CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN
6 dạng bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa
Trắc nghiệm Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ
Trắc nghiệm phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ
Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ
Trắc nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ
Giải phương trình mũ chứa tham số
Chủ đề: Bất phương trình mũ
Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Phương pháp giải bất phương trình mũ


Trắc nghiệm bất phương trình mũ
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
6 dạng bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1. Giải phương trình mũ cơ bản
1. Phương pháp giải
Cho phương trình af(x) = b ( a > 0 và a ≠ 1)
+ Nếu b le; 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm .
+ Nếu b > 0 thì phương trình đã cho tương đương f(x)= logab .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình 22x+ 1 = - 2
A. (0; +∞)

B. (− ∞; −1)

C. R

D. Phương trình vô nghiệm.

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Ta có: −2 < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Phương trình 3x+1 = 27 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?
A. 0

B. 1

C. 2

D.3

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có: 3x + 1 = 27 3x + 1 = 33
⇔x + 1 = 3 ⇔ x = 2


Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2. Do đó, phương trình đã cho không
có nghiệm nguyên âm.
Ví dụ 3. Phương trình 5x = 10 có nghiệm x = 1+ log5a. Tìm a?
A. a = 1

B.a = 2

C.a = 5

D.a = 10

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Ta có: 5x = 10, lấy loga cơ số 5 hai vế ta được:
⇔x = log510 = 1 + log52
Vậy a= 2.
Ví dụ 4. Giải phương trình 42x + 1 = 12.
A. x = log43

B. x = log23

C. x = log163

D. x = log83

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Ta có: 42x+ 1 = 12, lấy loga cơ số 4 hai vế ta được;
2x + 1= log412 ⇔ 2x + 1 = 1 + log43
⇔ 2x= log43

Dạng 2. Đưa về cùng cơ số
1. Phương pháp giải
af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc .


2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình 2x2 − 3x + 6 = 2x + 3
A.x = 1; x = 2

B. x = −1; x = 2

C. x = 1; x = 3

D. x = −1; x = 3

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Phương trình đã cho xác định với mọi x.
Ta có: 2x2 − 3x + 6 = 2x + 3
⇔ x2 − 3x + 6 = x + 3
⇔ x2 − 4x + 3= 0
⇔ x = 1 hoặc x = 3
Ví dụ 2. Biết rằng phương trình 2x2 − x + 4 = 4x + 1 có hai nghiệm phân biệt là x1,
x2 ( x1 > x2). Tính giá trị của biểu thức S = x14 + 2x24
A. S = 18

B. S = 83

C. S = 21 D. S = 30

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Phương trình đã cho xác định với mọi x.
Ta có: 2x2 − x + 4 = 4x + 1 ⇔ 2x2 − x + 4 = (22)x + 1
2x2 − x + 4 = 22(x + 1)
x2 − x+ 4 = 2( x+ 1) ⇔ x2 − 3x + 2 = 0


⇔ x = 1 hoặc x = 2

Do đó, x1 = 2 và x2 = 1. Suy ra, S = 24 + 2. 14 = 18
Ví dụ 3. Phương trình 28 − x2 . 58 − x2 = 0,001.(105)1 − x có tổng các nghiệm là:
A. 5.

B. 7.

C. − 7

D. −5

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có :
28 − x2 . 58 − x2 = 0,001.(105)1 − x
⇔ (2.5)8 − x2 = 10−3 . 105 − 5x ⇔ 108 − x2 = 102 − 5x
Do đó, tổng các nghiệm của phương trình đã cho là : −1+ 6 = 5.
Ví dụ 4. Biết rằng phương trình 9x2 − 10x + 11 = 81 có hai nghiệm phân biệt x 1,
x2. Tính S= x1 + x2
A. 8

B.10

C. 6

D.12

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Phương trình đã cho xác định với mọi x.
Ta có : 9x2 − 10x + 11 = 81 ⇔ (32)x2 − 10x + 11 = 34

⇔(32)x2 − 10x + 11 = 34 ⇔ 2. (x2 − 10x + 11) = 4
⇔ 2x2 − 20 x + 22 − 4= 0 ⇔ 2x2 − 20x + 18 =0
⇔x = 1 hoặc x = 9. Do đó , tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là S = 10


Ví dụ 5. Cho phương trình :

. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên .
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Phương trình vô nghiệm.
Hiển thị đáp án
Đáp án: A

Nghiệm của phương trình là:


Khi đó

Dạng 3. Đặt ẩn phụ
1. Phương pháp giải

f[ag(x)] = 0 (0 < a ≠ 1)
Ta thường gặp các dạng:
● m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0 ta đặt t = a f(x) ( t > 0 ).
Khi đó, phương trình đã cho có dạng m.t2 + nt + p= 0 .
● m.af(x) + n.bf()x) + p = 0, trong đó ab = 1. Đặt t = af(x),( t> 0);suy ra

● m.a2f(x) + n. (ab)f(x) + p.b2f(x) = 0. Chia hai vế cho b2f(x) và đặt

.

• Phương trình dạng Aa3x + m + Ba2x + n + Cax + p + D = 0
+ Ta biến đổi Aam.(ax)3 + Ban.(ax)2 + Capax + D = 0
Coi đây là phương trình bậc hai ẩn t= a x ,(t > 0 ), ta bấm máy tính tìm nghiệm và
đối chiếu với điều kiện.


+ Lưu ý biến dạng a2x = (a2)x, a3x = (a3)x và ta có thể biến x thành một hàm f(x)
2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình
A.1.

B. 3.

C. 2.

có bao nhiêu nghiệm âm?

D. 0.

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Phương trình đã cho xác đinh với mọi x.

Phương trình tương đương với

Đặt

(t > 0) . Phương trình trở thành :

3t = 2 + t2 ⇔ t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2
● Với t= 1, ta được

● Với t= 2, ta được


Vậy phương trình có một nghiệm âm.

Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình
A.2

B. 4.

C. 1.

là:

D. 0

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Phương trình đã cho xác định với mọi x.

Phương trình tương đương với

Đặt t = 3x ( t > 0). Phương trình trở thành t2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3

● Với t = 1, ta được 3x = 1 ⇔ x = 0.
● Với t = 3, ta được 3x = 3 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1.
Ví dụ 3. Cho phương trình 4.4x − 9. 2x+1 + 8 = 0 . Gọi x1; x2 là hai nghiệm của
phương trình trên. Khi đó, tích x1.x2 bằng :
A. − 2

B. 2

C. − 1

D. 1


Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có: 4.4x − 9. 2x+1 + 8 =0 ⇔ 4. (22)x − 9.2.2x + 8 = 0
⇔ 4. 22x − 18.2x + 8 = 0
Đặt t= 2x ( t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với
4t2 − 18t + 8 = 0

Vậy tích 2 nghiệm phương trình đã cho là: S= 2.(−1)= − 2.
Ví dụ 4. Nghiệm của phương trình 6.4x − 13. 6x + 6. 9x = 0 là:

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có: 6.4x − 13. 6x + 6. 9x = 0
Chia cả hai vế phương trình cho 4x > 0 ta được:

Đặt

, khi đó phương trình trên trở thành:

6t2 − 13t + 6 = 0

Ví dụ 5. Phương trình (7 + 4√3)x + (2 + √3)x có nghiệm là:
A. x = log(2 + √3)2

B. x = log23

C. x = log2(2 + √3)

D. x = log32

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có: 7 + 4√3 = (2 + √3)2
Do đó, phương trình đã cho trở thành:
(2 + √3)2x + (2 + √3)x = 6
Đặt t = (2 + √3)x( t > 0 ), khi đó phương trình trên tương đương với:
t2 + t = 6

⇔ 2 = (2 + √3)x ⇔ x = log(2 + √3)2
Dạng 4. Phương trình tích


1. Phương pháp giải
Để giải phương trình mũ ta có thể dùng các phương pháp phân tích biểu thức
thành nhân tử; đưa về phương trình tích.

Sau đó, áp dụng phương pháp logarit hóa; phương pháp đưa về cùng cơ số...
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình 12. 3x + 3. 15x − 5x+ 1 = 20 là:
A. x = log35 − 1

B. x = log>35

C.x = log35 + 1.

D. x = log53 − 1

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có: 12 . 3x + 3 . 15x − 5x + 1 = 20
⇔ ( 12.3x + 3.15x ) − (5x+ 1 + 20) = 0
⇔ 3.3x ( 4 + 5x) − 5. ( 5x +4) = 0
⇔ ( 3.3x − 5) . (4 + 5x) = 0
⇔ 3x + 1 − 5 = 0 ( vì 4+ 5x > 0 với mọi x)
⇔ 3x+1 = 5 ⇔ x + 1 = log35
⇔ x = log35 − 1
Ví dụ 2. Phương trình sau có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên 4 x2 − 3x + 2 + 4x2 +
6x + 5 = 42x2 + 3x + 7 + 1.
A. 2

B. 3

C. 4

Hiển thị đáp án
Đáp án: A

D.1.


Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên phân biệt.
Ví dụ 3. Phương trình 2x − 3 = 3x2 − 5x + 6 có bao nhiêu nghiệm không nguyên?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3.

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Theo đầu bài ta có: 2x − 3 = 3x2 − 5x + 6
Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: log 22x − 3 = log23x2 − 5x
+6


Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm không nguyên

Ví dụ 4. Biết rằng phương trình
x2 .Tổng x1 + x2 có dạng
a+ 2b
A. S= 95

B. S= 169

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Điều kiện: x ∈ R (*)
Phương trình

C. S= 32

có hai nghiệm phân biệt là x1,

,với a,b ∈ N* và
D. S= 43

là phân số tối giản. Tính S =


Do đó: x1 + x2 = 2 − log97 = log981 − log97

Ví dụ 5. Biết rằng phương trình
Tính giá trị của biểu thức S = x1 + x2

có hai nghiệm phân biệt là x1; x2.

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Điều kiện: x ≠ −2 (*)
Phương trình


Do đó S = x1 + x2 = −1 − log23 = −log23 − log22 = −log26
Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và phương pháp đánh giá.

1. Phương pháp giải
o Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a;
b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên (a; b) không nhiều hơn một và f(u)
= f( v) ⇔ u = v ∀u,v ∈ (a; b)
o Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch
biến) ; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D
thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
o Tính chất 3. Nếu hàm số y =f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D
thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v ( hoặc u < v).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Phương trình (√3 − √2)x + (√3 + √2)x = (√10)x có tất cả bao nhiêu nghiệm
thực ?
A. 1

B. 2

C. 3

Hiển thị đáp án
Đáp án: A

D. 0


Xét hàm số

Hàm số f(x) nghịch biến trên R do các cơ số

Do đó, nếu phương trình đã cho có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Ta thấy f(2) =1 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Ví dụ 2. Phương trình 32x +2x (3x + 1) − 4. 3x − 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm
không âm ?
A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Ta có: 32x +2x (3x + 1) − 4. 3x − 5 = 0


⇔ 3x + 2x − 5 = 0 ( vì 3x + 1 > 0 với mọi x)
Xét hàm số f(x) = 3x + 2x − 5 ; f'(x) = 3xln3 + 2 > 0; ∀x ∈ R.
Suy ra, hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó, phương trình đã cho nếu có nghiệm
thì nghiệm đó là duy nhất.
Lại có, f(1) = 0 nên nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1.
Ví dụ 3. Phương trình 4x + 2x (x − 7) − 4x + 12= 0 có số nghiệm là?
A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: D
Đặt t= 2x ( t > 0) phương trình đã cho thành: t2 + (x − 7)t − 4x + 12= 0 (1)
Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn t, ta có
Δ = (x − 7)2 − 4(−4x + 12) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ≥ 0
Do đó (1)

+ TH1. Nếu t = 4 thì 2x = 4 ⇔ x = 2
+ TH2. Nếu t = 3 - x thì 2x = 3- x , theo ví dụ trên ta được x= 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2.


Ví dụ 4. Biết rằng phương trình

có

hai nghiệm phân biệt là x1, x2 ( x1 > x2). Nghiệm x1 có dạng
Z . Tính S= a4 + 10ab
A. S= 11

B. S= − 9

C. S= 575

, với a,b ∈

D. S= 675

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Điều kiện: x ≠ R (*)

Để ý: (2x2 − 4x + 3) − (x2 + x − 2) = x2 − 5x + 5
Ta biến đổi phương trình

⇔ f(2x2 − 4x + 3)= f(x2 + x − 2) (1)
Xét hàm số f(t) = 2t + 3t với t ∈ R có f’(t) = 2t.ln2 + 3 > 0 với mọi t.
Suy ra, hàm số f(t) đồng biến trên R nên (1)

Ví dụ 5. Phương trình 2x2 + 1 + 3x2 + 2 = 5(sinx + cosx) có số nghiệm là ?.
A. 2

B. 1

C. 0

Hiển thị đáp án

D. 3


Đáp án: C
Điều kiện: x ≠ R (*)
Ta có 2x2 + 1 + 3x2 + 2 ≥ 20 + 1 + 30 + 2 = 11, ∀x ∈ R.
Mà 5(sinx + cosx) ≤ 5(1 + 1) = 10, ∀x ∈ R
=> 2x2 + 1 + 3x2 + 2 > 5(sinx + cosx) => phương trình vô nghiệm .
Dạng 6. Bài toán tìm tham số m thỏa mãn điều kiện T.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (2 + √3) x + (2 − √3)x = m
vô nghiệm?
A. m ≤ 2

B.m>2

C. m = 2

D. m < 2

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Nhận xét: (2 + √3) + (2 − √3) = 1 ⇔ (2 + √3)x + (2 − √3)x = 1 .
Đặt t = (2 + √3)x.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

Xét hàm số

xác định và liên tục trên (0; +∞).


Ta có:

Cho

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, nếu m < 2 thì phương trình (1’) vô nghiệm nên phương
trình (1) vô nghiệm.
Ví dụ 2. Với giá trị của tham số m thì phương trình: (m + 1).16 x − 2.(2m − 3).4x +
6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu?
Hiển thị đáp án

Đáp án: A
Đặt 4x = t > 0. Phương trình đã cho trở thành: (m + 1).t2 − 2( 2m − 3)t + 6m + 5= 0
(*)


Đặt f(t) = ( m + 1)t2 − 2 (2m − 3)t + 6m + 5
Yêu cầu bài toán ⇔(*) có hai nghiệm t1; t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2

Ví dụ 3. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4 x − m. 2x+1 +2m = 0 có
hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 3?
A. m= − 2

B. m = 4

C. m = 1

D. m = 3

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Ta có: 4x − m. 2x+1 +2m = 0 ⇔ (2x)2 − 2m.2x + 2m = 0 (*)
Phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn 2x có: Δ' = (−m)2 − 2m = m2 − 2m
Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m2 − 2m ≥ 0 ⇔ m(m − 2) ≥ 0

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2x1. 2x2 = 2m ⇔ 2x1 + x2 = 2m
Do đó; x1 + x2 = 3 ⇔ 23 = 2m ⇔ m = 4.
Thử lại ta được m = 4 thỏa mãn.
Ví dụ 4. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 6 x +( 3 −
m).2x − m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
A. [3; 4]

B. [2; 4]

C. (2; 4)

D. (3; 4)


Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Phương trình tương đương: m(2x + 1) = 6x + 3 . 2x.

Xét hàm số

Ta có:

Suy ra, f(x) đồng biến trên khoảng (0 ; 1) thì f(0) < f(x) < f(1)

Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình √(3x + 3)+ √(5 − 3x) =
m có nghiệm.
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án
Đáp án: B

Điều kiện: 5 − 3x ≥ 0 ⇔ 3x ≤ 5 ⇔ x ≤ log35
Xét hàm số f(x) = √(3x + 3) + √(5 − 3x), x ∈ (−∞; log35)


Ta có:

BBT:

Số nghiệm của √(3x + 3)+ √(5 − 3x) = m (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm
số y= f(x) và đường thẳng y = m
Vậy để (*) có nghiệm thì

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa
Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Phương trình mũ cơ bản.
Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax = m

(1).

Nếu m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = logam.
Nếu m ≤ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.


2. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
Với a > 0 và a ≠ 1 ta có af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x).
3. Phương pháp lôgarit hoá.
af(x) = b ⇔ f(x) = logab
af(x) = bg(x) ⇔ f(x) = g(x)logab
logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab

Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

Bài 2: Giải phương trình sau

Hướng dẫn: