Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và hàm số dưới dấu tích phân

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1
TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ HÀM SỐ
VỚI CẬN TÍCH PHÂN THAY ĐỔI (ĐỀ SỐ 01)
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:
www.vted.vn
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Mã đề thi
132

Họ, tên thí sinh:..................................................................... Trường: ...........................................
Định lý . Nếu f (x) là hàm khả tích trên ⎡⎣ a,b⎤⎦ liên tục tại mọi x ∈ ⎡⎣ a,b⎤⎦ thì hàm số F(x) xác định bởi
x

F(x) = ∫ f (t) dt
a

khả vi tại x và F '(x) = f (x) .
v( x )

Tổng quát có F(x) =

∫

f (t) dt thì F '(x) = v '(x) f (v(x)) −u'(x) f (u(x)) .

u( x )

Câu 1. Tìm giá trị thực của a để F(x) =

A. a = 6.

ax +1
1
là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
.
x −5
(x −5)2

2
B. a = .
5

3
C. a = .
5

Câu 2. Tìm giá trị thực của a để F(x) =

ax +1
2x +1

2
D. a = − .
5

là một nguyên hàm của hàm số f (x) =

4x + 3
(2x +1)3

.

A. a = 4.
B. a = 5.
C. a = −4.
D. a = −5.
x
Câu 3. Biết F(x) = e ( msin x + ncos x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = e x (2sin x −3cos x). Tính
S = m+ n.

5
D. S = .
2
2
x
2
Câu 4. Biết hàm số F(x) = (ax + bx + c)e là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + 2x + 3)e x .
Tính S = a + 2b+ 3c.
A. S = 4.
B. S = 6.
C. S = 10.
D. S = 7.
10x 2 −7x − 2
Câu 5. Cho F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x −1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
trên
2x −1
⎛1
⎞
khoảng ⎜⎜ ;+∞⎟⎟⎟. Tính S = a + b+ c.

⎜⎝ 2
⎟⎠
A. S = 3.
B. S = 0.
C. S = −6.
D. S = −2.

A. S = −1.

B. S = −3.

C. S = 2.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 1
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN
2

Câu 6. Biết F(x) = (ax + bx + c) 2x −3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
⎛3
⎞
khoảng ⎜⎜ ;+∞⎟⎟⎟. Tính P = abc.
⎜⎝ 2
⎟⎠
A. P = 0.

B. P = 3.

20x 2 −30x + 7
2x −3

trên

C. P = 4.

D. P = −8.

C. F ′(x) = −2x sin ( x ).

D. F ′(x) = 2x cos( x ).

x2

Câu 7. Cho hàm số F(x) = ∫ cos t dt. Tính F ′(x).
A. F ′(x) = cos( x ).

0

B. F ′(x) = 2x cos x.
x

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y = ∫ cost dt (x > 0).
0

A. y ′ =

cos x
2 x

.

B. y ′ =

2cos x
x

.

C. y ′ =

cos x
x

D. y ′ = −

.
x

cos x
2 x

.

2

Câu 9. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ! thoả mãn f (x) = ∫ 3 3( f ′(t)) −3 f ′(t) + 3 dt. Tính

0

f ′(x).
A. f ′(x) = 2.

B. f ′(x) = −1+ 3 2 .

C. f ′(x) = 1+ 3 2 .

D. f ′(x) = −2.

x

Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y = ∫ sint 2 dt ( x > 0).
1

A. y ′ = sin x.

B. y ′ =

sin x
2 x

C. y ′ =

.

cos x
2 x

D. y ′ =

.

sin x
2 x

.

sin x

Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số y = ∫ 3t 2 dt.
1

A. y ′ = 3cos x sin x.
2

B. y ′ = 3sin x.
3

C. y ′ = 3sin 2 x cos x.

D. y ′ = 3cos3 x.

x

Câu 12. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ! thoả mãn 3x + 96 = ∫ f (t) dt. Tìm a.
5

a

A. a = −96.

C. a = 4.
⎛ 1
⎞
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng ⎜⎜− ;+∞⎟⎟⎟ thoả mãn
⎜⎝ 2
⎟⎠
a.
A. a = 120.

B. a = −2.

B. a = 60.

C. a = 121.

D. a = 15.
x

2x +1−11= ∫ f (t) dt. Tìm
a

D. a = 61.

x2

Câu 14. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ! thoả mãn

∫

f (t) dt = x cos(πx). Tính f (4).

0

2

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3
1
A. f (4) = .
4

B. f (4) = 1.

C. f (4) = 4.

D. f (4) = 2.

f (x)

Câu 15. Cho hàm số y = f (x) thoả mãn

∫

t 2 dt = x cos(πx). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

0

2

B. f ′(2).( f (2)) = 1− 2π.

2

2

D. f ′(2).( f (2)) = 2π −1.

A. f ′(2).( f (2)) = 1.

2

C. f ′(2).( f (2)) = −1.

1
Câu 16. Cho hàm số y = f (x) thoả mãn f ′(x) ≥ x + ,∀x > 0 và f (1) = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất m của
x
f (2).
1
5
B. m = 2 + 2ln 2.
C. m = 1+ ln 2.
A. m = + ln 2.
D. m = + ln 2.

2
2
⎛
⎞
ln(2x + 3)
c
Câu 17. Biết F(x) = a ln x + ⎜⎜b+ ⎟⎟⎟ ln(2x + 3) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
. Tính
⎜⎝
⎟
x⎠
x2
S = a + b+ c.
1
7
4
A. S = −1.
B. S = .
C. S = .
D. S = − .
3
3
3
f (x)

Câu 18. Cho hàm số y = f (x) thoả mãn

∫

t 2 dt = x cos(πx). Tính f (4).

0

3

A. f (4) = 4 .

3

C. f (4) = − 3 4 .

B. f (4) = − 12 .

D. f (4) = 3 12 .

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của m để F(x) = mx 3 + x 2 −3x + 4 là một nguyên hàm của hàm số
f (x) = −x 2 + 2x −3.

A. m = −1.

1
B. m = .
3

1
D. m = − .
3

C. m = 1.
x

Câu 20. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ! thoả mãn f (x) = ∫ ⎡⎢1−t 2 f ′(t)⎤⎥ dt. Mệnh đề nào dưới
⎣
⎦
0

đây đúng ?
A. f (1) + f (2) > 2 f (3).

B. f (1) + f (2) < 2 f (3).
x

Câu 21. Tìm tập nghiệm của bất phương trình
A. (−∞;0)

B. (−∞;+∞) .

∫
0

C. f (1) + f (2) = 2 f (3).
t
t 2 +1

D. f (1) + f (2) ≥ 2 f (3).

dt > 0.

C. (−∞;+∞) \ {0} .

D. (0;+∞) .

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 3
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


4

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

Câu 22. Cho hàm số y = f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f ′(x) liên tục trên ! thoả mãn
2

( f (x))

x

2
2⎤
⎡
= ∫ ⎢( f (t)) + ( f ′(t)) ⎥ dt + 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
⎣
⎦
0

A. f (1) = 2018e.

B. f (1) = 2018.

C. f (1) = 2018.
x3

Câu 23. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ! thoả mãn

∫

f (t) dt =

0

e
A. f (1) = .
3

B. f (1) =

e
.
12

D. f (1) = 2018e.
ex
. Tính f (1).
x +1

e
C. f (1) = .
6

e
D. f (1) = .
4

Câu 24. Cho hàm số y = f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f ′(x) liên tục trên ! thoả mãn
x

2
2⎤
⎡
2( f (x)) = ∫ ⎢ 4( f (t)) + ( f '(t)) ⎥ dt + 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
⎣
⎦
0
2

A. f (1) = 1009e2 .

B. f (1) = 1009e.

C. f (1) = 1009e.

D. f (1) = 1009e2 .

x3

Câu 25. Cho hàm số y = f (x) thoả mãn

∫

f (t) dt = 2x + 2. Tính f (1).

0

1
B. f (1) = .
2

A. f (1) = 2.

2
C. f (1) = .
3

1
D. f (1) = .
6

ax + b
1
Câu 26. Biết rằng F(x) =
là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
. Tính
2
3
2
x
+
2x
+

3

x + 2x + 3

P = ab.
1
B. S = 1.
C. S = 2.
D. S = 4.
A. S = .
4

(

Câu

27.

f (x) =

9x 4 −5x 3 + 6x 2 −12x −1

A. S = 12.

4

Biết F(x) = (ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e) 2x −3 là
2x −3

một

nguyên

hàm

)

của

⎛3
⎞
trên khoảng ⎜⎜ ;+∞⎟⎟⎟. Tính S = a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 .
⎜⎝ 2
⎟⎠

B. S = 15.

C. S = 40.

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

D. S = 35.

hàm

số


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM

PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5
Câu 28. Cho hàm số y = f (x) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn [0;1]. Đặt
x

2
g(x) = 1+ 2 ∫ f (t) dt . Biết g(x) ≥ ( f (x)) với mọi x ∈ ⎡⎣0,1⎤⎦ . Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

0

h(x) = g(x)− x 2 − 2x trên đoạn [0;1].

A. M = 4.

B. M = 1.

C. M = 3.

D. M = 2.

1

Câu 29. Cho hàm số y = f (x) có f ′(x) ≤ 0,∀x ∈ [0;1] và

∫

f (x) dx = 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất m

0

x

của hàm số y =

∫

f (t) dt

trên nửa khoảng (0;1].

0

x

A. m = 2018.

B. m = 1009.

C. m = 1009.

D. m = 2018.

Câu 30. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) liên tục trên ! thoả mãn điều kiện:
3

( f (x))

x

3
3

2⎤
⎡
= ∫ ⎢( f (t)) −( f ′(t)) + 3 f (t)( f ′(t)) ⎥ dt + 2018. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
⎣
⎦
0

A. f (1) = 2018e.

B. f (1) = −2018e.

C. f (1) = 3 2018e.

D. f (1) = − 3 2018e.

e2 x

Câu 31. Hàm số f (x) =

∫ t lnt dt

e

A. x = 0.

đạt cực tại tại điểm nào dưới đây ?

x

B. x = ln 2.

C. x = − ln 2.
f (x)

∫

Câu 32. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ! thoả mãn

0

A. −27.

D. x = 2ln 2.

t 2 dt = x cos (π x ) . Tính f ′(9).

1
C. − .
9

B. −3.

D. −1.

Câu 33. Cho hàm số y = f (x) thoả mãn f ′(x) = 2018 f (x) và f (0) = 1. Tính f (1).
A. f (1) = 2018e.

B. f (1) = e2018 .

C. f (1) =

e
.
2018

D. f (1) = 2018e.

f (x)

∫

Câu 34. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ! thoả mãn
3

A. 3 3

(

3

)

e −1 .

1

t 2 dt = e x . Tích phân

0

B. 3 3(e −1).
3

3

C.

3

3

(

3

)

e −1 .

∫

f (x) dx bằng

0

D.

3

(

)

3 e3 −1 .

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 5
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

6
Câu

35.

f (x) =

Biết

x2
1− x 3

rằng
1

+

x (1+ x )2

F(x) = a 1− x 3 +

là

1+ x

một

nguyên

hàm

của

hàm

số

trên khoảng (0;1). Giá trị của biểu thức a + b bằng

8
B. a + b = .
3

A. a + b = −2.

b

8

D. a + b = − .
3

C. a + b = 2.
8

Câu 36. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) > 0,∀x ∈ [0;8] và

∫

f (x) dx = 10. Giá trị lớn nhất của

0

x

1
hàm số g(x) = ∫ f (t) dt trên nửa khoảng (0;8] bằng
x 0

A.

4
.
5

B. 10.

C.

5
.
4

D. 8.
x

2

Câu 37. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ! thoả mãn f (x) = ∫ 3 3( f ′(t)) −3 f ′(t) + 3 dt. Tính
0

1

phân

∫

f (x) dx bằng

0

A.

1+ 3 2
.
2

B.

2+ 3 2
.
2

C.

3+ 3 2
.
2

D.

−1+ 3 2
.
2

8

Câu 38. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) > 0,∀x ∈ [0;8] và

∫

f (x) dx = 10. Giá trị nhỏ nhất của

0

x

1
hàm số g(x) =

f (t) dt trên nửa khoảng [0;8) bằng
8− x ∫0
4
5
B. 10.
D. 8.
C. .
.
5
4
Câu 39. Cho hàm số y = f (x) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn [0;1]. Đặt

A.

x

1

g(x) = 1+ 2 ∫ f (t) dt . Biết g(x) ≥[ f (x)] với mọi x ∈ [0;1]. Tích phân
3

0

nhất bằng
5
A. .
3

6

B. 4.

C.

4
.
3

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

∫

3

[g(x)]2 dx có giá trị lớn

0

D. 5.


BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 7
x

Câu 40. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên ! thoả mãn 3 f (x) = −∫ ([ f ′(t)]3 −3[ f ′(t)]2 −3) dt.
0

1

Tích phân

∫

f (x) dx bằng

0

A.

3

1+ 2
2+ 3 2
3+ 3 2
−1+ 3 2
.
.
.
.
B.
C.
D.
2
2
2
2
CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 – 2K3 TẠI VTED

PRO XMAX – VẬN DỤNG CAO 2018 MÔN
TOÁN CHO TEEN 2K
/>PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN
TOÁN 2018 CHO TEEN 2K
/>
PRO XPLUS – LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT
QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN
/>
PRO XMIN –BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÀ CÁC
SỞ ĐÀO TẠO
/>
BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM 7
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K1
/>PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI
TOÁN 11 CHO TEEN 2K1
/>PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO
TEEN 2K2
/>ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED

ĐÁP ÁN

Thi và xem lời giải chi tiết tại khoá học PRO X />1D
2A
3B
4C
5D
6D
7D
8A
9C
10B
11C
12B
13B
14A
15A
16D
17A
18D
19D
20B
21C
22D
23B
24D
25D
26A
27C
28B
29A
30C

31C
32C
33B
34A
35D
36C
37A
38C
39A
40A

8

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM
PROX&PROXMAXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN