XÁC ĐỊNH tải TRỌNG GIỚI hạn TRONG bài TOÁN PRANDTL BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN hữu hạn THÔNG QUA MATLAB và FLAC2D

XÁC ĐỊNH TẢI TRỌNG GIỚI HẠN TRONG BÀI TOÁN
PRANDTL BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
THÔNG QUA MATLAB VÀ FLAC2D
NGÔ THỊ THANH HƢƠNG*, VŨ BÁ THAO**

Determining ultimate bearing capacity of soils by the finite defference
method using Matlab and Flac 3D sofwares in the solution Prandtl
Abstract: The the Prandlt problem has determined the value of the
soil-bearing capacity of earth foundation which affected by a vertical
strip load on a half plane. The author proposes a new solution to
determine the soil-bearing capacity based on the finite difference
method. This problem was solved by computation program which coded
by author on Matlab software. Besides, the FLAC 2D, a finite
difference software, is also used for simulation to solve the Prandtl
problem. The results shows that the value of the soil-bearing capacity
which determined by proposed method is compatible with results from
Prandlt problem and FLAC 2D software.
1. XÂY DỰNG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH
TẢI TRỌNG GIỚI HẠN CỦA NỀN ĐẤT*
Xét bài toán phẳng, phân tố đất chịu tác dụng
của các ứng suất z , x , xz và trọng lƣợng bản
thân  nhƣ Hình 1.
Dƣới tác dụng của tải trọng tĩnh, phân tố
đất bất kỳ ở trong trạng thái cân bằng, ổn định
và đủ sức chịu tải nếu nó thỏa mãn các điều
kiện dƣới đây.
 Phƣơng trình cân bằng tĩnh học:
 x  zx

0
(1)

x
z
 z  xz

  0
(2)
z
x
trong đó:
x,  z , xz - các ứng suất có hiệu tƣơng
ứng với các phƣơng của các trục tọa độ.

*

**

*

Khoa Công trình, Tr ng Đ i h c Công nghệ Giao
thông Vận tải
Phòng Nghiên cứu Địa kỹ thuật, Viện Thủy Công,
Viện Khoa h c Thủy lợi Việt Nam
Email:

ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018

o

dx

x

z

z

xz

x

dz

z

x

zx

x   x dx
x
xz xz
x
zx    zx dz
z
z    z dz
z


Hình 1: Phân t đất chịu tác dụng của ứng suất
 Điều kiện về ứng suất trong đất: đất phải

luôn luôn chịu nén, hay:
 x  0 và  z  0 .
(3)
 Điều kiện cân bằng bền và ổn định:
Nếu đất nằm trong trạng thái cân bằng bền và
ổn định thì ứng suất tiếp lớn nhất trong đất max
phải có giá trị nhỏ nhất (max min), điều kiện
đó có thể suy ra từ nguyên lý Castiliano (18471884), nó đƣợc phát biểu nhƣ sau: “Trong tất cả
các tr ng thái cân bằng lực có thể thì tr ng thái
cân bằng thực xảy ra khi thế năng biến d ng là
cực tiểu”. Nguyên lý trên có thể đƣợc viết dƣới
11


dng cụng thc nh sau: 3
1 1 2
Z max
dV min ,
2V G

iu kin bn f(k) ca Mohr-Coulomb:
f(k) .tg c 0 .

(4)

(5)

Nh vy, biu thc (4) chớnh l Hm mc
tiờu ca bi toỏn xỏc nh ti tr ng gii h n ca
nn t vi cỏc rng buc (1), (2), (3) v iu

kin bn Mohr-Coulomb (5). Bi toỏn trờn l
bi toỏn quy hoch phi tuyn (do iu kin bn
Mohr-Coulomb l phi tuyn), gii c nú, ta
xỏc nh c ti trng gii hn ca nn t.
2. XUT PHNG PHP XC NH
TI TRNG GII HN TRONG BI TON
PLANDTL DA TRấN PHNG PHP SAI
PHN HU HN
2.1. xut phng phỏp

trong ú: Z - th nng bin dng do ng sut
tip gõy ra;
max- ng sut tip ln nht ti im ang xột;
1
G - mụun trt ca t; max - bin dng trt;
G
V - min ly tớch phõn - th tớch khi t
c xột.
iu kin bn Mohr-Coulomb:
Ngoi tha món cỏc phng trỡnh cõn bng,
iu kin bn v n nh núi trờn, t nn l
sc chu ti thỡ cỏc ng sut phỏt sinh trong t
di tỏc dng ca ti trng phi ỏp ng c

Mặt thoáng đất nằm ngang

p

p

x
1 1

2

i

(a)

i,j

x
i,j

n0

j
i+1,j

Z

m
z

i,j+1

(c)

(b)

i+1,j+1

Hỡnh 2. S sai phõn
a - Mụ hỡnh kh i t tớnh toỏn; b v c - L i sai phõn v kớch th c ụ l i
S tớnh di dng i xng v s li
sai phõn cú dng nh trờn hỡnh 2. S th t nỳt
li sai phõn theo trc oz thay i trong khong
1m v theo trc ox l 1n ( n0 - nỳt gia trong
khong 1 n ). iu kin biờn ca bi toỏn l
trng thỏi ng sut cỏc nỳt cnh di, cnh
trờn v hai bờn ca li, c th nh sau:
+ Ti mt trờn ca khi t: cỏc nỳt khụng
chu tỏc dng ca ti trng: ch cú n s l x
cũn z=0 v xz=zx=0.
12

+ Cỏc nỳt chu tỏc dng ca ti trng: ch cú
n s l x cũn z= p v xz=zx = 0.
+ ng sut ti cỏc nỳt biờn cũn li l
cha bit.
Nh vy, gii c bi toỏn thỡ phi xỏc
nh s sai phõn sao cho ng sut ca cỏc nỳt
trờn biờn u nm trong cỏc phng trỡnh cõn
bng v trong hm mc tiờu. Trờn nguyờn tc
ú, i vi mi ụ li ta vit phng trỡnh cõn
bng cho im gia ca ụ li (im nm gia 4
A K THUT S 4-2018


nút của mỗi ô lƣới) và sơ đồ sai phân đƣợc sử

dụng trong bài toán là sai phân trung tâm.
Do các điều kiện biên của bài toán là ứng suất
ở các nút trên biên và với cách chọn sơ đồ sai
phân nhƣ trên, ta có thể mở rộng khối đất theo
phƣơng ngang và theo chiều sâu đến vô hạn.
  x(i 1, j 1)   x(i , j 1)  x(i 1, j )   x(i , j )



2
2


Phƣơng trình cân bằng và hàm mục tiêu:
Xét ô lƣới đƣợc xác định bởi 4 nút: (i,j),
(i,j+1), (i+1,j), (i+1,j+1). Phƣơng trình cân
bằng đƣợc viết cho điểm nằm giữa 4 nút của
ô lƣới đang nên phƣơng trình (1) và (2)
có dạng:

 1
 xz 
 z


(6)

  xz(i 1, j 1)   xz(i 1, j )  xz(i , j 1)   xz(i , j )  1

 xz  0;



 x
2
2


( i 1, j 1)
( i 1, j )
( i , j 1)
(i , j )
 z
 z

 z  1

 xz 
 z
2
2

 z
  xz(i 1, j 1)   xz(i , j 1)  xz(i 1, j )   xz(i , j )  1

 xz  xz  0.


 x
2
2



Điều kiện đất luôn chịu nén (3) đối với mỗi nút lƣới sẽ là:
 x(i , j )  0 và  zi , j  0 .

(7)

(8)

Để có hàm mục tiêu (4) dƣới dạng sai phân, ta lƣu ý ứng suất tiếp  max và ứng suất pháp 
tƣơng ứng tại điểm đang xét đƣợc xác định đối với bài toán phẳng nhƣ sau:
 3
 3
; 1
(9)
 max  1
2
2

 z
và  1,3   x
 2


 z 
2
  x
   xz

 2 

2

(10)

Khi đó, biểu thức của hàm mục tiêu (4) đƣợc biểu diễn theo sai phân có dạng:
2

1 2
1   x(i, j)   z(i, j) 
(i , j ) 2



 xz  min .

dx
.
dz



(11)

max
xz
S G


2


i
j G 



Mô đun trƣợt G chỉ có ở trong hàm mục tiêu (11) (không có trong điều kiện ràng buộc). Về mặt
toán học G hệ số bình quân gia quyền. Về mặt cơ học, trong tính toán, tác giả xét hai trƣờng hợp là
G=const.
Với điều kiện bền Mohr-Coulomb (5), thay (10) vào (9), sau đó vào (5), ta đƣợc:
f (k ) 

( x   z ) 2
(   z )
  xz2  x
sin   c cos   0
4
2

Nhƣ vậy, theo sai phân hữu hạn, bài toán tìm
tải trọng giới hạn đối với nền đất là bài toán quy
hoạch phi tuyến với hàm mục tiêu (11), các ràng
buộc (6), (7), (8) và điều kiện bền MohrCoulomb (12). Để giải bài toán trên, có thể sử
dụng các phƣơng pháp giải bài toán quy hoạch
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018

(12)

phi tuyến khác nhau. Ở đây, tác giả sử dụng
hàm fmincon có sẵn của phần mềm MATLAB
và chọn phƣơng pháp thử dần.

2.2. Lập trình xác định tải trọng giới hạn
bằng MATLAB
Sử dụng bài toán đặt ra ở trên, xét trƣờng
13


hợp c≠0; =0, =0, tác giả đã tiến hành giải
với lƣới sai phân có kích thƣớc m=8, n=15 và
nhận đƣợc kết quả ứng với các trƣờng hợp tác
dụng tải trong khác nhau trên nền đất nhƣ
dƣới đây.
 Với giá trị áp lực của tải trọng p<4c, ứng
suất trong tất cả các điểm nút tính toán của
lƣới sai phân đều đáp ứng điều kiện bất đẳng

-0 .
09

2

Hình 3a: Các điểm chảy dẻo

4

-0 .0
9

9
-0 .0
6

8

Hình 3b: Các đ

 Với giá trị áp lực của tải trọng p =4.3c, xuất
hiện chảy dẻo tại các điểm nút nhƣ trƣờng hợp
p =4.0c.
 Với giá trị áp lực của tải trọng p =4.6c, xuất

-0 .0
9

09
-0 .

8

-0 .0
8

-0 .
08

08
-0 .

6

09

-0 .
-0 .0
8

8
-0 .0

9
-0 .0

4

0

-0 .
09

2

8
-0 .0

p

thức f(k)<0 trong biểu thức (12). Đất ở trạng
thái ổn định.
 Với giá trị áp lực của tải trọng p =4c, xuất
hiện chảy dẻo (đạt điều kiện cân bằng trong biểu
thức (12), f(k)=0) tại hai điểm nút ứng với (i=8,
j=1) và (i=8, j=2) nhƣ trên hình 3a. Các đƣờng

đẳng bền f(k) của điều kiện bền Mohr-Coulomb
nhƣ trên hình 3b.

10

12

14

ng đẳng bền f(k)

thức (12), f(k) = 0) tại ba điểm nút ứng với (i=8,
j=1); (i=8, j=2) và (i=7, j=2) nhƣ trên hình 4a.
Các đƣờng đẳng bền f(k) của điều kiện bền
Mohr-Coulomb nhƣ hình 4b.

Hình 4a: Các điểm chảy dẻo

-0 .08

09
-0 .
2

09
-0 .
4

6

Hình 4b: Các đ

-0 .08

-0 .07

0

-0 .07

-0 .08
-0 .09

8

10

09
-0 .

9
-0 .0

8

-0.07

-0 .08

6

-0 .09

4

0

2

.08
-0

-0 .
09

07
-0 .

p

-0
.08

hiện chảy dẻo (đạt điều kiện cân bằng trong biểu

12

14

ng đẳng bền f(k)

 Với giá trị áp lực của tải trọng p =5c, xuất
hiện chảy dẻo (đạt điều kiện cân bằng trong biểu

(i=8, j=1); (i=8, j=2); (i=7, j=2) và (i=7, j=1)
nhƣ trên hình 5a. Các đƣờng đẳng bền f(k) của

thức (12), f(k) = 0) tại bốn điểm nút ứng với

điều kiện bền Mohr-Coulomb nhƣ hình 5b.

14

ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018


0

.06
-0 -0 .07
-0 .07

-0 .08

-0 .08

6

-0 .
09

8

2

Hình 5a: Các điểm chảy dẻo

8

12

14

ng đẳng bền f(k)

0

với (i=8, j=1); (i=8, j=2); (i=7, j=2) và (i=7, j=1)
nhƣ trên hình 6a. Các đƣờng đẳng bền f(k) của
điều kiện bền Mohr-Coulomb nhƣ hình 6b.

-0
.08

4

.08
-0
-0 .07

-0.0

79
-0 .0

8
.0
-0 8
-0 .0

-0 .09

6

-0 .07

-0.07
-0.0
-0.089

-0 .08

-0 .09

0

2

10

-0 .
07

p

6

Hình 5b: Các đ

 Với giá trị áp lực của tải trọng p =5.23c,
xuất hiện chảy dẻo (đạt điều kiện cân bằng trong
biểu thức (12), f(k) = 0) tại bốn điểm nút ứng

9
-0 .0

09
-0 .

4

8
-0 .0

-0 .09

-0 .09

-0 .06

-0
.07

-0 .0
7

-0 .08

-0
.06

4

-0 .0
8

7
.0
-0

-0 .06

2

.08
-0

0

p

-0 .08

8

-0.09

Hình 6a: Các điểm chảy dẻo
+ Trƣờng hợp áp lực của tải trọng p=5.24c
hoặc lớn hơn - bài toán không có nghiệm.
3. XÁC ĐỊNH TẢI TRỌNG GIỚI HẠN
TRONG BÀI TOÁN PRANDTL BẰNG
PHẦN MỀM FLAC 2D
3.1. Giới thiệu phần mềm Flac 2D
Phần mềm Flac 2D (hoặc Flac 3D) dựa trên
phƣơng pháp sai phân hữu hạn, áp dụng cho
môi trƣờng liên tục nhằm mô phỏng các bài toán
phẳng (hoặc bài toán không gian) trong môi
trƣờng đất/đá. Sử dụng các phần tử tiếp xúc
(interface) để biểu diễn các mặt không liên tục:
khe nứt, đứt gẫy, phân lớp. Phần mềm có ƣu
điểm nổi bật trong các bài toán biến dạng lớn,
ứng xử phi tuyến. Là phần mềm mở, tích hợp
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018

2

4

6

-0

.09

10

-0 .09

-0 .09

8

Hình 6b: Các đ

10

12

14

ng đẳng bền f(k)

sẵn 12 mô hình ứng xử vật liệu và các phần tử
kết cấu: dầm, neo, vỏ … Ngƣời sử dụng có thể
tích hợp thêm các mô hình vật liệu và các phần
tử kết cấu khác. Phân tích mô phỏng đƣợc các
bài toán tĩnh, bài toán động, bài toán nhiệt và từ
biến 6.
3.2. Xác định tải trọng giới hạn bằng
Flac 2D
Nhằm đánh giá kết quả tính toán bằng
MATLAP, phần mềm sai phân hữu hạn FLAC

2D đƣợc sử dụng để mô phỏng bài toán tải trọng
phá hủy nền Prandtl với các điều kiện biên, tải
trọng, tính chất cơ lý đất nền tƣơng tự nhƣ phân
tích bằng MATLAP.
Sơ đồ tính toán FLAC 2D biểu diễn trên
15


Hình 7, với điều kiện biên là biên mặt trên tự
do, biên đáy và biên phải giới hạn chuyển vị cả
hai phƣơng ngang và đứng, biên trái chỉ giới
hạn chuyển vị ngang. Tải trọng tác dụng lên
móng đƣợc mô phỏng thông qua vận tốc của
một điểm nút tại góc trên phía trái mô hình,
tƣơng tự nhƣ cách gia tải trong MATLAB. Theo

Hình 7: Sơ đồ tính toán trong FLAC 2D
Kết quả tính toán vùng biến dạng dẻo xuất hiện
ở các giai đoạn tính toán ứng với các giá trị tải
trọng p khác nhau đƣợc thể hiện trên Hình 9. Có
thể thấy rằng, khi giá trị p nhỏ hơn 4c mô hình
không xuất hiện vùng biến dạng dẻo, khi p có trị
tƣơng đƣơng với các giá trị p trong tính toán bằng
MATLAB thì vị trí và số lƣợng phần từ xuất hiện

Hình 9a: Tải tr ng tác dụng p = 4.0c

hƣớng dẫn của phần mềm Flac 2D, giá trị vận
tốc lấy là 2.5x10 -5 m/bƣớc tính toán, nhằm đảm
bảo đủ nhỏ để không ảnh hƣởng đến kết quả

tính toán trong nội mô hình. Kích thƣớc lƣới mô
hình đƣợc chia đúng theo mô hình phân tích
bằng MATLAB, 8 phần tử theo phƣơng đứng và
16 phần tử theo phƣơng ngang (Hình 8).

Hình 8: Phân chia l ới phần tử
biến dạng dẻo là hoàn toàn trùng khớp với kết quả
tính toán MATLAB. Điều đó khẳng định kết quả
phân tích tính toán theo phƣơng pháp tác giả đề
xuất là chính xác. Kết quả tính toán FLAC cũng
cho thấy sức chịu tải giới hạn của móng p = 5.21c
(Hình 10), xấp xỉ bằng kết quả tính toán MATLAB
(p = 5.23c) và của Prandlt (p=5.14c) 1.

Hình 9b: Tải tr ng tác dụng p = 4.3c

Hình 9c: Tải tr ng tác dụng p = 4.6c
Hình 9d: Tải tr ng tác dụng p = 5.3c
Hình 9: Vùng biến d ng dẻo ở các giai đo n tính toán ứng với tải tr ng p khác nhau

16

ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018


Hình 10. Các đ ng quan hệ giữa tải tr ng và chuyển vị
theo ph ơng đứng t i điểm đặt móng
Giữa kết quả FLAC 2D và MATLAB có
sự sai khác về khả năng mô phỏng bài toán ở
trạng thái phá hủy. Theo đó, sau khi mô hình

xuất hiện vùng biến dạng dẻo lớn thì
MATLAB dừng lại, trong khi đó, FLAC 2D
mô phỏng đƣợc biến dạng lớn nên mặc dù tải

Hình 11a: Vùng phá hủy dẻo

trọng p đã vƣợt giá trị sức chịu tải giới hạn
nhƣng phần mềm vẫn tiếp tục phân tích đƣợc
(Hình 11). Hình 11b và 11c cho thấy, xu
hƣớng chuyển vị và dịch chuyển của khối phá
hủy phù hợp với mô hình phá hủy của Prandlt
(Hình 12).

Hình 11c: Hình đẳng h ớng véc tơ chuyển vị

Hình 11c: Hình đẳng h ớng véc tơ chuyển vị
Hình 11. Kết quả tính toán FLAC sau khi tải tr ng đ t sức chịu tải p=5.21c

Hình 12. Mô hình phá hủy của Prandlt đ i với nền đất không ma sát d ới tác dụng
tải tr ng móng băng
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018

17


4. KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tác giả đƣa ra phƣơng pháp mới xác định tải

trọng giới hạn dựa trên phƣơng pháp sai phân
hữu hạn và đƣợc giải thông qua viết chƣơng
trình trên nền tảng MATLAB. Kết quả tính toán
đƣợc so sánh với phần mềm sai phân hữu hạn
FLAC 2D. Một số kết luận đạt đƣợc nhƣ sau:
- Giá trị tải trọng tác dụng p =5.23c là giá trị
tt
tải trọng giới hạn tính toán p gh
- khi trong đất
xuất hiện cơ cấu phá hủy. Tải trọng giới hạn xác
tt
định đƣợc p gh
=5.23c so với tải trọng giới hạn
Prandtl
theo Prandtl pgh
= 5.14c có sai số là 1,75%.

- Kết quả tính toán tải trọng giới hạn bằng
phần mềm FLAC 2D phù hợp với phần mềm
MATLAB và Prandlt. Mô hình phá hủy nền
phân tích bằng FLAC 2D phù hợp với
Prandlt.

Ng

18

1. Ngô Thị Thanh Hƣơng và Hồ Sĩ Lành, Cơ
h c đất, Nhà xuất bản Xây dựng, 2017.
2. Ngô thị Thanh Hƣơng, Nghiên cứu tính

toán tải tr ng giới h n của nền đất, Tạp chí Địa
kỹ thuật, số 2 năm 2011, trang 56-61.
3. Ngô thị Thanh Hƣơng, Nghiên cứu tính
toán ứng suất trong nền đất các công trình giao
thông, Luận án Tiến sĩ, năm 2012.
4. Bùi Minh Trí (2001), Quy ho ch toán h c,
Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật.
5. Jeffery Cooper (2001), A matlab
companion
for
multivariable
calculus,
University of Maryland.
6. ITASCA Consulting Group, H ớng dẫn
phần mềm sai phân hữu h n FLAC 5.0 - Fast
Lagrangian Analysis of Continua.

i phản biện: PGS.TS HOÀNG VĨNH AN

ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 4-2018