Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

Tuần 1:
Tiết 1-2 :
Chương I
§1.ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I.MỤC TIÊU BÀI DẠY :
Nắm được đònh nghóa đạo hàm và ý nghóa của đạo hàm
II. ĐỒ DÙNG DẠY HỌCÏ :
Minh hoạ vận tốc và ý nghóa đạo hàm
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC :
1. Ổn đònh lớp : Kiểm tra só số,đồng phục, vệ sinh
2. Kiểm tra bài cũ :
3. Bài mới:
TG
HOẠT ĐỘNG THẦY TRÒ NỘI DUNG
GV: Nhắc lại số gia của biến số và
số gia của hàm số:
+
∆
x = x – x
0
(x
≠
x
0
)
+
∆
y = f(x
0
+
∆

x) –f (x
0
)
GV:Cho một ví dụ để HS nhận xét
cách giải
HS:trả lời,GV củng cố và nêu:
HS:giải ví dụ, GV: sửa và Nhắc lại
cách tìm giới hạn (lớp 11)
GV:Tương tự ta có đạo hàm một
bên
GV:Tồn tại đạo hàm khi nào? Suy ra
điều gì ?
HS:giới hạn trái và phải bằng nhau .
Suy ra đạo hàm của hàm số tại điểm
x
0
tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm bên
trái và bên phải tại x
0
bằng nhau
GV: Kết luận và đưa ra đònh lí
1.Bài toán vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển
động thẳng: (SGK)
2.Đònh nghóa:
Cho hàm số y= f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x
0
∈(a;b).
Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x
o
được

kí hiệu là y’(x
0
)
hay f ’(x
0
) .Được đònh nghóa như sau:

x
xfxxf
xf
00
0x
o
∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)(
'
hay
x
y
xy
0x
o
∆
∆
=

→∆
lim)(
'

3. Cách tính đạo hàm bằng đònh nghóa :
1.Cho x
0
số gia
∆
x và tính :

∆
y = f(x
0
+
∆
x) – f (x
0
)
2.Lập tỉ số :
x
y
∆
∆

3.Tìm giới hạn :
x
y
0x
∆

∆
→∆
lim

Ví dụ:Tính đạo hàm của hàm số sau:

xy
−=
3
tại điểm x
0
= – 1
4.Đạo hàm một bên:
Đạo hàm bên trái của hàm số y= f(x) tại x
0
, Kí hiệu là: f ’(
−
0
x
) được đònh nghóa là
f ’(
−
0
x
) =
x
y
0x
∆
∆

−
→∆
lim
Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại x
0
, Kí hiệu
là: f ’(
+
0
x
) được đònh nghóa là:
f ’(
+
0
x
) =
x
y
0x
∆
∆
+
→∆
lim
Đònh lí: Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
khi và chỉ
khi f ’(
−
0

x
) và f ’(
+
0
x
) tồn tại và bằng nhau.
Khi đó ta có: f ’(x
0
) = f ’(
−
0
x
) = f ’(
+
0
x
)
5. Đạo hàm trên một khoảng .
Đònh nghóa: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên
GV:Nhắc lại tính chất Hàm số liên
tục tại x
o
⇔
)(lim xf
0
xx
→
= f(x
0
)

HS: Nhận xét để có tính chất mới :
f(x) lt tại x
0

⇔
y
x
∆
→∆
0
lim
= 0
GV: Đảo lại có đúng không ?
HS: Trả lời, giáo viên cũng cố và
đưa ra chú ý
GV:Chuyển sang ý nghóa hình học
của đạo hàm, giáo viên treo hình vẽ
( )
C
T
M
o
M

GV: Cho 2 ví dụ cho 2 học sinh lên
khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên
khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn (a;b)
nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a;b) và có đạo
hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b

Kí hiệu: y’ hay f’(x)
6.Quan hệgiữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục
của hàm số.
Đònh lí. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
, thì
nó liên tục tại điểm đó.
Chứng minh:
Ta có:
y
0x
∆
→∆
lim
=
x
x
y
0x
∆
∆
∆
→∆
.lim
= y’(x
0
).0 = 0
Vậy hàm số liên tục tại x
0
Chú ý: Đảo lại không đúng.

Ví dụ: Xét hàm số y= x  tại điểm x
0
= 0
Tóm lại:
f(x) có đạo hàm tại x
0

⇐
⇒
f(x) liên tục tại x
0

7. Ý nghóa của đạo hàm.
1. Ý nghóa hình học .
a.Tiếp tuyến của đường cong phẳng.
Cho một đường cong phẳng (C) và một điểm cố đònh
M
0
trên (C) .Kí hiệu M là một điểm di chuyển trên (C) ;
đường thẳng M
0
M là một cát tuyến của (C).
Đònh nghóa. Nếu cát tuyến M
0
M có vò trí giới hạn M
0
T khi
điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M
0
thì đường

thẳng M
0
T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C).
Điểm M
0
được gọi là tiếp điểm.
b. Ý nghóa hình học của đạo hàm.
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và có đạo
hàm tại điểm x
0
∈(a;b) ; gọi (C) là đồ thò của hàm số đó.
Đònh lý. Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x
0
là hệ số góc
của tiếp tuyến M
0
T của (C) tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0
)).
Tức là: f ’(x
0
)= hệ số góc của tiếp tuyến M
0
T
c. Phương trình của tiếp tuyến.
Đònh lí. Phương trình của tiếp tuyến của đồ thò (C) của hàm

số y =f(x) tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0
)) là:

))((
'
000
xxxfyy
−=−

Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến đồ thò (C) của hàm số:
1. y = x
2
+2 tại điểm M ∈ (C) có hoành độ x = -1
2.
x31y
−=
tại điểm M∈(C) có hoành độ x = -1
2.Ý nghóa vật lý.
a. Vận tốc tức thời . Xét chuyển động thẳng xác đinh bởi
phương trình: s = f(t); ( f(t) là hàm số có đạo hàm)
Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t
0
là đạo hàm
của hàm số s = f(t) tại t
0

:
Vậy: v(t
0
) = s’(t
0
) = f ’(t
0
)
b. Cường độ tức thời. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn
bảng , cả lớp giải nháp và so sánh
kết quả trên bảng
là một hàm số của thời gian t , Q = f(t) (f(t) có đạo hàm )
Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t là đạo
hàm của điện lượng Q tại t: I
t
= Q’(t)

4.Củng cố:
Dùng đònh nghóa đạo để tính đạo hàm số: x ; x
2
;
x
1
;
x
tại điểm x
0
5.Dặn dò:Các em giải bài tập (SGK) và xem trước bài:” Các qui tắc tính đạo hàm”
*******o0o*******
Tuần 2:

Tiết 5-6 :
Chương I
§2.CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
I.MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :
Nắm được các quy tắc tính đạo hàm.
II. PHƯƠNG PHÁP:
-Phương pháp gợi mở vấn đáp , đặt vấn đề.
III. cÁC BƯỚC LÊN LỚP :
1. Ổn đònh lớp : Kiểm tra só số,đồng phục, vệ sinh
2. Kiểm tra bài cũ :Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của hàm số y=x
2
+3x+2 tại x
0
=1/2
3. Bài mới:
TG PHƯƠNG PHÁP NỘI DUNG
GV cho HS tính đạo hàm các hàm số
: x ,
x
1
,
x
, x
3
bằng đònh nghóa từ
đó đưa ra đònh lý.
GV cho 4 nhóm HS giải ví dụ và
chỉnh sửa

GV chứng minh đònh lý

GV cho 2 nhóm HS giải ví dụ và
chỉnh sửa
GV chứng minh đònh lý
I.Đạo hàm của một số hàm số thường gặp.
Đònh lí:
1. (C)’ = 0 (C là hằng số )
2. (x)’ = 1 ∀x∈R
3.
2
x
1
x
1
−=






'
∀x∈R\{0}
4.
( )
x2
1
x
=
'

∀x∈R
+
5. (x
n
)’ = n.x
n – 1

∀x∈R , n∈N
Chứng minh. (SGK)
Ví dụ:Tính đạo hàm các hàm số:
a. y = x
3
, b. y = x
4
, c. y = x
10
, d. y = x
100
II.Đạo hàm của tổng (và hiệu) những hàm số.
a.Đạo hàm của tổng (hiệu).
Đònh lí. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm
tại x , ta có:

'')'(
'')'(
vuvu
vuvu
−=−
+=+
b.Tổng quát.

'...'')'...( wvuwvu
±±±=±±±
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y = x
3
+
x
+
x
1
2. y = x
4
– x
2
+ 4
III.Đạo hàm của tích những hàm số.
1.Đònh lí. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm
tại x , ta có:

'.'.)'.( vuvuvu
+=
2.Hệ quả. Nếu k là hằng số thì:

'.)'.( ukuk
=
3.chú ý: Ta dể dàng CM dược công thức suy rộng:

''')'( uvwwuvvwuuvw
++=

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.y = (2 – x
2
)(3 +4x
3
) 2. y = x
2
(1– x)(x +2)
Chú ý. Có thể giải bằng cách sau:
Ta có : y = (2 – x
2
)(3 +4x
3
)
= – 4x
5
+ 8x
3
– 3x
2
+ 6
⇒ y’ =(–4x
5
+ 8x
3
– 3x
2
+ 6)’
= – 20x

4
+ 24x
2
– 6x
GV cho 3 nhóm HS giải ví dụ và
chỉnh sửa
GV chứng minh đònh lý
Chú ý.Đối hàm số
dcx
bax
y
+
+
=
ta có

2
dcx
bcad
dcx
bax
)(
'
+
−
=







+
+
GV cho 3 nhóm HS giải ví dụ và
chỉnh sửa

GV hướng dẫn HS tìm hàm số trung
gian của hàm số hợp y = f(g(x)):
1. y =
2
x4
−
2. y = sin(2x –1)
3

3. y = x(x +1)(x +2) 4. y = x(1– 3x
2
)(x +2)
Giải.Ta có:
1.y’ = (2 – x
2
)’(3 + 4x
3
) + (3 + 4x
3
)’(2 – x
2
)
= – 2x(3 + 4x

3
) + 12x
2
(2 – x
2
)
= – 6x – 8x
4
+ 24x
2
– 12x
4
= – 20x
4
+ 24x
2
– 6x
IX.Đạo hàm của thương những hàm số.
1.Đònh lí. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm
tại x và v(x)
≠
0 , ta có:

2
v
uvvu
v
u ''
'
−

=






2.Hệ quả.
a.
2
v
v
v
1 '
'
−=






(v = v(x) ≠ 0)
b.
1nn
nxx
−
=
)'(
( n∈Z )

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y =
1x
x91
+
+
2. y =
x2
4x4x
2
−
++

3. y =
x2
4
−
4. y =
2xx
5x3
2
++
−

Giải.Ta có:
1. y’
2
1x
x911x1xx91
1x

x91
)(
)()'()()'(
'
+
++−++
=






+
+
=

22
1x
8
1x
x911x9
)()(
)()(
+
=
+
+−+
=
V.Đạo hàm của hàm số hợp.

1.Hàm số hợp. Xét hai hàm số
g : (a;b) → R và f : (c;d) → R
x α u = g(x) u α y = f(u)
Khi đó , hàm số : h : (a;b) → R
x α y = f(u)
được gọi là hàm số hợp của x qua hàm trung gian u =
g(x) , kí hiệu là : y = f(g(x))
Ví dụ: Xét hàm số y = (x
2
– 3x +1)
2

Đặt: u = x
2
– 3x +1 , ta có : y = u
2

Như vậy hàm số y = (x
2
– 3x +1)
2
là hàm số hợp của x
qua hàm trung gian u = x
2
– 3x +1
2.Đạo hàm của hàm số hợp.
a.Đònh lí. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x kí hiệu
là
x
u'

và hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u kí hiệu là
u
y'
thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x kí hiệu
là
x
y'
và ta có:

xux
uyy '.''
=
b.Hệ quả.
i.
.u'n.u(u)'
1n
−
=

ii.
u2
u
u
'
')(
=
Ví dụ:Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = (2x + 11)
4
2. y =

2x2x
2
+−