ÔN TOÁN THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Mã đề 102)

ĐỀ THI HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2017 – 2018
Mơn Tốn – Khối 12
Thời gian 90 phút (khơng kể thời gian phát đề)

3x  1
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
2  x
A. Hàm số luôn nghịch biến trên �.
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng  �; 2  và  2; � .

Câu 1. [2D1-2] Cho hàm số y 

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  �; 2  và  2; � .
3
đồng biến trên khoảng nào?
x2
�1 �
.
B.  1; � .
C. � ;1�
�2 �

Câu 2. [2D1-2] Hàm số y  ln  x  2  
A.  �;1 .

Câu 3. [2D1-1] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Trên

�1
�
 ; ��
.
D. �
�2
�
y
4

khoảng  1;3 đồ thị hàm số y  f  x  có mấy điểm cực trị?
A. 2.
C. 0.

B. 1.
D. 3.

Câu 4. [2D1-2] Cho hàm số y  x 2  3 x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
C. Hàm số đạt cực đại tại x  3.

1 O

2

x

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0.
D. Hàm số khơng có cực trị.

Câu 5. [2D1-3] Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  2m  3 có ba điểm
cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông.
A. m  1.
B. m �0.
C. m  2.
D. m  1.
Câu 6. [2D1-1] Tìm phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x  2017 .

B. x  1 .

C. y  2017 .

2017 x  2018
.
x 1
D. y  1 .

f  x   1 và lim f  x   1 . Tìm phương trình đường
Câu 7. [2D1-2] Cho hàm số y  f  x  có xlim
� �
x � �
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  2  2017 f  x  .
A. y  2017

B. y  1

C. y  2017 .

D. y  2019 .

2x  x2  x  6
.
x2 1
C. 0 .
D. 4 .

Câu 8. [2D1-2] Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 1.

B. 2 .

Câu 9. [2D1-3] Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y 
khơng có đường tiệm cận đứng?
A. 9 .
B. 10 .

C. 11.

x 2  3x  2
x 2  mx  m  5

D. 8 .

Câu 10. [2D1-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  1 tại điểm A  3;1 là
A. y  9 x  26 .

B. y  9 x  26 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. y  9 x  3 .

D. y  9 x  2 .
Trang 1/26


� �
0; �, hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là
Câu 11. [1D5-2] Với x ��
� 2�
1
1
1
1




A. y �
.
B. y �
.
sin x
cos x
sin x
cos x
cos x
sin x

cos x
sin x




C. y �
.
D. y �
.
sin x
cos x
sin x
cos x
Câu 12. [2D2-2] Cho hàm số y  2017e  x  3e 2 x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
�
�
 3 y�
 2 y  2017
 3 y�
 2 y  3 .
A. y �
B. y �
�
�
 3 y�
 2y  0 .
 3 y�
 2y  2 .
C. y �

D. y �
Câu 13. [2D1-2] Đồ thị hình bên là đồ thị của một trong 4 hàm số dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
y
A. y  x 3  3 x 2  3 x  1 .
1
1 3
1

2
B. y  x  3x  1 .
x

1
O
3
C. y  x 3  3 x 2  3 x  1 .
D. y  x 3  3x  1 .

3

x 1
có đồ thị  C  . Gọi A , B  x A  xB �0  là hai điểm trên  C  có
x 1
tiếp tuyến tại A , B song song nhau và AB  2 5 . Tính x A  xB .
A. x A  xB  2 .
B. x A  xB  4 .
C. x A  xB  2 2
D. x A  xB  2

Câu 14. [2D1-4] Cho hàm số y 

Câu 15. [2D2-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
A. 0.

B. 1.

ln x
trên đoạn  1; e là
x
1
C.  .
e

D. e.

Câu 16. [2D1-3] Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 16 , hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng
A. 64 .
B. 4 .
C. 16 .
D. 8 .
x 1
có đồ thị  C  . Gọi M  xM ; yM  là một điểm trên  C  sao cho
x 1
tổng khoảng cách từ điểm M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Tổng xM  yM bằng
A. 2 2  1 .
B. 1.
C. 2  2 .
D. 2  2 2 .

Câu 17. [2D1-4] Cho hàm số y 

3
2
Câu 18. [2D1-1] Tìm số giao điểm của đồ thị  C  : y  x  3 x  2 x  2017 và đường thẳng y  2017 .
A. 3 .
B. 0 .
C. 1.
D. 2 .

Câu 19. [2D1-3] Cho hàm số y  mx 3  x 2  2 x  8m có đồ thị  Cm  . Tìm tất cả giá trị của tham số m để
đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
�1 1�
 ; �.
A. m ��
� 6 2�

�1 1�
 ; .
B. m ��
�6 2�
�

�1 1�
� 1�
 ; �\  0 . D. m ��
�; �\  0 .
C. m ��
� 2�
� 6 2�

4
2
Câu 20. [2D1-4] Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y   m  1 x  2  2m  3 x  6m  5
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa x1  x2  x3  1  x4 .
5�
�
1;  �.
A. m ��
B. m � 3;  1 .
C. m � 3;1 .
D. m � 4;  1 .
6�
�

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 2/26


2x 1
tại điểm có hồnh độ bằng 0 cắt hai trục tọa độ
x 1
lần lượt tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng
1
1
A. 2 .
B. 3 .
C. .
D. .
2

4
y

Câu 21. [1D4-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 

ax  b
có đồ thị như hình vẽ bên.
x 1
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. a  b  0 .
B. b  0  a .
C. 0  b  a .
D. 0  a  b .

Câu 22. [2D1-2] Cho hàm số y 

2
Câu 23. [2D2-3] Tìm tổng S  1  2 log

A. S  10082.2017 2 .

2

x

O

2  32 log 3 2 2  4 2 log 4 2 2  ...  2017 2 log 2017 2 2 .

B. S  1007 2.2017 2 .

C. S  1009 2.2017 2 .

D. S  10102.2017 2 .

Câu 24. [2D2-2] Cho hàm số y  ln x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  � .
B. Hàm số có tập giá trị là  �;  � .
C. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng.
D. Hàm số có tập giá trị là  0;  � .
Câu 25. [2D2-1] Tính đạo hàm của hàm số y  log 2  2 x  1 .

A. y �

2
.
2x 1


B. y �

2
 2 x  1 ln 2 .


C. y �

Câu 26. [2D2-1] Tìm tập xác định D của hàm số y   2  x 
A. D   �;  � .

B. D   �; 2 .

1 3

1
 2 x  1 ln 2 .


D. y �

1
.
2x 1

.

C. D   �; 2  .

D. D   2;  � .

Câu 27. [2D2-2] Cho a  0, a �1 và x, y là hai số thực khác 0 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
2
A. log a x  2 log a x .
B. log a  xy   log a x  log a y .
C. log a  x  y   log a x  log a y .

D. log a  xy   log a x  log a y .

mx3

Câu 28. [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 
 7mx 2  14 x  m  2
3
nghịch biến trên nửa khoảng  1;  � .
14 �
�
�;  �.
A. �
15 �
�

14 �
�
�;  �.
B. �
15 �
�

� 14 �
2; 
C. �
.
� 15 �
�

Câu 29. [2D1-2] Cho đồ thị hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình
bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. a, b, c  0; d  0 .
B. a, b, d  0; c  0 .
C. a, c, d  0; b  0 .

D. a, d  0; b, c  0 .
Câu 30. [2H1-2] Số mặt phẳng đối xứng của khối lăng trụ tam giác đều là
A. 3 .
B. 4 .
C. 6 .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

� 14
�
 ;  ��.
D. �
� 15
�
y

O

x

D. 9 .
Trang 3/26


Câu 31. [2H1-1] Hỏi khối đa diện đều loại  4;3 có bao nhiêu mặt?
B. 20 .

A. 4 .

C. 6 .

D. 12 .

B C D có cạnh bằng 2a 2 . Gọi S là tổng diện tích tất
Câu 32. [2H1-3] Cho hình lập phương ABCD. A����
BCD .
cả các mặt của bát diện có các đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phương ABCD. A����
Tính S .
A. S  4a 2 3 .

B. S  8a 2 .

C. S  16a 2 3 .

D. S  8a 2 3 .

Câu 33. [1D1-1] Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. cos x  0 � x   k 2 .
B. cos x  1 � x  k 2 .
2

C. cos x  1 � x    k 2 .
D. cos x  0 � x   k .
2
Câu 34. [1D1-2] Giải phương trình cos 2 x  5sin x  4  0 .


A. x   k .
B. x    k .
2

2

C. x  k 2 .

D. x 


 k 2 .
2

sin x
 0 trên đoạn  0; 2017  . Tính S .
cos x  1
C. S  1017072 .
D. S  200200 .

Câu 35. [1D1-3] Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình
A. S  2035153 .

B. S  1001000 .

Câu 36. [1D2-2] Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau?
A. 648 .
B. 1000 .
C. 729 .

D. 720 .

Câu 37. [1D2-2] Một hộp có 5 bi đen, 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất 2 bi được chọn có
cùng màu là

1
1
4
5
A. .
B. .
C. .
D. .
4
9
9
9
6

� 2 �
3
Câu 38. [1D2-2] Trong khai triển đa thức P  x   �x 
� ( x  0 ), hệ số của x là
x�
�
A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .
D. 240 .
Câu 39. [1H3-2] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ; SA   ABC  và
SA  a 3 . Tính góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng  ABC  .
A. 75�.
B. 60�.
C. 45�.

D. 30�.

Câu 40. [1H3-2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ; SA   ABCD  và
SA  2a . Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng  SCD  .

A. d 

a 5
.
5

B. d  a .

C. d 

4a 5
.
5

D. d 

2a 5
.
5

B C D có đáy là hình thoi cạnh a , �
Câu 41. [2H1-2] Cho hình hộp ABCD. A����
ABC  60�và thể tích bằng
3a 3 . Tính chiều cao h của hình hộp đã cho.
A. h  2a .

B. h  a .
C. h  3a .
D. h  4a .
Câu 42. [2H1-2] Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật lần lượt bằng 20 cm 3 , 28 cm3 , 35 cm3 . Thể
tích của hình hộp đó bằng
A. 165 cm 3 .
B. 190 cm3 .
C. 140 cm3 .
D. 160 cm3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 4/26


Câu 43. [2H1-3] Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vng, mặt bên  SAB  là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
3 7a
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
7
1 3
2 3
A. V  a .
B. V  a 3 .
C. V  a .
3
3

 SCD 

bằng

D. V 

3 3
a .
2

�  120�. Hình
Câu 44. [1H3-4] Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với đáy, SA  2 BC và BAC
chiếu của A trên các đoạn SB , SC lần lượt là M , N . Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và

 AMN  .
B. �.

A. 45�.

D. �.

C. 15�.

B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác A�
BC
Câu 45. [1H3-4] Cho hình lăng trụ ABC. A���
đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  , M là trung điểm cạnh CC �
.
Tính cos in góc  giữa hai đường thẳng AA�và BM .
A. cos  

2 22

.
11

B. cos  

11
.
11

C. cos  

33
.
11

D. cos  

22
.
11

B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết
Câu 46. [2H1-4] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
AB  2a , AC  a , AA�
 4a . Gọi M là điểm thuộc cạnh AA�sao cho MA�
 3MA . Tính
M.
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC và C �
6a
8a

4a
4a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7
3
7

Câu 47. [2H2-2] Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao
a 3.
A. 2a 2 .

B. 2a 2 3 .

C. a 2 .

D. a 2 3 .

Câu 48. [2H2-2] Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài 2a . Thể tích
của khối nón là:
A.

a 3 3

.
6

B.

a 3 3
.
3

C.

a 3 3
.
2

D.

a 3 3
.
12

Câu 49. [2H2-4] Cho tam giác ABC có �
, AB  AC  a . Quay tam giác ABC (bao gồm cả
A  120�
điểm trong tam giác) quanh đường thẳng AB ta được một khối trịn xoay. Thể tích khối trịn
xoay đó bằng:
A.

a 3
.

3

B.

a 3
.
4

C.

a 3 3
.
2

D.

a 3 3
.
4

Câu 50. [2H2-4] Trong các khối trụ có cùng diện tích tồn phần bằng  , gọi  � là khối trụ có thể tích
lớn nhất, chiều cao của  � bằng:
A.


.
3

B.

6
6
.
C.
.
3
6
----------HẾT----------

TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D.

 3
.
4

Trang 5/26


BẢNG ĐÁP ÁN
1
B

2
B

3 4 5
A D D

6
B

7 8
D A

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B B D C D A A C D A C D C D C D B

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
C D B D B C D A D C A C A B D A C D D C B B B B B
BẢNG ĐÁP ÁN
3x  1
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
2  x
A. Hàm số luôn nghịch biến trên �.
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng  �; 2  và  2; � .

Câu 1. [2D1-2] Cho hàm số y 

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  �; 2  và  2; � .
Lời giải
Chọn B.
y
y�


3x  1 3x  1
. TXĐ: D  �\  2 .


2  x x  2
5

 x  2

2

 0 , x �D .

Suy ra hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
3
đồng biến trên khoảng nào?
x2
�1 �
.
B.  1; � .
C. � ;1�
�2 �
Lời giải

Câu 2. [2D1-2] Hàm số y  ln  x  2  
A.  �;1 .

�1
�
 ; ��
.
D. �
�2

�

Chọn B.
y  ln  x  2  
y�


3
. TXĐ: D   2; � .
x2

1
3
x 1


2
2 .
x  2  x  2
 x  2

y�
�0 ۳ x 1 � Hàm số luôn đồng biến trên  1; � .
Câu 3. [2D1-1] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng

 1;3

đồ thị hàm số

y  f  x  có mấy điểm cực trị?

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/26


A. 2.

B. 1.

C. 0.
Lời giải

D. 3.

Chọn A.
Dựa vào đồ thị, trên khoảng  1;3 đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị lần lượt là  0; 4  và  2;0  .
Câu 4. [2D1-2] Cho hàm số y  x 2  3 x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0.
C. Hàm số đạt cực đại tại x  3.
D. Hàm số khơng có cực trị.
Lời giải
Chọn D.
y  x 2  3x . TXĐ: D   �;0 � 3; � .
y�


2x  3
2 x 2  3x

.

y�
 0 x � 3; � � Hàm số luôn đồng biến trên  3; � .
y�
 0 x � �;0  � Hàm số luôn nghịch biến trên  �;0  .
Vậy hàm số khơng có cực trị.
Câu 5. [2D1-3] Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2mx 2  2m  3 có ba điểm
cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông.
A. m  1.
B. m �0.
C. m  2.
D. m  1.
Lời giải
Chọn D.
y  x 4  2mx 2  2m  3 . TXĐ: D  �.
y�
 4 x 3  4mx .
x0
�
y�
 0 � �2
. Hàm số có ba điểm cực trị � m  0  * .
x m
�





2
Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là: A  0; 2m  3 , B  m ; m  2m  3 ,





C m ; m 2  2m  3 .
uuur
uuur
AB   m ;  m 2 , AC 









m ; m2 .

Dễ thấy: tam giác ABC cân tại A .
m0
uuu
r uuur
�
Yêu cầu bài toán � AB  AC � AB. AC  0 � m  m 4  0 � �
.

m 1
�
So với ĐK  * suy ra: m  1 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 6. [2D1-1] Tìm phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x  2017 .

B. x  1 .

C. y  2017 .
Lời giải

2017 x  2018
.
x 1
D. y  1 .

Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/26


y  � và lim  y  � nên x  1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có x �lim
x � 1
 1 
f  x   1 và lim f  x   1 . Tìm phương trình đường
Câu 7. [2D1-2] Cho hàm số y  f  x  có xlim
� �

x � �
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  2  2017 f  x  .
A. y  2017

B. y  1

C. y  2017 .
Lời giải

D. y  2019 .

Chọn D.
�lim y  lim  2  2017. f  x    2  2017.  1  2019
�x ��
x ��
Ta có �
nên y  2019 là đường tiệm cận
lim y  lim  2  2017. f  x    2  2017.  1  2019
�
x ��
�x ��
ngang của đồ thị hàm số y  2  2017 f  x  .
2x  x2  x  6
.
x2 1
C. 0 .
D. 4 .
Lời giải

Câu 8. [2D1-2] Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

A. 1.

B. 2 .

Chọn A.

Tập xác định của hàm số là D   �;  2 � 3;  � .
y  0 nên đường thẳng y  0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do xlim
���
y lim y lim y lim y không tồn tại nên đồ thị hàm số khơng có
Do các giới hạn x �lim
 1  , x � 1  , x �1 , x �1
đường tiệm cận đứng.

Câu 9. [2D1-3] Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y 
khơng có đường tiệm cận đứng?
A. 9 .
B. 10 .

C. 11.
Lời giải

x 2  3x  2
x 2  mx  m  5

D. 8 .

Chọn B.
Xét các trường hợp sau:

TH1: Phương trình x 2  mx  m  5  0 vô nghiệm �   m 2  4m  20  0 .
Giải ra ta được 2  2 6  m  2  2 6 . Do m nguyên nên m � 6;  5; ...; 2 .
TH2: Phương trình x 2  mx  m  5  0 có 1 nghiệm trùng với nghiệm của tử số (khơng xảy ra).
TH3: Phương trình x 2  mx  m  5  0 có 2 nghiệm trùng với hai nghiệm 1 và 2 của tử số.
�
  m 2  4m  20  0
m  2  2 6 �m  2  2 6
�
�
1 m  m  5  0
��
� m  3.
Điều này tương đương với �
m

3
�
�
4  2m  m  5  0
�
Vậy có 10 giá trị nguyên của m thỏa u cầu bài tốn.
Câu 10. [2D1-2] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  1 tại điểm A  3;1 là
A. y  9 x  26 .

B. y  9 x  26 .

C. y  9 x  3 .
Lời giải

D. y  9 x  2 .

Chọn B.
 3 x 2  6 x � y�
 3  9 .
Ta có y �
TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/26


Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  9  x  3  1 � y  9 x  26 .
� �
0; �, hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là
Câu 11. [1D5-2] Với x ��
� 2�
1
1
1
1




A. y �
.
B. y �
.
sin x
cos x
sin x

cos x
cos x
sin x
cos x
sin x




C. y �
.
D. y �
.
sin x
cos x
sin x
cos x
Lời giải
Chọn D.
2  sin x  � 2  cos x  � cos x
sin x .
y�




2 sin x
2 cos x
sin x
cos x

Câu 12. [2D2-2] Cho hàm số y  2017e  x  3e 2 x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
�
�
 3 y�
 2 y  2017
 3 y�
 2 y  3 .
A. y �
B. y �
�
�
 3 y�
 2y  0 .
 3 y�
 2y  2 .
C. y �
D. y �
Lời giải
Chọn C.
y�
 2017e  x  6e 2 x
�
y�
 2017e  x  12e 2 x

�
 3 y�
 2 y  2017e x  12e2 x  3  2017e  x  6e2 x   2  2017e x  3e 2 x 
Ta có: y �
0.

Câu 13. [2D1-2] Đồ thị hình bên là đồ thị của một trong 4 hàm số dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. y  x 3  3 x 2  3 x  1 .
C. y  x 3  3 x 2  3 x  1 .

1 3
B. y  x  3 x  1 .
3
D. y  x 3  3x  1 .
Lời giải

Chọn D.
+Đồ thị cắt trục Oy tại điểm  0; 1 nên loại đáp án C
1 3
 x 2  3  0 . Hàm số luôn đồng biến nên loại B.
+ Xét hàm y  x  3x  1 có y �
3
x 1
�
0� �
 3x 2  3x , y�
+ Xét hàm y  x 3  3x  1 có y �
(thỏa mãn)
x  1
�
Câu 14. [2D1-4] Cho hàm số y 

x 1
có đồ thị  C  . Gọi A , B

x 1

 xA  xB �0 

là hai điểm trên  C  có

tiếp tuyến tại A , B song song nhau và AB  2 5 . Tính x A  xB .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/26


A. x A  xB  2 .

B. x A  xB  4 .

C. x A  xB  2 2

D. x A  xB  2

Lời giải
Chọn A.
+ Gọi A  x A ; y A  , B  xB ; yB 

 xA   y�
 xB  �
Theo giả thiết y �
Suy ra

2

 xA  1
x A  1   xB  1 � x A  xB  2  1



2

2

 xB  1

�  x A  1   xB  1
2

2

2

2

 xB  x A 

+ AB 

2

�
2
2 �

�
1
 1
� 
xA  1�
� xB  1

2

 xB  x A 

2

� 2  x A  xB  �
�
�
 xB  1  xA  1 �
�

�
�
4
2
� AB 2  20 �  xB  x A  �
1
 20
2�
x
.
x


x

x

1


�
�
A B
A
B
�
�
4
2�
�  x A  xB  �
1

�  x .x  1
A B
�

�
�
� 20 có xB  2  x A
�

�

�
4
2
��
.�
1
� 20  
�xA  xB   4 xA .xB �
��  x .x  1 2 �
A
B
�
�
�x A  xB  2
+ Đặt: �
�x A .xB  a
Phương trình   tương đương với
�

�
16
� 20 � 4  1  a  
 20 .
�
1 a
�  a  1 �

1
 4  4a  �
�

4

2

m4
�
16
 20 � 4 m 2  20 m  16  0 � �
m 1
m
�
�x A .xB  3
+ m  4 � 1  a  4 � a  3 � �
�x A  xB  2
xA , xB là nghiệm của phương trình X 2  2 X  3  0
Đặt 1  a  m � 4m 

Suy ra  x A , xB    3; 1 (không thỏa mãn ĐK) hoặc  x A , xB    1;3 (không thỏa mãn ĐK)
�x A .xB  0
+ m  1 �1 a  1 � a  0 � �
�x A  xB  2
xA , xB là nghiệm của phương trình X 2  2 X  0
Suy ra  x A , xB    0; 2  � x A  xB  2  0  ktm 

 xA , xB    2;0 

� x A  xB  2  0  tm  .

Câu 15. [2D2-2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

A. 0.

B. 1.

ln x
trên đoạn  1; e là
x
1
C.  .
e
Lời giải

D. e.

Chọn A.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/26


1
.x  ln x
1  ln x , y�
 0 � 1  ln x  0 � x  e � 1; e 
y�
 x 2

2
x
x

1
y  1  0 , y  e  
e
min y  0
 1; e

Câu 16. [2D1-3] Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 16 , hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng
A. 64 .
B. 4 .
C. 16 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn C.
Gọi x  0  x  8  là một cạnh của hình chữ nhật, suy ra cạnh còn lại: 8  x .
�x   8  x  �
�
�
� 2
�
2


x 8 x 
Diện tích của hình chữ nhật: S �

S 16 .

Do đó S max  16 � x  8  x � x  4 .
x 1
có đồ thị  C  . Gọi M  xM ; yM  là một điểm trên  C  sao cho

x 1
tổng khoảng cách từ điểm M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Tổng xM  yM bằng

Câu 17. [2D1-4] Cho hàm số y 

A. 2 2  1 .

C. 2  2 .
Lời giải

B. 1.

D. 2  2 2 .

Chọn D.
Tập xác định: D  �\  1 .
Đặt: d  M   d  M ; Ox   d  M ; Oy   x 

x 1
.
x 1

Nhận xét: với M  0;1 thì ta có: d  M   1 . Do đó để tìm giá trị nhỏ nhất của d  M  ta chỉ cần
xét khi x �1 � 1 �x  1 .


Nếu 0 �x  1 thì d  M   g  x   x 

 x  1
Ta có: g �

2

 x  1

2

x 1
.
x 1

 0; x � 0;1

� g  x

nghịch biến trên

 0;1

do đó

min g  x   g  0   1 .
 0;1


Nếu 1 �x �0 thì d  M   g  x    x 

 x   1 
Ta có: g �

2

 x  1

2

x 1
.
x 1

�
x  1  2 � 1; 0
�
� g�
x

0
�
 
.
�
x  1  2 � 1; 0
�





Ta có: g  0   1 ; g  1  1 ; g 1  2  2 2  2





min g  x   g 1  2  2 2  2 .
 0;1





Do đó M  xM ; yM  thỏa đề bài là: M 1  2;1  2 suy ra: xM  yM  2  2 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/26


3
2
Câu 18. [2D1-1] Tìm số giao điểm của đồ thị  C  : y  x  3 x  2 x  2017 và đường thẳng y  2017 .

A. 3 .

B. 0 .

C. 1.
Lời giải

D. 2 .

Chọn A.
x0
�
�
x 1 .
Phương trình hồnh độ giao điểm: x  3 x  2 x  2017  2017 � x  3 x  2 x  0 � �
�
x2
�
3

2

3

2

Do đó giữa đường thẳng và  C  có 3 điểm chung.
Câu 19. [2D1-3] Cho hàm số y  mx 3  x 2  2 x  8m có đồ thị  Cm  . Tìm tất cả giá trị của tham số m để
đồ thị  Cm  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
�1 1�
 ; �.
A. m ��
� 6 2�

�1 1�
 ; .
B. m ��
�6 2�

�

�1 1�
� 1�
 ; �\  0 . D. m ��
�; �\  0 .
C. m ��
� 2�
� 6 2�
Lời giải

Chọn C.
x  2
�
Phương trình hồnh độ giao điểm: mx 3  x 2  2 x  8m  0 � �
g  x   mx 2   2m  1 x  4m  0
�
Do đó  Cm  cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt � g  x   0 có hai nghiệm phân biệt khác
2
�
�
�
m �0
m �0
�
�
m �0
m �0
�
�

�
�
1
2
�1
�
2
2
��
   2m  1  16m  0 � �
12m  4m  1  0 � �
 m � �1
1.
6
2
 m
�
�
�
�
1
2
�6
�g  2   12m  2 �0
1
�
�
m �
m
�


6
�
�
6
�
4
2
Câu 20. [2D1-4] Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y   m  1 x  2  2m  3 x  6m  5

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa x1  x2  x3  1  x4 .
5�
�
1;  �.
A. m ��
6�
�

B. m � 3;  1 .

C. m � 3;1 .

D. m � 4;  1 .

Lời giải
Chọn D.
4
2
Phương trình hồnh độ giao điểm:  m  1 x  2  2m  3 x  6m  5  0  1 .
2

Đặt t  x 2 ; t �0 phương trình trở thành:  m  1 t  2  2m  3 t  6m  5  0

 2 .

Phương trình  1 có bốn nghiệm thỏa x1  x2  x3  1  x4 khi và chỉ khi phương trình  2  có
0  t1  t2
0  t1  t2
�
�
��
hai nghiệm t1 , t2 thỏa 0  t1  1  t2 � �
.
 t1  1  t2  1  0 �t1t2   t1  t2   1  0
�

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/26


�
�
�
�
�
�
m  1 �0
m  1 �0
�
�

2
�
 2m  23m  4  0
�
 2m 2  23m  4  0
�
�
� 2 2m  3
�


�
� 2  2m  3
� �S 
0
� �S 
0
� 4  m  1 .
m 1
m 1
�
�
� 6m  5
� 6m  5
�P  m  1  0
�P  m  1  0
�
�
�6m  5 2  2m  3
�3m  12  0


1  0
�
�
�m 1
m 1
�m  1
2x 1
tại điểm có hồnh độ bằng 0 cắt hai trục tọa độ
x 1
lần lượt tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng
1
1
A. 2 .
B. 3 .
C. .
D. .
2
4
Lời giải
Chọn C.
2x  1
1

Ta có y  x  1 � y�
2 .
 x  1

Câu 21. [1D4-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 

 0  1 .
Với x0  0 , ta có y  0   1 và y �
Vậy phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y 

2x 1
tại điểm  0;1 là
x 1

y  1.  x  0   1 � y  x  1 .
d cắt Ox tại điểm A  1;0  , d cắt Oy tại điểm B  0;1 .

1
1
1
S AOB  �
OA �
OB  �
1�
1 .
2
2
2
Câu 22. [2D1-2] Cho hàm số y 

ax  b
có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các
x 1

khẳng định sau?

A. a  b  0 .

B. b  0  a .

C. 0  b  a .
Lời giải

D. 0  a  b .

Chọn D.
�b �
 ;0 �.
Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm A �
�a �

TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/26


b
b
 1 �  1 � a.b  0 . Vậy loại phương án B.
a
a
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  a . Theo hình vẽ, ta có a  0 .
b
Kết hợp với điều kiện  1 , ta suy ra b  a  0 .
a
Theo hình vẽ, ta có 

2
Câu 23. [2D2-3] Tìm tổng S  1  2 log

A. S  10082.2017 2 .
Chọn C.
Ta có
S  1  2 2 log

2

2

2  32 log 3 2 2  4 2 log 4 2 2  ...  2017 2 log 2017 2 2 .

B. S  1007 2.2017 2 . C. S  1009 2.2017 2 .
Lời giải

D. S  10102.2017 2 .

2  32 log 3 2 2  4 2 log 4 2 2  ...  2017 2 log 2017 2 2  1  23  33  43  ...  2017 3 .

n 2 . n  1
Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng: 1  2  3  ...  n  
4
Áp dụng với n  2017 , ta có
3

3

3

3

2

với mọi n ��* .

2017 2.  2017  1
2017 2.20182
S  1  2  3  4  ...  2017 

 1009 2.2017 2 .
4
4
2

3

3

3

3

Câu 24. [2D2-2] Cho hàm số y  ln x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  � .
B. Hàm số có tập giá trị là  �;  � .
C. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng.
D. Hàm số có tập giá trị là  0;  � .

Lời giải
Chọn D.
Đồ thị hàm số y  ln x có dạng

Qua đồ thị ta thấy, các khẳng định A, B, C đúng.
1
1
Ta có ln  ln e  1  0 nên khẳng định D sai.
e
Câu 25. [2D2-1] Tính đạo hàm của hàm số y  log 2  2 x  1 .

A. y �

2
.
2x 1


B. y �

2
 2 x  1 ln 2 .


C. y �

1
 2 x  1 ln 2 .



D. y �

1
.
2x 1

Lời giải
Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/26


Ta có y  log 2  2 x  1 � y�


 2 x  1 � 
2
.
 2 x  1 .ln 2  2 x  1 .ln 2

Câu 26. [2D2-1] Tìm tập xác định D của hàm số y   2  x 
B. D   �; 2 .

A. D   �;  � .

1 3

.

C. D   �; 2  .

D. D   2;  � .

Lời giải
Chọn C.
Hàm số y   2  x 

1 3

là hàm số luỹ thừa, có số mũ 1  3 nên có tập xác định là

D   �; 2  .
Câu 27. [2D2-2] Cho a  0, a �1 và x, y là hai số thực khác 0 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
2
A. log a x  2 log a x .
B. log a  xy   log a x  log a y .
C. log a  x  y   log a x  log a y .

D. log a  xy   log a x  log a y .
Lời giải

Chọn D.
Câu hỏi lý thuyết.
mx3
Câu 28. [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 
 7mx 2  14 x  m  2
3

nghịch biến trên nửa khoảng  1;  � .
14 �
�
�;  �.
A. �
15 �
�

14 �
�
�;  �.
B. �
15 �
�

� 14 �
2; 
C. �
.
� 15 �
�
Lời giải

� 14
�
 ;  ��.
D. �
� 15
�

Chọn B.
Tập xác định D  �.
y�
 mx 2  14mx  14 .
Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng  1;  � ۣ y� 0 với x � 1;  � .
� mx 2  14mx  14 �0 với x � 1;  �
� m  x 2  14 x  �14 với x � 1;  �

14
với x � 1;  � .
x  14 x
14
Xét hàm số f  x   2
với x � 1;  �
x  14 x
28  x  7 
 0 với x � 1;  � .
 x  2
2
Ta có f �
 x  14 x 
 m

2

Hàm số đồng biến trên với x � 1;  �

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/26

x

�

1

0

f  x

Vậy với m �



14
15

14
thì hàm số nghịch biến trên nửa khoảng  1;  � .
15

Câu 29. [2D1-2] Cho đồ thị hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau
đây là khẳng định đúng?

A. a, b, c  0; d  0 .

B. a, b, d  0; c  0 . C. a, c, d  0; b  0 .
Lời giải

D. a, d  0; b, c  0 .

Chọn D.
y  � � a  0 � loại đáp án A.
Ta thấy xlim
��
y�
 3ax 2  2bx  c
Theo đồ thị thì hàm số có hai điểm cực trị trái dấu � ac  0 � c  0 .
b
b
�
y�
 6ax  2b  0 � x   . Đồ thị có điểm uốn có hồnh độ dương suy ra x  
0
3a
3a
�b  0.
Do đó đáp án đúng là D.
Câu 30. [2H1-2] Số mặt phẳng đối xứng của khối lăng trụ tam giác đều là
A. 3 .
B. 4 .
C. 6 .
Lời giải
Chọn B.

D. 9 .

C

A

B

A�

C�

B�
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/26


Ta có các mặt phẳng đối xứng của khối lăng trụ tam giác đều là các mặt phẳng trung trực của
các đoạn thẳng AB , BC , CA , AA�
.
Câu 31. [2H1-1] Hỏi khối đa diện đều loại  4;3 có bao nhiêu mặt?
A. 4 .

B. 20 .

C. 6 .
Lời giải

D. 12 .

Chọn C.
Khối đa diện đều loại  4;3 chính là khối lập phương nên có 6 mặt.

B C D có cạnh bằng 2a 2 . Gọi S là tổng diện tích tất
Câu 32. [2H1-3] Cho hình lập phương ABCD. A����
BCD .
cả các mặt của bát diện có các đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phương ABCD. A����
Tính S .
A. S  4a 2 3 .

B. S  8a 2 .

C. S  16a 2 3 .
Lời giải

D. S  8a 2 3 .

Chọn D.

Gọi E , F , I , J , M , N lần lượt là tâm của sáu mặt của hình lập phương (như hình vẽ), khi đó
E , F , I , J , M , N là các đỉnh của một bát diện đều.

D khi đó E , F , I , J , M , N là trung điểm của các cạnh của tứ
Thật vậy, xét tứ diện đều ACB��
diện nên mỗi mặt của bát diện là những tam giác đều bằng nhau có cạnh bằng

AC
2

Mà AC là đường chéo hình vng cạnh bằng 2a 2 suy ra AC  4a .
Suy ra diện tích một mặt S IEF

 2a 



2

4

3

 a2 3 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/26


Vậy tổng S  8a 2 3 .
Câu 33. [1D1-1] Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. cos x  0 � x   k 2 .
B. cos x  1 � x  k 2 .
2

C. cos x  1 � x    k 2 .
D. cos x  0 � x   k .
2
Lời giải
Chọn A.

Ta có cos x  0 � x   k .
2

Câu 34. [1D1-2] Giải phương trình cos 2 x  5sin x  4  0 .


A. x   k .
B. x    k .
C. x  k 2 .
2
2
Lời giải
Chọn D.
Ta có cos 2 x  5sin x  4  0 � 1  2sin 2 x  5sin x  4  0 .

D. x 


 k 2 .
2

sin x  1  n 
�
sin x  1
�
�
�
� 2sin x  5sin x  3  0 �
�
3
3
�
�

sin x   VN 
sin x   l 
�
�
2
2
2

sin x  1 � x 


 k 2 , k ��.
2
sin x
 0 trên đoạn  0; 2017  . Tính S .
cos x  1
B. S  1001000 .
C. S  1017072 .
D. S  200200 .
Lời giải

Câu 35. [1D1-3] Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình
A. S  2035153 .
Chọn C.

sin x  0
�
cos 2 x  1
�
sin x

0��
��
� cos x  1 � x  k 2 , k ��.
Ta có
cos x �1 �
cos x  1
cos x �1
�
Vì x � 0; 2017 

0

x

2017 suy ra 0 ���
k 2�
 2017

0 k

2017
1008,5 .
2

Vậy k � 0; 1; 2; ...; 1008 , do đó ta được 1009 nghiệm là:
x0  0, x1  1.2 , x2  2.2 , ..., x1007  1007.2 , x1008  1008.2 .
Tổng của các nghiệm là;
S  0  1.2  2.2  ...  1007.2  1008.2
 2  1  2  ...  1008   2

1008.1009
 1017072 .
2

Câu 36. [1D2-2] Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau?
A. 648 .
B. 1000 .
C. 729 .
Lời giải
Chọn A.
3
2
Số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau là: A10  A9  648 số.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 720 .

Trang 18/26


Câu 37. [1D2-2] Một hộp có 5 bi đen, 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Xác suất 2 bi được chọn có
cùng màu là
1
1
4
5
A. .
B. .
C. .

D. .
4
9
9
9
Lời giải
Chọn C.
2
Chọn 2 bi bất kỳ từ 9 bi ta có: n     C9  36
2
2
Gọi A là biến cố hai bi được chọn cùng màu ta có: n  A   C4  C5  16 .

Vậy xác suất của biến cố A là:
n  A 4
P  A 
 .
n   9
6

� 2 �
3
Câu 38. [1D2-2] Trong khai triển đa thức P  x   �x 
� ( x  0 ), hệ số của x là
x
�
�
A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .

D. 240 .
Lời giải
Chọn A.
Số hạng tổng quát trong khai triển trên là:
k

T C x
k
6

6k

3k
�2 �
. � �--  2k C k x 6 2
6
�x�

3k
3 � k 2.
2
2
2
Vậy hệ số của x 3 trong khai triển trên là: 2 .C6  60 .
Để có số hạng chứa x 3 khi 6 

Câu 39. [1H3-2] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ; SA   ABC  và
SA  a 3 . Tính góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng  ABC  .
A. 75�.
B. 60�.

C. 45�.
Lời giải
Chọn B.
S

A

D. 30�.

C

B
Vì SA   ABC  nên hình chiếu của đường thẳng SB trên mặt phẳng  ABC  là AB . Khi đó
� .
góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng  ABC  là SBA
� 
Trong tam giác vuông SBA có tan SBA

SA a 3
�  60�.

 3 � SBA
AB
a

TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/26

Vậy góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng  ABC  là 60�.
Câu 40. [1H3-2] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ; SA   ABCD  và
SA  2a . Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng  SCD  .
A. d 

a 5
.
5

B. d  a .

C. d 

4a 5
.
5

D. d 

2a 5
.
5

Lời giải
Chọn D.

S

H

C

A

B

D

Gọi H là hình chiếu của A trên SD ta có:
CD  AD
�
� CD   SAD  mà AH � SAD  � AH  CD .
�
�CD  SA
�AH  CD
� AH   SCD  � AH  d  A,  SCD  
�
�AH  SD

Vì AB // CD � d  B,  SCD    d  A,  SCD  
AH 

SA. AD
SA  AD
2

2



2a 2a 5

.
5
5

B C D có đáy là hình thoi cạnh a , �
Câu 41. [2H1-2] Cho hình hộp ABCD. A����
ABC  60�và thể tích bằng
3a 3 . Tính chiều cao h của hình hộp đã cho.
A. h  2a .
B. h  a .
C. h  3a .
Lời giải
Chọn A.
a
Do đáy là hình thoi cạnh a , �
ABC  60�nên diện tích đáy là: B  2
Thể tích của hình hộp là

V  B.h � h 

D. h  4a .

2

4

3



a2 3
.
2

V a3 3

 2a
.
B a2 3
2

Câu 42. [2H1-2] Diện tích ba mặt của hình hộp chữ nhật lần lượt bằng 20 cm 3 , 28 cm3 , 35 cm3 . Thể
tích của hình hộp đó bằng
A. 165 cm 3 .
B. 190 cm3 .
C. 140 cm3 .
D. 160 cm3 .
Lời giải
Chọn C.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/26


Gọi a , b , c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật, theo giả thiết ta có ab  20 , bc  28 ,
ca  35 .
Mà V  abc  ab.bc.ca  20.28.35  140 cm3 .
Câu 43. [2H1-3] Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vng, mặt bên  SAB  là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
3 7a
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
7
1 3
2 3
A. V  a .
B. V  a 3 .
C. V  a .
3
3
Lời giải
Chọn D.

 SCD 

bằng

D. V 

3 3
a .
2

Vì SAB đều, gọi H là trung điểm AB , từ giả thiết � SH   ABCD  .
3 7a
.
7
Gọi M là trung điểm của CD , theo hình vẽ ta có
Vì d  B;  SCD    d  H ;  SCD   

d  H ,  SCD    HK 

3 7a
.
7

x 3
Gọi x là độ dài cạnh đáy. Khi đó, do SAB đều cạnh x nên SH 
, HM  x
2
�

1
1
1
7
4
1


� 2  2  2 �xa 3.
2
2
2
HK
SH
HM
9a
3x

x

2
Vậy S ABCD  3a ; SH 

3a
1
3a 3
.
� VS . ABCD  SH .S ABCD 
2
3
2

�  120�. Hình
Câu 44. [1H3-4] Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với đáy, SA  2 BC và BAC
chiếu của A trên các đoạn SB , SC lần lượt là M , N . Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và

 AMN  .
A. 45�.

B. �.

C. 15�.
Lời giải

D. �.

Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/26


Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , D là điểm đối xứng của A qua O.
�AB  BD
� BD   SAB  � BD  AM , mà AM  SB nên AM   SBD 
Ta có �
�SA  BD
� AM  SD .
Tương tự AN  SD .

Vậy SD   AMN  , mà SA   ABC  nên
ASD 
vuông tại A. Ta có tan �

ASD
  AMN  ;  ABC     SA; SD   �

vì SAD

AD
, mà AD là đường kính của đường trịn ngoại tiếp ABC
SA

BC
2 BC SA


.

sin120�
3
3
1
ASD 
��
ASD  30�
Vậy tan �
.
3
nên AD 

B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác A�
BC
Câu 45. [1H3-4] Cho hình lăng trụ ABC. A���

đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  , M là trung điểm cạnh CC �
.
Tính cosin góc  giữa hai đường thẳng AA�và BM .
A. cos  

2 22
.
11

B. cos  

11
.
11

C. cos  

33
.
11

D. cos  

22
.
11

Lời giải
Chọn C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/26


H   ABC  .
Gọi H là trung điểm BC � A�
a 3
a 6
nên AA�
.

2
2

; BM    CC �
; BM  .
/ / CC �nên  AA�
Do AA�
Ta có A�
H  AH 

� .
Ta tính góc BMC
1
1
a 6
Vì M là trung điểm CC �nên CM  CC �
.
 AA�

2
2
4
Gọi N là giao điểm của A�
, CM 
M với AC . Do CM / / AA�

1
AA�nên CM là đường trung
2

N � C là trung điểm AN .
bình của AA�
a 6

a 10
C  AC  CN nên AA�
N vuông tại A�
Ta có A�
, AN  2a , AA�
.

� A�
N
2
2
Tương tự, ABN vuông tại B , AB  a , AN  2a � BN  a 3 .
a 10
BN có A�
B  a , BN  a 3 , A�
Xét A�
, BM là đường trung tuyến nên
N
2
BN 2  A�
B 2 A�
N 2 3a 2  a 2 5a 2 11a 2
a 22
.




� BM 
2

4
2
8
8
4
11a 2 3a 2

 a2
2
2
2
BM  CM  BC
33
8
8
�


Xét BMC có cos BMC 
.
2 BM .CM
11
a 22 a 6
2.
.
4
4
BM 2 

B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Biết

Câu 46. [2H1-4] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
AB  2a , AC  a , AA�
 4a . Gọi M là điểm thuộc cạnh AA�sao cho MA�
 3MA . Tính
M.
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC và C �
6a
8a
4a
4a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7
3
7
Lời giải
Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/26

Gọi I  B�
, ta có:
M �BA�
�
C � MB ��
C
�BC //B ��
� BC //  MB��
C  � d  BC , C �
M   d  BC ,  MB��
C    d  B ,  MB��
C  .
�
C
�BC � MB ��
Mà hai tam giác IMA�và IB�
B đồng dạng, có:
IA� MA� 3
3
4

 � IA�
 IB � d  B,  MB��
C    d  A�
,  MB��
C  .
IB BB� 4
4
3
K  B��

C tại K , A�
Dựng A�
H  MK tại H , ta có:
B��
C  A�
K�
�
C   MA�
K  � A�
H  B��
C�
�� B��
H   MB��
C  � d  A�
,  MB��
C    A�
H.
B��
C  MA�
�� A�
�
�
A�
H  MK
�
1
1
1
1
1

5


 2 2  2.
B C vng tại A�có:
Xét tam giác A���
2
2
2
A�
K
A��
B
A��
C
4a a
4a
1
1
1
5
1
49
6a


 2 2 
� A�
H
Xét tam giác MA�

K vng tại A�có:
2
2
2
2
A�
H
A�
K
A�
M
4a 9 a
36a
7
M 
. Vậy, d  BC , C �

4
4 6a 8a
A�
H . 
.
3
3 7
7

Câu 47. [2H2-2] Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao
a 3.
A. 2a 2 .

B. 2a 2 3 .

C. a 2 .
Lời giải

D. a 2 3 .

Chọn B.
2
Diện tích xung quanh hình trụ: S xq  2 Rl  2 Rh  2 .a.a 3  2 3 a .

Câu 48. [2H2-2] Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài 2a . Thể tích
của khối nón là:
A.

a 3 3
.
6

B.

a 3 3
.
3

C.

a 3 3
.
2

D.

a 3 3
.
12

Lời giải
Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 24/26


Giả sử hình nón có đỉnh là S , tâm đáy là O , thiết diện qua trục là SAB .
Ta có: SAB đều cạnh 2a � R  a .
Tam giác SOA vng tại O có: h  SO  SA2  AO 2  3a .
1
1
3 a 3
Thể tích khối nón là: V  h R 2  . 3a. a 2 
.
3
3
3
Câu 49. [2H2-4] Cho tam giác ABC có �
, AB  AC  a . Quay tam giác ABC (bao gồm cả
A  120�
điểm trong tam giác) quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối trịn

xoay đó bằng:
A.

a 3
.
3

B.

a 3
.
4

C.

a 3 3
.
2

D.

a 3 3
.
4

Lời giải
Chọn B.

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được khối trịn xoay có thể tích bằng V1 thể
tích khối nón lớn có đỉnh B và thiết diện qua trục là BDC (hình vẽ) trừ đi V2 thể tích khối nón

nhỏ có đỉnh A và thiết diện qua trục là ADC .
Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp đáy của hai khối nón.
OC
3
� OC  AC sin 60�
a.
AC
2
AO
a
3
cos 60�
� OA  AC cos 60� � BO  a .
AC
2
2

Xét tam giác AOC vuông tại O có: sin 60�

2

1
1
1
1 �3 �
 a3
V  V1  V2  BO.. OC 2  AO. OC 2   OC 2  BO  AO    . �
a
.
a


.
�
�
3
3
3
3 �
4
�2 �
Câu 50. [2H2-4] Trong các khối trụ có cùng diện tích tồn phần bằng  , gọi  � là khối trụ có thể tích
lớn nhất, chiều cao của  � bằng:
A.


.
3

B.

6
.
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C.

6
.

6

D.

 3
.
4
Trang 25/26