Luyen thi DH -Ham so

Luyện tập toán-A Chủ đề hàm số
I. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
y x x= +
3
2 1
; 2)
y x x
x
= + +
3
1
2
; 3)
( )
y x x= +
2
2
3 2 3
; 4)
( ) ( )
y x x x x=
2 2
3 3 4 1
; 5)
( )( )
123
243
++=
xxxxy
; 6)

( ) ( )
y x x= +
3
1 1
;
7)
x
y ;
x

=

2
2
1
2
8)
x x
y
x x
+
=
+
3
2
1
; 9)
y
x
=

+
4
7
1
; 10)
( )
x
y
x x

=
+ +
3
2
1
1
; 11)
=
y
( )
x ;
3
2
1 5
12)
y x
x x

= +
ữ

4
2
2
2 3
3
;
13)
x
y
x


=
ữ
+

3
2 1
3 4
; 14) y
( )
x x
=
+
2
3
1
3 2
15)

;xxy
+=

16)
( )
y x x
= +
2
1 2
; 17)
x
y
x

=
+
2
3 1
1
; 18)
x
y
x
=

2
4
;
19)
y cos x=

3
; 20)
( )
y sin x ;
= +
2 2
1
21)
y cos( x )= +
2
1
;
22)
( )
y cos sin x=
2
2
23)
x
y sin
x
+

=
ữ


3
3 1
2 3

; 24)
sin x cos x
y
sin x cosx
+
=


25)
=
y
x sin x

3
; 26)
xy
4
sin
=
+cos
4
x ; 27)
4
2
1 xy sin
+=
; 28)
xy sin
=
; 29)

xxy 2121 sinsin
+=
; 30)
( )
2
xy sintan
=
;
II.Tính đạo hàm cấp n của các hàm số
1)
xy sin
=
; 2)
xy cos
=
;
3)
1
1
+
=
x
y
; 4)
34
1
2
+
=
xx

y
.
III.Công thức LAGRANGE trong chứng minh BĐT.
1).Cho
0
>
n
và
0
>>
ab
. Chứng minh ràng :
( ) ( )
abnbababna
nnnn
<<

11
.
2). Cho
0
>>
ab
. Chng minh ràng :
a
ab
a
b
b
ab

<






<

ln
.
3).Cho
.
2
0

<<< ba
Chứng minh rằng:
.
cos
tantan
cos b
ab
ab
a
ab
22

<<

4).Chứng minh rằng ln
( )
xx
<+
1
với mọi
0>x
.
5).Cho
1
>
a
và
1
>
x
. Chứng minh rằng :
( )
11
>
xax
n
.
GV: Vũ Hoàng Sơn
1
Luyện tập toán-A Chủ đề hàm số
6).Chứng minh rằng : với mọi số nguyên dơng n thì
.e
n

n
<






+
1
1
IV.Quan hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số.
1).Tìm m để hàm số :
( )
223
1632 mxmxxy
++++=
nghịch biến trên khoảng
( )
02;

.
2). Cho hàm số :
mx
mx
y
+
+
=
1

. Tìm m để hàm số đồng biến trên
( )
+
;1
.
3). Tìm m để
( )
( )
xmmxmxy 2321
223
+++=
tăng trên
( )
+
;0
.
4). Tìm m để
mx
mmxx
y
2
32
22

+
=
tăng trên
( )
+
;1

.
5). Cho hàm số
2
2xxf
=
)(
2

x
.Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nữa khoảng
[
)
+
;2
6).Chohàm số
.tansin)( xxxxf 32
+=
Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng






2
0

;
.
7). Cho hàm số

=
2
0
4

;,tan)( xxxxf
. Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn






4
0

;
.
8).Cho hàm số
1
2
2

=

x
x
xf )(
.Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến và các đờng tiệm cận của hàm số
).(xfy
=
V.Dùng đạo hàm để chứng minh một số bất đẳng thức.
1).Chứng minh rằng :
xxx 32
>+
tansin
; 2).
3
3
x
xx
+>
tan
với mọi







2
0

;x

.
3).
xx
4


tan
với mọi







4
0

;x
; 4).
xxxx
<<
sin
3
6
1
,với
0>x
; 5).
1

2
3
2
222
+
>+
x
tgxxsin
.
6).Nếu
0
>
x
thì
2
1 xxe
x
++>
; 7).
,
!
...
n
xx
xe
n
x
++++>
2
1

2
với
0
>
x
,n là số nguyên.
8).
( )
xx
x
x <+< 1
2
2
ln
, với
0
>
x
; 9).Cho
2
0

<<<
yx
. Cmr :
tgyxtgxy ..
<
;
10). Cho
vua

<<<
0
và các số nguyên
2

n
.Cmr :
.
nnnn
auavuv
<
11). Cho
2
0

<<<
yx
. Cmr :
( )
xyyyxx coscos.sin.sin.
>
2
;
12). Cho

<<<
21
0 xx
. Chứng minh rằng :
2

3
2
2
1
3
1
1
66
x
x
x
x
x
x
sinsin

>

.
13).Cho



+

xxy
xy
32
2
2

2
. Chứng minh rằng :
2
22
+
yx
.
VI. Cực trị của hàm số.
1. Tìm cực trị của các hàm số
a).
24
2xxy
=
; b).
2
1 xxy
=
; c).
.sin x
x
y
=
2
GV: Vũ Hoàng Sơn
2
Luyện tập toán-A Chủ đề hàm số
2).Tìm m để
232
22
++=

mmxxmy
đạt cực đại có giá trị bằng -3.
3).Tìm a,b để hàm số
xbxxay
++=
2
ln
đạt cực đại tại
2
=
x
và cực tiểu tại
1
=
x
.
4).Cho hàm số
( )
.
234
2138 xmmxxy
+++=
Tìm m để y có cực đại và không có cực tiểu.
5).C ho hàm số
( )( )( )
cxbxaxy
=
với a<b<c.CMR y đạt cực đại tại
( )
bax ;

và cực tiểu tại
( )
cbx ;

.
6). Tìm m để
( )
mx
mxmx
y

+++
=
11
2
có hai điểm cực trị ở hai bên trục hoành.
7). Cho hàm số
.23
23
+=
mxxxy
Tìm m để hàm số có CĐ và CT đồng thời hai điểm CĐ,
CT của đồ thị cách đều đờng thẳng (d) có phơng trình
.1
=
xy
8).Cho hàm số
( ) ( )
.1

2
=
xmxy
Tìm m để hàm số có CĐ , CT và tìm quĩ tích điểm cực đại cực tiểucủa đồ thị.
9). Cho hàm số
1
23
++=
mxxxy
. Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu thoả mãn
3
<+
CT
CT
C
C
x
y
x
y
Đ
Đ
.
10). Cho hàm số
12
24
+=
mmxxy
. Tìm m để đồ thị có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh
của tam giác đều .(hoặc vuông, cân hoặc có một góc bằng

0
120
).
11). Cho hàm số
( )
.
1
423
2

++
=
x
mxmx
y
Tìm m để hàm số có CĐ và CT và khoảng cách giữa hai điểm CĐ,
CT của đồ thị nhỏ hơn 3.
12). Cho hàm số
.
1
32
2
+
++
=
x
mxx
y
Tìm m để hàm số có CĐ, CT đồng thơI hai điểm CĐ,
CT nằm về hai phía của đờng thẳng

.:)( 012
=+
yxd
13). Cho hàm số
( )
.
1
133
2

+++
=
x
mxmx
y
Tìm m để hàm số có CĐ và CT và các giá trị CĐ,CT cùng âm.
14). Cho hàm số
( )
.
1
352
2
+
+++
=
x
mmx
y
Tìm m để hàm số có cực trị tại điểm
1

>
x
.
15).Cho hàm số
4
23
2

++
=
x
mxx
y
. Tìm m để hàm số có CĐ và CT và
CTC
yy
+=
4
Đ
.
16). Cho hàm số
mx
mxx
y
2
232
2

+
=

. Tìm m để hàm số có CĐ và CT và
.
Đ
8
<
CTC
yy
17). Cho hàm số
.122
2
++=
xmxy
Tìm m để hàm số đạt cực đại (cực tiểu).
18). Cho hàm số
( )
mx
mmxmmx
y
2
322412
322
+
++++
=
. Tìm m để hàm số có một điểm cực trị nằm góc phần t thứ hai
điểm cực trị kia nằm ở góc phần t thứ t của mặt phẳng toạ độ.
19).Hãy tìm khoảng tăng , giảm,các điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số:
x
xexf
3

=
)(
.
VII. Gía trị lớn nhất nhỏ và nhất của hàm số.
1).Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số:
a).
12
24
+=
xxy
với
];[ 20

x
; b).
255
345
++=
xxxy
với
[ ]
21;

x
;
c).
1
12

+
=
x
x
y
với
+<<
x1
; d).
1
32
2

++
=
x
xx
y
với
10
<
x
.
GV: Vũ Hoàng Sơn
3
Luyện tập toán-A Chủ đề hàm số
2). Tìm max và min của hàm số :
xxy sincos 2121
+++=
.

3). Tìm max và min của hàm số :
22
1
4
1
2
1
x
x
x
x
y
+
+
+
+=
coscos
.
4). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )
xx
xxy
22
3
1
cossin
sincos
++=
.
5).a)Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )
2
2
x
xexf
x
+=
sin
. CMR phơng trình
3
=
)(xf
có đúng hai nghiệm.
b).Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
x
x
xf
2
2
sin)(
+=
trên đoạn







22

;
.
c). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
.cossin






+=
2
61
2
xx
y
6).Gọi
);( yx
là nghiệm của hệ phơng trình



+=+
=
13
42
mymx
mmyx
(với m là tham số ).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
,xyxA 2
22
+=
khi m thay đổi.
7). Cho
yx,
là các số thực thay đổi . Tìm giá trị nhổ nhất của biểu thức:
( ) ( )
211
2
2
2
2
+++++=
yyxyxy
.
8). Tìm tập giá trị của hàm số
.4242
22
+++=
xxxxy
9). Cho tam giác ABC nhọn A>B>C.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
1



+

=
Cx
Bx
Cx
Ax
y
sin
sin
sin
sin
10). Cho hàm số
224
6 mmxxy
+=
với
[ ]
12;

x
.Tìm và biện luận giá trị lớn nhất của
y
.
11). Cho hàm số
( )
x
axax
y
22
1

+
=
với
10
2
+<<
aax
.
Tìm max và min của y. Biện luận theo tham số a.
12). Cho hàm số
xxmxxy cossincossin
++=
44
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y.
Biện luận theo tham số m.
13). Cho
0

a
. Tìm max và min của hàm số :
( )
4
3
2
36
12

+

=
x
axx
y
.
14. Cho
1

a
. Tìm min
xaxay sincos
+++=
.
15).Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số:
1
1
2
++
+
=
xx
x
y
sinsin
sin
.

16). Với giá trị nào của m thì
04
4
+=
mxmxy
mọi
Rx

.
17) Cho hàm số
mxxy
+=
3
4
. Tìm m sao cho
1

y
khi
.1

x
18) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số
22
22
yxyx
yx
yxf
++
+

=
);(
với
0
22
>+ yx
.
VIII.Các đ ờng tiệm cận.
GV: Vũ Hoàng Sơn
4
Luyện tập toán-A Chủ đề hàm số
1).Tìm các đờng tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số: a).
1
3
2
+
+
=
x
x
y
; b).
1
1
2
+
+
=
xx
x

y
.
2).Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị của hàm số: a).
1
2
2

==
x
x
xfy )(
; b)
132
2
++=
xxy
;
c).
.5693
2
++=
xxxy
3).Tìm tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số :
12
2
++=
xxy
.
4). Cho hàm số
( )

( )
mx
mmmxxm
y

+
=
221
232
với
1

m
.
Xác định tiệm cận xiên của đồ thị . Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
5). Cho hàm số
( )
1
212
2

+++
=
x
mxmmx
y
. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hs tiếp xúc với parabol
9
2
=

xy
.
6).Cho hàm số
mx
mxx
y

+
=
32
2
. Xác định m để đồ thị của hàm số không có tiệm cận đứng.
7). Tìm m để đồ thị của hàm số
2
54
2

++
=
mx
mxx
y
không có tiệm cận.
8). Cho hàm số
1
1
2

+
=

x
mxx
y
.Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị cắt trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích
bằng 8 (đvdt).
9). Biện luận số tiệm cận của đồ thị của các hàm số:
a).
mx
xx
y
+
+
=
32
2
; b).
mxx
x
y
+
+
=
4
2
2
.
IX. Các bài toán về tiếp tuyến và tiếp xúc.
1) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị
2
5

3
2
2
4
+=
x
x
y
tại M có hoành độ
ax
m
=
. Chứng minh rằng hoành độ các giao điểm
của tiếp tuyến d với đồ thị là các nghiệm của phơng trình :
( )
( )
.0632
22
2
=++
aaxxax

2 ) Cho hàm số
23
23
+=
xxy
. Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(
); 2
9

23

.
3) Chứng minh rằng trên đờng thẳng
7
=
y
có bốn điểm sao cho từ mỗi điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến lập với đồ thị một góc
bằng
0
45
đến đồ thị
1
12
2

+
=
x
xx
y
.
4). Cho hàm số
( )
.6665
232
+++= xmxxmmy
Chứng minh tằng tiếp tuyến tại một điểm
cố định là một đờng thẳng cố định.
5). Cho hàm số

( )
2
312
2
+
++++
=
x
aaax
y
. Tìm a để đồ thị tiếp xúc với đờng thẳng
4
+=
ay
.
6) Tìm a để đồ thị của hàm số
1
1
2

+
=
x
xx
y
tiếp xúc với parabol y=
ax +
2
.
7) Tìm tiếp chung của hai parabol :

2
238 xxy
=
và
2
292 xxy
+=
.
GV: Vũ Hoàng Sơn
5