BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN
Chủ đề: Điểm thuộc đồ thi
Dạng bài Điểm thuộc đồ thi hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Điểm đặc biệt thuộc đồ thi hàm số
Trắc nghiệm Điểm đặc biệt thuộc đồ thi hàm số
Chủ đề: Nhận dạng đồ thi hàm số
4 dạng bài Nhận dạng đồ thi hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Cách nhận dạng đồ thi hàm số bậc 3
Dạng 2: Cách nhận dạng đồ thi hàm số bậc 4 trùng phương
Dạng 3: Cách nhận dạng đồ thi hàm số phân thức
Bài tập trắc nghiệm
40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có giải chi tiết
275 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (cơ bản - phần 1)
275 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (cơ bản - phần 2)
275 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (cơ bản - phần 3)
275 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (cơ bản - phần 4)
275 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (cơ bản - phần 5)


275 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (cơ bản - phần 6)
275 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (cơ bản - phần 7)
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (nâng cao - phần 1)
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi

tiết (nâng cao - phần 2)
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (nâng cao - phần 3)
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (nâng cao - phần 4)
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thi hàm số có lời giải chi
tiết (nâng cao - phần 5)


Chủ đề: Điểm thuộc đồ thi
Dạng bài Điểm thuộc đồ thi hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
I. Phương pháp giải
1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong (Cm) có phương trình y = f(x; m). Hãy tìm những điểm cố
đinh thuộc họ đường cong khi m thay đổi?
Phương pháp giải:
• Bước 1. Đưa phương trình y = f(x; m) về dạng sau: A.m + B = 0 hoặc Am 2 + Bm
+C=0
• Bước 2. Cho các hệ số bằng 0; ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương
trình:

• Kết luận: Nếu hệ vô nghiệm thì đường cong không có điểm cố đinh. Nếu hệ có
nghiệm thì điểm đó chính là điểm cố đinh của đường cong.
2. Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị hàm số và có tọa độ nguyên
Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (hàm phân thức). Hãy tìm những
điểm có tọa độ nguyên của đường cong?
Phương pháp giải:
• Bước 1. Thực hiện phép chia đa thức; chia tử số cho mẫu số.
• Bước 2. Lập luận để tìm ra x.
Chú ý:

khi và chỉ khi (cx + d) ∈ Ư(k). Từ đó ta lập bảng.


3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng
Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x). Tìm những điểm thuộc đường cong
(C) và đối xứng với nhau qua một điểm; qua một đường thẳng.
Sử dụng tính chất hai điểm A, B đối xứng với nhau qua 1 điểm M (đường thẳng
d). Khi đó; M là trung điểm AB(d là đường trung trực của AB).

4. Bài toán: Cho hàm số
có đồ thị(C). Hãy tìm trên (C) hai điểm A
và B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.
Phương pháp giải:
Đồ thi hàm số (C) có tiệm cận đứng là x = -d/c. Do tính chất hàm phân thức, đồ
thi nằm về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α, β là hai số dương
• Nếu A thuộc nhánh trái thì

• Nếu B thuộc nhánh phải thì

Sau đó:
tính

Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta sẽ ra kết quả.
5. Bài toán: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x). Tìm tọa độ điểm
M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất (lớn
nhất).
Phương pháp


• Gọi tọa độ M(x; y). Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = |x|

+ |y|
• Sử dụng phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức hoặc xét chiều biến thiên
của hàm số để xét tính dmax, dmin
6. Bài toán. Cho đồ thị hàm số ( C) có phương trình:

Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MI ngắn nhất (lớn nhất) - với I là
điểm cho trước.
Phương pháp
• Gọi điểm
• Tính
• Dùng bất đẳng thức, phương pháp tìm giá tri lớn nhất, giá tri nhỏ nhất của hàm
số
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2. Tìm hai điểm trên đồ thi hàm số sao cho
chúng đối xứng nhau qua điểm M(-1;3).
A. (-1; 0) và (-1; 6)
C. (0; 2) và (-2; 4)

B.(-2; 0) và (0;6)
D. Đáp án khác

Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2. Tìm hai điểm trên đồ thi hàm số sao cho
chúng đối xứng nhau qua điểm M(-1;3).
A. (-1; 0) và (-1; 6)
C. (0; 2) và (-2; 4)
Hiển thị đáp án

B.(-2; 0) và (0;6)
D. Đáp án khác

* Gọi A(x0;y0) và B là điểm đối xứng với A qua điểm M(-1; 3)
⇒ M là trung điểm của AB nên B(-2 - x0; 6 - y0).
* Do A và B thuộc đồ thi hàm số (C) nên:

Từ (1) và (2) lấy vế cộng vế ta được:
6 = -x03 + 3x0 + 2 - (-2 - x0)3 + 3(-2 - x0) + 2
⇔ 6 = -x03 + 3x0 + 2 + 8 + 12x0 + 6x02 + x03 - 6 – 3x0 + 2
⇔ 6x02 + 12x0 + 6 = 0
⇔ x0 = -1 nên y0 = 0
Vậy 2 điểm cần tìm là: (-1; 0) và (-1; 6).
Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hàm số

có đồ thi (C).

Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1;
-1)
A. (0; -4) và (1; 3)

B. (2; 0) và (0; -4)


C. (1;3) và (2; 1)

D. (3; 1) và (2; -2)

Hiển thị đáp án
Ta có: MN→(2;-1)

* Phương trình đường thẳng MN:

⇒ (MN): 1(x + 3) + 2(y - 0) = 0
hay x + 2y + 3 = 0 có hệ số góc k = -1/2.
* Phương trình đường thẳng d ⊥ MN có dạng: y = 2x + m.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

Nên 2x2 + mx + m + 4 = 0 (1)
+ Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ Δ = m2 - 8m - 32 > 0 (2)
Khi đó A(x1; 2x1 + m); B(x2; 2x2 + m) với x1; x2 là các nghiệm của (1)
Trung điểm của AB là

(theo đinh lý Vi-et)
Do A và B đối xứng nhau qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ m = -4
Suy ra (1)

Nên A(0; -4); B(2; 0)
Suy ra chọn đáp án B.


Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 9x + 4. Xác đinh các giá tri của m để trên đồ
thi hàm số có cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
A. m > 0

B. m < 0

C. m ≥ 0

D. m ≤ 0

Hiển thị đáp án
* Giả sử M(x0; y0); N(-x0; -y0) với x0 ≠ 0 là cặp điểm đối xứng nhau qua O. Do M
và N thuộc đồ thi hàm số nên ta có:

* Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có: mx02 + 4 = 0 (3)
Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m < 0 .
Vậy với m < 0 thì trên đồ thi hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa
độ O có hoành độ
Suy ra chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Tìm m để có hai điểm cực tri đối xứng với nhau qua đường thẳng d: 9x 6y – 7 = 0
(Cm):
Hiển thị đáp án
Ta có: y' = x2 – (m + 2).x + 2m
Và y' = 0 khi x = 2 hoặc x = m.
* Hàm số có hai điểm cực tri
⇔ Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 2
* Khi đó hai điểm cực tri của đồ thi hàm số đã cho là:


* Để A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) ⇔ AB ⊥ (d) và trung điểm I
của đoạn AB thuộc (d).
Một vectơ chỉ phương của (d) là a−(2;3)
Mà
* AB vuông góc với (d) ⇔ AB−.n− = 0

* Với m = 0 thì A(2;-1/3); B(0;1) suy ra trung điểm của AB là I(1; 1/3).
Thay tọa độ I vào phương trình của (d), ta được 0 = 0, suy ra I ∈ (d).
Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
* Với m = 4 thì A(2; 23/3); B(4; 19/3) suy ra I(3;7).
Thay tọa độ I vào phương trình (d) ta được 27 – 42 - 7 = 0 (sai) ⇒ I ∉ (d).

Vậy m = 4 không thỏa mãn yêu câu bài toán.
Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 5: Tìm trên đồ thi hàm số
những điểm M sao cho khoảng cách từ
M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ
thi.
A. M(-4;7/5) hoặc M(2; 5).
C. M(4; 3) hoặc M(2;5).

B. M(4; 3) hoặc M(-2; 1).
D. M(-4;7/5) hoặc M(-2; 1) .


Hiển thị đáp án
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – 1 với m là tham số thực, có đồ thi là (C).
Tìm tọa độ các điểm cố đinh thuộc đồ thi (C).
A. (-1; 0) và (1;0).

B. (1;0) và (0;1).

C. (-2;1) và (-2;3).

D. (2; 1) và (0;1) .

Hiển thị đáp án
Gọi điểm M(x0; y0) thuộc (C) .
Ta có: y0 = x04 + mx02 - m - 1 ⇔ (x02 - 1)m + x04 - y0 - 1 = 0 (1)
Để M là điểm cố đinh của (C) khi và chỉ khi (1) luôn đúng với mọi m

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 7: Cho hàm số
(C) mà tọa độ là số nguyên?
A. 2

B. 4

C. 5

D. 6

có đồ thi là (C). Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thi

Hiển thị đáp án
Gọi M(x0; y0) ∈ (C)

Để y0 ∈ Z thì x0 + 1 là ước của 4 hay x0 + 1 ∈ {-1; 1; -2; 1; -4; 4}.
Suy ra x0 ∈ {-5; -3; -2; 0; 1; 3}.
Vậy có 6 điểm thỏa mãn bài toán.
Suy ra chọn đáp án D.
Dạng 1: Điểm đặc biệt thuộc đồ thi hàm số


A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Bài toán tìm điểm cố đinh của họ đường cong
Xét họ đường cong (Cm) có phương trình y = f(x, m), trong đó f là hàm đa thức
theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Hãy tìm những điểm
cố đinh thuộc họ đường cong khi m thay đổi?
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa phương trình y=f(x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:
Am+B=0 hoặc Am2 +Bm+C=0.

Bước 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương
trình:

Bước 3: Kết luận
Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Cm) không có điểm cố đinh.
Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố đinh của (Cm).
2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:
Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (hàm phân thức). Hãy tìm những
điểm có tọa độ nguyên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của
điểm đó đều là số nguyên.
Phương pháp giải:
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
Bước 2: Lí luận để giải bài toán.
3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:


Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x). Tìm những điểm đối xứng nhau
qua một điểm, qua đường thẳng.
Bài toán 1: Cho đồ thi (C): y = Ax 3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thi (C) tìm những cặp
điểm đối xứng nhau qua điểmI(xI, yI).
Phương pháp giải:
Gọi M(a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N(b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối
xứng nhau qua điểm I.

Ta có:
Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N.
Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thi (C):y = Ax 3 + Bx2 + Cx + D. Trên đồ thi (C) tìm
những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Phương pháp giải:

Gọi M(a, Aa3 + Ba2 + Ca + D), N(b, Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối
xứng nhau qua gốc tọa độ.

Ta có:
Giải hệ phương trình tìm đượca,b từ đó tìm được toạ độ M,N.
Bài toán 3: Cho đồ thi (C):y = Ax 3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thi (C) tìm những cặp
điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:y=A1x + B1.
Phương pháp giải:
Gọi M(a; Aa3 + Ba2 + Ca + D),N(b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối
xứng nhau qua đường thẳng d.


(với I là trung điểm của MN và u ⃗_d là vectơ chỉ phương của
đường thẳng d).
Giải hệ phương trình tìm được M, N.
Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:
Lí thuyết:
Cho hai điểm P(x1; y1); Q(x2; y2 ) ⇒ PQ=

.

Cho điểm M(xo; yo ) và đường thẳng d: Ax + By + C = 0, thì khoảng cách từ M
đến d là h(M;d)=

.

Khoảng cách từ M(xo; yo ) đến tiệm cận đứng x = a là h = |xo - a|.
Khoảng cách từ M(xo; yo )đến tiệm cận ngang y = b là h = |yo - b|.
Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của
một đường thẳng với một đường cong (C) nào đó. Vì vậy trước khi áp dụng công

thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng.
Các bài toán thường gặp:
Bài toán 1: Cho hàm số y = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0,ad - bc ≠ 0) có đồ thi (C). Hãy
tìm trên (C) hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thi hàm số sao cho khoảng cách
AB ngắn nhất.
Phương pháp giải:
(C) có tiệm cận đứng x = -d/c do tính chất của hàm phân thức, đồ thi nằm về hai
phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α,β là hai số dương.
Nếu A thuộc nhánh trái thì xA < -d/c ⇒ xA = -d/c - α < -d/c; yA = f(xA).


Nếu B thuộc nhánh phải thì xB > -d/c ⇒ xB = -d/c + β > - d/c; yB = f(xB).
Sau đó tính AB2 =(xB - xA )2 + (yB - yA)2 =[(a + β) - (a - α)]2 +(yB - yA)2 .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả.
Bài toán 2: Cho đồ thi hàm số (C) có phương trình y = f(x). Tìm tọa độ điểm M
thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:

Gọi M(x;y)và tổng khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ là d thì d = |x| + |y|.
Xét các khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vi trí đặc biệt: Trên
trục hoành, trên trục tung.
Sau đó xét tổng quát, những điểm Mcó hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ
hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá tri nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo
hàm rồi tìm được giá tri nhỏ nhất của d.
Bài toán 3: Cho đồ thi (C) có phương trình y = f(x). Tìm điểm Mtrên (C) sao cho
khoảng cách từ M đến Ox bằng klần khoảng cách từ M đến trụcOy.
Phương pháp giải:

Theo đầu bài ta có |y| = k|x| ⇔
Bài toán 4: Cho đồ thi hàm số (C) có phương trình y = f(x) = (ax + b)/(cx + d) (c
≠ 0, ad - bc ≠ 0). Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MIngắn nhất (với I là
giao điểm hai tiệm cận).
Phương pháp giải:
Tiệm cận đứng x = (-d)/c; tiệm cận ngang y = a/c.
Ta tìm được tọa độ giao điểm I((-d)/c;a/c)của hai tiệm cận.
Gọi M(xM; yM) là điểm cần tìm. Khi đó:

Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thi hàm số (C) có phương trình y = f(x) và đường thẳng
d:Ax+By+C=0. Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất.
Phương pháp giải
Gọi I thuộc (C) ⇒ I(xo; yo ); yo = f(xo).

Khoảng cách từ I đến d là g(xo) = h(I;d) =
Khảo sát hàm số y = g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Đồ thi của hàm số y = (m - 1)x + 3 - m (m là tham số) luôn đi qua một
điểm Mcố đinh.
Tìm điểm M cố đinh đó.


Hướng dẫn:
Gọi M(xo; yo) là điểm cố đinh cần tìm.
Ta có yo=(m - 1)xo + 3 - m,∀m
⇔(xo -

1)m

-

xo -

yo +

3

=

0,∀m⇔

⇒ M(1; 2).
Vậy điểm cố đinh cần tìm là M(1;2)
Ví dụ 2: Trên đồ thi (C) của hàm số y=2/(x + 2) có bao nhiêu điểm có tọa độ
nguyên?. Tìm các điểm có tọa độ nguyên đó.
Hướng dẫn:
Gọi M(xo; yo) với xo∈Z\{-2},yo∈Z

⇒xo + 2 ∈ {-2; -1; 1; 2}⇒xo ∈ {-4; -3; -1; 0}
Khi đó trên đồ thi (C) có bốn điểm có tọa độ nguyên là M 1(-4; -1),M2(-3; -2),M3(1; 2),M4(0; 1)
Ví dụ 3: Xác đinh tọa độ điểm M thuộc đồ thi (C) của hàm số y = (x+2)/(2x-1)
sao cho M cách đều hai điểm A(2,0) và B(0,2).
Hướng dẫn:
Phương trình đường trung trực đoạn AB là y=x.
Những điểm thuộc đồ thi cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của phương
trình :


(x + 2)/(2x - 1) = x ⇔ x2 - x - 1 = 0⇔

Hai điểm trên đồ thi thỏa yêu cầu bài toán là ((1 - √5)/2 ,(1 - √5)/2) ; ((1 + √5)/2 ,
(1 + √5)/2).
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Đồ thi hàm số y = x 3 - 3x2 + mx + m (m là tham số) luôn đi qua một điểm
M. Tìm điểm cố đinh đó.
Hiển thị đáp án
Gọi M(xo;yo) là điểm cố đinh cần tìm.
Ta có yo = xo3 - 3xo2 + mxo+m, ∀m
⇔(xo + 1)m + xo3 - 3xo2 - yo=0, ∀m

Bài 2: Khi m thay đổi đồ thi (Cm) của hàm số y =(1-2m)x4 + 3mx2 - m - 1 đi qua
bao nhiêu điểm cố đinh?
Hiển thị đáp án
Gọi M(xo;yo) là điểm cố đinh cần tìm.
Ta có yo=(1 - 2m)xo4 + 3mxo2 - m - 1,∀m
⇔(2xo4 - 3xo2 + 1)m + yo - xo4 + 1 = 0,∀m


Vậy đồ thi hàm số đã cho đi qua bốn điểm cố đinh.
Bài 3: Trên đồ thi (C) của hàm số y = (x + 10)/(x + 1) có bao nhiêu điểm có tọa
độ nguyên?
Hiển thị đáp án
Gọi M(xo; yo) với xo ∈ Z, yo ∈ Z.

⇒ xo + 1 ∈ {-9; -3; -1; 1; 3; 9}⇒xo∈{-10; -4; -2; 0; 2; 8}
⇒ M1(-10;0),M2(-4;-2),M3(-2;-8),M4(0;10),M5(2;4) và M6(8; 2).
Vậy trên đồ thi (C) có sáu điểm có tọa độ là các số nguyên.
Bài 4: Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thi (C) của hàm số y = x 3 + 3x2 - 2 đối
xứng với nhau qua điểm I(2; 18).
Hiển thị đáp án

Gọi M(x;y) là điểm trên đồ thi (C), gọi N là điểm đối xứng với Mqua I, ta có N(4 x; 36 - y). Vì N thuộc (C), ta có


⇒ x3 + 3x2 - 2 = -(4 - x)3 - 3(4 - x)2 + 38
⇔x=2
Vậy có tất cả một cặp điểm thuộc đồ thi (C) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 5: Xác đinh các giá tri thực của tham số m để đồ thi (C m) của hàm số y = x 3 3x2 + m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Hiển thị đáp án
Đồ thi hàm số (C_m) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và
chỉ khi tồn tại xo ≠ 0 sao cho y(xo) = -y(-xo) ⇔ tồn tại xo ≠ 0 sao cho xo3 - 3xo2 + m
= -[(-xo )3 - 3(-xo )2 + m] ⇔ tồn tại xo ≠ 0 sao cho 3xo2 = m ⇔ m > 0.
Bài 6: Tìm điểm thuộc đồ thi (C) của hàm số y = (x 2 + 5x + 15)/(x+3)sao cho
điểm đó cách đều hai trục tọa độ.
Hiển thị đáp án
Gọi M(x_M,y_M ),(x_M≠-3) thỏa yêu cầu bài toán. Ta có:

Vậy điểm cần tìm là M(-15/2;-15/2)
Bài 7: Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thi (C) của hàm số
y = (x + 3)/(x - 3). Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB.
Hiển thị đáp án
Gọi A là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thi hàm số, nghĩa là xA < 3 ⇒ với số α
> 0, đặt xA = 3 - α, suy ra yA = 1 + 6/(xA - 3)=1 + 6/(3 - α - 3) = 1 - 6/α (1).
Tương tự gọi B là điểm thuộc nhánh phải, nghĩa là x B > 3 ⇒ với số β > 0, đặt xB =
3 + β, suy ra yB = 1 + 6/(xB - 3)=1 + 6/(3 + β - 3) = 1 + 6/β (2).


Vậy AB2 = (xB - xA )2 + (yB - yA )2 = [(3 + β) - (3 - α)]2 + [(1 + 6/β) - (1 - 6/α)]2

Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có
g(α; β) ≥ (2αβ + 2αβ)(1 + 36/(α2β2 )) = 4αβ + 144/αβ ≥ 2√4.144 = 48.

Vậy AB≥√48=4√3. Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi

Vậy độ dài AB ngắn nhất là 4√3.
Bài 8: Xác đinh tọa độ cặp điểm thuộc đồ thi (C) của hàm số y = (x + 4)/(x - 2)
đối xứng nhau qua đường thẳng d: x - 2y - 6 = 0
Hiển thị đáp án
Gọi đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d:y = (1/2)x - 3 suy ra Δ: y = -2x
+ m.
Giả sử Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Khi đó hoành độ của A,B là nghiệm
của phương trình

(x + 4)/(x - 2) = -2x + m
Điều kiện cần:


Để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình h(x) = 0 có hai nghiệm phân
biệt
khác
2,
tức
là
Điều kiện đủ:
Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

Để hai điểm A,B đối xứng nhau qua d: x - 2y - 6 = 0 khi I ∈ d ⇔ (m+3)/4 - 2.
(3m+3)/2 - 6 = 0 ⇔ m = -3(thỏa điều kiện (*)).
Với m = -3 phương trình h(x) = 0 ⇔ 2x2 - 2 = 0

Vậy tọa hai điểm cần tìm là (1; -5) và (-1; -1).
Trắc nghiệm Điểm đặc biệt thuộc đồ thi hàm số

Bài 1: Đồ thi của hàm số y = x2 + 2mx - m + 1 (m là tham số) luôn đi qua một
điểm Mcố đinh có tọa độ là
A. M(0; 1).

B. M(1/2; 3/2).

C. M(1/2; 5/4).

Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi M(xo;yo) là điểm cố đinh cần tìm.
Ta có yo = xo2 + 2mxo - m + 1

D. M(-1; 0).


⇔

(2xo-

1)m

xo2 +

+

1

-

yo =

⇒ M(1/2; 5/4).

0,∀m⇔

Bài 2: Biết đồ thi (Cm) của hàm số y = x4 - 2mx2 + 3 luôn đi qua một điểm M cố
đinh khi m thay đổi, khi đó tọa độ của điểm M là
A. M(-1; 1).

B. M(1; 4).

C. M(0; -2).

D. M(0; 3).

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi M(xo; yo) là điểm cố đinh cần tìm.
Ta có
yo=xo4 -2mxo2 +

3,∀m⇔

2xo2 m

+

yo -

3

-

x o4 =

⇒ M(0;3).

0,∀m⇔

Bài 3: Biết đồ thi (Cm) của hàm số y=[(m+1)x + m]/(x + m) (m ≠ 0) luôn đi qua
một điểm M cố đinh khi m thay đổi. Tọa độ điểm M khi đó là
A. M(-1; -1/2).

B. M(0; 1).

C. M(-1; 1).

D. M(0; -1).

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :
Gọi M(xo;yo) là điểm cố đinh cần tìm.
Ta có yo=((m + 1)xo + m)/(xo+ m) ,∀m≠0⇔ xo yo+myo = mxo + xo + m ,∀m ≠ 0


⇔ m(yo - xo-1) + xo yo - xo = 0,∀m ≠ 0⇔

⇒ M(0; 1).
Bài 4: Trên đồ thi (C) của hàm số y = 3/(2x - 1) có bao nhiêu điểm có tọa độ là
các số nguyên dương
A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi M(xo;yo) với xo ∈ N*,yo ∈ N*

⇒

⇒ 2xo - 1 ∈ {1; 3} ⇒ xo ∈ {1; 2}

⇒ M1(-1; -1),M2(0; -3),M3(1; 3) và M4(2; 1).
Vậy trên đồ thi (C) có hai điểm có tọa độ là các số nguyên dương
Bài 5: Trên đồ thi (C) của hàm số y = (x + 2)/(2x - 1) có bao nhiêu điểm có tọa độ
nguyên
A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 6.

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :
Gọi M(xo; yo) với xo ∈ Z, yo ∈ Z.


⇒

⇒ 2xo-1∈{-5;-1;1;5} ⇒ xo∈{-2;0;1;3}

⇔ xo=-2 ⇒ yo=0 ⇒ M(-2;0) ⇔ xo= 1 ⇒ yo=3 ⇒ M(1;3)
⇔ xo=0 ⇒ yo=-2 ⇒ M(0;-2) ⇔ xo= 3 ⇒ yo=1 ⇒ M(3;1)
Vậy trên đồ thi (C) có bốn điểm có tọa độ là các số nguyên.
Bài 6: Cặp điểm thuộc đồ thi (C) của hàm số y = x 3 - 4x2 + 9x + 4 đối xứng nhau
qua gốc tọa độ O là?
A. (3; 22) và (-3; -22).

B. (2; 14) và (-2; -14).

C. (1; 10) và (-1; -10).

D. (0; 4) và (4; 40).

Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi A(xA;xA3 - 4xA2 + 9xA + 4), B(xB; xB3 - 4xB2 + 9xB + 4) là hai điểm trên (C) đối
xứng nhau qua gốc tọa độ.

Ta
có

Thay (1) vào (2) ta được
xA3 -4xA2 +

0⇔

9xA +

4

(-xA )3 -

+

4(-xA )2 +

.

Vậy cặp điểm cần tìm là A(1; 10), B(-1; -10).

9(-xA)

+

4

=

Bài 7: Cặp điểm thuộc đồ thi (C) của hàm số y = x 3 + x đối xứng nhau qua đường
thẳng d: y = -1/2 x là:
A. (1; 2) và (-2; -10).
C. (1; -2) và (-1; 2).

B. (2; -1) và (-2; 1).
D. (1; 2) và (-1; -2).

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi A(a;a3 +a),B(b;b3 +b) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng d:
y = -1/2 x hay d:x+2y=0.

Ta có:
chỉ phương của d)

(với I là trung điểm của AB và

(2;-1) là vecto

Từ (1) ta có (a3 + a + b3 + b)/2 = -1/2.(a + b)/2
⇔ (a + b)(2a2 - 2ab + 2b2 + 3) = 0⇔ a = -b (3)
(vì 2a2 - 2ab + 2b2 + 3 = 2(a2 - ab + b2 + 3/2) = 2(a - 1/2 b)2 + 3/2 b2 +3>0,∀a,b)
Với (AB)=(b - a; (b - a)(a2 + ab + b2 +2)), từ (2) ta có
2(b - a) - (b - a)(a2 + ab + b2 + 1) = 0
⇔ (b - a)(a2 + ab + b2 - 1) = 0
⇒ a2 + ab + b2 - 1 = 0 (4) (Vì a≠ b)

Thay (3) vào (4) ta được a2 - a2 +a2 -1=0 ⇔
Vậy cặp điểm cần tìm là A(1; 2), B(-1; -2).

.