Thi online ứng dụng của đạo hàm để tính giới hạn hàm số học toán online chất lượng cao 2019 vted
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (384.41 KB, 6 trang )
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1
THI ONLINE - ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN
HÀM SỐ
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted ( />Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................
Câu 1 [Q507857833] Tính giới hạn lim
x ln x.
x→0
Câu 2 [Q762342473] Tính giới hạn lim
Câu 3 [Q107610488] Tính giới hạn lim
Câu 4 [Q033274706] Tính giới hạn lim
Câu 5 [Q633762773] Tính giới hạn lim
Câu 6 [Q486474067] Tính giới hạn lim
+
e
1
−
x
2
.
x→0
x
x
x→1
(
x→0
(
1
−
).
x − 1
ln x
1
1
−
).
sin x
x
1
x→0
x
(cos √x)
+
.
x − ln x − 1
x→1
.
2
sin (1 − x)
Câu 7 [Q743614236] Tính giới hạn lim
Câu 8 [Q173434746] Tính giới hạn lim
(x
x→1
e
2
x
2
).
cos x − 1 − x
x→0
x
Câu 9 [Q616100977] Tính giới hạn lim
πx
− 1) tan(
.
3
arcsin x
x→0
Câu 10 [Q294720232] Tính giới hạn lim
Câu 11 [Q129091233] Tính giới hạn lim
x + 2x
.
2
(1 − 3x)
x→0
cot x
.
x − arctan x
.
x→0
x
Câu 12 [Q914151433] Tính giới hạn lim
3
x − ln(1 + x)
x→0
x
Câu 13 [Q035670300] Tính giới hạn lim
Câu 14 [Q235742322] Tính giới hạn lim
Câu 15 [Q082224328] Tính giới hạn lim
Câu 16 [Q153337561] Tính giới hạn lim
Câu 17 [Q213503530] Tính giới hạn lim
.
2
x − 2
1
(
x→3
−
).
x − 3
ln(x − 2)
1
(2019
x→+∞
x
2
+ 2020x )
(
x→+∞
x→
π
− arctan x)
2
(sin x)
π
tan x
(cos x)
e
2x
cot x
.
.
.
− 1 + ax + bx
2
= 0.
x→0
x
2
ln(1 + 3x) + ax + bx
e
x
2
sin x − x
.
x→0
x→1
2
= 0.
x→0
x
x
2
(2 − x)
tan(
πx
2
)
.
1
Câu 22 [Q773005739] Tính giới hạn lim
x→0
Câu 23 [Q556333609] Tính giới hạn lim
x→0
Câu 24 [Q838622220] Tính giới hạn lim
x→+∞
x(
Câu 25 [Q632075037] Tính giới hạn lim
x→+∞
(sin
Câu 26 [Q140309207] Tính giới hạn lim
n→+∞
(cos
Câu 27 [Q117170377] Tính giới hạn lim
ln x
2
x→0
Câu 19 [Q031633336] Tìm a, b ∈ R để lim
Câu 21 [Q738331315] Tính giới hạn lim
.
1
Câu 18 [Q773073333] Tìm a, b ∈ R để lim
Câu 20 [Q083097353] Tính giới hạn lim
x
+
x
ln(e
x
−1)
.
1
(ln(x + e))
x
.
x
π
− arctan
).
x + 1
4
1
x
+ cos
x
√n
1
x
x
) .
n
) .
ln(1 + tan 3x) − 3x
x→0
e
−2x
2
.
− 1 + tan(−2x)
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2
1
Câu 28 [Q863670303] Tính giới hạn lim
x→0
Câu 29 [Q626423637] Tính giới hạn lim
x→0
(5x + e
−5x
) sin
2
.
5x
ln(1 + 4 sin x)
3
.
x
− 1
2
Câu 30 [Q696777579] Tính giới hạn lim
x→0
Câu 31 [Q997686686] Tính giới hạn lim
x→0
Câu 32 [Q786800833] Tính giới hạn lim
cot x
x
(
)
sin x
.
1 − √1 + 2x
x
5
Câu 33 [Q076927463] Tìm a, b ∈ R để lim
.
3x −4sin x
arcsin x + ax + bx
e
x
2
+ sin x − 1 + ax + bx
x→0
x
Câu 35 [Q464607094] Tính giới hạn lim
Câu 36 [Q313333737] Tính giới hạn lim
Câu 37 [Q757380980] Tính giới hạn lim
e
x
= 0.
2
.
.
x
tan
x→1
x sin x
sin x − x(1 + x)
x→0
3
πx
2
.
−
ln(1 − x)
1
e x − cos
x
.
x→∞
1
1 − √1 −
Câu 39 [Q277576790] Tính giới hạn lim
2
1
2
(1 − a. tan x)
x→0
1
Câu 38 [Q659078758] Tính giới hạn lim
2
= 0.
x→0
x
Câu 34 [Q736007335] Tìm a, b ∈ R để lim
.
3
3
2
2
cos(√2x )
ln(1 − 2x )
x ln(1+2x)
x→0
4
e
ax
− e
x
2
−ax
.
x→0
ln(1 + x)
1 − cos ax
Câu 40 [Q386763466] Tính giới hạn lim
x→0
Câu 41 [Q455949706] Tính giới hạn lim
x→+∞
.
x sin x
π − 2 arctan x
Câu 42 [Q983637930] Tính giới hạn lim
Câu 43 [Q739245747] Tính giới hạn lim
Câu 44 [Q172795155] Tính giới hạn lim
Câu 45 [Q780798799] Tính giới hạn lim
Câu 46 [Q777775869] Tính giới hạn lim
Câu 47 [Q336335677] Tính giới hạn lim
Câu 48 [Q737683866] Tính giới hạn lim
Câu 49 [Q996036793] Tính giới hạn lim
Câu 50 [Q779776356] Tính giới hạn lim
ln x
x→0
.
1
ln(1 +
x
)
.
+
ln(sin x)
x
x→+∞
m
a
(a > 1; m ∈ N) .
x
1
(cot x −
x→0
x→
x→
).
x
π
(x tan x −
π
2 cos x
2
tan 2x. tan(
π
4
x→1
−
4
− x).
ln x. ln(1 − x).
2
x→+∞
(
x→+∞
(2
π
x
arctan x) .
x
1
x
+ x)
.
1
x→0
π
).
1
(
−
x sin 2x
2x
2
).
1
Câu 51 [Q375063009] Tính giới hạn lim
x→0
Câu 52 [Q677907735] Tính giới hạn lim
x→1
(
tan x
x
2
)x .
ln(1 − x)
.
−
cot πx
HƯỚNG DẪN
1
Câu 1 Có lim
x→0
+
x ln x = lim
ln x
x→0
+
1
x
= lim
x
x→0
+
−
1
x
= lim
x→0
+
(−x) = 0.
2
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3
Câu 2 Có lim
1
−
x
e
x→0
2
t
= limt→∞
x
e
t
1
= limt→∞
2
Câu
2te
1
= 0 (t =
2
→ ∞; x → 0) .
x
3
limx→1 (
x
−
x−1
Câu 4 Có lim
1
1
(
x→0
1
−
x
Có
5
= limx→1
(x−1) ln x
sin x−x
) = limx→0
sin x
ln x+x.
x ln x−x+1
) = limx→1
ln x
Câu
+
ln y = lim
Có
Do đó lim
x→0
x→0
y = e
+
−
x
x
= limx→1
1
x
cos x−1
2
sin (1−x)
Câu 7 Có lim
(x
2
⇒ ln y =
.
cos √x
= lim
+
1
sin √x
x→0
+
e
2
1−x
) .
sin(1−x)
lim
x
(e
Câu 8
x
.
= 0.
và
−1
1
= −
2
2 cos √x
.
− 1) tan(
πx
2
Có
x−ln x−1
(1−x)
= limx→1
2
1−
x−ln x−1
(1−x)
= limx→1
2
2
x −1
) = limx→1
cot(
(e
cos x − 1 − x
x→0
2
2
x
.
√x
πx
2
2x
= limx→1
x
cos x − e
x
= lim
3
x→0
cos x − e
x
3x
sin x) − (e
x
=
π
−
)
2
sin
x
− sin x
cos x+cos x−x sin x
x
1
=
1
+
.
2
= limx→1 (
x→1
1
x
ln(cos √x)
x
6
limx→1
1
x
x
1
Câu
x−ln x−1
ln x+1−
= limx→1
− sin √x
2 √x
x→0
ln x
= limx→0
sin x+x cos x
y = (cos √x)
= lim
+
1
−1
1
ln(cos √x)
x→0
1
ln x+(x−1).
= limx→0
x sin x
1
lim
t
2
2
−
π
1
1
x
= limx→1
−2(1−x)
= −
2
4
π
x
2
2
1
=
2
.
.
πx
(
2
)
sin x) − 1
2
sin x + e
x
cos x)
= lim
6x
x→0
−2e
x
sin x
sin x
= lim
−e
= lim
6x
x→0
x
.
x
x→0
1
= −
.
3
3
1
Câu 9 Có lim
arcsin x
x→0
x+2x
√1−x2
= limx→0
2
1+4x
= 1.
−3
Câu 10 Có lim
Câu 11 Có lim
(1 − 3x)
x→0
x
ln(1−3x)
= e
limx→0 cot x ln(1−3x)
1+x
= limx→0
3
3x
1−
x−ln(1+x)
x→0
x
= limx→0
2
x − 2
limx→0
2
= e
tan x
1
= limx→0
2
2
3(1+x )
=
1
3
1+x
1
= limx→0
2x
1
=
2(1+x)
2
= e
−3
.
ln(x − 2) + (x − 2).
= lim
x→3
ln(x − 2)
x
.
) = lim
x − 3
2
.
(x − 2) ln(x − 2) − x + 3
−
1
cos
1
1
lim (
= e
1−3x
1
1−
x−arctan x
x→0
Câu 12 Có lim
x→3
cot x
limx→0
x→3
(x − 3) ln(x − 2)
Câu 13
1
− 1
x−2
ln(x − 2) + (x − 3).
1
x−2
1
ln(x − 2)
= lim
x→3
ln(x − 2) +
1
x→3
x−2
x−2
1
x−2
= lim
x−3
+
=
1
(x−2)
.
2
2
1
Câu 14 Có y = (2019
x
x
2
+ 2020x ) x
ln(2019
lim
ln y =
x→+∞
x
⇒ ln y =
+ 2020x )
2019
=
2
lim
x→+∞
2019
x
2019
lim
x→+∞
lim
x→+∞
1 +
4040
x
x
+ 2020x
2
3
x
2
2019 ln 2019 + 4040
ln 2019
=
Vì vậy
2019 ln 2019
=
ln 2019 + 4040x
.
ln 2019 + 4040x
x
2019 ln 2019 + 4040
=
x
lim
x→+∞
x
x
x
2
lim
x→+∞
2
ln(2019 +2020x )
= ln 2019 ⇒
lim
x→+∞
y = e
ln 2019
= 2019.
2
2019 ln 2019
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4
Câu 15 Có y = (
ln(
1
π
ln x
− arctan x)
2
π
2
−arctan x)
⇒ ln y =
.
ln x
1+x
π
ln(
lim
ln y =
x→+∞
2
lim
π
− arctan x)
=
x→+∞
x
=
1
x→+∞
ln x
2
−arctan x
2
lim
Vì vậy
1
−
1+x
lim
x→+∞
2
π
arctan x −
2
x
1−x
2
2
(1+x )
=
lim
2
1 − x
=
1
x→+∞
= −1 ⇒
x→+∞
1+x
2
lim
1 + x
2
lim
2
y = e
−1
.
x→+∞
cos x
lim
ln(sin x)
Câu 16 Có lim
x→
(sin x)
π
lim
tan x
= e
x→
tan x ln(sin x)
π
lim
= e
2
x→
π
sin x
π
x→
2
cot x
= e
2
1
−
sin
2
lim
= e
x
(− sin x cos x)
π
x→
= 1.
2
2
− sin x
Câu 17 Có lim
(cos x)
= e
Câu 18 Theo giả thiết có: 0 = lim
cot x
x→0
limx→0 cot x ln(cos x)
Suy ra 0 = lim
x.
x→0
Khi đó: 0 = lim
2x
−1+ax+bx
x
e
2x
−1−2x+bx
x→0
x
2
= limx→0 (
2
2
e
= limx→0 (
2
e
x; 0 = limx→0
x→0
e
= e
e
2x
2x
−1
2x
−1+ax+bx
x
1
= e
tan x
cos
2
−1−2x
2
limx→0 (− sin x cos x)
= 1.
.
e
+ b) = b + limx→0
2
= e
x
2
+ a + bx) = a + 2 limx→0
x
x
limx→0
cos x
limx→0
ln(cos x)
2x
e
2x
−1−2x
x
−1
2x
2
= a + 2 ⇒ a = −2.
= b + 2 ⇒ b = −2.
Vậy a = −2; b = −2.
Câu 19 Có lim
ln(1+3x)+ax+bx
x = 0; limx→0
x→0
ln(1+3x)+ax+bx
0 = limx→0 x.
Khi đó: lim
x
2
x
Vậy a = −3; b =
9
Suy ra:
= 0.
ln(1+3x)
= limx→0 (
2
ln(1+3x)−3x+bx
x→0
x
2
2
ln(1+3x)
+ a + bx) = a + limx→0
x
2
ln(1+3x)−3x
= 0 ⇔ b + limx→0
2
x
2
x
9
= 0 ⇔ b −
= a + 3 ⇔ a = −3.
= 0 ⇔ b =
2
9
2
.
.
2
Câu
limx→0
20
e
x
sin x−x
x
2
(e
x
sin x+e
= limx→0
Câu 21 Có y = (2 − x)
x
cos x)−1
tan(
2
)
x
sin x+e
x
cos x)+(e
= limx→0
2x
πx
(e
πx
⇒ ln y = tan(
2
x
cos x−e
x
sin x)
= limx→0 e
2
) ln(2 − x) =
ln(2−x)
cot(
πx
2
x
cos x = 1.
.
)
−1
Do đó lim
ln y = limx→1
x→1
ln(2−x)
cot(
πx
2
2−x
= limx→1
)
2
=
−π
π
2
⇒ limx→1 y = e π .
2
sin
πx
2
2
1
Câu 22 Có lim
1
x→0
+
x
ln(e
x
−1)
= e
lim
lim
ln x
x→0
+
ln(e
x
−1)
x
x→0
+
= e
e
e
x
x
−1
e
= e
lim
x→0
+
x
−1
1
.
x
e
x
= e.
1
Câu 23 Có lim
Câu
1
x→0
(ln(x + e))
(x+e) ln(x+e)
ln(ln(x+e))
x
= e
limx→0
x
= e
limx→0
1
= ee .
1
24
Có
1
(x+1)
2
−
π
limx→+∞ x (
π
4
− arctan
x
x+1
) = limx→+∞
4
−arctan
1
x+1
1+(
= limx→+∞
x+1
)
x
25
ln(sin
limx→+∞ (sin
1
x
+ cos
1
x
)
= e
=
1
2
.
Có
1
x
limx→+∞ x ln(sin
2
2
2x +2x+1
2
−
x
x
= limx→+∞
1
−
x
Câu
2
x
x
1
x
+cos
1
x
)
limx→+∞
= e
1
x
+cos
1
x
sin
)
limx→+∞
1
x
cos
2
1
x
1
x
1
x
sin
2
+cos
−
= e
+
1
x
1
x
cos
limx→+∞
1
x
2
= e
sin
1
x
1
x
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4
−sin
+cos
1
x
1
x
= e.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5
Câu
26
Có
x
x
limn→+∞ (cos
x
)
√n
n
)
= e
x
limn→+∞ n ln(cos
√n
limn→+∞
)
2
limn→+∞
√
n
1
= e
x
sin
x
ln(cos
3
= e
√n
limn→+∞
1
−
n
sin
√n
n
2
.
x
−x
2
2
√n
= e
= e
−
x
2
2
.
√n
3
Câu 27 Có lim
ln(1+tan 3x)−3x
x→0
e
−2x
cos
2
−1+tan(−2x)
2
3x
1+tan 3x
= limx→0
−2e
−2x
−6x
cos
ln(5x+e
1
Câu 28 Có lim
x→0
Câu 29 Có lim
x→0
(5x + e
−5x
) sin
2
= e
5x
limx→0
sin
2
−5x
2
3
= −
2
−
.
4
(−2x)
5−5e
)
= e
5x
−5x
5x+e
limx→0
−5x
10 sin 5x cos 5x
= e
1−e
limx→0
−5x
= e
2 sin 5x
5e
limx→0
−5x
10 cos 5x
1
= e2 .
4 cos x
ln(1+4 sin x)
1+4 sin x
= limx→0
x
3 −1
3
x
4
=
ln 3
.
ln 3
ln(1+2x)
Câu 32 Có lim
x ln(1+2x)
x→0
2
3x −4sin x
ln(1+2x)
2x
= 2 limx→0
3
3
3−4x(
sin x
x
2x
= 2 limx→0
sin x
3−4x(
x
1
= 2.
3
)
3−4.0.1
)
2
=
3
3
.
Câu 35 Có
−2a tan x
ln(1−a.tan
1
2
lim (1 − a. tan x)
lim
x sin x
= e
2
cos
x
1−atan
lim
x sin x
x→0
2
x)
= e
2
x
−2a sin x
lim
sin x+x cos x
x→0
= e
x→0
cos
3
x(1−atan
2
x)(sin x+x cos x)
x→0
sin x
−2a lim
x
x→0
cos
= e
1
Câu 38 Có lim
e
x
−cos
x→∞
1−√1−
1
Câu 39 Có lim
e
x→0
ax
−e
x(1−atan
2
x)(
sin x
x
+cos x)
1
1−√1−t
2
= limx→0
ae
ax
+ae
= e
−2a.1.
1
= e
1.1.2
t
e −cos t
= limt→0
−ax
ln(1+x)
3
t
x
x
1
.
e +sin t
= limt→0
2
1
= ∞ (t =
t
x
−a
.
→ 0; x → ∞) .
√1−t2
−ax
= 2a.
1
1+x
Câu 40 Có lim
1−cos ax
x→0
x sin x
= limx→0
a sin ax
a
= limx→0
sin x+x cos x
2
cos ax
=
cos x+(cos x−x sin x)
a
2
2
.
−2
Câu 41 Có lim
π−2 arctan x
x→+∞
ln(1+
1
x
1+x
= limx→+∞
2
2
)
x
2x +2x
= limx→+∞
−1
= 2.
2
x +1
2
1
1+
x
1
Câu 42 Có lim
Câu 43 Có lim
ln x
x→0
+
ln(sin x)
x
x→+∞
= lim
a
+
= lim
cos x
x
x→0
+
= 1.
cos x
sin x
m
= limx→+∞
x
sin x
x
x→0
mx
a
x
m−1
ln a
m(m−1)x
= limx→+∞
m−2
x
m!
=. . . = limx→+∞
2
a ln a
x
a ln
m
= 0.
a
Câu 44 Có
1
lim (cot x −
x cot x − 1
) = lim
x
x→0
x
= lim
x sin x
x→0
−x sin x
= lim
sin x + x cos x
Câu
x→0
0
=
x
1 +
sin x
= 0.
1 + 1.1
. cos x
45
limx→ π
(x tan x −
2
π
2 cos x
) = limx→ π
(
Có
2x sin x−π
2 cos x
2
sin x + x cos x
x→0
−x
= lim
x→0
(cos x − x sin x) − cos x
x cos x − sin x
= lim
x→0
2(sin x+x cos x)
) = limx→ π
= limx→ π
−2 sin x
2
(−1 −
2
x
sin x
. cos x) = −1 − 1.0 = −1.
−1
Câu 46 Có lim
x→
tan 2x. tan(
π
4
tan(
π
− x) = limx→ π
4
π
4
−x)
cot 2x
4
cos
2
π
(
−x)
4
= limx→ π
−2
4
sin
Câu
47
2
=
1
2
.
2x
Có
−1
lim
x→1
−
ln x. ln(1 − x) = lim
ln(1−x)
x→1
−
1
2
2
= lim
1−x
x→1
−
−
ln x
ln
1
= lim
xln x
x→1
−
1−x
x
2
ln x+x.2 ln x.
= lim
x→1
−
−1
1
x
= 0.
x
2
π(1+x
ln(
Câu 48 Có lim
x→+∞
(
2
π
x
arctan x)
= e
Câu
limx→+∞ x ln(
arctan x)
limx→+∞
1
x
+ x)
x
ln(2
= e
limx→+∞
x
x
arctan x)
limx→+∞
π
−
= e
x
2
)
arctan x
1
x
2
= e
−
2
π
.
Có
+x)
= e
π
2
1
= e
49
2
limx→+∞ (2
2
π
2
limx→+∞
x
ln 2+1
2
x
+x
1
= e
limx→+∞
2
2
x
x
ln
2
ln 2
limx→+∞
2
ln 2+1
= e
1
1+
2
x
ln 2
= e
ln 2
= 2.
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6
Câu 50 Có:
1
1
lim (
x→0
2x − sin 2x
−
x sin 2x
) = lim
2x
2
x→0
2x
2
2 − 2 cos 2x
= lim
x→0
sin 2x
4x sin 2x + 4x
2
cos 2x
2 sin 2x
= lim
x→0
2 (sin 2x + 2x cos 2x) + 2 (2x cos 2x − 2x
1
= lim
x→0
1 +
2x
sin 2x
2
sin 2x)
1
1
=
.2 cos 2x − 4x
=
1 + 1.2 − 0
2
.
3
x
cos
Câu 51 Có lim
ln(
1
x→0
(
tan x
x
)x
2
= e
limx→0
tan x
x
x
)
2
2
−tan x
x
x
limx→0
2
tan x
= e
x
.2x
= e
limx→0 (
1
x sin 2x
−
1
2x
2
)
Câu 52 Có lim
ln(1−x)
x→1
−
cot πx
= lim
1−x
x→1
−
−π
sin
2
2
= lim
sin πx
x→1
−
π(1−x)
= lim
x→1
−
(
sin π(1−x)
π(1−x)
3
= √e (kq_cau_50) .
−1
2
) . π(1 − x) = 1.0 = 0.
πx
BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6
