hệ thống bài tập ôn tập cơ bản và nâng cao GT 12

Chương I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1 : PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
DẠNG 1 : ViÕt PTTT t¹i ®iĨm thc ®å thÞ
1. Cho hµm sè
1
2
2 xy x − +=
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi
(C) t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 1.
2. Cho hµm sè
1 1
3 2
3 2
y x x= − +
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi
(C) t¹i ®iĨm
( )
5
1;
6
B C− ∈
 
 ÷
 
.
3. Cho hµm sè
= − +
3
3 2y x x
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa

(C) t¹i ®iĨm (0;2). (§H DL §«ng §« B00)
4. ViÕt PTTT cđa ®å thÞ hµm sè
2
( 2)( 1) xy x −= +
t¹i c¸c
®iĨm cã hoµnh ®é b»ng -2 vµ 1. (§H BK83-84)
5. Cho hµm sè
= − +
3
3 1y x x
, cã ®å thÞ (C). Cho ®iĨm A(x
0
;y
0
)
thc (C), tiÕp tun víi (C) t¹i A c¾t (C) t¹i ®iĨm B kh¸c ®iĨm A,
t×m hoµnh ®é B theo x
0
(§H Th¬ng M¹i-00)
6. Cho hµm sè
= −
2
(3 )y x x
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT víi (C)
t¹i ®iĨm n. (§H Th¸i NguyªnG00)
7. Cho hµm sè
3 2
2 3 12 1y x x x= + - -
, cã ®å thÞ (C). T×m
®iĨm M thc (C) sao cho tiÕp tun t¹i ®ã ®i qua gèc to¹ ®é.

8. Cho hµm sè
3 2
3 4y x x= - +
. ViÕt PTTT t¹i giao ®iĨm cđa
(C) víi trơc hoµnh. (C§ Y TÕ Nam §Þnh 01)
9. Cho
2
(3 )y x x= -
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa (C) t¹i ®iĨm
n cđa nã vµ t×m to¹ ®é c¸c giao ®iĨm cđa tiÕp tun nµy víi tiÕp
tun cđa (C) t¹i c¸c ®iĨm cùc ®¹i vµ ®iĨm cùc tiĨu cđa nã. (§H
Th¨ng Long D01)
10. Cho hµm sè
4 2
2y x x= - +
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa
(C) t¹i ®iĨm
A( 2;0).
(§H Th¸i Nguyªn D01)
11. Cho
= − −
4 2
2 3y x x
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT víi (C) t¹i
®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 2. (§H §µ N½ng97)
13. Cho hµm sè
1
1
x
y

x
+
=
−
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa (C) t¹i
giao ®iĨm cđa (C) vµ trơc hoµnh.
14. Cho hµm sè
2
1
2
x x
y
x
+ -
=
+
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa
(C) t¹i ®iĨm
0
1x = −
. (C§SP CÇn Th¬ A01)
15. Cho hµm sè
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=

+
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi
(C) t¹i ®iĨm
( )
5
1;
2
A C∈
 
 ÷
 
.
16. Cho hµm sè
2
2
1
x x
y
x
+
=
+
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi (C)
t¹i ®iĨm
( )
3
1;
2
R C∈
 

 ÷
 
.
17. ViÕt PTTT cđa ®å thÞ hµm sè
2
2 2
1
x x
y
x
− −
=
+
t¹i c¸c giao
®iĨm cđa ®å thÞ víi trơc hoµnh. (§H BK76)
18. Cho hµm sè
2
2
2
1
x
x x
y
x − −
+ +
=
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi
(C) t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 1. (§HTH83-84)
19. Cho hµm sè
− +

=
+
2
1
1
x x
y
x
, cã ®å thÞ (C). LËp PTTT víi (C)
t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng 1.
20. Cho hµm sè
3 2
3y x x mx= + +
, cã ®å thÞ
(C )
m
. ViÕt
PTTT cđa
(C )
m
t¹i ®iĨm n cđa nã. CMR tiÕp tun ®ã ®i qua
®iĨm M(1;0) khi vµ chØ khi m=4.
23. Cho hµm sè
1
3
1
3
y x x= − +
, cã ®å thÞ (C). Trong tÊt c¶
c¸c tiÕp tun víi ®å thÞ (C), h·y t×m tiÕp tun cã hƯ sè gãc

nhá nhÊt. (HV QHQT 0102)
24. Cho hµm sè
= − + − +
3 2
3 3 1y x x x
, cã ®å thÞ (C). T×m
trªn (C) nh÷ng ®iĨm mµ tiÕp tun t¹i ®ã cã hƯ sè gãc lín nhÊt.
25. Cho hµm sè
3 2
3 9 5y x x x= + − +
.
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cđa hµm sè.
b. Trong tÊt c¶ c¸c tiÕp tun víi ®å thÞ (C) cđa hµm sè, h·y t×m
tiÕp tun cã hƯ sè gãc nhá nhÊt.
26. Cho hµm sè
3 2
3 2y x x= − +
, cã ®å thÞ (C).
a. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun t¹i ®iĨm n cđa (C).
b. Chøng tá tiÕp tun t¹i ®iĨm n cđa ®å thÞ (C) cã hƯ sè gãc
nhá nhÊt. (§HDL Duy T©n 0102)
27. Cho hµm sè
( )
3 2
3 2 1 2y mx mx m x= − + − +
, trong
®ã m lµ tham sè thùc. (ViƯn §H Më Hµ Néi 0102)
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cđa hµm sè øng víi
gi¸ trÞ m = 1.
b. ViÕt ph¬ng tr×nh cđa tiÕp tun víi ®å thÞ (C) t¹i ®iĨm n.

c. Chøng tá r»ng trong c¸c tiÕp tun cđa ®å thÞ (C) th× tiÕp
tun t¹i ®iĨm n cã hƯ sè gãc nhá nhÊt.
28. Cho hµm sè
= + −
3 2
2 3 1y x x
, cã ®å thÞ (C). T×m trªn
(C) ®iĨm mµ t¹i ®ã hƯ sè gãc cđa tiÕp tun ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
29. Cho hµm sè
3 2
2 3 2 1y x mx m= + − +
, trong ®ã m lµ
tham sè thùc.
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cđa hµm sè øng víi
gi¸ trÞ m = 1.
b. T×m trªn ®å thÞ (C) ®iĨm mµ t¹i ®ã hƯ sè gãc cđa tiÕp tun
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
30. Cho hµm sè
1
3 2
2 3
3
y x x x= − +
, cã ®å thÞ (C). viÕt ph-
¬ng tr×nh tiÕp tun cđa ®å thÞ (C) t¹i ®iĨm n vµ chøng minh
r»ng (d) lµ tiÕp tun cã hƯ sè gãc nhá nhÊt.
31. Cho hµm sè
= − + −
3 2
3 2y x x

, cã ®å thÞ (C)
a. ViÕt PTTT cđa (C) t¹i ®iĨm
M(1;0)
.
b. CMR tiÕp tun t¹i M cã hƯ sã gãc lín nhÊt so víi mäi tiÕp
tun kh¸c cđa (C). (§H N«ng NghiƯp I-97)
32. Cho hµm sè
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, cã ®å thÞ (C);
a. Gi¶ sư A lµ ®iĨm trªn (C) cã hoµnh ®é a. ViÕt ph¬ng tr×nh
tiÕp tun (d) cđa (C) t¹i ®iĨm A.
b. X¸c ®Þnh a ®Ĩ (d) ®i qua ®iĨm M(1;0). Chøng tá r»ng cã hai
gi¸ trÞ cđa a tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cđa bµi to¸n vµ hai tiÕp tun
t¬ng øng lµ vu«ng gãc víi nhau.
33. Cho hai hµm sè
1
2x
y =
vµ
2
2
x

y =
. ViÕt PTTT víi c¸c
®å thÞ cđa hai hµm sè t¹i c¸c giao ®iĨm cđa chóng. T×m gãc t¹o
thµnh gi÷a hai tiÕp tun trªn
.
34. Cho
2 3
2
x
y
x
-
=
-
, cã ®å thÞ (C). T×m c¸c ®iĨm cã to¹ ®é
nguyªn cđa (C) vµ viÕt PTTT t¹i c¸c ®iĨm ®ã.
35. Cho
4
1
1
y x
x
= + +
-
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT víi (C)
t¹i ®iĨm
0
2x =
. (C§ BC Marketing A01)
36. Cho

2
1
x x
y
x
- +
=
+
, cã ®å thÞ (C). ViÕt PTTT cđa (C) t¹i
c¸c giao ®iĨm cđa (C) vµ Ox. (C§SP KonTum05)
37. Cho hµm sè
+ −
=
−
2
2
2
x x
y
x
, cã ®å thÞ (C). T×m ®iĨm M
trªn (C) sao cho tiÕp tun t¹i M c¾t trơc täa ®é t¹i hai ®iĨm A,
B vµ tam gi¸c OAB vu«ng c©n t¹i O.
38. Cho hµm sè
= −
+
1
1
y x
x

, cã ®å thÞ (C). T×m tÊt c¶ c¸c
cỈp ®iĨm trªn (C) mµ c¸c tiÕp tun t¹i ®ã song song víi nhau.
39. Cho hµm sè
= + +
−
1
1
1
y x
x
, cã ®å thÞ (C). T×m nh÷ng
®iĨm trªn (C) cã hoµnh ®é lín h¬n 1 sao cho tiÕp tun t¹i ®iĨm
®ã t¹o víi hai ®êng tiƯm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt.
(§H QGHNA00)
40. Cho hµm sè
− +
=
−
2
2 3
2
x x m
y
x
, cã ®å thÞ
(C )
m
. Gäi A
lµ giao ®iĨm cđa
(C )

m
vµ trơc Oy. ViÕt PTTT cđa
(C )
m
t¹i
®iĨm A.
41. Cho hµm sè
+ +
=
+
2
2
1
x mx m
y
x
, cã ®å thÞ
(C )
m
. X¸c
®Þnh m ®Ĩ
(C )
m
c¾t Ox t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt mµ tiÕp tun
t¹i hai ®iĨm ®ã vu«ng gãc víi nhau. (§H Y93).
42. Cho hµm sè
+ −
=
−
2

8x mx
y
x m
. X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®å thÞ hµm
sè c¾t Ox t¹i 2 ®iĨm ph©n biƯt mµ tiÕp tun t¹i hai ®iĨm ®ã
vu«ng gãc víi nhau. (§H CSND G00)
43. Cho hµm sè
2
2 (6 )
2
x m x
y
mx
+ -
=
+
, cã ®å thÞ (C). CMR
t¹i mäi ®iĨm cđa (C) tiÕp tun lu«n c¾t hai tiƯm cËn mét tam
gi¸c cã diƯn tÝch kh«ng ®ỉi. (HV QY-2001)
44. Cho hµm sè
+
=
3
1x
y
x
, cã ®å thÞ (C). T×m tÊt c¶ PTTT
cđa (C) biÕt mçi mét trong c¸c tiÕp tun ®ã cïng víi c¸c trơc
täa ®é giíi h¹n mét tam gi¸c cã diƯn tÝch b»ng
1

2
.
45. Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
bằng 3.
46. Cho (C) : y = f(x) = x
4
− 2x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007
4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d
2
: y =
10x
24
1

−
.
47. Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x
2
− 2x − 3 đi
qua M
1
(5;3).
48. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x
3
–3x+1 kẻ từ
M(3; − 1).
49. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x − 2+
1x
4
−
đi qua A(0;3).
50. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)=
1x
1x
+
−
đi
qua H(1;1).
DẠNG 2 : ViÕt PTTT biÕt nã ®i qua ®iĨm
0 0 0
( ; )M x y
1. Cho hàm số
3
3 1y x x= +

, có đồ thị (C). Lập PTTT với
(C) biết nó đi qua điểm
2
; 1
3
M

ữ

và
(0;6)N
.
2. Cho hàm số
= +
3
3 1y x x
. Viết PTTT của (C) biết nó đi
qua điểm

ữ

-2
A ;3 .
3
(ĐH SP Quy Nhơn-D99)
3. Cho
= +
3 2
2 3 1y x x
, có đồ thị (C). Qua điểm A(0;-1)

viết các PTTT với (C). (ĐH DL Đông Đô-A00)
4. Cho hàm số
3 2
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C)
biết nó đi qua điểm
( )
2; 4N
.
5. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= - +
. Viết PTTT của (C) đi qua
điểm A(-1;2). (ĐH DL Phơng Đông D01)
6. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= - +
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ
thị đi qua điểm A(0;3)? Viết PTTT đó.
7. Cho hàm số
= +
3 2
3 2y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của
(C) từ điểm M(1;0). (ĐH AN D,G00)
8. Cho hàm số
3
3 2 (C)y x x= - + -
. Viết PTTT của (C) biết
nó đi qua điểm A(-2;0). (CĐSP Hà Nam-05)

9. Cho hàm số
3
2 5y x x= + +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với
(C) biết nó đi qua điểm
( )
1;4P
.
10. Cho
3 2
2 3 5y x x= + -
, có đồ thị (C). CMR từ điểm A(1;-
4) có ba tiếp tuyến với (C). (PV BCTT-01)
11. Cho
3 2
3 4y x x= - +
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) đi
qua điểm A(2;0). (CĐSP Mẫu Giáo TW3-04)
12. Cho hàm số
3 2
3 4x x+ +
. Viết PTTT của (C) đi qua điểm
A(0;-1). (CĐ Kinh Tế Kĩ ThuậtI-A04)
13. Cho hàm số
=
3
3 4y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C)
biết nó đi qua M(1;3). (ĐH Tây Nguyên A,B00)
14. Cho hàm số

2
1
3
2 3 2 1y x x x= +
, có đồ thị (C).Tìm
toạ độ điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc
O.
5. Cho hàm số
( )
3 2 2
3 3 1y x mx m x m= + +
, m là
tham số.
a. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c. Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 6).
16. Cho hàm số
3 2
2 3 5y x x= +
, có đồ thị (C). Chứng minh
rằng từ điểm
( )
1; 4A
có ba tiếp tuyến với (C).
17. Cho hàm số
1
4 2
2 1
2
y x x= +

, có đồ thị (C). Chứng
minh rằng qua điểm
( )
0;1M
có ba tiếp tuyến của đồ thị (C). Viết
phơng trình các tiếp tuyến đó.
18. Cho hàm số
3 2
3y x x=
, tìm trên đờng thẳng x = 2 những
điểm từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số.
19.Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
, có đồ thị (C).Tìm các
điểm trên (C) mà qua đó kẻ đợc một và chỉ một TT với (C).
20. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Xác định
các giao điểm của (C) với trục hoành.
b. Viết PTTT kẻ đến đồ thị (C) từ
23
; 2
9
A

ữ

c
*
. Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị
(C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
21. Cho
1 3
4 2
3
2 2
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C)
biết nó đi qua điểm
( )
3
2
0;T
. (ĐH CSND-A00).
22. Cho hàm số
=
1 1
4 2
2 2
y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của
(C) đi qua gốc tọa độ. (ĐH Kiến Trúc HN 99)
23. Cho hàm số
2 5
2
x
x

y


=
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết
nó đi qua điểm
( )
2;0Q
.
24. Cho
+
=

2
2
x
y
x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp
tuyến đi qua A(-6;5). (Ngoại Thơng CS2-D99)
25. Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
-
, có đồ thị (C). Xác định a để từ điểm

A(0;a) kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến tơng
ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.
26. Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng
không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai đờng
tiệm cận của đồ thị đó.
27. Cho hàm số
+
=

2
4 5
2
x x
y
x
, có đồ thị (C). Viết (C) của (C)
biết nó đi qua điểm A(1;1). (ĐH Đà Lạt D99)
28. Cho hàm số
+ +
=
+

2
2 2
1
x x
y
x
, có đồ thị (C). CMR có hai
tiếp tuyến của (C) đi qua A(1;0) và vuông góc với nhau.
29. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Gọi I là giao
điểm hai tiệm cận của (C). CMR không có tiếp tuyến nào của (C)
đi qua I.
30. Cho hàm số
2
3 6
1
x x
y
x
- +
=

-
, có đồ thị (C). Từ gốc toạ độ
có thể vẽ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C). Tìm toạ độ các tiếp
điểm (nếu có). (ĐH Thái Nguyên A,B01)
31. Cho hàm số
2
1x x
y
x
- +
=
. Viết PTTT với (C) biết tiếp
tuyến đó đi qua điểm A(2;-1). (CĐSP Bà Rịa Vũng Tàu A01)
32. Cho
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Viết phơng trình đờng
thẳng đi qua điểm M(-1;0) và tiếp xúc với (C).
33. Cho hàm số
1
y x
x
= +

, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C)
biết nó đi qua điểm M(-1;7)
34 . Cho hàm số
1
2
1
y x
x
= + +
+
, có đồ thị (C).
a. CMR với mọi
2a -ạ
và
1a -ạ
từ điểm A(a;0) luôn kẻ đợc
hai tiếp tuyến đến (C).
b. Với giá trị nào của a thì hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với
nhau. (CĐSP Quảng Bình 05)
35. Cho hàm số
+
=

2
1
x mx m
y
x
, có đồ thị
(C )

m
. Tìm tất cả
các giá trị của m sao cho hai tiếp tuyến với đồ thị
(C )
m
kẻ từ
O(0;0) vuông góc với nhau. (ĐH DL Hùng Vơng B00)
36. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
lny x x=
đi qua
điểm M(2;1). (ĐH XD 01)
37. Cho hàm số
2
x mx m
y
x
- +
=
, có đồ thị
(C )
m
. Tìm các
giá trị của m sao cho từ điểm M(2;-1) có thể kẻ đến
(C )
m
hai
tiếp tuyến khác nhau.
DAẽNG 3 : Viết PTTT biết hệ số góc
1. Cho hàm số
3 2

3y x x=
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C)
biết nó song song với đờng thẳng
9 1y x= +
.
2 Cho hàm số
3
3y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C)
biết nó song song với đờng thẳng
9 1y x= +
.
3. Cho hàm số
1 1 2
3 2
2
3 2 3
y x x x= +
, có đồ thị (C). Lập
PTTT với (C) biết nó song song với đờng thẳng
4 2y x= +
.
4. Cho hàm số
+
=
+
2 1
1
x
y

x
. Viết PTTT với (C), biết nó song song
với đờng thẳng y=-x. (ĐH Đà Lạt-D00)
5. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x

=
+
. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số song song với đờng thẳng y=-x
6. Cho

=
+
2
1
1
x x
y
x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết nó
song
2
với đt y=-x. (ĐH Luật HN-99)
7. Cho

2
2 7 7
2
x x
y
x
+
=

, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết nó
song
2
với đt y=x+4. (ĐH Luật HN-99)
8. Cho hàm số
3 2
3y x x=
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C)
biết nó vuông góc với đờng thẳng
1
3
xy =
.
9. Cho
= +
3
3 2y x x
. Viết PTTT của (C) biết nó vuông góc với
đờng thẳng
1
9

y x=
. (ĐH Cần Thơ-D00)
10. Cho hàm số
= +
3 2
3 2y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của
(C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng 5y-3x+4=0. (ĐH
Nông NghiệpI-B99)
11. Cho hàm số
1
3 2
2 3 1
3
y x x x= + +
, có đồ thị (C). Lập
PTTT với (C) biết nó vuông góc với đờng thẳng
8 16 0x y+ =
.
12. Cho hàm số
1 2
3
3 3
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với
(C) biết nó vuông góc với đờng thẳng
1 2
3 3
y x= +
.

13. Cho hàm số
3 2
6 9y x x x= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Từ đồ thị (C) của hàm số trên, hãy biện luận theo m số nghiệm
của phơng trình
3 2
6 9 1 0x x x m + + =
.
c. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua gốc
toạ độ.
d. Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).
e. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1; 4).
f. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết nó song song với
9 1y x= +
.
g. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với
1 19
24 8
y x= +
.
14. Cho hàm số
= + + +
3
( 1) (2 1) 1y m x m x m
, có đồ thị
(C )
m
. (ĐH SP Vinh-A99)
a.CMR với mọi m đồ thị hàm số đã cho đi qua 3 điểm cố định thẳng

hàng
b.Với giá trị nào của m thì
(C )
m
có tiếp tuyến vuông góc với đờng
thẳng đi qua 3 điểm cố định trên.
15. Cho hàm số
= + +
4 2
( 1)y x mx m
, có đồ thị
(C )
m
.
a. Tìm các điểm cố định của
(C )
m
khi m thay đổi.
b. Gọi A là điểm cố định có hoành độ dơng của
(C )
m
. Tìm giá trị
của m để tiếp tuyến với
(C )
m
tại A song song với đờng thẳng
y=2x. (ĐH SP Vinh-G99)
" Bạn sẽ biết thế nào là niềm vui sớng khi bạn hiểu đợc giá trị của mồ hôi và nớc
mắt". GabơriơPalan
16. Cho hàm số

1
1
y x
x
=
+
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng
trên (C) tồn tại những cặp điểm mà TT tại đó song song với nhau.
17. Cho hàm số
3 2
3 3 5y x x x= + + +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp
tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
c. Xác định k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến
vuông góc với đờng thẳng
.y kx=
18. Cho hàm số
2
2
x
y
x

=
+
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết
nó song song với phân giác của góc phần t thứ nhất tạo bởi các trục
toạ độ.

19. Cho hàm số
2
3 1
2
x x
y
x
+
=

, có đồ thị (C). Viết PTTT với
(C), biết tiếp tuyến đó :
a. Có hệ số góc là 2.
b. Song song với đờng thẳng
1.y x=
c. Vuông góc với đờng thẳng
4
7.
5
y x= +
20. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+

. Tìm trên đồ thị hàm số đã cho
những điểm sao cho tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông góc với tiệm
cận xiên của nó
21. (CĐ-A2000) Cho hàm số
3 2
3y x x=
. Viết phơng trình các
tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết các tiếp tuyến đó song song với đ-
ờng thẳng y=9x+1
22Cho hàm số
3
2
1
y
x
= +

. Viết phơng trình các tiếp tuyến với
đồ thị hàm số, biết các tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y=-
3x+1
23. (ĐH DL Hải Phòng-A2000) Cho hàm số
3 2
3 2y x x= +
.
Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết các tiếp
tuyến ấy vuông góc với đờng thẳng
3
x
y =
24. Cho hàm số

3
1 2
(C)
3 3
y x x= - +
. Tìm trên đồ thị (C) điểm
mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đờng thẳng
1 2
3 3
y x= - +
25. (ĐH KTQD-2001) Cho hàm số
1
(C)
3
x
y
x
+
=
-
. Tìm toạ độ
các giao điểm của các đờng tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) với
trục hoành, biết rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng
y=x+2001
26. (ĐH AN-A2001) Cho hàm số
2
2
(C)
1
x x

y
x
+ +
=
-
. Tìm trên
đồ thị (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị tại A vuông góc với
đờng thẳng đi qua A và qua tâm đối xứng của đồ thị
27. (ĐH AN-D2001) Cho hàm số
3 2
3y x x= -
. Viết phơng trình
tiếp tuyến với đồ thị của hàm số trên, biết rằng tiếp tuyến ấy vuông
góc với đờng thẳng
1
3
y x=
28. (ĐH Đà Lạt-AB2001) Cho hàm số
2
2 3
(C)
1
x x
y
x
- +
=
-
.
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song

song với đờng thẳng y=-x
29. (ĐH DL Đông Đô-BD2001) Cho hàm số
3 2
3 1 (c)y x x= - +
. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
song song với đờng thẳng (d): y=9x+2001
30. Cho hàm số
3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x= + - -
. Viết phơng trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng
(d): y=4x+2
31. (ĐH CĐ-D2005) Cho hàm số
3 2
m
1 1
(C )
3 2 3
m
y x x= - +
.
Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C
m
) có hoành độ x=-1. Tìm m để tiếp
tuyến của (C
m
) tại M song song với đờng thẳng 5x y = 0

32. (CĐ SP Hải Phòng-2004) Cho hàm số
3
3y x x= - +
. Viết ph-
ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song
với đờng thẳng y=-9x
33. (CĐ Công Nghiệp HN-2004)
3 2
3 2y x x= - + -
. Viết phơng
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song với
đờng thẳng y=-9x
34. Cho hàm số
2
1
(C)
1
x x
y
x
- +
=
-
. Viết phơng trình các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với tiệm cận xiên
35. (CĐ-AB2005) Cho hàm số
2
2 2
(C)
1

x x
y
x
- +
=
-
. Viết phơng
trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đờng
thẳng
3
15
4
x
y = +
36. Cho hàm số
2
4
1
x x
y
x
+ +
=
+
. Viết phơng trình tiếp tuyến của
đồ thị, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng
3 3 0x y- + =
37. (ĐH AN-A99) Cho hàm số
2
9

(C)
1
x x
y
x
+
=

. Viết phơng
trình parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (C) và
tiếp xúc với đờng thẳng 2x y 10 = 0
38. (§H AN-DG99) Cho hµm sè
3 2
3 4y x x= − +
. ViÕt ph¬ng
tr×nh parabol ®i qua ®iĨm cùc ®¹i, cùc tiĨu cđa ®å thÞ hµm sè vµ tiÕp
xóc víi ®êng th¼ng y = - 2x + 2
39. (§H T©y Nguyªn-D2000) Cho hµm sè
3 2
3 1y x x= + +
. §êng
th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y=5 tiÕp xóc víi ®å thÞ t¹i ®iĨm A vµ c¾t t¹i
®iĨm B. TÝnh täa ®é ®iĨm B
40. Cho hµm sè
2
(C)
1
x
y
x

=
-
. T×m ®iĨm M thc nh¸nh ph¶i
cđa ®å thÞ (C) mµ tiÕp tun t¹i M vu«ng gãc víi ®êng th¼ng ®i qua
®iĨm I vµ M (I lµ giao 2 tiƯm cËn)
41. Cho hµm sè
3
9 (C)y x x= - +
. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
(d) ®i qua ®iĨm A(3;0) vµ cã hƯ sè gãc k. víi k=? ®Ĩ ®êng th¼ng (d)
lµ tiÕp tun cđa (C)
42. Cho hai parabol:
2
5 6y x x= - +
vµ
2
5 11y x x= - + -
.
ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun chung cđa 2 parabol trªn
43. Cho hµm sè
2
( 1)( )y x x mx m= - + +
. T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m
®Ĩ ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi Ox. X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa tiÕp ®iĨm
trong mçi trêng hỵp cđa m
44. Cho hµm sè
3 2
m
3 1 (C )y x x m= - + -
. T×m k ®Ĩ ®êng

th¼ng (d): y=k(x-2)+m-5 lµ TT cđa ®å thÞ (C
m
)
45. (§H C§-D2002) Cho hµm sè
2
(2 1)
(C)
1
m x m
y
x
- -
=
-
. T×m
m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè (C) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng y=x
46. Cho hµm sè
3
3y x x m= - +
. T×m m ®Ĩ ®å thÞ hµm sè tiÕp
xóc víi trơc Ox
47. Cho hµm sè
3 2
m
(2 1) 1 (C )y x m x m= - + + - -
. T×m m ®Ĩ
®å thÞ (C
m
) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng
2 1y mx m= - -

48.Cho hµm sè
3 2
m
3 3 3 4 (C )y x x mx m= − + + +
. Víi gi¸ trÞ
nµo cđa m th× ®êng cong (C
m
) tiÕp xóc víi Ox
Vấn đề 2 : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
−3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
−x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−

.
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π).f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) =
)5x(x
3
2
−
. h) y= f(x) = x
3
−3x
2
.
i)
1x
3x3x
f(x) y
2
−
+−
==
. j) y= f(x) = x
4
−2x
2
.
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π].
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2

+3(m+1)x+1. Đònh m để
hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghòch biến trên khoảng ( −1;0). Kq: m ≤
3
4
−
c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤
3
1
3) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
−
−
đồng biến trên các
khoảng xác đònh của nó. Kq: m = 0
4) Đònh m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên
nửa khoảng [1;+∞). Kq: m ≤
5
14
−
6) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh
(trên từng khoảng xác đònh) của nó :

a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x
1xx
y
2
−
−−
=
. c)
1x2
1x
y
+
−
=
.
7) Tìm m để hàm số
( ) ( )
x7mx1m
3
x
y
2
3
−−−−=
:

a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)
8) Tìm m để hàm số :
mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=
luôn đồng biến
trên từng khoảng xác đònh của nó.
9) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng
biến trên khoảng (1;+∞). Kq:
223m
−≤
10) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m −x) −m đồng biến trên khoảng
(1;2). Kq: m≥3
11) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0.

b) cosx >1 −
2
x
2
, với x > 0
VẤN ĐỀ 3 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
3) Xác đònh tham số m để hàm số y=x
3
−3mx
2
+(m
2
−1)x+2 đạt cực
đại tại x=2. Kết quả : m=11
4) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trò. Kết quả : m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4
khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:






=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f

Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực
tiểu đi qua O. Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1
5) Đònh m để hàm số y = f(x) =
x1
mx4x
2
−
+−
a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3
b.Đạt cực trò tại x = 2. Kết quả : m = 4
c.Đạt cực tiểu khi x = −1 Kết quả : m = 7
6) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =
mx
1mx)1m(mx
422
−
+−−+
luôn có cực trò.
7) Cho hàm số y = f(x) =
3
1

x
3
−mx
2
+(m
2
−m+1)x+1. Có giá trò
nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không?
Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
8) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
−mx
2
+(m+2)x−1. Xác đònh m để
hàm số:
a) Có cực trò. Kết quả: m <−1 V m > 2
b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2
c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <−2 V m > 2
9) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) =
−x
4
+2mx
2
−2m+1.
Hd và kq : y’=−4x(x
2
−m)

• m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
• m > 0: 2 cực đại x=
m
±
và 1 cực tiểu x = 0
10) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2
+
+−
có
hai điểm cực trò nằm khác phía so với Ox. Kết quả : m >
4
1
11) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−6x
2
+3(m+2)x−m−6 có 2 cực
trò và hai giá trò cực trò cùng dấu.Kết quả :
4
17
−
< m < 2
12) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x)
=2x
3
−3(2m+1)x
2

+6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trò tại hai điểm x
1
và
x
2
với x
2
−x
1
là một hằng số.
13) Tìm cực trò của các hàm số :
a)
x
1
xy
+=
. b)
6x2
4
x
y
2
4
++−=
. c) y =
21x
3
+−
14) Đònh m để hàm số có cực trò :
a)

2mxx3xy
23
−+−=
. Kết quả: m<3
b)
1x
2mmxx
y
22
−
−++−
=
. Kết quả: m<−2 V
m>1
15) Đònh m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =
3
x
3
−mx
2
+(m+3)x−5m+1. Kết quả: m = 4
16) Cho hàm số : f(x)=
3
1
−
x
3
−mx
2
+(m−2) x−1. Đònh m để hàm

số đạt cực đại tại x
2
, cực tiểu tại x
1
mà x
1
< −1 < x
2
< 1.
Kết quả: m>−1
18. Với giá trò nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +
. 2)
2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Giải
1)
( )
3 2
2 3y m x x mx m= + + + +

Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 2 6y m x x m= + + +
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
3 2 6 0g x m x x m= + + + =
có hai nghiệm phân biệt
( )
2 0
' 9 3 2 0
m
m m
+ ≠


⇔

∆ = − + >



( )
2
2

3 2 3 0
m
m m
≠ −


⇔

− − + >



2
3 1
m
m
≠ −

⇔

− < <

Vậy giá trò cần tìm là:
3 1m
− < <
và
2m
≠ −
.
2)

2 2 2
2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2
2
'
1
x x m
y
x
+ +
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2 2

2 0g x x x m= + + =
có hai nghiệm phân biệt khác –1
( )
2
2
' 1 0
1 1 0
m
g m

∆ = − >

⇔

− = − + ≠



1 1
1
m
m
− < <

⇔

≠ ±


1 1m

⇔ − < <

Vậy giá trò cần tìm là:
1 1m− < <
19. Với giá trò nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trò
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
. 2)
2
mx x m
y
x m
+ +
=
+
Giải
1)
( )
3 2
3 2 3y m x mx= − − +
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 3 4y m x mx= − −
( )
2

' 0 3 3 4 0y m x mx= ⇔ − − =
(1)
• Xét
3m =
:
' 0 12 0 0y x x= ⇔ − = ⇔ =
'y⇒
đổi dấu khi x đi qua
0
0x =
⇒
Hàm số có cực trò
3m
⇒ =
không thỏa
• Xét
3m ≠
:
Hàm số không có cực trò
'y⇔
không đổi dấu
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
2
3 0
' 4 0
m
m
− ≠


⇔

∆ = ≤


3
0
m
m
≠

⇔

=


0m
⇔ =
Vậy giá trò cần tìm là
0m =
.
2)
2
mx x m
y
x m
+ +
=
+
Tập xác đònh:

{ }
\D m= −¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2
2
'
mx m x
y
x m
+
=
+
' 0y =
⇔
( )
2 2
2 0g x mx m x= + =
(1)
( )
x m≠ −
Hàm số không có cực trò
'y⇔
không đổi dấu
⇔
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
• Xét
0m
=

:
' 0,y x m= ∀ ≠ −

0m
⇒ =
thỏa
• Xét
0m ≠
:
Yêu cầu bài toán
4
' 0m⇔ ∆ = ≤
: vô nghiệm
0m∀ ≠
Vậy giá trò cần tìm là:
0m
=
20. Cho hàm số
2
1
x mx m
y
x
− +
=
−
. Cm với mọi m HS luôn luôn có cực trò và khoảng cách giữa các điểm cực trò là không đổi.
Giải
Tập xác đònh:
{ }

\ 1D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2
'
1
x x
y
x
−
=
−
0
' 0
2 4
x y m
y
x y m
= ⇒ = −

= ⇔

= ⇒ = −

Vậy
' 0y =
luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
m

∀
⇒
Hàm số luôn luôn có cực trò
Tọa độ các điểm cực trò
( ) ( )
0; , 2;4A m B m− −
Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
( ) ( )
2 2
2 0 4 2 5AB m m= − + − + =
= const (đpcm)
21. Cho hàm số
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
. Đònh m để hàm số đạt cực đại tại
2x
=
.( HSTG)
22. Cho hàm số
2
ax bx ab
y
ax b
+ +
=

+
. Tìm các giá trò của a, b sao cho hàm số đạt cực trò tại
0x
=
và
4x
=
.
Giải
Hàm số xác đònh khi
0ax b
+ ≠
.
( )
2 2 2 2
2
2
'
a x abx b a b
y
ax b
+ + −
=
+
• Điều kiện cần
Hàm số đạt cực trò tại
0x
=
và
4x

=
( )
( )
' 0 0
' 4 0
y
y
=

⇒

=


( )
2 2
2
2 2 2
2
0
16 8
0
4
b a b
b
a ab b a b
a b

−
=



⇔

+ + −

=

+


2 2
2 2 2
0
0
16 8 0
4 0
b a b
b
a ab b a b
a b

− =

≠

⇔

+ + − =



+ ≠

( )
2
2
2
0
8 2 0
4 0
b a
a a
a a

= >

⇔ + =


+ ≠


2
4
a
b
= −

⇔


=

• Điều kiện đủ
Với
2, 4a b= − =
, ta có:
( )
2
2
0
4
' 0
4
2
x
x x
y
x
x
=

−
= = ⇔

=
− +

Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
0x

=
và
đạt cực tiểu tại
4x =
Vậy giá trò cần tìm là:
2, 4a b= − =
.
23. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + +
. Xác đònh m
để đồ thò của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về
hai phía của trục tung.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2 2
' 3 2 2 1 3 2y x m x m m= − + + − +
Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2 2
3 2 2 1 3 2 0g x x m x m m= − + + − + =
có hai
nghiệm phân biệt

1 2
,x x
thoả
1 2
0x x< <
( )
3. 0 0g⇔ <

2
3 2 0m m⇔ − + <

1 2m
⇔ < <
Vậy giá trò cần tìm là:
1 2m< <
24. Cho hàm số
3 2
2 12 13y x ax x= + − −
(a là tham số). Với những giá trò nào của a thì đồ thò của hàm số có điểm cực đại,
điểm cực tiểu, các điểm này cách đều trục tung.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2 2
' 6 2 12 2 3 6y x ax x ax= + − = + −
Hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều trục tung
' 0y⇔ =
hay

( )
2
3 6 0g x x ax= + − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thoả
1 2
0x x+ =
2
1 2
72 0,
0
3
a a
a
x x

∆ = + > ∀

⇔

+ = − =



0a⇔ =
Vậy giá trò cần tìm là:
0a
=

25. Cho hàm số
3 2
1 1
3 2
y x x mx= + +
. Đònh m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ
x m>
.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
2
'y x x m= + +
Yêu cầu bài toán
' 0y⇔ =
hay
( )
2
0g x x x m= + + =
có
hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thoả
1 2
m x x< <
( )
2

1 4 0
1. 2 0
1
2 2
m
g m m m
S
m


∆ = − >


⇔ = + >



= − >



1
4
2 0
1
2
m
m m
m


<


⇔ < − ∨ >



< −


2m
⇔ < −
Vậy giá trò cần tìm là:
2m < −
26. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2 2
3 1 3 7 1 1y x m x m m x m= − + + − + − + −
.Đònh m để hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ
nhỏ hơn 1.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
( )
2 2
' 3 6 1 3 7 1y x m x m m= − + + − + −
Yêu cầu bài toán

' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
( )
2 2
3 6 1 3 7 1 0g x x m x m m= − + + − + − =
có hai
nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thoả
( )
( )
1 2
1 2
1 1
1 2
x x
x x
< <

< ≤


( ) ( )
1 3. 1 0g⇔ − <

( )
2
3 3 4 0m m⇔ + − <

4
1
3
m⇔ − < <
(a)
( ) ( )
' 0
2 3. 1 0
1
2
g
S


∆ >


⇔ − ≥



<



( )
( )
( )
2

2
2
9 1 3 3 7 1 0
3 3 4 0
1 1
m m m
m m
m

+ − + − >


⇔ + − ≥


+ <



2
3 12 0
3 4 0
0
m
m m
m
− + >


⇔ + − ≥



<

4
4
1
3
0
m
m m
m
<



⇔ ≤ − ∨ ≥


<



4
3
m⇔ ≤ −
(b)
Kết hợp (a) và (b) ta có giá trò cần tìm là:
1m <
.

26. Cho hàm số
( )
3 2
3 2y x x C= − +
. Hãy xác đònh tất cả các giá trò của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thò (C) ở
về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài):
2 2 2
2 4 5 1 0x y ax ay a+ − − + − =
.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
2
' 3 6y x x= −
0 2
' 0
2 2
x y
y
x y
= ⇒ =

= ⇔

= ⇒ = −

⇒
Đồ thò hàm số có hai điểm cực trò

( ) ( )
0;2 , 2; 2A B −
Đặt
( )
2 2 2
: 2 4 5 1 0
a
C x y ax ay a+ − − + − =
Hai điểm A, B ở về hai phía của hai đường tròn
( )
a
C
( ) ( )
/ /
. 0
a a
A C B C
P P⇔ <
( ) ( )
2 2
5 8 3 5 4 7 0a a a a⇔ − + + + <
2
5 8 3 0a a⇔ − + <
(do
2
5 4 7 0,a a a+ + > ∀
)
3
1
5

a⇔ < <
Cách khác
Phương trình đường tròn
( )
a
C
được viết lại:
( ) ( )
2 2
2 1x a y a− + − =
( )
a
C
có tâm
( )
;2I a a
và bán kính
1R =
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2IB a a= − + +

2
5 4 8a a= + +

2
2 36 6
5 1
5 5

5
a R
 
= + + ≥ > =
 ÷
 
⇒
Điểm B nằm ở ngoài
( )
a
C
Do đó:
Điểm A nằm phía trong đường tròn
( )
a
C

1IA
⇔ <
( )
2
2
2 2 1a a⇔ + − <

2
5 8 3 0a a⇔ − + <

3
1
5

a⇔ < <
.
27. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
. Với giá trò nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời
hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu
1 2
,x x
thoả
1 2
2 1x x+ =
.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( ) ( )
2
' 2 1 3 2y mx m x m= − − + −
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
2 1 3 2 0mx m x m− − + − =

có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x

( ) ( )
2
0
' 1 3 2 0
m
m m m
≠


⇔

∆ = − − − >



2
0
2 4 1 0
m
m m
≠

⇔

− + + >


0
2 6 2 6
2 2
m
m
≠


⇔

− +
< <


(*)
Theo đònh lí Vi-ét và theo đề bài, ta có:
( )
1 2
2 1m
x x
m
−
+ =
(1)
( )
1 2
3 2
.
m
x x

m
−
=
(2)

1 2
2 1x x+ =
(3)
Từ (1) và (3), ta có:
1 2
3 4 2
,
m m
x x
m m
− −
= =
Thế vào (2), ta được:
( )
3 2
3 4 2
m
m m
m m m
−
− −
  
=
  
  

2
3 8 4 0m m⇔ − + =
(do
0m ≠
)
2
3
2
m
m

=

⇔

=


(thoả (*))
Vậy giá trò cần tìm là:
2
2
3
m m= ∨ =

28. Cho hàm số
( )
( )
( )
3 2 2

3 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − +
.
Tìm m để đồ thò hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó.
(Trích ĐTTS vào Học viện Kó thuật Mật mã, năm 1999)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
( )
2 2
' 3 6 1 2 7 2y x m x m m= − + + + +
( )
( )
2 2
' 0 3 6 1 2 7 2 0y x m x m m= ⇔ − + + + + =
(1)
 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt
( )
( )
2
2
' 9 1 6 7 2 0m m m⇔ ∆ = + − + + >

( )
2
3 8 1 0m m⇔ − − >

4 17 4 17m m⇔ < − ∨ > +

Lấy y chia cho y’, ta có:
( )
( ) ( )
2 3 2
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
y x m y m m x m m m= − − − − − + + + +
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò
hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1)
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2
1 1 1 1
1
1 2 2
1 . ' 8 1 5 3 2
3 3 3
' 0

y x m y x m m x m m m
y x

= − − − − − + + + +



=

( ) ( )
2 3 2
1 1
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m⇒ = − − − + + + +
Tương tự ta cũng có:
( ) ( )
2 3 2
2 2
2 2
8 1 5 3 2
3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực
tiểu là:
( ) ( )
2 3 2
2 2
8 1 5 3 2

3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
.
29. Cho hàm số
( )
3 2
6 3 2 6y x x m x m= − + + − −
. Đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trò cực trò cùng
dấu.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
' 3 12 3 2y x x m= − + +
( )
2
' 0 3 12 3 2 0y x x m= ⇔ − + + =
(1)
 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt
( )
' 36 9 2 0m⇔ ∆ = − + >

2 0m⇔ − >

2m⇔ <

(*)
Lấy y chia cho y’, ta có:
( ) ( )
1
2 . ' 2 2 2
3
y x y m x m= − + − + −
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò
hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1)
Theo đònh lí Vi-ét, ta có:
1 2 1 2
4, 2x x x x m+ = = +
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1
1
1
2 . ' 2 2 2
3
' 0
y x y x m x m

y x

= − + − + −



=


( )
1 1
2 2 2y m x m⇒ = − + −
Tương tự ta cũng có:
( )
2 2
2 2 2y m x m= − + −
Yêu cầu bài toán
1 2
. 0y y⇔ >
( ) ( )
1 2
2 2 2 2 2 2 0m x m m x m⇔ − + − − + − >   
   
( ) ( ) ( )
2
1 2
2 2 1 2 1 0m x x⇔ − + + >

( ) ( )
2

1 2 1 2
2 4 2 1 0m x x x x⇔ − + + + > 
 
( ) ( )
2
2 4 2 2.4 1 0m m⇔ − + + + > 
 

( ) ( )
2
2 4 17 0m m⇔ − + >
17
4
2
m
m

> −

⇔


≠

So với điều kiện (*) ta có giá trò cần tìm là:
17
2
4
m− < <
.

30. Cho hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
.
Tìm tất cả các giá trò của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò hàm số đối xứng nhau
qua đường thẳng
1 5
2 2
y x= −
.
(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
2 2
' 3 6y x x m= − +
2 2
' 0 3 6 0y x x m= ⇔ − + =
(1)
 Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt
2
' 9 3 0m⇔ ∆ = − >

3 3m⇔ − < <

Gọi

( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò
hàm số và I là trung điểm của đoạn AB
Do
1 2
,x x
là nghiệm của (1) nên theo đònh lí Vi-ét, ta có:
1 2
2x x+ =
,
2
1 2
.
3
m
x x =
Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
y x∆ = −
AB
I
⊥ ∆

⇔

∈∆


Đường thẳng
∆
và AB có hệ số góc lần lượt là:
1
1
2
k =
( )
( )
3 3 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 1
2
2 1 2 1
3x x x x m x x
y y
k
x x x x
− − − + −
−
= =
− −

( ) ( )
2
2
1 2 1 2 1 2
3x x x x x x m= + − − + +

2
2
4 6
3
m
m= − − +

2
2 6
3
m −
=
1 2
. 1AB k k⊥ ∆ ⇔ = −
2
1 2 6
. 1
2 3
m
 
−
⇔ = −
 
 
0m
⇔ =
.
Với
0m
=

:
1 1
2
2 2
0 0
' 3 6 0
2 4
x y
y x x
x y
= ⇒ =

= − = ⇔

= ⇒ = −

⇒
Đồ thò hàm số có hai cực trò là
( ) ( )
0;0 , 2; 4A B −
⇒
Trung điểm của AB là:
( )
1; 2I −
T a có:
I ∈∆
Vậy:
0m
=
thoả yêu cầu bài toán.

31. Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập
thành một tam giác đều.
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
3
' 4 4y x mx= −
( )
2
0
' 0
*
x
y
x m
=

= ⇔

=

Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có ba nghiệm
phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó

⇔
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0m
⇔ >
Khi đó :
4
4 2
0 2
' 0
2
x y m m
y
x m y m m m

= ⇒ = +
= ⇔

= ± ⇒ = − +


Đồ thò hàm số có một điểm cực đại là
( )
4
0; 2A m m+
và
hai điểm cực tiểu là
( ) ( )
4 2 4 2
; 2 , ; 2B m m m m C m m m m− − + − +
Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đều

AB AC
AB BC
=

⇔

=

2 2
AB BC⇔ =

4
4m m m⇔ + =

( )
3
3 0m m⇔ − =

⇔
3
3m =
(do
0m
>
)
Vậy giá trò cần tìm là:
3
3m =
.
32. Cho hàm số

( )
4 2
1 1 2y kx k x k= + − + −
. Xác đònh các giá trò của tham số k để đồ thò của hàm số chỉ có một điểm cực trò.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
( )
3
' 4 2 1y kx k x= − −
( )
2
0
' 0
2 1 0 *
x
y
kx k
=

= ⇔

+ − =

Hàm số chỉ có một cực trò
' 0y⇔ =
có một nghiệm duy
nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó
⇔

Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm
0x
=
( )
0
0
' 2 1 0
k
k
k k
=


≠
⇔ 




∆ = − − ≤



0
0 1
k
k k
=

⇔


< ∨ ≥


0 1k k⇔ ≤ ∨ ≥
Vậy giá trò cần tìm là:
0 1k k
≤ ∨ ≥
.
33. Cho hàm số
4 2
1 3
2 2
y x mx= − +
. Xác đònh m để đồ thò của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Giải
Tập xác đònh:
D = ¡
Đạo hàm:
3
' 2 2y x mx= −
( )
2
0
' 0
*
x
y
x m
=


= ⇔

=

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại
' 0y⇔ =
có một
nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua
nghiệm đó
⇔
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
0x
=

0m⇔ ≤
Vậy giá trò cần tìm là:
0m
≤
34. Cho hàm số
2
2
1
x mx
y
x
+ +
=
−
.Tìm m để điểm cực tiểu của đồ thò hàm số nằm trên parabol

( )
2
: 4P y x x= + −
.
Giải
Ta có:
3
1
1
m
y x m
x
+
= + + +
−
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2 2
'
1
x x m
y
x
− − −
=

−
( ) ( )
2
' 0 2 2 0 1y g x x x m x= ⇔ = − − − = ≠
(1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt khác 1
( )
( )
' 1 2 0
1 3 0
m
g m

∆ = − − − >

⇔

= − − ≠


3 0
3
m
m
+ >

⇔


≠ −


3m
⇔ > −
(*)
Khi đó:
1 1
2 2
3
1 3 1 3 1 2 2 3
3
' 0
3
1 3 1 3 1 2 2 3
3
m
x m y m m m m
m
y
m
x m y m m m m
m
+

= − + ⇒ = − + + + + = + − +

− +


= ⇔
+

= + + ⇒ = + + + + + = + + +

+

Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
2
1 3
CT
x x m= = + +
2
2 2 3
CT
y y m m= = + + +
⇒
Điểm cực tiểu là
( )
1 3; 2 2 3A m m m+ + + + +
( )
( )
2
2 2 3 1 3 1 3 4A P m m m m∈ ⇔ + + + = + + + + + −

3 1m⇔ + =

3 1m
⇔ + =

2m
⇔ = −
(thỏa (*))
Vậy giá trò cần tìm là:
2m = −
.
35. Cho hàm số
( )
2 2
1 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
. Tìm tất cả các giá trò của tham số m thì hàm số đã cho có cực trò. Tìm m
để tích các giá trò cực đại và cực tiểu đạt giá trò nhỏ nhất.
(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999)
Giải
Ta có:
2
3 2
1
m m
y x m
x
− +

= − −
−
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = ¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2
2 3 3
'
1
x x m m
y
x
− + − +
=
−
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2 2
2 3 3 0g x x x m m= − + − + =

( )
1x ≠
có hai
nghiệm phân biệt
1 2

,x x
khác 1
( )
' 0
1 0g
∆ >


⇔

≠


2
2
3 2 0
3 2 0
m m
m m

− + − >

⇔

− + ≠


1 2m
⇔ < <
(*)

Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò
hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1)
Khi đó:
2 2
1 1
2 2
2 2
1 3 2 1 2 3 2
' 0
1 3 2 1 2 3 2
x m m y m m m
y
x m m y m m m

= − − + − ⇒ = − + − + −

= ⇔

= + − + − ⇒ = − − − + −

Ta có:
(
)

(
)
2 2
1 2
. 1 2 3 2 1 2 3 2y y m m m m m m= − + − + − − − − + −

( )
( )
2
2
1 4 3 2m m m= − − − + −

2
5 14 9m m= − +

2
7 4 4
5
5 5 5
m
 
= − − ≥ −
 
 
( )
1 2
4
.
5
Min y y⇒ = −

, đạt được khi
7
5
m =
. So với điều kiện (*) ta có giá trò cần tìm là:
7
5
m =
.
36. Cho hàm số
( )
2
1 3 2
1
x m x m
y
x
− + + +
=
−
. Với giá trò nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trò
cực đại và giá trò cực tiểu cùng dấu.
(Trích ĐTTS vào Trường Cao đẳng Sư phạm TPHCM, 2000)
Giải
Ta có:
2 2
1
m
y x m
x

+
= − +
−
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2 2 1
'
1
x x m
y
x
− − −
=
−
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2
2 2 1 0g x x x m= − − − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
khác 1
( )

' 0
1 0g
∆ >


⇔

≠


2 2 0
2 2 0
m
m
+ >

⇔

− − ≠


1m⇔ > −
(*)
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò
hàm số thì
1 2

,x x
là nghiệm của (1)
Khi đó:

1 1
2 2
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
2 2
' 0
2 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
2 2
m
x m y m m m m
m
y
m
x m y m m m m
m
+

= − + ⇒ = − + − + = − − +

− +

= ⇔
+

= + + ⇒ = + + − + = − + +


+

Hai giá trò cực trò cùng dấu
1 2
. 0y y⇔ >
( ) ( )
1 2 2 2 1 2 2 2 0m m m m⇔ − − + − + + >

( ) ( )
2
1 4 2 2 0m m⇔ − − + >
2
10 7 0m m⇔ − − >

5 4 2 5 4 2m m⇔ < − ∨ > +
So với điều kiện (*) ta có giá trò cần tìm là:
1 5 4 2 5 4 2m m− < < − ∨ > +
.
Cách khác
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = ¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2 2 1
'
1

x x m
y
x
− − −
=
−
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2
2 2 1 0g x x x m= − − − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
khác 1 và
'y
đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó
( )
' 0
1 0g
∆ >


⇔

≠


2 2 0

2 2 0
m
m
+ >

⇔

− − ≠

1m⇔ > −
(*)
Hai giá trò cực trò cùng dấu
⇔
Đồ thò của hàm số cắt trục
hoành tại hai điểm phân biệt
0y⇔ =
hay
( ) ( )
2
1 3 2 0 1x m x m x− + + + = ≠
có hai nghiệm phân
biệt khác 1
( ) ( )
( )
2
1 4 3 2 0
1 1 3 2 0
m m
m m


∆ = + − + >

⇔

− + + + ≠


2
10 7 0
2 2 0
m m
m

− − >
⇔

+ ≠

5 4 2 5 4 2
1
m m
m

< − ∨ > +

⇔

≠ −



So với điều kiện (*) ta có giá trò cần tìm là:
1 5 4 2 5 4 2m m− < < − ∨ > +
.
37. Xác đònh p sao cho hàm số
2
3
4
x x p
y
x
− + +
=
−
có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m với
4m M− =
.
Giải
Ta có:
4
1
4
p
y x
x
−
= − − −
−
Tập xác đònh:
{ }
\ 4D = ¡

Đạo hàm:
( )
2
2
8 12
'
4
x x p
y
x
− + − −
=
−
( ) ( )
2
' 0 8 12 0 4y g x x x p x= ⇔ = − + − − = ≠
(1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt khác 4
( )
( )
' 16 12 0
4 4 0
p
g p

∆ = − + >


⇔

= − ≠



4 0
4
p
p
− >

⇔

≠


4p⇔ <

(*)
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò
hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1).
Khi đó:

( )
( )
1 1
2 2
4
4 4 4 4 1 5 2 4
4
' 0
4
4 4 4 4 1 5 2 4
4
p
x p y p p
p
y
p
x p y p p
p
−

= − − ⇒ = − − − − − = − + −

− −

= ⇔

−
= + − ⇒ = − + − − − = − − −

−


Bảng biến thiên

x
y’
y
x
1
x
2
4
y
1
y
2
+∞
+∞+∞
-∞
-∞
-∞
0 0
-
+ +
-
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
2
5 2 4M y p= = − − −
1
5 2 4m y p= = − + −
Do đó:

4m M− =

( )
5 4 5 4 4p p⇔ − + − − − − − =

4 1p⇔ − =

3p⇔ =
(thoả (*))
Vậy giá trò cần tìm là:
3p =
.
38. Cho hàm số
2 2 2
2 5 3x m x m m
y
x
+ + − +
=
. Tìm
0m
>
để hàm số đạt cực tiểu tại
( )
0;2x m∈
.
Giải
Tập xác đònh:
{ }
\ 0D = ¡

Đạo hàm:
2 2
2
2 5 3
'
x m m
y
x
− + −
=
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
0;2x m∈ ' 0y⇔ =
hay
( )
2 2
2 5 3 0g x x m m= − + − =
có hai nghiệm phân biệt
( )
1 2 1 2
,x x x x<
thoả:
1 2
0 2x x m< < <
( )
( )
0
1. 0 0
1. 2 0

m
g
g m

>

⇔ <


>

2
2
0
2 5 3 0
2 5 3 0
m
m m
m m
>


⇔ − + − <


+ − >

0
3
1

2
1
3
2
m
m m
m m


>


⇔ < ∨ >



< − ∨ >


1
1
2
3
2
m
m

< <

⇔



>


Vậy giá trò cần tìm là:
1 3
1
2 2
m m< < ∨ >
.
39. 1) Cho hàm số
( )
( )
u x
y
v x
=
. Chứng minh rằng nếu
( )
0
' 0y x =
và
( )
0
' 0v x ≠
thì ta có:
( )
( )
( )

( )
0 0
0 0
'
'
u x u x
v x v x
=
.
2) Chứng tỏ rằng nếu hàm số:
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ + −
=
+
đạt cực đại tại
1
x
và đạt cực tiểu tại
2
x
thì ta có :
( ) ( )
1 2 1 2
4y x y x x x− = −

Giải
1) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
' '
'
u x v x u x v x
y
v x
−
=
 
 
Do đó:
( )
0
' 0y x =
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
' ' 0u x v x u x v x⇔ − =
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
' 'u x v x u x v x⇔ =
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0

'
'
u x u x
v x v x
⇔ =
(đpcm)
2) Theo kết quả ở câu 1) nên ta có:
( )
1 1
4 3y x x= +
,
( )
2 2
4 3y x x= +
( ) ( )
1 2 1 2
4y x y x x x⇒ − = −
(đpcm)
40. Cho hàm số
2
2 2
1
x mx
y
x
+ +
=
+
.
Tìm giá trò của m để đồ thò hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng

2 0x y+ + =

bằng nhau.
Giải
Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2 2 2
'
1
x x m
y
x
+ + −
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2
2 2 2 0g x x x m= + + − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x

khác -1
( )
' 0
1 0g
∆ >


⇔

− ≠


3 2 0
2 3 0
m
m
− >

⇔

− ≠

3
2
m⇔ <
(*)
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y

là các điểm cực trò của đồ thò hàm số
thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1).
Theo đònh lí Vi-ét, ta có:
1 2 1 2
2, . 2x x x x m+ = − = −
Mặt khác:
1 1
2 2y x m= +
,
2 2
2 2y x m= +
Đặt
: 2 0x y∆ + + =
Yêu cầu bài toán
( ) ( )
, ,d A d B⇔ ∆ = ∆
1 1 2 2
2 2
2 2
x y x y+ + + +
⇔ =
1 2
3 2 2 3 2 2x m x m⇔ + + = + +

( ) ( )
2 2
1 2

3 2 2 3 2 2x m x m⇔ + + = + +
( ) ( )
2 2
1 2
3 2 2 3 2 2 0x m x m⇔ + + − + + =

( ) ( )
1 2 1 2
3 4 4 0x x x x m⇔ − + + + = 
 
( ) ( )
1 2 1 2
3 4 4 0x x m x x⇔ + + + = ≠

( )
3 2 4 4 0m⇔ − + + =
1
2
m⇔ =
(thoả (*))
Vậy giá trò cần tìm là:
1
2
m =
.
41. Cho hàm số
( )
2
2 3 2
1

x m x m
y
x
+ + + +
=
+
.
1) Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2) Giả sử y có giá trò cực đại, cực tiểu là
,y y
CĐ CT
. Chứng minh:
2
1
2
CT
y y+ >
2
CĐ
.
Giải
1) Tập xác đònh:
{ }
\ 1D = −¡
Đạo hàm:
( )
2
2
2 2
'

1
x x m
y
x
+ −
=
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0y⇔ =
hay
( )
2
2 2 0g x x x m= + − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x

khác -1
( )
' 0
1 0g
∆ >


⇔

− ≠


2 1 0

2 1 0
m
m
+ >

⇔

− − ≠

1
2
m⇔ > −

Vậy giá trò cần tìm là:
1
2
m > −
.
2) Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các điểm cực trò của đồ thò
hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (1).
Theo đònh lí Vi-ét, ta có
1 2 1 2
2, . 2x x x x m+ = − = −

Mặt khác:
1 1
2 2y x m= + +
,
2 2
2 2y x m= + +
Do đó:
2 2 2 2
1 2CT
y y y y+ = +
CĐ


( ) ( )
2 2
1 2
2 2 2 2x m x m= + + + + +

( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2
4 4 2 2 2x x m x x m= + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
4 2 4 2 2 2x x x x m x x m
 

= + − + + + + +
 

( ) ( ) ( )
2
4 4 4 8 2 2 2m m m= + − + + +

2
2 16 8m m= + +
Xét hàm số:
( )
2
1
2 16 8,
2
f m m m m= + + > −
( )
1
' 4 16 0,
2
f m m m= + > ∀ > −
Bảng biến thiên
x
1
2
−

+∞

( )

'f m
+

( )
f m

+∞


1
2
Từ bảng biến thiên, ta thấy
( )
1 1
, ;
2 2
f m m
 
> ∀ ∈ − +∞
 ÷
 
.
Vậy:
2 2
1
2
CT
y y+ >
CĐ
(đpcm)

42. Cho hàm số
( )
2 2 3
1 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
. Tìm
các giá trò của m để đồ thò hàm số tương ứng có một điểm
cực trò thuộc góc phần tư thứ
( )
II
và một điểm cực trò thuộc
góc phần tư thứ
( )
IV
của mặt phẳng toạ độ.
(Trích ĐTTS vào Trường
Đại học Y Dược TPHCM, 2001)
Giải
Ta có:
3
4
1
m
y mx
x m
= + +

+
⇒
Tiệm cận xiên:
1y mx= +

( )
0m ≠
Tập xác đònh:
{ }
\D m= −¡
Đạo hàm:
( )
2 2 3
2
2 3
'
mx m x m
y
x m
+ −
=
+
( ) ( )
2 2 3
' 0 2 3 0y g x mx m x m x m= ⇔ = + − = ≠ −

(*)
Giả sử
( ) ( )
1 1 2 2

; , ;A x y B x y
( )
1 2
x x<
là các điểm cực trò
của đồ thò hàm số thì
1 2
,x x
là nghiệm của (*).
Yêu cầu bài toán
A
B

⇔


thuộc góc phần tư thư ù (II)
thuộc góc phần tư thư ù (IV)

( )
( )
( )
1 2
2 1
0 1
0 2
x x
y y
• < <


⇔ • < <


•

He äsố góc của tiệm cận xiên nhỏ hơn 0 3
( ) ( )
1 . 0 0m g⇔ <
4
3 0m⇔ − <
0m
⇔ ≠
(a)
( )
2 ⇔
Đồ thò hàm số không cắt trục Ox
0y⇔ =
hay
( )
( )
2 2 3
1 4 0mx m x m m x m+ + + + = ≠ −
vô nghiệm
( ) ( )
2
2 3
0
1 4 4 0
m
m m m m

≠


⇔

∆ = + − + <


4 2
0
15 2 1 0
m
m m
≠

⇔

− − + <

2
0
1
5
m
m
≠


⇔


>


1 1
5 5
m m⇔ < − ∨ >
(b)
( )
3 0m⇔ <
(c)
Từ (a), (b) và (c) ta có giá trò cần tìm là:
1
5
m < −
.
43. Cho hàm số
( )
2 3
1 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
.
1) Chứng minh rằng đồ thò của hàm số đã cho luôn luôn có các điểm cực đại và cực tiểu với mọi giá trò của m. Xác đònh toạ độ
các điểm cực trò đó.
2) Chứng tỏ rằng chỉ có một điểm A duy nhất trên mặt phẳng toạ độ sao cho nó là điểm cực đại của đồ thò ứng với một giá trò
thích hợp của m và cũng là điểm cực tiểu của đồ thò ứng với một giá trò thích hợp khác. Tìm toạ độ của A.
(Trích ĐTTS vào TTĐT Cán bộ Y tế TPHCM, 2000)

Giải
1) Tập xác đònh:
{ }
\D m= ¡
Đạo hàm:
( )
2 2
2
2 1
'
x mx m
y
x m
− + −
=
−
( )
2 2
' 0 2 1 0y x mx m x m= ⇔ − + − = ≠
Ta có:
( )
2 2
' 1 1 0,m m m∆ = − − = > ∀
Do đó:
2
2
1 2
' 0
1 2
x m y m m

y
x m y m m

= − ⇒ = − + −
= ⇔

= + ⇒ = − + +

Vậy đồ thòhàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
Toạ độ các điểm cực trò là:
( ) ( )
2 2
1; 2 , 1; 2m m m m m m− − + − + − + +
.
2) Đặt
( )
0 0
;A x y
Giả sử ứng với giá trò
1
m m=
thì A là điểm cực đại và ứng
với giá trò
2
m m=
thì A là điểm cực tiểu của đồ thò hàm số
Ta có:
0 1
2
0 1 1

1
2
x m
y m m
= −



= − + −


;
0 2
2
0 2 2
1
2
x m
y m m
= +



= − + +


Do đó:

1 2
2 2

1 1 2 2
1 1
2 2
m m
m m m m
− = +



− + − = − + +


( ) ( )
1 2
1 2 1 2
2
1 4
m m
m m m m
− =


⇔

− + − = −

