.

a 3
.
2

D.

a 2
.
2

Lời giải
Chọn A.
S

K

A

D

M
H
B
C
Gọi H , M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , CD .

a 2. 3 a 6
.

2
2
Ta chứng minh được SH   ABCD  . Do AB // CD nên AB //  SCD  . Vậy d  AB, SD 
Tam giác SAB đều, cạnh a 2 nên SH  AB và SH 

 d  AB,  SCD    d  H ,  SCD   .
Có HM là đường trung bình của hình vuông ABCD nên HM // AD // CB � HM  CD và

HM  AD  a 2 .
CD  SH �
Ta có:
�� CD   SHM  �  SHM    SCD  .
CD  HM �
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SM nên HK  SM . Ta chứng minh được
HK   SCD  nên d  H ,  SCD    HK .

HK là đường cao của tam giác vuông SHM nên ta có HK 

HS 2 .HM 2
6a 2 a 42
.


HS 2  HM 2
7
7

a 42
Vậy d  H ,  SCD    HK 
.
7
Câu 46. [1H3-3] Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a 3 . Tính khoảng cách từ
a3 6
điểm A đến  SBC  biết thể tích khối chóp S . ABC bằng
.
4
A.

2a 3
.
3

B. a 2 .

C. a .

D.

a 2
.
2

Lời giải
Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/25


Xét tam giác đều ABC với D là trung điểm của BC và I là trọng tâm của tam giác ABC nên
2
1
a
a 3. 3 3a
ta có A, I , D thẳng hàng và AD 
, AI  AD  a , ID  AD  . Đồng thời


3
3
2
2
2
S ABC 

3a 2 3
.
4

Hình chóp S . ABC là chóp tam giác đều nên ta có SI   ABC  . Khi đó, ta có:
a3 6
3V
1
4 a 2.
VS . ABC  SI .S ABC � SI  S . ABC 
S ABC
3
3a 2 3
4
Ta chứng minh được BC   SAD  và  SBC    SAD  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
3.

trên SD . Khi đó AH   SBC  nên d  A,  SBC    AH .
a 2 3a
.

4
2

3a
a 2.
SI . AD
2 a 2.

Xét tam giác SAD có AH .SD  SI . AD � AH 
3
a
SD
2
Xét tam giác vuông SID có SD  SI 2  ID 2  2a 2 

Vậy d  A,  SBC    a 2

B C có đáy là tam giác vuông tại B , AB  a , BC  2a .
Câu 47. [1H3-3] Cho lăng trụ đứng ABC. A���
BC  với
B C bằng 2a 3 2 . Gọi  là góc giữa  A�
Biết thể tích của khối lăng trụ ABC. A���

 ABC  . Tính cos  .
A.

1
.
3

B.

3

.
3

C.

6
.
3

D.

2
.
3

Lời giải
Chọn A.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/25


A�

C�

B�
A

C

B
, AB �BB�
  B nên BC   ABB�
A�
 . Khi đó, ta có:
Ta có BC  AB, BC  BB�
BC  � ABC   BC �
 A�
�
AB � ABC  ; AB  BC ��    �
ABC  ,  A�
BC    �
ABA�
.
�
A�
B � A�
BC  ; A�
B  BC �
Từ giả thiết, ta có:

�
�
VABC . A���
B C  S ABC . AA � AA 

VABC . A���
2a 3 2

BC

 2a 2
.
1
S ABC
.a.2a
2

2
Xét tam giác vuông A�
AB có: A�
B  AA�
 AB 2  8a 2  a 2  3a .
AB
a 1
1
ABA�


 . Vậy cos   .
Nên ta có cos �
A�
B 3a 3
3

Câu 48. [2H2-3] Công ty A cần xây bể chưa hình hộp chữ nhật (không có nắp), đáy là hình vuông cạnh

3
bằng a  m  , chiều cao bằng h  m  . Biết thể tích bể chứa cần xây là 62,5  m  , hỏi kích thước

cạnh đáy và chiều cao phải bằng bao nhiêu để tổng diện tích các mặt xung quanh và mặt đáy là
nhỏ nhất?
A. a 

5 2
m, h  5 m .
2

C. a  5 m, h  2,5 m .

B. a 

5 10
m, h  4 m .
4

D. a  3m, h 

5 30
m.
6

Lời giải
Chọn C.
Từ giả thiết, ta có:
2
Thể tích bể chứa cần xây là V  h.a  62,5

 1 .

2
Tổng diện tích tích các mặt xung quanh và mặt đáy là S  S xq  S đ  4ah  a

 2 .

62,5
62,5
250
S  4a. 2  a 2  a 2 
 f  a .
2 , thế vào (2) ta được
a
a
a
250 2a 3  250
2a 3  250
�
�
Ta có: f  a   2a  2 
. f  a  0 �
 0 � 2a 3  250  0 � a  5 . Ta
2
2
a
a
a
 a  như sau:
có bảng xét dấu của f �
Từ (1), ta có h 

a �
f�

�
0
5

0
–
Trên khoảng  0;  � , hàm số f  a  có duy nhất một điểm cực tiểu là a  5 .
Tại đó a  5 m, h 

62,5
 2,5 m , tổng diện tích đạt giá trị nhỏ nhất.
52

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/25


Câu 49. [2D1-1] Biết đồ thị  C  : y 
a
là
b
A. 3 .

ax  1
,  b �0, a  b �0  có tiệm cận ngang là y  2 . Khi đó, tỷ

bx  1

số

C. 1 .
Lời giải

B. 2 .

D. 1.

Chọn B.
Đồ thị hàm số y 

ax  1
a
a
có đường tiệm cận ngang là y  , nên ta có được  2 .
bx  1
b
b

Câu 50. [2D2-3] Biết phương trình 2 log 3  x  2   log3  x  4   0 có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó
2

 x1  x2 

2

bằng

A. 2 .

C. 8 .
Lời giải

B. 4 .

D. 9 .

Chọn A.
Phương trình đã cho tương đương với:
2 log 3  x  2   2 log3 x  4  0 � log3  x  2    log 3 x  4 � x  2 
�
x2
�
��
�
x2
�
�

1
x4
1
4 x

1
x4

x4

khi

.
2 x4

khi

Khi x  4 , ta có x  2 

�
x  3 2
1
� x2  6 x  7  0 � �
x4
�
x  3 2
�

Khi 2  x  4 , ta có x  2 

1
�  x2  6x  9  0 � x  3
4 x

 TM 
.
 L
 TM  .

Vậy, hai nghiệm của phương trình ban đầu là x1  3, x2  3  2 .
2

Khi đó:  x1  x2   2  2 .
2

----------HẾT----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 25/25