CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT TOÁN 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ĐẠI SỐ 12 CĨ ĐÁP ÁN
5 dạng bài tập Phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1: Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
Trắc nghiệm giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit
Trắc nghiệm sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit
Dạng 5: Phương trình logarit chứa tham số
Trắc nghiệm giải phương trình logarit chứa tham số
Giải phương trình logarit bằng cách đưa về phương trình tích


Chủ đề: Phương trình logarit
5 dạng bài tập Phương trình logarit trong đề thi Đại học có giải chi tiết
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình lơgarit.
1. Phương pháp giải
Cho phương trình logaf(x) = g(x).
Điều kiện xác định của phương trình là:
+ a > 0; a ≠ 1
+ f(x) > 0 và f(x) có nghĩa
+ g(x) có nghĩa.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Điều kiện xác định của phươg trình log2x+2 156 = 24 là:

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Điều kiện xác định của phương trình: log2x + 2 156 = 24

Ví dụ 2. Điều kiện xác định của phươg trình logx(2x2 − 7x − 12) là:


A. x ∈ (0; 1) ∪ (1: +∞)

B. x ∈ (−∞; 0) .

C. x ∈ (0; 1) .

D. x ∈ (0; +∞)

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Phương trình logx(2x2 − 7x − 12) xác định:

⇔x ∈ (0; 1) ∪ (1: +∞)

Ví dụ 3. Điều kiện xác định của phương trình
A. x ∈ (1; +∞).

B. x ∈ (−1; 0).

C. x ∈ R\[−1; 0].

là:
D. x ∈ (−∞; 1).

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Điều kiện xác định của phương trình đã cho là: Biểu thức log 3(x − 1)

và

xác định


⇔x>1
Ví

dụ

4. Điều

kiện

trình
A. 0 < x < 7

xác

định

của

là:
B. x > 7

C. 3 < x < 7

D. 0 < x < 3

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Điều kiện phương trình:

⇔x>7
Ví dụ 5. Điều kiện xác định của phương trình log2[3log2(3x − 1) − 1] là:

Hiển thị đáp án
Dạng 2. Giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số.
1. Phương pháp giải

phương


Thường áp dụng các phép tính lơgarit để biến đổi, để hóa đồng cơ sớ hoặc để khử
biểu thức lơgarit chứa ẩn số ta thường lấy mũ các vế. Ta áp dụng các công thức
Với a > 0; a ≠ 1
• loga M = loga N ⇔ M = N > 0

• loga f(x) = loga g(x)
• loga N = M ⇔ N= aM hoặc loga f(x)= b ⇔ f(x) = ab
Ngồi ra, cần chú ý đến một sớ tính chất

• logab có nghĩa

•

(cơng thức đổi cơ sớ).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình
A. x = 27

B. x = 9

Hiển thị đáp án
Đáp án: A

có nghiệm là:
C. x = 3

D. x = log36


Điều kiện x > 0

⇔ log3x + 2log3x − log3x = 6
2log3x = 6 ⇔ log3x = 3 ⇔ x = 27

Ví dụ 2. Phương trình
A. x= − 2

B. x = 4 hoặc x = −2 .

có nghiệm là:
C. x = 4

D. x = 1

Hiển thị đáp án
Đáp án: C

⇔x=4
Ví dụ 3. Sớ nghiệm của phương trình log4 (x + 12). logx2 = 1 là:
A. 0.

B. 2.

C. 3.

Hiển thị đáp án
Đáp án: D

D. 1.


Điều kiện : 0 < x ≠ 1

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x=4.
Ví dụ 4. Phương trình log2x − 3(32 − 7x + 3) − 2 = 0 có nghiệm là:
A. x = 2; x= 3

B. x= 2

C. x= 3

D. x= 1, x= 5

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Điều kiện:

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm phương trình là x= 3
Ví

dụ

5. Sớ

nghiệm

trình
A. 2.

ngun
là:

B. 1.

C. 3.

D. 0.

dương

của

phương

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Điều kiện: 2x + 1 − 3 > 0 ⇔ x > log23 − 1
Ta có:

Đặt t = 2x(t > 0)
Ta có

⇔ t2 − 3t − 4 = 0 => t = 4
Do đó, 2x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.
Ví dụ 6. Sớ nghiệm của phương trình log4(log2x) + log2(log4x) = 2 là:
A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Phương trình đã cho tương đương:


=> x = 16
Dạng 3. Giải phương trình lơgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình log22x − 4log2x + 3 = 0 có tổng các nghiệm là:
A. 6

B. 8

C. 2

Hiển thị đáp án
Đáp án: D

D. 10


Điều kiện: x > 0
Đặt log2 x= t. Khi đó, phương trình đã cho trở thành

Kết hợp với điểu kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x= 2 và x= 8.
Tổng các nghiệm của phương trình là: S = 2 + 8 =10

Ví dụ 2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình
Khi đó x1 + x2 bằng:

.

Hiển thị
đáp án
Đáp án: D
Điều kiện

Đặt t = log2x, điều kiện

. Khi đó phương trình trở thành:


Ví dụ 3. Phương trình log52(2x − 1) − 8log5√(2x − 1) + 3 = 0 có tổng các nghiệm
là:
A. 4

B. 10

C. 26 D. 66

Hiển thị đáp án
Đáp án: D

Điều kiện

Đặt t= log5 (2x − 1). Khi đó, phương trình (*) trở thành:

Do đó, tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: 63 + 3= 66.


Ví dụ 4. Biết phương trình 4log9x − 6.2log9x + 2log327 = 0 có hai nghiệm x1; x2. Khi
đó x12 + x22 bằng

Hi
ển thị đáp án
Đáp án: A
Điều kiện: x > 0
Ta có phương trình tương đương 22log9x − 6.22log9x + 23 = 0 (1)

Đặt t = 2log9x, t > 0. (1) => t2 − 6t + 8 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = 4
- Với t = 2 ⇔ 2log9x = 2 ⇔ log9x = 1 ⇔ x = 9
- Với t = 4 ⇔ 2log9x = 22 ⇔ log9x = 2 ⇔ x = 81.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {9; 81} => x12 + x22 = 6642 .
Ví dụ 5. Tập nghiệm của phương trình 4log22x − xlog26 = 2.3log24x2 là:

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Điều kiện: 0 < x ≠ 1
Ta có:
4log22x − xlog26 = 2.3log24x2


⇔ 41 + log2x − 6log2x = 2.32+2log2x
⇔ 4.4log2x − 6log2x = 19.9log2x (1)
Chia 2 vế cho 4log2x.

Đặt
Khi đó, phương trình (*) trở thành:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

.

Dạng 4. Giải phương trình lơgarit bằng phương pháp đưa về phương trình tích
1. Phương pháp giải
Để giải phương trình lơgarit ta có thể đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức
đáng nhớ.... để đưa phương trình đã cho về dạng A(x). B(x) = 0

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình − log√3(x − 2). log5x = 2log3(x − 2) là:

Hiển thị
đáp án
Đáp án: B
Điều kiện: x > 2

So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x= 3.
Ví dụ 2. Sớ nghiệm của phương trình log2x . log3(2 − 1) = 2log2x là:
A. 2.

B. 0.

C. 1.

Hiển thị đáp án
Đáp án: A

D. 3.


PT

So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x= 3.
Ví dụ 3. Cho hàm sớ f(x)= 3x3lnx − 36x. lnx − 7x3 + 108x tập nghiệm của phương
trình f’(x)= 0 là.

Hiển thị đáp án
Đáp án: A

Điều kiện: x > 0
Ta có:
f'(x) = 92lnx + 3x2 − 36lnx − 36 − 21x2 + 108 = 0
⇔ 9(x2 − 4)lnx − 18(x2 − 4) = 0
⇔ 9(x2 − 4)(lnx − 2) = 0


Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là S= {e2; 2}.
Dạng 5. Tìm tham sớ m thỏa mãn điều kiện T.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sớ m để phương trình log 3x − log3(x
− 2) = log√3m có nghiệm?
A. m > 1.

B. m ≥ 1.

C. m < 1

D. m ≤ 1.

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Điều kiện: x > 2 và m > 0.

Phương trình có nghiệm x > 2 khi đó:


Kết hợp điều kiện m > 0 ta được m > 1 .
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sớ m để phương
trình

3√3] ?
A. m ∈ [0; 2].

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1;
B. m ∈ (0; 2).

C. m ∈ (0; 2].

D. m ∈ [0; 2).

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
Với x ∈ [1; 3√3] hay 1 ≤ x ≤ 3√3

Đặt t = √(log32x + 1); t ∈ [1; 2]
Phương trình đã cho trở thành: t2 − 1 + t − 2m − 1 = 0 hay t2 + t − 2= 2m
Khi đó bài tốn trở thành:Tìm m để phương trình t 2 + t − 2 = 2m có ít nhất một
nghiệm thuộc đoạn [1; 2].
Xét hàm số f(t) = t2 + t − 2, ∀t ∈ [1; 2], f'(t) = 2t + 1 > 0, ∀t ∈ [1; 2]
Suy ra hàm sớ đồng biến trên [1; 2].
Ta có bảng biến thiên của hàm số.


Khi đó phương trình có nghiệm khi 0 ≤ 2m ≤ 4 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2
Vậy 0 ≤ m ≤ 2 là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham sớ m để phương trình log 2(5x −
1).log4(2.5x − 2 ) = m có nghiệm x ≥ 1 ?
A. m ∈ [2; +∞).

B. m ∈ [3; +∞).

C. m ∈ (−∞; 2].

D. m ∞ (−∞; 3].

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
Ta có: log2(5x − 1).log4(2.5x − 2 )

Đặt t = log2 (5x − 1). Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

Với x ≤ 1 => 5x ≤ 5 => log2(5x − 1) ≤ log2(5 − 1)hay t ≥ 2 .
Khi đó bài tốn trở thành: Tìm m để phương trình t2 + t = 2m có nghiệm
Xét hàm sớ f(t) = t2 + t, ∀t ≥ 2, f'(t) = 2t + 1 > 0, ∀t ≥ 2
Suy ra hàm số đồng biến với t ≥ 2.
Khi đó phương trình có nghiệm khi 2m ≥ 6 ⇔ m ≥ 3
Vậy m ≥ 3 là các giá trị cần tìm.


Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sớ m để phương trình log 32x − (m +
2)log3x + 3m − 1 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1.x2 = 27?
A. m = −2

B. m = − C. m = 1

D. m = 27

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Đặt t = log3x. Khi đó phương trình có dạng: t2 − (m + 2).t + 3m − 1 = 0 (1).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
Δ = (m + 2)2 − 4(3m − 1) = m2 − 8m + 8 > 0

Với điều kiện (*), phương trình (1) có 2 nghiệm t1 ; t2 và :
t1 + t2 = log3x1 + log3x2 = log3 (x1.x2) = log327 = 3
Theo Vi-ét ta có: t1 + t2 = m + 2. Do đó, m+ 2 = 3 ⇔ m= 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sớ m để phương
trình

có nghiệm thuộc [32; +∞)?


A. m ∈ (1; √3].

B. m ∈ [1; √3).

C. m ∈ [−1; √3).

D. m ∈ (−√3; 1]

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
Điều kiện: x > 0.Khi đó phương trình tương đương:

Đặt t = log2x với x ≥ 32 => log2x ≥ log232 = 5 hay t ≥ 5
Phương trình đã cho trở thành : √(t2 − 2t − 3) = m(t − 3) (*).
Khi đó bài tốn trở thành : Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t ≥ 5 ”
Với t ≥ 5 thì (*)

Ta có:

Với

hay


Suy ra 1 < m ≤ √3 Vậy phương trình có nghiệm với 1 < m ≤ √3
Dạng 1: Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Định nghĩa
Phương trình lơgarit là phương trình có chứa ẩn sớ trong biểu thức dưới dấu
lơgarit.
2. Phương trình lơgarit cơ bản
• loga x = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

• loga f(x) = loga g(x)
3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
* Bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).
* Bước 2. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của lơgarit để đưa các lơgarit có
mặt trong phương trình về cùng cơ sớ.
* Bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết cách
giải.
* Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải phương trình: log2 x + log3 x + log4 x = log20 x.


Hướng dẫn:
Điều kiện của phương trình là x > 0.

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {1}.
Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:


Tập nghiệm của phương trình đã cho là {1;2}.
Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Tập nghiệm của phương trình đã cho là {3}.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải phương trình
Hiển thị đáp án


Phương trình đã cho vơ nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình
Hiển thị đáp án
Điều kiện của phương trình là

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {3}.
Bài 3: Giải phương trình
Hiển thị đáp án
Điều kiện của phương trình là

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {2}.

Bài 4: Giải phương trình
Hiển thị đáp án
Điều kiện của phương trình là x > 0.
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình